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FLUJO UNIFORME

Curso de Hidrología e Hidráulica Aplicadas Flujo Uniforme

UdelaR - FI - IMFIA - 2010 4. 1 E. Lorenzo, D. Bellón, & G. Lopez

1. RESISTENCIA AL FLUJO. En los flujos a superficie libre la componente del peso del agua en la dirección del flujo, fuerza motora, causa la aceleración de éste (o desaceleración si la pendiente de fondo es negativa), mientras que la tensión de corte, rasante o “fricción” contra las paredes y el fondo del canal ofrece resistencia al flujo, desacelerándolo. Definición: Tensión rasante (notación: τ, tau),

Es la tensión (fuerza por unidad de superficie) ejercida sobre el fluido a través de una determinada superficie en la dirección tangente a esta superficie.

Dependiendo de la magnitud relativa entre esas fuerzas que aceleran y desaceleran el flujo, éste último responde en consecuencia. Por ejemplo si la fuerza de fricción es mayor que la componente del peso, entonces la velocidad del flujo se reduce y consecuentemente el tirante aumenta. Si el canal es largo y prismático (esto es que ni la forma de la sección transversal ni la pendiente de fondo del canal cambian con la distancia) entonces del flujo se acelera o desacelera a lo largo de una cierta distancia, hasta que las fuerzas motoras y resistivas se igualan. De allí en más la velocidad del flujo y el tirante se mantienen constantes, configurándose la situación denominada FLUJO UNIFORME. Definición: Flujo uniforme

Un flujo se considera uniforme cuando cualquier magnitud que se considere permanece invariante entre todas las secciones del canal.

Tirante normal El tirante de flujo existente en una condición de flujo uniforme para unas características del canal y un caudal dados.

Obsérvese que la definición de flujo uniforme implica necesariamente que éste ocurre únicamente en canales prismáticos. La condición de flujo uniforme rara vez ocurre en la práctica, sin perjuicio de lo cual el concepto de flujo uniforme es central para la comprensión de muchos problemas y en ocasiones incluso permite aproximar a una solución relativamente simple y suficientemente satisfactoria para diversos problemas prácticos. El flujo uniforme ocurre cuando la pérdida de energía ocasionada por el flujo turbulento es exactamente balaceada por la reducción en energía potencial



producida por el decremento uniforme en la elevación del fondo del canal. El flujo uniforme no permanente es teóricamente posible aunque excepcionalmente ocurre, por lo que a continuación se presentará únicamente el caso de flujo uniforme estacionario.



2. FLUJO UNIFORME ESTACIONARIO. Matemáticamente la uniformidad del flujo se expresa como 0

x , con φ una

magnitud cualquiera que puede ser la profundidad hidráulica (D), el tirante (y), el área de la sección transversal (A) o la velocidad media (v). Para un flujo uniforme estacionario donde circule un caudal Q dado el tirante (y) y por tanto la velocidad media (v) son constantes, lo cual implica que la línea de energía, la línea del nivel superficial y la línea del nivel del fondo resultan ser paralelas entre sí. Las pendientes de dichas líneas se notan con las letras Sf, Sw, So. Para el caso uniforme entonces Sf = Sw = So.

Una expresión para la ecuación de resistencia que actúa en la condición de flujo uniforme puede obtenerse haciendo un balance mecánico entre las fuerzas motoras, que actúan en la dirección del flujo, y la fuerzas resistivas o de tensión rasante, que actúan en el sentido contrario al flujo. A tal efecto se plantea determinar una expresión que evalúe la tensión rasante media o promedio a lo largo del perímetro mojado del canal ( τo ). 2.1 ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL FLUJO UNIFORME. Considérese una esquematización como la de la figura y aplíquese las leyes del movimiento, en particular la ley conservación de la cantidad de movimiento. El principio de conservación de la cantidad de movimiento o balance de fuerzas es una expresión vectorial, que en este caso se aplica en la dirección longitudinal del canal. Para aplicar el balance de cantidad de movimiento se define una región de fluido conformada por aquellas partículas que en un instante determinado ocupan el tubo de flujo de longitud L (ver figura).



Las fuerzas que se aplican sobre esta región son de dos tipos: fuerzas de masa y fuerzas de superficie. La fuerza de masa que actúa es el peso, el cual debe proyectarse según la dirección del flujo ( ρ g sen L A). Como es un ángulo chico y seno x = tg x = x cuando x 0, con x medido en radianes, entonces la componente del peso en la dirección del flujo resulta ser (ρ g A L So) Las fuerzas de superficie (o sea que actúan sobre las distintas superficies de la región) son la fricción o rozamiento, la presión atmosférica y la resultante de presiones ejercidas sobre cada una de las tapas laterales de ese tubo de flujo. La presión atmosférica ejerce fuerza normal a la superficie abierta a la atmósfera, por tanto no aporta componente en la dirección del escurrimiento. Las resultantes de presiones sobre las tapas laterales tienen igual dirección que el flujo, pero sentidos opuestos entre sí. La característica del flujo uniforme hace que el tirante sobre ambas “tapas” sea el mismo, por lo cual esas fuerzas de presión resultan de igual magnitud y sentido opuesto, anulándose entre sí. Por tanto la componente resultante de las presiones sobre las tapas laterales vale cero. Para el cálculo de la componente de fricción o rozamiento, que actúa sobre todas las superficies que bordean el canal con una dirección tangente a las mismas, se define una tensión rasante media de forma tal que la fuerza que se opone al movimiento será τo * superficie lateral = τo * P * L Nota:

Este concepto de tensión rasante media será importante posteriormente para considerar las condiciones de limpieza y estabilidad del canal, pues de alguna manera cuantifica la capacidad del agua para producir arrastre o no.

Entonces la resultante total en la dirección del flujo de las fuerzas que están actuando sobre la región de fluido es la siguiente: ( F = ρg A L So - τo L P ) El cálculo del término de aceleración, para el caso de flujo estacionario y uniforme, resulta: 000

v.v.xv

tv

dtvda

. Por lo cual la fuerza total que

actúa sobre la región es nula, resultando la ecuación de balance mecánico: 0 = ρg A L So - τo L P



Operando y recordando la definición de radio hidráulico ( Rh = A / P ) se obtiene la expresión para la tensión rasante media en el perímetro de cada sección ( τo ) :

Observación:

Por análisis dimensional se obtiene que la tensión de corte promedio 2

0 va , donde a es un número adimensional no necesariamente constante.

2.2 FORMULA DE CHEZY PARA FLUJO ESTACIONARIO Y

UNIFORME. Igualando las dos expresiones presentadas para el cálculo de la tensión rasante media ( 2

0 vaSR ) y despejando la velocidad media del flujo de

obtiene 0SRagv , de modo que llamando Coeficiente de Chezy al término

agC se obtiene la conocida fórmula de Chezy para el cálculo de flujo

uniforme en canales:

Observaciones:

1. El Coeficiente de Chezy ( C ) no es adimensionado. Sus dimensiones son L1/2 T-1 , por lo que en el sistema métrico tiene unidades ( m1/2 / s )

2. C depende de la geometría de la sección, del radio hidráulico (Rh ), de la rugosidad de los bordes y eventualmente también del número de Reynolds.

3. El valor del Coeficiente de Chezy ( C ), utilizando el sistema métrico decimal. varía entre 40 y 100 en función del tipo de canal y de las condiciones de flujo.

4. Estudios posteriores mostraron que no es correcto suponer que el coeficiente de Chezy es constante para todos los niveles de flujo, lo cual

τo = ρ g Rh So = γ Rh So

0SRCv



es uno de los motivos importantes para que esta ecuación no sea utilizada extensivamente.

2.3 SIMILITUD CON EL FLUJO EN TUBERIAS. Para analizar la expresión de Chezy, sus hipótesis y su validez, establecemos una analogía con el flujo en tuberías. La expresión de Darcy para el flujo en tuberías es :

gDvlfh f 2

2

Para FU, las pérdidas de energía serán sf = so = hh / L , entonces, igualando la expresión de Darcy con la fórmula de Chezy se obtiene (tomando D = 4 Rh como surge de la definición de radio hidráulico para tuberías circulares) :

fgC 8

f se obtuvo y estudió experimentalmente de los trabajos de Nikuradse y

Cloebrook-White en la década del 30 para tuberías con flujo a presión (no para canales con superficie libre). Algunos estudios muestran que el área transversal no influye mucho y que las secciones se pueden asumir representadas por el radio hidráulico (Rh). Entonces C al igual que f dependerá de la rugosidad (k) y del número de Reynolds (

hRvRe 4

), por lo que se puede obtener un ábaco para el coeficiente

de Chezy que será similar al de Moody

Ábaco del coeficiente de Chezy (Attn: está en el sistema de unidades inglés).



Entonces, al igual que en el caso de f, existen entonces 3 posibles flujos turbulentos: Flujo Liso Ocurre cuando el contorno es hidráulicamente liso (línea superior del ábaco). Ecuaciones:

510

581

102512

824

1107615

Re)(C.gRe

loggC

yBlasiusde.Ec)(ReRe.C

Flujo turbulento con plena rugosidad o totalmente rugoso

)(k

Rlogg

Cf

h 31228

110

Flujo turbulento de transición Para la transición entre contornos lisos y contornos rugosos, Colebrook halló para tuberías comerciales de madera, metal y concreto.

fRe.

R.klog

gC

f h

5228314

28

110

Para aplicar a canales, los coeficientes se modifican por efecto de la forma y la ecuación

gRe

C.R

klogg

Cf h 8

51212

28

110

Identificación del tipo de flujo Los 3 tipos de flujo se delimitan por el parámetro adimensional Re*

00 SRgvconvkRe h

**

*

para flujo uniforme

la transición ocurre para: )(kv*

51004

, lo que delimita la utilización de las

ecuaciones de 1 a 4.



3. APLICABILIDAD DE LAS ECUACIONES. En las fórmulas vistas anteriormente, k es la resistencia equivalente al diámetro de los granos de arena de una superficie recubierta por arena que tiene el mismo valor límite de f o C La siguiente tabla muestra valores típicos de ks (en pies) para canales de distintos materiales.

Es importante observar que para que el coeficiente de fricción sea sólo una propiedad de la rugosidad relativa, es necesario que el flujo sea turbulento y además, turbulento rugoso (ya que en cualquier otro caso dependería además del número de Reynolds). Esto es equivalente a que sería aplicable la fórmula:

k

Rlogg

Cf

h1228

110

Si graficamos esta expresión en un gráfico con escalas logarítmicas se obtiene la figura de la página siguiente, donde se observa que en un amplio rango de valores la ecuación anterior se puede aproximar a una recta:

61

2

31 /

h

/

h kRC

Cg

Rkf



Por lo tanto, es de esperar que el coeficiente de Chezy no sea constante para cada sección con una rugosidad determinada, sino que dependerá, además, del radio hidráulico (proporcional a la raíz sexta).

Esta dependencia se notó cuando se realizaron los primeros estudios experimentales y dio origen a la famosa “Fórmula de Manning”, definiéndose un nuevo coeficiente (llamado coeficiente de Manning y que se nota con la letra “n”) que verifica que 61 /kn En 1891 el francés Flaurent atribuyó (erróneamente) tal conclusión al irlandés Manning y escribió:

nRC

/ 61

; donde n es una constante que depende de la rugosidad

De esta manera se obtiene una correspondencia entre n y k. Se hicieron por lo tanto ensayos e investigaciones para establecer esa relación, en forma experimental Strickler estableció una de las primeras relaciones entre n y la granulometría del material de fondo, 610340 /d.n , siendo d el diámetro medio del material del fondo. Esta relación es válida para canales aluviales o con material de fondo con granulometría relativamente poco clasificada. Actualmente, no se aconseja la utilización de esta expresión salvo para los casos mencionados anteriormente. Se observa que en estos y otros experimentos realizados, hay una correspondencia entre la ecuación usada en Nikuradse, Manning y Strickler,



una basada en tuberías de diámetro pequeño y otra en canales de grandes dimensiones. Por lo tanto, la ecuación de Manning es muy aconsejable para flujo turbulento pleno (conocido también como totalmente desarrollado, rugoso, etc. Para flujos en transición, Manning no se ajustará bien a menos que se acepte que n varía con Re.



4. CASO FLUJO DIVIDIDO La ecuación de Manning tiene la base teórica comentada en el capítulo anterior, no obstante, un poco de historia acerca de la misma, muestra que en 1869 Gaugnielet y Kutter obtuvieron la primera expresión para el coeficiente de Chezy, pero la misma era muy complicada y cayó en desuso. Glaucker (1868) y Hogan (1881) de los datos de Gaugnielet y Kutter obtuvieron:

6hRC (proporcional)

Como ya fue citado en 1891 el francés Flaurent atribuyó la conclusión de Glaucker y Hogan al irlandés Manning y escribió:

nRC

/ 61

; donde n es una constante que depende de la rugosidad

(Observar que en el capítulo anterior se estudió la base teórica de estos resultados) Un análisis dimensional indica que no es totalmente correcto que n sea constante, ya que si )k(Re,fC , n lo debe ser también. La base teórica muestra que se puede aproximar n por una constante únicamente en los casos de flujos turbulentos plenamente desarrollados. Sustituyendo C en la ecuación de Chezy, se obtiene entonces la ecuación de Manning para flujo estacionario y uniforme:

210

321 //h SR

nv

Donde:

Rh = radio hidráulico So=pendiente del fondo del canal

Observaciones:

n no es adimensionado sino que tiene unidades, por lo tanto su valor dependerá del sistema de unidades que se use.

Las unidades de n son;

31 /LTn

El número de Manning (n) es a efectos prácticos una propiedad de la sección (tiene el mismo valor para cualquier tirante)



( n ) está relacionado con la rugosidad hidráulica del canal En el sistema métrico decimal (MKS), n varía entre 0.007 y 0.150 (ver

tabla de valores) dependiendo del tipo de material, recubrimiento, etc. Esta ecuación se la conoce como ecuación de Manning Tabla de valores de la constante n:

Material ( n ) Hormigón ( liso a muy rugoso )

0.012 – 0.018

Materiales plásticos tipo PVC, PEAD, Polipropileno 0.007 – 0.011 Canales de tierra (canales de tierra a revestidos con vegetación)

0.016 – 0.025

Canales naturales (recubiertos de césped a canales con cauces inundados)

0.022 – 0.150

Para la estimación de n, se debe profundizar sobre el cálculo del mismo en la bibliografía del curso, especialmente en lo que respecta a métodos para estimar su valor para distintos cursos de agua. Repasar especialmente el del SCS de los Estados Unidos. Para efectos prácticos de aplicación en ingeniería sanitaria, varias normas de cálculo aconsejan tomar como número de manning n = 0.013 para tuberías de hormigón prefabricadas para sanitaria o de material plástico tipo PVC, PEAD, Polipropileno, etc. Esto se basa en que la resistencia hidráulica al flujo de agua no solamente se da por la tubería (donde n puede ser menor) sino también por las juntas, uniones en cámaras, conexiones, etc. 4.1 COMENTARIOS GENERALES SOBRE LAS ECUACIONES

DE MANNING Y CHEZY. Para aplicar las formulaciones de flujo uniforme, además de las condiciones de flujo estacionario y uniforme, es necesario verificar simultáneamente:

a) Flujo turbulento : Re = 4. v . Rh x 10 6 2000 b) Flujo turbulento rugoso : Re* > 100 ( 60 para algunos autores )

Afortunadamente, estas condiciones se verifican para la gran mayoría de los flujos de aplicación práctica, ya sea en infraestructura sanitaria, hidráulica o hidrología, por lo que en condiciones normales no es necesario realizar estas dos verificaciones y asumimos ambas ecuaciones como válidas.



Como observación final, vale remarcar que estas formulaciones son válidas para flujos estacionarios y uniformes, por lo tanto, en general estas ecuaciones no son de aplicación para flujos no permanentes. No obstante, si las variaciones no son muy abruptas, estas ecuaciones se suelen aplicar para la cuantificación de la fricción instante e instante con un margen de error relativamente razonable tanto menor cuanto menor son las variaciones, aunque naturalmente su aplicabilidad dependerá de la importancia del problema.



5. CALCULO DEL FLUJO UNIFORME. 5.1 GENERALIDADES. Como se comentó anteriormente, la formulación que es de aplicación normal para resolver estos flujos es la conocida como ecuación de Manning. Esta ecuación relaciona la velocidad con un coeficiente que depende de la conducción (n), el radio hidráulico y la pendiente de la conducción. La dependencia no lineal de estos parámetros sumada a la propia definición del radio hidráulico redunda en que a veces aparecen dificultades de cálculo para determinar algún parámetro y la manera normal para resolver estas ecuaciones será la resolución numérica de las mismas donde los parámetros estarán determinados en forma implícita. Los métodos numéricos más utilizados para resolver estas ecuaciones son los métodos de bisección (hallar una solución en un intervalo), Newton (hallar una solución partiendo de un valor cercano) o iteración. Para el caso de conducciones en canales rectangulares, trapeciales o triangulares, estas dificultades de cálculo son relativamente simples de resolver, pero para el caso circular normalmente el cálculo es más engorroso y se llega a expresiones relativamente complejas. Para simplificar el cálculo en las conducciones circulares, se han desarrollado tablas numéricas que determinan diversos parámetros en función del diámetro de la conducción y la relación entre el tirante y el diámetro de la misma. Naturalmente el único fin de estas tablas es facilitar el cálculo, y se invita a los estudiantes a verificar las mismas, no usarlas y por lo tanto resolver el flujo uniforme sin usar estas tablas. Para resolver el flujo uniforme, se pueden utilizar desde calculadoras de mano programables hasta PC con planillas excel o cualquier lenguaje de programación, por ejemplo, Matlab, Visual Basic, Fortran, etc.



Ejemplos a resolver en clase: a) Canal rectangular Por un canal rectangular de hormigón lustrado y de ancho 0.20m circula un caudal Q = 0.03 m3/s (30 lt/s).

1. Calcular el tirante en los casos s = 0.5% y s =

2% 2. Calcular la tensión de fondo en ambos casos

b) Canal circular En una instalación sanitaria hay que instalar un colector circular de PVC para conducir un caudal Q que varía entre 2 y 20 l/s. Calcular el diámetro del colector que hay que instalar si la pendiente del mismo será de 1%. Calcular la tensión tractiva resultante para este caudal y verificar si se cumple la condición de autolimpieza siempre (Tensión tractiva >= 1.5 Pa). Los colectores normalmente están disponibles en diámetros de 100, 150, 200, 250, 300 y 400 mm. La capacidad máxima del colector, de acuerdo a las normas se calcula cuando el tirante es del 75% del diámetro. El número de Manning a adoptar es de 0.013 (limitado también por las normas)

5.2 TABLAS AUXILIARES PARA EL CALCULO DE COLECTORES CIRCULARES.

No obstante desaconsejar su uso con el fin de habituarse al cálculo preciso, a continuación se muestran las tablas de coeficientes generales para el cálculo de conducciones circulares.



y/d Ca Cp Cr Cb Cv Cq y/d Ca Cp Cr Cb Cv Cq0.01 0.00133 0.20033 0.00664 0.19900 0.03531 0.00005 0.51 0.40270 1.59080 0.25314 0.99980 0.40017 0.161150.02 0.00375 0.28379 0.01321 0.28000 0.05588 0.00021 0.52 0.41269 1.61081 0.25620 0.99920 0.40339 0.166480.03 0.00687 0.34816 0.01972 0.34117 0.07299 0.00050 0.53 0.42268 1.63083 0.25918 0.99820 0.40651 0.171820.04 0.01054 0.40271 0.02617 0.39192 0.08814 0.00093 0.54 0.43266 1.65088 0.26208 0.99679 0.40953 0.177190.05 0.01468 0.45103 0.03255 0.43589 0.10195 0.00150 0.55 0.44261 1.67096 0.26489 0.99499 0.41245 0.182560.06 0.01924 0.49493 0.03887 0.47497 0.11475 0.00221 0.56 0.45255 1.69108 0.26761 0.99277 0.41528 0.187930.07 0.02417 0.53553 0.04513 0.51029 0.12676 0.00306 0.57 0.46247 1.71126 0.27025 0.99015 0.41800 0.193310.08 0.02943 0.57351 0.05132 0.54259 0.13811 0.00407 0.58 0.47236 1.73149 0.27280 0.98712 0.42063 0.198690.09 0.03501 0.60938 0.05745 0.57236 0.14890 0.00521 0.59 0.48221 1.75178 0.27527 0.98367 0.42316 0.204050.1 0.04088 0.64350 0.06352 0.60000 0.15920 0.00651 0.6 0.49203 1.77215 0.27764 0.97980 0.42559 0.209400.11 0.04701 0.67613 0.06952 0.62578 0.16907 0.00795 0.61 0.50180 1.79261 0.27993 0.97550 0.42792 0.214730.12 0.05339 0.70748 0.07546 0.64992 0.17857 0.00953 0.62 0.51154 1.81316 0.28212 0.97077 0.43016 0.220040.13 0.06000 0.73772 0.08133 0.67261 0.18772 0.01126 0.63 0.52122 1.83382 0.28423 0.96561 0.43229 0.225320.14 0.06683 0.76699 0.08714 0.69397 0.19655 0.01314 0.64 0.53085 1.85459 0.28623 0.96000 0.43432 0.230560.15 0.07387 0.79540 0.09288 0.71414 0.20509 0.01515 0.65 0.54042 1.87549 0.28815 0.95394 0.43626 0.235760.16 0.08111 0.82303 0.09855 0.73321 0.21336 0.01731 0.66 0.54992 1.89652 0.28996 0.94742 0.43809 0.240920.17 0.08854 0.84998 0.10416 0.75126 0.22138 0.01960 0.67 0.55936 1.91771 0.29168 0.94043 0.43982 0.246020.18 0.09613 0.87630 0.10971 0.76837 0.22917 0.02203 0.68 0.56873 1.93906 0.29330 0.93295 0.44145 0.251060.19 0.10390 0.90205 0.11518 0.78460 0.23673 0.02460 0.69 0.57802 1.96059 0.29482 0.92499 0.44297 0.256040.2 0.11182 0.92729 0.12059 0.80000 0.24409 0.02729 0.7 0.58723 1.98231 0.29623 0.91652 0.44438 0.260950.21 0.11990 0.95207 0.12593 0.81462 0.25124 0.03012 0.71 0.59635 2.00424 0.29754 0.90752 0.44569 0.265790.22 0.12811 0.97641 0.13121 0.82849 0.25821 0.03308 0.72 0.60538 2.02639 0.29875 0.89800 0.44689 0.270540.23 0.13646 1.00036 0.13642 0.84166 0.26500 0.03616 0.73 0.61431 2.04879 0.29984 0.88792 0.44798 0.275200.24 0.14494 1.02394 0.14155 0.85417 0.27161 0.03937 0.74 0.62313 2.07145 0.30082 0.87727 0.44896 0.279760.25 0.15355 1.04720 0.14663 0.86602 0.27806 0.04270 0.75 0.63185 2.09439 0.30169 0.86603 0.44982 0.284220.26 0.16226 1.07014 0.15163 0.87727 0.28435 0.04614 0.76 0.64045 2.11765 0.30244 0.85417 0.45056 0.288560.27 0.17109 1.09280 0.15656 0.88792 0.29048 0.04970 0.77 0.64893 2.14123 0.30307 0.84167 0.45119 0.292790.28 0.18002 1.11520 0.16142 0.89800 0.29647 0.05337 0.78 0.65728 2.16518 0.30357 0.82849 0.45169 0.296890.29 0.18905 1.13735 0.16622 0.90752 0.30231 0.05715 0.79 0.66550 2.18952 0.30395 0.81462 0.45206 0.300850.3 0.19817 1.15928 0.17094 0.91651 0.30801 0.06104 0.8 0.67357 2.21430 0.30419 0.80000 0.45231 0.304660.31 0.20738 1.18100 0.17559 0.92499 0.31357 0.06503 0.81 0.68150 2.23954 0.30430 0.78460 0.45242 0.308320.32 0.21667 1.20253 0.18018 0.93295 0.31900 0.06912 0.82 0.68926 2.26529 0.30427 0.76838 0.45238 0.311810.33 0.22603 1.22388 0.18469 0.94042 0.32431 0.07330 0.83 0.69686 2.29161 0.30409 0.75127 0.45221 0.315130.34 0.23547 1.24507 0.18912 0.94742 0.32948 0.07758 0.84 0.70429 2.31856 0.30376 0.73321 0.45188 0.318250.35 0.24498 1.26610 0.19349 0.95394 0.33453 0.08195 0.85 0.71152 2.34619 0.30327 0.71414 0.45139 0.321170.36 0.25455 1.28700 0.19779 0.96000 0.33947 0.08641 0.86 0.71856 2.37460 0.30260 0.69398 0.45073 0.323880.37 0.26418 1.30777 0.20201 0.96561 0.34428 0.09095 0.87 0.72540 2.40387 0.30176 0.67261 0.44989 0.326350.38 0.27386 1.32843 0.20615 0.97077 0.34897 0.09557 0.88 0.73201 2.43411 0.30073 0.64992 0.44887 0.328580.39 0.28359 1.34898 0.21023 0.97550 0.35356 0.10027 0.89 0.73839 2.46546 0.29949 0.62578 0.44764 0.330530.4 0.29337 1.36944 0.21423 0.97980 0.35803 0.10503 0.9 0.74452 2.49809 0.29804 0.60000 0.44618 0.332190.41 0.30319 1.38981 0.21815 0.98367 0.36239 0.10987 0.91 0.75039 2.53221 0.29634 0.57236 0.44449 0.333540.42 0.31304 1.41010 0.22200 0.98712 0.36663 0.11477 0.92 0.75596 2.56808 0.29437 0.54259 0.44252 0.334520.43 0.32293 1.43033 0.22577 0.99015 0.37078 0.11973 0.93 0.76123 2.60606 0.29210 0.51030 0.44024 0.335120.44 0.33284 1.45051 0.22947 0.99277 0.37481 0.12475 0.94 0.76616 2.64666 0.28948 0.47497 0.43760 0.335270.45 0.34278 1.47063 0.23309 0.99499 0.37874 0.12983 0.95 0.77072 2.69056 0.28645 0.43589 0.43454 0.334910.46 0.35274 1.49071 0.23663 0.99679 0.38257 0.13495 0.96 0.77486 2.73888 0.28291 0.39192 0.43096 0.333930.47 0.36272 1.51076 0.24009 0.99820 0.38629 0.14011 0.97 0.77853 2.79343 0.27870 0.34118 0.42667 0.332180.48 0.37270 1.53078 0.24347 0.99920 0.38991 0.14532 0.98 0.78165 2.85780 0.27351 0.28000 0.42136 0.329360.49 0.38270 1.55079 0.24678 0.99980 0.39343 0.15057 0.99 0.78407 2.94126 0.26658 0.19900 0.41420 0.324760.5 0.39270 1.57080 0.25000 1.00000 0.39685 0.15584 1 0.785398 3.14159 0.25 0 0.39685 0.31169

A = Ca * D ^2 Rh = Cr * D V =1/n* Cv*D^(2/3)*so^(1/2) P = Cp * D B = Cb * D Q=1/n*Cq*D^(8/3)*So^(1/2)

Tabla de coeficientes geométricos, velocidad y caudal para tuberías circulares con n = 0.013



6. TENSION TRACTIVA : APLICACIÓN PARA AUTOLIMPIEZA.

La tensión tractiva (o tensión rasante o tensión de fondo) es la “fuerza cortante” (o sea en la dirección del movimiento, paralela a las paredes del canal) que se realiza en una superficie dividida el área de esa superficie. Por lo tanto, la tensión tractiva cuantifica la capacidad que tiene el flujo para mover (en la dirección del movimiento) partículas que se encuentran en las paredes del canal. A mayor tensión tractiva más capacidad de movimiento. Para la aplicación en ingeniería sanitaria en conducciones prefabricadas, se dice que un canal está en condiciones de autolimpieza cuando la tensión media supera la tensión crítica que inicia el movimiento de las partículas. Normalmente, las normas fijan este valor para colectores donde circulan efluentes domésticos en 1Pa o 1.5 Pa. Ejercicio:

Observar de que y como depende la tensión tractiva. En particular observar la variación si en un canal se varía la pendiente dejando fijos todos los demás parámetros.



7. ACERCA DE LAS CONDUCCIONES CIRCULARES.

7.1 PROPIEDADES DEL FLUJO EN CONDUCCIONES CIRCULARES.

Como se observó anteriormente, si en una conducción se deja fija la pendiente, al aumentar el tirante el radio hidráulico aumenta y por lo tanto también la velocidad y el caudal. No obstante, como las conducciones circulares son secciones “cerradas”, a partir de un cierto tirante estas relaciones se invierten. Afortunadamente, esta inversión se produce en tirantes “altos” (ver gráfico adjunto). Por ello es que existe una zona donde no hay una relación única entre caudal y tirante (existen dos tirantes para un caudal dado). Se observa en los gráficos adjuntos que esta zona se da para tirantes muy altos, siempre mayores que el 80% del diámetro. Por estas razones y algunas otras (como por ejemplo una correcta ventilación de la tubería, márgenes de seguridad, etc. ) es que las normas limitan para el cálculo la capacidad de las conducciones circulares como el 75% del tirante, donde todos los parámetros tienen un comportamiento “normal” y está claramente definida la relación entre caudal, tirante y demás parámetros. El gráfico siguiente muestra cualitativamente la variación de los parámetros al variar el tirante (relación y/D). Se observa que para valores menores a 0.75 de y/D, todos los parámetros varían de la misma manera que el tirante (si el tirante crece, todos los parámetros crecen) y que para tirantes mayores que el 81% del tirante, existen dos tirantes para conducir un caudal dado.



Gráfico Tipo para Radio Hidráulico, Velocidad y Caudal para tubería Circular en régimen uniforme

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Relación y/D

VelocidadCaudalRadio Hidráulico

7.2 EXPRESIONES PARA CALCULAR LA CAPACIDAD MAXIMA DE UNA TUBERIA CIRCULAR QUE ESCURRE POR GRAVEDAD.

Las normas de cálculo determinan que normalmente y para aplicaciones de ingeniería sanitaria, la capacidad máxima de una tubería debe calcularse cuando la relación entre el tirante y el diámetro es de 0.75 (75%). Para esa condición de flujo, se verifica la siguiente expresión: Q = 0.2842 / n * D^(8/3) * So^(1/2) Donde:

[Q]=m^3/s [D]=m

Para el caso normal con conducciones prefabricadas, el número de Manning a considerar es 0.013, por lo tanto la expresión resulta ser Q = 21.863 * D^(8/3) * So^(1/2) Donde nuevamente:

[Q]=m^3/s [D]=m



8. ALGUNAS CONDICIONES DEL FLUJO UNIFORME EN CONDUCCIONES POR GRAVEDAD (CON SUPERFICIE LIBRE).

Área

Al aumentar el tirante, el área aumenta siempre Perímetro Mojado

Al aumentar el tirante, el perímetro mojado aumenta siempre Radio Hidráulico

Al aumentar el tirante, aumentan el área y el perímetro mojado, por lo tanto, como el radio hidráulico se define como la relación entre el área y el perímetro mojado, no es claro a priori como varía el radio hidráulico con el tirante, dependiendo de que “tan rápido” varíen el área y el radio hidráulico con el tirante. No obstante, para las secciones abiertas (rectangulares, triangulares, trapeciales, etc) el área aumenta “más rápido” que el perímetro mojado por lo que el radio hidráulico aumenta con el tirante. Sin embargo, en las secciones “cerradas” como por ejemplo colectores circulares, esta relación entre el aumento del radio hidráulico con el tirante se invierte cuando el tirante está próximo al máximo.

Caudal

Al aumentar el caudal y mantener fijos los demás parámetros, el tirante aumenta.

Pendiente

Al mantener fijos los demás parámetros (incluido caudal) y variar la pendiente, el tirante decrece si la pendiente crece (cuanto más pendiente tiene el canal menos tirante). En este caso también aumenta la tensión de fondo y la velocidad. Observar que si bien el radio hidráulico disminuye esta disminución es menor que el aumento de pendiente (recordar expresión de cálculo de la tensión rasante)

Tensión rasante

Si el caudal varía y los demás parámetros están fijos, la tensión rasante aumenta. Si lo que varía es la pendiente, la tensión rasante aumenta si se aumenta la pendiente



9. SECCION HIDRAULICAMENTE OPTIMA Sección Hidráulicamente óptima: Es la sección que conduce un caudal dado con la mínima área necesaria. Probar que la sección hidráulicamente óptima es un círculo. Ver caso rectangular y trapezoidal.



10. RUGOSIDAD COMPUESTA. La rugosidad puede variar a lo largo del perímetro del canal, en estos casos a veces es conveniente al aplicar la formula de Manning, determinar un n equivalente única para todo el perímetro. 1.- Si podemos suponer que todos los elementos tienen la misma velocidad media que la velocidad media de la sección total:

de Manning Sn

Ru/

32

2323

232332

32

32

32/

ii/i/

ii/i/ii

/i

/

/

nPnPAAAAnP

PnAA

PnA

PnA

3223 //

i

PnPn

Fórmula de Horton y Einstein Banks

2.- Si la forma de la sección transversal es tal que no permite suponer lícitamente que la velocidad sea única como en el caso de canales aluvionales entonces la eqn se puede hallar haciendo la sumatoria de los caudales

n

/ii

/i

/

/

/i

/i

i/

/

i

PnAP

An

PA

nPA

n

QQ

132

3532

35

32

35

32

351

11

3.- Existen además otras fórmulas que se pueden usar para calcular el eqn y que dependen de la suposición hecha.

3.1 .- Si se supone que la fuerza cortante total es igual a la fuerza cortante en cada elemento:

312 /

iie P

nPn

nu.....uuu 21



3.2 .- Otros métodos son:

AAn

n ii

3223 //i

AnA

n

Los métodos en los que se usa el área son más convenientes para canales artificiales donde los ángulos se bisectan la subdivisión se compone por el perímetro del canal, superficie libre y los bisectores de ángulos.

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