teor a de grupos...mapeos comenzaremos con el concepto de mapeo (tambi en conocido como funci on)....

Teorıa de GruposPresentacion 2: mapeos

Luis Felipe Gonzalez Rivas

UANL

5 de febrero de 2018

Contenido

1 MapeosIgualdad de mapeosImagen de un conjuntoImagen inversa de un conjuntoMapeos sobreyectivosMapeos inyectivosMapeos biyectivos

2 Composicion de mapeosLey asociativaComposicion de mapeos sobre y 1 − 1

3 El conjunto A(S)No conmutatividad

Luis Felipe Gonzalez Rivas (UANL) Teorıa de Grupos 5 de febrero de 2018 2 / 31

Indice





Mapeos

Comenzaremos con el concepto de mapeo (tambien conocido comofuncion). Este es tal vez el concepto mas extendido e importante enmatematicas.

Definicion 1

Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces un mapeo de A a B, es unsubconjunto M de A ×B, tal que para cada a ∈ A existe un unico b ∈ B talque el par (a,b) esta M.

A menudo, al mapeo M ⊂ A×B, lo denotamos como M ∶ A→ B. Mas aun,establecemos la relacion entre los conjuntos A y B como M(a) = b si ysolo si (a,b) ∈M.

Ejemplo

Definamos i ∶ A→ A como i(a) = a para todo a ∈ A. Esta relacion es unmapeo y se le conoce como mapeo identidad.


Mapeos

Definicion 1

Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Entonces un mapeo de A a B, es unsubconjunto M de A ×B, tal que para cada a ∈ A existe un unico b ∈ B talque el par (a,b) esta M.

A menudo, al mapeo M ⊂ A×B, lo denotamos como M ∶ A→ B. Mas aun,establecemos la relacion entre los conjuntos A y B como M(a) = b si ysolo si (a,b) ∈M.

Ejemplo

Definamos i ∶ A→ A como i(a) = a para todo a ∈ A. Esta relacion es unmapeo y se le conoce como mapeo identidad.


Mapeos

Ejemplo de mapeo: observe que cadaelemento de X esta relacionado con

un unico elemento en Y .

Relacion que no es un mapeo: loselementos 3 y 4 no estan

relacionados con ningun elemento enY ; el 2 esta relacionado con dos

elementos en Y .

Por Bin im Garten, via Wikimedia Commons


Igualdad de mapeos

Ahora que hemos definido que es un mapeo, tenemos que determinarcuando dos mapeos son iguales.

Definicion 2

Los mapeos σ y τ de A en B se dicen que son iguales si σ(a) = τ(a) paratodo a ∈ A.

Basicamente, dos mapeos son iguales si relacionan de la misma manera alos conjuntos A y B.


Mapeos

Una idea que surge naturalmente es, dado un mapeo σ ∶ A→ B, encontrarun mapeo σ−1 ∶ B → A tal que σ−1(b) = a si y solo si σ(a) = b; es decir,queremos el mapeo inverso de σ.

La pregunta es, para cada mapeo σ ¿podemos encontrar su mapeoinverso? Veamos que esto no siempre es posible.

Sea σ ∶ R→ R, tal que σ(x) = x2. Consideremos los numeros −1 y 1 yevaluemoslos: σ(1) = 1 y σ(−1) = 1.

Ahora bien, si consideramos el inverso σ−1 y lo evaluamos en 1, ¿queobtendrıamos? Pues dada su definicion, tendrıamos que σ−1(1) = 1 yσ−1(1) = −1. Esto claramente contradice la definicion de mapeo.


Mapeos

Como acabamos de ver, no podemos encontrar un mapeo inverso paracada mapeo σ. Entonces,

¿Bajo que condiciones podemos encontrar el mapeo inverso?


Imagen de un conjunto

Definicion 3

Sea σ ∶ A→ B un mapeo y sea C ⊂ A. El conjunto σ(C) = {σ(x) ∣ x ∈ C}se le llama imagen del conjunto C bajo σ.

Ejemplo

Consideremos el mapeo f ∶ R→ R tal que f (x) = ex y consideremos elintervalo C = {x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 1}. Entonces, dado que f es continua ycreciente f (C) = {y ∈ R ∣ 1 ≤ y ≤ e}.

Vease la grafica en el anexo �.


Imagen inversa de un conjunto

Definicion 4

Sea σ ∶ A→ B un mapeo y sea D ⊂ B. El conjuntoσ−1(D) = {a ∈ A ∣ σ(a) ∈ D} se le llama imagen inversa de D bajo σ.

Ejemplo

De nuevo consideremos el mapeo f (x) = ex y sea D = {x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 1}.Observemos que f −1(D) = {y ∈ R ∣ y ≤ 0}.

De nuevo, vease la grafica en el anexo �.


Mapeo inverso

Volvamos con la discusion sobre el mapeo inverso. Si σ ∶ A→ B es unmapeo, observemos que el objeto σ−1 no siempre esta definido paracualquier elemento de B.

Por ejemplo, si σ(x) = x2, la inversa σ−1 no esta definida para los realesnegativos.

Para solucionar este problema, deseamos que el mapeo σ relacione cadaelemento de B con algun elemento de A. Con esta propiedad, la inversaσ−1 estara definida para cada b ∈ B.


Mapeos sobreyectivos

Definicion 5

Sea τ un mapeo de A en B. Se dice que τ es sobreyectiva sobre B, sipara cada b ∈ B existe un a ∈ A tal que τ(a) = b.

Ejemplo

Consideremos los mapeos σ ∶ R→ R y τ ∶ R→ R tales que σ(x) = x2 yτ(x) = x3. Claramente σ no es sobre: consideremos −1 ∈ R; no existex ′ ∈ R tal que σ(x ′) = (x ′)2 = −1. Por otro lado, τ si es sobre. Sea y ∈ R,entonces x ′ = 3

√y cumple con τ(x ′) = τ( 3

√y) = ( 3

√y)3 = y .

Nota: lo anterior es cierto, ya que la ecuacion x2 = −1 no tiene solucion enlos reales; sin embargo, la ecuacion y = x3 si tiene solucion en R, paratoda y ∈ R.


Mapeo inverso

Ahora bien, hemos definido una clase especial de mapeos, los mapeossobreyectivos. Por su definicion, podemos ver que la inversa σ−1 siempreesta definida para cada b ∈ B. Sin embargo, esta propiedad no es suficientepara encontrar el mapeo inverso.

Como vimos anteriormente, si el mapeo es tal que σ(x) = x2, la inversaσ−1(1) = 1 y σ−1(−1) = 1, lo cual contradice la definicion de mapeo.

Por tanto, necesitamos una condicion mas para asegurar que dado unmapeo, su mapeo inverso existe.


Mapeos inyectivos

Definicion 6

Sea τ un mapeo de A en B. Se dice que τ es inyectivo (o 1− 1) si a1 ≠ a2,a1, a2 ∈ A, se tiene que τ(a1) ≠ τ(a2).

Ejemplo

De nuevo, consideremos a σ y τ tales que σ(x) = x2 y τ(x) = x3.Claramente, σ no es inyectiva: tome a x1 = 1 y x2 = −1, por ejemplo; luegoσ(x1) = 1 = σ(x2).

Por otro lado, τ si es inyectiva: sean x1 y x2 numeros reales tales quex1 ≠ x2; entonces τ(x1) = (x1)3 y τ(x2) = (x2)3 son diferentes.

Para ver esto, recordemos que la ecuacion x3 = y tiene tres soluciones enlos complejos; pero si y ∈ R y y ≠ 0, dos de las soluciones estan fuera deleje real. Esto implica que x1 ≠ x2, entonces (x1)3 ≠ (x2)3. Vease la graficaen el anexo �.


Mapeos inyectivos

Definicion 6

Sea τ un mapeo de A en B. Se dice que τ es inyectivo (o 1− 1) si a1 ≠ a2,a1, a2 ∈ A, se tiene que τ(a1) ≠ τ(a2).

Ejemplo

De nuevo, consideremos a σ y τ tales que σ(x) = x2 y τ(x) = x3.Claramente, σ no es inyectiva: tome a x1 = 1 y x2 = −1, por ejemplo; luegoσ(x1) = 1 = σ(x2).

Por otro lado, τ si es inyectiva: sean x1 y x2 numeros reales tales quex1 ≠ x2; entonces τ(x1) = (x1)3 y τ(x2) = (x2)3 son diferentes.

Para ver esto, recordemos que la ecuacion x3 = y tiene tres soluciones enlos complejos; pero si y ∈ R y y ≠ 0, dos de las soluciones estan fuera deleje real. Esto implica que x1 ≠ x2, entonces (x1)3 ≠ (x2)3. Vease la graficaen el anexo �.Luis Felipe Gonzalez Rivas (UANL) Teorıa de Grupos 5 de febrero de 2018 14 / 31

Mapos biyectivos

Ahora que ya tenemos las propiedades de inyectividad y sobreyictividadpara mapeos, pongamos un nombre a los mapeos que cumplen con estasdos condiciones.

Definicion 7

Un mapeo τ ∶ A→ B es biyectivo si es inyectivo y sobreyectivo.


Mapeos biyectivos

Ejemplo

El mapeo identidad i ∶ A→ A es una biyeccion. Para esto, sean a1 y a2

elementos de A. Entonces, i(a1) = a1 ≠ a2 = i(a2); por tanto i es 1− 1. Seaa1 ∈ A. Entonces a1 cumple con i(a1) = a1. Por tanto i es sobre. Se sigueque i es biyeccion.

Sea f ∶ R→ R un mapeo tal que f (x) = ax + b para a,b en R. Este mapeoes biyectivo para cualquier a ≠ 0.

Considere x1 y x2 numeros reales. Vease quef (x1) − f (x2) = (ax1 + b) − (ax2 + b) = a(x1 − x2) ≠ 0, ya que a ≠ 0 yx1 ≠ x2. Por tanto f (x1) ≠ f (x2), es decir f es inyectiva.

Ahora sea y ′ ∈ R. Observemos que x ′ = y ′−ba existe (a ≠ 0) y cumple con

f (x ′) = a( y′−ba ) + b = y ′. Por tanto f es sobre. Por lo anterior, f es

biyeccionLuis Felipe Gonzalez Rivas (UANL) Teorıa de Grupos 5 de febrero de 2018 16 / 31

Mapeos biyectivos

Un mapeo 1 − 1, pero no sobre. Un mapeo sobre, pero no 1 − 1.


Mapeos biyectivos

Un mapeo que no es sobre ni 1 − 1. Un mapeo sobre y 1 − 1.


Indice





Composicion de mapeos

Si tenemos dos mapeos biyectivos σ y τ , ¿existe alguna forma en la quepodamos crear un mapeo biyectivo a partir de estos? La siguientedefinicion nos dice como.

Definicion 8

Si σ ∶ A→ B y τ ∶ B → C , entonces la composicion de σ y τ es el mapeoτ ○ σ ∶ A→ C definido como τ(σ(a)) para cada a ∈ A.


Propiedades de la composicion de mapeos

Lema 1 (Ley asociativa)

Si σ ∶ A→ B, τ ∶ B → C y µ ∶ C → D, entonces µ ○ (τ ○ σ) = (µ ○ τ) ○ σ.

Demostracion.

Sea a ∈ A. Tenemos que demostrar que (µ ○ (τ ○ σ))(a) = ((µ ○ τ) ○ σ)(a).Para esto, observemos que (µ ○ (τ ○ σ))(a) = µ((τ ○ σ)(a)) = µ(τ(σ(a))).Por otro lado, ((µ ○ τ) ○ σ)(a) = (µ ○ τ)(σ(a)) = µ(τ(σ(a))).



Lema 2

Sea σ ∶ A→ B y τ ∶ B → C , entonces

a) τ ○ σ es sobre si σ y τ son sobre.

b) τ ○ σ es 1 − 1, si σ y τ son 1 − 1.

Demostracion.

a) Suponga que σ y τ son sobre y sea c ∈ C . Entonces existe b ∈ B tal queτ(b) = c . De manera similar, existe a ∈ A tal que σ(a) = b. Luego se tieneque (τ ○ σ)(a) = c . Por tanto τ ○ σ es sobre.

b) Sean a1 y a2 en A, diferentes. Entonces, σ(a1) ≠ σ(a2) ya que σ es1−1. De manera similar, τ(σ(a1)) ≠ τ(σ(a2)). Por tanto τ ○σ es 1−1.



Composicion de mapeos 1 − 1. Composicion de mapeos sobre.



Lema 3

Sean σ ∶ A→ B y τ ∶ B → C mapeos biyectivos, entonces τ ○ σ es unmapeo biyectivo.

Demostracion.

Se sigue inmediatamente del lema anterior.



En los lemas anteriores vimos algunas de las propiedades de lacomposicion de mapeos.

Probamos que la composicion es asociativa. Ademas, cuando componemosdos mapeos biyectivos, el mapeo resultante conserva esta propiedad.

Sin embargo, aun no hemos mencionado como los mapeos biyectivos y lacomposicion se relacionan con la inversa de un mapeo.

Solucionemos esto con el siguiente lema.



Lema 4

Sea σ un mapeo de A sobre B. Entonces σ es 1 − 1 si y solo si existe unmapeo τ ∶ B → A tal que τ ○ σ y σ ○ τ son el mapeo identidad en A y Brespectivamente. El mapeo τ es el inverso de σ.

Demostracion.

Primero demostremos el directo. Supongamos que σ es 1 − 1 yconsideremos el mapeo τ ∶ B → A tal que τ(b) = a si y solo si σ(a) = b.Observemos que este mapeo esta bien definido ya que σ es 1 − 1 y sobre.Luego si a ∈ A y b ∈ B, entonces (σ ○ τ)(b) = σ(τ(b)) = b = iB(b) y(τ ○ σ)(a) = τ(σ(a)) = a = iA(a), los mapeos identidad en B y Arespectivamente.



Lema 4

Sea σ un mapeo de A sobre B. Entonces σ es 1 − 1 si y solo si existe unmapeo τ ∶ B → A tal que τ ○ σ y σ ○ τ son el mapeo identidad en A y Brespectivamente. El mapeo τ es el inverso de σ.

Demostracion.

Ahora demostremos el recıproco. Sean a1, a2 ∈ A tal que a1 ≠ a2.Supongamos que σ(a1) = σ(a2). Entonces τ(σ(a1)) = a1 = τ(σ(a2)) = a2,lo cual contradice la hipotesis a1 ≠ a2. Por tanto σ es 1 − 1.


Indice





El conjunto A(S)

Con lo anterior, establecimos la condicion necesaria para la existencia delmapeo inverso σ−1 dado un mapeo σ.

¿Cual es esta condicion? El mapeo σ tiene que ser biyectivo.

Adicionalmente, probamos otras propiedades interesantes de lacomposicion de los mapeos biyectivos. Por ejemplo, σ y σ−1 satisfacenσ−1 ○ σ = iA y σ ○ σ−1 = iB .

Parece que el conjunto de mapeos biyectivos entre dos conjuntos A y Bjunto con la composicion es un objeto matematico que vale la penaestudiar.

Mas adelante veremos que el conjunto de mapeos biyectivos de A sobre Aes de suma importancia.


El conjunto A(S)

Definicion 9

Si S es un conjunto no vacıo, entonces A(S) es el conjunto de todos losmapeos biyectivos de S sobre S .


El conjunto A(S)

Teorema 1

Si σ, τ y µ son mapeos de A(S), entonces:

1) σ ○ τ esta en A(S);2) (σ ○ τ) ○ µ = σ ○ (τ ○ µ);3) existe un elemento i (mapeo identidad) en A(S), tal que

i ○ σ = σ ○ i = σ;

4) existe un elemento σ−1 en A(S) tal que σ−1 ○ σ = σ ○ σ−1 = i .

Demostracion.

Se sigue de los lemas anteriores.


El conjunto A(S)

Gracias al Teorema 1 podemos encontrar similitudes entre A(S) y otrasestructuras algebraicas.

Por ejemplo, los enteros Z con la suma tambien satisfacen las propiedadesdel Teorema 1.

¿Existe alguna propiedad que se cumpla en (Z,+) y que no se cumpla en(A(S), ○) 1?

En los enteros la suma es conmutativa. Es decir, si x , y ∈ Z, se satisfacex + y = y + x . Pero, como veremos a continuacion, esto no ocurre demanera general en (A(S), ○).

1Observe que utilizamos esta notacion para indicar que estamos considerando alconjunto junto con su operacion.Luis Felipe Gonzalez Rivas (UANL) Teorıa de Grupos 5 de febrero de 2018 30 / 31

El conjunto A(S)

Lema 5

Si S tiene mas de dos elementos, entonces podemos encontrar dos mapeosσ y τ en A(S) tal que σ ○ τ ≠ τ ○ σ.

Demostracion.

Suponga que S tiene mas de dos elementos. Seleccionemos tres elementosdiferentes s1, s2 y s3 en S y definamos el mapeo σ ∶ S → S comoσ(s1) = s2, σ(s2) = s3, σ(s3) = s1 y σ(s) = s para toda s ∈ S diferente des1, s2 y s3. A su vez, definamos el mapeo τ ∶ S → S como τ(s2) = s3,τ(s3) = s2 y τ(s) = s para toda s ∈ S diferente de s2 y s3.

Estos mapeos estan A(S) (es decir, son biyecciones). Ademas(σ ○ τ)(s1) = σ(τ(s1)) = σ(s1) = s2 y (τ ○ σ)(s1) = τ(σ(s1)) = τ(s2) = s3.

Como s1 ≠ s3, podemos concluir que σ ○ τ ≠ τ ○ σ.


ANEXO


Anexo 1: Mapeo exponencial f (x) = ex

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Por Peter John Acklam (Own work), via Wikimedia Commons


Anexo 2: Grafica de las tres raıces de la ecuacion x3= 1

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Las tres raıces de la ecuacion x3 = 1. Vease que, para cada x ∈ R, dos deestas raıces siempre se encuentran fuera del eje real Re(x).


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