TEOREMA DE CHEBYSHEV.

Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos

que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la

probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo

alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación

estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos

una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y,

por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación

estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ.

Podemos argumentar lo mismo para una distribución discreta. En el histograma de

probabilidad. El área se extiende mucho más que. Lo cual indica una distribución más

variable de mediciones o resultados el matemático ruso P. L. Chebyschev (1821–1894)

descubrió que la fracción de área entre cualesquiera dos valores simétricos alrededor de

la media está relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de

distribución de probabilidad, o de un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre

cualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor

entre estos números.

El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la

probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones

estándar de su media para cualquier número real κ proporcionaremos la demostración

solo para el caso continuo y se deja el caso discreto como ejercicio.

1. Caso variable discreta.

La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ

desviaciones estándar de la media es al menos 1−1

k2. Es decir:

P (μ−kσ <X<μ+kσ )≥1− 1k2

De hecho, la desigualdad de Chebyshev se puede escribir también como:

P (|X−μ|<kσ )≥1− 1k2

O bien, utilizando el complemento:

P (|X−μ|<kσ )≤ 1k2

El teorema de Chebyshev tiene una valides para cualquier distribución de observaciones

y, por esta razón los resultados son generalmente débiles el valor que el teorema

proporciona es solo un límite inferior. Es decir, sabemos que la probabilidad de una

variable aleatoria que cae dentro de dos desviaciones estándar de la media no puede ser

menor que 3/4, pero nunca sabemos cuánto podría ser en realidad únicamente cuando se

conoce la distribución de probabilidad podemos determinar probabilidades exactas. Por

esta razón llámanos al teorema resultado de distribución libre cuando se supongan

distribuciones específicas. El uso del teorema de Chebyshev se restringe a situaciones

donde se desconoce la forma de la distribución.

Ejemplo 1.

1.- Una variable aleatoria X tiene una media µ = 12 una varianza σ2 = 9, y distribución de

probabilidad conocida. Utilizando el teorema de Chevyshev obtener:

a) P (4 < X < 18).

b) P (3 < X < 21).

Solución

a) P (4 < X < 18) = P[ 12 – (2) (3) < X < 12 + (2) (3) ] ≥ 3/4

b) P (3 < X < 21) = P[ 12 – (3) (3) < X < 12 + (3) (3) ] ≥ 8/9

Ejemplo 2.

Tener a mano un suministro adecuado de refacciones es función importante del almacén

de una gran empresa electrónica. Se estudió la demanda mensual de tarjetas para

impresoras de microcomputadoras durante algunos meses y se vio que el promedio o

media es 28 y la desviación estándar es 4. ¿Cuántas tarjetas de impresora deben tener a

la mano al principio de cada mes para asegurar que la demanda será mayor que la oferta

cuando mucho con una probabilidad de 0,10?

Solución

Sea X la variable aleatoria que representa la demanda.

Utilizando el teorema de Chebyshev con k=√10 se tiene:

P (X−μ≥kσ )≤ P (|X−μ|≥kσ )≤ 1k2= 1

(√10 )2=0,1

Es decir:

P (X−28≥√10(4))≤0,1

P (X ≥40,65 )≤0,1

Por lo que deben existir 41 tarjetas de impresora en el inventario.

El teorema de Chebyshev y la regla empírica proporcionan una interpretación de µ y

para las variables aleatorias continuas, como en el caso de las variables aleatorias

discretas. Aun si desconocemos las distribuciones exactas de las variables aleatorias de

interés, el conocimiento de las medias y las desviaciones estándar nos permite especificar

cotas significativas para las probabilidades de eventos que a menudo nos interesan.

2. Caso de variable continua.

En la sección anterior propusimos y utilizamos el teorema de Chebyshev. Ahora

replanteamos este teorema y proporcionamos una demostración aplicable al caso de una

variable aleatoria continua.

Si Y es una variable aleatoria con media finita µ y varianza 2, entonces, para cualquier

k>0,

P (|Y−μ|<kσ )≥1− 1

k2o P (|Y−μ|≥kσ )≤ 1

k2

Demostración

Demostraremos el teorema para una variable aleatoria continua. Para el caso de una

variable discreta se procede de manera similar. Si f ( y ) es la función de densidad de Y,

entonces

V (Y )=σ2=∫−∞

∞

( y−μ )2 f ( y )dy

V (Y )=σ2= ∫−∞

μ−kσ

( y−μ )2 f ( y )dy+ ∫μ−kσ

μ+ kσ

( y−μ )2 f ( y )dy+ ∫μ+ kσ

∞

( y−μ )2 f ( y )dy

La segunda integral siempre es mayor o igual a cero ( y−μ)2≥k2σ2 para todos los valores

de y entre los límites de integración de la primera y tercera integrales; es decir, las

regiones de integración se encuentran en las colas de la función de densidad y sólo

abarcan valores de y para los cuales ( y−μ)2≥k2σ2. Reemplace la segunda integral por

cero y sustituya k 2σ 2 por ( y−μ)2 en la primera y tercera integrales para obtener la

desigualdad

V (Y )=σ2≥ ∫−∞

μ−kσ

k2σ2 f ( y )dy+ ∫μ+ kσ

∞

k2σ2 f ( y )dy

Así

σ 2≥k2σ2[ ∫−∞

μ−kσ

f ( y )dy+ ∫μ+kσ

∞

f ( y )dy ]O

σ 2≥k2σ2 {P (Y ≤ μ−kσ )+P (Y ≤ μ+kσ ) }=k2σ2P (|Y−μ|≥kσ ) .

Dividiendo entre k 2σ 2 obtenemos:

P (|Y−μ|≥kσ )≤ 1k2

o, de forma equivalente,

P (|Y−μ|<kσ )≥1− 1

k2

El verdadero valor del teorema de Chebyshev radica en el hecho de que nos permite

determinar cotas para las probabilidades que, por lo común, hubiéramos tenido que

obtener mediante tediosos cálculos matemáticos (suma o integración). Además, a

menudo hace posible obtener medias y varianzas de variables aleatorias sin necesidad de

especificar la distribución de la variable. En situaciones de esta naturaleza el teorema de

Chebyshev todavía proporciona cotas importantes para las probabilidades de interés.

Ejemplo 3.

Supongamos que la experiencia demuestra que el tiempo Y (en minutos) necesario para

dar mantenimiento periódico a un dictáfono sigue una distribución gamma con α = 3.1 y β

= 2. A un nuevo técnico en mantenimiento le toma 22,5 minutos revisar la máquina. ¿Este

tiempo utilizado en el mantenimiento al dictáfono concuerda con el periodo anterior?

Solución: La media y la varíanza de los tiempos de mantenimiento (con base en la

experiencia anterior) son, de acuerdo con el teorema:

µ = αβ = (3,1)(2) = 6,2 y 2 = αβ2 = (3,1)(22) = 12,4

Se deduce que σ 2=√12,4=3,52 .Advierta que y = 22.5 minutos supera a la media µ=6,2

minutos por 16,3 minutos, o k = 16.3/3.52 = 4,63 desviaciones estándar. Así, según el

teorema de Chebyshev,

P (|Y−6,2|≥16,3 )=P (|Y−μ|≥4,63 σ )≤ 1

4,632=0,0466

Esta probabilidad se basa en el supuesto de que la distribución de los tiempos de

mantenimiento no ha cambiado con el tiempo. Por lo tanto, si observamos que P(Y ≥ 22,5)

es pequeña, debemos concluir que nuestro nuevo técnico en mantenimiento generó por

azar un periodo de mantenimiento prolongado, que tiene baja probabilidad de ocurrir, o

que es más lento que los anteriores. Si tomamos en cuenta la baja probabilidad de

P(Y≥22.5), optamos por la última posibilidad.

La probabilidad exacta, P(Y≥22.5), del ejemplo requeriría la evaluación de la integral

P (Y ≥22,5 )=∫22,5

∞y2,1e− y /2

23,3 Γ (3,1)dy

Aunque podríamos utilizar las tablas de Pearson (1965) para evaluarla, no podemos

hacerlo directamente. Las integrales similares para la función de densidad beta y otras

funciones de densidad son difíciles de evaluar. El teorema de Chebyshev a menudo

proporciona de inmediato cotas para las probabilidades, evitándonos cálculos de

integración laboriosos o la búsqueda de tablas adecuadas.