TEOREMA DE PITGORAS

El Teorema de Pitgoras establece que en un tringulo rectngulo, el rea del cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del tringulo rectngulo) es igual a la suma de las reas del cuadrado de los catetos (los dos lados menores del tringulo, los que conforman el ngulo recto). Teorema de Pitgoras En todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitgoras de Samos Si un tringulo rectngulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que: (1) De la ecuacin (1) se deducen fcilmente 3 corolarios de aplicacin prctica: Pitgoras ( c=a+b ) Frmulas prcticas

Demostraciones supuestas de Pitgoras

Se cree que Pitgoras se bas en la semejanza de los tringulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema. Se estima que se demostr el teorema mediante semejanza de tringulos: sus lados homlogos son proporcionales.1 Sea el tringulo ABC, rectngulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a y b, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente. Los tringulos rectngulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en comn, y los ngulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos tringulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos tringulos son semejantes si hay dos o ms ngulos congruentes.

De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero

, por lo que finalmente resulta:

La relacin entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razn de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitgoras para demostrar su teorema Pitgoras tambin pudo haber demostrado el teorema basndose en la relacin entre las superficies de figuras semejantes. Los tringulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razn de semejanza entre dichos tringulos. Si ahora buscamos la relacin entre sus superficies:

obtenemos despus de simplificar que:

pero siendo

la razn de semejanza, est claro que:

Es decir, "la relacin entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razn de semejanza". Aplicando ese principio a los tringulos rectngulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I) y por la semejanza entre los tringulos ACH y ABC resulta que:

pero segn (I)

, as que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitgoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen reas equivalentes. Quitndoles los tringulos el teorema de Pitgoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitgoras hubiera obtenido una demostracin grfica del teorema. Partiendo de la configuracin inicial, con el tringulo rectngulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos centro- est formado por los cuadrados de los catetos, ms cuatro tringulos rectngulos iguales al tringulo inicial. El otro cuadrado derecha- lo conforman los mismos cuatro tringulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los tringulos, evidentemente el rea del cuadrado gris (c2) equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (b2 + a2), habindose demostrado el teorema de Pitgoras.

TEOREMA DE TALESExisten dos teoremas en relacin a la geometra clsica que reciben el nombre de Teorema de Tales, ambos atribuidos al matemtico griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

Los dos teoremas de Tales

Semicrculo que ilustra un teorema de Tales. El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un tringulo semejante a uno previamente existente (los tringulos semejantes son los que tienen iguales ngulos). Mientras que el segundo desentraa una propiedad esencial de los circuncentros de todos los tringulos rectngulos (encontrandose stos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construccin geomtrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construccin de ngulos rectos.

Primer teorema

Una aplicacin del Teorema de Tales. Como definicin previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos tringulos son semejantes si tienen los ngulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados ms bsicos de la geometra, a saber, que: Teorema primero Si por un tringulo se traza una lnea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos tringulos semejantes. Tales de Mileto Segn parece, Tales descubri el teorema mientras investigaba la condicin de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos tringulos no es condicin suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicacin del teorema, y la razn de su fama, se deriva del establecimiento de la condicin de semejanza de tringulos, a raz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

CorolarioDel establecimiento de la existencia de una relacin de semejanza entre ambos tringulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razn entre la longitud de dos de ellos en un tringulo se mantiene constante en el otro. Por ejemplo, en la figura se observan dos tringulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del tringulo pequeo es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el tringulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos tringulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometra descriptiva. Su utilidad es evidente; segn Herdoto, el propio Tales emple el corolario de su teorema para medir la altura de la

pirmide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos tringulos, no la constancia del cociente. Del primer teorema de Tales se deduce adems lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales. Una aplicacin inmediata de este teorema sera la divisin de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a nmeros dados (con ayuda de comps, regla y escuadra o cartabn).

Segundo teorema

fig 2.1 Ilustracin del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto. El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometra particularmente enfocado a los tringulos rectngulos, las circunferencias y los ngulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Teorema segundo Sea B un punto de la circunferencia de dimetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ngulo ABC, es recto. Tales de Mileto Este teorema (vase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocclicos y de la aplicacin de los ngulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostracin

fig 2.2 Siempre que AC sea un dimetro, el ngulo B ser constante y recto.

fig 2.3 Los tringulos AOB y BOC son issceles. En la circunferencia de centro O y radio r (vase fig 2.3), los segmentos OA , OB y OC son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto los tringulos AOB y BOC son issceles. La suma de los ngulos del tringulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuacin anterior por dos, se obtiene:

Con la expresin anterior el segundo teorema queda demostrado.

Corolarios(Corolario 1) En todo tringulo rectngulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre de la hipotenusa. Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posicin que adopte el vrtice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (vase fig 2.3). (Corolario 2) La circunferencia circunscripta a todo tringulo rectngulo siempre tiene radio igual a de la hipotenusa y su circuncentro se ubicar en el punto medio de la misma. El corolario 2 tambin surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensin intuitiva basta observar la fig 2.2.

Aplicacin (Tales - teorema segundo)

Construccin de tangentes (lneas rojas) a una circunferencia k desde un punto P, utilizando el teorema segundo de Tales. El teorema segundo (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que adems pasen por un punto P conocido y externo a la misma (vase figura ). Se supondr que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (tambin desconocido por ahora). Se sabe por simetra que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ngulo OTP es necesariamente recto. Lo anterior implica que el tringulo OTP es rectngulo. Recordando el corolario 2 del teorema segundo de Tales podemos deducir que entonces el tringulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio de la hipotenusa OP del mismo. Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que ser la que circunscribe al tringulo OTP. Esta ltima circunferencia trazada interceptar a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultneamente tangentes a k y adems pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.