Demostración del Teorema de Euclides vista desde el modelo MTSK.

Ociel López Jara

Resumen

El presente trabajo tiene el propósito de revisar el contenido demostración del primer Teorema de Euclides de

alumnos de 3ro. medio desde el modelo MTSK. Para esto se revisó el enunciado del primer y segundo Teorema de

Euclides para ver cuáles son los contenidos adicionales involucrados y cuáles son los contenidos previos necesarios

para su mejor comprensión, también se da una mirada a la importancia que tiene la demostración en matemática y en

particular en geometría y el beneficio que tiene para los estudiantes las actividades que incluyen demostraciones.

Luego fue revisado como está considerado este teorema en el currículo y cuáles son las actividades propuestas.

Posteriormente se revisa el Modelo MTSK en una mirada general para enseguida analizar el contenido del Teorema

de Euclides desde los subdominios KoT, KSM, KPM y KSML. Se pudo conocer que el programa de la asignatura de

matemática no entrega suficientes elementos para llevar este contenido a contexto que favorezca un aprendizaje

significativo.

Palabras claves: Teorema de Euclides, Modelo MTSK, demostración, matemática, geometría.

1 Introducción

El primer Teorema de Euclides, también conocido como Teorema de los catetos, establece que cada cateto es media

proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Figura 1: triangulo rectángulo ABC

Es decir, en el triángulo rectángulo ACB se cumple:

𝑎2 = 𝑞 ∗ 𝑐 (1)

y

𝑏2 = 𝑝 ∗ 𝑐 (2)

Euclides, que vivió en Gracia entre los años 325 a.C.-265 a.C., fue quien postuló este teorema, el que ha tenido

extensa aplicación ya que ayuda en la comprensión de las relaciones geométricas existentes en el triángulo

rectángulo relacionando los catetos del triángulo con sus proyecciones en la hipotenusa.

Por otra parte, cuál debe ser la mejor forma qué el profesor de matemática tiene que orientar su labor de enseñanza

de este contenido, cuáles deben ser los elementos adicionales que debe conocer y dominar.

Un respuesta a lo anterior se relaciona con la idea de conocimiento didáctico del contenido (Schulman, 1986), lo que

es recogido por un grupo de investigados en el modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas

(MTSK, de sus siglas en ingles) ( Muñoz-Catalán, y otros, 2015).

Este trabajo intenta entregar una mirada personal de cómo el modelo MTSK nos puede ayudar a entender cuál o

cuáles conocimientos debe tener el profesor de matemática para enseñar el contenido “demostración del Teorema de

Euclides”.

2 Su origen

Euclides se dio cuenta de que al trazar la altura desde vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa en un triángulo

rectángulo se da origen a dos triángulos más aparte del original, los cuales entre si son semejantes y a la vez son

semejantes también con el triángulo original, lo que implica que sus lados homólogos respectivos son

proporcionales.

Figura 2: proyección de catetos en la hipotenusa.

En la Figura 2 se muestra la altura h trazada desde el vértice C, que a su vez corresponde al ángulo recto, hasta la

hipotenusa AB̅̅ ̅̅ en el triángulo rectángulo ABC y los dos triángulos que nacen a partir de su trazado, ∆𝐴𝐶𝐷 𝑦 ∆𝐵𝐶𝐷.

Los ángulos que son congruentes en los triángulos de esta forma permiten verificar la semejanza existente entre los

tres triángulos involucrados según el criterio de semejanza AAA, que dice que si dos triángulos tienen todos sus

ángulos de iguales medida, entonces son semejantes.

En la Figura 2 el ángulo ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐷𝐶𝐵 (en celeste) y ∡𝐴𝐶𝐷 = ∡𝐷𝐵𝐶(en amarillo) y ∡𝐴𝐷𝐶 = ∡𝐵𝐷𝐶 = 90°,

entonces Δ𝐴𝐷𝐶 ≈ Δ𝐵𝐷𝐶 ≈ Δ𝐴𝐵𝐶.

De esta semejanza de triángulos Euclides postula:

(tomando la figura2)

𝑐

𝑎=

𝑎

𝑝 → 𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑝 (3)

y

𝑐

𝑏=

𝑏

𝑞 → 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑞 (4)

La igualdad (3) y (4) corresponden al primer Teorema de Euclides que dice de la relación que existe entre los catetos

de un triángulo rectángulo, la hipotenusa y la proyección de los respectivos catetos en la hipotenusa.

También existe el segundo Teorema de Euclides o de la altura que dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de

la altura trazada desde el ángulo recto hasta su lado opuesto (la hipotenusa) es igual al producto de la medida de los

trazos que forman las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Figura 3: 2do Teorema de Euclides

Desde que Euclides propuso estos teoremas y hasta la fecha han sido enseñado en las escuelas y universidades de

todo el mundo, porque posee una extensa gama de aplicaciones en diversas ramas del conocimiento que usan la

matemática: ciencias ingenieriles, física, química, astronomía, etc., lo que demuestra que la dimensión de su aporte

es incalculable.

Un ejemplo de aplicación del Teorema de la altura se da en el siguiente problema:

“Una persona se ubica exactamente en la salida de un túnel con forma de semicircunferencia. Mide las distancias

desde donde se ubica a los extremos del túnel y descubre que son 4 y 9 metros. Se pregunta ¿qué altura tendrá el

túnel exactamente en el punto donde se encuentra?”. Figura 4.

Figura 4: conocer la altura h

Al aplicar el Teorema de la altura se tiene:

ℎ2 = 9 ∗ 4 = 36 → ℎ = √36 = 6

3 La demostración

En términos simple, la demostración de una proposición p es una cadena finita de transformaciones que se realizan

mediante reglas lógicas y que se forman a partir de proposiciones verdaderas o supuestamente verdaderas y las

cuales nos conducen a la proposición p (Santamaría, 2006).

Una proposición que es demostrable lógicamente partiendo de axiomas, postulados o de otras proposiciones ya

demostradas, se llama teorema. (RAE, 2016)

Los teoremas necesitan demostrarse cuando no existe evidencia de su validez.

Todo teorema consta de una premisa llamada hipótesis que expresa lo que se supone se verifica, y de una conclusión,

llamada tesis, que expresa lo que se demuestra que es verdad (Alsina Catalá, Fortuny Aymemí, & Pérez Gómez,

1997).

La demostración es una herramienta muy potente de la matemática. Cuando una afirmación queda probada alcanza

un valor universal.

No siempre el saber matemático ha sido elaborado de manera sencilla, hubo errores, dificultades que exigieron un

estilo de trabajo ante cada problema: investigación, búsqueda, experimentación, respuestas, demostraciones, nuevas

preguntas, así hasta formalizar un conocimiento.

Hay quienes platean que la actividad de enseñar matemática en el aula esté relacionada con el quehacer matemático,

lo que implica que los alumnos puedan desplegar diferentes estrategias para resolver un problema, poner en juego

ideas, buscar diversos caminos de resolución, formular respuestas (aunque sean erróneas), tener la oportunidad de

corregirlas, debatir sobre una afirmación, poder probarla o rechazarla, analizar la conveniencia o no de determinados

caminos elegidos, analizar la razonabilidad de un resultado, etc. En definitiva, permitir a los alumnos entrar en las

características del pensamiento matemático, permitirles vincularse a la forma de producción del conocimiento

matemático, asumiendo lo complejo y prolongado de esta tarea.

Que los alumnos pueden “hacer matemática”, significa que la demostración como contenido matemático adquirirá un

perfil de elemento dinámico y modificable desde el punto de vista didáctico pudiendo adaptarse a la situación escolar

presentada. La escritura propia de demostraciones cobrará en este caso gran importancia, ya que se valorará en los

alumnos la adquisición de formas propias de argumentación para defender sus propias convicciones. Para esta

postura, la matemática se basa en la recolección de datos, realización de conjeturas, en la determinación de si las

mismas son válidas o no y, en la formulación y validación de las conclusiones correspondientes (Crespo, 2007).

Para el caso de la demostración de teoremas geométricos, en general, es un desafío para los estudiantes, ya que deben

establecer relaciones con otros conocimientos y teoremas, para posteriormente en una cadena lógica de argumentos

llegar a demostrar nuevas proposiciones. A raíz de esto, trabajar con visualizaciones es un buen recurso para facilitar

la comprensión en los estudiantes. Con la utilización del método heurístico1 para el trabajo en clases, los estudiantes

descubren y conjeturan.

En el caso particular de la demostración del primer Teorema de Euclides los estudiantes deben establecer conexión

con conocimientos previos tales como la semejanza de triángulos y el teorema de Thales. Justamente el desafío está

en que recuerden y puedan aplicar dichos conocimientos, de lo contrario la demostración pierde sentido.

Las Bases Curriculares para la asignatura de matemática de 7mo básico a 2do medio establece que dentro de las

habilidades que los alumnos deben desarrollar en esta asignatura está “argumentar y comunicar” (MINEDUC, 2013).

En ella se indica: “La habilidad de argumentar se desarrolla principalmente al tratar de convencer a otros de la

validez de los resultados obtenidos” y agrega “Se espera que desarrollen su capacidad de verbalizar sus intuiciones y

llegar a conclusiones correctamente, y que también aprendan a detectar afirmaciones erróneas, absurdas o

generalizaciones abusivas. De esta manera, serán capaces de realizar demostraciones matemáticas de proposiciones,

apoyadas por medio de diferentes representaciones pictóricas y con explicaciones en lenguaje natural, para llegar

finalmente a un lenguaje matemático.”

3.1 La visualización y la demostración

El uso de materiales que el estudiante pueda manipular y los dibujos permiten mostrar en geometría muchos

resultados. Un ejemplo es hacer un triángulo en papel (o cartulina) y luego recortar sus vértices y juntarlos para ver

que entre los tres se forma un ángulo de 180°. Lo anterior en una forma básica de comprobación, pero no se debe

perder el foco de por qué es importante demostrar y lo importante que es el razonar en forma correcta y la

importancia de la deducción.

Para el caso del Teorema de Euclides se puede proponer una situación similar: se pide a los alumnos que construyan

dos triángulos rectángulos congruentes (al superponerlos coinciden sus lados y sus ángulos), en uno de los triángulos

se dibuja la altura correspondiente al ángulo recto y luego se corta el triángulo siguiendo esa altura obteniendo dos

triángulos “semejantes”, lo que se demuestra al superponer los dos triángulos obtenidos sobre el otro triangulo

original y se probar diferentes posiciones para encontrar los lados homólogos.

Figura 5: demostración teorema de Euclides

4 El Teorema de Euclides en el curriculum

La demostración del Teorema de Euclides figura en el programa de matemática de segundo medio y está

individualizado en el aprendizaje esperado AE 05: “Demostrar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad

de trazos”, y como indicadores de evaluación sugeridos se presentan:

Deducen la relación que existe entre la altura de un triángulo rectángulo y las proyecciones de sus catetos sobre

la hipotenusa.

Deducen la relación que existe entre un cateto, su proyección sobre la Hipotenusa y la hipotenusa de un

triángulo rectángulo.

El programa propone una demostración del primer Teorema de Euclides a partir de la semejanza de triángulos, tal

como se muestra en la expresión (3) y (4) de este documento.

1 heurístico: concepto popularizado por el matemático George Pólya, con su libro Cómo resolverlo (How to solve it).

Habiendo estudiado tantas pruebas matemáticas desde su juventud, quería saber cómo los matemáticos llegan a

ellas. El libro contiene la clase de recetas heurísticas que trataba de enseñar a sus alumnos de matemática.

Luego se propone la demostración del Teorema de Pitágoras a partir de las igualdades (1) y (2).

El texto de la asignatura de matemática de 2do medio edición 2015, desde la página 120 a la 123 enuncia el Teorema

de Euclides y entrega ejemplo no en contexto y donde se privilegia solo el cálculo.

5 Una mirada desde el modelo MTSK

Conocimiento especializado del profesor de matemática (MTSK) es un modelo teórico analítico que permite

investigar sobre el conocimiento del profesor de matemática, ayuda a comprender mejor qué conoce el profesor de

matemática, cómo conoce, qué le posibilita dicho conocimiento y qué necesita, lo que proporciona una base que

puede ser usada en la formación inicial docente FID o en la planificación de la formación continua de profesores (

Muñoz-Catalán, y otros, 2015).

El modelo MTSK diferencia dos dominios: el Conocimiento Matemático y el Conocimiento Didáctico del Contenido

Matemático.

Para este trabajo, se analiza el contenido “demostración del primer Teorema de Euclides” con respecto al dominio

Conocimiento Matemático.

El modelo MTSK considera dentro del dominio Conocimiento Matemático tres subdominios. A saber:

KoT Conocimientos de los temas

KSM Conocimiento de la estructura de la matemática

KPM Conocimiento de la Práctica Matemática

El subdominio KoT considera conceptos de la matemática, procedimientos matemáticos incluyendo la matemática

escolar; además, se incluyen aquellos aspectos de los conceptos que permiten relacionarlos con contextos reales (

Muñoz-Catalán, y otros, 2015).

En este subdominio consideramos los conocimientos que posee el profesor sobre el Teorema de Euclides en relación

a los catetos y a la altura, la definición del Teorema de Pitágoras, las características de un triángulo rectángulo, sus

elementos principales como ángulos, los secundarios como altura, los criterios de semejanza, la definición de

triángulos semejantes, el conceptos de proyección de un punto sobre una recta y proporcionalidad. Asociado a lo

anterior en profesor debe ser capaz de entregar a los alumnos más de una forma de entender el Teorema de Euclides,

sus propiedades y los conceptos asociados; así por ejemplo la proyección de un cateto en la hipotenusa.

El subdominio KSM abarca el conocimiento de la matemática desde la perspectiva de su integración y relación en

estructuras amplias y con mayor capacidad de relación con otros conceptos. Integra los conceptos más avanzados y

los más elementales ( Muñoz-Catalán, y otros, 2015). Para el caso de la demostración del Teorema de Euclides, en

este subdominio podemos mencionar el conocimiento superior que debe tener el profesor sobre el manejo y

operatoria con raíces cuadradas y su interpretación en los segmentos que se determinan en un triángulo rectángulo.

En concreto, como representar un número irracional en la recta numérica. También resulta relevante conocer la

relación que existe entre lo geométrico y lo algebraico, los conceptos de razones y proporciones en este caso aplicado

a segmentos en un triangulo rectángulo.

El subdominio KPM abarca aquellas formas de hacer y proceder en matemática que sin duda un profesor ha de

conocer para desarrollar su clase ( Muñoz-Catalán, y otros, 2015). Para el contenido analizado, aquí se consideran las

diferentes formas que se puede seguir para demostrar el Teorema de Euclides y la forma de razonar para este efecto.

Demostrar el Teorema de Euclides usando el Teorema de Pitágoras o por visualización al manipular triángulos

semejantes.

Al confrontar lo comentado para los tres subdominios y su aplicación con el contenido de la demostración del

Teorema de Euclides, con la subdominio Conocimientos de los Estándares de Aprendizaje de la Matemática

(KSML), que abarca los diferentes grados de profundidad que un profesor debe conocer del currículo, en particular

de matemática ( Muñoz-Catalán, y otros, 2015). En nuestro caso, este subdominio contempla que el profesor necesita

conocer el programa de la asignatura y cuáles han sido los contenidos considerados en los años anteriores y que son

necesarios para que el estudiante logre los aprendizajes en la material tratada.

6 Conclusiones

Es necesario mencionar que para revisar el contenido de “demostrar el Teorema de Euclides” resultó algo complejo

el hallar información poco variada de este tema, en las diferentes fuentes consultadas se limitaban a entregar la

definición clásica del Teorema y la demostración no variaba de una fuente a otra. Por ejemplo, se extraña una

demostración por visualización usando el concepto de área sobre los catetos.

La revisión del programa actualmente vigente de la asignatura de matemática sitúa el Teorema de Euclides en

segundo medio y entrega mínimos lineamiento para que el profesor pueda crear actividades en contexto de este

contenido, solo se limita a entrega una demostración en base al Teorema de Pitágoras.

Por otro lado, mi experiencia en aula y el observar el trabajo de otros profesores indica que la habilidad de

“argumentar y comunicar” no es desarrollada en profundidad, privilegiando la operatoria más que los razonamientos.

Si bien el modelo MTSK es un modelo teórico y que en nada intenta definir como debe ser un buen profesor o como

éste debe hacer su clase para obtener buenos resultados con sus alumnos, es un modelo que aporta en especial a lo

referente a la formación inicial docente para disponer de una herramienta de análisis en la investigación que se

desarrolla en este sentido.

7 Referencias

Muñoz-Catalán, M., Contreras, L. C., Carrillo, J., Rojas, N., Montes, M., & Climent, N. (2015). Conocimiento

especializado del profesor de matemáticas (MTSK): un modelo analítico para el estudio del conocimiento del

profesor de matemáticas. (R. S. Española, Ed.) Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, 589-605.

Alsina Catalá, C., Fortuny Aymemí, J., & Pérez Gómez, R. (1997). ¿Por qué Geometría? Madrid: SINTESIS S.A.

Crespo, C. (2007). Demostraciones matemáticas: un recorrido a través de la historia desde una visión

socioepistemológica. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.20, (págs. 548-553). Mexico.

MINEDUC. (2013). Bases Curriculares Matemática 7mo básico a 2do medio. Santiago.

RAE. (2016). Real Academia Española. Obtenido de http://www.rae.es/

Santamaría, J. R. (2006). Geometría Euclidiana. Medellin: Ude@.

Schulman, L. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, 15(2), 4-

14. Recuperado el 2016, de http://www.jstor.org/stable/1175860