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UNED. ELCHE. e-mail: [email protected] TUTORA DE ESTADSTICA II. DIPLOMADO EN CIENCIAS EMPRESARIALES http://telefonica.net/web/imm/

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CUESTIONES Y PROBLEMAS PROPUESTOS EN EXMENES TEMA 1: VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES.

TEMA 2: CARACTERSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS 1. Cundo podemos decir que una variable aleatoria es discreta? y continua?, ponga

un ejemplo. Respuesta.- Una variable aleatoria X es discreta si su funcin de distribucin F(x) es escalonada, es

decir, es constante salvo en un nmero finito o infinito numerable de puntos de discontinuidad

x1 < x2 < x3 < .xn < .. de forma que si xn x < xn+1, entonces F(x) = =

=n

1ii )xX(P .

Ejemplo: si X es la puntuacin obtenida al lanzar un dado equilibrado, su funcin de distribucin, representada en la figura adjunta, verifica, por ejemplo: F(3) = P(X 3) = P(X = 1) + P(X = 2)+

+ P(X = 3) = 63

F(4,5) = P(X 4,5) = P(X = 1) + P(X = 2)+

+ P(X = 3) + P(X=4) = 64

F(0,2) = 0. Etc. Una variable aleatoria X es continua si

existe una funcin no negativa f tal que 1dx)x(f =

, para la que se cumple que la funcin de

distribucin F(x) = x

dt)t(f . La funcin f se llama funcin de densidad.

Ejemplo.- Sea X el tiempo en minutos entre dos repeticiones consecutivas de cierto fenmeno cuyo periodo de repeticin oscila entre 5 y 15 minutos, siendo la funcin de

densidad f(x) = 101 , para 5 x 15. Entonces, por ejemplo: F(7) = P(X 7) =

= 2,0102dx

101dx

101 7

5

7

=== ; F(12) = 7,0107dx

10112

5== , etc.

2. Por qu es interesante calcular la esperanza y la varianza de una variable aleatoria?. Respuesta.- La esperanza y la varianza son las principales medidas de posicin y de dispersin, respectivamente. En muchos casos, por ejemplo, si la variable aleatoria es normal, la esperanza y la desviacin tpica (raz cuadrada de la varianza) caracterizan por completo la distribucin de la variable. Otro uso interesante para la esperanza y la varianza es que, mediante la desigualdad de Chebychev podemos acotar la probabilidad de que la variable aleatoria se aleje ms o menos de su media (esperanza).

3. En el clculo de probabilidades de una variable discreta y continua existen diferencias? Razone la respuesta. Respuesta.-

Para una variable discreta X = {xi, i=1, 2, 3, }, existe una funcin de probabilidad


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P[X = xi], cumplindose que [ ]

=i

ixXP = 1. La funcin de distribucin F(x) = P[X x] =

= [ ]

=xx

i

i

xXP .

Para una variable continua X existe una funcin de densidad f tal que la funcin de

distribucin F(x) = P[X x] = x

dx)x(f

4. El Teorema de Chebychev, explique su significado. Respuesta.- Si X es una variable aleatoria, tal que E(X) = y Var(X) = 2, entonces, k>0 se

cumple que P[X k] 22

k . Significa que la probabilidad de que un valor de la variable

se aleje de la media de la poblacin una distancia superior a k, est acotada por el cociente 22

k ,

es decir, es menor cuanto menor sea la varianza o cuanto mayor sea el cuadrado de k. 5.- Por qu es interesante calcular el coeficiente de variacin?. Explique la respuesta. Respuesta.-

El coeficiente de variacin CV = , calculado en poblaciones donde la variable toma

valores positivos, tiene un doble inters: - Por una parte si CV 1, entonces se considera que la dispersin es grande y, por tanto, la media de la poblacin no se considera representativa. - Por otra parte, sirve para comparar las dispersiones de variables X e Y en poblaciones diferentes, ya que se trata de una medida de dispersin relativa.

6 . Explique para que sirven los momentos de una variable aleatoria. Respuesta.-

Permiten cuantificar medidas de dispersin y de forma para comparar distribuciones 7.- Cundo podemos decir que una distribucin de probabilidad es de tipo continuo? Ponga un ejemplo. (Enero 2010) Respuesta.- La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria X es de tipo continuo si existe

una funcin no negativa f tal que 1dx)x(f =

, para la cual se cumple que la funcin de

distribucin F(x) = x

dt)t(f . La funcin f se llama funcin de densidad.

Ejemplo.- Sea X el tiempo en minutos entre dos repeticiones consecutivas de cierto fenmeno cuyo periodo de repeticin oscila entre 5 y 15 minutos, siendo la funcin de

densidad f(x) = 101 , para 5 x 15. Entonces, por ejemplo: F(7) = P(X 7) =

= 2,0102dx

101dx

101 7

5

7

=== ; F(12) = 7,0107dx

10112

5== , etc.

8. Defina y explique el concepto de valor esperado de una variable aleatoria. (Feb. 2010)


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Respuesta.- Sea X = {xi, iI} una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad P(X = xi) = pi. Se define el valor esperado de X:

E(X) = Ii

iipx

si Ii

iipx es absolutamente convergente, es decir si Ii

ii px < +.

Si X es una variable aleatoria continua con funcin de densidad f(x), se define el valor esperado:

E(X) = +

dx)x(xf

si la integral es absolutamente convergente, es decir si +

dx)x(fx < +.

(Septiembre 2010) Respuesta.- Sea P la funcin de probabilidad definida para los sucesos de un determinado experimento aleatorio, siendo E su espacio muestral. Sea X: E una aplicacin que a cada suceso elemental le haga corresponder un nmero real y representemos por [X a] el suceso {xE/X(x) a}. Diremos que X es una variable aleatoria si existe la probabilidad P[Xx] para todo nmero real x. La funcin F(x) = P [X x] se denomina funcin de distribucin. Por ejemplo, se lanzan dos monedas equilibradas y definimos X como la variable aleatoria nmero de caras. entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2 y se cumple que:

F(x) = P[Xx] =


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PROBLEMAS.-

Solucin.- a) Debe cumplirse que 0,25 + K + 0,2 + 0,1 = 1 K = 0,45 b) Teniendo en cuenta que la funcin de distribucin F(x) =

= P[xi x], tendremos:


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Solucin.- a) Debe cumplirse que 1= ( )

+y,x

yxK = K[(1+1)+(1+2)+(2+1)+(2+2)+(3+1)+(3+2)]=

= 21K, luego K = 211 .

b) Y

X 1 2 Pi = P[X=x]

1 212

213

215

2 213

214

217

3 214

215

219

Pj = P[Y=y] 219

2112

Las funciones de probabilidad marginales seran:

Pi = P[X=x] = [ ] ( ) ( ) ( )[ ] 213x22x1x

211yx

211yY,xXP

yy

+=+++=+===

Pj = P[Y=y] = [ ] ( ) ( ) ( )[ ] 216y3)y3(y2y1

211yx

211yY,xXP

xx

+=+++++=+===

c) Las funciones de probabilidad condicionadas: X P[X=x/Y=1] P[X=x/Y=2]

1

92

123

P[X=x/Y=y] = [ ][ ]( )

( ) 6y3yx

6y3211

yx211

yYPyY,xXP

++

=+

+=

===

2 93

124

3

94

125


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Y 1 2

P[X=1/Y=y] 52

53

P[Y=y/X=x] = [ ][ ]( )

( ) 3x2yx

3x2211

yx211

xXPyY,xXP

++

=+

+=

===

P[X=2/Y=y] 73

74

P[X=x/Y=y]

94

95

Solucin.- a) Puesto que las desviaciones tpicas son iguales, presentar menor coeficiente de variacin la variable Y, por tener mayor media. Tenemos:

CVX = 005,0201,0

= ; CVY = 0025,0401,0

=

b) E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2 + 4 = 6 millones de euros. c) Como X e Y son independientes, Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 0,012 +0,012 = = 20,012 DT(X+Y) = = 201,001,02 2 0,0141. Si X e Y no fuesen independientes se cumplira que:

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2COV(X,Y)


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(Septiembre 2010) Solucin.- a) Al ser las desviaciones tpicas iguales, presenta menor coeficiente de variacin la variable cuya media es mayor, esto es, la Y. Dado que las variables son independientes, su covarianza es cero. b) E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 4 + 6 = 10 millones de euros. c) Var (X+Y) = (por ser independientes) = Var(X) + Var(Y) = 0,022 + 0,022 = 0,0008, de donde la desviacin tpica de X+Y ser 0,02830008,0 millones de euros. d) DT(X+Y) = )Y,X(Cov2)Y(Var)X(Var)YX(Var ++=+

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