teoría homotópica de grupos -...
TRANSCRIPT
Teoría homotópica de grupos
José María Cantarero LópezCONACYT / CIMAT Mérida
2o Encuentro Nacional de Jóvenes Investigadores en MatemáticasInstituto de Matemáticas, UNAM
19 Febrero 2018
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Acciones de grupos
DefiniciónUna acción de un grupo G sobre un espacio topológico X esuna función continua
G × X → X
(g, x) 7→ g · x
tal que1 1 · x = x2 (gh) · x = g · (h · x)
EjemploEl grupo Z actúa sobre R mediante
n · x = x + n
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
EjemplosEjemplo
El grupo Z/2 = 1, σ actúa sobre Sn mediante
σ · x = −x
Ejemplo
El grupo Z/5 actúa sobre R mediante
g · x = x
para todo g ∈ Z/5 y todo x ∈ R.
Ejemplo
El grupo Z/2 actúa sobre S1 mediante
σ · z = z
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Acciones libres
DefiniciónSe dice que una acción es libre si g · x = x solamente puedeocurrir cuando g = 1.
Una razón por la que esta condición es útil es que si X es unavariedad con una acción libre de un grupo finito G, entoncesX/G también es una variedad.
Ejemplo
La acción de Z sobre R era libre y R/Z ∼= S1.
Ejemplo
La acción de Z/2 sobre Sn era libre y Sn/Z/2 = RPn.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Espacios clasificantes
Sea EG un espacio contráctil sobre el que G actúa libremente.El espacio clasificante de G es BG = EG/G.
Ejemplo
Podemos escoger EZ = R con la acción que vimos y BZ = S1.
Ejemplo
Podemos escoger EZ/2 = S∞ con la acción antipodal yBZ/2 = RP∞.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
EjemploRecordemos que F2 es el grupo libre de palabras reducidas endos letras a y b. Podemos escoger EF2 el árbol dibujado abajodonde a mueve "una unidad" a la derecha y b mueve "unaunidad" arriba. Por lo tanto BF2 = S1 ∨ S1.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Relaciones con acciones
G actúa libremente sobre algún árbol si y sólo si BG eshomotópicamente equivalente a un grafo.
Un grupo finito G actúa libremente sobre algún complejofinito X ' Sn si y sólo si BG tiene cohomología periódica.
Si G actúa linealmente y fielmente sobre algún Cn,entonces H∗(BG) es finitamente generado como anillo.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Relaciones con álgebra
G es un grupo libre si y sólo si BG es homotópicamenteequivalente a un grafo.
H2(BG; A) está en biyección con el conjunto de clases deequivalencia de extensiones centrales de G por A.
Hn(BG; A) ∼= TorZGn (Z,A) Hn(BG; A) ∼= Extn
ZG(Z,A).
cd(BG) = projdimZG Z.
K (BG) ∼= R(G)∧IG .
Si BG es un CW-complejo de dimensión finita, entonces Gno tiene elementos de orden finito.
G ∼= H si y sólo si BG ' BH.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Posibles accionessalvo homotopía de G
oo //
OO
Propiedades algebraicasde GOO
Propiedades homotópicas
de BGoo // Propiedades de ZG-módulos
o D(ZG)
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Propiedades p-locales de grupos
Denotamos cg(x) = gxg−1.
DefiniciónSe dice que G y H son p-localmente equivalentes si existe unisomorfismo φ : S → R entre sus p-Sylows tal que para cadaG-conjugación cg : P → Q entre subgrupos de S se tiene queφcgφ
−1 = ch para algún h ∈ H, y para cada H-conjugaciónck : A→ B entre subgrupos de R existe z ∈ G tal queφ−1ckφ = cz .
Lo denotamos por G ∼p H. Sea Q una propiedad de gruposfinitos tal que si G cumple Q y G ∼p H, entonces H cumple Q.Se dice que Q es una propiedad p-local. Igualmente si F esuna asignación que a cada grupo finito le asigna un objeto talque si G ∼p H entonces F (G) ∼= F (H), se dice que F es uninvariante p-local.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Algunas propiedades p-locales de grupos
Ser p-nilpotente. Los elementos de orden primo a pforman un subgrupo.
Tener un p-subgrupo normal no trivial.
El p-rango. El máximo natural n tal que G contiene unsubgrupo isomorfo a (Z/p)n.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Propiedades p-locales de espaciosDefiniciónSe dice que dos espacios X y Y son p-localmenteequivalentes si existe f : X → Y que induce un isomorfismo entodos los grupos de homología con coeficientes en Fp.
Igualmente lo denotamos X ∼p Y y tenemos igualmentepropiedades e invariantes p-locales.
Para cada espacio X , existe un espacio X∧p que se llama sup-completación. Si los espacios son p-buenos, una funciónf : X → Y induce un isomorfismo en Fp-homología si y sólo sila función inducida f∧p : X∧p → Y∧p es una equivalenciahomotópica.
Así que las propiedades (invariantes) p-locales de espacioscorresponden a propiedades (invariantes) homotópicas de susp-completaciones.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Relaciones entre ambas
G es p-nilpotente si y sólo si BG∧p ' BS.
El p-rango de G coincide con la longitud de Krull deHeven(BG∧p ;Fp).
Hn(Ω(BG∧p );Fp) ∼= ExtneFpGe(FpGe,FpGe) para cierto
idempotente e en FpG y para todo n > 1.
Si G contiene p-subgrupos elementales abelianosmaximales de dimensiones diferentes, entoncesH∗(BG∧p ;Fp) no es Cohen-Macaulay.
G ∼p H si y sólo si BG ∼p BH.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Posibles accionessalvo p-equivalencia de G
oo //
OO
Propiedades p-localesde GOO
Propiedades p-locales
de BGoo // Propiedades de FpG-módulos
o D(FpG)
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
El sistema de fusión de un grupo finito
Teorema (Cartan-Eilenberg)
H∗(BG;Fp) ∼= lim←−FS(G)
H∗(BQ;Fp)
Dado un grupo finito G y un p-Sylow S, su sistema de fusiónFS(G) es la categoría con
Objetos: Subgrupos de S.
HomG(P,Q) = cg : P → Q | g ∈ G
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
El sistema de fusión de un grupo finito II
Es más, este resultado se puede mejorar a
BG∧p '
(hocolim−−−−−→FS(G)
BQ
)∧p
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Sistemas de fusión abstractos
Definición (L. Puig ; C. Broto, R. Levi y B. Oliver ’03)
Un sistema de fusión F sobre un p-grupo finito S es unasubcategoría de la categoría de grupos cuyos objetos son lossubgrupos de S y cuyos morfismos HomF (P,Q) satisfacen:(a) HomS(P,Q) ⊆ HomF (P,Q) ⊆ Inj(P,Q) para todo
P,Q ≤ S.(b) Todo morfismo en F factoriza como un isomorfismo en F
seguido de una inclusión.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Definición (L. Puig ; C. Broto, R. Levi y B. Oliver ’03)
Sea F un sistema de fusión sobre un p-grupo finito S.Un subgrupo P ≤ S está completamente centralizado enF si |CS(P)| ≥ |CS(P ′)| para todo P ′ ≤ S que seaF-isomorfo a P.Un subgrupo P ≤ S está completamente normalizado enF si |NS(P)| ≥ |NS(P ′)| para todo P ′ ≤ S que seaF-isomorfo a P.F es un sistema de fusión saturado si se cumplen:
(I) Para cada P ≤ S que está completamente normalizado enF , P está completamente centralizado en F y AutS(P) esun p-Sylow de AutF (P).
(II) Si P ≤ S y φ ∈ HomF (P,S) son tales que φP estácompletamente centralizado, considerando
Nφ = g ∈ NS(P) | φcgφ−1 ∈ AutS(φP)
existe φ ∈ HomF (Nφ,S) tal que φ|P = φ.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Grupos p-locales finitos
Definición (Broto, Levi, Oliver ’03)Un grupo p-local finito es un espacio de la forma
BF =
(hocolim−−−−−→F
BQ
)∧p
donde F es un sistema de fusión saturado.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Los grupos 2-locales de Solomon
Sea P un 2-Sylow de Spin7(F3).
Teorema (Solomon ’74)No existe ningún grupo finito G con 2-Sylow P tal queFP(Spin7(F3)) ⊆ FP(G) y tal que todos los elementos de ordendos en P son G-conjugados.
De haber existido, habría sido un nuevo grupo finito simple.
Sin embargo, R. Levi y B. Oliver construyeron en 2002 unsistema de fusión saturado sobre P con esas característicasañadiéndole a FP(Spin7(F3)) más automorfismos de ciertosubgrupo y sus restricciones.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Otros sistemas de fusión
En teoría de representaciones modulares, dado un grupo finitoG y un campo K algebraicamente cerrado de característica p,un bloque de G es un ideal indescomponible de KG.
La teoría de Brauer asocia a cada bloque un grupo de defecto,que es un p-grupo S. Las G-conjugaciones entre los subgruposde S que son compatibles en cierto sentido con los bloquesrespectivos dan lugar a un sistema de fusión saturado sobre S.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Propiedades homotópicas de grupos p-locales finitos
H∗(BF ;Fp) ∼= lim←−F
H∗(BQ;Fp). (Broto, Levi, Oliver ’03)
[BQ,BF ] ∼= Rep(Q,F) para cualquier p-grupo finito Q.(Broto, Levi, Oliver ’03)
BCF (ρ(Q)) ' Map(BQ,BF)ρ si ρ(Q) es completamentecentralizado. (Broto, Levi, Oliver ’03)
Aut(BF) ' |Auttyp(L)|, donde L es una cierta categoríadeterminada por F . (Broto, Levi, Oliver ’03)
H2(BF ; A) está en biyección con el conjunto de clases deequivalencia de extensiones centrales de F por A. (Broto,Castellana, Grodal, Levi, Oliver ’07)
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Propiedades homotópicas de grupos p-locales finitos
BF ' BS si y sólo si F = FS(S). También generalizamosmuchos de los criterios de p-nilpotencia. (C., Scherer,Viruel ’14)
K(BF) ∼= R(F) (C., Castellana, Morales ’17)
K (BF) ∼= R(F)∧IF (Bárcenas, C. ’18)
αK (BF) ∼= αR(F)∧IF (Bárcenas, C. ’18)
h∗(BF) ∼= lim←−F
h∗(BQ) (C., Castellana, Morales ’17)
Si H∗(BF ;Fp) es Cohen-Macaulay, entonces esGorenstein. (C., Castellana, Morales ’17)
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
Conjetura de Quillen
Un grupo finito G tiene un p-subgrupo normal no trivial si y sólosi la realización geométrica del poset de p-subgrupos notriviales de G es contráctil.
Esta conjetura sigue abierta desde 1978!
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
La cohomología de los 2-grupos locales de Solomon
Sea FSol el grupo 2-local finito construido por Levi y Oliversobre un 2-Sylow de Spin7(F3)
H∗(BFSol;F2) ∼= F2[u8,u12,u14,u15, y7, y11, y13]/I
donde I es el ideal generado por los polinomios
y211 + u8y2
7 + u15y7
y213 + u12y2
7 + u15y11
y47 + u14y2
7 + u15y13
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos
La cohomología de los 2-grupos locales de Solomon
H∗(BFSol;F2) es un F2[u8,u12,u14,u15]-módulo libre yfinitamente generado. Así que es Cohen–Macaulay.
El cociente H∗(BFSol;F2) por el ideal generado por el subanillopolinomial F2[u8,u12,u14,u15] es el anillo graduado
F2[y7, y11, y13]/(y47 , y
211, y
213)
que es un álgebra con dualidad de Poincaré en dimensión 45,así que H∗(BFSol;F2) is Gorenstein.
José María Cantarero López Teoría homotópica de grupos