Encuentra soluciones buscando triángulos. El teorema de Tales

En la mayoría de ocasiones para encontrar la solución a un problema, primero tenemos que buscar datos relevantes.Cómo un buen detective! En geometría, es fundamental buscar aquellos elementos que nos interesen.Dos hechos históricosSe cuenta que el matemático Tales de Mileto (siglo VI a.C.), utilizando la semejanza de triángulos y su ingenio resolvió dos problemas nada sencillos en su época.

 ¿A qué distancia estaban los barcos enemigos?

¿Qué altura tenía  la gran pirámide de Keops?

Antes de ver cómo pudo encontrar la solución el gran sabio griego, ¿te atreves a plantear el problema haciendo un pequeño esquema? Semejanza de triángulosTen en cuenta que dos triángulos   son semejantes  si tienen sus ángulos correspondientes iguales y si sus lados homólogos son proporcionales entre sí.Triángulos semejantes trazando paralelasTambién es importante que recuerdes que si en un triángulo trazas una línea paralela a cualquiera de sus lados, obtendrás dos triángulos semejantes. Mira cuantos sale ahora! Por ejemplo, en el polígono azul hay 4 triángulos semejantes.

Teorema de Tales sobre triángulos semejantes ¿Te acuerdas? Afirma que si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.Dicho de otra forma. Cuando veas rectas paralelas, ”córtalas” y obtendrás varias razones de semejanza.

El teorema de Tales y las catapultasCuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a que distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas.El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado, de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura (h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados proporcionales,1 podemos establecer la siguiente igualdad.

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía.Calculó la altura de la gran pirámide egipcia Según narra Herodoto, Tales calculó la altura de la gran pirámide de Keops, situada en Guiza, la más antigua de las siete maravillas del mundo.¿Cómo lo hizo?  Usando su teorema, el gran sabio pensó que en el momento que su sombra midiese lo mismo que él, los rayos del Sol formarían un grado de 45 grados con la cima de la pirámide y con su cabeza. Y por tanto, en ese preciso instante la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma.

Observando el dibujo, podemos llamar h a la altura de Tales y s a su sombra.En el momento que  s=h, los rayos del Sol formaran un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales y con la cima de la pirámide (al ser los rayos del Sol paralelos entre sí). Por tanto, en ese mismo momento H=S.Como estamos mirando triángulos semejantes, midiendo la sombra de la pirámide (S), conoceremos su altura (H), que será la misma.Observa que se trata de triángulos semejantes, porque sus ángulos homólogos son iguales. Los dos triángulos dibujados tienen un ángulo recto y dos ángulos de 45 grados.

 Datos curiosos sobre Tales de MiletoNuestro personaje de hoy, fue un célebre astrónomo, filósofo y matemático griego. Es considerado como uno de los siete sabios de Grecia. Vivió en la misma época que Pitágoras.Parece que fue el primero en explicar la razón de los eclipses de sol y de luna. Descubrió varias proposiciones geométricas. Cuentan los historiadores que murió asfixiado por la multitud, cuando se retiraba de un espectáculo.Este es uno de los episodios anecdóticos atribuidos a Tales: Cierta noche paseaba el matemático completamente absorto mientras contemplaba las estrellas y, por al no prestar suficiente atención al terreno que pisaba, cayó  dentro de un gran hoyo. Una vieja, que pasaba por allí vio el accidente y le dijo, “¿cómo quieres ¡oh sabio! saber lo que pasa en el cielo si no eres capaz de saber lo que ocurre en tus pies?”Destacó gracias a su sabiduría práctica, a su notable capacidad política y a la gran cantidad de conocimientos que poseía. Se le atribuye la máxima “En la confianza está el peligro”.

 Utiliza las sombras para medir ciertas longitudes inaccesiblesAhora te toca a tí. A continuación de te dos problemas para aplicar el teorema de Tales. Si tienes ganas, puedes probar a solucionarlos. Tienen su utilidad.♣ Calcula la altura de un edificio sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 6 metros, y una persona que mide 1,8 m. tiene, en ese mismo instante, una sombra de 70 cm.

♠ María quiere conocer la altura de la torre de la Giralda en Sevilla. Cuando sale a la calle se separa de la base de la torre 8,5 m y observa que para ver el extremo superior necesita un ángulo de elevación respecto a la horizontal de aproximadamente 85°. Si María mide 1,70 m, ¿cuál es la altura aproximada de la Giralda?

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Lo que se traduce en la fórmula

Hagamos un ejercicio como ejemplo:

En el triángulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b. Aplicamos la fórmula, y tenemos

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; segúnHeródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la  pirámide de Keops en Egipto.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B).

Como en triángulos semejantes, se cumple que  , por lo tanto la altura de la pirámide es  , con lo cual resolvió el problema.

Otra variante del Teorema de Tales

Una aplicación del Teorema de Tales.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):

Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

 Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

 

Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a números dados