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UNED. ELCHE. e-mail: [email protected] TUTORÍA DE ESTADÍSTICA II. DIPLOMADO EN CIENCIAS EMPRESARIALES http://telefonica.net/web/imm/

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CUESTIONES Y PROBLEMAS PROPUESTOS EN EXÁMENES TEMA 3: MODELOS DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO TEMA 4: MODELOS DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO

1. Definición y características de una variable aleatoria binomial. Ponga un ejemplo. Respuesta.- Se dice que una variable aleatoria X es de Bernoulli si sólo toma los valores 0 y 1, con probabilidades P(X=1) = p y P(X=0) = 1–p = q. Se tiene entonces que µ = E(X) = p y σ2 = Var(X) = pq. Se dice que una variable aleatoria X es binomial de parámetros (n,p) si existen n variables de Bernoulli X1, X2, …, Xn , independientes e idénticamente distribuidas (es decir

que P(Xi) = p, ∀i) tales que X = ∑=

n

1iiX . X toma los valores 0, 1, 2, 3, …., n y se tiene que

( ) xnxqpxn

xXP −

== , x = 0, 1, 2,.., n. Además µ = E(X) = ( )∑

=

n

1iiXE = np y σ2 = Var (X) =

= ( )∑=

n

1iiXVar = npq.

Por ejemplo, se sabe que el 30% de las personas de una determinada población son lectores de un periódico P. Elegimos 50 personas al azar. Entonces la variable X = “nº de personas que leen el periódico P” se distribuye de forma binomial B(50, 0,3).

Solución.- El número X de siniestros es una variable aleatoria binomial B(1000, 0,02). Puesto que

np = 1000·0,02 = 20 > 5 y p = 0,02 < 21 , la variable X es aproximadamente normal

( )98,0·20,20N = N(20; 4,28), luego: a) P[X < 2] = (corrección por continuidad) = P[X ≤ 1,5] = (tipificando) =

=

−≤

28,4205,1ZP = P[Z ≤ –4,18] ≅ 0.

b) P[X ≥ 1] = (corrección por continuidad) = P[X ≥ 0,5] = (tipificando) =

=

−≥

28,4205,0ZP = P[Z ≥ – 4,56] ≅ 1.

c) Según hemos visto en el apartado a, el valor esperado del número de siniestros (la media de la variable X) es de 20. Por tanto, con esos datos, se puede comprender de manera intuitiva que el hecho de tener solamente menos de dos siniestros es altamente improbable. Y, contrariamente, tener al menos un siniestro es prácticamente seguro.


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Solución.-

a) Se tiene que

=−

=+

6ab

52

ba, de donde se obtiene que a = 2 y b = 8. Luego la función

de densidad: f(x) =

≤≤

resto elen 0,

8x2 ,61

, y la de distribución F(x) =

≥

<≤−

<

8x,1

8x2,6

2x2 x,0

.

b) P[X < 5] = F(5) = 6

25− = 0,5.

c) P(X =7) = 0, por tratarse de una distribución continua.

d) Var (X) = ( ) 312

28 2

=−

4. ¿Qué relación existe entre la distribución Binomial y la de Bernoulli? Respuesta.-

La variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli B(1, p) si su función de

probabilidad es: P(X = x) =

=−=

=

xde valoresde resto el para ,00xsi,p1q

1xsi,p, siendo 0 < p < 1.

Una variable X sigue una distribución binomial B(n, p) si es suma de n variables de Bernoulli B(1, p) independientes. En ese caso la función de probabilidad es

P(X = x) =

=

−

xde valoresde resto el para ,0

n,...,2,1,0xsi,qpxn xnx


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Solución.- La variable X = “nº de hogares que realizan un pedido” es B(1000; 0,1) ≅ N(100, 90 ). Puesto que los valores significativos de X son enteros, haremos la correspondiente corrección por continuidad. Así pues:

a) P[X ≥ 400] = P[X ≥ 399,5] = P

≥90

5,299Z = P[Z ≥ 31,57] ≅ 0.

b) P[50 < X < 200]=P[50,5 ≤ X ≤ 199,5] = P

≤≤−

905,99Z

905,49 =P[–5,22 ≤ Z ≤ 10,49] ≅

1. c) E[X] = np = 100 d) En virtud del teorema de Moivre, si X es B(n, p), entonces, cuando n → ∞, la

variable npq

npX − tiende hacia una distribución N(0, 1).

Se considera buena aproximación cuando np > 5 y p≤ 1/2 o bien cuando nq > 5 y p > 1/2.

Solución.- En una muestra de n personas, sea X el número de las que han salido al extranjero,

variable aleatoria que se distribuirá como una binomial B(n; 0,7). Sea nXp̂ = la proporción

muestral. Entonces:

a) para n = 90, la proporción muestral 90Xp̂ = se distribuirá aproximadamente normal

90

3,0·7,0;7,0N ≅ N(0,7;0,0483)

Para n = 450, la proporción muestral 450Xp̂ = se distribuirá aproximadamente normal

450

3,0·7,0;7,0N ≅ N(0,7; 0,0216)


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b)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

c) Las gráficas de las funciones de densidad son sendas campanas de Gauss, cuya

ecuación es f(x) = ( )

2

2

2x

e2

1 σ

µ−−

πσ, cuyo máximo es el punto (µ, f(µ)) =

πσ

µ2

1, y cuyos

puntos de inflexión tienen por abscisas µ±σ

Para la variable 90X el máximo es el punto (0,7 , 8,2589) y las abscisas de los puntos de

inflexión 0,6517 y 0,74831

Para la variable 450X el máximo es el punto (0,7 , 18,467) y las abscisas de los puntos

de inflexión 0,6784 y 0,7216 7.- Explique cuales son las distribuciones asociadas a la normal y para que se utilizan. Respuesta.- Consideremos las variables aleatorias {X1, X2,…, Xn} independientes y normales

N(0, 1). Entonces la variable X = ∑=

n

1i

2iX se denomina χ2, con n grados de libertad.

Consideremos las variables aleatorias {Y, X1, X2,…, Xn} independientes y normales

N(0, 1). Entonces la variable

nX...XX

YXn21 +++

= se denomina t-Student con n grados de

libertad. Consideremos las variables aleatorias independientes U y V, ambas χ2, con n1 y n2

grados de libertad, respectivamente. Entonces la variable aleatoria

2

1

nVnU

X = se denomina F de

Snedecor con n1 y n2 grados de libertad. Tienen utilidad en los procesos de estimación pues son los modelos de distribución que siguen ciertos estimadores.


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Solución.- La variable X = Y1 + Y2 – Y3 es normal ( )1961691600,150125205N ++−+ = = N(180; 44,33). Luego: a) P[X<100] = (tipificando) = P[Z < –1,80] = (tablas) = 0,0359

b) P[X>200] = (tipificando) = P[Z > 0,45] = (tablas) = 0,3264

c) 0,9015 = P[X < x] = (tipificando) =

−<

33,44180xZP . De las tablas se obtiene que

29,133,44180x

=− , de donde x = 237,1857 ≅ 237 viajeros.

Solución.- La variable X = “número de artículos defectuosos de la muestra”, se distribuye de forma binomial B(1000; 0,05) que es aproximadamente normal N ( ) ( )6,892;50N5,47;50 ≅ . Luego:

a) P(X > 48) = (corrección por continuidad) = P(X ≥ 48,5) =

−

≥892,6

5,1ZP ≅

≅ P(Z ≥ −0,22) = (tablas) = 0,5871.


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b) P(35 ≤ X ≤ 65) = (corrección por continuidad) = P(34,5 ≤ X ≤ 65,5) =

= ≅

≤≤−

892,65,15Z

892,65,15P P(–2,25 ≤ Z ≤ 2,25) = (tablas) = 0,9756.

Solución.- a) Al ser las desviaciones típicas iguales, presenta menor coeficiente de variación la variable cuya media es mayor, esto es, la Y. Dado que las variables son independientes, su covarianza es cero. b) E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 4 + 6 = 10 millones de euros. c) Var (X+Y) = (por ser independientes) = Var(X) + Var(Y) = 0,022 + 0,022 = 0,0008, de donde la desviación típica de X+Y será 0,02830008,0 ≅ millones de euros. d) DT(X+Y) = )Y,X(Cov2)Y(Var)X(Var)YX(Var ++=+

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