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Temas fundamentales de. concreto presforzado ·

1 • • • Dr. lng. Felipe de Jesús Orozco Zepeda . .

Temas fundamentales de concreto presf orzado Dr. Ing. Felipe de Jesús Orozco Zepeda

Revisión Técnica*:

Dr. Francisco S.Y eomans Reyna M.S. Ing. Carlos Nungaray Pérez M.S. Ing. Luis José Orta Cortéz M.S. Ing. Raúl Treviño Alonzo M.S. Ing. Delma V. Almada Navarro

Producción editorial : Ing. Raúl Huerta Martínez

Todos los derechÓs reservados incluyendo los derechos de reproducción y uso de cualesquier forma o medio, incluyendo el fotocopiado por cualquier proceso fotográfico, o por medio de dispositivo mecánico o electrónico, de impresión, escrito u oral, o grabación para reproducción audio o visual, o para el uso en cualquier sistema o dispositivo de almacenamiento y recuperación de la información, a menos que exista permiso escrito obtenido de los propietarios de los derechos de autor.

La presentación y disposición en conjunto de Temas fundamentales de concreto pre�forzado son propiedad del editor. Ninguna parte de está obra puede ser reproducida o transmitida, por algun sistema o método, electrón ico o mecán ico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de . información), sin coqsentimiento por escrito del editor.

*La revisión del texto de esta obra solamente fue con el próposito de actualizarlo de acuerdo con el ACI 318 02 y se respeto la redacción original.

Derechos reservados:

© ioo6.Instituto Mexi.cano del Cemento y del Concreto, A. C . . Av. insurgentes Sur 1 846, Col. Florida, México, D. F., C.P. 0 1 030 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1 052

Primera edición: 2005 Impreso en México

ISBN 968-464-144-3

Reconocimiento

El Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto, A.C., otorga el presente reconocimiento al Dr. lng. Felipe de Jesús Orozco Zepeda por su participación en el premio IMCYC "Po poi Vuh 2002", cuyo objeto es promover la publicación de libros inéditos para el diseño y la aplicación con concreto, para coadyuvar la adecuada preparación de los futuros profesionales de la construcción, así como enaltecer a los personajes que en nuestro tiempo transforman el conocimiento y la mística del concreto en libros que enriquecen la formación de las generaciones venideras y mantienen viva la cultura del concreto.

El jurado del certamen decidió que el texto titulado Temas fundamentales del concreto presforzado desde el punto de vista técnico, es una obra bien lograda que incluye los conceptos fundamentales para el cálculo y diseño estructural de elementos lineales de concreto presforzado, trata en forma amplia el diseño por flexión con esfuerzos de trabajo y resistencia última, pérdidas de presfuerzo, resistencia a fuerza cortante, diseño de los bloques extremos y deflexiones.

Desde una perspectiva pedagógica, es un libro completo, didáctico, bien presentado que describe con sencillez los principios y conceptos relacionados con el concreto presforzado, acompañados de ejercicios resueltos y problemas con un adecuado nivel de profundidad. Tiene el potencial para convertirse en un excelente libro de texto para el estudio del concreto presforzado.

Con un enfoque en la práctica profesional, la obra aporta un valioso material de consulta en español para los profesionales de la construcción y su publicación ofrecerá apoyo importante a la difusión de las técnicas del concreto presforzado.

Tomando en consideración lo anterior, el jurado decidió otorgar al documento del Dr. lng. Felipe de Jesús Orozco Zepeda el primer lugar del Premio Popal Vuh 2002.

Ing. José Lozano Ruy Sánchez Director General IMCYC

, PROLOGO

La meta principal de las técnicas y ciencias de la construcción es abatir costos para que los beúeficios de la ingeniería civil estén al alcance de todos: El desarrollo del concreto reforzado representa un gran adelanto en esta línea, pues aunque el concreto es un material relativamente barato necesita de la ayuda del acero, en menores cantidades comparadas con los perfiles de acero que se ocuparían normalmente.

S in embargo, en los casos de grandes claros y cargas fuertes el concreto reforzado pierde sus ventajas económicas, por la gran rigidez a la flexión que necesita y por la mayor cantidad de acero que requerirá. En estos casos, presforzar el concreto resulta viable y competitivo desde el punto de vista económico, pues la fuerza de presfuerzo posibi l ita 1�e

. <lucir s ignificativamente el peralte de vigas y losas sin perder rigidez p_or los agrietamientos que causaría el concreto reforzado.

Nuevamente, por la mejor caÜdad de los aceros usados en el concreto pr�sforzado, la cantidad de acero vuelve a ser mínima, comparativamente, logrando ahorros substanciales. Por otro lado, una de las técnicas que más han contribuido al abatimiento de los costos en la construcción es.la prefabricación de elementos de concreto (vigas, columnas, losas, p ilotes, elementos de fachada, muros de corte, entre otros).

El manejo de estos elementos, debe ser muy cuidadoso para evitar los agrietamientos, ayuda enormemente el precomprimirlos presforzándolos, pues de esa manera se le induce al concreto capacidad de resistir esfuerzos de tensión y por lo tan�o no se agrietará bajo las cargas de manejo.

Uno de los factores que han influido en el poco uso de la técnica del concreto presforzado en la construcción,, en México, es que su conocimiento no está debidamente difundido. Esto se debe en gran parte a que no es una discip l ina que esté contenida en los planes de estudio de la Carrera de Ingeniería Civil de la mayoría de las instituciones de edticación superior.

Otro factor, quizá en menor grado, es la falta de textos en español que orientados específicamente a un curso básico de la materia. Por tanto, el objetivo principal de esta obra, que más bien resulta una guía para un curso elemental de la materia, es ayudar a d ifundir, aquí en nuestro país, el conocimiento de la técnica del concreto presforzado, que puede ser de enorme utilidad en �pocas de crisis económicas para la industria de la construcción.

Además, se pretende presentar la teoría fundamental en forma sencilla, de tal manera que represente una ayuda didáctica para el estudiante y lo motive a su aprendizaje.

Se hace énfasis en el aprovechamiento de las computadoras en este campo, y en especial en esta discip l ina de la que solía decirse que el concreto reforzado era a la ingeniería lo que la contabilidad a la administración: muchos cálculos numéricos. Esperamos pues, que esta pequeña obra s irva a los -estudiantes a tomarle el gusto y sabor a la materia, cuyos principios y conceptos son en extremo sencillos, pero que si son mal expuestos y enseñados causan frustración y desánimo entre ellos.

RECONOCIMIENTOS

En el proceso de escribir un l ibro de texto para una disciplina, empieza el autor poniendo en orden sus notas, que serán el guión de lo que quiere escribir. Obviamente, esas notas son el resultado, primeramente, de otras notas que el autor tomó cuando él mismo fue estudiante de la materia y redondeó basándose en l ibros de texto recomendados por el profesor del curso.

Las notas que se preparan, no ya para asimilar mejor la asignatura, sino para transmitir los conocimientos a otras personas. Éstas resultan más elaboradas, puesto que no es lo mismo tomar notas para uno mismo que preparar las notas para enseñar a los demás. En éstas el conocimiento ya se ha "digerido", por decirlo de alguna manera, para presentarlo en una forma más clara y asequible a los iniciados en la materia.

En el proceso de preparar estas últimas notas, el autor se apoya en l ibros, publicaciones especial izadas y en los reportes de investigación que existen acerca de los temas que conforman la disciplina.

Son muchas las personas a quienes debo mostrar reconocimiento por esta modesta obra. A todas aquel las que fueron mis profesores de la materia a lo largo de mis estudios de posgrado. A todos aquellos autores de libros, artículos y reportes de investigación, acerca de la materia, que se han tomado la molestia de escribir sus reflexiones y experiencias con el afán de transmitir el conocimiento y sus beneficios a las nuevas generaciones, el conocimiento es un patrimonio de la humanidad y debemos compartirlo con ella. No quiero dejar de reconocer también a quienes aunque no intervinieron directamente como mis profesores de la materia, su actitud y ejemplo me dieron el coraje que se necesita para emprender esta obra. Especial reconocimiento para el Ing. Jorge Santoyo Cázares (t) a quien debo el gusto por la Física, las Matemáticas y la Ingeniería Civil; al Ing. Martíl}López Gudiño por sus clases que me despertaron el interés por la Ingeniería Estructural, y al Dr. William C. McCartlÍy que me contagió su entusiasmo para llevar a feliz término mis estudios doctorales.

Finalmente, para escribir un l ibro se necesita, entre otras cosas, una sin la cual su escritura no sería posible: tiempo. /

Un tiempo que muchas veces, el autor, tiene que tomárselo del que pertenece a otras personas entre las cuales están sus propios familiares. Quiero expresar un especial agradecimiento a mi esposa Miriam Lorena, a mis hijos Luis Fel ipe, Luis Alberto y Alejandro; por mostrarse generosos y cederme parte de su tiempo para emprender esta obra. También quisiera mostrar mi reconocimiento a todas aquellas personas generosas que me han ofrecido su amistad, pues estoy seguro que también me han cedido algo de aquel tiempo necesario para cultivarla.

Contenido

l. CONCEPTOS BÁSICOS

1.1 INTRODUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 LA IDEA DEL PRESFUERZO: SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS .... ; . . . . . . . · . 1 1.3 CARGAEQUIV ALENTE: OTRA PRESENTACIÓN DE LA IDEA DEL PRESFUERZO . . 3 1.4 COMPORTAMIENTO A LA FLEXIÓN BAJO SOBRECARGAS . . . . · . . · . . . . . . . . . 5 1.5 EL PRESFORZADO PARCIAL . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 MÉTODOS PARA PRESFORZAR EL CONCRETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 CAMBIOS EN LA FUERZA DE PRESFUERZO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 CARGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . 11 -

2. MATERIALES

2.1 INTRODUC9IÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . 13 2.2 EL ACERO DE PRESFUERZO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Tipos de acero de presfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Propiedades mecánicas del acero de presfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Acero no presforzado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 EL CONCRETO ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

·. . . . . . . . . . 17

2.3.1 Comportamiento del concreto bajo compresión uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Comportamiento del concreto bajo tensión uniaxial . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 Comportamiento del concreto bajo esfuerzos biaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 20

3. ANÁLISIS POR FLEXIÓN

3.1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 , 3.2 NOTACIÓN Y CONVENCiÓN DE SIGNOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 CONSIDERACIÓN DE LA PÉRDIDA DE PRESFUERZO EN EL ANÁLISIS . . .. . . . . 22 3.4 DETREMINACIÓN DE LOS ESFUERZOS ELASTICOS EN SECCIONES DE

CONCRETO NO AGRIETADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . : .·

· . . . . . . . . . · . . � � . 22

3.4.1 Determinación de las propiedades de la sección de concreto .. 3.4.2 Ejemplo: Determinación de los esfuerzos elásticos desarrollados en el concreto .

. .

3.4.3 Propiedades a considerar de acuerdo al ACI 3 18-02. . . 3.5 CARGA DE AGRIETAMIENTO ..................... .

. .. 2 4 . . 2 6.

. .. ,2 9 . ... 2 9

3.5. lEjemplo: Determinación de la carga de agrietamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3.6 DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS ELÁSTICOS EN EL ACERO DE

PRESFUERZO PARA VIGAS CON SECCIONES NO AGRIETADAS. . . . . . . . . . . . 3 2 3.6.1 Ejemplo : Determinar los esfuerzos en el acero de presfuerzo para el ejemplo presentado en

3.4.2 y 3.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3.7 ESFUERZOS PERMISIBLES EN EL CONCRETO Y EN EL ACERO DE PRESFUERZO . 3 4 3.7.1 Ejemplo : Revisión de esfuerzos desarrollados versus permisibles ............... 3 6 3.8 CAPACIDAD ÚLTIMA A LA FLEXIÓN DE VIGAS DE CONCRETO PRESFORZADO . 3 7 3.8.1 La Teoría de Resistencia del Bloque Rectangular de Esfuerzos ..... . 3.8.2 Determinación de/ps por compatibilidad de deformacion�s ......... . 3.8.3 Determinación defps por ecuaciones (empíricas) propuestas por el ACI .. 3.8.4 Determinación de la resistencia a flexión de vigas de sección rectangular 3.8.5 Determinación de la resistencia a la flexión de vigas T .... . 3.8.6 Límites del refuerzo (presforzado y no presforzado) a flexión .. . 3.8.7 Revisión por resistencia a la flexión ................. . 3.8.8 Ejemplo : Revisión por flexión de una viga de sección rectangular . 3.8.9 Ejemplo : Revisión por flexión de una viga de sección T

PROBLEMAS ........................ .

4. DISEÑO POR FLEXIÓN

4.1 INTRODUCCIÓN ..... 4.2 DISEÑO BASADO EN ESFUERZOS PERMISIBLES . . 4.2.1 Diseño de la sección óptima de concreto. . . . . . . . . . . 4.2.2 Diseño de la fuerza de presfuerzo y su excentricidad para la sección óptima . 4.2.3 Ejemplo : Diseño de una sección óptima . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.4 Diseño de secciones de concreto excedidas ............. . 4.2.5 Ejemplo: Diseño del acero de presfuerzo y su perfil para una viga

que tiene su · sección excedida . . . . . . . . . . . . · 4.2.6 Diseño a flexión con base en el presforzado parcial . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.7 Diseño por balance de cargas .................... . 4.3 LONGITUD DE TRANSFERENCIA Y LONGITUD DE DESARROLLO . 4.4 DISEÑO DE LAS ZONAS DE ANCLAJE . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Diseño de la zona de anclaje para pretensado (Método del PCA) . . . 4.4.2 Diseño de la zona de anclaje para postensado (Método del equilibrio)

. 3 7 . ..... 3 8

. 4 1 .. 4 2 .. 4 3

. 4 5 ... 4 6

. 4 6 51

... 5 5

. . 5 9 ... 60

.... 60 . 62

. ... 63 . .. 69

... 71 ...... 79

... 8 0 . ... 8 0

. .. 8 1 .... 8 1

. ..... 8 3

4 .4 .2 .1 Ejemplo : Diseño de la zona de anclaje para una viga postensada . . . . . . . . . . . . . . 8 7 PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

5. ANÁLISIS Y DISEÑO POR CORTE

5 .1 INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7 5 .2 CONTRIBUCIÓN DEL CONCRETO A RESISTIR LA FUERZA CORTANTE . . 5 .3 CONTRIBUCIÓN DEL REFUERZO A RESISTIR LA FUERZA CORTANTE .. 5 .4 DISEÑO DEL REFUERZO AL CORTE SEGÚN EL ACI 5 .5 EJEMPLOS ...................... . 5 .5 .l Ejemplo: Diseño al corte de una viga postensada .. . 5 .5 .2 Ejemplo : Diseño al corte de una viga pretensada ..... . PROBLEMAS. . . . . . � . . . . . . . . . . . . . . . . . ·\ 6.,PÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFUERZO

·6.1 INTRODUCCIÓN ........... . 6.2 PÉRDIDAS INSTANTÁNEAS ..... . 6.2 .1 Pérdidas por fricción . . . . . . . . . . 6.2 .2 Pérdidas por deslizamiento de cuñas de anclaje . 6.2 .3 Pérdidas de esfuerzo por acortamiento elástico del concreto . 6.2 .4 Pérdidas por relajamiento del acero (en pretensado) . . 6.3 PÉRDIDAS DIFERIDAS . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 .1 Pérdidas por flujo plástico del concreto. . . . . . . . . . . . . . . 6.3 .2 Pérdidªª-_por retracción del concreto 6.3 .3 Pérdidas por relajamiento del acero. 6.4 EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . 6.4 .1 Revisión de una viga pretensada calculando pérdidas . . . . 6.4 .2 Revisión de una viga postensada calculando pérdidas . . . PROBLEMAS .......................... .

7. DEFLEXIONES DE VIGAS

7.1 INTRODUCCIÓN ..... .

; . . . · . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . \ . . . 100 103 106 109 109 115 12 0

12 3 12 3 12 3 12 5 13 0 13 2 13 4 13 4 13 6 13 7 13 7 13 7 14 4 15 1

15 3 7.2 DEFLEXIONES INMEDIATAS DE VIGAS NO AGRIETADAS (vigas clase U) . 15 3 7.2 .1 Deflexiones producidas por el presfuerzo. · . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . 15 3 7.2 .2 Deflexiones producidas por las cargas . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . . . 15 4-7.3 DEFLEXIONES A LARGO PLAZO DE VIGAS NO AGRIETADAS (vigas clase U). 15 5 7.3 .1 Deflexiones a largo plazo usando Cu y una fuerza promedio de presfuerzo . . . . . . . . . 15 6 7.4 DEFLEXIONES INMEDIATAS DE VIGAS AGRIETADAS (vigas clase C y T) . . . . � . 15 7 7.4 .1 Momento de inercia de secciones agrietadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 8

7.5 OEFLEXIONES A LARGO PLAZO DE VIGAS AGRIETADAS .............. 160 7.6 DEFLEXIONES PERMISIBLES .......................... · ...... 160 7.7 EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · ......... · ... � .... 160 7. 7.1 Cálculo de deflexiones para una viga no agrietada . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 160 7.7.2 Cálculo de deflexiones para una viga agrietada ........................ 162

PROBLEMAS ............................................ 167

BIBLIOGRAFÍA ..................................... · .... . 169

APÉNDICE A ........................................... 17 1

A.1 Tabla A l. Relaciones claro/peralte recomendadas ....................... 17 1 A.2 Tabla A 2. Información sobre el acero de presfuerzo y duetos para postensado ........ 17 1 A.3-A.1 O Tablas A 3-Al O. Propiedades para secciones diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 A.11 Tabla Al l. Coeficientes para estimar combeos y deflexiones a largo plazo ......... 186

APÉNDICE B ........................................... 187

B.1 PROGRAMA COMPUTACIONAL (Q -basic) PARA CALCULAR $Mn DE UNA VIGAj DE CONCRETO PRESFORZADO ..................... 187

B.2 PROGRAMA PARA DISEÑAR LA COMBINACIÓN MÁS ECONÓMICA DE P¡ y e PARA VIGAS DE CONCRETO PRESFORZADO POR ESFUERZOS PERMISIBLES Y USANDO EL DIAGRAMA DE MAGNEL ................ 191

B.3 DERIVACIÓN DE LA FÓRMULA PARA DETERMINAR EL ESFUERZO CORTANTE DESARROLLADO EN UNA SECCIÓN DE CONCRETO AGRI�TADO .. 193

B.4 DERIVACIÓN DE LA FÓRMULA PARA DETERMINAR Vc1 • • • • • • • • • • • • • • • 195 B.5 DERIV ÁCIÓN DE LA FÓRMULA PARA DETERMINAR Vs PARA

· ESTRIBOS INCLINADOS ................................... 197 B.6 DERIVACIÓN DE LA FÓRMULA PARA DETERMINAR LA PÉRDIDA POR

FRICCIÓN EN-CONCRETO POSTENSADO . . . . . . . . . . · ............... 199

APÉNDICE C: VIGAS PARA PUENTES VEHICULARES .................. 183

C.1 INTRODUCCIÓN ....................................... 203 C.2 TIPOS DE PUENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 C.3 CARGAS DE TRÁFICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . � . . . . . . . . . . . . . . . 203 C.4 ANÁLISIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 C.5 DISEÑO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 C.6 REVISIÓN .

.

.......................................... 215 C.7 EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · ........ � ...... · ......... 218 C.8 ANEXO 1: DESARROLLO DEL EJEMPLO EN HOJA ELECTRÓNICA DE CALCULO . 236 C.9 ANEXO 2: PROPIEDADES DE VIGAS TIPO AASHTO .................. 237

\

o 1mcyc

. Capítulo 1

Conceptos Básicos

1.1 Introducción Se puede definir al presfuerzo como un precargado del elemento estructural antes de que soporte las cargas propias de su

función con el objeto de mejorar su comportamiento. Este comportamiento se puede mejorar en cuanto a rigidez o resistencia se refiere.

Bajo el aspecto de rigidez, la idea del presfuerzo se puede aplicar para diferentes materiales estructurales. Así tenemos el ejemplo de las contraflechas ( camber) inducidas en vigas de acero, con base en el presfuerzo, con el objetivo de reducir las deflexiones verticales causadas por las cargas de servicio (criterio de serv iciabilidad).

En la perspectiva de resistencia, la idea del presfuerzo se apl ica a aquel los materiales como el concreto con una resistencia a la tensión muy baja. El concepto es muy sencillo: con el precargado se inducen en el concreto esfuerzos de compresión con la finalidad de coml?ensar los esfuerzos de tensión desarrollados por las cargas propias de la función del elemento estructural, además de su peso propio. De esa manera dicho elemento estructural se comportará como si resistiera esfuerzos de tensión.

1.2 La idea del presfuerzo: superposición de esfuerzos '

La manera usual de precargar el elemento estructural es aplicándole una fuerza de compresión en su sección. A esa fuerza se le llama fuerza de pres fuerzo y, a grosso modo, es producida estirando acero (de pres fuerzo) dentro de su rango elástico que al tratar de regresar a su longitud original comp�ime al concreto. La Figura 1 . 1 ilustra este concepto.

Barra roscada o (Tuerca o cuña cable

� ·-·-·-·-·-

·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·

.

·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-· ·-·-

Tue2i Fig. 1 . 1 Inducción a la fuerza de presfuerzo

Concreto Presforzado

o 1mcyc

CASO A:

-P/A

(-) +

-P/A

.. (b)

CASO B:

-P/A

(-) + -P/A

(h)

Fig. 1.2 Idea del presfuerzo: esfuerzos combinados

2

Q

(a)

(e)

Q

(e)

11 Q

(g)

-Pe/S2

(i)

o

-M/S1

+

(d)

-·B---t�:

S=l/C

(f)

o

-2P/A

Ü)

+

Capitulo 1

-M/S 1

(k)

Concn:to Pn:sforzado

�) 1mcyc Conceptos Básicos

La fuerza de presfuerzo comprime el concreto de tal manera que se pueden evitar los posibles agrietamientos. Esto hace posible que los principios de la Mecánica Elástica sean válidos y et problema se reduce a uno de esfuerzos combinados de co�npresión y flexión, es decir: flexocompresión. El principio de superposición también es aplicable y el problema se puede manejar superponiendo los diagramas de esfuerzos tal como se ilustra en la Figura 1 .2.

En el caso A el precargado se efectúa ·aplicando la fuerza de presfuerzo en el centroide de la sección de concreto. De esta manera, la capacidad que se le induce al concreto de soportar esfuerzos de tensión será Igual al esfuerzo de compresión que resulta de la carga axial de presfuerzo, es decir: P/A (ver Figura l .2(a) a l .2(d)). La desventaja, en este caso, es que el esfuerzo de compresión en la fibra superior se duplica y pude resultar crítico para el concreto.

Resulta más ventajoso si a la fuerza de presfuerzo se le da cierta excentricidad con respecto al eje centroidal de la secc ión como podemos ver en el caso B de la Figura 1 .2. En donde, debido a esa excentricidad, la capacidad de soportar la tensión ·que se le induce al concreto resulta mayor en dos veces que en el caso A, con la ventaja también que la compresión en la fibra superior se puede nulificar, quedando así en la posibilidad de absorber compresión desarrollada por la superposición de cargas (ver Figura l .2h a l .2k). Cuando la fuerza de pres fuerzo tiene excentricidad, existe la posibilidad de que se desarrol len esfuerzos de tensión en la fibra superior, por lo que habrá de cuidarse que éstos no excedan la capacidad del concreto de resistir la tensión.

1.3 Carga equivalente: otra presentación de la idea del presfuerzo Otra forma de estudiar el efecto del presfuerzo en el concreto es bajo el concepto de la carga equivalente. Con los principios

de la Estática aplicados a cables se puede demostrar (ver Figura 1 .3 y Figura 1 .4) que para vigas isostáticas cada perfil de cable presforzado se puede substituir por una carga equivalente que tendrá los mismos efectos sobre el concreto que la fuerza de pres fuerzo aplicada. Este concepto es muy útil para escoger el perfil del tendón (cable o conjunto de cables) más conveniente para el tipo de carga que actuará o que tendrá que soportar la viga.

PERFIL a)

p :&·--·-·-·-·-·---·-·---·-·---·--·-·--}-·

p Perfil con e constante

La carga equivalente' es un par (·Pe) constante en toda la longitud y una fuerza axial (P) de compresión. La desventaja es que en las secciones cercanas a los apoyos los esfuerzos de tensión, en las fibras superiores, debidos a la excentricidad constante pueden ser críticos. Sin embargo, la simplicidad hace ser a este caso económico.

Fig. 1 .3 El concepto de carga equivalente


CARGA EQUIVALENTE

:t> r

r -Pe

r .p

.t �· ( p

) x

¡>x·

¡7x ... .l

'' 1mcyc

'8)

e)

PERFIL CARGA EQUIVALENTE

1 Psene Psene Pcose7_1��--��--1<Pcose T

La carga equivalente (Q) será: Q=2Pseno, pero seno =e/(U2) =2e/L que substituyéndolo qu�dará: Q=4Pe/I.

Otra forma de encontrar Q, en base al ·

diagrama de momentos es: -

M=QU4, de aquí: Q=4M/L, pero M=Pe por lo tanto Q=4Pe/L.

Este es un perfil que corrige las desventajas del caso anterior y es ideal para cargas externas concentradas.

El perfil con trayectoria curva, que por lo general es parabólica y solo es posible en la construcción postensada, es ideal para balancear o tomar cargas distribuidas; pues

-el momento producido por el presfuerzo es una función de segundo grado.al igual que mon:tento producido por las cargas. Se puede demostrar que la carga equivalente producida por este perfil es una carga distribuida uniformemente, demostrando que una carga distribuida uniformemente actuando en el cable prod1..1ce un perfil parabolico:

Pcosa�P 2 Psene Q/2 (+) /

i---(-.;.....) _ ____. -Q/2 X

��

-Pr (-) ¡>x

X

Weq�/8

De l:.Mx=O: . Ty-Wx2/2=0

Ty=Wx 2/2. y=(W/2T)x2

tN r+--�---- P ___ __.I )x

T=P X

La carga equivalente (Weq) se determina igualando el momento máximo del presfuerzo con el momen-to máximo producido por Weq: Pe=(Weq)DB => Weq=8Pe/�

Capítulo 1

. Fig� 1.4 El concepto de la carga equivalente

4 Concreto Presforzado

Conceptos Básicos

En las Figuras 1 .3 y 1 .4.se presentan los perfiles de presfuerzo más comunes en. la práctica y sus cargas equivalentes. Los casos ( a ) y ( b ) son los usuales en _la construcción pretensada. El caso ( e ) es propio de la construcción postensada.

. . .

�ti 1mcyc

El caso ( a ) aparentemente el más económico en cuanto a construcción se refiere, sin embargo, presenta la desventaja de inducir un momento constante a lo largo de toda la longitud de la viga. Debido a esto y a que los momentos desarrollados por las cargas en las seccio� nes cercanas a los apoyos tienden a ser nulos, se desarrollarán esfuerzos de tensión en las fibras superiores que pueden resultar críticos.

El perfil presentado e11 el caso ( b ) es una corrección a las desventajas del caso ( a ); sin embargo, su construcción es más cos. tosa, aparentemente, pues este perfil ayuda a soportar la fuerza cortante disminuyendo la cantidad de refuerzo que para el caso se necesitaría y compensando en algo su mayor costo.

. El perfil ideal es el presentado en el caso (e ), pues por lo general las cargas predominantes en las estructuras pres forzadas son distribuidas y sus momentos varían con la misma ley con la cµal varía el momento producido por el presfuerzo. De esta manera, para cualquier sección, el momento debido a las cargas puede ser nulificado en forma total por el momento debido al presfuerzo.

1.4 Comportamiento a la flexión bajo sobrecargas

El comportamiento a la flexión del concreto presforzado puede describirse mediante los siguientes estados:

a) No agrietado. En este estado actúan la fuerza de presfuerzo y las cargas de servicio, esto es, el peso propio del concreto y las cargas que razonablemente se espera que actúen durante la vida de la estructura. Puesto que el concreto no está agrietado y los esfuerzos desarrollados tanto en el acero de presfuerzo como en el concreto no rebasa sus rangos elásticos, la respuesta a la �exión se puede suponer elástica-lineal, donde el principio de superposición es válido y toda la sección de concreto es efectiva. Las ecuaciones de la Mecánica Elástica para los esfuerzos combinados son válidas.

b) Agrietado. S i los esfuerzos a tensión desarrollados por alguna sobrecarga no prevista exceden la resistencia del concreto, éste se agrietará. Si los esfuerzos a compresión en el concreto y a tensión en el acero de presfuerzo n_o se salen de s_µs rangos elásticos el comportamiento se sigue considerando elástico-lineal y tanto el principio de superposición como las ecuaciones d� la Mecánica Elástica se consideran válidos. Sin embargo, la sección ya no se considera totalmente efectiva y las propiedades de ésta tendrán que determinarse con base en el área transformada y agrietada.

e) En la falla. Una vez que los esfuerzos desarrollados han rebasado su rango elástico, ya sea en el concreto (a compresión) o en el acero de presfuerzo (a tensión) o en ambos, el comportamiento es muy complejo y resulta punto menos que imposible describirlo, máxime si se piensa en que el concreto estará agrietado. Es por esto que se prefiere considera� el coiliportamiento en la fa lla. El comportamiento a la flexión del concreto presforzado en la falla es similar al del concreto reforzado. Básicamente la diferencia radica en el tipo de acero que se utiliza en el concreto presforzado, que por no tener región de fluencia dificulta encontrar su valor de esfuerzo cuando presenta la falla.

1.5 El presforzado parcial

La idea del presfuerzo aplicada al concreto empezó a tener éxito a principios del siglo XX, por la década de los treinta, cuando el ingeniero francés Eugene Freyssinet con base en sus estudios analíticos y experimentales llegó a establecer procedimientos y técnicas que permitían manejar los fenómenos físicos y mecánicos que afectaban al concreto presforzado.

En esa época el comportamiento del concreto agrietádo era poco conocido y los ingenieros trataban de evitar el desarrollo de esfuerzos de tensión en el mismo. Esto dio origen a lo que ·se conoce como el presforzado completo. Sin embargo, ahora que se ha visto, con el desarrollo del concreto reforzado, que las grietas son �or un lado imposibles de evitar totalmente y por otro lado controlables, reduciendo o minimizando e incluso nulifü:ando sus efectos destructivos en el concreto, se permite que se desarrollen esfuerzos de tensión en el concreto presforzado.

Si estos esfuerzos exceden la resistencia del concreto a la tensión, éste se agrietará. Empero, si los esfuerzos a tensión en el· acero de presfuerz6 y a compresión en el concreto permanecen dentro de sus rangos elásticos, la integridad y seguridad de la estructura no se verá afectada si se toman las medidas pertinentes para nulificar el efecto de las grietas.

Concreto Presforzado 5

() 1mcyc Capítulo 1

Cuando se permite que se desarrollen esfuerzos de tensión en el concreto bajo las cargas de servicio, que incluso pueden l legar a agrietarlo, estamos hablando del concreto presforzado parcialmente. Este criter io de diseño es ventajoso, tanto

desde el punto de vista económico como funcional, para estructuras o vigas en las cuales las cargas vivas actúan solo en fracciones pequeñas de su vida útil . En estos casos se diseña un presfuerzo completo solo para las cargas muertas y alguna fracción de la viva. Obv iamente, cuando actúa toda la carga de servicio se desarrollarán esfuerzos de tensión en el concreto que inc luso pueden exceder su capacidad de resistencia. Lo que habrá que cuidar, como se dijo antes, es que los esfuerzos desarrol lados en el acero de presfuerzo (a tensión) y en el concreto (a compresión) no excedan los permisibles .

El presforzado parcial tiene, por un lado, la ventaja de economizar el acero de pres fuerzo, pues éste solo tiene que cumplir con las condiciones de servicio y esfuerzos permisibles. Si acaso no cumple con las condiciones de resistencia, se puede combinar con acero ordinario de refuerzo (menos costoso) no presforzado para aumentar su capacidad última a la flexión. Por otro lado las condiciones de servicio, reflejadas en las deflexiones, se verán mejoradas, pues si la viga se presfuerza para la totalidad de la carga de serv icio, por lo general, presentará una deflexión hacia arriba.

El efecto destructivo de las grietas se puede minimizar o nulificar controlando su ancho con acero de refuerzo ordinario y aumentando los recubrimientos para el acero de presfuerzo. El mismo acero ordinar io no presforzado evita la propagación de las posibles grietas que pueden resultar peligrosas para la integridad de la estrµctura o viga.

1.6 Métodos para presforzar el concreto

Desde el punto de vista constructivo existen dos tipos de concreto presforzado: e l concreto pretensado y el concreto postensado. Una vez construido el elemento presforzado, desde el punto de vista del comportamiento estructural, no hay ninguna diferencia entre uno y otro.

La técnica del pretensado está ideada para desarrollarse en una planta o fábrica de elementos precolados y presforzados. Uno de los factores que más han impulsado el desárrollo del concreto presforzado es el económico, es decir, el tratar de que las obras resulten men�_s costosas. Obviamente, la estandarización posibilita la fabricación en ser ie de un producto con el consiguiente abaratamiento de la mano dé obra y mejor control de la calidad del mismo. Para esto es necesar io todo un procesó fabr il que solo lo puede proporcionar una planta o fábrica.

En la técnica del pretensado, como su mismo nombre lo sugiere, primero s� tensa el acero estirándolo y anclándolo en unos "muertos" y después se "cuela" el concreto en el cual quedan embebidos los cables que constituyen el acero de pres fuerzo (ver Figura 1 .5). Una vez que el concreto se ha endurecido lo suficiente se sueltan los cables de sus anclajes transmitiendo la fuerza al concreto, básicamente por adherencia, al tratar el acero de recuperar su longitud inicial (anterior al ser estirado).

El postensado es una técnica apropiada para fabricar los elementos in s itu o cerca de la obra. En los casos en que se requ iera un elemento estructural o v iga fuera de lo usual y la cantidad no amerite el cambio en las líneas de producción en una planta de pretensado, entonces el postensado es la solución. Otras veces el tamaño y peso de los componentes estructurales hace impos ible o muy costoso su traslado de la planta al lugar de la obra, de nueva cuenta el postensado viene a ser la solución.

1

La técnica del postensado, como su nombre lo sugiere, consiste básicamente en fabricar el elemento estructural dejando duetos embebidos en el concreto para introducir por ellos el acero de pr.esfuerzo con base en cables o alambres (Figura 1 .6). Una vez que el concreto ha endurecido lo suficiente se introducen los cables o alambres por los duetos. Generalmente, el acero se acuña en un extremo (extremo pasivo) y el otro se sujeta a un "gato" hidrául ico (extremo activo) que lo estira apoyándose en el concreto y luego de estirarlo lo suficiente lo acuña y retira. Acto seguido, se rechapea o apl ica una lechada en el dueto para proteger el acero contra la corrosión, con la ventaja de que se puede considerar que e l acero queda adherido al concreto.

En eJ postensado la transferencia de la fuerza de presfuerzo del acero al concreto se efectúa por medio de los d ispositivos de anclaje, la adherencia (cuando la hay) ayuda a mejorar el comportamiento en la falla como s i fuera una viga de concreto reforzado. Una ventaja del concreto postensado es que se le puede dar al dueto el perfil que se desee, siendo éste por lo general parabólico, que es el ideal para balancear cargas distribuidas uniformemente, que son las más comunes en las estructuras. La principal desventaja es el costo pues los herrajes defos dispositivos de anclaje quedarán embebidos en el concreto. Sin embargo, aun así representa una soluc ión más viable, desde el punto de vista económico, en muchos casos (comparado con perfi"les de acero).

6 Concreto Pn:srorzado

Conceptos Básicos

Existe una gran variedad de sistemas patentados para postensar, un gran número de ellos trabajan con base en cuñas y otros con base en tuercas, el esquematizado en la Figura 1 .6 es el S istema Freyssinet que trabaja con base en una cuña troncocónica

¡;;) 1mcyc

que, una vez que los cables o alambres han sido estirados lo suficiente, es empujada por un pistón interior que tiene el "gato" y "muerde" los cables o alambres contra el barril.

"Muerto"

Cama de tensado

r··------------------------------------------------------------J

11 Sección a-a

Sección de l a mordaza de 3 piezas Detal le del a nc laje

Fig. 1.5 La técnica del pretensado

1.7 Cambios en la fuerza de presfuerzo

Los cambios que experimenta la fuerza de presfuerzo se pueden clasificar en :

a) Cambios debidos a fenómenos físicos que afectan tanto al concreto como al acero

b) Cambios debidos a la superposición de las cargas que deberá soportar el elemento estructural.

Los cambios debidos a los fenómenos físicos provocan que la fuerza de presfuerzo se disminuya, o sea, pierda fuerza. Estas pérdidas se dividen en instantáneas y dependientes del tiempo (diferidas).

Las pérdidas instantáneas ocurren en el momento de la transferencia de la fuerza de pres fuerzo del acero al concreto, y se deben a:

1) Acortamiento elástico del concreto debido a la fuerza de presfuerzo

2) Fricción entre cables o alambres y los duetos u orificios


o 1mcyc ·

Capítulo 1

3) Deslizamiento de cuñas de anclaje.

Resulta claro que cuando e l concreto se acorta elásticamente el acero recupera parte de su longitud original y esto hace que se pierda esfuerzo o fuerza en e l acero. Parte de la fuerza que se usa para estirar los aceros se ocupa en vencer la fuerza de fricción que se desarrolla al desl izar los aceros a lo largo de los duetos (postensado) u orificios (pretensado ), por lo cual la fuerza real restante se ve dis

. minuida. En los casos cuyos anclajes es con base en cuñas, éstas experimentan un deslizamiento que permite al acero recuperar parte de su longitud original produciendo una disminución del esfuerzo en el acero. Las pérdidas por fricción y deslizamiento de cuñas suelen despreciarse en la construcción pretensada cuando fas camas de tensado son de gran longitud.

. acero ordinario estribos lonlitudinal dueto sujeto al acero no presforzado

-·-·-·-·---�-��=��:��ª 777//v777777,l7777/77/777////7777//j;�

{a) Antes de vaciar el concreto

acero de presfuerzo p or el interior del dueto

(b) Des púes de vaciar el concreto Líqui�a presión

Fig. 1.6 La técnica del postensado

barril con agujero · cónico

cuña �

( �} Esg_µerria d�l_ gato hidráu lico. para postensar

Las pérdidas diferidas se deben a fenómenos físicos conocidas como función, entre otras cosas, del tiempo. Estas pérdidas se deben a:

1) Acortamiento del concreto por flujo plástico del mismo

2) Acortamiento del concreto por retracción del mismo (shrinkage)

3) Relajamiento del acero de presfuerzo.

8 Concreto· Pres forzado

Conceptos Básicos

El concreto sujeto a una fuerza de compresión permanente experimenta un reacomodo en su interior que se refleja en un acortamiento de su longitud original (flujo plástico), esto provoca que el acero recupere en parte su longitud original perdi-

TI 1mcyc

endo esfuerzo. La retracción del concreto se debe a la pérdida de humedad del concreto, haciendo que éste se acorte permitiendo que el acero recupere parte de su longitud original con la consiguiente pérdida de esfuerzo. El acero estirado a altos niveles de esfuerzo se relaja, es decir, pierde esfuerzo. Las pérdidas diferidas experimentan una rapidez de variación fuerte al principio que se suaviza con el tiempo, sin l legar a desaparecer del todo.

Como se dijo antes, los cambios en la fuerza de presfuerzo discutidos arriba se constituyen en pérdida de la misma. Pérdidas que serán tratadas más ampliamente en un capítulo dedicado a calcularlas. Si le llamamos a:

Pj Fuerza inducida al acero por el "gato"

P; Fuerza (inicial) restante después de pérdidas instantáneas ([ase inicial o de transmisión)

Pe = Fuerza (efectiva) que queda después de pérdidas totales (instantáneas más diferidas,fasefinal o de servicio)

DP; = Pérdidas instantáneas

DP d = Pérdidas diferidas o dependientes del tiempo

Entonces, podemos escribir las siguientes relaciones:

( 1 . 1 )

( 1 .2)

Los cambios en la fuerza de presfuerzo, debidos a la superposición de las cargas de servicio, hacen que se incrementen los esfuerzos en el acero de presfuerzo y por consiguiente aumente la fuerza misma.

Se pueden determinar los incrementos de esfuerzos con base en las ecuaciones de la Mecánica Elástica. S in embargo, como tenemos un material no homogéneo se tiene que manejar el concepto de la sección transformada, es decir, tenemos que transformar el acero en una área equivalente de concreto y de esa manera considerar que sólo tenemos concreto. Esa transformación se hace con base en que el área equivalente de concreto debe proporcionar la misma fuerza que el acero y de la condición de compatibilidad que establece que lo que se deforma el concreto es la misma que la deformación en el acero, como se ilustra en la Figura 1 . 7.

Inicialmente el acero de presfuerzo se verá sometido al esfuerzo que directamente le induzca el "gato" y que será

P. f -

J pj- Á p ( 1 .3)

En la fase inicial o de transmisión; en la cual se asume que sólo actúa el peso propio como carga superpuesta, el esfuerzo en el acero será:

donde

P. f =-' +nif pi A cu p

fco = M0ellc y Ap = Área del acero de pres/ uerzo

M0 = Momento debido al peso propio

( 1 .4)

En la fase de servicio, en la cual se asume que actúan todas las cargas de servicio como cargas superpuestas_, el esfuerzo en el acero será:


¡¿') 1mcyc

donde

f _Ms�e es - J (.' y

pe f =- +nif pe A 1.:1· p

M.,. = Momento debido a las cargas de servicio

w=Wo Ó Wd Ó Ws· 1-=�=��=�-===-;:t f ·-·-·-·-·-· ·-·-·----�--

As

Capítulo 1

(1.5)

sección real sección transformada

Fig. 1. 7 La sección transformada

fsAs=fcA 'e donde A'c=área equivalente de concreto

que será substituida por As A' c=fsAs/fc y de la compativilidad: tc=ts, pero por la ley de Hooke: fc/Ec=fs/Es => fs=(Es/�c)fc =>A' c=nAs y fs=nfc, donde n=(Es/Ec)

Esfuerzos por cargas superpuestas: M=Mo ó Md ó Ms

En las ecuaciones ( 1 .4) y ( 1 .5) se indica que los esfuerzos en el concreto (/c) se determinan con la fórmula de la flexión simple de la Mecánica Elástica. Esto es válido solo si la sección de concreto no se agrieta. Para secciones no agrietadas los incrementos (11.fc) son pequeños comparados con el esfuerzo, debido a la fuerza de presfuerzo (P/Ap) y suelen despreciarse, pues no hacen que vuelva la fuerza a sus niveles anteriores a las pérdidas. Si la sección de concreto se agrieta los incrementos sí son significativos ; pero en las ecuaciones de la Mecánica Elástica habrá que considerar las propiedades de la sección agrietada. Este tema no se cubre aquí.

1.8 Cargas

Las cargas que usualmente deben soportar los elementos presforzados, además de su peso propio, pueden clasificarse en:

a) Cargas distribuidas, ya sea en una superficie o l inealmente

b) Cargas concentradas.

Las cargas también se clasifican como:

a) Cargas muertas, que son cargas que no cambian ni en magnitud ni en posición

b) Cargas vivas, que pueden cambiar en su posición y magnitud. ·

----------------------------------- ----···--··---- ·--·-·-···-·· · . 1 0 Concreto Pn:sforzado

Conceptos Básicos

Generalmente, el peso propio de los materiales de construcción, de acabados, de instalaciones san itarias o eléctricas y de equipos que pemanecerán a lo largo de la vida útil del elemento constituyen las cargas mue11as. Mientras que el peso de muebles, equipo que puede cambiar de posición, vehículos, personas, entre otros, constituyen la carga viva.

� 1mcyc

Las cargas v ivas están especificadas en los manuales de construcción según la función de la estructura a la cual pertenece el elemento en cuestión .

Las cargas de servicio serán la suma de las cargas muertas y las cargas v ivas. Las cargas de servi,cio serán las cargas de disef'io cuando se use el método de los esfuerzos permisibles para diseñar tanto la sección de concreto como la fuerza de presfuerzo.

Si se usa el criterio de resistencia para diseñar el área de acero (no la fuerza) las cargas muertas y vivas deberán facto rizarse con los factores de seguridad adecuados para constituir la carga de diseño.

Adoptaremos la s iguiente notación para manejar las cargas de las que hablamos arriba

Wo =Peso propio del elemento estructural

Wc1 = Carga muerta adicional (al peso propio)

w1 = Carga viva

H\ = w0+ Wt1 + W¡ =carga de servicio

WJJ = Ws (criterio de esfuerzos permisibles)

WJJ = (F.S.)cJ(w0 + Wc1)+(F.S.)1 w1, donde:

(F.S.)cJ y (F.S.)1 son los /actores de seguridad (criterio de resistencia).

Problemas 1 . 1 Para la v iga indicada en la figura P l . 1 , determine los esfuerzos en: las fibras superior, inferior y en el centroide de la sección crítica a flexión y en una sección en el apoyo.

a) Use superposición de esfuerzos, y

b) Use el concepto de la carga equivalente.

-- ------Q=10 Ton

--Q=10Ton

Sección a-a:

-·-·-·-EJ-r-· I1ocm

e=26.25cm P=144000 kg. (Fuerza de presfuerzo) yc=2400 kg/m3 (peso volumétrico del concreto)

30cm

Fig Pl.1

Concreto Presforzado 1 1


1.2 Para la viga mostrada en la Figura P 1 .2 que tiene el perfil ·indicado, determine los diagramas de corte y momento producidos por la carga equivalente dd pre�fuerzo.

Fig P l .2

12

=�f ·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·--1��----·-·-·-·- -

1-- , ..

e1=30.00 cm e2=20.00 cm

4�oom

P=100000.00 kg


·�"' 1mcyc

Capítulo 2

Materiales

2.1 Introducción Desde el inicio del desarrollo del concreto, como un material con fines.estructurales, se vio la necesidad de combinarlo con otro

material que tomara las fuerzas de tensión desarrolladas por las cargas y que el concreto mismo no era capaz de resistir.

Tradicionalmente, se ha utilizado el acero como ese otro material, que junto con el concreto forman elementos estructurales capaces de resistir tanto fuerzas de compresión (por medio del concreto) como de tensión (por medio del acero), pe�mitiendo así la formación de un par resistente, cuando éste se requiere, para soportar las cargas.

En el caso del concreto presforzado, como se observa en el capítulo anterior, el acero se usa en una forma diferente que en el concreto reforzado aunque el finés e l mismo. En el concreto reforzado el acero toma directamente las fuerzas de tensión, mientras que en el presforzado el acero se usa para precomprimir el concreto y que éste se comporte (al descomprimirse) como si resisti�ra la t.ensión .

Obviamente, no se trata de substituir el concreto reforzado con el presforzado, s ino de que éste represente una solución c�ando el otro no resulte económico o es estructuralment� imposible su solución.

En resumen, pues, dos son los componentes básicos del concreto presforzado: el concreto y el acero. Sólo que tanto el concreto como el acero tendr�n ciertas características propias que lo distinguirán del concreto y f:!I acero usados en el concreto reforzado y que analizaremos en este capítulo.

2.2 El acero de presfuerzo La principal fuente de pérdida en la fuerza de presfuerzo está en los acortamientos iristántaneos y diferidos que sufre el con

creto, resultado de los fenómenos físicos que se discutieron en el capítulo anterior.

E. Freyssinet, fue quién llegó a estudiar estos fenómenos hasta el punto de poder predecir los acortamientos en forma aceptab le, al observar la necesidad de usarun acero que pudiera estirarse lo suficiente para compensar esos acortamientos y que todavía quedara estirado en tal magnitud que produjera la fuerza de presfuerzo necesaria.

Obviamente, el estiramiento del acero tendría que hacerse s in que sus esfuerzos se sal ieran del rango elástico, de lo contrario habría una deformación permanente sin la tendencia a regresar a su longitud inicial (que es lo que produce la fuerza de pres fuerzo). Fue, entonces, hasta que se desarrolló este tipo de acero que pudo aplicarse la idea del presfuerzo al concreto.

2.2.1 Tipos de acero de presfuerzo

Básicamente existen tres tipos de acero.de presfuerzo:

a) Alambres,

b) Cables trenzados

e) Barras corrugadas.


�) 1mcyc Capítulo 2

2.2.1.1 Alambres

Los alambres, que usualmente se usan en la construcción postensada, deben cumplir los requerimientos de la norma A-42 1 de la ASTM. Los diámetros disponibles van de 4.88 mm hasta 7.0 1 mm y los grados son de 235, 240 y 250 ks i . Un tendón está constitu ido por un grupo de alambres en un mismo dueto. Estos pueden alojar hasta 56 alambres, dependiendo del sistema uti l izado.

2.2.1.2 Cable trenzado o torón

El cable trenzado o torón, que se usa tanto en la construcción pretensada como en la postensada, se forma de un alambre central alrededor del cual se enrrol lan helicoidalmente (o se trenzan) otros de menor diámetro.

El cable más usado en el concreto presforzado es el de siete hilos o alambres (uno central y seis periféricos) y debe cumplir los requerimientos de la norma A.;4 1 6 de la ASTM.

Los alambres usados en la fabricación del cable son del mismo tipo que el alambre usado individualmente y descrito en el apartado anterior. S in embargo, las propiedades mecánicas del cable son l igeramente diferentes a las del alambre individual a causa de la tendencia del alambre, que está enrrollado sobre el central, de recobrar su línea recta bajo la tensión.

Los diámetros que se consiguen en el mercado van de 6.35 hasta 15 .24 mm y los grados son dos : 250 y 270 ks i . En la construcción postensada los cables se alojan en duetos constituyendo los tendones (uno por cada dueto).

2.2.1 .3 Barra· o varilla corrugada

La barra o varilla corrugada usada en la construcción pretensada, que aparentemente se confundiría con las barras corrugadas usad8:s en el concreto reforzado, debe cumplir con la norma A-722 de la ASTM. Este tipo de acero de presfuerzo, por la rigidez a la flexión que presenta, sólo es posible anclarlo con tuercas o por adherencia con el concreto. Los diámetros disponibles en el mercado van de 1 5 .88 hasta 34.92 mm. Los grados disponibles son 145 y 1 60 ksi.

2.2.2 Propiedades mecánicas d�l acero de. presfuerzo

Las propiedades mecánicas de interés para un material con fines estructurales se obtienen de su gráfica esfuerzo-deformación.

De esa gráfica (Figura 2. 1 ) podemos analizar la respuesta del material cuando éste se somete a una fuerza de tensión. Se aprecia que esa respuesta es elástica-lineal en una parte y no elástica ni lineal en la otra parte.

f acero de presfuerzo

fpu -+----_...--. / Ep=f/e (pendiente)

...... ..... ..... .... qro de refuerzo

:::::::::: .. ......

. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · --------------------� e acero de presfuerzo

Fig. 2.1 Gráficas típicas de esfuerzo-deformación para los aceros

1 4

f . . . . . . . . . . . . . idealización

Es=f/e (pendiente)

fy �ado 40

acero no presforzado E

Concn:to Pn:sforzad o

Materiales

De la parte elástica-lineal se obtiene el módulo de elasticidad del mate�ial (Ep), que en el caso del acero de presfuerzo es:

a) Para alambres

Ep = 2. 03E+06 kglcm2 (29000 ksi)

b) Para cables trenzados:

c) Para barras

Ep = l.89E+06 kg/cm2 (27000 ksi)

Ep = 1.89E+06 kg/cm2 (27000 ksi)

fí 1mcyc

Aun cuando los cables se forman de alambres de la misma calidad que el alambre que se usa individualmente como acero de presfuerzo, como ya se había dicho anteriormente, su módulo de elasticidad es un poco menor, debido a la tendencia de los alambres componentes del cable de tomar la línea recta al experimentar una fuerza de tensión. El menor valor de Ep para las barras corrugadas obedece al tipo de aleación que se usa en su fabricación.

Debe notarse, como una característica muy importante en el acero de presfuerzo, que no tiene lo que se podría llamar meseta plástica. Esto es, no tiene esa región de fluencia característica de los aceros estructurales en la cual el material fluye (se deforma) sin aumentar la fuerza de tensión. Obviamente, el l ímite de fluencia (/py) no existe. Sin embargo, convencionalmente se toma éste para alambres y cables trenzados como sigue:

a) Para acero de relajamiento normal

/¡,y = 0.85/¡,11 b) Para acero de bajo relajamiento

/¡,y = O. 90/¡,11 dondefpu es la capacidad última a tensión del acero de presfuerzo. Para barras corrugadas:

a) Para acero de relajamiento normal

/¡,y = 0.80/¡,11 b) Para acero de bajo relajamiento

/py = 0.85/¡Jll El grado del acero de pres fuerzo viene a ser el fpu del mismo, así, por ejemplo, cuando decimos acero grado 270 queremos decir

acero de presfuerzo con fpu = 270 ksi o bien hu = 18900 kg / cm2•

Para el análisis y diseño con base en esfuerzos permisibles sólo son de interés Jos valores de E, hu y /py , sin embargo para el análisis y disefio por resistencia también es de interés la respuesta no elástica ni lineal. Para esto existe una ecuación recomendada por Alan H. Mattock ( 1 979) que predice la respuesta tanto elástica-lineal como la r.o elástica ni lineal, que da buenos resultados y se escribe a continuación:

(2. 1 )

e n esta ecuación, que pretende ser l a ley constitutiva para e l acero de presfuerzo, A, B , y C son_ los llamados parámetros de RambergOsgood puesto que la ecuación (2. 1 ) no es más que la función Ramberg-Osgood modificada. Estos parámetros pueden ser obtenidos de la Tabla 2. 1 que se presenta a continuación:


fl 1mcyc Capítulo 2

Tabla 2. 1 Parámetros de Ramber�-Os�ood Eªra la ecuación (2. 1 ) Grado fpy/fpu Ep(kg/cm2) A B c

270 0.9 l .89E+06 0.0 1 5 1 1 1 0.8 8.449 cable 0.85 l .89E+06 0.027 1 1 1 7.3 6.598

250 0.9 l .89E+06 0.0137 1 19.7 6.43 1 cable 0.85 l .89E+06 0.0246 1 26.7 5.305

250 0.9 2.03E+06 0.0 1 5 1 125 . l 6.35 1 alambre 0.85 2.03E+06 0.0253 132.5 5.256

235 0.9 2.03E+06 0.0 139 133 . l 5.463 alambre 0.85 2.03E+06 0.0235 1 40.9 4.6 12

1 50 0.85 2.03E+06 0.0 1 6 1 225.2 4.99 1 varilla 0.8 2.03E+06 0.02 1 7 239.3 4.224

Fuente: Libby, 1 990. PI 72 (adaptada por F. J. Orozco, 1 994)

También-el PCI (Prestressed Concrete Institute) recomienda �cuaciones que son una muy buena aproximación para· las curvas f-e de cables trenzados de siete alambres y que se presentan a continuación:

e px E 0.008:

epx > 0.008:

a) Cable trenzado grado 270

-525 2 f px - 1 8760 -_ 0 006

(kg I cm ) epx • 5

b) Cable trenzado grado 250

2.2.3 Acero no presforzado

- 4.06 2 fpx - 1 7360 - epx - 0.006 (kg / cm )

(2.2)

(2 .3)

(2.4)

El acero de refuerzo comunmente usado en el concreto reforzado también se usa en el concreto presforzado. Los tipos que se usan son:

a) Grado 40 (/y = ·40 ksi)

b) Grado 50 (/y = 50 ksi)

e) Grado 60 (/y = 60 ksz). ·.,;. En la Figura 2. 1 pueden verse las gráficas típicas de esfuerzo-deforillación, así como la idealización de ellas. · La ideal ización

que es posible debido a que las deformaciones desarrolladas no se saldrán de la región de fluencia del material. Esta idealización nos permite escribir las ecuaciones constitutivas del material como sigue:

(2.5)

(2.6)

. 16 Concreto Presforzado

if' 1mcyc Materiales

El uso que, generalmente, se le da al acero de refuerzo ordinario en el concreto presforzado es para:

a) Tomar efectos térmicos.

b) Control de grietas.

c) Refuerzo del alma para tomar la tensión diagonal

d) Refuerzo de las alas de vigas T

e) Refuerzo de los patines en vigas 1 y cajón

f) Aumentar la ductibilidad a flexión (refuerzo a compresión)

g) Aumentar la capacidad última a flexión (refuerzo a tensión)

2.3 El concreto Básicamente la diferencia que existe entre el concreto usado en el reforzado y en el presforzado es la resistencia a la compre

sión. En el concreto reforzado, en elementos trabajando principalmente por flexión, la resistencia por lo general no es mayor de 300 kglcm2• La razón de ello es que en este tipo de elementos el diseño por flexión, cuando se usan concretos de alta resistencia, da como resultado secciones poco aperaltadas que no cumplirán con los requisitos en cuanto a deflexiones se refiere y que acabarán aperaltándose desperdiciando la alta capacidad a compresión del concreto.

En el concreto presforzado sí se puede aprovechar, en elementos trabajando a flexión, la alta resistencia a la compresión del concreto. Por un lado, con la fuerza de presfuerzo se pueden compensar las deflexiones debidas a las cargas, y por otro lado, a mayor resistencia a la compresión mayor res istencia a la tensión que también mejora el comportamiento del concreto en general. Además, resulta obvio que por la magnitud de las fuerzas de presfuerzo que se manejan la alta resistencia del concreto se hace necesaria. Las resistencias generalmente usadas son de 350, 400, 500 y 550 kglcnz2.

2.3. 1 Comportamiento del concreto bajo compresión uniaxial

De nuevo, para estudiar el comportamiento del concreto bajo compresión uniaxial se recurre a la gráfica esfuerzo-deformación. Para obtener la gráfica, que nos dará la respuesta del concreto bajo esa acción específica, se lleva a cabo la prueba a compresión de un espécimen de concreto según la norma C39 de la ASTM.

En la Figura 2.2 se muestra la gráfica típica obtenida de la prueba mencionada arriba. Existen varias expresiones que pretenden constituirse en ley constitutiva del concreto para predecir la respuesta, no lineal, del concreto bajo compresión uniaxial modelando la gráfica f-e.

f Ect=Módulo tangente inicial Ec =Módulo secante

secant� . ::: 0.5 f'c 4---..u----��---1

� ¡ porción cuasi-

l l elástico-lineal

.__ _____ -· - ' ----7B e'c eu .

Fig. 2.2 Gráfica típica f -e obtenida de la prueba a compresión del concreto


o 1mcyc Capítulo 2

Una de ellas, propuesta porM. P. Collins y D. Mitchell ( 1 99 1 ), no es más que una simple parábOlaque describe razonablemente la relación f-E para resistencias de concreto menores o iguales a 420 kglcm2 y que escribimos en seguida:

donde

fc = Esfuerzo de compresión actual (desarrollado)

Ec = Deformación de compresión actual (desarrollada)

f'c= Resistencia del concreto a la compresión (obtenida de la prueba)

E 'c=Deformación del concreto cuando fc = f'c

(2.7)

Para esfuerzos de compresión relativamente bajos (digamos fc. <0.Sf'c ) la ecuación constitutiva puede ser aún más simple, como se aprecia abajo y que no es más que la de Hooke (relación elástico-lineal):

(2.8)

El Reglamento para las construcciones de concreto del ACI 3 1 8-02 Sección. 8 .5 . 1 . propone para el módulo secante la siguiente relación:

1 440 kg / m3 ::; wc ::; 2480 kg / m3

donde

Wc = Peso volumétrico del concreto e!J, kglm3

f'c = Resistencia del concreto a la compresión e� kglcm2

para concreto normal (wc = 2400 kg/m3):

Collins y Mitchell estiman el módulo tangente igual a 1 . 1 veces el módulo secante, es decir

para concreto de peso normal

2.3.2 Comportamiento del concreto bajo tensión uniaxial

(2.9)

(2.9a)

(2. 1 O)

(2. l Oa)

El concreto sujeto a tensión uniaxial responde casi en forma elástico-lineal hasta la ruptura. El problema es que la resistencia a la tensión es muy baja, alrededor del 1 0% de la resistencia a la compresión. Para propósitos de diseño, el módulo de elasticidad y la relación de Poisson (entre 0. 1 5 y 0.20) se toman igual que para compresión uniaxial.

Las pruebas directas para determinar la resistencia del concreto a la tensión uniaxial no son confiable�, pues los resultados varían mucho para especímenes semejantes. Obviamente, esto se debe a lo no homegéneo del material. Es por esto que se recurre a pruebas indirectas como son la prueba del módulo de ruptura y la prueba brasileña.

1 8 Concreto Presforzado

<'í 1mcyc Materiales

La prueba del módulo de ruptura cons �ste en cargar una viga de 0.4572 m ( 1 8 pulg.) de claro con una sección de 0. 1 524 por 0. 1524 m ( 6x6 pulgadas) sin ningún refuerzo. Se detecta la carga de agrietamiento y con la fórmula de la flexión simple (Me//) se deter-

mina el esfuerzo de ruptura (/, ). Los valores típicos andan entre 2 R y 3 .fJ! para concreto normal .

La prueba brasileña consiste en cargar un cil indro (de los mismos que se usan para la prueba a compres ión : 6" de diámetro y 1 2" de altura o a lo largo de su línea generatriz hasta que se presente una grieta diametral (pues se generan esfuerzos de tensión perpen-

diculares al plano de la carga distribuida). Los valores de esfuerzo típicos que se obtienen con esta prueba andan entre l. 6 jt y 2 .fJ! para concreto normal.

2.3.3 Comportamiento del concreto bajo esfuerzos biaxiales

En elementos estructurales de concreto es común tener estados de esfuerzos que pueden reducirse a dos esfuerzos principales equivalentes que pueden ser de tensión o compresión.

Cuatro son los estados equivalentes a los que se pueden reducir los estados combinados de esfue.rzos, como se puede apreciar en la Figura 2.3. El interés de analizar estos casos es poder estimar en cuánto se verá reducida o aumentada la resistencia del concreto a tensión o a compresión (f .. ) por la presencia de un esfuerzo en dirección perpendicular a la resistencia if.v ).

Actualmente no existe algún desarrollo analítico que relacione la resistencia del concreto (f .. ) bajo esfuerzos combinados. Sí existen estudios experimentales que han establecido el efecto o influencia del esfuerzo principal lateral (h. ) sobre el esfuerzo de falla (f .. ), también principal, en la dirección perpendicular (Kupfer, Hillsdorf y Rush, 1 969 . Tasuji, Slate y Nilson, 1 978).

Figura 2.3 Posibles estados de esfuerzos principales en e l concreto

De estos estudios experimentales se ha concluido, en resumen, que:

1. La resistencia a la tensión es casi independiente del esfuerzo lateral de tensión· (primer cuadrante, contra las manecil las del reloj, en Figura 2.3)

2. La resistencia a la compresión se ve disminuida con una interacción casi lineal por el esfuerzo lateral de tensión. Pequeños valores de la tensión lateral redundan en pérdidas significativas de la resistencia a la compresión (2do. cuadrante)

3. La resistencia a la compresión se ve aumentada con una interacción no lineal por el esfuerzo lateral a compresión (3er.cuadrante)

·

4. La resistencia a la tensión se ve disminuida con una interacción casi lineal por el esfuerzo lateral de compresión ( 4to. cuadrante)

El caso 4 es una muestra de lo que pasa con la tensión diagonal, es decir, ese estado de esfuerzo es la reducción del estado de esfuerzos resultante de la combinación de esfuerzos cortantes con esfuerzos normales por flexión. El caso 2 también es de interés, por la


o 1mcyc Capítulo 2

pérdida de resistencia a la compresión que resulta de la tensión lateral . Con base en estos estudios se pueden escribir las siguientes ecuaciones para los casos 2 y 4:

caso 2, resistencia a la compresión (fx ) reducida por tensión lateral (/y)

fx = l l .34f y - J: (2. 1 1 )

caso 4, resistencia a l a tensión (fx ) reducida por compresión lateral (fy )

(2. 1 2)

en las ecuaciones (2. 1 1 ) y (2. 1 2) los valores de/y deben ser con su signo correspondiente (positivo si hay tensión y negativo si hay compresión), mientras que enf'c deberá usarse en valor absoluto.

Por ejemplo, en el caso de tensión diagonal en concreto reforzado, que resulta de un estado puro de corte, /y resulta de compres ión e igual en magnitud a la tensión diagonal (fx ), es decir: /y = -fx , entonces, de la ecuación (2 . 1 2) resulta:

(2. 1 3)

ecuación en la cual podemos ver que la resistencia a la tensión se reduce de 1110 , que normalmente ocurre, a 1112.34.

Problemas 2.1 . Investigue los tipos de acero de presfuerzo y resistencias de concreto que existen disponibles en el mercado de su localidad.

2.2. Se requiere pretensar axialmente un elemento de concreto con 1:= 420 kglcm2 que tiene una sección de 30x30 cm y una longitud de 1 0.00 m. Determine la elongación que debe darse a cuatro cables trenzados de 1 /2 pulgada de diámetro grado 270 k para que quede una fuerza efectiva de 50,000.00 kg, considerando sólo que el concreto se acortará elásticamente.

2.3. Para el problema 1 . 1 (del capítulo 1) y c�nsiderando que el concreto es de 1:= 420 kglcm2, determine en cuánto se reduce la resistencia a la tensión del concreto localizado en el centroide de una sección a 0.5 m del apoyo izquierdo. Suponga que el concreto no se agrieta por tensión diagonal y use las relaciones derivadas de la investigación experimental efectuada por Tasuji et al.


o 1mcyc

Capítulo 3

Análisis por flexión

3.1 Introducción

Entenderemos por análisis, por un lado, la determinación·de los esfuerzos desarrollados tanto en el conereto como en el acero para compararlos con ciertos límites establecidos, cuando el criterio de esfuerzos permisibles y serviciabilidad se adopte. Por otro lado, también entenderemos· el determinar las cargas de servicio que cierta sección de concreto, con su fuerza de presfuerzo_ definida, puede sopórtar sin exceder los esfuerzos y deflexiones permisibles.

Puesto que nadie puede garantizar que ]as cargas de servicio sean ]as especificadas, pudiendo éstas versé incrementadas, se hace necesario también un análisis por resistencia para calcular Ja capacidad última de Ja seéc ión y" determinar el factor de seguridad contra el colapso.

El análisis puede ser requerido para las siguientes fases:

1 . Presfuerzo inicial, es decir, P; actuando sola

2. Presfuerzo inicial más el peso propio de Ja viga (P; + w0)

3 . Presfuerzo inic ial más Ja totalidad de la carga muerta (P; + w0 + w�)

4. Presfuerzo efectivo más la totalidad de las cargas de servieio (Pe + w0 + wd + w1)

5. Carga última, es decir, cuando las cargas de servicio esperadas se incrementan por los factores de carga y la viga está en fallél i�cipiente._ .

Para las cuatro primeras fases, tanto el concreto como e] acero estarán probablemente esforzados dentro de sus rangos elásticos. En la fase número cinco ambos materiales estarán esforzados fuera de sus regiones elástico-lineales, por Jo cual e] análisis deberá basarse en las relaciones no lineales de esfuerzo-deformación. A las fases dos y cuatro, comúnmente se les conoce como fase inicial (o de transmisión) y fase de servicio, respectivamente.

3.2 Notación y convención de signos

La notación que seguiremos será Ja adoptada por el ACI con ligeros cambios que s,e anunciarán en su oportunidad. La convención de signos utilizada será la que comúnmente se sigue en Mecánica de Materiales. Se irán definiendo los símbolos a medida que aparezcan en las ecuaciones o fórmulas.

Con referencia a la Figura 3 . 1 , las fuerzas y esfuerzos de tensión con sus correspondientes deformaciones serán positivos, siendo negativos los de compresión. Las distancias arriba del eje Z serán negativas, y positivas las medidas hacia abajo. Los momentos serán negativos cuando Ja curvatura sea cóncava hacia arriba, y positivos para. Ja concavidad hacia abajo. Esfuerzos, deformaciones, distancias y propiedades con subíndice uno se refieren a Ja fibra superior de Ja sección; el subíndice dos será reservado para la fibra �nferior.

Concreto Presforzado 21 ·

o 1mcyc

y Sección

Figura 3 . 1 Notación y convención de signos

Capítulo 3

z - - l E2

Deformaciones y esfuerzos Momentos

3.3 Consideración de la pérdida de presfuerzo en el análisis Puesto que en el análisis se supone que la fuerza de presfuerzo requerida para cierto caso en particular es conocida, así como

las dimensiones de la sección de concreto, se estaría en la posibilidad de poder calcular las pérdidas, tanto instántaneas comq las diferidas, en la fuerza de presfuerzo. Sin embargo, desde el punto de vista didáctico, conviene primero aprender el análisis por flexión que el cómo calcular dichas pérdidas. Por esta razón las pérdidas se estimarán adoptando la relación de efectividad (R ) que no es más que la relación entre la fuerza efectiva de presfuerzo y la inicial y que podemos expresar matemáticamente de la siguiente manera:

R = Pe p,

(3 . 1 )

Los valores d e R, con base e n l a información recopilada a través de muchos años d e l a práctica del concreto presforzado, se pueden tomar (estimaciones aproximadas) como sigue:

R � 0.85 (para vigas postensadas)

R � 0.80 (para vigas pretensadas)

3.4 Determinación de los esfuerzos elásticos en secciones de concreto no agrietadas

En el supuesto de que los esfuerzos desarrollados en el concreto .no se salgan de su rango elástico y que la sección de concreto no se agriete, éstos se pueden determinar con las ecuaciones de la Mecánica Elástica, como ya lo habíamos dicho.

El problema de la determinación de los esfuerzos desarrollados se reduce a un problema de esfuerzos combinados (flexión más compresión, es decir, flexocompresión). La expresión general se escribe a continuación, usando el principio de superposición y como referencia la Figura 3 . 1

22

donde:

J =!_ + Pey + My , Áe le le

P = Fuerza de presfuerzo (negativa, puesto que es de compresión)

Ae= Área de la sección de concreto

(3 .2)

e = Excentricidad de la fuerza de presfuerzo (distancia del centroide del área del �cero de presfuerzo al cen troide del área de concreto)



le = Momento de inercia centroidal de la sección de concreto

o mcyc

y = Distancia del centroide del área de concreto al punto donde se quiere determinar elesfuerzo desarrollado

M= Mumento flector debido a cargas transversales

Si en la ecuación (3 .2) substituimos el valor de le= Ae r2 , donde r es el radio de giro de la sección de concreto con respecto al eje de flexión ( Z ), y factorizamos PIAe nos resulta:

f = - 1 + - +-P ( ey ) My Ae r 2 le (3 . 2 a)

Ahora bien, por lo general, los esfuerzos de interés son los desarrollados en las fibras superior e inferior de la sección, pues ahí son máximos. Entonces para las fases inicial (2) y de servicio (4), aplicando la ecuación (3 .2a), nos resultan las siguientes ecuaciones, para M y e positivos:

en la fase inicial

-P; ( eC1 ) Ma Jn

=- Ac l -7 - --s;

fi; = -- 1 + -- + -P; ( e C2 ) Ma Ac r 2 · S2

en la fase de servicio

donde

fis = - RP1 (l - eC 1 _ Ms ) Ac r 2 S1

fis = -- 1 +-- +-RP1 ( eC2 ) Ms Ác r 2 S2

S1 = Icl C1 (módulo de sección superior)

S2 = Icl C2 (módulo de sección inferior)

Ms= M0 + Md + M1 (momento de servicio, debido a Wo + wd + w¡)

(3 .3)

(3.4)

1 (3.5)

(3 .6)

Note que en las ecuaciones (3 .3) a (3 .6) ya se consideró el signo negativo de la fuerza de presfuerzo y de C1 , razón por la cual todos los parámetros se substituyen con su valor absoluto (positivos). El significado físico de estas ecuaciones se ilustra en la Figura 3 .2, en la cual el efecto del presfuerzo y las cargas se representa con diagramas de esfuerzos. Obviame�te, las ecuaciones son válidas para una sección en particular, esto es, la excentricidad y los momentos serán los de la sección considerada.

Nótese en la Figura 3 .2 que en la fase inicial se pueden esperar, como resultado final, cualquiera de los dos diagramas, es decir, también se puede esperar que se desarrolle algo de tensión en la fibra superior de la sección. De igual manera, en la fase fi�al o de servicio, puede esperarse que se desarrolle algo de tensión en la fibra inferior de la sección.


�' 1mcyc

Para la Fase In icia l :

- · - ·l- · - · - · - · - · - · - · - · -·- · -l te ) Mo - -

·-f- · - · -

·-

·- - · - · -

·-

·- -�¡- ) )

� +\ + l P;/A Pie y/Je Mo!S

Para la Fase Final (o d e servicio):

f1f b f2; B (

Mo f1il f2; b

- · - -/· c · - · - · - · - · - · - · - · - · - · -l te) Ms - - · -f-·- · - · -

·-

·- · - ·

�· - · -

·-�·� ) )

Pe Pee Ms

Capítulo 3

)

� + \ +f ::w ( �Y ) Pe/A Pee y/le Ms!S

Figura 3.2 Esfuerzos desarrollados en e l concreto en fase inicial y fase final

3.4.1 Determinación de las propiedades de la sección de concreto

Desde un punto de vista riguroso para determinar las propiedades de la sección �ebemos de considerar dos hechos. El primero de ellos es que para la construcción postensada, en la fase inicial tendremos una sección con hoyos. Dichos hoyos influyen en los valores de las propiedades. El segundo hecho, que sucede para la construcción pretensada y para la postensada (con cables adheridos) en la fase final, es que tenemos una sección compuesta de dos materiales, y las ecuaciones de la Mecánica Elástica que hemos estado usando sólo son válidas para materiales homogéneos. Por ésta razón tendremos que manejar, de nuevo, el concepto de la sección transformada.

24

Entonces, para empezar, tenemos que separar el concreto pretensado del postensado:

a) Concreto postensado

al) En la Fase Inicial, puesto que los duetos no están lechadeados, las propiedades deberán determinarse con base en elárea neta de la sección que será igual al área gruesa menos el área de los hoyos de los duetos, según se muestra en la Figura 3.3

a2) En la Fase Final (de servicio), si los cables están adheridos, las propiedades deberán d�terminarse con base e_n el área transformada de la sección, es decir, el área de acero tendrá que substituirse por una área equivalente de concreto, según se muestra en la Figura 3.3 y que ya se definió en el Capítulo 1 inciso l. 7 (ver página 1 O). Si los cables no están adheridos, las propiedades se determinarán con base en el área neta de la sección como en la fase inicial.


1f) 1mcyc Análisis por flexión

b) Conereto Pretensado

�,, 1111cyc

En el concreto pretensado los cables estarán adheridos tanto en la fase inicial como en la fase final, por lo tanto en ambas fases las propiedaes se determinarán con base en el área transformada de la sección de concreto.

Ejemplo:

Calcular las propiedades de las secciones mostradas en la Figura 3.3. I / 71 b

Área neta

h

/ I r -��-�� ¡·

h/2 Jl1 n P yt

uctos

Área transformada Figura 3.3 Áreas base para el cálculo de las propiedades dé la sección

a) Para el área neta Acn =Ag -Ad , · A = bh g

Ad h I 2)-Ad( yd) yn =�� Acn

I,. = [ b:; + bh (y. - h I 2) ' ] -Ad ( Y. -y,) 2

C1 = h -yn

Concrefo Presforzado 25

t}"I 1mcyc

b) Para el área transformada

Ac1 =Ag -A,, + nA,, =Ag + Ap(n - 1)

Ág( h / 2) + Áp(n - J) (yd) y1 = �� Ac1

/" = [ b:; + bh ( h / 2 -yi) ' ] +Ap(n - 1) 6'1 -y.¡) '

Si = Jc1/ 7C1

Capítulo 3

C1 = h -y1

Con este ejemplo se ha ilustrado la manera en que, rigurosamente, deben determinarse las propiedades de la sección de concreto. Sin embargo, para la construcción pretensada suele tomarse, como buena aproximación, el área gruesa de la sección como base para la determinación de sus propiedades. Para la construcción postensada, sólo en los casos comunes y rutinarios se toma el área gruesa de la sección como base para la determinación de sus propiedades. Ver que la decisión final debe dejarse al criterio (bien capacitado e informado) del diseñador. (ver sección en 3 .4.3)

3.4.2 Ejemplo: Determinación de los esfuerzos elásticos desarrollados en el concreto.

. Para la viga mostrada en la Figura 3 .4 se requiere determinar los esfuerzos en las fibras superior e inferior (donde tendrán su valor máximo) de las secciones de concreto localizadas en el apoyo, el cuarto del claro y en el centro del claro. Se requiere determinar estos esfuerzo� tanto para la fase inicial (P¡ + w 0 ) como para la fase de servicio o final (Pe + w 0 + w d + w1 ). La viga es postensada con un perfil parabólico.

a

30.00 m

Figura 3.4 Ejemplo de detenninación de esfuerzos elásticos desarrollados

26

200 cm

C1 � C2 �r - . L_- -J .: -

tendones 1 1 100 cm I I 30cm 30cm

Sección a-a

1 0

10



Datos:

Solución:

Wo .= Peso propio (= YcÁc)

wd = 200 kg/m

W¡ = 1800 kg/m

R = 0.85

Ye = 2400 kglm3

P; = 866500. 00 kg

re = 10. 00 cm

l. Determinación de las propiedades de la sección de concreto

Ac = (200)(10) + (160)(10) + (80)(30)2 =8400. 00cm2 (= 0.84m2 )

Ci = y = (200)(10)(95) + (160)(10)(5) + 2(30)(80)(50) =52. 14 cm

. 8400

C1 = 1 00.00 - C2 =47.86 cm

fc = !._ {200) (47 .86} 3 + !... {160) (52 .14} 3 _ }_ {200 -60} {47 .86 -J0} 3 3 3 3

_!_ (160 - 60) (52 .14 - 10} 3 =9841428 .64 = 9841429 .00 cm., 3

S 1 = %1 = 205629 .52 = 205630 .00 cm3

Si =%2

= 188750 .07 = 188750 .00 cm3

r 2 =YAc = 11 71 .60 cm2

e = Ci - re =42 .14 cm

Wo = {2400) (0 .84) = 2016 .00 kg / m

2. Determinación de los esfuerzos desarrollados

Debido a que el cálculo de los esfuerzos desarrollados en las diforentes secciones y para los diferentes estados de cargas es un proceso repetitivo se hará uso de una hoja electrónica de cálculo con el siguiente procedimiento:


�� 1mcyc

a) Cálculo de momentos con la siguiente ecuación

wL w , Mx =-x --x-2 2

b) Cálculo de la excentricidad con la siguiente ecuación

ex = e - yp

Capítulo 3

donde YP estará dada por la ecuación de una parábola referida a un sistema de ejes cuyo'origen coincide con el centroide del presfuerzo en el centro del claro, según la Figura 3 .5

yp =Cx � para determinar el valor de la constante e sabemos que cuando Xp = 1530 cm la Yp = 42.14 cm.

por lo tanto

-Y X - ---- - . X cm e - I 2 - 42.1 4 -. 1 800 1 0-s -1 p p (1 530)2 .

30cm X Xp 1 530cm

e

p L/2+30 cm

Figura 3.5. Perfil de los tendones de presfuerzo

x(m) 0.00

7.50

15 .00

28

c) Cálculo de los esfuerzos desarrollados usando las ecuaciones 3.3 a 3.6

Xo(cm) - 1 500.0

-0750.0

0000.0

Yo( cm) 40.500

1 0. 1 25

0.000

ex( Cm) M0(kg-cm) 1 .640 o

32.01 5 1 70 1 0000

42. 1 40 22680000

FASE INICIAL

EC. 3.3 EC. 3.4

Mikg-cm) M¡(kg-cm) f¡¡(kg/cm2) f2¡(kg/cm2) o o -96.24 - 1 1 0.68

1 687500 1 5 1 87500 -50.97 -' 1 60.01

2250000 20250000 -35.88 - 1 76.45

FASE FINAL

EC. 3.5 EC. 3.6

f1s(kg/cm2) f2s(kg/cm2) -8 1 .8 1 -94.08

- 137-80 -33.08

- 1 56.46 - 1 2.75

Como puede verse la sección más crítica es la del centro del claro, para la cual se muestran en la Figura 3 .6 los diagramas de esfuerzos desarrollados.

Concreto Presforzado .. ,,


FASE INICIAL: f1s

Figura 3 .6. Esfuerzos desarrol lados en la sección del centro del claro

3.4.3 Propiedades a considerar de acuerdo al ACI 318-02

FASE FINAL:

Cfí 1111cyc

El reglamento ACI 3 1 8-02 especifica tres tipos de comportamiento de los elementos presforzados sujetos a flexión, que son:

• Elemento clase U o elementos no agrietados si fr � 2 .0..¡¡: • Elementos clase T o elementos de transición entre aquellos agrietados y no agrietados si 2..¡¡: � fr � 3.2..¡¡: • Elementos clase C o elementos agrietados si fr > 3.2..¡¡: El reglamento ACI 3 1 8-02 permite la evaluación de los esfuerzos debido a cargas de servicio util izando la sección no agrie

tada si los elementos a flexión son clase U ó T. Para elementos en flexión clase C, los esfuerzos para cargas de servicio se evaluan usando las propiedades de la sección transformada agrietada.

Notese que f, es el esfuerzo en la fibra extrema en tensión en la zona de tensión precomprimida evaluada usando las propiedades de la sección gruesa.

3.5 Carga de agrietamiento

Se le llama carga de agrietamiento, en concreto presforzado, a aquella carga que incluyendo el peso propio de la viga y en combinación con la fuerza de presfuerzo produce un esfuerzo de tensión igual al módulo de ruptura del concreto. Usando la ecuación 3 .6, que proporciona el esfuerzo desarrollado en la fibra inferior de la sección, podemos determinar el momento de agrietamiento si substituimos Jis por fr , como a continuación se muestra:

donde


fr - Pe (¡ eC2 ) Mcr r - - - + -- + --

Ác r 2 82

de esta ecuación podemos despejar Mcr

por lo tanto

Pe ( eC2 ) Mcr = fr82 + - 1 + -,- 82, Ac r-

(3 .7)

29


(3 .7a)

una vez conocido el momento de agrietamiento y dependiendo del tipo de carga que tenga la viga se puede conocer la carga de agrietamiento, en la cual se incluye el peso propio. El ACI 3 1 8-02 en su especificación 9 .5 .2.3 adopta como módulo de ruptura para la ecuación 3 .7a. a el valor dado por Ir = 2.fl[

Para una viga en particular se puede determinar su factor de seguridad contra el agrietamiento. Este factor, usualmente, se relaciona con la carga viva y puede determinarse de la siguiente relación:

Mcr = Mo + Md + (F.S.)M (3 .8)

de la cual podemos despejar el factor de seguridad (F.S. )

(3 .8a)

Conocer el momento de agrietamiento para una viga de concreto presforzado se hace necesario en ciertas ocasiones por dos razones. Por un lado, es necesario saber si la viga se agrietará bajo alguna fase de carga para poder usar los métodos y ecuaciones correctas en la determinación de esfuerzos desarrollados y de deflexiones. Por otro lado, es necesario asegurarse que el refuerzo (presforzado y no presforzado) sea suficiente para que el momento resistente sea mayor o igual al momento de agrietamiento incrementado en cierto porcentaje. Esto último con el objeto de asegurar un armado longitudinal mínimo, como se verá más adelante.

El momento de agrietamiento puede necesitarse de tal forma que no incluya el peso propio de la viga (esto se verá cuando se estudie �l corte). Este nuevo momento de agrietamiento (M'cr ) puede d�terminarse simplemente restándole al anterior (Mcr) el momento debido al peso propio

30 .

donde

y

M�r = Mcr - Mo

Mcr =frS2 + - 1 + - S2 Pe ( eC2 ) Ac r2

que substituyendo en la ecuación 3 .9 nos queda

ecuación que puede ser escrita también en la siguiente 'forma

donde

M�r =.!:__ (¡,. + fip -fo) C2

(3 .9)

(3 .9a)

(3 .9b)



fip =- l +-· Pe ( eC2 J Ac r 2

y Mo = momento por peso propio

3.5.1 Ejemplo: Determinación de la carga de agrietamiento

Para el ejemplo desarrollado en 3 .4.2 se requiere determinar el momento de agrietamiento, la carga superpuesta (descontando el peso propio) de agrietamiento y el factor de seguridad contra el agrietamiento.

Datos:

Además de los presentados en 3 .4.2, tenemos:

¡; = 420 kg/ cm2

Solución:

de la ecuación 3 .7a

Ír =2.J420 = 40 .99 kg/cm2

M" = ( 40 .99) (1887 5 O) + (O .85) (8665 00) ( 1J 71 ·/{2 . l4 +42 .14)

Mcr =55323943 .34 kg ·_ cm para una viga simplemente apoyada

de donde

WcrL2 Mmáx= --= Mcr 8

Wcr = 8 Mmáx = (8) (553239 .43) =4917 .68 kg/m L2 (30/

la carga superpuesta será

Wsuper =491 7 .68 - 2016 = 2901 .68 kg/m

la carga viva que producirá el agrietamiento será

WJ, cr = 2901 .68 - 200 = 2701 .68 kg / m el factor de seguridad contra el agrietamiento será

F.S.= 2701 .68 = 1 .501 1800 .00

también de la ecuación 3 .8a


o 1mcyc

F.S.= Mcr - Mo - Md = 55323943 - 22680000 - 2250000 = 1.501 MI 20250000

finalmente, la carga superpuesta también puede determinarse directamente de la ecuación 3 .9b

fr = 2 .J420 =40 .99 kg / cm2

fi = (O .85) (866500) (l + (42 .14) (52 .14) J = 252 . . 12 k ¡ 2 11 8400 1171 .6

g cm

fo = 22680000 = 120 .l6 k 1 cm2 188750

g

M�r = 188750 (40 .99 + 252 .12 - 120 .16) =32644312 .50 kg - cm

Wsuper = (8) (326443 ·125J = 2901 . 72 kg / m (30) 2

Capítulo 3

3.6 Determinación de esfuerzos elásticos en el acero de presfuerzo para vigas con secciones no agrietadas ¡

32

l. Debido a la fuerza ejercida por el "gato"

(3 . 1 0)

2. Debido a la fuerza de presfuerzo inicial (después de pérdidas instantáneas) más el peso propio

donde

P; fa; =- +mfco ÁP

E n =-P P E e

Moe feo = -- (esfuerzo en el concreto debido al peso propio) fe

(3 . 1 1 )

el segundo término de la ecuación 3 . 1 1 representa la parte del esfuerzo debido al peso propio, determinado con base en e l área transformada. Para secciones no agrietadas es pequeño y se desprecia.

3. Debido a la fuerza de presfuerzo efectiva (después de pérdidas totales) más las cargas de servicio

Pe J fae =- +mycs ÁP

(3 . 1 2)


z:) nncyc Análisis por flexión

donde

fi _ Me cs - --lc de nueva cuenta, para secciones no agrietadas, el segundo término es pequeño y se desprecia.

3.6.1 Ejemplo: Determ inar los esfuerzos en el acero de presfuerzo para el ejemplo presentado en 3.4.2 y 3.5.1.

Para el ejemplo presentado en 3 .4.2 y 3 .5 . 1 se requiere determinar los esfuerzos desarrollados en el acero de presfuerzo para las fases:

l. En el tensado,

2. En la fase inicial (P; +w0)

3. En la fase de servicio (Pe + Wo + wd + w, ).

Datos:

Además de los presentados en 3 .4.2 y 3 .5 . 1 , tenemos:

Áp = 67.2 cm2 (48 cables trenzados de 7 hilos, diámetro = 0.6') ·

E P = I . 89x 1 06 kg/ cm2 (para cables trenzados)

PJ = 962780 . 00 kg

J;; = 0 . 7J; = (0 . 70)(420) =294 .00 kg/cm2

Solución :

l . En la aplicación del "gato"

faJ = 962780 .00 = 14327 .1 kg/ e m2 . 67 . 2

2. En la fase inicial o d e transmisión, en el centro del claro

n = 1 . 89x l 06 = 7 .3 p 1 s 1 oo.J294

fao = Moe = (22680000) (42 . 14) =97 . l l kg/ cm2 le 9841429

fi; = 866500 + (7 .3) (97 .11) = 12894 .35 + 708 .90 = 13603 .25 kg/ cm2 67 . 2

nótese que s i s e desprecia e l segundo término habrá un error del 5.5%, aproximadamente.

:oncreto Presforzado 33

fj 1mcyc

3. En la fase final, en el centro del claro

n = I.89 x 106 =6 . ll p 15100 .J420

fes = Mse = (45180000) (42 . 14) = 193 . 46 kg/ cm2 fe 9841429

/pe = (O ·85) (866500) + (6 .11)(193 .46) = 10960 . 19 + 1182 . 04 67 .2 .

/pe = 12142.23 kg/ cm2

Capítulo 3

En este caso si despreciamos el segundo término se cometería un error del 1 0% aproximadamente, que ya es significativo, sin embargo, para efectos de revisión, el esfuerzo efectivo (f,,e ) es irrelevante, puesto que comparado con /PJ es menor, y si éste pasa la prueba con el otro no habrá problemas. Sin embargo, cabe advertir que si el concreto se agrieta, el incremento de esfuerzo puede ser del orden del 20%, y entonces sí habría el peligro de que se rompiera el cable.

3. 7 Esfuerzos permisibl�s en el concreto y en el acero de presfuerzo Los esfuerzos 1desarrollados, tanto en el concreto como en el acero de presfuerzo, no deben sobrepasar ciertos límités que

comúnmente se llaman esfuerzos permisibles. La principal razón de esto es evitar que la viga sufra daños durante la construcción (aplastamientos y agrietamientos en el concreto o ruptura del acero) y para asegurar su serviciabilidad.

Usualmente, para el diseño de la sección de concreto se parte de los requerimientos impuestos por los esfuerzos permisibles en el mismo. Estos se determinan con base en la resistencia a la compresión del concreto (f'c ) modificada por factores de seguridad que garantizan que no se sobrepasarán sus límites elásticos. S in embargo, como nadie puede asegurar de que nunca existirá una sobrecarga, se hace necesaria una revisión por resistencia, esto es, deberá determinarse la capacidad última a flexión de la viga y verificar que sea mayor o igual al momento flector desarrollado con las cargas factorizadas.

Definitivamente, la fuerza de presfuerzo sólo puede determinarse por el método de los esfuerzos permisibles. Esto se debe a que su magnitud debe ser tal que no se sobrepasen los esfuerzos permisibles, tanto en el concreto como en el acero, y que las deflexiones cumplan con los requerimientos existentes. Una vez que se conoce la fuerza, el área del acero de presfuerzo se determina de tal forma que el esfuerzo desarrollado en el mismo no exceda el esfuerzo permisible. Este se determina con base en su capacidad última a la tensión (f,,u ) modificada por un factor de seguridad que nos garantiza que no se sobrepasará su límite elástico.

Al revisar la viga por resistencia, si la cantidad de acero sea insuficiente podrá usarse acero de refuerzo ordinario no presforzado (que es menos costoso).

Los esfuerzos permisibles están publicados en los diferentes reglamentos de construcción. Los factores de seguridad se verán fuertemente influenciados por la severidad de la condición de carga a que se verán sometidas las vigas durante su vida útil . A manera de ejemplo, los esfuerzos permisible propuestos por el ACI son:

l. Para el concreto:

a) En la fase inicial



para vigas s implemente apoyadas y en secciones de los apoyos

El ACI permite que los esfuerzos permisibles a tensión sean excedidos por los desarrollados, sólo si se proporciona acero de refuerzo no pres forzado para que tome toda la fuerza de tensión desarrollada. Esta fuerza se determina con base en las ecuaciones de la Mecánica Elástica considerando que la sección no se agrieta (ver Figura 3 .7). Los esfuerzos, tantof'c1 como los permisibles estarán en kg/cnz2.

f11>ft1

j=c/3 Diseño del refuerzo

T=(1/2 )(c)(f1�(b) As=T/fs

h-c

fi¡ fs=1400 kglcm2 fs=0. 6fy=2100 kglcm 2

Figura 3.7 Refuerzo para tomar esfuerzos de tensión, cuando /11 > fi1

b) En elementos a flexión clase U y T sujetos a esfuerzos en el concreto bajo cargas de servicio, evaluados con propiedades de sección no agrietados y deSflués de-ocurridas las pérdidas de presfuerzo

fes '?. -0 .45f; (Debida a presfuerzo más carga sostenida)

fes '?. -O . 45f ;es '?. -O . 60 f; (Debida a presfuerzo más carga total )

Es conveniente indicar que al usar las especificaciones de algún reglamento debe, también, leerse los comentarios repecto a las mismas para saber bajo que condiciones son válidas.

2. Para el acero de presfuerzo:

a) Debido a la acción del "gato", el menor de

fo¡ ::;; o .94 JPy

JP¡ ::;; O .80 JPu

JP1 ::;; máximo valor recomendado por el fabricante del acero o de los herrajes de anclaje

b) En la fase inicial, para pretensado, el menor de

JP; ::;; o .82 JPy

f pi ::;; O . 7 4 JPu

c) En la fase inicial, para postensado y en los anclajes y copies

JP; ::;; O . 70 JPu


' fl 1mcyc Capítulo 3

nótese que no se requiere revisar los esfuerzos en la fase final. La razón es que el nivel de esfuerzo en esta fase anda muy por debajo del nivel de esfuerzo inducido por el "gato", y aun considerando el incremento por la superposición de cargas difícilmente l legará a éste (si la sección de concreto no se agrieta). De nueva cuenta, es conveniente advertir que, junto con las especificaciones, habrá que tomar en cuenta los comentarios a las mismas para saber bajo que condiciones son válidas.

3.7.1 Ejemplo: Revisión de esfuerzos desarrollados versus permisibles

3 .6. 1 .

36

Revisar, según ACI, los esfuerzos desarrollados tanto en el concreto como en acero, del ejemplo presentado en 3 .4.2, 3 .5 . 1 y

Datos:

Además de los presentados en 3 .4.2, 3 .5 . 1 y 3 .6. 1 , tenemos:

· /pu = 18900 . 00 kglcm2 (grado 270)

/py = O .85fp11 = 16065 . 00 kg/cm2 (acero de relajamiento normal)

Solución:

l . Determinación de los esfuerzos permisibles

a) En el concreto

b) En el acero

fi; = 0 .8.J294 = 13 . 72 kgl cm2

fe; = -0 .60 (294) 7 -1 76 .40 kg I cm2

fis = 1 .6 .J420 =32 . 79 kg / cm2

fes = -0 .45 (420) = -189 .00 kg / cm2 (ó -O .6 ( 420) = -252 kg / cm2 )

fi1 � (O .94) (16065) = 15101 . 10 kg / cm2

fai � (O .80) (18900) = 15120 .00 kg / cm2

fo; � (O . 70) (18900) = 13230 .00 kg / cm2

2. Comparación de los esfuerzos

En la página 28 puede verse que en el concreto se desarrollan sólo esfuerzos de compresión. El mayor de ellos ocurre en la fase inicial y es de 176.45 kg/cm2 contra 176.4 kg/cm2 que es el permisible. Para efectos prácticos estamos en e l límite permitido.

En las páginas 33 y 34 están los esfuerzos desarrollados en el acero. El inducido por el "gato" es de 14327.10 kg/cm2 contra el permitido que es de 15100.00 kg/cm2•• El desarrollado en la fase de transmisión es de 12894.35 kg/cm2 (en los anclajes) contra el permitido que es de 13230.00 kg/cm2

• Si existiera algún copie en la parte media de la viga, entonces el esfuerzo desarrollado sería de 13603.25 kg/cm2 que se excedería del permisible.

S i suponemos que no existen los copies, podemos ver que los esfuerzos desarrollados, tanto en el concreto como en el acero, cumplen con los límites.



3.8 Capacidad última a la flexión de vigas de concreto ·presforzado Ya habíamos visto que no se puede garantizar que las cargas de servicio especificadas (en particular las vivas), actuando en

una viga de concreto presforzado, no se incrementen en algún caso. Por lo cual, se hace necesario deterininar su capacidad última a flexión y compararla con Ja capacidad demandada por las cargas de servicio, incrementadas con Jos factores de seguridad recomendados o especificados por los reglamentos de construcción. De esta manera se podrá conocer si Ja viga es segura, insegura o en alto riesgo de la falla.

La capacidad última a la flexión, se determina suponiendo que los materiales están esforzados a su máxima capacidad y por consiguiente la viga se encuentra en la falla incipiente. El comportamiento del concreto presforzado, en esta etapa� es muy similar al del concreto reforzado, y teniendo en cuenta las dos d.iferencias principales que existen entre esos dos comportamientos (deformaciones . existentes en el acero de pres fuerzo para carga cero y la no existencia de la meseta plástica en el mismo), podemos usar la misma teoría usada para éste para determinar la capacidad última de aquel.

3.8.1 La teoría de resistencia del bloque rectangular de esfuerzos

La Teoría de Resistencia, adoptada por el Instituto Americano del Concreto, para análisis y diseño de elementos de concreto presforzado, parte de los siguientes supuestos:

l. Se conoce la curva del acero de presfuerzo, es decir, se conoce:

J;,u y Bpu son el esfuerzo y deformación último a tensión

f¡,y y Bpy son el esfuerzo y deformación de fluencia (convencional)

he y Bpe son el esfuerzo y deformación debidos a Pe (*)

hs y Bps son el esfuerzo y deformación en la falla

Ep es el módulo de elasticidad

(*) El ACI usa Íse

2. Se conoce la curva del concreto, es decir, se conoce:

· · f'c es la resistencia (última) nominal a la compresión del concreto

Bu es la deformación correspondiente a la falla 3. Las secciones planas antes de la aplicación de la carga permanecen planas después de la aplicación de la carga, por

lo tanto las deformaciones varían linealmente, siendo cero en el eje neutro y máxima en la fibra extrema a compresión.

4. La contribución del concreto a la tensión se desprecia.

5. La variación de los esfuerzos a compresión es idéntica a la curva del concreto a compresión uniaxial (ver Figura 3.8).

6. Se adopta la Teoría de Whitney: El bloque rectangular de esfuerzos equivalente a la variación real de esfuerzos mencionados en el punto 5 (ver Figura 3.8).

Los párametros de la Teoría de Whitney se definen como sigue:

a= P rc (3 . 1 3)


�í . 1mcyc

donde (/ ' 280 ] í31 = 0.85 - 0. 05 e ;o pero 0.65 � í31 � 0.85

Capítulo 3

(3 . 1 4) '

Para vigas T existe la posibilidad, sobretodo, en concreto presforzado, de que los patines sean muy anchos. Para patines muy

T

Bloque de esfuerzos real Bloque de esfuerzos equivalente

Figura 3 .8 Bloque rectangular de esfuerzos equivalente en el concreto a flexión

grandes, el esfuerzo de compresión en ellos no será uniforme a través del ancho. El esfuerzo de compresión tiende a disminuir a medida que nos alejamos del eje vertical de la sección, por lo cual se dice que no todo el patín será efectivo. El ACI 3 1 8-02 Sección 8 . 1 0.2 propone las siguientes recomendaciones para determinar el ancho efectivo, cuando tenemos patines muy anchos:

l. Para vigas simétricas T ¡ L / 4

b 5: J6h¡ + bw s + bw

L =Claro s = Distancia libre entre nervaduras

2. Para vigas T solas, el espesor del patín no deberá ser menor que la mitad del ancho del alma y el ancho total del patín nodebe ser mayor que 4 veces el ancho del alma.

Es conveniente hacer notar que para concreto presforzado las recomendaciones anteriores sólo son eso, es decir, no tienen carácter obligatorio. La razón de esto es que la práctica ha demostrado que vigas presforzadas con patines muy grandes se han comportado satisfactoriamente considerando efectivo todo su ancho de patín.

3.8.2 Determinación defr,s por compatibilidad de deformaciones

Debido a la naturaleza del acero de presfuerzo, que no es un acero estructural con una meseta plástica, no se mantiene constante un cierto valor del esfuerzo para incrementos de deformación como ocurre con el acero de refuerzo ordinario. Por lo tanto, nunca dejará de incrementarse el esfuerzo a medida que aumenten las deformaciones.

Por ello, se hace necesario determinar el valor del esfuerzo que tendrá el acero de presfuerzo cuando la viga esté en la falla incipiente. Esto se puede hacer conociendo la deformación del acero en ese momento, que se puede lograr relacionándola con la deformación de falla del concreto mediante una ecuación de compatibilidad. Una vez conocida dicha deformación, podemos determinar fr,s ya sea usando la gráfica f-e del acero o las ecuaciones propuestas en el capítulo dos (esto es más conveniente, pues se puede programar, ver Apéndice B).



Obviamente, esta ecuación de compatibilidad sólo es posible cuando el acero de presfuerzo está adherido al concreto, lo que sucede en la mayoría de los casos reales, aun tratándose de concreto postensado cuando se "lechadean" los duetos después de que se ha tensado el acero de presfuerzo.

Para ilustrar mejor esta ecuación de compatibilidad, considerémosla primero en el concreto reforzado. Con referencia a la Figura 3 .9a, resulta claro que esta ecuación ·es :

.1s = .1c (3 . 1 5)

que podemos escribir

C.sLs = cele

pero como Ls = Le , entonces

C.s = C.c (3 . 1 5a)

Para derivar la ecuación de compatibilidad en concreto presforzado, debe considerarse que antes de la carga el acero de presfuerzo ya está elongado y que el concreto se encuentra comprimido. Por lo tanto, antes de que el concreto empiece a estirarse deberá descomprimirse. De la Figura 3 .9b, podemos ver que la ecuación de compatibilidad será:

sección antes --------.---. de la carga (-/ en la fa lla �

As

{a) concreto reforzado

Figura 3 .9 Ecuación de compatibilidad

.1ps = .1pe + .1cp + .1c� .

sección antes de la carga

acero con Ape {b) concreto presforzado

que, considerando todas las longitudes iguales, podemos escribir

Eps = Epe + Ecp + Ecs

Acp Aes

(3 . 1 6)

(3 . l 6a)

Nótese que en la ecuación 3 . 1 6 las elongaciones en el acero y en el concreto precomprim ido son elástico-lineales. Por lo cual, en la ecuación de compatibilidad 3 . l 6a, las deformaciones correspondientes estarán dadas por la siguientes ecuaciones:


fc11 Pe ( e2 J C.cp = - =-- J + -7 Ec AcEc r -

(3 . 1 7)

(3 . 1 8)

39

o 1mcyc Capítulo 3

la deformación del concreto correspondiente a la falla se determina de una relación de triángulos semejantes de acuerdo con la Figura 3 . 1 O . ( dp ) Bes = 811 -;; - ]

Eu +-J- d'

e Í c-d'

dp-C d

Es

eu!c = Ecsl(dp·C) Eudp-EuC = EcsC Eu(dp/c-1) = ecs Eu(d/c-1) = Es

(3 . 1 9)

Eu/c = E �sl(c-d} • • Eu{f-d'lc) = e 's

Fig. 3 . 1 O Diagrama de defonnaciones en la falla

en la ecuación 3 . 19 vemos que para poder conocer Bes primero necesitamos conocer e, la profundidad del bloque no rectangular de compresiones. e está relacionada con a, la profundidad del bloque rectangular equivalente de compresiones, por medio de la ecuación 3. 13 . De la Figura 3.8, con la condición de equilibrio :EFx = O podemos obtener una ecuaci<,)n para determinar a:

C = T (3 .20) el problema es que a estará en función de/ps , que precisamente queremos conocer, por lo cual se hace necesario usar el siguiente procedimiento iterativo:

l. Determinar Epe y Ecp con las ecua_ciones 3.17 y 3.18, respectivamente

2. Estimar e (un buen valor inicial es e = h/4)

3. Determinar Ecs� con la ecuación 3.19

4. Determinar Eps con la ecuación 3.16a

5. Determinar /ps usando la gráficaf-E del acero o alguna de las ecuadones del capítulo dos (de la 2.1 a la 2.4)

6. Con el valor estimado de c y el obtenido de fps , determinar C y T, es decir, las fuerzas de tensión y de compresión que forman el par resistente de la sección

7. Comparar T con C y de esa comparación, si :

T:C, entonces se adopta el valor estimado de e y el obtenido defps

T =:;; C, Pero T < C, entonces disminuir la e estimada y regresar al paso 3 T =:;; C, pero T > C, entonces aumentar la e estimada y regresar al p�so 3

Una vez qtie se conoce e y /ps , y obviamente C y T, se puede evaluar la capacidad última nominal a la flexión (capacidad úl-tima = resistencia).

·

Aunque la Teoría del B loque R�ctangular Equivalente se desa�olló para secciones rectangulares, numerosos análisis de sec-, ciop.es T, I, O y D., basados en la curva realf-E a compresión, han demostrado 9ue sólo se introducen errores mínimos cuando se usa en éstas.


,, 1111cyc Análisis por flexión

Si la viga de concreto presforzado tiene también acero de refuerzo no presforzado, a tensión o a compresión, deberá de tomarse en cuenta al determinar Cy T. Inicialmente se supone que en estos aceros se desarrolla el esfuerzo de fluencia, debiéndose verificar esto con las relaciones que se derivan de la Figura 3 . 1 O y que escribimos a continuación:

&.= Et - ]) (3 .2 1 )

si ¡;, entonces fs =EsE.� (3.22) Es< f,y = -, Es

si Es � f,y entonces Is =fy (3 .23)

E', = Eu(l<l (3.24)

aplicándose para esta última las mismas relaciones 3.22 y 3.23 , según el caso. Si acaso las deformaciones resultan menores que la correspondiente a la fluencia, entonces habrá que determinar los valores de/� y Is iterativamente.

3.8.3 Determinación de/ps por ecuaciones (empíricas) propuestas por el ACI

1 8 .7.2): Para los casos en los cuales /pe � 0.5/pu , el ACI propone las siguientes ecuaciones para determinar el valor de /ps (Sección

a) Para acero de presfuerzo adherido

donde:

{ YP [ fau d , ]} ¡: fas = fau 1 -- pp -1 + -(ro -ro ) � JP"

P1 fe dp

Yp factor que depende del tipo de acero de presfuerzo

0.55 para hyl hu no menor que 0.80 ( 0.80 -5,,hyl hu < 0.85)

0.40 para hyl h11 no �enor que 0.85 ( 0.85 -5,,fpyl fp;,< 0.90)

0.28 para hyl /pu no menor que 0.90 ( 0.90 -5,,fpyl /pw) (acero de bajo relajamiento)

p1 factor definido en la ecuación 3 . 1 4

ro = Pfylf'e

ro p '/y/ Je

:oncreto Presforzado 4 1

:� ' 1mcyc Capítulo 3

la ecuación 3 .25 es válida sólo cuando no se tiene acero de pres fuerzo a compresión . Si se tiene acero de_ refuerzo ordinario a compresión, entonces: [ jm d { ')] pp-, + - ú.) - ú.) '?:::. 0. 1 7

fe . e/¡, y

d' :::; o . 15d¡,

estos requisitos son para garantizar que el acero de refuerzo ordinario a compresión desarrolle la fluencia (ver comentarios R l 8.7.2 del reglamento del ACI).

b) Para acero de presfuerzo no adherido y con L / lt � 35, tomar el menor de

en kg / cm 2

fes = fee + 4200

c) Para acer� de presfuerzo no adherido y con L / lt >35, tomar el menor de

fp.f =fpe + 700 +L 300p p

en kg/cm 2

(3 .26)

(3.27)

Note que el concreto pretensado siempre tendrá el acero de presfuerzo adherido, pues es el mecanismo que asegura la transferencia de la fuerza de presfuerzo del acero al concreto. El concreto postensado es el que puede tener el acero de presfuerzo no adherido, por ejemplo, en losas con poco espesor se perdería mucha área con los duetos, por lo cual, al fabricarlas se coloca primero el acero cubierto con papel engrasado para que el concreto no se adhiera a éste y poder tensarlo una vez que endurezca. Otro ejemplo es el de las vigas cajón que alojan los duetos no en sus paredes sino en el cajón mismo.

Finalmente, es conveniente considerar la posibil idad de que tengamos acero de presfuerzo no adherido y que porno cumplir el requisito de que, Íre � 0.S/pu no se puedan usar las ecuaciones 3 .26 ó 3 .27. Obviamente, tampoco se podrá usar el método de compatibil idades. Sin embargo, numerosas pruebas experimentales han demostrado que la resistencia a flex ión de vigas con acero de presfuerzo sin adherir representa aproximadamente el 75% de la resistencia de la misma viga con acero de pres fuerzo adherido. Por lo cual,

. para vigas con acero dt! prcsfuerzo no adherido, se sugiere determinar la capacidad última a flex ión usando compatibilidad de deformaciones y reducirla en un 25%.

3.8.4 Determinación de la resistencia a flexión de vigas de sección rectangular

Una vez que se ha determinado el valor de /ps se puede determinar la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto (a) y conocer el brazo de palanca del par resistente formado por la fuerza de tensión (7) y la fuerza de compresión (C). Entonces, para una viga subrcforzada, suponiendo que también tiene acero de refuerzo ordinario a tensión y a compresión, y con referencia a la Figura 3 . 1 1 , derivamos las siguientes ecuaciones:



T �C , pero puesto que

a = A"fp.v +AJY -Aj>' 0 . 85/,'. b

y C = 0.85.('.ab +Ajy =>

�M,1 =�[ A¡fi1s(c/¡1 - a I 2) + A.�f.{d - a I 2) + A'.fr(a I 2 - d' )] (3 .29)

donde � = o . 90

(3 .28)

::¡ 1111cyc

deberá verificarse, con las ecuaciones 3 .2 1 a 3 ._24, que en los aceros de refuerzo ordinario se desarroll.e e l esfuerzo de fluencia, de no ser así, deberán determinarse los esfuerzos desarrollados, usando iterativamente las ecuaciones 3 .2 1 a 3 .24 y la 3 .28.

b �( ;� ·

a/2-d ' d'� t l � . e

- -·-·-·-·- · - - -·-·-·-· · -·- · · -· -· -· - · - · - _ _ _ _ _ _ - · - · - _ _ - · - _ - · - _ _ _ _ - · - · - _ _ _ �·�t:._312I �a�;::.�;f. cab d dp

sección

...------------....... ---�--.-T µ=Aµfps >------------------------------+---+ Ts=Asfy

corte lateral

Fig. 3 . 1 1 Resistencia a la flexión de secciones rectangulares

3.8.5 Determinación de la resistencia a la flexión de vigas T

En concreto pres forzado, igual que en concreto reforzado, para vigas T (ll � fl¡) se recurre al artificio de dividir el área de concreto a compresión en dos: las alas del patín y el alma. De igual manera el acero a tensión se divide en dos: una parte para balancear la fuerza de compresión de las alas y otra para balancear la fuerza de compresión del alma.

Cuando la viga Ttambién tiene acero de refuerzo ordinario a tensión, debería determinarse en qué proporción cada tipo de refuerzo (Ap y As) es asociado con las alas y en qué proporción con el alma. El ACI, en su planteamiento, asocia A .... con el alma como una aproximación, pues de otra manera el problema sería indeterminado. Las vigas Traramente necesitan acero de refuerzo a compresión, pues sus patines son muy anchos.

Con base en Jo anterior y con referencia a la Figura 3 . 1 2 s� derivan las ecuaciones para determinar la resistencia a Ja flexión� de vigas subreforzadas, y que escribimos a continuación:

C=T

pero


o 1mcyc Capítulo 3

(b-bw)/2 bw (b-bw}/2

¿ 71/ ( 7( /1 7 . 0.85f'c ,./'---;!<'

0.85f'c � Cr=0.85f'c{b-bw)hf ·Cw=0.85f'cabw

'.·.· .. •.·.> ·+•• •_.•· ·.·��- j i ¡. . Hf/2 �/2

t ,,.1 . 1r . •. · � ú a e up-a1.

- - - - - - - - - - - - - - - - · - - - - - - - - - � ...!.. - - -�w - -hr/2 dp . P dp-a/2

d h-hr Ap • Apfps . d-dp Asfy

sección corte lateral

Figura 3 . 1 2 Resistencia a la flexión de secciones T

C =C1 +Cw y

T = A¡/ps + As/y =>

C¡ +Cw =Apfps +As/y obviamente, C¡ es equilibrada por una parte de la fuerza de tensión total, arbitrariamente:

pero

C1 = O. 85 f; (b - bw) h¡, =>

Ap¡ = 0.85/ �(b - bw)h¡ · . fas ·

(3 .30)

. . la parte remanente de la fuerza de tensión total es equilibrada por Cw y se define, de nuevo arbitrariamente, como Apwfr,s, por lo

· tanto:

Cw = Apwfas = A¡/ps + Asfy -Ap¡fps :=:>

A _ A¡/ps + Asfy -ApJ /µs pw fas .

ahora bien, puesto que C w =0.85 ¡; bwa= Apwfps s podemos determinar a:

Apw/µs a = ----0 .85/�bw

(3.3 1 )

(3 .32)

�nalmente, podemos determinar la resistencia a flexión haciendo momentos con respecto a la fuerza de tensión proporcionada por el Rcero de presfuerzo:

$Mn =$[Cw(dp - a / 2) +C¡(dp - h¡ / 2) +Asfy(d - dp)] (3 .33)

la cual podemos reescribir en otra forma, si substituimos Cw por Apw/ps y C¡ por Ap¡/ps, como se indica a continuación:



<j>Mn =<l> [Apwfis(dp - a / 2) +Ápffes(dp - h¡ / 2) +Aify(d - dp)] (3 .33a)

3.8.6 Límites del refuerzo (presforzado y no presforzado) a flexión

Ya se dijo anteriormentes, que cuando el concreto se agrieta, por alguna sobrecarga no prevista o porque así se previó, el esfuerzo en el acero de presfuerzo se puede incrementar hasta niveles que lo ponen en peligro_de ruptura. D_ebido a esto es necesario asegurarse que la viga tendrá un mínimo de refuerzo longitudinal (Ap+As) tal que Ja resistencia a Ja flexión sea mayor, o al menos igual que el momento de agrietamiento (Mcr) incrementado por cierto factor. El ACI 3 1 8-02 Sección 1 8 .8.2 requiere que:

cpMn � J.2Mcr el ACI acepta que no se cumpla este requerimiento si la resistencia a Ja flexión y al corte es al menos dos veces mayor que la demanda, a la flexión y al corte, por las cargas reales increll!entadas por los factores de seguridad.

Al igual que en concreto reforzado no es conveniente que las vigas de concreto presforzado sean sobrerreforzadas,-porque de ocurrir una falla ésta se presentaría s in aviso previo, debido a Ja poca deflexión por Ja gran cantidad de acero.

Sin embargo, a diferencia del concreto reforzado, se permite el uso de las vigas de concreto presfo�do sobrerreforzadas siempre y cuando el momento resistente, calculado solamente con Ja cantidad de acero correspondiente a Ja falla balanceada y tomando (del par) la fuerza de compresión, sea mayor o igual al momento último desarrollado por las cargas reales factorizadas. El ACI establece que:

a) Las vigas de sección rectangular o vigas T que se comporten como rectangulares, serán sobrerreforzadas

s i

donde

©p = PP fas / J � ro = p fi / f� ro' = P 'fi I f �

para una viga sobrerreforzada el momento resistente, en Ja falla balanceada, estará dado por

j (3 .34)

(3 .35)

s in embargo, nótese en Ja ecuación 3 .34 que es posible hacer que la viga sobrerreforzada se h_aga subreforzada aumentando la cantidad de acero de refuerzo ord!nario a compresión, es decir, hacer Ja viga más dúctil y aprovechar todo el acero a tensión. Obviamente, esto se hará cuando Mu > ( <PMn)bal .

b) Las vigas T, donde a > h1 , serán sobrerreforzadas

si [ro,... + � (ro. - ro' w)] > O .36f31 (3 .36)


fl 1mcyc Capitulo 3

donde para determinar los índices de refuerzo ( roP""' ro""' ro 'w) se toma el ancho del alma. El momento resistente, en la fallabalanceada estará dado por:

$Mn =$[/�bwd� (O .36J31 - O .osp; ) + O .85 f� (b - bw)h¡(dp - h¡ / 2 )] (3 .37)

3.8. 7 Revisión por resistencia a la flexión

Para que una viga de concreto presforzado sea segura, según el ACI, se requiere que:

y que

donde

Mi, = J.2(Mo .+ Md) + 1.6 MI

si al revisar, la viga de concreto presforzado, encontramos que

$ Mn < Ms , lo más probable es que la viga falle

Ms <$ Mn < M,, , la viga será insegura

$ Mn � M,, , la viga será segura

3.8.8 Ejemplo: Revisión por flexión de una viga de sección rectangular

Se requiere revisar, por resistencia, una viga de concreto presforzado {postensada) de sección rectangular (ver Figura 3 . 1 3) siguiendo las especificaciones del ACI:

Datos:

46

Wd = 500.00 kg/m W¡ = 1000.00 kg/m

f'c = 350.00 kglcm2

h. = 4200.00 kglcm2 /pu = 1 7500.00 kglcm2 (grado 250)

fpy = 0.85/p,, (acero de relajamiento normal)

Ac = 6000.00 cm2

C1 = C2 = 75.00 cm

S, = S2 = 150000.00 cm3

r2 = 1875.00 cm2

Ap = 1O.00 cni2 (un sólo dueto) A, = 7.62 cm2 ( 6 vs. #4)

Pe = 122000.00 kg

ye = 2400. 00 kglm3

L = 20.00 m


Análisis por flexión 1 perfil parabólico ! 1

L 10.00 m

JI 10.00 m

40 cm

) )

As a

1 50 cm -- Ap 5 cm

sección a-a en el centro del claro

Figura 3 . 1 3 Ejemplo de revisión por resistencia de una sección rectangular

Solución:

l. Determinación defps :


a) Por compatibilidad de deformaciones

l. Determinación de Epe y Ecp

Epe = 122000 = 0 �00646

JO � 1 .89 X 106

Ecp = 122000 (] +

55 2 J = 0 .000188 6000 X J5J00 .J350 1875

2. Estimación de e 1 e := - h = 3 7.50 cm 4

3. Determinación de Ecs

( 150 - 20 J Ecs = 0 . 003 - ] = 0 .0074 37 .5

4. Determinación de Eps

Eps = 0.00646+. 000188+.0074 = 0. 014048

5. Determinación defps Para acero grado 250 y de relajamiento normal, de la tabla 2. 1

Ep = ].89 x l06 kg l cm2 , A = 0. 0246, B = 126. 7 y C = 5.305

47

o 1mcyc

48

Capítulo 3

de la ecuación 2. 1

fis = (1.89 x 106 ) (O .014048) [o .0246 + J - O 'º246 1 ] = 15078 kgj cm2 . . [1 + (126 . 7 x 0 .014048j5-3º� ] 5.3o5 .

6. Determinación de C y T

J31 =o .85 - o .05 (350 - 28º J =O :8 . . 70 .

a = (O .80) (37.50) =30 .00 cm

C = (O .85) (350 .00) (30 .. 00) (40 .00) =357000 . 00 kg

T=(I0 .00) (1 5078 .00)+ �7 .62) ( 4200 .0)=1 82784 .00 kg

7. De la comparación de C con T podemos ver que necesitamos reducir e y regresar al paso 3

2. Estimar e

c = 20 . 00 cm

3 . Determinación de Ecs . ( 130 J ecs = 0. 003 20

- 1 = 0. 0165

4. Determinación de eps eps = 0. 00646 + 0. 00188 + 0. 0165 = 0. 02484

5. Determinación de /ps con la ecuación 2. 1

J;s = 15699. 00kg/cm2


C = (0.85) (350) (0.8 X 20) (40) = 190000. 00 kg

T = (JO) (15699) + (7. 62) (4200) = 188994. 0 kg

7. De comparar C con T vemos que aún tenemos que disminuir (poco) el valor de e

2. Estimar el valor de e

c = 19.85 cm

3 . Qeterminar Ecs

Ecs = 0. 003 (130/19.85-1) = 0. 016647



4. Determinar Eps

eps = 0. 00646 + 0. 00188 + 0. 016647 = 0. 024987

5. Determinación de hs

J;s = 15706. 00 kg/cm2


C = (0.85)(350)(0.8 x 19.85)(40) = 188972. 0 kg

= (10)(15706) + (7. 62)(4200) = 189064.0 kg , 7. De comparar C con T vemos que T=. C, entonces

c. = 19.85 cm, a = 15.88 cm y /ps = 15706. 00 kglcm2

8. V�rificar si fs = /y ey =/y/Es = 4200 /2.0'fE6 = 0. 00206 ..

es = 0. 003 (145 / 19.85-1) = 0. 0189 > ey => fs =/y = 4200 kg/cm2•

b) Por ecuación propuesta· por el ACI (ec. 3.25, para acero adherido):

l. Verificar si se puede usar

fpe = 122000 /10 = 12200 kg/ c"!i > 0.5fp11 = 8750 kg/cm2

por lo tanto, sí es posible usar la fórmula propuesta por el ACI.

2. Determinación de los parámetros

"fp = 0.4

f3, = 0.8

10 PP ·e )C .

) = º .00192

40 130

ro= ¡;, � ·.

7 .62 . 4200 = 0 .01576

p 1: (40)( 14�) 350 .

3. Determinación de /ps

fis =fi {1 - o . 4 [(0 .00 1 92) 1 750

_

0 + 1 45 co .o I 576 -o)J } p p 0 . 8 350 1 30 .

fis =0 .9432JP11

con fas = 1 6506 kg / cm2

entonces co P = O. 090692


o 1mcyc

50

por lo que

(roP + � ( ro -ro')J =0.0928 dp

contra

0.32f31= 0.256

2. Investigar si es subreforzada o sobrerreforzada (usando /ps = 1 5706 kg/cm2 )

fas (0 .00 1 92) {1 5706) (J)p = p - = =0 .0862 p 1: 350

(ro, + 1 (ro -ro ' )) = ( 0. 0862+ :;� (0 . 0 1 576-0)) = 0 . 1 04

0 .36f31 =0 .36x 0 . 8 =0 .288

por lo que podemos decir que es subreforzada.

ó si a- Apf ps = 1 0(1 6506) = 1 3 . 87 cm 0 .85/ :b 0 .85(350)( 40)

c =� = 1 3 ·87 = 1 7 .338 cm f31 0 . 8

� = 1 7 ·338 = 0 .334< 0 .375

dp 1 30

por l o tanto <1> =09

3. Determinación de la capacidad última a la flexión

cj>M. =0 .9 [1 0x ! 5706 (1 30 - 1 5;88) + 7 .62x 4200 ( 145 - 1 5;88)] <J>Mn =2 120 1 49 1 .00 kg - cm=2 12.0 t - m

4. Determinación del momento último actuante

Mu = 1 .2{ Mo + Md) + l .6M1

{6000x 0 .24) {20)2 Mo = X 1 00 = 7200000 .00 kg - cm

8

Capítulo 3



(500) (20) 2 Md = x l 00 =2500000 .00 kg - cm

8 (1 000) (20)2

M, = x I 00 = 5000000 .00 kg - cm 8

M,, = 1 9640000 kg - cm

5. Determinación del momento de agrietamiento

M" =(2"'350)(1 50000) + (122000f ��5 + 55) Mer = 1 5372 486 kg - cm L2Mer = 1 8446983 kg-cm= 1 84.5 !-m

6 . Revisión según criterios del ACI

�Mn = M,,

<j>Mn > L2Mcr Como puede observarse, el momento resistente es mayor que el actuante por las cargas facto rizadas en un 7 .94 %. En cuanto al

refuerzo mínimo, éste es satisfactorio puesto que el momento resistente es mayor que el de agrietCtmiento incrementado en un 20%, como especifica el reglamento.

3.8.9 Ejemplo: Revisión por flexión de una viga de sección T

Se requiere revisar, por resistencia según criterios del A CI, la viga de concreto pres forzado (pretensado) que se indica en la Figura 3 . 14.

Datos:

W0 = 768. 00 kg/m

wd = 570. 00 kglm W¡ = 1330. 00 kg/m

fe = 250.00 kg/cm1 ¡;, = 4200.00 kg/cm1 /pu = 18900. 00 (grado 270) fpy = 0.85J;u (acero de re -

. /ajamiento normal)


Ac = 3200. 00 cm1

e, = 30.62 cm Ci = 49.38 cm le = 212541 7. 00 cm" s,. = 69413.00 cm3 S1 = 43042. 00 cm3 r = 664. 19 cm1

Ap = 15. 79 cm1 (J 6 cables cp=l/2 ") e = 34.38 cm (cte.) Pe = 160000. 00 kg

Ye = 2400. 00 kglm3 L = 20.00 m

5 1

o 1mcyc

fP-·-*--·*·-·*·--�---��-w1

a A· 10.00 m 10.00 m ;f

5 75 30 15

Figura 3.14 Ejemplo de revisión por resistencia de una sección T (doble T)

1 00

sección a-a

1 5 3 0

Ap/2

Capítulo 3

Solución:

52

l . Determinación de/ps

/pe = 1 60000 = 1 0 1 33 kg I cm2

1 5 . 79

0 .5/pu = 9450 kg / cm2

Puesto que/pe > 0.5/pu y el acero de pres fuerzo está adherido, entonces podemos usar la ecuación empírica propuesta por el ACI (ecuación 3 .25):

YP = 0.40 (para acero de relajamiento normal)

f31 = 0.85 (para concreto de 250 kglcm2)

dp = 80-15 = 65.00 cm

co = O (inicialmente no tiene acero de refuerzo a tensión)

co ' = O (inicialmente no tiene acero de refuerzo a compresión)

- 1 5 · 79 =0 .00 12785 PP I 90 ·X 65

JPs =JPu 1 -- 0 .00 1 2785x-- + O { 0 . 40 ( 1 8900 ) } 0 . 85 250

JPs = 0 .9545/pu = 1 8040 kg / cm2

2. Determinar si se comporta como sección To sección rectangular

a = 1 5 . 79 X 1 8040 = 7 .05>h¡ 0 .85 X 250 X 1 90



por lo tanto se comporta como T y habrá que recalcular a:

Áp¡ - 0 .85 x 250 (1 90 -30) (5) =9 .42 cm2 1 8040 Ápw = 1 5 . 79 -9 .42 = 6.37 cm2

a = 637 x 1 8040 = l 8 .02 cm 0.85x 250x 30 3 . Determinar s i es subreforzada o sobrerreforzada

637 1 8040 . (l)pw =--X--=0236< 036J31 =0306

· 30x65 250 por lo tanto es subreforzada

4. Determinación del momento resistente

por lo tanto

a c =-=2 1 .2 cm 131

dP = 65 cm

_:._ =o.326< o.375 dp

<!> = O. 9 y esta controlada por las tensiones o es viga clase U.

Se puede calcular desde el límite de 0.32 p 1 • En caso de no cumplir se ajusta <!> ·

<j>Mn =0 �9 [637X 1 8040(65 - 1 8 .02 / 2}+ 9 .42x 1 8040(65 .- 5 / 2)]

cj>Mn = 1 53496 1 7.00 kg -cm

5. Determinación del momento de agrietamiento

Mcr =2.J250( 43042) + 1 60000 ( 6642 + 3438J 4938 Mcr =90 1 4002 kg - cm 12Mcr = 1 08 1 6802 kg - cm

6. Determinación del momento último actuante

M, (768 + 570 + 1 330) [ (2�) 2 ] x ! OO ·Concreto Presforzado 53

o 1mcyc

54

Capítulo 3

Ms = 1 3340000.00 kg-cm

M,, = [1 .2 (768 + 570) + 1 . 6 (1330)] [ (2�)' ] X J 00

M,, = 1 8668000 kg - cm

7. Revisión según criterios del ACI Ms =< cpMn < M,,

<pMn > l .2Mcr puesto que el momento resistente es mayor que el de servicio, pero menor que el último desarrollado por las cargas factorizadas, se concluye que la viga es insegura. Por otro lado el refuerzo longitudinal cumple con los requisitos de armado mínimo, al ser el momento resistente mayor que el momento de agrietamiento incrementado en un 20% según requerimiento del ACI.

8. Determinación de los factores de seguridad actuales

dado que

entonces

(F.S .) · = �Mn - (F.S . ) d(Mo + Md) I MI

(F.S.)d =1.20,

( F .s .) = _1 5_34_9_61_1_-_i .2_0�( 3_8_40_00_0_+_28_5_00_0_.;_o) I 6650000 (F.S.) 1 = 1 .1 0< 1 .6

como podemos ver, los factores están por abajo de los recomendados por el ACI. De ahí que digamos que la viga es insegura, según este criterio. Se recomienda poner acero de refuerzo a tensión para incrementar el momento resistente, esto es posible, pues la viga es (subreforzada), por lo tanto está controlada por las tensiones ó clase tipo U.



Problemas 3.1 Para la sección transversal indicada en la Figura P3 . 1 determine:

a) Las propiedades de la sección gruesa

b) L:ls propiedades de la sección neta

o llftCYC

e) Las propiedades de la sección transformada, suponiendo que cada dueto aloja 6 cables trenzados de media pulgada de diámetro y de grado 270. Suponga un concreto de f'c=420 kglcm2•

·

1 0 1 0

65

1 5

25

1 25 1 · 25 1 1

! 1 1 i i i i i 20 i i i diámetro de duetos = 5 cm

m 1 1 i 1 1 10 15 15 1 0

f 1 0 1 0 1 0

Figura P3. I Determinación de propiedades de l a sección transversal

3.2 Para el ejemplo desarrollado en la sección 3 .4.2 haga lo mismo; pero usando las propiedad�s del área neta en la fase inicial y las propiedades del área transformada en la fase final. Suponga que el diámetro de los duetos es de 5 cm.

3.3 Para el ejemplo desarrollado en la sección 3 .6. 1 haga lo mismo; pero usando las propiedades del área neta en la fase inicial y las propiedades del área transformada en la fase final .

3.4 El núcleo de una sección se define como aquella zona, de la sección, donde puede estar una fuerza de compresión sin producir esfuerzos de tensión en ningún punto de la misma. Usando la fórmula general de esfuerzos combinados y con base en la Figura P3.2, demuestre que los límites superior e inferior del núcleo están dados por las siguientes ecuaciones:

la fórmula general


r 2 k1 = -

c 2

r 2 b =

C1

! =- 1 + -p ( ey ) Ac r 2

5 5

o 1mcyc

f1 f1=0 - - -

- -

- - - -

-

- - - - -

- -

- -

- - - -

-

- - -

- -

- - -

- - - -

- - - - - - -

.. �-- P V\ K1 (·\.

-·- · - · - ·

·-·- · -

·- · - ·

ó ("· ··\ ..

p ¡=:··· · ·· ·\

· .. . - - - - - - . . - . . . - . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . - . . - . - . .

r-.·.::· · ...... . \ sección

Figura P3.2 Núcleo de la sección

Capít�lo 3

3.5 Se requiere revisar la sección estándar, tomada del Manual de Diseño del PCI y que se muestra en la Figura P3 .3, según los requerimientos de esfuerzos permisibles del ACI en secciones de apoyo y de centro del claro, tanto para la fase inicial como para la fase de servicio. El Manual especifica que la sección puede soportar, en un claro de 15 .25 m, su peso propio de 6 1 8 kg/m, una carga muerta adicional de 1 1 8 kg/m y una carga viva de 79 1 kg/m. Determine, también, el factor de seguridad contra el agrietamiento (si lo hay), tome /, = 2.[l':. Del l}'f anual se obtiene la siguiente información:

56

Áe = 2587 cm2

le = 873462 cm4

C1 = 1 7.40 cm

C2 = 43.60 cm

S1 = 50194 cm3

S2 = 20058 cm3

eex= 23.24 cm ee�=36.58 cm

Ap = 8 cables trenzados 7 hilo� de diámetro 112 "

Grado: 270

R = 0.88

Je = 350 kglcm2

Jei = 245 kglcm2

fp; =O. 7fpu (desarrollado en F.!.)

Nota: Use las propiedades con base en el área gruesa.

1 5.25 m

Figura P3.3 Análisis y revisión de una sección estándar del PCI (8DT24)

96"

sección a-a (8DT24)



f j 1111eyc

3.6 Investigue ¿Qué otras teorías de bloques equivalentes al real se han propuesto para determinar la capacidad última a flexión?

3.7 Investigue ¿En qué reglamento (año) adoptó el ACI la Teoría del Bloque Rectangular Equivalente, como parte principal, para la de- terminación de la capacidad última a flexión?

3.8 ¿Por qué cree usted que la Teoría de Resistencia desplazó a la Teoría Elástica en e] diseño de estructuras de concreto refor-zado?

3.9 ¿Por qué creé usted que sea válido usar Teoría Elástica en e] análisis a flexión del concreto presforzado? ¿Cuáles serían las condiciones necesarias para la validez? ¿Cree usted que la fuerza de presfuerzo tenga algo que ver? ¿Por qué? ·

3.1 0 Para el diseño de estructuras de concreto reforzado, por teoría de resistencia, se usan los elementos mecánicos (momento flector, fuerza cortante, entre otros.) obtenidos de un análisis elástico. ¿Cuál cree usted que sea la justificación de esto?

3.1 1 Revise, por resistencia a la flexión, la viga del ejemplo 3 .4.2 según lós criterios del ACI (vea también los ejemplos 3 .5 . 1 , 3 .6. 1 y 3 .7. l por s i necesita información). Determine /ps por compatibilidad de deformaciones usando l a ecuación modificada de Ramberg-Osgood (ecuación 2. 1 ) . Si encuentra que la viga no es seg1:1ra proponga acero de refuerzo ordinario (a tensión o a compresión, o ambos) para hacerla segura. Suponga acero de presfuerzo grado 270 con /py = 0.85/pu.

3.12 Para la viga del ejemplo 3 .8 .9, determine/ps por compatibilidad de deformaciones y haga que sea segura, de acuerdo con los criterios del ACI, usando acero de refuerzo ya sea a tensión o a compresión ( o ambos) con /y = 4200 kg/cm2 • Sugerencia: Para determinar la cantidad de acero de refuerzo, use el método de prueba y error (proponga la cantidad de acero y revise), usando la relación para determinar el índice de refuerzo en combinación con la relación que marca el límite entre las vigas subreforzadas y las sobrerreforzadas, de tal manera que siempre tenga una viga subreforzada.

3.13 Para la sección de la Figura P3 .4 determine el momento resistente y vea si cumple con el requerimiento del ACI para el armado mínimo a flexión. Si la sección es de una viga que está simplemente apoyada en sus extremos soportando solamente su peso propio y una carga viva en un claro de 1 5 .25 m, determine el valor de la carga viva que puede soportar con seguridad usando los factores de carga adoptados por el ACI. Use como datos: Ap = 13.81 cm2 (grado 270),/pe= 12600 kg/cm2, f'c=350 kg/cm2 y /pyl/pu=0.9.

244 cm 3.81 7.62 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : ... ·.·.·.·.·.·.·.·.-.·:.·.·.� · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7.62

72.39 Ap

20.321 • 20.32 1 1 1 1

7.62 7.62

Figura P3.4 Análisis y revisión de una sección T


91.44 cm

57

�' 1mcyc

Capítulo 4

Diseño por flexión

4.1 Introducción

Actualmente, el disefio completo de vigas de concreto presforzado puede hacerse siguiendo diferentes criterios, por ejemplo, criterio de serviciabilidad, de resistencia y una combinación de los dos que sería el criterio del presforzado parcial. Sin embargo, para el disefio de la fuerza de presfuerzo definitivamente sólo puede usarse el criterio de serviciabilidad, es decir, de la teoría elástica.

Por resistencia sólo podría disefiarse la cantidad de acero requerido, pero no la fuerza, pues para que ésta exista el acero deberá esforzarse no más allá de su límite elástico

Un procedimiento razonable sería disefiar, tanto la sección de concreto como la fuerza.de presfuerzo, elásticamente para cargas de servicio y revisar por resistencia para cumplir la demanda de dichas cargas incrementadas por los factores de seguridad usuales. �i la capacidad última resulta menor que lademanda,.se puede incluir acero de refuerzo no presfórzado para incrementar la capacidad última a la flexión.

Otras veces se disefia completamente, fuerza y sección de concreto, sólo para las cargas muertas y una pequeña fracción de la carga viva, resultando un pres forzado parcial . Obviamente, la viga se agrietará cuando la totalidad de la carga viva actúe y se tendrá que recurrir a la contribución del acero de refuerzo no pres forzado para cumplir con requerimientos de seguridad por resistencia a la flexión;

El disefio, s iguiendo el criterio del presforzado parcial, también puede hacerse para todas las cargas de servicio, adoptando el esfuerzo permisible a tensión en la fase final, especificado por el ACI y que es mayor al módulo de ruptura del concreto. De nuevo, cuando actúen todas las cargas de servicio, el concreto se agrietará y necesitará de la ayuda del acero de refuerzo no presforzado para controlar las grietas y cumplir con la demanda última a flexión.

Existen dos métodos que siguen el criterio elástico para el diseño por tlex ión. El método de los esfuerzos perm isibles es uno de ellos, y el método de la carga balanceada es el otro.

El método de los esfuerzos permisibles establece como requerimientos para disefiar, tanto la sección de concreto como la fuerza de presfuerzo, que los esfuerzos desarrollados por las cargas de servicio no sobrepasen ciertos límites conocidos como esfuerzos pennisibles. Los requerimientos son tanto para la fase inicial como para la fase final.

En el método de la carga balanceada se inicia suponiendo una sección de concreto. La fuerza de presfuerzo. se diseña de tal manera que su carga equivalente balancee las cargas de servicio (i'ncluyendo el peso propio). Acto seguido deberá revisarse que los es· fuerzas elásticos desarrollados .en el concreto no sobrepasen los permisibles, de ocurrir esto deberá proponerse otra sección.

Como puede apreciarse, el primer método es más completo que el segundo, sin embargo, el segundo es más rápido cuando se . tiene experiencia en el disefio.


o 1mcyc Capítulo 4

4.2 Diseño basado en esfuerzos permisibles El método de los esfuerzos permisibles permite diseñar la sección de concreto, así como la fuerza de pres fuerzo con su excen

tricidad. Una vez conocida la magnitud de la fuerza de presfuerzo se puede determinar la cantidad de acero suponiendo que el esfuerzo desarrollado en é l es igual al permisible.

4.2.1 Diseño de la sección óptima de concreto

Para diseñar la sección óptima de concreto, se parte del hecho que los esfuerzos desarrollados por las cargas en las fibras extremas de la sección son iguales, tanto en la fase inicial como en la final, a los permis.ibles. Los esfuerzos desarrollados al pasar de la fase inicial a la final serán menores que los permisibles. La notación que adoptaremos para los e�fuerzos permisibles será:

·

/11 = es/ uerzo permisible a tensión en la fase inicial

fe¡ = esfuerzo permisible a compresión en la fase inicial

f1s = es/ uerzo permisible a tensión en la fase final

fes ·= esfuerzo permisible a compresión en la fase final

Para diseñar la sección nos basaremos en el módulo de sección requerido, que según la fórmula de la flex.ión simple será:

donde

M SREQ. � JP

M = momento máximo actuante

f P = esfuerzo permisible del material

En con�reto presforzado, más que hablar de esfuerzos permisibles a tensión y a compresión del material, hablamos de un rango �isponible de esfµerzo en las fibra superior ( Ji, ) y de un rango disponible de esfuerzo en la fibra inferior ( Ji, ), puesto que se debe considerar que los esfuerzos permisibles no son los mis111os en la fase inicial que en la fase final. Además, habrá que considerar la pérdida de presfuerzo que ocurre entre la fase inicial y la final, así como la influencia· del peso propio, en reducir la tensión en la fibra superior y la compresión en la fibra inferior (ver Figura 4. 1 ).

Con referencia a la Figura 4. 1 , los esfuerzos desarrollados, Ji y Ji , por P1 son hipotéticos, pues simultáneamente actúa el peso propio. Por lo cual, realmente se desarrollan esos esfuerzos menos los debidos al peso propio ( M0/ S1 y M0f.S2 , respectivamente). Como una aproximación, se considera que las pérdidas dependientes del tiempo ocurren todas a la vez e inmediatamente después de P1 + w0 • De acuerdo con la Figura 4. 1 y considerando los signos de. los esfuerzos permisib_les (de tensión: po.sitivo y de compresión: negativo), los rangos disponibles de esfuerzos serán: . ·

·

60

ft=esf. producido por P1 f2=esf. producido por P1 Mo!S1 fsf1= pérdida diferida de esf. en fibra sup. fsf2= pérdida diferida de esf. en fibra inf.@

Figura 4. 1 Rangos disponibles de esfuerzos

1. Bajo P1 2. Bajo P; +Wo 3. Bajo P1 +Wo-fiPd 4. ·Bajo Pe +Ws-fsPd

Mo!S2 donde fsPe=Pérdidas diferidas


Di�eño por flexión

pero, debido a que

entonces

pero, debido a que

entonces

Md = P; -Pe = P; - R P; = P; (1-R)

�f¡ = (1 - R) f¡ �Ji = ( 1 - R) fi

/¡ =/ti +Mol S1

· fi = -fc; +Mol S2

�f 2 '.=== ( 1 -R) ( -fe; + Mo l S 2)

ti 1mcyc

substituyendo estas últimas expresiones en las que nos definen los rangos disponibles de esfuerzos llegamos a obtener

Mo J I r =Rfi1 -/es + -· -(R - 1) S 1

· Mo J 2r = fi.r -Rfe; +-(R - 1) S2

. (4.2)

reescribiendo la ecuación 4. 1 , de tal forma que el momento considerado será el debido a las cargas muertas adicionales y las vivas ( el peso propio ya se consideró al determinar los rangos disponibles de esfuerzos), nos queda

S > Md + Mt l req _ ----/t r

S > Md + Mt 2 req _ ---f2r

substituyendo las ecuaciones 4.2 en las ecuaciones 4.3 , queda

S > Mo (l -R) + Md + Mt 1 req _ --------

. Rfi; -fes

82req '?::. Mo (1 -R) + Md + Mt fi.r -Rfc;

en las ecuaciones 4.3a sólo los efuerzos permisibles se deberán usar con su signo correspondiente.

(4.3)

(4.3a)

Para que la sección de concreto sea la óptima, los módulos requeridos superior e inferior deben satisfacerse simultáneamente, es decir, nuestra sección ya diseñada debe tener

· ·


o 1mcyc

para lograr lo anterior, nos podemos basar en el hecho de que

de donde

S2 C1 = -C2 S 1 pero, C2 = h-C1 , que substituyendo en la ecuación 4.4, nos queda

Capitulo 4

(4.4)

(4.5)

en las ecuaciones 4.4 y 4.5 los módulos son los requeridos y, obviamente si queremos que la sección sea la óptima, deberán ser igual a los reales (aproximadamente).

La ecuación 4.4 nos sirve para damos cuenta si la sección óptima debe ser simétrica o asimétrica. La ecuación 4.5 nos ayuda a diseñar una sección óptima cuando ésta deba ser asimétrica.

Las fórmulas para diseñar la sección de concreto no nos dicen si ésta debe ser rectangular, circular, triangular, entre otros; sólo nos dicen si debe ser sirpétrica o asimétrica para que sea óptima. Obviamente, las secciones con patín son más eficientes a flexión, pero no siempre las más eficientes a flexión son las más económicas.

4.2.2 Diseño de la fuerza de presfuerzo y su excentricidad para la sección óptima

Una vez que se ha diseñado la sección de concreto podemos determinar la magnitud de la fuerza de presfuerzo y su �xcentricidad con la condición de que los esfuerzos desarrollados sean "exactamente" igual a los permisibles. De la Figura 4.2 podemos escribir las siguientes relaciones:

P1 = /cciÁc (4.6)

(4.7)

en !as cuales sólo los esfuerzos permisibles se toman con su signo.

fccl = Pi/ Ac P1e/S1 f1I = ftl {fti·fc� / h = {ft1-fcci) / C1

C1 (·) + h

Cz L- "'------� f21 = fcl P1e!S2 Mo/S2 X

Figura 4.2 Relaciones para determinar P1


() 1mcyc Diseño por flexión

Para determinar la excentricidad de la fuerza de pres fuerzo, podemos también hacer uso de la Figura 4.2, estableciendo la siguiente relación:

de la cual podemos obtener la ecuación de la excentricidad

f r_ S 1 Mo e = ( ti - Jcc1) - + -P1 P1 (4.8)

nótese que en las ecuaciones 4.7 y 4.8 sólo los esfuerzos permisibles y fcc1 deberán usarse con su signo.

El área del acero de presfuerzo se determina suponiendo que éste trabajará al límite permitido por el reglamento adoptado:

donde

p, Áp =faip

/p;p = es/ uerzo permisible en el acero de pres/ uerzo en la/ ase inicial

(4.9)

Es necesario, como información al fabricante, determinar la fuerza o esfuerzo que deberá inducir directamente el "gato" al acero, esto se puede hacer una vez que se haya ajustado el área del acero a la disponibilidad comercial de éste y estimando las pérdidas instantáneas en un 1 0%, ajustándose éstas después de que se calculen, entonces:

o también

p, JP1 = --(Ap ) real

fpi ¡;?i =--0 . 9

p, P1 = -0 . 9

4.2.3 Ejemplo: Diseño de una sección óptima

(4. 1 0)

(4. 1_ 1 )

(4. 1 2)

Se requiere diseñar una viga de concreto postensado con excentricidad variable (máxima en el centro del claro y cero en los apoyos). La viga trabajará como simplemente apoyada en un claro de 12.2 m y deberá adoptar los requerimientos del ACI.

Datos:

wd = 738 kg/m

W¡ = 1475 kg/m

Ye = 2400 kglm3

f'c = 420 kg/cm2

/'e; = O. 7/'c = 294 kglcm2

R = 0.85 (valor estimado)


(j 1mcyc

25 cm

64

Solución:

L Determinación de los esfuerzos permisibles según ACI a) Para la fase inicial

fi1 = 0 . 8..[l!; = 1 3 . 72 kg / cm2

fc1 = -0 . 6J;1 = -1 76 . 4 kg / cm2

nótese que no se usa fi; = L 6 .JJ:: porque la sección crítica es la del centro del claro y no la de apoyo.

b) Para la fase de servicio

fis = 1 .6.Jl: =32 .79 kg / cm2

fes = -0 .45/: = -1 89.0 kg / cm2

2. Estimación del peso propio

De la Tabla A 1, se adopta

de la cual

L - =24 h

L 1 220 h =- =--=50 cm 24 24

Capítulo 4

suponiendo una sección rectangular (únicamente como una primera aproximación del peso propio), con b =

Ac =25x 50 = 1 250 cm2

Wo = l 250x 024 =300 kg I m

cabe enfatizar que éste predimensionamiento no debe influir en lo absoluto en la forma y dimensiones finales de la sec- ción. Este es un recurso para, de alguna manera, considerar el peso propio y reducir las iteraciones.

3. Determinación de los momentos de diseño

Mo = 3ººC1 2·2) 2 x 100 = 558 1 50 kg - cm . 8

Md = 738(1 2 .2)2 x 1 00 = 1 373049 kg - cm 8

M = 1 475 (1 2·2) 2 x 1 00 =274423 8 kg - cm I 8 Ms = M0 + Md + M1 = 4675437 kg - cm

4. Determinación de los módulos requeridos

Para usar las ecuaciones 4.3a necesitamos determinar



ahora s í

f 't r = Rfii -fcs =0.85( 13.72) -(.:.. 1 89) =200.67 kg / cm2

f '2r = fis -Rfci =32.79 -0.85 (-1 76.4) = 1 82.73 kg / cm2

M = (1 - R)Mo + Md + M = 420 1 0 1 0 kg - cm

S 1 re ;;:::: 420 l O l O =20936 cm3 q 200.67

S2re ;;:::: 420 l O I O =22990 · · Cm3 . q 182.73

5. Diseño de la sección de concreto

puesto que

� = S 2req = 1.098 =:; 1 .0 C2 S 1 req

o 1mcyc

entonces, podemos adoptar una sección simétrica como sección óptima. Ésta será una sección i, como se muestra en

12.20 m

Figura 4.3 Ejemplo de disefto de una sección óptima (ej. 4.2.3 )

la Figura 4.3

De la Tabla A-3 obtenemos la siguiente información

Para

obtenemos

bw �0.5 b .

y h¡ = 0 .2 h

h

1 b 1

t-tbw

Ac =0.7 bh, le =0.0743 bh 3 ' C 1 =C2 =05h, S t =S2 = 0.1 486bh2


o 1mcyc

66

de la última relación, haciendo S1 = S2 = S2req y suponiendo b=30 cm , obtenemos

h = Sireq = 7 1 .8 1 cm 0.1 486b

por razones de orden práctico, adoptamos

h = 75. 00 cm

quedando

bw = 15. 00 cm, h¡ = 15. 00 cm y S1 = 82 = 25076 cm3

Capítulo 4

debemos ahora verificar que los, módulos actuales · sean mayores o iguales que los requeridos con el nuevo peso propio

Ac = 0, 7bh = 0. 7(30)(75) = 1575. 00 cm2

W0 = (1575) (0.24) � 378. 00 kg/m

Mo = 703 269. 00 kg-cm

por lo cual, el nuevo momento actuante será '

M = (1-R)Mo + Md + M¡ = 4 222 777.35 kg-cm

los · nuevos módulos requeridos serán

S1reg ¿; 21043 cm3

S2reg ¿; 23109 cm3

como podemos ver, son menores que el actual (real). La sección, por razones de orden práctico, quedará ligeramente excedida en su capacidad (sobrada), por lo cual los esfuerzos desarrollados serán más pequeños que los permisibles. Las dimensiones y propiedades finales quedan como sigue:

h = 75. 00 cm

h¡ = 15. 00 cm

b ·= 30.00 cm

bw = 15. 00 cm

w0= 378. 0 kg/m 6. Disefto de P1 y e

Ac = 1575. 00 cm2

le = 940359 cm4

S = 25076 cm3

r2 = 597.00 cm2

Aunque, como ya se dijo, los esfuerzos desarrollados no serán los permisibles, suponemos que sí lo son, pues la sección sólo está ligeramente excedida:

f "; = fi1 -�· (fi1 -fa;) /cc1 = 1 3.72 - 05 (1 3.72 - (-1 76)]


o 1mcyc Diseí'lo por flexión

fcci = -8 1.1 4 kg / cm2

P; = fcci Ac = -127796. 00 kg la excentricidad (e) en el centro del claro será igual a

e = [l 3.n -(-8 1.1 4)] 25076 + 703269 1 27796 1 27796

ec.claro = 24. 12 cm

eapoyo = o. 00 cm

7. Diseño del acero de presfuerzo

Suponiendo que el acero trabajará al límite establecido por el ACI

fi; :::;; 0.7 fa11 = faip =0.7x270x70 = 1 3230 kg / cm2

por lo tanto, el área requerida será igual a

A. _ 1 27796 - 966 2 ,, _ - . cm 1 3230

usando cable trenzado de 7 hi los de 1 .27 cm de diámetro nominal ( 1/2 pulgada) con una área de 0.987 cm2, el número de cables será:

se usarán

No. cables = 9·66 =9.79 0.987

No. cables = JO� -1.27cm, grado 270 de 7 hilos en un dueto

por lo cual, el área real de acero será

{ A11)real = 1 Ox 0.987 =9.87 cm2

el esfuerzo desarrollado será

.fpl --1 27796 --1 2948.0 k / 2 0 7 .f Jf g cm < . JP" 9.87

al fabricante deberá informársele que se requiere que el "gato" estire con

o también

p¡ PJ = - = 1 42000.00 kg 0.9

1 2948 . 2 jPJ = -- = 1 4387.0 kg / cm 0.9

8. Revisión por teoría elástica (condiciones de servicio)

a) En fase inicial


o 1mcyc

b) En fase final

fu = 1 27796 (1 - 24.12x 375 ) - 703269 = l 3 .?5 = fi¡ Vo Bo· 1 575 597 25076 ' . .

/2; = 1 27796 ( l + �4 . 12x 37.5 ) + 703269 = -l 76. 4 l ::: +_ci Vo Bo 1 575 597 . 25076 . J' ' .

.

f I s = 1 27796x 0.85 (i - 24.1 2x 37 5 ) - 4820556 = _1 56 .7 > /cs . Vo.Bo. 1 575 597 25076 '

f 2s = 1 27796x 0.85 (l + 24.1 2x 37 S.) + 4820556 = 1 8.77 < fis V B

1 575 597 . 25076 .

. ' o. o.

Capítulo 4

_ es conveniente aclarar que la revisión, por teoría elástica, debe hacerse calculando las pérdidas en la fuerza de presfuerzo, ;sin embargo, como aún no se cubre esa parte se considéran las pérdidas con base en R estimado.

9. Revisión por resistencia

Usando un programa de computadora (Ver Apéndice B), se obtienen los siguientes resultados

�Mn = 6375702 kg - cm

Mcr = 53785 1 4 kg - cm

I2Mcr =64542 1 7 kg - cm

el momento último actuante

[ 1 .2(3 78 + 738) + 1 .6 (1 4 75) ] (1 2 .2)2 Jv/11 = x l OO

8

Jv/11 = 6882362 kg - cm

como podemos ver

�Mn< M,,

�Mn< 1 2Jv/cr

la viga es insegura y no cumple con el armado mínimo, por lo tanto se hace necesario usar acero no presforzado para aumentar el momento resistente. Después de varias iteraciones, con 2 # 6 a tensión y 4 # 6 a compresión (grado 60), obtenemos

�Jvfn = 7 6657 67 kg - cm> M,, > 12Mcr, Vo.Bo.

68 · Concreto Pres forzado

o 1mcyc Diseño por flexión

4.2.4 Diseño de secciones de concreto excedidas

El diseño de.secciones de concreto óptimas no resulta, en muchas ocasiones, económica o adecuada desde el punto de vista práctico. A veces la sección óptima requiere una sección asimétrica y cuando la demanda del número de vigas no justifica el mayor costo que resulta con respecto a una simétrica (por ejemplo una sección rectangular), pues se opta por ésta, diseñándola para el mayor módulo de sección requerido y quedando, por supuesto, excedida o sobrada. Otras veces, la razón puede ser de orden práctico, como cuando se requiere una viga T para aprovechar el patín como sistema de piso; pero resulta que para un diseño óptimo tiene que ser una T invertida.

Obviamente, cuando tenemos una sección de concreto excedida, Jos esfuerzos desarrollados serán (en magnitud) menores que los permisibles. Por lo cual, para diseñar la fuerza de pres fuerzo requerida ya no son válidas las ecuaciones 4. 7 y 4.8, pues éstas están en función de los esfuerzos permisibles que se supone se desarrollarán. Estas ecuaciones, para que fueran válidas, deberíamos reescribirlas como s igue:

fcci =f i ; - C 1 (f i ; - j 2;) h

( ) S1 Mo e = f 1 ; -fcci - + -P; P;

(4.7a)

(4.6)

(4.8)

Si se utilizaran en su versión original, estas ecuaciones, la fuerza de presfuerzo resultante sería más grande que la necesaria. Usarlas en su nueva versión no es posible pues no se conocen los esfuerzos desarrollados. Podríamos suponer esfuerzos desarrollados menores en magnitud que los permisibles, pero las posibilidades son infinitas, de las cuales tendríamos que escoger la combinación de P; y e más económica, es decir, la que resultara en la menor fuerza de presfuerzo.

G. Magnel (citado por J.R. Libby, 1 990) sugirió una solución gráfica que antes del advenimiento de las computadoras resultaba muy laboriosa, pero que con la ayuda de las calculadoras electrónicas programables su uso es relativamente fácil. Las ecuaciones del método se derivan cumpliendo los cuatro requerimientos, en cuanto a esfuerzos desarrollados en el concreto se refiere. Dos en la fase inicial y dos en la fase de servicio, como sigue:

a) En la fase inicial

en la fibra superior

ó también

en la fibra inferior

ó también

b) En la fase final

en la fibra inferior


fe; ::;; -- 1 +-- +-P; ( eC2 ) Mo Ác r 2 S2

(4. 1 3 - 1 )

(4. 14-2)

69

ó 1mcyc ·

ó también

en la fibra superior

ó también

s � -- 1 +--. +-fi RP; ( eC2 J Ms . Ac r 2 S 2

/es :::; _ RP; (l _ eC 1 J - M� Ac r 2 S 1

· Capítulo 4

(4. 1 4-3)

(4. 1 5-4)

En las relaciones 4. 1 2 a 4. 1 5 las incógnitas son P; y e, puesto que las ecuaciones son cuatro, la solución es una región, de la cual debemos escoger la combinación de P; y e que resulte más económica, pero que al mismo tiempo sea posible desde el punto de vista práctico. Estas igualdades-desigualdades las podemos reescribir en la siguiente forma, para facilitar sus gráficas:

70

1 ( -1 + eC 1 / r 2) - > ___;.... ____ _...:;,_ P; - (fu + Mo / S 1)Ac

1 ( 1 + eC 2 / r 2) - > ---------'"-P; - (-fe; + Mo / s 2 )Ac

1 . R ( 1 + eC 2 / r 2 ) - < -------P; - (-fis + Ms / S2)Ac

1 R ( -1 + eC 1 / r 2) - < -,_;,_----� P; - (fcs + Ms / S i )Ac

Las gráficas típicas de estas igualdades-desigualdades las podemos ver en la Figura 4.4.

1/P1 1

3

2

1/P1

Figura 4.4 Diagramas de Magnel para el diseño de P¡ y e (sección excedida)

( 1 )

(2)

(3)

(4)



Las reetas 1 y 2 nos dan el l ímite superior de P1 y las rectas 3 y 4 nos dan su límite inferior, es decir, el valor máximo y mínimo que puede tomar la fuerza de presfuerzo para cumplir con los cuatro requerimientos (dos en la fase inicial y dos en la final).

Cuando se tienen vigas T puede resultar la recta 4 con pendiente negativa, esto quiere decir que el término M.'i / S1 , que es el esfuerzo desarrollado por las cargas en la fibra superior resulta más pequefto que el término fcs , que es el esfuerzo permisible a compresión en la fase final, entonces la región solución se amplía al desaparecer esta recta del diagrama.

En secciones cercanas a los apoyos, también la recta 3 resulta con pendiente negativa (pues Ms tiende a O) desapareciendo del diagrama de Magnel . Esto quiere decir que la !fuerza de presfuerzo no tiene límite inferior (puede ser cero), sólo límite superior. Usando el diagrama d.e Magnel podemos determinar la fuerza de presfuerzo que podemo.s tener en los apoyos conservando la excentricidad constante a lo largo de la viga. Esto marcará la pauta para saber cuantos cables tenemos que dejar adheridos en secciones cercanas a los apoyos en una viga pretensada (ver Figura 4.5).

La combinación de P; y e más económica, según el diagrama de Magnel, corresponde al cruce de la recta 1 con la 3 pues en ese

1

en el apoyo 2

Figura 4.5 Diagrama de Magnel para una sección en el apoyo

porción sin adherir 1 1 1 acero -!J; presfuerzo

· · · · · · · · · · ·sin adherir

-- adherido

punto la fuerza de presfuerzo tiene su mínimo valor. S in embargo, es común que para ese punto la excentricidad de la fuerza sea tal que �I acero de presfuerzo quede fuera del concreto o ihadecuadamente recubierto. En estos casos lo que debe hacerse es estimar la excentri-1 ;idad máxima que se le puede dar al acero y con ella entrar al diagrama para calcular los valores mínimo y máximo que puede tomar la fuerza de pres fuerzo (ver Figura 4.4 ). Para estimar la excentricidad máxima debe suponerse un valor para Te (distancia del centroide del 1cero a la base o fibra inferio'r); un buen valor inicial será el que oscile entre el 10 y el 20% del peralte total (h). De esta manera:

emá x = C2 - re (4. 16)

Una vez que se ha determinado P1 , se puede determinar el área del acero y el número de cables con su consiguiente arreglo en a sección de acuerdo con las especificaciones en cuanto a separación y recubrimientos se refiere. Esto nos permite determinar Te real :on el cual podemos mejorar nuestro disefto, si resulta menor que el estimado, o corregirlo si resulta mayor.

Como ya se había dicho, esta técnica para diseftar el acero de presfuerzo en vigas que por razones de orden práctico tienen su :ección de concreto excedidas con respecto a uno de los dos módulos, resulta muy laboriosa si no se cuenta con alguna ayuda computa:ional. En el Apéndice B se presenta un programa en Q-Basic desarrollado por el autor, y que fácilmente se puede adaptar para calculaloras programables. Dicho programa se alimenta con las propiedades reales de la sección ya diseftada (y excedida) y con los momentos le la sección crítica, así como con Te. Como resultado obtenemos los valores máximo y mínimo que puede tener la fuerza de presfuerzo :n esa sección, así como el valor de su excentricidad e información para graficar las rectas y verificar los resultados. El mismo programa irve para revisar otras secciones, sobretodo las cercanas a los apoyos, cuando se quiere conservar la excentricidad constante .

.. 2.5 Ejemplo: Diseño del acero de presfuerzo y su perfil para una viga que tiene su sección excedida

Se requiere diseftar una viga de concreto presforzado (pretensada) que sirva como puente peatonal en un claro de 30.00 m. :as cargas que deberá soportar, además de su peso propio, serán: w d = 1 50 kg/m2 y w1 = 500 kg/m2 • Se imponen las restricciones de que

oncreto Presforzado 7 1

o 1mcyc Capítulo 4

el ancho de la calzada deberá ser entre 2.50 y 2.60 m y que la viga deberá ser de sección cajón ( una 1 asimétrica). La viga deberá ;er de excentricidad constante con f'c de 420 kg/cm2, Jci = 0.7 Je y concreto normal de 2400 kg/m3• El acero deberá ser grado 270 de relajainfento no�al (fp11 = 1 8900 kg/cm2 ). Para el diseño se deberán seguir las especificaciones del ACI y suponer R =0.80 (ver Figura 4.6).

72

w?, �a I b=260 cm I I b I t-.--:_'/_,,/_,,_/ _, __ ,_,,,_,1,_, ,_1,,_[_"_ª _,¡,-�---: ��!:�� bw12 1 f +� ¡h � --------------t- htlh =0. 2 1 . j____bbw

30.00 m

sección a-a

Figura 4.6 Ejemplo del diseño de Pi y e para una sección excedida

Solución:

l. Determinación de los esfuerzos perm isibles

fi; = 0. 8�0.7x420 = 13 .72 kg / cm2

fc1 = -0.6x 0.1 x 420 = -1 16 .4 kg / cm2

fis = I .6.J420 =32.79 kg / cm2

fcs = -0.45 X 420 = -1 89.0 kg / cm2

2. Estimación del peso propio

de adoptar una relación igual a L/h=24, obtenemos

h = 125 cm

de las tablas en el Apéndice A, obtenemos

Ac = 0.52bh = 16900 cm2

W0 = 16900 X 2400/10000 = 4056 kg/m

3. Determinación de los momentos de diseño

(4056) (30)2 Mo = x 1 Off= 45630000.00 kg - cm

8

M = Wd Mo = I 50x 2·6 Mo = 4387500.00 kg - cm d Wo 4056

1 1 b2

sección equivalente



M = W, = M =

500x 2·6 = MJ = 1 4625000 .00 kg - cm I W d l 50x 2 .6 J

4. Determinación de los módulos de sección requeridos

M St req � -f/r

donde, estimando R = 0.80

por lo cual

M = (l-R)M0 + Md +M, = 28138500. 00 kg-cm

J1r = Rfli -fes = 199.98 kg / cm2

J2r = /,s -Rfc; = 1 73. 91 kg / cm2

S1req � 140707 cm3

S2req � 161 799 cm3

5. Diseño de la sección de concreto

Si se quisiera diseñar una sección óptima

� = S2req = 1.1 5

C2 S t req

' /) 1mcyc

nos dice que la sección óptima debe ser asimétrica y con el paHn mayor en la parte inferior (pues C1 > C2 ), por lo cual se diseñará para el mayor módulo de sección requerido y con el patín mayor en la parte superior:

para las relaciones indicadas en la Figura 4.6 obtenemos de las tablas del Apéndice A

Ac = 0.52 bh, le = 0. 0598 bh3 ' C¡ = 0.454 h, C2 = 0.546 h, y r2 = 0. 115 h2

nótese que como nosotros usaremos la sección con el patín mayor en la parte superiór, entonces C1 < C2 • Caclulando . S1 y 82 de S = lc lC, obtenemos

S, = 0. 131 7 bh2 y S2 = 0. 1095 bh2

como debemos diseñar para el módulo requerido mayor

de la cual

oncreto Presforzado

S 2req � OJ 095bh2

h = 0.1 095 b

1 6 1 799 = 75.39

0.1 095x 260 cm

73

\j 1mcyc

74

enseguida deberá revisarse el peso propio

Ac = 0.52 X 260 X 75 = 10140. 00 cm2

w0 = 10140 x 0.24 = 2434 kg/m (versus 4056 kg/m )

por lo cual, el nuevo momento por peso propio será

M0 = 27 382 500. 00 kg-cm y M = 24 489 000. 00 kg-cm

los nuevos módulos r.equeridos serán

S1req � 122457 cm3

S2req � 140814 cm3

entonces, el nuevo peralte será

h = 1 408 1 4 = 70 .32 cm 0. 1 095x 260

con el cual, el nuevo peso propio será

w0 = 0.52 x 260 x 70 x 0.24 = 2271. 36 kglm (versus 2434 kglm)

M0 = 25 548 750. 00 kg-cm y M = 24 122 250 kg-cm

los nuevos módulos requeridos

S1req � 120623 cni3

S2req � 138705 cm3

con los cuales el nuevo peralte requerido será

h =

peralte que podemos cerrar a

1 3 8705 = 69.80

0.1 095x 260

h = 70. 00 cm

cm

Capítulo 4

· ya no hay necesidad de revisar e] peso propio, pues con este peralte se determinó el último valor (w0 = 2271 kg / m). Cuando se conoce la forma de la sección, un procedimiento más rápido para determinar el peralte requerido será:

W0 = ÁcYc = 0.52 X 260 h X 0.24 = 32.448 h

Mo = {32.44Sh){30)2

X 1 00 =365040 h 8

M = (1-R) U, + Md + M¡ = 73008 h + 19012500

S1req � 365. 076 h + 95072

S2req � 419.800 h + 109324

igualando este último módulo a la ecuación para S2 , obtenemos



419.80 h + 109324 = 0. 1095 X 260 h2

de la cual podemos encontrar el peralte requerido sin iterar

h = 69. 777 cm

finalmente, la sección queda

b = 260 cm bw = 78 cm b2 = 182 cm h = 70 cin h¡ = 14 cm

Ac = 9464. 00 cm2 C1 = 31. 7800 cm C2 = 38.2200 cm le = 5332964. 00 cm4 S1 = 167786. 00 cm3

6. Determinación de la combinación más económica de P; y e

S2 = 139503. 00 cm3 r2 = 563.50 cm2 w0 = 2271 kglm

. - ·'

M0 = 25548750.00 _kg-cm M.f = 44561250. 00 kg-cm

Se usará el diagrama de Magnel que se construirá con las ecuaciones 4. 1 3- 1 a 4 . 1 5-4:

l . ;, X J 06 <! ( -0.6346 + 35787 X J 0-2 e)

2. ;¡ X 1 06 � ( 029286 + J.9870x 1 0-2 e)

Los cruces con el eje e, son

l. e = 1 7. 7 3 cm

2. e = -14. 75 cm

3. e = -14. 75 cm

4. e = 1 7. 7 3 cm

Los cruces con la recta e = 100 cm, son


l. _!_X 1 06 =2 .944 1 pi

Q 1mcyc

75

�' 1mcyc

76

2. _!_X 1 06 =2 .27996 P;

3. _!_X 1 06 =2 .28787 pi

Capítulo 4

Con esta infonnación podemos construir el diagrama de Magnel (ver Figura 4. 7), del cual podemos ver que la excentricidad óptima no es posible pues quedaría el acero fuera del concreto ( eop=58.59 cm vs. C2 = 3 8.22 cm ). La excentricidad máxima la detenninamos s.uponiendo que re= 5 cm, ó

emáx = C2 -5 = 33.22 cm

con este valor entramos a las rectas 2 y 3 para encontrar la fuerza máxima y mínima, respectivamente. Nótese que estas rectas casi coinciden, por lo cual los valores estarán muy cercanos, esto se debe al poco peralte de la viga:

(1/Pi)x106

P; , máx = 1045960. 00 kg

P; 1 mfn = 1042344. 00 kg

e=100 cm

emáx e6ptfma

2

Figura 4. 7 Diagrama de Magnel para el ejemplo 4.2.5 con h=70 cm

7. Diseño del acero de presfuerzo

Para concreto pretensado el esfuerzo pennisible en el acero de presfuerzo será

ÍJ,;p � 0.82f¡,y = 0.82 X 0.85f¡lll = J3J 73.30 kg/cm2

e



también

/p;p � O. 74 f¡,,, = 13986. 00 kglcm2

como podemos ver gobierna el primer valor, entonces

A _ P; _ 1 042344 _ 79 1 3 2 p - - - . cm faip 1 3 1 733

usando cables trenzados de 7 hilos con diámetro de 1 .524 cm (0.6") con área de 1 .4 cm2

No. Cables = 56.52 (digamos 57 cables)

para poder coloca� los cables de tal manera que el centroide de ellos esté a 5 cm de la fibra inferior, tal como se supuso, y respetando la separación mínima eritre ellos (3db), es necesario aumentar el ancho del patín inferior ( de 1 82 a casi 300 cm). Es obvio que resultará más económico si se aumenta el peralte de 70 a 120 cm (suponiendo que no hay

restricción al respecto). De esta manera tendremos:

Ac = 16224 cm2,

le = 26866944 cm"',

C1 = 54.48 cm,

S1 = 493085 cm3,

C2 = 65.52 cm,

S2 = 409968 cm3,

Mo = 43875000. 00 kg-cm, Ms = 62887500. 00 kg-cm

8. Diseño de la combinación más económica de P; y e

Con las propiedades de la sección con 120 cm de peralte obtenemos

_!_X 1 07 � (-6.00 1 6 + 1 9.7447 X 1 0-2 e ) P;

;; x 1 07 � ( 2.1 748 + 8.6046x 1 0-2 e ) ;

, x 1 07 ,,; ( 4.0885 + 1 6.I 762x 1 0-2 e )

;, X ] 0 7 ,,; ( 8.0229 -263945 X 1 0-2 e )

los cruces con el eje e:

l. e = 30. 40 cm

2. e = -25.27 cm

3. e = -25.27 cm

4. e = 30.40 cm

los cruces con la recta vertical e = 100 cm


l. _!_x 1 07 = 1 3.743 1 pi

r2 = 1656.00 cm2

w0· � 3900 kg/m

77

o 1mcyc

78

2. 2-x 1 07 = 1 0.7990 p¡

3. 2-x 1 07 =20 . 2647 p¡

4 1 7 . -x lO = -1 8 . 3 7 1 6 p¡

Capítulo 4

con esta información podemos construir el diagrama de Magnel (ver Figura 4.8), en el podemos ver que la excentricidad óptima no es posible y que los valores máximo y mínimo de lafuerza se encuentran con las rectas 2 y 3, respectivamente, substituyendo en ellas la excentricidad máxima

(1/P;)x10 7 P;, min se obtiene de la recta #3 y P;, máx se obtiene de la recta #2

Figura 4.8 Diagrama de Magnel para el ejemplo 4.2.5 con h=l20 cm

o sea, suponiendo re = 12 cm

emáx ·= 65. 52 - 12. 00 = 53.52 cm

con este valor, de las rectas 2 y 3 , obtenemos

Pi,máx = 1474954. 00 kg

Pi,mín = 784560.80 kg

9. Determinación del acero de presfuerzo

De la misma manera que antes

A _ 784560.8 = 59.56 cm2 p 1 3 1 73 .3

59.56 No Cables = -- = 42.54 1 .4

Concreto Presforzad

�' 1mcyc Diseño por flexión

usaremos 44 cables de 1 .524 cm de diámetro ( 0.6" ) en dos capas

Pi = 1 .4x 44x 1 3 1.73 . 3 = 8 1 1 475 .00 kg

10. Revisión en los apoyos

Del diagrama de Magnel para el apoyo se obtiene

Pi,máx = 292605 .00 kg

Pi,mín = 0.00 kg

dejando 12 cables adheridos (6 de cada lado, en dos capas para mantener la e) tendremos

P¡ = 1 2 X 1 .4 X 1 3 1 73 . . 3 = 22 1 3 1 1 .00 kg < Pi,máx

La sección quedará, finalmente, como se muestra en la Figura 4.9, en la cual podemos observar que se respetan las separaciones y recubrimientos mínimos exigidos por el ACI. Usando la técnica del diagrama de Magnel se puede determinar, a medida que se van analizando secciones cada vez más alejadas del apoyo, cuántos cables más se pueden dejar adheridos hasta llegar a tenerlos todos. La técnica más usada para dejarlos sin adherir es entubándolos.

Una vez que se tiene el disefio completo habrá que proceder a revisarlo por teoría elástica y por teoría de resistencia. Lo más probable es que en cuanto a condiciones de servicio (teoría elástica) no haya problemas, sin embargo, puede necesitar acero de refuerzo ordinario para garantizar la seguridad contra la falla si l legaran a incrementarse las cargas de servicio.

260 cm

39 104 39 j en el apoyo: • = adherido • =sin ·adherir • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 7. 76 �-t-��--+�-+-.8.48 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

7. 76

"? S=(182-14-22x0.6x2.54)121=6.4 cm

Figura 4.9 Sección final y armado del ejemplo 4.2.5

4.2.6 Diseño a flexión con base en el presforzado parcial

Existen dos maneras de diseñar a flexión una viga de concreto con presfuerzo parcial . Una de ellas consiste en adoptar como esfuerzo permisible a tensión, en la fase de servicio, 3.2 . .Jl: mayor al módulo de ruptura del concreto. El diseño se hace suponiendo

que el concreto no se agrieta y usando las ecuaciones de la teoría elástica. Esto lo permite el reglamento de con.strucciones del ACI 3 1 8-02 Sección 1 8.3.4 con la condición de que se revisen las deflexiones calculadas con las propiedades de la sección agrietada. Obviamente, cuando actúen todas las cargas de servicio el concreto se agrietará y lo más probable es que necesite acero de refuerzo ordinario no presforzado para controlar el ancho de las grietas y aumentar el momento resistente, para garantizar la seguridad contra la falla, si el proporcionado por el pres fuerzo no es. suficiente. Este acero adicional se puede determinar con base en la revisión por resistencia de la viga diseñada con el presfuerzo parcial.


�' 1mcyc Capítulo 4

La otra manera consiste en disefiar con el esfuerzo permisible a tensión menor que el módulo cíe ruptura, pero solamente para las cargas muertas y alguna fracción de la viva. De nuevo, cuando actúen todas las cargas de servicio los esfuerzos desarrollados a tensión serán mayores que el de ruptura del concreto y cuando se haga la revisión por resistencia se hará necesario el acero de refuerzo ordinario para que el momento resistente sea mayor o igual al actuante desarrollado por las cargas de servicio factorizadas.

4.2.7 Diseño por balance de cargas

Este método, que también se basa en la teoría elástica, fue propuesto por T. Y. Lin uno de los pioneros de la práctica del concreto presforzado en los Estados Unidos de América. Básicamente el método consiste en suponer una sección de concreto (con base en la experiencia o en relaciones claro a peralte recomendadas) y calcular la fuerza de presfuerzo de tal manera que su carga equivalente balancee las cargas de servicio esperadas. Una vez que se tiene diseñada la fuerza de presfuerzo (con su perfil) para la sección propuesta habrá que revisarla para verificar que los esfuerzos desarrollados no excedan los permisibles. Si los esfuerzos desarrollados llegan a exceder a los permisibles habrá que proponer otra sección.

Este método es recomendable sólo para ingenieros con experiencia, pues de lo .contrario se puede perder tiempo en proponer y revisar las secciones de concreto.

4.3 Longitud de transferencia y longitud de desarrollo

La transferencia de la fuerza de presfuerzo del acero al concreto ocurre por medio de dos mecanismos diferentes según tengamos concreto postensado o pretensado.

Para el concreto postensado la transferencia está garantizada por los dispositivos de anclaje del sistema. En este caso el diseñador sólo tendrá que escoger el dispositivo de anclaje más adecuado a su caso particular.

En el concreto pretensado la transferencia ocurre, básicamente, por la adherencia entre el acero y el concreto. Esta adherencia se ve beneficiada por la presión radial ejercida por el cable sobre el concreto al tender a recuperar su diámetro original y por los huecos entre los alambres que constituyen el cable trenzado (es el mismo efecto mecánico de las corrugaciones en las varillas corrugadas).

_Los esfuerzos de adherencia desarrollados en la superficie de contacto constituirán la fuerza de presfuerzo actúando en el concreto. Resulta obvio que se necesitará cierta superficie.para que se desarrolle la fuerza que se quiere transmitir. Esta superficie estará en función de cierta longitud que llamamos longitud de transferencia. Se supone que la fuerza· de pres fuerzo será completa hasta al final de dicha longitud de transferencia, medida desde el extremo de la viga hacia dentro, es decir, dentro de esa longitud el esfuerzo en el acero va gradualmente desde cero hasta /,,e· Con base en pruebas experimentales con cables trenzados, la longitud de transferencia esta dada por la siguiente ecuación empírica:

·

/1 =( fae )db 2 1 0

donde:

11 = longitud de transferencia medida desde el extremo de la viga en cm

db = diámetro nominal del cable en cm

/,,e = esfuerzo efectivo (después de pérdidas totales) en el acero en kg / cm2

( 4. 1 7)

La longitud de transferencia es de interés para el diseño de las zonas de anclaje (que se verá en la siguiente sección) y para el diserio del refuérzo. a la tensión diagonal en las secciones cerc<mas a los extremos de la viga (que se verá en el siguiente C(lpítulo ).

S i la viga se llega a sobrecargar el esfuerzo en el acero excederá el límite elástico llegando hasta J,,s. De nuevo, en una viga pretensada para que esto sea posible se necesita cierta longitud en el acero para que se pueda desarrollar ese esfuerzo por adherencia. A dicha longitud se le llama longitud de desarrollo y esta medida a partir de la sección crítica por flexión. La longitud de desarrollo está dada por la siguiente ecuación empírica:

·


Diseílo por. flexión

/J =-1 (jps -� /¡Je)db

70 3 (4. 1 8)

tri 1mcyc

Según pruebas experimentales para diámetros grandes de cables y resistencias del concreto relativamente bajas, las ecuacio- . nes anteriores pueden resultar no conservadoras, por lo que se recomiendan las siguientes:

¡, = 1 .5 (� )d· - 1 2

f 1 = 1 ·25 (/¡m -/¡Je ) db

70

(4. 1 7a)

(4. 1 8a)

El reglamento de construcciones de concreto del ACI requiere que Id se proporcione más allá de la sección crítica por flexión. Para cables que se dejan sin adherir, la longitud de desarrollo debe ser el doble, como se puede apreciar en la Figura 4. 1 O

sección crítica longitud no adherida sección crítica

lactuaJ>=/d lactua/>=21 d

Figura 4. 1 O Longitud de desarrollo para vigas pretensadas

4.4 Diseño de las zonas de anclaje

La transmisión de la fuerza de presfuerzo del acero al concreto ocurre en una zona relativamente pequefia, sobretodo para el concreto postensado. Esto hace que se genere ahí una concentración de esfuerzos que produce tensión en planos verticales perpendiculares al plano horizontal de la fuerza de presfuerzo. Si esa tensión l lega a producir esfuerzos mayores que la capacidad del concreto a resistirlos, éste se agrietará. Se hace necesario pues, reforzar esa zona para controlar el ancho de la grieta y evitar su propagación que podría destruir la adherencia entre el concreto y el acero o propiciar la generación de grietas por tensión diagonal (por corte). El problema es menos severo en pretensado que en postensado, pues en el primero la transferencia ocurre en una forma más gradual a lo largo de la longitud de transferencia, de la cual se discutió en la sección anterior.

4.4.1 Diseño de la zona de anclaje para pretensado (Método del PCA)

Aunque se podría usar el mismo método tanto para el concreto pretensado como para el postensado, en vista de que para el primero el problema es menos crítico (como ya se mencionó antes) se usa un método relativamente sencillo que se basa en pruebas experimentales llevadas a cabo por W. T. Marshall y A. H. Mattock bajo el patrocinio del PCA (Portland Cement Association). Estos investigadores proponen la siguiente relación empírica como resultado de sus investigaciones:


o 1mcyc

donde:

s h - = 0.0 1 06-p ¡,

S � La fuerza total de tensión aportada por el refuerzo (estribos)

P = La fuerza de presfuerzo

h = Peralte total de la sección de concreto

11 = La longitud de transferencia (que se puede tomar igual a 50dh )

Capítulo 4

( 4. 1 9)

Con base en sus pruebas, los investigadores antes mencionados asumen que el esfuerzo de tensión desarrollado en los estribos varía linealmente de un valor máximo en el extremo de la viga hasta cero en donde termina la misma la grieta (ver Figura 4. 1 1 ) .

Entonces, s i fs es el esfuerzo permisible en e l refuerzo cuando se aplica P1

donde

1 s = -fsA1 2

A, = área total de acero proporcionada por los estribos

sustituyendo la ecuación 4.20 en la 4. 1 9 y resolviendo para A, , obtenemos

A1 = 0.02 1 P;h .

f.v/I

s

distribución de esfuerzos en el refuerzo

rieta longitudinal

Figura 4. 1 1 Zona de anclaje para pretensado

(4.20)

(4.2 1 )

S e recomienda usar estribos cerrados de varil las d� diámetros pequeftos y poner e l primer estribo l o más cercano que s e pueda del extremo, respetando recubrimientos. Los estribos deben ser distribuidos uniformente en una longitud igual a h/5 medida desde la cara del extremo. Para controlar el ancho de la grieta se recomienda usar como esfuerzo permisible en el acero de refuerzo 1400 kg/cm2•

La investigación de la cual se desarrolló este método se efectuó en vigas 1 pretensadas con dos grupos de tendones, uno cerca de la parte superior de la viga y otro cerca de la parte inferior. Para condiciones de carga en el extremo diferentes el método puede dar resultados erróneos por lo cual se recomienda usar otro método (el método del ' equilibrio que se verá en la siguiente sección).


\í 1mcyc Diseño por flexión

4.4.2 Diseño de la zona de anclaje para postensado (Método del equilibrio)

Este método no es ni enteramente empírico ni enteramente racional, sino semiempírico o semirracional, pues se basa en un estudio analítico de una porción del extremo de la viga en la cual se involucra la grieta causada por la tensión perpendicular al eje longitudinal de la misma, pero se suponen ciertos hechos con base en pruebas experimentales.

El método en cuestión fue desarrol lado por P. Gergely y M. A. Sozen ( 1 967) quienes se basaron en los requerimientos de equilibrio que aplicaron a una porción del extremo de la viga como se indica en la Figura 4. 1 2.

Pi

T �

-PI rr �1 t= h

diagrama de cuerpo libre

Figura 4. 12 El método de equil ibrio para el diseño de la zona de anclaje

De acuerdo con el principio de Saint-Venant, la distribución lineal de esfuerzos, debidos a la fuerza de presfuerzo, se puede considerar así en una sección alejada del punto de aplicación de dicha fuerza una distancia aproximadamente igual al peralte de la viga.

Entonces, la porción que se toma como diagrama de cuerpo libre se verá sometida a la fuerza de presfuerzo q�e tendrá que ser equilibrada por la resultante, R, del diagrama de esfuerzos (desarrollado por la misma fuerza de presfuerzo) y por la fuerza cortante, V, que se desarrolla en el plano de la grieta (proporcionada por el mecanismo de trabazón). Re_sulta obvio que R por sí sola no es capaz de equilibrar a P; , pues para que así fuera tendríamos que tomar todo el diagrama de esfuerzos (o sea que P; > R ). Estas dos fuerzas hacen que la porción tienda a girar, tendencia que es equilibrada por el par formado por Ty C. Estas dos fuerzas son desarrolladas por el refuerzo a tensión y por la zona de concreto a compresión, respectivamente.

El objetivo primordial de este análisis es llegar a conocer el valor de la fuerza T, pues conociéndolo se puede llegar a determinar el área de acero requerido para el diseño adecuado de la zona de anclaje. Se puede conocer T si igualamos el momento que tiende a girar la porción con el momento del par formado por Ty C. De las pruebas experimentales se supone que C está localizado a una distancia /z del extremo de la viga y, obviamente, T estará localizado en el centroide del refuerzo transversal. Las pruebas también sugieren que el refu�rzo es necesario en una distancia igual a lz/2, por lo cual se puede suponer que el centroide del refuerzo estará a lz/4. Entonces:

T(h - x ) = Mmá x

de l a cual, s i substituimos x = lt / 4, obtenemos

T = 4Mmá x

3h

donde

· Mmdx = El momento máximo producido por P; y R en algún punto de la sección


(4.22)

(4.23)

83


Para conocer el momento máximo producido por P; y R es necesario conocer e, es decir, la localización de la grieta. Sin embargo, para conocer e necesitamos conocer el momento máximo. Resulta un círculo vicioso que lo podemos romper si discretizam9s el peralte total en incrementos del mismo y empezamos a suponer la formación de la grieta en esos incrementos Hendo de la base hacia arriba. Es decir, empezamos a suponer valores de e de abajo hacia arriba evaluando los momentos producidos por las fuerzas horizontales, con respecto a la grieta, hasta llegar a tener un diagrama de la variación del momento a través del peralte (ver Figura 4. 1 3). De esta manera llegamos a obtener el valor máximo del momento producido por las fuerzas horizontales, sin interesarnos ya el valor de c.

n=orden del intervalo Fn=(Pi!Ac)(1 +ey!/)

An=Llhb centroide de la sección de concreto

b

H ; - i--_..;--------1----��;:-;.�!1--·.,'.-,A-11-- "':·-¡f t M

Figura 4. 13 Determinación de Mmáx en el diseño de la zona de ancl�je

La determinación del momento máximo como se delineó arriba es un problema muy laborioso si no se recurre a la ayuda de una hoja electrónica de cálculo. Para el uso de una hoja electrónica de cálculo se sugiere el siguiente procedimiento (Orozco Z., F.):

84

l. Definir el número de incrementos o intervalos, conviene que la fuerza de presfuerzo se localice en uno de los interva los

h lih = -N

h N =-

b.h

N = número de intervalos

2. Determinar la distancia del centro id e de la sección de concreto al centro id e de cada intervalo en función del primero

yn = y1 -(n - 1)/ih, (positivo hacia abajo del eje centroidal)

n = número de orden del intervalo

3. Determinar la distancia del centroide de la sección de concreto al término de cada intervalo en función del primero (localización de la posible grieta)

4. Determinar los esfuerzos, debidos a P; , en el·centroide de cada intervalo



.f _ P1 (i eyn ) Jn - - + -Ác r 2 (usar P;, 'Y'', y e con signo)

5. Determinar las fuerzas en el centroide de cada intervalo

Fn =fnA.n,

o 1mcyc

6. Determinar los brazos de palanca para F1 , a medida que va subiendo la posible grieta, que también serán los brazos para las fuerzas que vayan apareciendo

bn = y1 - Zn; (siempre será positivo)

7. Determinar los momentos debidos a las fu�rzas Fn con respecto a la posible grieta a medida que vayan siendo consideradas éstas (serán negativos)

M¡ = F1 b1

para: i = 1, 2, 3, . . . . , n

j = n, n-1, n-2, . . . . . , 1

8. Determinar los brazos de palanca para la fuerza de presfuerzo

bpn = (e - Zn) ,

9. Determinar los momentos debidos a P;

Si (e-z,J ::; O => bpn = O. O

M1m=P;bpn , (será positivo)

1 0. Determinar los momentos netos

Mnet, n = J1n + M¡m para momento neto positivo la grieta tiende a producirse en la primera mitad de h (cerca del extrem?)· Para momento neto negativo la grieta tiende a producirse en la segunda mitad de h.

1 1 . Graficar Mnet, n contra el peralte h

hn = h - ( N - n) = �h

12. Diseñar A1 para la primera mitad de lt con el momento máximo positivo

:oncreto Presforzado

4M;áx T = ---3h

. T Ar =-fs

85

o 1mcyc

13. Diseñar A1 para la segunda mitad de h

4M�á x T = ---

3h

fs = 0.6fs ACI

T A1 =-fs

f s = 1 400 kg / cm2 recomendado

Cápítulo 4

Generalmente existirá más de un tendón a ser tensados, en estos casos se puede proceder por superposición, es decir, se pueden determinar los momentos por separado para cada tendón y superponerlos en la misma secuencia en que los tendones se tensarán. Esto es conveniente hacerlo, pues puede suceder que no controle la etapa con todos los tendones tensados.

Finalmente, en cuanto al postensado se refiere, habrá que revisar que los esfuerzos de aplastamiento que se desarrollen en la superficie de contacto entre las placas de los dispositivos de anclaje y el concreto no sobrepasen de ciertos límites . El reglamento de las construcciones del ACI especifica al respecto lo siguiente:

.86

l. En la fase de transmisión, el menor de

· � /desarrollada � Jb =0.85 ·/ci VÁ, -0.2

J desarrollada � J b = 1 .25 'J ;,

2. En la fase de servicio, el menor de

verificar

donde

faesarrollado � fi = 0.6 • J: r;4i" vAi faesarrollado � fi = J:

ACI 9.2.5

ACI 9.3 $ = 0.85 ¡ 094/py J;, � 0.8/pu

.

recomendado

ACI 1 8. 1 5. 1

ACI 1 8 . 1 5.2

1.2P; /desarrollado = A 1 Ji, = Es/ uerzo límite

A1 = Área de apoyo de la placa

(4.24)

(4.24a)

(4.25)

(4.25a)



A2 = Máxima área de la porción de la superficie de anclaje que es geométricamente similar a, y concéntrica con, el área de la placa (AJ (ver Fig. 4.14).

8 .---:-----.1 A1=axa·Ad ¡ Az=(b/2)(b/2)·Ad L§J 1 i

�-+--¡--+ b/2 ¡

· En general:

(h 'lb Ji::(h/b) entonces: h=(h '/b )b

· Az=bxh·Ad p.e. : si b=30 b '=10 y h '=15, entonces: h=45

Figura 4. 14 Revisión de las placas de apoyo de los dispositivos de anclaje ·

4.4.2.1 Ejemplo: Diseiio de la zona de anclaje para una viga postensada

h I b

Para la viga mostrada en la Figura 4. 1 5 disefie el refuerzo transversal con base en estribos cerrados de varilla #3 con

fs = 1400 kg/cm2 Ac = 5400 cm2 le = 6 480 000 cm4 81 = 82 = 108 000 cm3 r2 = 1200 cm2, e;nf = 45 cm, esup = -45 cm.

Solución:

Preparación de datos para la hoja de cálculo

N = 1 20/5 = 24

Y1 = 57.5 cm z1 = 55. 0 cm A1 = A2 = An = 225 cm2

P ( eyn ) .fn=-'5400 l+ 1 200

Fn= 225.fn

Concreto · Pres forzado

bn = 57.5 - Zn

hn = 120 - (24-n)5

Yn = 57.5 - (n - 1)5

Zn = 55. 0 - (n - 1)5

bpn, inf = (45- Zn)

h¡m, sup = (-45- Zn)

· o 1mcyc

87

o 1mcyc

120 45 cm

Pi,

. ..... ' _ ... -·- \ -!-

15 - ... SUp ,. \ 3 45 5 .t

120 cm _ ...

\ 45 1 2 ,¡ ,_ .. .. � - f'!'\ 0

15_¡_ r . .. . \

._ ...... . .....

p

sección a-a

Figura 4. 1 5 Ejemplo de diseño de zona de anclaje para una viga postensada

88

Pi,sup=91000.0 kg Pi11nr-182000.0 kg

orden de tensado 1, 2, 3

Capftulo 4


o 1mcyc Diseí'lo por flexión

EJEMPLO 4.2.2. l l a. PARTE TENDÓN No. 1 2a. PARTE MÁS

TENDÓN No. 2 n: Yn: Zn: fn: Fn: bn: Mn: bon: Mon: hn: Mnet n( J ): fn: Fn: bn: Mn: Mon: Mnet n<l+2):

o o o o 1 57.5 55 -53 . 1 89 - 1 1 967 2 .5 -299 1 8.62 o o 5 -2991 8.62 - 1 06.38 -23935 2.5 -59837 .2396 o -59837

2 52.5 50 -60.029 - 1 1 257 7.5 - 1 1 7897. 1 4 o o to -1 1 7897. 1 - 1 00.06 -225 1 3 7.5 -235794.271 o -235794

3 47.5 45 -46.869 - 1 0546 1 2.5 -260380.86 o o 1 5 -260380.9 -93.74 -2 !091 1 2.5 -52076 1 .7 1 9 o -520762

4 42.5 40 -43.709 -9834.6 1 7. 5 -453 8 1 5 . 1 5 455000 20 1 1 84 .8958 -87.42 -1 9669 1 7 .5 -907630.208 9 1 0000 2370

5 37.5 . 35 -40.55 -91 23 .7 22.5 -694645. 1 8 J O 9 ! 0000 25 2 1 5354.82 -8 1 . 1 0 - 1 8247 22.5 - 1 3 89290.36 1 820000 4307 1 0

6 32.5 30 -37.39 -84 1 2.8 27.5 -9793 1 6.4 1 1 5 1 365000 30 385683.59 -74.78 - 1 6826 27.5 - 1 958632.8 1 2730000 771 367

7 27.5 25 -34.23 -770 1 .8 32.5 - 1 304274 . 1 2 0 1 820000 35 . 5 1 5725.91 -68.46 - 1 5404 32.5 -2608548. 1 8 3640000 1 03 1 452

8 22.5 20 -3 1 .07 1 -6990.9 37.5 - 1 665963.5 25 2275000 40 609036.46 -62 . 1 4 - 1 3982 37.5 -3331 927.08 4550000 1 2 1 8073

9 1 7 .5 1 5 -27.9 1 1 -6279.9 42.5 -2060830. 1 3 0 2730000 45 6691 69.92 -55.82 - 1 2560 42.5 -4 1 2 1 660. 1 6 5460000 1 338340

10 1 2.5 1 0 -24.75 1 -5569 47.5 -24853 1 9 35 3 1 85000 50 699680.99 -49.50 -1 1 1 3 8 47.5 -4970638.02 6370000 1 399362

1 1 7.5 5 -2 1 .59 1 -4858 . 1 52.5 -2935875.7 40 3640000 55 704 1 24.35 -43 . 1 8 -97 1 6 52.5 -587 1 75 1 .3 7280000 1408249

12 2.5 o · - 1 8 .432 -4 1 47 . 1 57.5 -3408945.3 45 4095000 60 686054.69 -36.86 -8294 57.5 -68 1 7890.63 8 1 90000 1 372 1 09

1 3 -2.5 -5 - 1 5.272 -3436.2 62.5 -3900973.3 50 4550000 65 649026.69 -30.54 -6872 62.5 -780 1 946.61 9 ! 00000 1 298053

14 -7.5 - 1 0 - 1 2. 1 1 2 -2725.3 67.5 -4408404 .9 55 5005000 70 596595.05 -24.22 -54 5 1 67.5 -88 1 6809.9 1 001 0000 1 1 93 1 90

1 5 - 1 2.5 - 1 5 -8.9525 -20 1 4 .3 72.5 -4927685.5 60 5460000 75 5323 14.45 - 1 7.91 -4029 . . 72.5 -98553 7 1 .09 1 0920000 1 064629

1 6 - 1 7 .5 -20 -5.7928 - 1 303.4 77.5 -5455260.4 65 591 5000 80 459739.58 -1 1 .59 -2607 77.5 - ! 09 ! 0520.8 1 1 830000 9 1 9479

1 7 -22.5 -25 -2.633 1 -592.45 82.5 -5987574.9 70 6370000 85 382425. 1 3 -5.27 -1 1 85 82.5 - 1 1 975 1 49.7 1 2740000 764850

1 8 -27.5 -30 0.52662 1 1 8 .49 87.5 -652 1 074.2 75 6825000 90 303925.78 1 .05 237 87.5 - 1 3042 1 48.4 1 3650000 607852

1 9 -32.5 -35 3.68634 829.427 92.5 -7052203.8 80 7280000 95 227796.22 7.37 1 659 92.5 - 1 4 1 04407 .6 1 4560000 455592

20 -37.5 -40 6.84606 1 540.36 97.5 -7577408.9 85 7735000 1 00 1 5759 1 . 1 5 1 3 .69 308 1 97.5 - 1 5 1 5481 7.7 1 5470000 3 1 5 1 82

2 1 -42.5 -45 1 0.0058 225 1 .3 1 02 .5 -8093 1 34.8 90 8 1 90000 1 05 96865.234 ·20.0 1 4503 1 02.5 - 1 6 1 86269.5 1 6380000 1 93730

22 -47.5 -50 1 3. 1 655 2962.24 1 07 .5 -8595826.8 95 8645000 1 1 0 49 1 73. 1 77 26.33 5924 1 07.5 - 1 7 1 9 1 653.6 1 7290000 98346

23 -52.5 -55 1 6.3252 3673 . 1 8 1 1 2.5 -908 1 930.3 1 00 9 1 00000 1 1 5 1 8069.661 32.65 7346 1 1 2 .5 - 1 8 1 63860.7 1 8200000 36 1 39

24 -57 .5 -60 1 9.485 . 4384 . 1 1 1 1 7 .5 -9547890.6 1 05 9555000 ; 1 20 7 1 09.375 38.97 8768 1 1 7.5 - 1 909578 1 .3 1 9 1 1 0000 1 42 1 9

Diagrama momento v s peralte 1600000 1400000 1200000 1000000 E 800000 y = -x- Mnet,n(f): e 600000

-o- Mnet,n(f+2): ..

1 400000 200000 :¡¡ ·200000 -400000 -600000 peralte B->T Figura 4. 16 Determinación de Mmáx (positivo y negativo), ejemplo 4.2.2. 1

·De los cálculos y de las gráficas mostradas en la Figura 4. 1 6 podemos ver que si los tendones están en el mism,o nivel se puede trabajar con la resultante. En la Figura 4. 1 7 presentamos el tensado del tercer tendón, después en la Figura 4. 1 8, 4. 1 9 y 4.20 se muestra la superposición para obtener el resultado final.


o 1mcyc Capítulo 4

· EJEMPLO 4.2.2 . 1 �a. PARTE: TENDÓN SUPERIOR

n: Yn: Zn: fn: Fn: bn: Mn: bon: Mon: hn: Mnet n:

o o o 1 57.5 55 1 9.48 4384 2.5 1 0960. o o 5 1 0960.

2 52.5 50 1 6.33 3673 7.5 42064. o o 1 0 42064.

3 47.5 45 1 3. 1 7 2962 1 2.5 89756. o o 1 5 89756,

4 42.5 40 1 0.01 . 2251 1 7.5 1 50482. o o 20 1 50482.

5 37.5 35 6.85 1 540 22.5 220687. o o 25 220687.

6 32.5 30 3 .69 829 27.5 29681 6. o o 30 2968 1 6.

7 27.5 25 0.53 1 1 8 32.5 3753 1 6 . o o 35 3753 1 6.

8 22.5 20 -2.63 -592 37.5 452630. o o 40 452630

9 1 7.5 15 -5.79 -1 303 42.5 525205. o o 45 525205.

1 0 1 2.5 1 0 -8.96 -2014 47.5 589486. o o 50 589486.

1 1 7.5 5 - 1 2. 1 1 -2725 52.5 641 9 1 7. o o 55 64 1 91 7 .

1 2 2.5 o - 1 5 .27 -3436 57.5 678945. o o 60 678945.

1 3 -2.5 -5 - 1 8.43 -4 1 47 62.5 6970 1 5 . o o 65 6970 1 5.

1 4 -7.5 - 1 0 -2 1 .59 -4858 67.5 692572. o o 70 692572.

1 5 - 1 2 . 5 - 1 5 -24.75 -5569 72.5 66206 1 . o o 75 66206 1 .

1 6 - 1 7.5 -20 -27.91 -6280 77.5 60 1 927 . o o 80 601 927.

17 -22.5 -25 -3 1 .07 -6991 82.5 5086 1 7 . o o 85 5086 1 7 .

1 8 -27.5 -30 -34.23 -7702 87.5 378574. o o 90 378574.

19 -32.5 -35 -37.39 -84 1 3 92.5 208245. o o 95 208245.

20 -37.5 -40 -40.55 -9 1 24 97.5 -5924. o o 1 00 -5924.

21 -42.5 -45 -43 .7 1 -9835 1 02.5 -267490. o o 105 -267490.

22 -47.5 -50 -46.87 . - 1 0546 1 07.5 -580007. 5 455000 1 1 0 -1 25007.

23 -52.5 -55 -50.03 - 1 1 257 1 1 2 .5 -947028. 1 0 9 1 0000 1 1 5 -37028.

24 -57.5 -60 -53 . 1 9 - 1 1 967 1 1 7.5 -1 372 1 09. 1 5 1 365000 1 20 -7 1 09.

Fig. 4. 1 7 Ejemplo 4.2.2. 1 , 3er tendón

Momento versus peralte

j-lr- Mne�

Peralte B->T

Fig. 4. 1 7a Diagrama de momento neto para el 3er tendón



EJEMPLO 4.2.2.1 SUPERPOSICI( N DE PARTE 1 CON PARTE 2

n: Yn: Zn fn: Fn: bn: Mn: bon: Mon: hn: Mnetl n : Mnet2.n: Mnetl +Mnet2

o o o o o 1 57.5 55 - J 06 .38 -23935 2.5 -59837. o o 5 -59837. J 0960 -48877.

2 52.5 50 -J 00.06 -225 J 3 7.5 -235794. o o J O -235794. 42064 -J 93730.

3 47.5 45 -93.74 -2 1 09 1 1 2 .5 -520762. o o 1 5 -520762. 89756 -431006.

4 42.5 40 -87.42 -1 9669 1 7.5 -907630. 5 9 1 0000 20 2370. 1 50482 1 52852.

5 37.5 35 -8 1 . 1 0 -1 8247 22.5 - 1 389290. J O 1 820000 25 4307 1 0. 220687 65 1 397.

6 32.5 30 -74.78 -J 6826 27.5 -1 958633. 1 5 2730000 30 77J 367. 2968 1 6 1 068J83.

7 27.5 25 -68.46 - 1 5404 32.5 -2608548. 20 3640000 35 J 0 3 1 452. 3753 J 6 1406768.

8 22.5 20 -62 . 1 4 -1 3982 37.5 -33 3 J 927. 25 4550000 40 1 2 J 8073. . 452630 1 670703.

9 J 7.5 J5 -55.82 - 1 2560 42.5 -4 1 2 1 660. 30 5460000 45 1 338340. 525205 1 863545.

J O 1 2 . 5 J O -49.50 - 1 1 1 38 47.5 -4970638. 35 6370000 50 J 399362. 589486 J988848.

1 1 7.5 5 -43 . 1 8 -97 1 6 52.5 -587 1 75 1 . 40 7280000 55 J408249. 641 9 J 7 2050J 66.

J 2 2.5 o -36.86 -8294 57.5 -68 1 789 1 . 4 5 8 1 90000 60 1 372 1 09. 678945 205 1 054.

J 3 -2.5 -5 -30.54 -6872 62.5 . -7801947. 50 9 1 00000 65 J 298053. 6970 1 5 J 995068.

1 4 -7.5 - 1 0 -24.22 -54 5 J 67.5 -88 1 68 J O . 55 J OO J OOOO 70 1 1 93 1 90. 692572 1 885762.

1 5 -J 2 .5 -1 5 - 1 7 .9J -4029 72.5 -9855371 . 60 1 0920000 75 J 064629. 662061 1 726690.

J 6 - J 7.5 -20 -J 1 .59 -2607 77.5 - 1 09 1 052 1 . 65 1 J 830000 80 9 J 9479. 601 927 J 52 J406.

J 7 -22.5 -25 -5 .27 - J J 85 82.5 -J 1 975 1 50. 70 J 2740000 85 764850. 5086 J 7 J 273467

1 8 -27.5 -30 1 .05 237 87.5 - 1 3042 J48 . 75 J 3650000 90 607852. 378574 986426.

J 9 -32.5 -35 7.37 1 659 92.5 - 1 4 1 04408. 80 1 4560000 95 455592. 208245 663837.

20 -37.5 -40 . 1 3 .69 308 1 97.5 - 1 5 1 548 1 8 . 85 1 5470000 1 00 3 J 5 1 82 . -5924 309258.

2 1 -42.5 -45 20.0 1 4503 1 02.5 - 1 6 J 86270. 90 1 6380000 J 05 1 93730. -267490 . -73760.

22 -47.5 -50 26.33 5924 J 07.5 - 1 7 1 9 J 654. 95 1 7290000 1 1 0 98346. - J 25007 -2666J .

23 -52.5 -55 32.65 7346 1 1 2.5 - 1 8 1 6386 1 . 1 00 1 8200000 1 1 5 361 39. -37028 -889.

24 -57.5 -60 38.97 8768 1 1 7.5 - 1 909578 1 . 1 05 1 91 1 0000 1 20 1 42 1 9. -7 1 09 7J J O.

Figura 4. 1 8 Ejemplo 4.2.2. 1 , Superposición de parte 1 y 2

Momento Versus Peralte (B->T)

• ·<> • Mnet1,n: • · O • Mnet2,n:

Distancia (cm)

Fig. 4. 1 9 Ejemplo 4.2.2. 1 , diagramas de momento


o 1mcyc Capítulo 4

Momento total Versus Peralte (B->T)

Distancia (cm) ·

Figura 4.20 piagramas de momentos netos superponiendo parte 1 y p·arte 2



Si se hubiera usado la resultante de los tres tendones para hacer el análisis, los resultados serían los presentados en la Figura 4.2 1

EJEMPLO 4.2.2 . 1 CON LA RESULTANTE DE LOS TRES TENDONES

n: Yn: Zn: fn: Fn: bn: Mn: bon: Mnn: hn: Mnetl n:

o o o 1 57.5 5 5 -86.99 - 1 95 5 1 2.5 -48877. o o 5 -48876.95

2 52.5 50 -83.73 - 1 8840 7 .5 - 1 93730. o o 1 0 - 1 93730.5

3 47.5 45 -80.57 - 1 8 1 29 1 2.5 -43 1 006. o o 1 5 -43 1 005.9

4 42.5 40 -77.41 - 1 74 1 8 1 7.5 . -757 1 48. o o 20 -757 1 48.4

5 37.5 35 -74.25 - 1 6707 22.5 - 1 1 68604. o o 25 - 1 1 68604

6 32.5 30 -7 1 .09 - 1 5996 27.5 - 1 66 1 8 1 6 . o () 30 - 1 66 1 8 1 6

7 27.5 25 -67.93 - 1 5285 32.5 -2233232. o o 35 -2233232

8 22.5 20 -64.77 - 1 4574 37.5 -2879297. o o 40 -2879297

9 1 7.5 1 5 -6 1 .6 1 - 1 3863 42.5 -3596455. o o 45 -3596455

1 0 1 2.5 1 0 -58.45 - 1 3 1 52 47.5 -4381 1 52 . 5 1 365000 50 -30 1 6 1 52

1 1 7 .5 5 -55.30 - 1 2441 52.5 -5229834. 1 0 2730000 55 -2499834

1 2 2.5 o ·52. 1 4 - 1 1 730 57.5 -6 1 38945. 1 5 4095000 60 -2043945

1 3 -2.5 -5 -48.98 - 1 1 020 62.5 -7 1 04932. 20 5460000 65 - 1 644932

1 4 -7.5 - 1 0 -45 .82 - 1 0309 67.5 -8 1 24238. 25 6825000 70 - 1 299238

1 5 - 1 2 . 5 - 1 5 -42.66 -9598 72.5 -9 1 933 1 1 . 30 8 1 90000 75 -1 0033 1 1

1 6 - 1 7.5 -20 -39.50 -8887 77.5 - 1 0308594. 35 9555000 80 -753593.8

1 7 -22.5 -25 -36.34 ·-8 1 76 82.5 - l l 466533. 40 1 0920000 85 -546533.2

1 8 -27.5 -30 -33 . 1 8 -7465 87.5 - 1 2663574. 45 1 2285000 90 -378574.2

1 9 -32.5 -35 -30.02 -6754 92.5 - 1 3896 1 62 . 50 1 3650000 95 -246 1 62 . l

2 0 -37.5 -40 -26.86 -6043 97.5 - 1 5 1 60742. 55 1 50 1 5000 1 00 - 145742.2

2 1 -42.5 -45 -23 .70 -5332 1 02.5 - 1 6453760. 60 1 6380000 1 05 -73759.77

22 -47.5 -50 -20.54 -4621 1 07.5 - 1 777 1 660. 65 1 7745000 1 1 0 -26660 . 1 6

23 -52.5 -55 - 1 7 .378 -39 1 0.2 l l 2.5 - 1 9 1 1 0889 70 1 9 1 1 0000 l l 5 -888.67 1 9

24 -57.5 -60 - 1 4 .2 1 9 -3 1 99.2 1 1 7 .5 -20467891 75 20475000 1 20 7 1 09.375

M o m e n to Ve rs u s P e ra l te ( 8 ->T)

500000

o o

-500000

E -1 000000 u Cn 1 -� Mnet 1 ,n : 1 .:a¡: -1 500000 e: (1)

.s -2000000 e: (1) E o -2500000 ==

-3000000

-3500000

-4000000

Distancia (cm)

Figura. 4.2 1 Ejemplo 4.2.2. 1 resuelto con la resultante de los tres tendones

Concreto Presf<?rzad.o 93

' 1 ,1 () 1mcyc

Capítulo 4

Como podemos ver, la solución en este último caso es errónea, pues por un lado no tenemos momento positivo, y por otro . lado la fuerza resultante no existe físicamente en donde se supone que actúa. Sucede lo mismo que en Mecánica de Sólidos, la resultante de un sistema de cargas se puede usar para propósitos de estática, pero no para el análisis de esfuerzos o deformaciones.

Entonces, de la etapa del tensado de los tendones inferiores, obtenemos

M;áx = 1 408 249. 00 kg-cm

M:áx = 520 762. 00 kg-cm (ver Figura 4. 1 6)

superponiendo el tensado del tercer tendón, obtenemos

M;áx = 2 051 054. 00 kg-cm

M�áx = 431 006. 00 kg-cm (ver Figuras 4. 1 8, 1 9 y 20)

entonces, para momento positivo gobierna la etapa del tensado total, y para momento negativo gobierna la etapa del tensado de los tendones inferiores:

l. Para el refuerzo de los primeros h/2

T = 4(12) (205 1 054) =27347 kg 3 (1 20)

A = 27347 = 1 953 cm2 I 1 400

usando estribos cerrados (dos ramas) de barra #3

. 1 953 No. Estnbos = -- = 1 3.75, o sea: 14 Estribos # 3 distribuidos en 60 cm 1.42

2. Para el refuerzo de los siguiente� lt/2

T = ( 4) (12) (520762)

=6943.20 kg (3) (120)

. A = 69432 = 496 cm2 I . 1 400

. 4.96 3 49 No. Estnbos = -- = . , o sea : 4 Estribos # 3 distribuidos en 60 cm 1.42

Los 14 estribos se colocarán en la primera mitad de h, si quedaran muy juntos se deberán usar estribos de 4 ramas (un estribo dentro de otro). En la segunda mitad de h se deberán colocar los otros 4 estribos. Este armado debe ser adicional al refuerzo por tensión diagonal que se pudiera necesitar ahí.

Los dispositivos de anclaje se seleccionarán según el sistema que se vaya a usar. El diseñador sólo' se concretará a revisar que los esfuerzos desarrollados en la superficie de contacto entre el concreto y las placas esté dentro de los límites establecidos.



Problemas 4.1 Se tiene una viga de concreto presforzado con una sección rectangular de 40 cm en la base por lOO cm de peralte total. El

concreto es normal (2400 kg/m3 ) def'ei = O. 7 5 f 'e y f'e = 420 kg/cm2, el perfil del acero de pres fuerzo es parabólico con la excentricidad máxima en el centro del claro y cero en los apoyos. R se estima igual 0.85. Determine las cargas superpuestas para las cuales tiene capacidad la sección de concreto en un claro simple de 15 .0 m, adoptando los esfuerzos permisibles del ACI.

a 7. 50m 7.50m

Figura P4. 1 Capaéidad elástica de una sección de concreto

40 cm 1, � /l 7

1 00 cm

--- Ap

Sección a-a en e l centro de l c laro

4.2 Se requiere diseñar una sección óptima 1 (simétrica o asimétrica) de concreto, así como la fuerza de presfuerzo con su excentricidad máxima y su perfil para una viga s implemente apoyada en un claro de 20.00 m. Se pretende que la viga soporte, además de su peso propio, una carga muerta adicional de 360 kg/m2 y una carga viva de 600 kg/m2 • Estas cargas son trasmitidas a la viga por medio de una losa siendo el ancho tributario de 1 .50 m (ver Fig. P4.2). El concreto será de peso normal, con f'ei = O. 7 f'e y f'e = 350 kg/cm2;· Determine el número de cables de 7 hilos de diámetro de 1 .27 cm, grado 270 y /py = 0.9 fp11• Adopte los esfuerzos permisibles para el concreto y el acero del reglamento del ACI y suponga b = 60.00 cm.

sección a;..a

Figura P4.2 Diseño de una sección 1 óptima (simétrica o asimétrica)

4.3 Se requiere diseñar (sección, fuerza de presfuerzo, e_xcentricidad y No. de cables de 1 .27 cm de diámetro) una viga de concreto presforzado (pretensada) para que sirva de puente peatonal en un claro simple de 1 5 .00 m. La sección deberá ser doble T ( ver FiguraP4.3) con excentricidad constante a lo largo de la viga. Use la siguiente información: fe= 350 kg/cm2, Je¡ = 0.7 fe , acero grado 270 de relajamiento normal, Ye = 2400 kg/m3, wd= 300 kg/m2, w1= 500 kg/m2, R = 0.80, re = O. l 5h (como estimación inicial) y adopte los esfuerzos permisibles, tanto para el concreto como para el acero, del ACI (Cap. 1 8). Como la excentricidad es constante, ésta deberá ser la calculada para el momento crítico, por lo cual, deberá revisarse una sección del apoyo para determinar la fuerza de presfuerzo máxima ahí y decidir cuántos cables deben quedar sin adherir. Adopte las siguientes relaciones:


bw /b = 0.20 Y h¡/h = 0.2

95

. () 1mcyc

acero de presf uerzo

7.50m )

7.50m

Figura P4.3 Diseño de una sección de concreto excedida

a

� 120cm

re :f: • -f-1-bw/2

+-+ bw/2

Capítulo 4

h

4.4 Trabaje, algebráicamente, las ecuaciones 4. 1 3- 1 , 4. 1 4-2, 4. 14-3 y 4. 1 5-4 para obtener las ecuaciones 1 , 2, 3 y 4.

4.5 Para el ejemplo desarrollado en 4.2.5, determine a qué distancia de los apoyos se pueden tener todos los cables adheridos si se conser\la la excentricidad constante.

4.6 Rediseñe el acero de presfuerzo del problema 4.3 considerando una carga viva de solo 200 kg/m2• Revise por resistencia con la totalidad de la carga viva (500 kg/m2 ) y si la capacidad está por debajo de la demanda (Mu) proporcione acero de refüerzo ordinario no presforzado ( fy = 4200 kg/cm2 ) de tal manera que la distancia de su centroide a la fibra inferior sea de 7 cm. y que se cumplan los requerimientos del ACI. ¡

4.7 Diseñe el acero de presfuerzo para la viga del problema 4. 1 usando el método de la carga balanceada. Use como cargas de servicio aquellas para las cuales tiene capacidad la sección según los requerimientos del ACL El acero de presfuerzo será grado 270 y considere su centroide alejado de la base un 1 0% del peralte como un valor inicial. Suponga que se usará el sistema Freyssinet para el postensado. Una vez hecho el diseño, revíselo tanto por esfuerzos permisibles como por resistencia, adoptando las especificaciones del ACI.

4.8 Para los problemas 4.3, 4.5 y 4.6 verifique que se cumpla la longifüd de desarrollo requerida por el reglamento de las construcciones de concreto del ACI.

-4.9 Diseñe la zon·a de anclaje, usando estribos cerrados de vs. #3 con Is = 1400 kg/cm2 , para las vigas de los problemas 4.3, 4.5

y 4.6. Use el método del PCA.

4.1 O Rediseñe la zona de anclaje para el problema 4.5 usando el método del equilibrio. Use estribos cerrados de varilla #3 con Is =1400 kg/cm2• Compare resultados. .

4.1 1 Diseñe la zona de anclaje para el problema 4.7. Use estribos cerrados de varilla #3 con Is = 1 400 kg/cm2• Seleccione, del sistema Freyssinet, el herraje de anclaje y revíselo contra el aplastamiento según especificaciones del ACI.


(í 1mcyc

Capítulo 5

Análisis y diseño por corte

5.1 Introducción . Es bien conocido que los esfuerzos directos de corte no son un prob�ema en concreto reforzado ni en concreto presforzado, sino

que el problema es la tensión diagonal que resulta cuando los esfuerzos cortantes son descompuestos en esfuerzos principales. Los esfuerzos cortantes por sí mismos o en combinación con esfuerzos normales actúan para producir esfuerzos prindpales, uno de ellos en tensión y el otro en compresión. Para esfuerzos cortantes,el esfuerzo principal en tensión ocurre en un plano inclinado de 45° con respectó al eje longitudinal de la viga, constituyéndose entonces, en lo que conocemos como tensión diagonal (ver Figura 5 . 1 ). Este no es el caso cuando también existen esfuerzos normales, como en el concreto presforzado, donde, gracias a la presencia del presfuerzo, tanto la '\ magnitud de la tensión diagonal como la inclinación de la grieta se reducen (ver Figura 5.2).

y V .---+---.

45° X

f1 V

Estado de corte puro (0,-v)

Figura 5 . 1 Tensión diagonal en concreto reforzado (CR)

En la Figura 5 . 1 se i lustra el caso de la tensión diagonal en el concreto reforzado. Se analiza un elemento en el centroide de una sección rectangular donde el esfuerzo cortante es máximo y el esfuerzo normal es nulo, constituyendo el estado de corte puro que produce el estado de esfuerzos principales iguales en magnitud, pero uno en tensión (diagonal), que es el que produce la grieta, y el otro en compresión, que reduce la capacidad del concreto a resistir la tensión . . Con la técnica del Círculo de Mohr podemos hacer el análisis en una manera simple:



Ji = C+ R = v, y si Ji = f 'et , entonces , v = Ver = f 'et (corte de agrietamiento)

donde

f'cr es la capacidad del concreto a la tensión directa

y

------ � X p V

Figura 5.2 Tensión diagonal para concreto presforzado (CP)

Sin embargo, para el concreto presforzado, como podemos apreciar en la Figura 5.2 y recurriendo otra vez al Círculo de Mohr, la tensión diagonal se reduce al combinar el esfuerzo cortante ( v ) con el normal (fx =-fcc ), sucediendo lo mismo con la inclinación de la grieta

R = (_!; r + v '

(5 . 1 )

S i igualamos e l esfuerzo de tensión diagonal desarrollado (Ji) al esfuerzo de tensión que resiste e l con_creto (f'c1) y resol - . viendo para el esfuerzo cortante, obtendremos el esfuerzo de corte que produce la g�ieta diagonal


Análisis y diseño por .corte

(5.2)

'!!:;, 1mcyc

De la ecuación 5 .2 podemos ver que el esfuerzo cortante que necesita desarrollarse para producir la.grieta diagonal es mayor en el caso del concreto presforzado que en el caso del concreto reforzado (donde Ver = f 'et ), o lo que es lo mismo, la tensión diagor.�l desarrollada en el concreto presforzado será menor.

En la ecuación 5 . 1 es fácil observar que para anular la tensión diagonal (/1 ) es necesario que el esfuerzo cortante sea igual a cero, es decir, la solución trivial. Si existe esfuerzo cortante no es posible anular la tensión diagonal solo con presfuerzo longitudinal, s ino que también se necesita un presfuerzo transversal que desarrolle un esfuerzo de compresión perpendicular a fce· Esta fue una tendencia en la década de los 20, debido a que había mucha incertidumbre acerca del efecto de l as grietas en el concreto, por lo cual se trataba de evitar a toda costa que el concreto se agrietara presforzándolo completamente tanto longitudinal como transversalmente. S in . embargo, a medida que se fue investigando más acerca del comportamiento del concreto agrietado se fue aceptando que es mejor y más económico controlar las grietas que evitarlas. Pues, el evitarlas requiere de acero presforzado transversalmente, mientras que su control solo requiere acero ordinario transversal no presforzado, que es menos costoso.

En resumen, podemos ver que la acción del presfuerzo es benéfica por dos causas: primero, reduce la tensión diagonal desarrollada; y segundo, reduce la inclinación de la posible grieta haciendo más efectivo el refuerzo transversal cuando éste es a base d� estribos verticales, como se puede ver en la Figura 5 .3 , pues suponiendo que para una fuerza cortante dada (V) se necesiten 4 estribos , éstos estarían más separados en el caso del concreto presforzado.

(CR)

V

s s s

Figura 5.3 Ahorros en el refuerzo al corte en el concreto presforzado

s<s ' V

(CP) s ' s ' s '

Tambié� suele suceder que los tendones tengan cierta inclinación con respecto al eje longitudinal de la viga. Esto tambi�n es una acción que ayuda a resistir la fuerza cortante haciendo que el refuerzo al corte resulte más económico (ver Figura 5.4).

Mientras la tensión diagonal desarrollada (ver ecuación 5. 1 ) no exceda la capacidad del concreto a la tensión, éste no se agrietará y es posible un análisis racional y elástico (para determinar v ) del problema. En este caso, el diseño se reduciría a proporcionar la sección de concreto para que e l valor de la tensión diagonal desarrollado por las cargas de servicio (Ji ), y determinado por el análisis, fuera menor que la capacidad del concreto a la tensión (/ 'et ), no necesitándose ningún tipo de refuerzo.

Sin e.mbargo, si hubiera una sobrecarga (que nadie puede garantizar que no ocurra) la tensión diagonal excedería la capacidad del concreto y éste se agrietaría. S i no existe refuerzo que controle el ancho y la propagación de la grieta, ésta puede ser causa de la falla prematura de la viga, es decir, teniendo todavía capacidad a la flexión.

La idea del refuerzo no es evitar la �grieta, s ino controlar su ancho y su propagación. El controlar el ancho de la grieta es muy importante, pues si éste es pequeño no se destruye el mecanismo de trabazón proporcionado por el agregado grueso del concreto (aggregate interlock), que' es un factor muy importante para resistir la fuerza cortante. El evitar la propagación de la grieta también es muy importante, pues de lo contrario ésta puede propagarse hacia la zona de compresión del concreto reduciéndola y propiciando la falla, por aplastamiento del mismo, de tipo explosivo. La propagación puede ocurrir hacia abajo donde está el refuerzo longitudinal,


<ti 1mcyc Capítulo 5

destruyendo la adherencia entre éste y el concreto, haciendo que desaparezca la .fuerza de tensión del par resistente por deslizamiento del acero longitudinal con respecto al concreto. La falta de adherencia también reduce la contribución directa del refuerzo longitudinal a resistir la fuerza cortante (dowel action).

carga

Vnet = Vcarga - Vp

V carga

Vp=Psen9

Figura 5.4 Fuerza cortante reducida (V net) por la fuerza de presfuerzo (P) ¡ De la discusión anterior se ve la necesidad de proporcionar refuerzo transversal para el caso en que existan sobrecargas.

D iseñar ese refuerzo longitudinal con base en un análisis racional que no considere al concreto agrietado es estar fuera de la realidad, pues para que el acero trabaje necesitará estar deformado y para las deformaciones debidas a las cargas de servicio, aunque pequeñas, el concreto se agrietará. Una vez que se agriete ya no será válida la ecuación de la Mecánica de Sól idos para determinar el esfuerzo cortante (v) y la distribución de esfuerzos es muy compleja, las grietas por corte ya no solo se deberán a la tensión diagonal, sino a posibles grietas por flexión previas a las del corte.

Los estudios experimentales han jugado un papel muy importante para entender el comportamiento correcto del concreto agrietado. Sin embargo, su entendimiento es aún incompleto. Actualmente, en gran parte del mundo, relaciones semiempíricas, obtenidas o desarrolladas a partir de un gran número de pruebas experimentales, son usadas para manejar este problema.

Sin embargo, en la actualidad sí existen teorías racionales que tratan de predecir el comportamiento del concreto agrietado en respuesta a las fuerzas cortantes. Desafortunadamente, estas teorías, en parte por su complejidad, aún no han logrado una aceptación en las principales instituciones encargadas de revisar los reglamentos de construcción de las estructuras de concreto. Es de des

.ear que en uri futuro no m�y lejano se logre lo anterio.r y se simplifique su aplicación, pues el diseño basado en una teoría ra

cional redundará en la reducción de los costos de disefios que tienen que ser conservadores para cubrir las incertidumbres propias de métodos. empíricos.

5.2 Contribución del concreto a resistir la fuerza cortante

Desde principios de este siglo los investigadores se dieron cuenta que el concreto sin refuerzo en el alma (estribos) resistían .cargas cortantes. Se definieron dos modos de falla, basados en pruebas experimentales conducidas por Sozen et al. y .MacGregor et al.

El primero, llamado falla por corte en el alma, se inicia con grietas en el alma, sin previas grietas por flexión, cuando el esfuerzo principal de tensión (tensión diagonal) excede la capacidad a la tensión del concreto (ver Figura 5 .5). El otro modo, llamado falla por flexión-cortante, ocurre después de que aparecen grietas por flexión que propician, donde terminan éstas, el desarrollo d� la grieta por cor::e cuando la !ensión.diagonal excede la resistencia del concreto (ver Figura 5.5) . .

. 1 00 Concreto Presforzado


grieta en el alma

, Y

corte en ef alma

Figura 5.5 Modos de falla al corte

grieta en P el alma

flexión-cortante

o 1mcyc

Para el primer modo de falla se puede suponer un comportamiento de concreto no agrietado, por lo cual, las ecuaciones clásicas de la Mecánica de Sólidos se pueden usar para predecir la contribución del concreto a resistir fuerza cortante (no para disefiar el refuerzo). La ecuación 5 .2, que fue derivada igualando el esfuerzo principal en el centroide de una viga presforzada (pues ahí ocurre el esfuerzo cortante máximo) con la resistencia del concreto a la tensión, viene a ser una de las alternativas adoptadas por el reglamento del ACI para predecir la contribución del concreto a resistir corte

(5 .2)

substituyendo la capacidad a la tensión directa del concreto, la cual puede ser tomada como L 06fj[, en la ecuación 5 .2, obtenemos

] + Ícc 1 .06.Jl: (5 .3)

de la cual podemos obtener la fuerza cortante de agrietamiento, y puesto que una vez que el concreto (sin refuerzo en el alma) se agriete la viga fallará, este cortante de agrietamiento se considera el corte resistente o la contribución del concreto a resistir la fuerza cortante

(5.4)

ahora bien, debido a que esta falla tiende a ocurrir cerca del apoyo donde el acero de presfuerzo, si tiene excentricidad variable, puede tener la mayor inclinación, la ecuación 5 .4 se modifica para tener en cuenta su posible contribución a resistir el corte

(5.4a)

donde VP = Pe sene (ver Figura 5.4) y se ha cambiado el subíndice de V para indicar que estamos manejando la contribución del alma a resistir el corte. La otra alternativa adoptada por el ACI para este primer modo de falla es una simplificación a la ecuación 5.3 propuesta por un comité del ACI (1 965). La expresión propuesta es menos compleja, aunque ligeramenta más conservadora, pues toma f� = 0.93 .f1I "en lugar de 1.06 .f1I, y se escribe a continuación:

Concreto Presforzado 1 0 1


(5 .5)

nótese que hemos pasado de esfuerzo cortante a fuerza cortante multiplicando aquel por bw dp que se considera como el área efectiva de corte para una sección de concreto agrietado (ver Apéndice 8). Ya vimos antes que fcc es el esfuerzo en el centroide ·

de la sección de concreto producido por Pe , sin embargo, el ACI especifica en su reglamento que si el centroide de la sección se localiza en el paÚn de una viga T ó /, entonces el esfuerzo ya no se evaluará en el centroide sino en la unión del alma con el patín. La razón de esto es que en este tipo de vigas el esfuerzo cortante en ese punto es casi igual de grande que en el centroide, s in embargo, el esfuerzo normal de compresión puede ser menor (incluso hasta de tensión) que en el centroide, haciendo que aumente la tensión diagonal.

entonces

f =J = pe (l + ey ) + Ms� ce cp A 2 J e r e

(Pe, y, e y Ms entran con su signo)

donde 1 1 \! \ \ ¡ . . y = distancia del centro id e de la sección de concreto a la unión del alma con el patín, un resultado negativo indica

compresión y en (5.5) entra positivo.

Para el segundo modo de falla (flexión-cortante), que desafortunadamente es el más común, desde el momento que es precedido por grietas producidas por flexión, un comportamiento elástico y de sección no agrietada ya no es válido. Por esta razón, los intentos de una derivación racional anteriores a los modelos que sí consideran este hecho no pudieron con la complej idad del problema (por ejemplo: Rittery Mürsch, a principios de este siglo, no pudieron definir matemáticamente la inclinación de la grieta diagonal por lo cual la supusieron a 45° ). Fue nec,esario hacer suposiciones y ellas fueron hechas con base en resultados de pruebas experimentales. Por lo tanto, fueron desarrolladas relaciones semiempíricas (o semiracionales) en las cuales los datos obtenidos de los resultados experimentales llegaron a substituir a los eslabones racionales faltantes en la cadena racional deductiva.

Para vigas de concreto presforzado, el reglamento del ACI presenta una ecuación simplificada para predecir la contribución del concreto a resistir el corte considerando el segundo modo de falla (ver Apéndice 8). Esta ecuación está basada en investigaciones desarrolladas por Sozen et al. ( 1 959) y MacGregor et al. ( 1 965) y se presenta a continuación:

donde

Vc1 = Contribución del concreto a resistir el corte

(5 .6)

M' cr =Momento de agrietamiento en donde Ve; es deseado (definido en la sección 3.5 con las ec. 3.9a y 3.9b ), sin considerar el peso propio

Vd = Fuerza cortante debida al peso propio en la sección donde Ve; es deseado

V; = Fuerza cortante debida a wd + w1 (factorizados o sinfactorizar) en la sección donde Ve; es deseado

Mmdx = Momento flector debido a wd + w1 (facto rizados o sin factorizar) en la sección donde Ve; es deseado

El primer término es e l incremento de fuerza cortante requerido, después de que se forma la grieta por flexión, para desarrollar la grieta por tensión diagonal. Es una cantidad derivada experimentalmente. El peso propio es separado de la carga externa (cargas muerta y viva superimpuestas) porque generalmente éste es uniformemente distribuido, mientras que la carga externa puede tener cualquier distribución. De esta manera se facilita la derivación semiracional del último término. Por lo tanto, el pr_imer término es puramente empírico, mientras que el último es obtenido siguiendo una derivación racional( analítica) con algunas suposiciones semiempíricas. Este ú ltimo término, junto con el segundo (Vd) representa 1 a fuerza cortante que inicia la grieta por flexión que dará origen a la


fj uncyc Análisis y diseño por corte

-, grieta diagonal. En el cálculo de M'cr , el ACI propone que se use 1.6 fl[ en lugar de l.06fl[ como capacidad a tensión del

concreto, pues en este modo de falla la tensión no es directa sino por flexión. Por último, la ecuación 5.6 tiene un límite inferior� Según el reglamento del ACI, vcl � 0.45 R bwdp.

claro

Figura 5.6 Contribución del concreto a resistir el corte, según ACI

Aunque el modo de falla más común es el de flexión-cortante, la posibilidad de falla según el primer modo, corte en el alma, también debe considerarse. Por lo tanto, la contribución del concreto a resistir fuerza cortante ( Ve ) debe ser evaluada de las ecuaciones 5.5 y 5 .6, adoptando la menor de ellas, es decir Ve será la menor de Vcw y Vci (ver Figura 5 .6). De acuerdo a pruebas, dp � 0.8h. Finalmente, cerca de los extremos de la viga debe considerarse una reducción en Pe si la sección considerada está dentro de la longitud de , transferencia. Para hacer esa reducción, el ACI propone que se considere la fuerza de presfuerzo igual a cero en el extremo e igual a Pe al término de la longitud de transferencia, considerando una variación lineal entre ambos puntos.

,

Las ecuaciones 5 .5 y 5 .6, adoptadas y propuestas por el ACI, para predecir la contribución del concreto presforzado a resistir la fuerza cortante han estado en uso desde 1 965 (más de 30 afios ). A pesar de la naturaleza semiempírica de la 5 .6, se ha demostrado que los resultados obtenidos usándolas, concuerdan satisfactoriamente con los resultados obtenidos en numerosas pruebas experimentales, haciendo su aplicación para estructuras comunes segura, confiable y, lo que es más importante, s imple. Sin embargo, para aquellas estructuras de concreto que no tienen las mismas características (o parecidas) o las mismas propiedades de material que las usadas en las pruebas en donde se tomaron los datos para suplir la información faltante en la derivación racional, son necesarios métodos o ecuaciones más racionales. Estos métodos, que como se mencionó antes, ya existen, pero están fuera del alcance de un primer curso donde se estudian solamente los fundamentos del concreto presforzado.

5.3 Contribución del refuerzo a resistir la fuerza cortante Para determinar la contribución del refuerzo a resistir la fuerza cortante, el ACI adopta el modelo armadura de 45°. Este mo

delo corresponde al propuesto por W. Ritter en 1 899 y mejorado por E. Morsch en 1902. Básicamente, este modelo consiste en suponer que el corte es resistido por la acción de una armadura cuya cuerda superior está constituida por la zona de concreto a compresión, la cuerda inferior por el refuerzo longitudinal, las diagonales por puntales de concreto que se forman entre grietas diagonales y que trabajan a compresión, y finalmente, los elementos verticales trabajando a tensión serán los estribos o refuerzo transversal (ver Figura 5 .7). Este modelo supone que la grieta diagonal se forma a 45°.

Una de las deficiencias iniciales en la práctica del diseño del refuerzo al corte, que se tuvieron al adoptar este modelo, fue no considerar que el esfuerzo en el acero longitudinal se ve incrementado por la fuerza cortante. Esta deficiencia se corrige, a partir de


o 1mcyc Capítulo S

1 957, prolongando una mínima cantidad del acero positivo a través de los apoyos para que tomen los esfuerzos longitudinales de tensión generados por la fuerza cortante. Del análisis de este modelo se derivan ecuaciones para revisar los esfuerzos de aplastamiento en el concreto, actualmente el ACI prefiere usar una regla empírica: si la contribución del refuerzo necesita ser mayor que 2 . 1.[J: · bwdp, entonces la sección de concreto debe cambiarse. Para determinar la contribución del refuerzo a resistir la fuerza

cortante consideremos la Figura 5.8 donde se muestran todas las acciones que conjuntamente resisten la fuerza cortante. Estas acciones son:

puntales de concreto en compresión

. . . . . . . . . • . . •• •• •• •• •• •• • inclinación de la grieta por corte

acero longitudinal en · tensión (cuerda inferior)

estribos en tensión

. . . . . . . . . . . . . . • •

zona a compresión

• • . . • • ·· .

del concreto (cuerda superior)

Figura 5.7 Modelo armadura de 45 grados (W. Ritter, 1 899)

Vi = Contribución de la zona de concreto a compresión por corte directo

Vay = Contribución del mecanismo de trabazón en la grieta

Vs = Contribución del refuerzo transversal (estribos)

Vd = Contribución del acero longitudinal no pres/orzado (dowel action)

Vp = Contribución directa del acero de presfuerzo (Vp = Pe sen9) 1 1 1 1 1 1 db

bw jd

Figura 5.8 Diversas contribuciones a resistir la fuerza cortante

V = Vz+Vay+Vs+Vd Vc=Vz+Vay (Ve = Vcw Ó Vc1) V = Vc+Vs+Vd donde: Vs = Contribución del acero

Vd = Contribucion del acero

longitudinal {Dowel action)

la contribución del concreto está dada por la suma de la contribución de la zona de concreto a compresión por corte directo más la componente vertical proporcionada por el mecanismo de trabazón. S iguiendo el modelo armadura de 45° no ha sido posible determinar esta suma, sin embargo, con base en pruebas experimentales se ha visto que no es menor que V cw ó Vci (el menor), por lo cual, conservadoramente, la contribución del concreto se toma como el menor de V cw ó Vci. También conservadoramente, el ACI desprecia lacontribución


() 1mcyc Análisis y diseño por corte

del acero longitudinal no presforzado y la contribución directa del acero de presfuerzo. Entonces, finalmente, se cons idera que la fuerza cortante sólo es resistida por el concreto y por el refuerzo transversal

(5 .7)

la fuerza cortante resistente proporcionada por el refuerzo transversal se obtiene multiplicando el número de estribos que cubren la grieta por el área de uno de ellos y por el esfuerzo de fluencia del refuerzo, o

(5.8)

para determinar el número de estribos que cubren la grieta, se supone que su proyección horizontal es igual al brazo de palanca por flexión (jdp). Esta es una suposición que se deriva de aceptar que la grieta se forma a 45°. Para concreto pres forzado esta suposición es conservadora, pues al ser la inclinación menor de 45° la proyección horizontal aumenta y por consiguiente aumentando el número de estribos que cubren la grieta. El ACI, por s implicidad, toma dp en lugar de jdp

d,, No. Estribos= -.s

sustituyendo la ecuación 5.9 en la 5 .8, obtenemos

(5 .9)

(5. 10)

la ecuación 5 . 1 O sirve para diseñar el refuerzo transversal necesario para que, conjuntamente con el concreto, resistan la fuerza cortante desarrollada por las cargas de servicio factorizadas.

La ecuación 5. 1 O es válida únicamente para cuando el refuerzo del alma es vertical. Obviamente, el refuerzo se puede optimizar si se coloca con cierta inclinación con respecto al eje longitudinal de la viga. Se puede demostrar (ver Apéndice B) que para estribos inclinados la fuerza cortante proporcionada por el refuerzo será:

V

s s s Figura 5.9 Refuerzo inclinado versus refuerzo vertical

s<s' V

s· s·

(5 . 1 1 )

donde, alfa es la inclinación del estribo como se ilustra en la Figura 5.9. A pesar de que el refuerzo inclinado optimiza el material, cri la actualidad se prefiere colocarlo verticalmente. La razón de esto es que los ahorros obtenidos en el material no compensan los incrementos de


fj 1rncy�c��-=--:---'.�

Capítulo 5

los costos por mano de obra y por la supervisión especial que requiere el asegurar el sentido correcto de la inclinación, pues si existe cambio de signo en la fuerza cortante el concreto puede quedar sin refuerzo en el sentido necesario como se observa en la Figura 5 . 1 O.

grieta de corte (tensión diagonal)

Fig. 5. 1 O Inclinación errónea del refuerzo o cambio de signo en el corte

Para hacer efectivo el ahorro en material al usar refuerzo inclinado se ha propuesto el refuerzo con base en mallas electrosoldadas prefabricadas con elementos inclinados en dos sentidos. La prefabricación abatirá los costos de mano de obra, y el tener elementos inclinados en dos sentidos hace innecesaria la supervisión especial, pues ya no existe la posibil idad de colocar el refuerzo con la inclinación errónea y también queda cubierta la posibilidad de un cambio en el signo del corte (ver Figura 5 . 1 1 ). Una de las dificultades al usar mallas es la incertidumbre en la efectividad de anclaje, pues según una investigación conducida por F. J . Orozco ( 1 993) éste no es efectivo en un 1 00% cuando se usan alambres lisos en la malla. Mientras el anclaje no se pueda garantizar en un 1 00%, el uso de mallas con elementos inclinados no se recomienda en el diseño del refuerzo al corte, sino que es necesaria más investigación (con alambre corrugado) al respecto.

posibles grietas por corte ••••••• • ••• ': •••• � •••• �. ••• � ......... '·. :i • ••• • •• •• •• •• •• •• •• •• •• • • ••• • • ..... � •••• ·'· •••• � •• •• I". ..... •• . .. .. .. .. .. .. .. ·'·· .. .. .. . . .. �., ..... , .::. ..#., . ..: .u. .u.

Inclinación errónea o cambio de signo en corte cubierta

Contribución de elementos en ambas direcciones

Fig. 5. 1 1 Malla electrosoldada prefabricada como refuerzo al corte

· 5.4 Diseño del refuerzo al corte según el ACI Para el diseño del refuerzo al corte se adopta la práctica propuesta por el Instituto Americano del Concreto (ACI-3 1 8-02) de

bido a su aceptación en gran parte del mundo y que se describe a continuación:

l. Por lo general, la viga se diseña a flexión y se revisa al corte, de tal manera que para una sección considerada

1 06 Concreto. Presforzado


donde

$Vn = es lafuerza cortante resistente provista por el concreto y el refuerzo

$ = es un/actor de reducción igual a O. 75 Vu = es la fuerza cortante desarrollada por las cargas de servicio facto rizadas

2. Para el caso en que � V,, < V,, , entonces habrá que proveer de refuerzo en alma de tal manera que

$ V11 = V11

pero como

entonces

V =V" - V s $

C' (5. 12)

�' 1mcyc

donde, Ve será el menor de Ve; ó Vew· De la ecuación 5 . 1 2 se determina la fuerza cortante con la que debe contribuir el re fuerzo del alma y que substituyendo en la ecuación 5 . 1 O ó 5 . 1 1 nos permite determinar el área de un estribo para una sepan ción dada o la separación de estribos para un área dada, siendo más común esto último

(5 . 1 3)

Obviamente, cuando, de la ecuación 5 . 1 2, obtengamos un valor negativo para Vs querrá decir que estructuralmente no se necesita refuerzo en el alma. Sin embargo, es conveniente que cumpla con cierto armado mínimo para ciertas condiciones.

3. Especificaciones y requerimientos

a) Primera sección crítica (ver Figura 5.12)

l. Para apoyos de compresión: a li/2 de la cara interior del apoyo

2. Para apoyos de tensión: en Ja cara interior del apoyo

Nota: Para apoyos de compresión si la fuerza cortante cambia radicalmente entre Ja cara interior del apoyo y Ja sección a /z / 2, entonces Ja s�cción crítica será )a de Ja cara interior del apoyo.

b) Espaciamiento de estribos

para

para


{ 0.75 h s < - 60.00 cm (el menor)

{ 0 .75 h / 2 s � 30.00 cm (el menor)

{I 1mcyc

h/2 -1-t- sección crítica

APOYO DE COMPRESIÓN tp "

sección critica

APOYO DE TENSIÓN f

Capítulo s

sección crítica

h

V j(POY

.

O DE COMPRE

.

SIÓN

� . . Figura 5. 12 Primera sección crítica por corte en concreto presforzado

1 08

para

Vs > 2. 1 · .[l · b11• d,, , cambiar de sección de concreto

c) Tipo de acero de refuerzo y concreto

d) Refuerzo mínimo

Fy '5: 4200. 00 kg/cm2, .JI': -5:26.5 kg / cm2 para evaluar Vc1 ó Vcw

(a menos que la cantidad de refuerzo al corte sea f'c / 350 veces, pero no más de tres veces, la dada por las ecs. 5. 14a ó 5 . 14b).

si O < V,, :::;; $ Ve I 2, entonces no necesita acero de refuerzo

si $ ve / 2 < V,, :::;; $ ve ' entonces necesita un refuerzo mínimo

El área mínima de refuerzo estará dada por el menor valor obtenido de

donde

A = AP . fPu ._!_ .�p si " 80 f d b ' - pe � OAOT

y p w T =Apfpu +A.Jy

(5 . 1 4a y 5 . 1 4b)

e) Se deberá revisar el anclaje de los estribos según el artículo 1 2. 13 del reglamento de construcciones del ACI. f) Se deberá tomar en cuenta que en concreto presforzado es usual no necesitar acero de refuerzo en la primera sec

ción crítica mientras que sí se necesitará en otras secciones. Se sugiere hacer d iagramas de Vu vs $ Ve para detectar las zonas donde se requiera refuerzo ya sea estructuralmente o por especificación, según se ilustra en la Figura 5. 13.


qJ 1mcyc Análisis y diseño por corte

V se requiere refuerzo mínimo

se requiere refuerzo estructural

U2

Figura 5 . 1 3 Diagrama de V 2 versus � V 2 5.5 Ejemplos

5.5.1 Ejemplo: Diseño al corte de una viga postensada

Para la viga del ejemplo 3 .8.8 diseñar el refuerzo al corte. Use estribos cerrados (dos ramas) de varilla #3 con fy = 4200 kg/cm2 (ver Figura 5 . 1 4).

Datos:

40 cm

+7f-

As a

20 cm! i..;...• �·�· . +-� 10.00 m 10.00 m sección a-a en el centro del claro

Figura 5. 14 Ejemplos 5 .5. l : Diseño del refuerzo al corte de una viga postensada

W0 = 1440. 00 kg/m

Wd = 500. 00 kg/m

W¡ = 1000. 00 kg/m

f'c = 350. 00 kg/cm2

¡;, = 4200. 00 kg/cm2

/¡JI/ = 1 7500. 00 kglcm2 (grado 250)


Ap = 10. 00 cm2 (un sólo dueto)

ye

7. 62 cm2 ( 6 vs. #4)

122000. 00 kg

2 4 OO. 00 kg/m3

L = 20. 00 m

1 09

�1j 1mcyc

/py = 0.85 hu

C1 = C2 = 75. 00 cm

le = 1 1250000. 00 cm4

81 = 82 = 150000. 00 cm3

r2 = 1875. 00 cm2

Solución:

l. Preparación de ecuaciones para hoja de c�lculo electrónica

Ác = 6000. 00 cm2

a) Acciones

1 10

W11 = 1.2(1440+500)+1. 6(1000) = 3928 kg/m

V w,,L ,, = -- - w,,x 2

V,, =39280 -3928 x Vd = 1 4400 - 1440x M0 = 1 4400x - 720x 2 vi = 1 5000 - 1 500 x Mmáx = 1 5000x - 750 x 2

b) Geometría del presfuerzo

para

quedando

pero

�/ 1 Xp

Y = k · x 2 p p

Xp = 1000. 00 cm YP = 55. 00 cm

k = 5.5 X ](/5

y P = (5.SE - 5) ·x :,

Xp = X - 1 000

Capítulo s



Entonces

y,, = (5.5E - 5) · (x - 1 000)2

la excentricidad a una distancia x del extremo izquierdo

ex = emáx -yp

ex = 55 - (5 .5E - 5) (x - 1 000)2

el peralte efectivo será

dp = 75 + [55 - (55E -5)(x - 1 000)2 ] pero

dp � 0.8h = 120. 00 cm

c) Contribución del concreto

1. Corte en el alma

finalmente

2. Flexión-cortante


Ícc = 1 22000 =20.33 kg / cm2 6000

tan 8 = dy = l lx l 0-5 x =(I IE -5) ( x - 1 000) dx P

8 = tan -1 [{l l E - 5) (x - 1 000)]

V -0 1 6 íf'' b d V V;M::r ci - • '\JJ e • w p + ú + --Mmáx

( ec. del ACI)

o 1mcyc

1 1 1

() . . 1mcyc

1 1 2

finalmente

f = pe ( 1 + e X e 2 ) = 2033 + 0.8 1 • e 2p A 2 X e r

f = Mº _ 1 4400x - 720x 2 · l OO o s 2 1 50000

f0 =9.6x -0.48x 2

M�r = 1 50000 (29.93 + f2p -f0)

d) Contribución del refuerzo

V = V,, -V s 0.85 e {Ve1-v V = e V . (el menor) CI

S = _59_6_4 ·_d

_P vs

{ 0.75h = 1 125 cm s 5: 60.0 cm (gobierna)

para Vs, l. ;, <

Vs 5: Vs, l. s.

para: A" = 1.42cm2

{ 0 .75h / 2 = 56.25 cm s 5: 30.00 cm (gobierna)

e) Refuerzo al corte mínimo ( o separación máxima)

Tomar la mayor separación dadas por (1 ) 6 por (2)

y fY = 4200 kg / cm2

Capítulo 5


Análisis y disei'io por corte

S � Avfy = 42 .60 cm 3 .5 b11•

(1)

en virtud de que (T= / 7500 X JO + 7. 62 X 4200 = 207004. 00 kg) 0.4T. < Pe, entonces


o 1mcyc J ' 1 13

¡;:

n o ::s o ñl o 4' ' (1)

' tll O' r:3 p.) o. o Ejem plo 5.5.1

X (m) Vu: 2Vu: ex: o 39280 78560 O.DO 1 35352 70704_ 10.45

2 31424 62848 19.80 3 27496, 54992 28.05

4 23568 471 36 35.20

5 1 9640 39280 41.25 6 1 5712 31 424 46.20 7 1 1 784 23568 50.05

8 7856 1 571 2 52.80 9 3928 7856 54.45 10 o o 55.00

dp: O.Bh: fpe: fd: M'cr:

75.00 1 20 20.3 O.DO 75400

85.45 1 20 28.8 9.1 2 74469

94.80 1 20 36.4 1 7.28 73636

1 03.05 1 20 43.1 24.48 72901

1 1 0.20 1 20 49.0 30.72 72264

1 1 6.25 1 20 53.9 36.00 71 725

1 21 .20 1 20 57.9 40.32 71 284

1 25.05 1 20 61 .0 43.68 70941

1 27.80 1 20 63.3 46.08 70696

1 29.45 1 20 64.6 47.52 70549

1 30.00 1 20 65.1 48.00 70500

1 20000 1 00000

-en 80000 :. G> - 60000 e n:s t:: 40000 o o 20000

o o

Vd: Vi: Mm ax Vci: L.I. Vci: fcc: O: Vp:

14400 1 5000 o.o 1 .1 E+1 9 40410 20.3 0.11 1 3340

1 2960 1 3500 14250 97877 4041 0 20.3 0.1 0 1 20 1 9

1 1 520 1 2000 27000 5861 5 4041 0 20.3 0.09 1 0695

1 0080 1 0500 38250 44460 4041 0 20.3 0.08 9366

8640 9000 48000 36557 4041 0 20.3 0.07 8035

7200 7500 56250 3 1 1 3 1 4041 0 20.3 o.os 6700

5760 6000 63000 27061 40814 20.3 0.04 5363

4320 4500 68250 23970 421 1 1 20.3 0.03 4020

2880 3000 72000 21 1 28 43037 20.3 0.02 2683

1440 1 500 74250 1 83 6 5 43569 20.3 0.01 1 342 o o 75000 1 5565 43778 20.3 0.00 o Cortante actuante vs Resistente

2 4 6 8 1 0 1 2 Claro (m)

Vcw: Ve:

1 26 1 33 1 261 33

1 2481 3 97877

1 23488 5861 5

1 22160 44460

1 20828 4041 0

1 1 9494 4041 0

1 1 9285 40814

1 21 564 42111

1 22809 43037

1 2301 8 43592

1 22193 43778

Vu: --- 2Vu:

· phi-Ve:

ci>Vc:

94600

73408

43961

33345

30308

30308

30611

3 1 583

32277

32694

32833

Vs: Vs, L.M.:

-73760 98780

-50741 98780

-1 671 6 98780

-7799 98780

-8986 98780

-14223 98780

-1 9865 99768

-26399 1 02937

-32562 1 05200

-38355 1 06559

-43778 1 07011

� N I �@ � . - ('"'.) ""l :.:¡. O• ñ = �· =

o Q. � 0 ..

Vs, L.S.: S: 0 .. 1 88580 -10 "< 1 88580 -14 0 1 88580 -43 "O :.:i 1 88580 -92

""l :.:i l'll 1 88580 -80 � t') 1 88580 -50 t') s· 1 90465 -36

= � l'll 1 9651 6 -28 :.:i 200837 -23

t') :.:i Q. 203430 -20 :.:i 204294 -18

3 � -""l o t') o = l'll = l'll t') o ""l ""l � l'll "O o = Q. ;· = -�

(JCl ""l :.:¡. ::'I t') :.:i = l'll :.:i = Q. o = = :.:i :r o

e-. :.:i Q. � t') :.:¡. ñ = o n � "O

2' o Ul

fí) 1mcyc Análisis y diseño por corte

5.5.2 Ejemplo: Diseño al corte de una viga pretensada

Se requiere diseñar el refuerzo al corte de una viga pretensada usando estribos cerrados (dos ramas) de varil la #3 (Av= 1.42 cm2) con /y = 2,800 kglcm2 (ver Figura 5 . 1 5).

15

5.00 m 5.00 m 5.00 m

Figura 5. 1 5 Ejemplo 5.5.2: Disefio del refuerzo al corte de una viga pretensada

Datos:

Wo =446. 00 kg/m Ap = 29.22 cm2

Wd = 738. 00 kglm A.f = 0. 00 cm2

W¡ = 1328. 00 kglm Pe 98100. 00 kg

1 · 45 cm 1

30 sección a-a

Je = 350. 00 kglcm2 Ye 2400. 00 kglm3

fy = 2800. 00 kg/cm2 l 15. 00 m

/pu = 18900. 00 kg/cm2 (grado270) e 31.25 cm

/py = 0.85 /¡m fe = 1 194584.00

Ae = 1858. 00 cm2 S2 = 28960. 00 cm3

e, = 33. 75 cm r2 = 642.94 cm2

C2 = 41.25 cm

Solución:

l . Preparación de las ecuaciones para hoja de cálculo electrónica

a) Acciones

M0 = 3345x-223x2

W¡ = 1 . 4 (738)+ l. 7 ( 1328)= 329 1 kg f m

V¡ = 2468 1-329 1x

cm"'


() 1mcyc

1 1 6

Mmáx = 2468 1x-1645.5x2

b) Geometría del presfuerzo

5.00

e=31.2s

lt=50x0.5x2.54 = 63.50 cm

lt

para 3 125x 0< x � 5, ex = ---...- =625x , (x en m) 5

para X > 5, ex = e

Para 0< X � 0.635, X P = -- Pe = 1 54488x , ex 0.635

para X > 0.635, Pex =Pe

dP � 0.8h= 60 cm

c) Contribución del concreto

l. Corte en el alma

para 0<x:::; 5, �, = Pex sene

3 1 . 25 pero tan 9 = 500

� 9 = 3. 576°

por lo tanto V p = 0.0624 • Pex

para X > 5, VP =0.00

Capítulo 5

:d;]Pe lt

(x en m)


Análisis y disefio por corte

2. Flexión-cortante V" = 0.1 6fl: · b,, dP +Va +V:.;, max M�r = �c2 (I. 6fl[ + J;,, -fo)= 28960 (29.93 + J;,, -fo)

_ Mº _ (3345x -223x 2) 1 00 fo - s 28960 · 2

f = p ex (1 +e X e 2 ) = p ex ( 1 + 0.064 e ) 211 1 858 r 2 . 1 858 X d) Contribución del refuerzo


V = V,, - V s 0.85 e

V = {V c:w . e ve/

(el menor)

3976 · dp s =---Vs Vs, lim. inf. =2. IfJ: · bit' · d11 = 49 1 .09 • di'

{0 .75h = 56 .25 cm s � . 60 . 00 cm

{0 .75h/2 =28.00 cm s � 30 . 00 cm

(gobierna)

(gobierna)

o 1mcyc

1 1 7

o 1mcyc

1 18

e) Refuerzo mínimo (tomar la �ayor separación dada por (1) y (2))

Avfy s � -- =90.88 cm ( 1 ) 3 .Sbw

y

(puesto que 0.4T > Pe , entonces la ecuación (2) no debe usarse)

Capítulo S


Q ::s o @ o � O' [ o .... �

EJEMPLO 5.5.2

X(m): Vu: 2Vu: Ex: 0 0 29363 58726 o 00 0 5 27406, 54811 3 1 3 1 ,0 25448 50896 6 25 1 .5 23491 46981 9,38 2,0 21 533, 43066 1 2.50 3 6 1 5426 30851 22 25 4,0 1 3703, 27406 25.00 4.5 1 1 746 23491 28,1 3 5,0 9788, 1 9576 31 ,25 5.5 7831, 1 5661 31 25 6,0 5873 1 1 746 31 .25 6,5 3916, 7831 31 ,25 7.0 1 958. 391 6 31 ,25 7,5 1 , 1 31 ,25

dp: .8h: 33.75 60.00 36,88 60 00 40.00 60.00 43,13 60,00 46.25 60.00 56,00 60,00 58 75 60 00 61 ,88 60,00 65,00 60,00 65 00 60 00 65,00 60 00 65,00 60,00 65 00 60,00 65,00 60,00

fpe: o.o

49,9 73.9 84,5 95 o

1 28,0 1 37 3 147,8 1 58 4 1 58 4 1 58 4 1 58,4 1 58 4 1 58,4

fd: M' cr: Vd: Vi: Mmáx: Vci: L.l.Vc fcc: Vp: Vcw: o.o 8668 3345 24681 O, 1 ,0E+05 631 4 o.o o, 1 3049 5,6 21499, 3122 23036 1 1 929 46882 631 4 41 6 4820 27223

1 0.8 26952. 2899 21 390 23036, 30171 6314 52,8 61 21 , 31050 1 5,6 28617, 2676 1 9745, 33319, 21 879, 6314, 52,8 6121 , 31 050, 20.0 30393. 2453 1 8099 42780, 1 7556 6314 52.8 61 21 , 31050 31.4 36650, 1 757 1 2965, 67010, 1 1 093, 6314, 52,8 61 21 , 31 050, 33.9 3861 1 . 1 561 1 1 51 7 72396, 9948 631 4 52.8 61 21 . 31 050 36,4 40944, 1 338 9872 77743, 8852 6511 , 52,8 61 21 , 31 829, 38,5 43389 1 1 1 5 8226 82268, 7886 6840 52 8 61 21 , 33128 40,2 42887, 892 6581 , 85969, 6607, 6840, 52,8 o, 27006, 41 ,6 42497 669 4935 88848, 5462 6840. 52 8 o, 27006 42,5 42218, 446 3290, 90904, 4406 6840, 52,8 o, 27006, 43 1 42051 223 1 644 92138, 3405, 6840, 52 8 o, 27006, 43,3 41995, o -2 92548, 2431, 6840, 52,8 o, 27006,

Cortante actuante vs Resistente

70000, I }:'.;,< \';:;::>'e:;'<.:> '.'{ ) :·:•.',.' ;

60000,

ve: phi-Ve: 1 3049 1 1 092 27223 23140 30171 25645 21879 1 8597, 1 7556 14923 1 1 261 9572,

9948 8456 8852 7524, 7886 6703 6840 5814, 6840 581 4 6840 5814, 6840 5814, 6840 5814,

soooo. f��L ��t��\sfir�; '.1t4�lf�,ts�:,:;µ¿��0��,�� 1¿8��JJ:�.j., ,, , , ., . . Di � 40000, .! e � 30000, � ' '> ' : '<': o o

20000,

1 0000,

1 ,0 2,0 3,0 4,0

Claro (m)

5,0 6,0 7,0 8,0

> ::s e?: ¡;:;· ¡;:;· '< � � o

� n ti)' ::si � o (') ¡::;

"t:I - o ., e ""1 °' Q o = o ;;· c. ;:l. � �

o �

Vs: Vs,L.M Vs,L.S. s: s,m.: s,a.m. s. real .. 21496, 1 5434, 29466, 1 1 , 2 8 9 0 ·10 �

5019 1 5434. 29466 48. 56 90 40 .. -232 1 5434, 29466 -1027, 56 90 40 5757, 1 5434, 29466, 41 , 56 90 40

� �

7777 1 5434 29466 31 , 56 90 30 "O 6887, 1 5434, 29466, 35, 56 90 30 � ., 6173 1 5434 29466 39, 56 90 40 � 4966, 1 5917, 30386, 50, 56 90 40 3629, 1 6721 , 31921 , 71 , 56 90 55 2372, 1 6721 , 31921 , 1 09, 56 90 55

69, 1 6721 , 31921 , 3723, 56 90 55 -2234, 1 6721 , 31921 , -11 6, 56 90 55

{IJ � (') (') cs· = � {IJ �

-4536, 1 6721 , 31921 , -57, 56 90 55 -6839, 16721 , 31921 , -38, 56 90 55

(') � c. = � u. 9

--- vu: (') o --- 2Vu: = ------- phi-Ve:

{IJ e {IJ (') o ., ., � {IJ "O o = c. ;· = -�

(JQ ., � =i (') � e {IJ = = c. o e = = ::" ..::. = c. � (') � ¡¡º ¡::; e Q

o 1mcyc . Capítulo 5

Problemas 5.1 Diseñe el refuerzo al corte, usuando estribos de una rama por alma de varilla #3 con/y = 4200 kg/cm2, para la viga del pro

blema 3 .5 . El Manual especifica que la sección puede soportar, en un claro de 1 5.25 m, su peso propio de 6 1 8 kg/m, una carga muerta adicional de 1 1 8 kg/m, y una carga viva de 79 1 kg/m. Presente un dibujo indicando la distribución del refuerzo a lo largo de la viga. Del Manual se obtiene la siguiente información (ver Figura P5 . 1 ) : 1

Ac = 2587 cm2

le = 873462 cm4

C1 1 7.40 cm

43.60 cm

50 1 94 cm3

20058 cm3

23.24 cm

36.58 cm

1 5.25 m

Ap = 8 cables trenzados 7 h ilos de diámetro W' Grado: 270

R

f'c 0.88

350 kg/cm2

f 'ci 245 kg/cm2

f pi 0.7 f pu (desarrollado en F.I.)

bw /2 = 1 2.00 cm (ancho promedio)

Nota: Use las propi edades con base al área gruesa.

96"

sección a-a (8DT24)

Figura P5. 1 Diseño de corte de una sección estándar del PCI (8DT24)

5.2 Diseñe e! refuerzo al corte de la viga del problema 4. 1 usando estribos cerrados (dos ramas) de varilla #3 con fy = 2800 kg/cm2 (ver Figura P5 .2). El concreto es normal (2400 kg/m3) de Je; = 0.7 Je 5 y Je � 420 kg/cm2, el perfil del acero de presfuerzo es parabólico con la excentricidad máxima en el centro del claro y cero en los apoyos. R se estima igual 0.85. Determine las cargas superpuestas para las cuales tiene capacidad la sección de concreto en un claro simple de 1 5.0 m, adoptando los esfuerzos permisibles del ACI. El acero de presfuerzo será grado 270. Presente un dibujo indicando la distribución de los estribos a lo largo de la viga.


ti 1mcyc Análisis y diseí'lo por corte

1 00 cm 1 peñil parabólico ! 1

� a

7.50 m /1

7.50 m sección a-a en el centro del claro

Figura P5.2 Diseño al corte para una viga postensada


�j 1mcyc

Capítulo 6

Pérdidas en la fuerza de presfuerzo

6.1 Introducción

La fuerza de pres fuerzo, como ya se discutió en el primer capítulo, no es constante a lo largo de la vida útil de la viga. Desde el momento en que se tensa el acero de presfuerzo, el esfuerzo inducido se disminuye por diversas causas que ya se analizaron anteriormente. Estas pérdidas en esfuerzo se clasifican en instantáneas y diferidas o dependientes del tiempo.

Las pérdidas instantáneas ocurren por acortamiento elástico del concreto, fricción entre el cable y duetos u orificios, asentamiento de cufias de anclaje y, en el caso particular de la construcción pretensada, por relajamiento del �cero que ocurre entre el tensado del acero y la transmisión de la fuerza de presfuerzo del acero al concreto.

Las pérdidas diferidas se deben al acortamiento del concreto por flujo plástico, a la retracción del concreto por pérdida de humedad y al relajamiento del acero. Estos tres fenómenos son función del tiempo, su rapidez de variación es grande al principio hasta hacerse casi nula con el transcurso del mismo. Según pruebas experimentales se considera que después de 5 ó 6 aftas han ocurrido casi todas (98%) las pérdidas diferidas.

Tanto las pérdidas instantáneas,como la diferidas, sobre todo estas últimas, son interdependientes; es decir, la pérdida por flujo plástico del concreto depende de la pérdida por relajamiento del acero, y ésta a su vez, depende de aquélla. Sin embargo, úna buena

• 1

aproximación consiste en considerarlas independientes entre sí, pero introduciendo ciertos factores empíricos para considerar esa inter-. dependencia.

·

Finalmente, las pérdidas solo pueden calcularse cuando la viga ya está diseftada, es decir, cuando ya se conoce la fuerza de presfuerzo. En el diseño no hay más opción que estimar la pérdida. En el análisis, para revisar, se parte de la fuerza de disefio que debe aplicarse con el "gato" (P¡ ) para, calculando las pérdidas instantáneas, obtener la fuerza inicial de presfuerzo (P1 ) y hacer una revisión en la fase inicial o de transmisión. En esta fase es donde se hacen los ajustes necesarios en la fuerza de disefio {pues se pudieron haber sobreestimado o subestimado las pérdidas) para cumplir con los requerimientos de los códigos. Partiendo de la fuerza inicial se calculan las pérdidas diferidas para obtener la fuerza efectiva de presfuerzo (Pe ) y hacer la revisión de la viga en la fase final o de servicio.

6.2 Pérdidas "instantáneas

6,2.1 . Pérdidas por fricción

Cuando se empieza a tensar el acero de presfuerzo existe un deslizamiento de éste con respecto a los duetos en la construcción postensada u orificios en la construcción pretensada. Este deslizamiento produce una fuerza de fricción que se opone a la fuerza que aplica el "gato", reduciéndola. En la construcción pretensada, debido a que esa fricción es pequefia, se desprecia. Para la construcción postensada, la pérdida de esfuerzo dependerá de la curvatura que presente el dueto. El dueto tendrá dos tipos de curvatura, una intencional para obtener el perfil deseado del acero de presfuerzo ( ver la Figura 6. 1 ) y la otra no intencional, debida a las imperfecciones tolerables de la construcción misma. La ecuación para determinar el esfuerzo ya reducido por la fricción en el acero de presfuerzo y para cierta sección, adoptada por el ACI, está en función de un coeficiente de fricción (µ) para tomar en cuenta la curvatura intencional y un coeficiente de oscilación (K) para considerar la curvatura no intencional. Dicha ecuación, cuya derivación se puede ver en el Apéndice B, se presenta a continuación:


rtl 1mcyc

donde:

f =f . e -(Kl+µa)

pB pA

= distancia horizontal entre A y B en m

a = cambio de pendi�nte entre A y B (9JB -9f A) en radianes

µ = coeficiente de fricción entre el dueto y el acero (adimensiona/)

K = coeficiente de oscilación, en m-1

fpA = esfuerzo en el acero en el punto A

fp8 = esfuerzo en el acero en el punto B (ya reducido por fricción)

(6. 1 )

� �Xp �2

� · J;i. - . - . - . - . - . � . - . - . - . - . -i0[ . �'- -m1+00 cm

. ! 1 +-+ i � cm

1 1 ¡ 7.50 m j 7.50 m ¡ I sección en centro · . del apoyo

0.30 '

Figura 6. 1 Pérdidas por fricción en concreto postensado

Ejemplo:

Capítulo 6

Para una viga postensada con un solo tendón cuyo perfil es parabólico y confpj = 14080 kglcm2 (inducido por el gato), determinar el esfuerzo reducido por fricción en las secciones: a) apoyo, b)V4, c)V2, d)3V4 y e) L. De acuerdo con las caracterfsticas del dueto los coeficientes de fricción y oscilación son: K = l. 62x10-3 m-1 y µ = 0. 1 8 (ver Figura 6.2).

1 24

� 120 cm

re :¡: • ++ bw/2

Figura 6.2 Ejemplo 6.2. 1 . 1 Pérdidas por fricción en una viga postensada ·

++ bw/2

h



Solución:

l. Definición del perfil .

yP =C · x � para

Xp = JOOO cm

YP = 68. 71 cm

obtenemos de la ecuación

e = 68. 71xJ0 º6 cm"1

quedando definido el perfil del acero de presfuerzo con la ecuación

Yp =68.7 1E -6 · x :,

2. Determinación de las. pendientes del perfil

· o 1mcyc

con la ecuación que nos define el perfil podemos derivar una expresión que nos sirva para determinar la pendiente en cualquier sección deseada

de la cual obtenemos

. dyp tan 8 = - = 1 37.42E -6 · x dx P

donde la Xp estará en cm y e en radianes

3. Cálculo de los esfuerzos netos (reducidos ya por la fricción) en las secciones requeridas

Usando la ecuación 6. 1 y partiendo del esfuerzo fp; = 14080 kg I_ cm se pueden efectuar los cálculo� usando una hoja elec-trónica de cálculo: · ·

EJEMPLO 6.2. 1 . I

X(m): Xp (cm): Pend.( rad): 1 (m):

o - 1 000 -0. 137 o 5 -500 -0.069 5

1 0 o 0.000 5

1 5 500 0.069 5

20 1 000 0. 137 5

Alfa fpx(kg/cm2): 0.000 1 4080.0

0.068 1 3796.6

0.069 1 35 1 7.3

0.069 1 3243.7

0.068 1 2977.2

es interesente graficar ( ver Figura 6.3) la variación de 1os esfuerzos a lo largo de la longitud de la viga, para poder ver que la variación es casi lineal. Esta gráfica será de utilidad en la determinación de la pérdida de esfuerzo por deslizamiento de la cufia de anclaje.

S.2.2 Pérdida por deslizamiento de cuñas de anclaje

Tanto ·en la construcción pretensada como en la postensada, una vez que el acero se ha tensado debe anclarse. Básicamente �xi�ten dos sistemas de ��cl�je, el anclaje a base de tuercas y el anclaje a base de cuñas. El anclaje a base de tuercas no presenta mayor

:oncreto Presforzado 1 25

f j 1mcyc Capítulo 6

problema, en cuanto a pérdida de esfuerzo se refiere, pues ésta estaría en función de la deformación de los herrajes de anclaje que sería mínima, por lo cual se despre�ia. El anclaje a base de cuñas sí es una fuente de pérdida en el esfuerzo que amerita su consideración, pues su deslizamiento permite que el acero recupere significativamente su longitud original traduciéndose· en reducción de su esfuerzo.

Como la fricción existente entre los duetos u orificos y el acero juega un papel importante en la determinación de esta reducc ión, se trata por separado para la construcción postensada y la pretensada.

Esfuerzo Vs Claro

1 4000,0

N 1 3800.0 +>::; : >L: fü :21::'�2:':'n,.·•<: ��,;>:"x:::J;:: l 1 3soo. º lJ::1:.::;:;,:1r !i�,i;·,:;,�ii,,i;;,;��;�.�\��i ::!J,,;.;sr:I¡�i;;'�;:}i;��:�'.·,·:?�,�,;¡ct! .. �,i,l,;;Jr;.:¡f §i'.·'.'J1:\�: i ,c;:: o � 1 3400,0 .2 CI> w 1 3200,0

12800,0 1��1!�§�2i��i2Bi] o 5 1 0 1 5 20 25

Claro (m)

Figura 6.3 Variación del esfuerzo reducido por fricción a lo largo del claro

---0-- fpx: � fpx,aprox.

6.2.2.1 Deslizamiento de cuñas en postensado

En la gráfica de la Figura 6.3 se puede apreciar lo que sería una solución aproximada, para encontrar los esfuerzos reducidos por fricción, por medio de una relación l ineal, que acepta el ACI, y que arroja buenos resultados si ésta es pequeña { /P8 = /pA / (l+K/+µa), cuando (Kl+ µa) :s:; 0.3 ).

.

Comparando la solución aproximada con la exacta podemos darnos cuenta que podemos aceptar sin mucho error que la variación del esfuerzo, ya neto, es l ineal. Esto nos ayudará para el análisis en la determinación de la pérdida de esfuerzo en el acero por el deslizamiento de la cuila o cuñas. Basándonos en la Figura 6.4, que nos muestra la variación l ineal del esfuerzo reducido por la fricción, podemos derivar expresiones que nos definan los esfuerzos finales, en secciones determinadas, considerando esta nueva pérdida.

Dependiendo del valor de x, consideramos dos casos: para 0< x <.L, que se muestra en la Figura 6.4, decimos que tenemos el caso l, para el cual:

1 26

Resulta obvio que en la primera sección, donde se considera apl icado/pj , la pérdida de esfuerzo por el deslizamiento de la cuña estará dado por:

(6.2)

por lo tanto, de una relación de triángulos semejantes (ver Figura 6.4) podremos determinar la mitad de la pérdida para las otras secciones:



fpj(anc/aje activo)

p x

P x

U4 U4 . ¡ U4 U.4 1

X

Figura 6.4 Pérdida de esfuerzo en el acero postensado por deslizamiento de cuñas

quedando

fJ · X _ 8jpA / 2 =

8j pB f 2 =

8j pC / 2 x (x - L / 4) (x - L / 2) (x -3L / 4)

8/ pA =2f3(x - L / 4)

8f P8 =2f3(x - L / 2)

8/ pe =2f3(x - 3L I 4)

f-¡ 1mcyc

claro

(6.3)

(6.4)

(6.5)

entonces, los esfuerzos ya reducidos por este nuevo concepto quedarían determinados por las siguientes funciones (de singularidad, algunas):

Determinación de p :

j pB ' = f pB -2f3\x -L f 2)

f pe · =f pe -2f3\x -3L / 4)

De una relación de triángulos semejantes (ver Figura 6.4):

Determinación de x: • ' � t . �· !

(6.6)

(6.7)

(6.8)

La ecuación 6.2 nos define la pérdida po� ��l;z��i��-J�:¿.-¿�:ri�& ��;�;,l¿ primera'·�ec�Íón, sin embargo, para esa sección podemos encontrar, con la ley de Hooke, una pérdida promedio:

. .. . ; . ... . s· � � :c: f { � :-; ��-�{·� . . �·: L · � �� F ·� '_i: :..! l �: ;--� �) .. � !· � · ; _> , �··:J::J �� f .. �} :J ;:-::r;q::(1 n :·; � u �� ;: : ; :·:�; ¿�:�i: < �-.. :n,��:· ; � ·� f. A.: b

Concreto .Presforzado ·_-> 1 27 � l

�) 1mcyc

donde

en la cual a su vez .

- �l e = -

x

�l =:deslizamiento de la cuña

que debe ser igual a la ecuación 6.2 dividida entre dos

de donde

- 1 �fpo = - �fpo 2

M E = f3x X P

x =tl�EP

Capítulo 6

(6. 1 1 )

El caso 2 l o tendremos cuando resul,te la x mayor que e l claro, esto sucederá cuando l a viga sea muy corta o cuando l a fricción sea tan pequeña que el efecto del deslizamiento de la cuña se disipe en toda la longitud de la viga. En este caso, se puede considerar que la deformación promedio será igual a dividir el deslizamiento de la cuña, que es un dato, por la longitud total de la viga. Por consiguiente la pérdida es constante en toda la longitud:

Ejemplo:

- - �l �r _ -E e -L ' ':! p, des. cuña - E p '

�r = �l E ':! p, des. cuña L p

ó (6. 12)

Para el ejemplo de la sección 6.2. 1 (pérdida por fricción), determine el esfuerzo en las mismas secciones considerando un deslizamiento de la cuña de anclaje igual a 0.6 cm si Ep = l .89x l 06 kg/cm2•

1 28

Solución:

l . Determinación de p

2. Determinación de x

f3 = 14089 - 1 35 1 7 = 0 .5627 kg 1 cm3 1 000

X = (0.6 cm) (l .89x l 06 kg / cm2 ) = 1420 .00 cm 0.5627 kg / cm3

3. Determinación de los esfuerzos usando la misma hoja electrónica de cálculo del ejemplo de la sección anterior. Es con veniente hacer notar que los esfuerzos definidos por funciones de singularidad tienen la particularidad de que


o 1mcyc Pérdidas en la fuerza de presfuerzo

los términos encerrados por · paréntesis triangulares se hacen cero cuando son ·negativos. En seguida presentamos· los resultados y una gráfica (ver Figura 6.5) de los esfuerzos antes y después de considerar el deslizamiento de la cufta.

EJEMPLO 6.2. 1 . I CON EL EFECTO DE DESPLAZAMIENTO DE CUÑA

X(m): Xp(cm): Pend. l (m): Alfa fpx(kg/cm2) : (rad:)

o - 1000 -0. 137 o 0.000 14080.0

5 -500 -0.069 5 0.068 13796.6

1 0 o 0.000 5 0.069 135 1 7.3

1 5 500 0.069 5 0.069 13243.7

20 1000 0. 137 5 0.068 12977.2

Esfuerzos antes y desp ués del anclaje

1 4200,0 ---------14000,0 C'I E 1 3800,0

fpxf(kg/cm2):

1248 1 .9

1276 1 .2

13044.7

13243.7

12977.2

-a, 1 3600,0 � 1 3400,0 � 1 3200,0 � 1 3000,0 .; 1 2800,0 Q) 1 2600,0 -o-- fpx(kg/cm2):

1 2400,0 ......._ __ ....¡._ __ _._ __ ...... - -o- - fpxf(kg/cm2): o 1 0 20 30

claro (m)

Figura 6 . . 5 Esfuerzos antes y después del deslizamiento de cuña

6.2.2.2 Deslizamiento de cuftas en pretensado

En la construcción pretensada la fricción existente entre los cables y los orificios de las formas o de los anclajes es despreciable; por lo tanto el deslizamiento de la cuña de anclaje se reparte uniformemente en toda la longitud del cable. Obviamente, mientras mas largo sea éste la deformación unitaria será menor y por consiguiente la pérdida de esfuerzo también será.menor. La pérdida de esfuerzo estará dada por:

donde

- M E =-L ' 11/ p, des. cuña = BE p '

11+ = ·111 E Y p, des. cuña L p

ó

M = deslizamiento que experimenta la cuña al aflojar el "gato "

L = longitud del cable

Ep= módulo de elasticidad del acer'o de presfuerzo (cable trenzado)

· Concreto Presforzado

(6. 12)

1 29

Capítulo 6

6.2.3 Pérdidas de esfuerzo por acortamiento elástico del concreto

Al transmitir la fuerza de presfuerzo del acero al concreto, éste se acortará elásticamente permitiendo que el cable recupere en algo su longitud original, lo que redundará en una pérdida de esfuerzo en el mismo. Para la construcción pretensada será significativa la forma en que se afloje el acero de sus anclas para transmitir la fuerza de presfuerzo al concreto. Es muy común, sobretodo en plantas de gran producción, que todos los cables se aflojen simultáneamente, sin embargo en plantas pequeñas o provisionales puede suceder que se aflojen una a la vez secuencialmente. En la construcción postensada, definitivamente, por razones de orden práctico, el tensado de los tendones se hace uno a la vez secuencialmente con base en un plan preestablecido para no inducir esfuerzos desfavorables en el concreto.

6.2.3.1 Acortamiento elástico en concreto pretensado

Para la construcción pretensada consideraremos dos casos. El primero cuando todos los cables se aflojan simultáneamente, y el segundo cuando los cables se aflojan uno a la vez secuencialmente.

1 30

a) Todos los cables se aflojan simultáneamente

En este caso, por la Ley de Hooke, la pérdida estará dada por la siguiente expresión:

(6. 1 3)

donde, debido a la adherencia entre el acero y el concreto Bp = Be , y esta última deformación, que se debe al acortamiento elástico del concreto, está dada por:

donde

1

substituyendo la ecuación 6. 14, en su expresión reducida, en la 6. 1 3, nos queda

l:!t.f p, e/a = n cif e Ec; = 1 5 1 00.Jl: kg / cm2

Je = -!J.. (1 + e: )+ Mºe Ac r le

( para concreto normal )

(6. 14)

(6. 1 5)

nótese que. en esta �ltima relación, para determinarfc , necesitamos P; , que se supone es la fuerza de presfuerzo que queda después de considerar las pérdidas instantáneas. Obviamente, todavía no conocemos P1 , por lo cual la suponemos como igual a 0.9P1 (la fuerza ejercida por el "gato"). Una vez que se evalúen las pérdidas instantáneas se puede conocer P1 y en una segunda iteración usarla en lugar del O. 9Pj para volver a calcular la pérdida por acortamiento elástico del concreto, pero por lo general no es necesario hacerlo. También es conveniente hacer notar que se está considerando la deformación por el acortamiento elástico en el centroide del acero de presfuerzo, de aquí que e esté elevado al cuadrado. La pérdida· será diferente para cada sección, pues aunque la excentricidad fuera constante el momento por peso propio es variable.

b) Los cables se aflojan uno a la vez secuencialmente

En este otro caso, el primer cable que se afloja es el que más pérdida experimenta en su esfuerzo, pues cada vez que se aflojen los subsiguientes cables el concreto se acortará haciendo que este primer cable vuelva a recuperar algo de su longitud original; el último cable en aflojarse es el que menos pérdida experimenta. La pérdida de esfuerzo podrá determinarse para cada cable con la siguiente expresión (ver ejemplo en Apéndice B).


() 1mcyc Pérdidas en la fuerza de presfuerzo

(6. 16)

la ecuación anterior sirve para determinar la pérdida del cable n cuando ya se aflojaron los N cables y es conveniente empezar por el último. El primer término dentro de los corchetes reperesenta la contribución del cable considerado y el segundo término (sumatoria) representa la contribución subsecuente de los cables n+ 1, n+ 2, . . . • . . N. En el primer término la excentricidad esta elevada al cuadrado por que se está considerando la deformación recuperada en el cable n, y la fórmula de la flexión simple quedaría:

y en el segundo término como estamos considerando el efecto de otro cable sobre el cable n, la fórmula de flexión simple quedaría:

en 6. 1 6 :

/¡m = esfuerzo en el cable considerado después de pérdidas por deslizamiento de cuñas y relajamiento del acero

Apn = área de sección del cable considerado

/pk = esfuerzo en los demás cables después de pérdidas por deslizamiento de cuñas y relajamiento del acero

Apk = área de sección de cada uno de los demás cables

e = excentricidad de los cables

Ac = área de la sección de concreto

r = radio de giro (centroidal) de la sección de concreto

1

Como una aproximación, para este segundo caso de la construcción pretensada, la pérdida promediO se puede estimar con la ecuación 6. 1 5, donde e es la distancia del centroide de todos los cables al centroide de la sección de concreto.

6.2.3.2 Acortamiento elástico en concreto postensado

En la construcción postensada regularmente se da el caso de tener un solo tendón (constituido por los cables o alambres alojados en un dueto). En este caso no habrá pérdida de esfuerzo por acortamiento elástico del concreto, pues como el gato se apoya directamente sobre el concreto se pueden compensar los acortamientos del concreto en el mismo acto del tensado. Solo que haya más de un tendón habrá.pérdida por acortamiento, pues el primero experimentará el acortamiento del concreto debido a los siguientes que se tensan secuencialmente. Se puede determinar con exactitud la pérdida experimentada por el tendón enésimo usando una expresión simÜar a la ecuación .6. 1 6, en fa cual no se considera la contribución del tendón enésimo por la razón expuesta antes. Entonces, la ecuación para determinar la pérdida experimentada por el enésimo tendón será:


(¡11' ) · = n . ; [- � fpkApk ( i + ek en J + M0en ] � p, e/a n c1 L.,¡ . A 2 ¡ k =n+I e r e (6. 1 7)

1 3 1

() 1mcy�

la pérdida de esfuerzo promedio en todo el acero, para una sección dada, será

_ _ � A,, , [(iV,, ,1. )J 11/p, ela -L..J ___ N ___ _ i= I �A . L._¡ p, 1 i=I

· Capítulo 6

. (6. 1 8)

s i todos los tendones tienen la misma área, el numerador de la ecuación 6. 1 8 tendrá como factor común Ap y el denominador será igual a N(Ap), quedando entonces:

_ } N -1 11/ p, ela =

N t;: ( 11/ p, e/a ) ¡ (6. 1 9)

el limíte superior de la sumatoria exterior en la ecuación 6. I 8 es N-1 debido a que el último tendón que se tensa no tiene pérdida de esfuerzo. En las ecuaciones 6. 1 7 y 6. 1 8 el áreaApk se refiere a un tendón y fpk será el esfuerzo en el tendón después de pérdidas por fricción, por deslizamiento de cuñas y por el acortamiento elástico del concreto por los otros tendones que ya hayan sido tensados (ver Apéndice B). También es importante considerar que el momento externo puede deberse no solo al peso propio, sino además a la carga muerta adicional o una fracción de ésta. Cuando suceda esto, obviamente deberá usarse Ec en lugar de Eci . Finalmente, cabe mencionar, y esto también para la construcción pretensada, que existe la incertidumbre de cuando introducir el peso propio, por lo cual usualmente no se considera. En la construcción postensada, en la práctica como una buena aproximación, suele calcularse la pérdida de esfuerzo por acortamiento elástico_ del concreto, de la manera siguiente:

a) Para vigas

(6.20)

b) Para losas

(6.2 1 )

ecuaciones e n las cuales e l significado de los parámetros e s e l mismo que en l a ecuación 6. 1 5 . Debido a que en las losas l a separación entre tendones es mayor que en vigas, la interacción entre ellos es menor y por consiguiente se usa un 4 en el denominador.

Debido a que el acortamiento elástico, en la construcción postensada, ocurre en la fase inicial cuando los duetos todavía no estan lechadeados y por consiguiente los cables no estan adheridos, la pérdida de esfuerzo debe ser la misma para cualquier sección. Sin embargo, como el esfuerzo es diferente, deberá obtenerse un valor promedio del mismo, calculándolo en varias secciones.

6.2.4 Pérdidas por relajamiento del acero (en pretensado)

, El relaj�miento del acero es un fenó�eno físico que redunda en pérdida de esfuerzo a longitud constante. Depende primordial-mente del tiempo y del n ivel de esfuerzo inicial a que se somete el acero·.

·

Aunque el relajamiento del acero que ocurre en el tiempo que transcurre entre el tensado y la transmisión de la fuerza del acero al concreto, en la·construcCión pretensada, no constituye una pérdida de esfuerzo instantánea, debe substraerse del esfuerzo .inducido por el "gafo" para a continuación· calcular las pérdidas instantáneas. El esfuerzo en cualquier tiempo, considerando el relajamiento del acero, puede calcularse de una ecuación ·empírica propuesta por Magura, Sozen y ·Siess ( 1 964) que se escribe a continuación:

f,(t) = [) 132

log (t) (f11j -oss)]1 . .

1 0 j PJ PY ·

(6.22)

Concreto Pres forzado


donde

usando la ecuación 6.22

a) En el tensado

b) En la transmisión

t ;;::: I hora,

f,(t, ) = []

y

Iog (t, ) (fpj - o.ssJJ1 . 1 0 j . PJ

pl

para un intervalo de tiempo M = t1 - t0 , tendremos

si tomamos t0 = 1 hr. tendremos:

�! - Iog (t, ) (fpj - o. ssJ1 . p, rel - I O j PJ py

() · 1mcyc

(6.23)

(6.24)

si queremos el esfuerzo después del relajamiento, usaremos la siguiente relación: fp (t) =/pi- b./p,rel , que nos conduce a la ecuación 6.23 . La ecuación 6.24 nos da la pérdida de esfuerzo, pero de hecho nos interesa el esfuerzo (reducido por el relajamiento) en la transmisión, que obtenemos de la ecuación 6.23 . Para acero de bajo relajamiento se substituye el 1 O, del denominador, por 45.

Una vez que se han calculado las pérdidas instántaneas se puede determinar la fuerza de presfuerzo inicial con la ecuacion 1 . 1 que volvemos a escribir. aquí:

( 1 . 1 )

donde

( N;,); = pérdidas instantáneas de esfuerzo

Ap = área total del acero de presfuerzo

con la fuerza de presfuerzo inicial conocida (P; ) se procede a Ja revisión, por esfuerzos permisibles, en Ja fase inicial. Usando las ecuaciones 3.3 y 3.4, se determinan los esfuerzos desarrollados en el concreto para compararlos con los permisibles. Usando las �cuaciones 3 . 1 0 y 3. 1 1 se determina el esfuerzo desarrollado en el acero que también debe compararse con los permisibles.

La determinación de P; nos permite continuar con el proceso de calcular, ahora, las pérdidas diferidas o dependientes del tiempo.



6.3 Pérdidas diferidas 6.3.1 Pérdidas por flujo plástico del concreto

· Antes de considerar la pérdida de esfuerzo debida al flujo plástico del concreto, debemos definir ciertos conceptos relacionados con el fenómeno, así como el fenómeno mismo.

Flujo plástico del concreto. Este fenómeno físico se define como un cambio en la longitud del elemento (acortamiento) a esfuerzo constante. Aunque, debido a las pérdidas que experimenta la fuerza de presfuerzo el esfuerzo no es constante, para efectos prácticos se considera como tal un valor promedio del mismo. Este acortamiento del concreto permitirá que el acero recupere en algo su longitud original, produciéndose una pérdida de su esfuerzo. Experimentalmente se ha encontrado que este fenómeno del flujo plástico depende, además del tiempo, de la dosificación del concreto, la humedad relativa del medio ambiente, las condiciones de curado y de la edad del concreto cuando se carga por primera vez. La rapidez de variación del flujo plástico con respecto al tiempo es grande en los primeros meses y disminuye hasta hacerse casi cero cuando han transcurrido entre 5 y 6 años.

Coeficiente de flujo plástico último. La deformación adicional por flujo plástico (Ecu) esta relacionada con'el esfuerzo en el concreto (no mayor de 0.5/'c) en una forma casi lineal, por lo tanto se puede definir el coeficiente de flujo plástico como la relación de la deformación por flujo plástico a la deformación elástica inicial, o :

(6.25)

donde

Ec1 = deformación elástica inicial

Ecu = deformación adicional por flujo plástico (después de un largo período de tiempo)

Coeficiente de flujo plástico unitario (flujo plástico específico). La deformación adicional por flujo plástico se puede expresar en términos del esfuerzo por medio de un coeficiente que no es más que esa misma deformación por unidad de esfuerzo, o:

(6.26)

donde

Bu = deformación por flujo plástico por unidad de esfuerzo

fc1 = intensidad del esfuerzo elástico inicial

combinando las ecuaciones 6.25 y 6.26 obtenemos:

C ,, = E)5 11 (6.27)

El coeficiente de flujo plástico a cualquier tiempo (C1 ) se puede relacionar con el coeficiente de flujo plástico último por una ecuación propuesta por D. E. Branson y K. M. Kripanarayanan ( 1 97 1 , 1 977) avalada por el ACI y que se presenta a continuación:

134

10. 60 e = e ' 1 0+ 1º· 6º " (6.28)



o también

t0. 60 8 = 8 I J O+ f0. 60 11

o 1mcyc

(6.29)

donde t es el tiempo, en días, después de la carga. Branson recomienda usar 2.35 para Cu cuando no se disponga de información para su estimación.

Los valores de C, ó 8, , que se obtienen con las ecuaciones empíricas 6.28 y 6.29, deben modificarse si la edad de carga es diferente de 7 días y la humedad relativa del medio ambiente es diferente de 40% (condiciones prevalecientes en las pruebas experimentales). Entonces tendremos dos factores, uno por edad de carga diferente a 7 días y otro por humedad relativa del medio ambiente diferente a 40%. Se recomienda determinar estos factores como sigue:

a) Para concreto curado con humedad y edades de carga mayores de 7 días

donde

F = 1 .25r0· 1 1 8 e. e. e. e.

le.e. = edad de carga en días

b) Para concreto curado con vapor y edades de carga mayores de un día

F = 1 .1 3r0·º95 e. e. e. e.

c) Para humedades relativas del medio ambiente mayores de 40%

Fh.r. = 1 . 27-0. 0067 H

donde

H = humedad relativa del medio ambiente en porcentaje

(6.30)

(6.3 1 )

(6.32)

Según recomendaciones del comité ACI-ASCE el valor del coeficiente de flujo plástico último se puede tomar, para concreto normal y ya neto, como sigue:

a) Para miembros pretensados: Cu = 2.00

b) Para miembros postensados: Cu = 1.60

La pérdida de esfuerzo en el acero estará dada por Ja Ley de Hooke, o:

(6.33)

pero de la ecuación 6.25 Ecu = Cu Eci , por lo tanto

(6.33a)

pero por la Ley de Hooke: Eci =fe; IEe, por Jo tanto

(6.33b)


o 1mcyc

donde

E,, n = -" E e f . = _ 0 .9P; (i + �J + Me, permanentes · e C/ A 2 1 e r e

Capítulo 6

El usar el 90% de la fuerza de presfuerzo en lugar de la totalidad és una recomendación (A. H. Nilson, 1 987) para considerar que las pérdidas diferidas no son independientes entre sí. Deberá considerarse únicamente las cargas permanentes o las cargas vivas sostenidas por un período de tiempo significante. Para la construcción pretensada y la postensada con los cables adheridos, la pérdida por flujo plástico del concreto será diferente para cada sección. Sin embargo, para concreto postensado con cables no adheridos, la pérdida será más o menos uniforme en todo el elemento, debiéndose tomar un valor promedio para fe; entre anclaies.

6.3.2 Pérdidas por retracción del concreto

La retracción del concreto es un fenómeno físico que básicamente consiste en el acortamiento del elemento por la pérdida de humedad (agua libre que no se necesita para la hidratación del cemento). Este acortamiento empieza a ocurrir desde el mismo instante en que empieza el fraguado del concreto. Ahora bien, puesto que parte de dicho acortamiento ocurrirá cuando todavía no exista presfuerzo en el elemento, no será causa de pérdida de esfuerzo en el acero. Para poder considerar solo el acortamiento que ocurre cuando sí existe fuerza de presfuerzo, necesitamos alguna relación que nos permita calcularlo para tiempos diferentes. n: E. Branson y Kripanarayanan sugieren usar las siguientes relaciones:

a) Para> concreto curado con humedad

t e = --E sh, t 35 + f sh, 11

b) Para concreto curado con vapor

donde:

t e = -- e sh, t 55 + f sh, 11

Esh. 1 · = deformación por retracción a cualquier tiemp� t

Esh. u = deformación última por retracción

= tiempo transcurrido, en días

(6.34)

(6.35)

Para humedades relativas del ·medio ambiente diferentes a las que prevalecieron en la investigación (conducida por Bninson y Kripanarayanan) se deberá usar un factor de corrección como sigue:

Para 40 <H ::; 80% Fsh. h = 1 .40 - O. OJOH

Para 80 <H ::; 100% Fsh. h = 3. 00 - O. 030H

Con las ecuacio.nes 6.34 y 6.35 se puede determinar el acortamiento del elemento de concreto que ocurre cuando existe presfuerzo. La deformaci�n'.última dependerá, además del tiempo, de factores como la humedad relativa del medio ambiente, de la relación agua-cemento del c9Ílcreto, del armado del m ismo, del área expuesta, etc. Se recomienda usar, cuando no se dispone de información, 800x l 0"6 para conÚeto curado con humedad y 730x l 0"6 para concreto curado con vapor. La pérdida de esfuerzo en el acero de presfuerzo estará dada por la Ley de Hooke, ó:

(6.36)


t�I 1mcyc Pérdidas en la fuerza de presfuerzo

donde

e sh =E sh, tf -E sh, lo Finalmente, cabe decir, que la pérdida de esfuerzo por retracción del concreto es la misma para cualquier sección, independien

temente de si se trata de elementos pretensados o postensados.

6.3.3 Pérdidas por relajamiento del acero

El relajamiento del acero es un fenómeno físico que consiste en la pérdida de esfuerzo a longitud constante (lo contrario de� flujo plástico), aunque existe alguna reducción en longitud por el flujo plástico y la retracción del concreto. Para calcular la pérdida de esfuerzo por esta causa, es necesario distinguir entre el concreto pretensado y el postensado. Para el pretensado debemos considerar que el relajamiento que causa pérdida es el que ocurre después de la transferencia de la fuerza, pues el acero estará experimentando el relajamiento desde el momento que se tensa y se ancla en los "muertos" en espera del endurecimiento del concreto. Entonces, manejando la ecuación 6.22 podemos obtener:

a) Para concreto pretensado

donde:

=

( log (t.r)- 1og (t , )J · (º· 9f,,; _ � flJ,,, re/ O. 9 f,,; J O

J, . O . 55) /1Y

t¡ = tiempo final, en horas

t1 = tiempo en la transferencia, en horas

(6.37)

Nótese que se ha modificado el esfuerzo inicial en el acero multiplicándolo por 0.9. Esta es una recomendación (A. H. Nil son, 1 987) para considerar la interdependencia de las pérdidas diferidas.

b) Para concreto postensado

11¡ · = 0.9/ . Iog( t) ( º·9f pi - o .ssJ p, re/ p1 1 0 j py (6.38)

Las ecuaciones 6 .37 y 6.38 son para acero de relajamiento normaL Para acero de bajo relajamiento habrá que remplazar el 1 O, del denominador, por 45. La pérdida de esfuerz? por relajamiento es diferente para cada sección y para cada cable que tenga trayectoria diferente (en postensado ) .

6.4 Ejemplos 6.4.1 Revisión de una viga pretensada calculando pérdidas

Se diseñó una viga-banca, para un estadio, pensando en que sería prefabricada, es decir, pretensada con excentricidad constante. Se requiere revisarla, tanto en la fase inicial como en la de servicio en el apoyo y en el centro del claro, caculando pérdidas y adoptando las especificaciones del ACI. La sección se muestra en la Figura 6.6 y los datos disponibles se escriben_ a continuación:

Datos:

Je = 350. 00 kg/cm2

Jci = 245. 00 kg/cm2

fpj = 14700.00 kglcm2

W0 = 409. 00 kglm


Ac = 1 704. 00 cm2

C1 = 24. 08 cm

C2 = 38.92 cm

S1 = 28436 cm�

137

�' 1mcyc

1 38

Wd =115.00 kg/m

W¡ = 475.00 kg/m

Ap = 2.20 cm2

P1 = 32340.00 kg

re = 7.00 cm

te.e. = 1 día

82

= 1 7594 cm3

le = 684739 cm"'

r2 = 401.85 cm2

Rdiseño = O. 8

e = 31.92 cm (constante)

Esh,11 = 730 x /(J6 (curado con vapor)

Capítulo 6 !

H = 50% (humedad relativa del 1J1edio ambiente donde trabajará) se usará acero grado 270 de relajamiento normal

C11 = 2.35 (v.alor recomendado por D. Branson)

Solución:

6 57 A' a

4.9o m ;r 4.90 m

15 10 44 10 15

.. ... ! ..

.. A_e/2=2 ,. 3/8" r···

... ! .. _ Ap/2

• -P 7 •

sección a-a

Figura 6.6 Ejemplo de determinación de pérdidas en pretensado

1. Pérdidas instantáneas:

1 .1 Por deslizamiento de mordazas

.8L = 0.3 1 75 cm en una longitud de 50.00 m

E = 0 .3 1 75 = 6.35x 1 0-s /1 5000

de Ja ecuación 6 . 12 :

8f,,, úe.f. cuña =6.35x 1 0-s x1 .89x 1 06 kg / cm2

8f ,,. úes. cufla . = 1 20 kg / cm2

1.2 Por relajamiento defact. o

Tiempo de transmisión = 24 horas (1 día), de la tabla 2. 1 (página 1 6):

fpy =0.85f1"' = 1 6065 kg / cm2


Pérdidas eri la fuerza de presfuerzo

de la ecuación 6.24

Iog (24) ( 1 4700 _0.55] 1 4700 1 o 1 6065 ófp. re/ = -740 kg / cm2

nota: el s igno negativo significa pérdida

1.3 Por acortamiento elástico del concreto

a) En el apoyo

De la ecuación 6. 1 5, donde

por lo tanto

1 .89x 1 06 :::: 8 . 1 5 1 oo.J245 -

fe = 0 .9x 32340 ( 1 + (3 1 .92)2 J +o =-60.39 kg / cm2 1 704 40 1 .85

tif,,, eta = (8) (-60. 39)=-483. 12 kg / cm2

b) En el centro del claro

solo cambia el valor de fc

donde

por lo tanto

f = -6039 + M,, e e I C'

M = 409C9 ·8)2 x 1 00 = 49 1 005 kg - cm o 8 fe = -60.39 + 49 I 005x 3 I .92 = - 60.39 +22 . 89 = -37.5 kg / cm2 684739

llj p, ela = (8) (-37.5) �-300.00kg / cm2

Finalmente, en la fase inicial o de transmisión, el esfuerzo será:


a) En el apoyo

fp; = 1 4700 .00 - 740 .00 - 1 20 .00 - 483 .00 = 1 3357 .00 kg / cm2

�ti 1mcyc

1 39

rtl 1mcyc Capítulo 6


fp; = 1 4700 .00 - 740 .00 - 1 20 .00 -300.00 = 1 3540 .00 kg / cm2 Puesto que se usó 0.9Pj como una aproximación de P; se hará una segunda iteración para la pérdida por acortamiento elástico, usando los valores obtenidos en la primera:

a) En el apoyo, con P; = 2.2 xi 3357 = 29385.4 kg

por lo tanto

fe = 293 85.4 (1 + {3 1 .92) 2 J = -60 .96 kg / cm2 1 704 40 1 .85

11/p, eta = {8) {-60.96) = - 487.75 kg / cm2

b) En el centro del claro, con P; = 2.2x13540 = 29788.0 kg

por lo tanto

f = 29788.0 ( 1 + {3 1 .92) 2 ] + 49 1 005x 3 1 .92 = _38 .92 kg / cm2 e 1 704 40 1 .85 684739

11/ p, eta = {8) {-38.92) = -3 1 1 .33 kg / cm2

Entonces, puesto que las otras pérdidas instantáneas no cambian, tendremos:

a) En el apoyo

f . = 1 4700 .00 - 740 .00 - 1 20 .00 - 488 = 1 3352 .00 kg / cm2 � . b) En el centro del claro

fp; = 14700.00 - 740 .00 - 1 20 .00 - 3 1 1 .00 = 1 3529 .00 kg / cm2

Si comparamos estos valores con los anteriores, vemos que no vale la pena la iteración. Con los valores defp1 conocidos se procede a determinar P; para determinar los esfuerzos en las fibras extremas del concreto y efectuar la revisión:

a) En el apoyo

1 40

P; = 1 3352.00x 22 =29374.40 kg

f . = 29374.4 (1 - 3 l.92x 24.08) = 1 5.73< I.6.J24s =25.04 kg I cm2 1 ' 1 704 40 1.85

1.oncreto Presforzado


f . = 29374.4 ( 1 + 3 1 .92x3 8.92J = -70.54> ...:..0.6x245 = -1 47.0 kg / cm2 21 1 704 40 1 .85

b) En el centro del claro : . M0 = 491005 kg-cm P; = 1 3 529x 22 =29763.80 kg

f . = 29763.80 ( 1 - 3 1.92x24.08) - 49 1 005 1 ' 1 704 40 1.85 28436

fu = 1 5.94 - 1 727 = -133 > -1 47.0 kg / cm2

f . = 29763.80 ( 1 +3 l .92x38.92) + 49 1 005, 2 1 1 704 40 1.85 1 7594

/2; = -7 1.47 + 27.9 1 = -4356> -1 47.0 kg / cm2

�!) · 1mcyc

Dibujando los diagramas de esfuerzos se puede apreciar mejor el estado de esfuerzos en la fase inicial (ver Figura 6. 7). Podemos apreciar que los esfuerzos desarrollados no exceden los permisibles en ninguna de las dos secciones, o sea, la del apoyo y la del centro del claro.

EN EL APOYO: fo = 1 5. 73 CENTRO DEL CLARO: fo = -1.33

f2¡ = -70.54 f2¡ = -43.56

Figura 6. 7 Estado de esfuerzos en el concreto en la fase inicial

Respecto a los esfuerzos desarrollados en el acero de presfuerzo, el esfuerzo permisible será el menor de:

fp; � 0 .82f11y =:0.82x 0.85f1111 = 1 3 1 73 .3 kg I cm2

/11; � 0.74/1111 = 1 3986 .0 kg ! cm2

como podemos ver, el esfuerzo permisible, f¡,;p = 13173.3 kglcm2 , es excedido tanto en la sección del apoyo como en la del centro del claro. Probablemente, esto se deba a que se sobreestimaron ligeramente las pérdidas instantáneas cuando se determinó Pj a partir de P; que se debió haber obtenido del diseño. Generalmente, en el diseño se determina P; y estimando las pérdidas instantáneas en un 10% se determinaPh en este caso particular las pérdidas instantáneas resultaron en un 8% en el centro del claro y en un 9% en el apoyo. Rigurosamente hablando, deberíamos de empezar de nuevo con un valor def¡,i


o 1mcyc

ella:

f . = 1 4700x .9 = 1 4380 kg / cm2 PJ 0.92

sin embargo, puesto que sólo se excede ligeramente (2.7%), aceptaremos que estamos dentro de lo especificado.

2. Pérdidas diferidas o dependientes del tiempo:

2.1 Por flujo plástico del concreto

Capítulo 6

Para usar la ecuación 6.33b (ó./p, /pe = Cu np fe; ) necesitamos determinar los parámetros involucrados en

a) En el apoyo

n = I.89x 1 06 = 6.7 P I 5 IOO.J350

Fh.r. = 1.27 - 0. 0067x50 = 0. 935

Cu = 2.35x0.935 = 2.2

Me, perm. = 0.00

P; = 1 3352x 22 =29374.4 kg

f = 09x 29374.4 (1 + (3 192) 2 J + 0.00 = -54.85 kg / cm2 d . 1 704 40 1.85 .

6fp. /pe = (22) (6.7) {-54.85) = -808.49 kg / cm2


( 409+ 1 1 5) (9.8) 2 M = x l 00 = 629062 kg - cm e.per. 8

P1 = 1 3529x 22 =29764.8 kg

f . = 09x 29764.8 ( l + {

3 192)2 J+ 629062x 3 192 = -2626 kg 1 cm2 ª 1 704 40 1.85 . 684739

6fp. fpc = (22)(6.7)(-2626) = -387.07 kg / cm2

2.2 Por retracción del concreto

Primero determinaremos la deformación que ocurre entre la transmisión del presfuerzo y el tiempo final:

F_,.h ,h = 1.40 - 0.0 1 Ox 50 =090

E .�h . 11 = 730x 1 0-6 F.�h. h = 657X 10-6



de la ecuación 6.35

por lo tanto

1 f: sh. I = --e h =0.0 1 79e h 55 + 1 s · " .f · " e .rh, =e sh, 11 (1 - 0.0 1 79) = 0.982x 657 X 1 0-6 = 645x 1 0-6

finalmente, para ambas secciones

11f h = 645x 1 0-6 x l.89x l 06 = 1 2 1 950 kg / cm2 p, s l.3 Por relajamiento del acero

a) En los apoyos, donde fp; = 13352 kg / cm2 y /py = 0.85/pu =16065 kg / cm2:

de la ecuación 6.37, tomando t1= 52560 horas (6 años):

!1f = 0.9x 1 3352( log (52560) - log (24))(º·9x 1 3352 -o.ss) p, re/ } O 1 6065

11f p, re/ = 794.85 kg / cm2

b) En el centro del claro, donde fp; = 13529 kg / cm2 :

!1f = 0.9x 1 3529( log (52560) - log (24))(º·9x 1 3529 _055) p, re/ 1 O 1 6065

11f p, rel = 845.71 kg / cm2

Finalmente, el esfuerzo efectivo de presfuerzo, en Ja fase final o de servicio, será

a) En el apoyo

f pe = 1 3352 - 809 - 1 220 - 795 = 1 0528 kg / cm2

R = 1 0528 = 0.788 1 3352


f pe = 1 3529 -387 - 1 220 - 846 = 1 1 076 kg / cm2

1 1 076 R = 1 3529 = 0.8 1 9

" 1mcyc

El reglamento del ACI no requiere que, en esta fase, se revisen los esfuerzos en el acero de pres fuerzo, sino solo en el concreto:

a) En el apoyo

f1 s = 1 5.13x 0.788 = 1 2.40< 1.6.J350 = 29.93 kg / cm2

) Concreto Presforzado 143

. �l . 1mcyc

f2s = -70.54x 0.788 = -55.1 6 > -0.45x 350 = -1 57.5 kg / cni2


1 200000 f1 s = 1 5.94x 0.8 1 9 -28436

= -29.1 5 > -0.45/; = -1 57.5 kg / cm2

. 1 200000 . � f 2s = -7 1.47 X 0.8 1 9 + 1 7594

= 9.67 < 1.6v350 = 29.93 kg / cm2

EN EL APOYO: fo = 12.40

f2; = -55. 16

CENTRO DEL CLARO: fo = -29. 15

f2¡ = 9. 67

Figura 6.8 Estado de esfuerzos en el concreto en la fase final

Capítulo 6

Como se puede ver, de los resultados de la determinación de los esfuerzos en el concreto, ilustrados con la Figura 6.8, los esfuerzos desarrollados son menores en magni�ud que los permisibles. Por lo que se concluye que, bajo condiciones de servicio, el diseño es adecuado.

6.4.2 Revisión de una viga postensada calculando pérdidas

Para la viga del problema 4. 1 (ver Figura 6.9), la fuerza de presfuerzo con su excentricidad se diseñó para soportar la carga para la cual tiene capacidad la sección de concreto. Se consideró acero grado 270 de relajamiento normal ({py =0.85 /,,u) y se estimó R=0.85. La fuerza de diseño fue P; = 349574 kg, a partir de la cual se determinó el número de cables adoptando las especificaciones del ACI.

Al fabricante de la viga se le proporcionó el esfuerzo a que deberá tensar el "gato" los cables, este esfuerzo se estimó a partir de/p; =P;I Ap,real considerando un 1 0% de pérdidas instantáneas. Se requiere que se'revise el diseño calculando las pérdidas del presfuerzo en forma detallada.

1 44

1 anclaje activo para 1 i anclaje activo para 2 X �Xp

t;h=:::::::-==-��-�=-=_._�; �- �!!!!!- ===

- ==·===:::::::::21IJI - - P_• -mr.I 100 cm

�

7.50 m 7.50 m 0.30 40 cm sección en centro

del apoyo

Figura 6.9 Ejemplo 6.4.2: Revisión, calculando pérdidas, de una viga postensada ·



Datos:

fp1 = 1 1560 kglcm2

f'e = 420 kg/cm2

K = 1. 62 x /0º3 m·1

Ep = 1.89 x I 06 kglcm2

Ap = 33. 6 cm2 (24 cables, 12 por dueto)

W0 = 960 kglm

W¡ = 2041 kg/m

H = 60% (humedad relativa)

Cu = 2.35

Wpcr= W0 + Wd =3360 kg/m

Solución :

l. Pérdidas instantáneas

1 . 1 Pérdida por fricción

/py = 0.85fp11 = 16065 kg/cm2

fe; = 0. 75/'e = 315 kglcm2

�L = 0. 18

M = 0. 6 cm (deslizamiento de la cuña)

emáx = 27. I cm (en el centro del claro)

Wd = 2400 kg/m

L = 15. 00 m

fe.e. = 28 días (edad de carga)

c..�1i = 800x I o-6

�' 1mcyc

Definición del perfil del tendón compuesto de dos ramas de parábola: solo se definirá el tendón No. 1 , puesto que el 2 es espejo del 1 . Para la rama izquierda, de Ja ecuación típica de una parábola vertical y positiva:


y =C · x 2

si x=-750.00cm., entoces y = (27. 1 +20.0) =47. /0cm. , que substituyendo en la ecuación de arriba, obtenemos:

e . = L = 8313x 1 0-5 cm-1 I X 2

quedando para la rama izquierda

para la rama derecha, con x = 750 y y = 27.1 - 20.0 = 7.1 O cm, que substituyendo de nuevo en la ecuación típica de la parábola, obtenemos:

e d = L = I .262x I 0-5 cm-1 x 2

quedando para la rama derecha

y = (1 .262x I 0-5) • x !d de estas ecuaciones obtenemos para la rama izquierda, -750 ::;; Xp; ::;; O

· tan 8 1 = dy = (1 6.746x l o-5) · x ]; dx . I pi

1 45

o 1mcyc

146

o : 9 ; = tan-! (1 6.746x1 0-5 ) · X pi

para la rama derecha� O ::;; Xpd ::;; 750

tane d = dy =(2.524x I 0-5 ) · x d dx P pd

.Capítulo 6

con estas relaciones y la ecuación 6. 1 (fp8 = /pA Ef(Kl+µaJ) podemos calcular las pérdidas por fricción para el tendón No. 1 , los cálculos se organizan en una hoja electrónica y se presentan a continuación (98 - eA = a)

EJEMPLO 6.4.2 (activo izq. ->der.) con fricción:

X(m): Xp (cm): Pend. (rad): l (m): Alfa fpx(k� I cm 2 ): o -750 -0. 125 o 0.000 1 1 560.0

3.75 -375 -0.063 3.75 0.062 . 1 1 362.0

7.5 o 0.000 3.75 0.063 1 1 1 66.4

l 1 .25 375 0.009 3.75 0.009 1 1 079.9

1 5 750 0.0 19 3 .75 0.009 1 0994. 1

1.2 Pérdida por deslizamiento de la cofta

De la ecuación 6.1 O obtenemos para la rama izquierda

{l l 560 - 1 1 1 66.4) J3, = =0.5248 750

y para la rama derecha:

(1 1 1 66 .4 - 1 0994.1) J3d = =0 .2292 750

de la ecuación 6. ] J obtenemos Ja distancia X hasta donde influye e) deslizamiento de la cuña

X = (0.6) (t .89x 1 06) ----- = 1470.00 0.5248 cm

finalmente, con las ecuaciones 6.6 a 6.9 obtenemos los esfuerzos reducidos por el d_eslizamiento de la cuña y que, usando la hoja de cálculo anterior, presentamos a continuación:

EJEMPLO 6.4.2 (activo iza. ->der.)

X(m): Xo (cm): Pend. (rad):

o -750 -0. 125

3.75 -375 -0.063

7.5 o 0.000

1 1 .25 375 0.009

1 5 750 0.0 1 9

l(m): Alfa

o 0.000

3.75 0.062

3.75 0.063

3.75 0.009

3 .75 0.009

con fricción:

[_ LJ.\ikg I cm 2 } 1 1 560.0

1 1 362.0

1 1 1 66.4 ·->-

1 1 079.9

10994 . 1

con des. cuila:

(• JJ.\ík.í! I cm 2 ) 1 00 1 7. l

1 02 12.7

1041 0.7

10921 .8

10994. 1


�) 1mcyc Pérdidas en la fuerza de presfuerzo

1 .3 Pérd ida por acortamiento elástico del concreto

Para la fase inicial

n . = 1.89X 1 06 = 7 .05 C/ 1 5 1 00�0.75x 420

P1 = 1 1 560x l.4x 24 =38841 6 kg

a) En el apoyo, donde e = 0.00 ·y M0 = 0.00

f = 0.9x3884 1 6 = -8735 kg 1 cm2 e 4000 b) En el cuarto del claro, donde e=JS.323 cm y M0 = 2025000.00 kg-cm

f = 0.9x 3 884 1 6(1 + {1 5323) 2 J + 2025000x 1 5 .323 e 4000 833 .33 3333333

f" = -1 02.7 1 kg / cm2

c) En el centro del claro, donde e = 27. 10 cm y M0 = 2700000.00 kg-cm

f = 0.9x 3 884 1 6 ( 1 + (27.1 )2 J + 2700000x 27.l e 4000 833 .33 3333333

fe = -1 42 .45 kg / cm2

el valor promedio del esfuerzo será

fe = 87. 35 + 1 02 .7 1 + 142.45 =-l l 0 .85 kg / cm2 3

con este valor promedio del esfuerzo en el concreto al nivel del centroide del acero y con la ecuación 6.20, obtenemos

ófp, ela = (0 .5) (7.05) (1 1 0.85) =390.75 kg / cm2

cabe recordar que como los duetos tod.avfa no están lechadeados y por lo tanto los tendones no están adheridos al concreto, esta pérdida es la misma para todas las secciones. A continuación presentamos una tabla donde se muestran los esfuerzos reducidos por las pérdidas instantáneas:

EJEMPLO 6.4.2 <activo iza. ->der.) con fricción: con des. cuila: con acor. eta.: % X(m): Xp (cm): Pend. (rad): l(m): Alfa f px(kg I cm2 ): f' px(kg / cm2 ): /11 px(kg / cm2 ) : Pérdida ins.

-

o -750 -0. 1 25 o 0.000 1 1 560.0 1 00 1 7. 1 9626.4 1 6.7 3.75 -375 -0.063 3.75 0.062 1 1 362.0 102 1 2.7 9822.0 1 5.0 7.5 o 0.000 3.75 0.063 1 1 1 66.4 1 04 1 0.7 1 0020.0 1 3.3

1 1 .25 375 0.009 3 .75 0.009 1 1 079.9 1092 1 . 8 1053 l . l 8.9 1 5 750 0.0 1 9 3.75 0.009 1 0994. 1 10994. 1 1 0603.4 8.3


{tJ 1mcyc Capítulo 6

Nótese que las pérdidas instantáneas, en promedio igual al 12.44%, son mayores que las estimadas ( 1 0% ). Esto puede deberse a que la viga es relativamente corta.

Una vez que se han evaluado las pérdidas instantáneas se está en la posibilidad de efectuar una revisión en la fase de transmisión (o inicial). Esta revisión solo se hace para el concreto, pues para el acero no es necesaria debido a que/pj </p;p. Para efectuar la revisión primero se determinan las fuerzas resultantes con sus excentricidades en las secciones de interés, ésto se presenta en la siguiente tabla:

EJEMPLO 6.4.2 continuación

X(m): Pi <activo) kg: e (cm): Pi <oasivo) kg: e (cm): Resultante: el> : o 1 6 1 723.5 -20.0 1 78 137. l 20.0 339860.6 1 .0

3.75 1 65009.6 1 5.3 1 76922.5 25.3 34 1 932. l 20.5 7.5 1 68336.0 27. l 1 68336.0 27. 1 336672.0 27. 1

1 1 .25 1 76922.5 25.3 1 65009.6 1 5 .3 34 1 932. l 20.5

1 5 1 78 1 37. l 20.0 1 6 1 723.5 -20.0 339860.6 1 .0

Con las resultantes y sus excentricidades en las secciones de interés se procede a determinar los esfuerzos en las fibras superior e inferior de la sección, usando las ecuaciones 3 .3 y 3 .4. Esto se presenta en la siguiente tabla:

EJEMPLO 6.4.2 continuación kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2

X(m): Resultante eR: Mo(kg-cm): fi;: f,;: f,;: f,;:

o 339860.6 1 .0 O.O -80.0 -89.9 28.4 - 1 89.0 3.75 34 1 932. 1 20.5 2025000.0 - 1 0.8 - 1 60.2 1 4.2 - 1 89.0 7.5 336672.0 27. 1 2700000.0 1 2.2 - 1 80.5 1 4.2 - 1 89.0

1 1 .25 34 1 932. 1 20.5 2025000.0 - 1 0.8 - 1 60.2 1 4.2 - 1 89.0 1 5 339860.6 1 .0 O.O -80.0 -89.9 28.4 - 1 89.0

Como puede verse los esfuerzos desarrol lados están por abajo de los valores permisibles, según el reglamento de las construcciones del ACI. Por lo que se concluye, que en la fase inicial o de transmisión (bajo P; + w0 ) el disefto es adecuado según requisitos de servicio.

1 48

2. Pérdidas dependientes del tiempo

2.1 Pérdida por flujo plástico del concreto

Para poder usar la ecuación 6.33b (b.fp,fpc = C,, n P fe; ) determinaremos antes los parámetros involucrados

Fe. e. = i2s (28rº· 11 ª = 0.844

Fh. r. = 127 - 0.0067 ( 60) = 0.868

c 11 = 23S (0.844) (0.868) = 1.73

n = 1 .89 X 1 06 = 6.1 07 p 1 5 1 00.J420

para la determinación de fe; usaremos l a ecuación

. - - -- + - + ------

f _ 0.9P; (i e2 J Me pemianentes · e C/ A 2 1 e r e donde Me. permanentes estará dado por la ecuación (wo + Wd = 3001.00 kglm)

Concreto. Pres forzado


M = 300 1x 1 5 X - 1 5005X2 e perm. 2

usando una hoja electrónica de cálculo obtenemos


X(m): Resultante: eR:

o 339860.6 1 .0

3 .75 34 1 932. 1 20.5

7 .5 336672.0 27. 1

1 1 .25 34 1932. 1 20.5

1 5 339860.6 1 .0

2.2 Pérdida por retracción (shrinkage) del concreto

o 1mcyc

Mner: M_ , __ :

o.o -808.8

6330234.4 -81 1 . 1

84403 12.5 -780.6

6330234.4 -81 1 . l

O.O -808.8

Puesto que el concreto se carga (se tensa) a los 28 días, habrá que descontar la retracción ocurrida entre el colado y la carga

28 e = E = 0.444c sh, 28 35 +28 sh, 11 sh, 11

e sh =E sh, 11 - 0.444c sh, 11 =0.5556c sh, u

donde Esh, u = 800xl ff6 • De la ecuación 6.36 determinamos la pérdida de esfuerzo que es la misma para todas las secciones

óf p, sh = 444. 44x 1 0-6 x l . 89x 1 06 = 840 kg / cm2

2.3 Pérdida por relajamiento del acero

De la ecuación 6.38, donde e] tiempo en horas será igual al correspondiente a 6 años menos 28 días (5 1 888 horas), se determina Ja pérdida por relajamiento para el tendón No. 1 en las diferentes secciones. Puesto que el tendón No. 2 es un espejo del No. 1 , sus pérdidas serán iguales, en espejo, que las del No. 1

EJEMPLO 6.4.2 continuación X(m): Resultante: eR: Moer: ÓÍn r� : ÓÍn .�: ÓÍnl • • 1 : ÓÍn� • • 1 :

o 339860.6 1 .0 o.o -808.8 -840.0 O.O 198 . 1 3 .75 34 1 932. I 20.5 6330234.4 -8 1 1 . 1 -840.0 1 .0 1 78.6 7.5 336672.0 27. l 84403 12.5 -780.6 -840.0 48.2 48.2

1 1 .25 341932. l 20.5 6330234.4 -8 1 1 . 1 -840.0 1 78.6 1 .0 1 5 339860.6 1 .0 o.o -808.8 -840.0 1 98 . 1 O.O

Finalmente, el esfuerzo de presfuerzo efectivo que queda después de descontar las pérdidas dependientes del tiempo se presentan en la siguiente tabla:


o 1mcyc

EJEMPLO 6.4.2 continuación kg/cm2

X(m): Resultante eR: Mpcr: M" ,,,,,: o 339860.6 1 .0 O.O -808.8

3.75 34 1 932. 1 20.5 6330234.4 -8 1 1 . 1

7.5 336672.0 27. 1 84403 1 2.5 -780.6

1 1 .25 34 1 932. 1 20.5 6330234.4 -8 1 1 . 1

1 5 339860.6 1 .0 o.o -808.8

kg/cm2 kg/cm2

Lifn sh: Lifnl rcl:

-840.0 o.o -840.0 1 .0

-840.0 48.2

-840.0 1 78.6

-840.0 198. 1

kg/cm2

Lifo2 rel:

1 98. I

1 78.6

48.2

1 .0

o.o

Capítulo 6

kg/cm2 kg/cm2

Ípcl : Ípe2:

7977.6 8756.5

8 1 69.8 8701 .3

835 1 . 1 835 1 . 1

870 1 .3 8 1 69.8

8756.5 7977.6

Para efectuar la revisión en la fase final, con la información anterior se determina la fuerza de presfuerzo efectiva resultante y su excentricidad en las secciones de interés tal como se muestra en la siguiente tabla:


X(m): Pe (activo) kg: e(cm): Pe (oasivo)kg: e(cm): Resultante: eR(cm):

o 1 34022.9 -20.0 147 108.5 20.0 28 1 1 3 1 .4 0.9

3 .75 1 37253.0 1 5.3 146 1 8 1 .9 25.3 283434.9 20.5

7.5 1 40298.4 27. 1 140298.4 27. 1 280596.8 27. 1

1 1 .25 1 46 1 8 1 .9 25.3 137253.0 1 5 .3 283434.9 20.5

1 5 147 1 08.5 20.0 1 34022.9 -20.0 28 1 1 3 1 .4 0.9

Con estos valores obtenemos,en la fase de servicio, los esfuerzos en las secciones de interés usando las ecuaciones 3 .5 y 3.6. Los resultados se presentan en la siguiente tabla:

EJEMPLO 6.4.2 continuación kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2

X(m): Resultante: eR: Ms (kg-cm): f1s: f2s: f.s: fcs:

o 28 1 13 1 .4 0.9 o.o -66.4 -74.2 32.8 - 1 89.0

3 .75 283434.9 20.5 1 1392734.4 - 1 54.7 1 3 .0 32.8 - 1 89.0

7.5 280596.8 27. 1 1 5 1 903 12.5 - 1 83.9 43.6 32.8 - 1 89.0

1 1 .25 283434.9 20.5 1 1 392734.4 - 1 54.7 1 3 .0 32.8 - 1 89.0

1 5 28 1 1 3 1 .4 0.9 o.o -66.4 -74.2 32.8 - 1 89.0

Como puede verse, en la sección del centro del claro se está excediendo el esfuerzo permis ible a tensión. La razón de ésto es que en el diseño se subestimaron las pérdidas, tanto las instantáneas (como ya se había observado) como las dependientes del tiempo según se pude observar en la siguiente tabla (se estimó una R = 0.85):

kg/cm2 kg/cm2

Ín¡ ¡ ; f�1 : R:

9626.4 7977.6 0.829

9822.0 8 1 69.8 0.832

1 0020.0 835 1 . 1 0.833 �

1 053 1 . 1 8701 .3 0.826

1 0603.4 8756.5 0.826

Obviamente, lo que se debe hacer es ajustar el esfuerzo inducido directamente por el "gato" de tal manera que la fuerza de presfuerzo sea más grande. Otra opción es aceptar un esfuerzo de tensión no mayor de 3. 2 .Jf: = 65. 58 kg / cm2 (como en este ejemplo

que tenemos 43.6 kg / cm2 ), pero revisando las deflexiones y la resistencia como lo exige el ACI. En este caso, estaríamos manejando una viga presforzada parcialmente.


o 1mcyc Pérdidas en la fuerza de presfuerzo

Problemas 6.1 Para el ejemplo 6.4.2 ajuste la fuerza de presfuerzo aplicada directamente por el "gato" para que el esfuerzo desarrollado en

la fase final en la fibra inferior de la sección del centro del claro no exceda el esfuerzo permisible especificado por el ACI (ver Figura P6. 1 ). Una vez hecho el ajuste, revise calculando las pérdidas de esfuerzo en el presfuerzo y siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo.

1 anclaje activo para 1 X

i �Xp

1 1 7.50 m 0.30 7.50 m

anclaje activo para 2

1 1

. .!'.' - ln:I 1 00 cm -+--+-40 cm

sección en centro del apoyo

Figura P6. l Ajuste de fpj del ejemplo 6.4.2 para satisfacer f15 del ACI

6.2 Para el problema 4.3 del capítulo cuatro revise el diseño usando el criterio por esfuerzos permisibles y calculando las pérdidas del esfuerzo inducido por la fuerza de presfuerzo. Haga la revisión en las secciones del apoyo y del centro del claro y para las fases inicial y de servicio (o final). Considere que la viga pretensada se fabrica curándola con vapor y que la fuerza se transmite a las 24 horas de colada. La viga estará trabajando en un ambiente con H = 80% (ver Figura P6.2).

Figura P6.2 Revisión por esfuerzos permisibles calculando pérdidas

: Concreto Presforzado

-+1º-t- 120 cm

re :t: . -1-+-bw/2

-+-+ bw/2

h

1 5 1

�-, 1mcyc

Capítulo 7

Deflexiones de vigas

7.1 Introducción Una de las grandes ventajas del concreto presforzado es el poder controlar las deflexiones de vigas con claros grandes por me

dio de la fuerza de presfuerzo. Teóricamente se pude tener una viga con deflexiones nulas para cualquier claro y sistema de carga, gracias a la fuerza de presfuerzo. Sin embargo, para lograr lo anterior la viga presforzada deberá tener una contraflecha (camber) que se verá incrementada por el efecto del flujo plástico del concreto y que puede resultar inconveniente, desde el punto vista de la servicia�ilidad, cuando no estén actuando todas las cargas de servicio.

En concreto presforzado el problema de la disminución de la rigidez por agrietamiento de la sección es mucho menos crítico que en concreto reforzado. Existiendo la posibilidad de anularlo completamente, bajo condiciones de servicio, si la magnitud de la fuerza de presfuerzo se determina de tal manera que no se permitan en la sección esfuerzos de tensión mayores que los que resista el concreto. �in embargo, al igual que en concreto reforzado, las deflexiones a largo plazo pueden llegar a ser críticas por el efecto del flujo plástico del concreto y la pérdida de la fuerza de pres fuerzo, haciéndose necesario su determinación para aseguramos que no se excederán los límites establecidos.

7.2 Deflexiones inmediatas de vigas no agrietadas (vigas clase U) 7.2.1 Deflexiones producid_as por el presfuerzo

Para determinar las deflexiones producidas por el pres fuerzo se puede usar la carga equivalente del mismo y cualquier método de la Mecánica de Sólidos como el de la Viga Conjugada, por ejemplo. Esto es posible bajo el supuesto de que la sección no se agrietará en la fase inicial. A manera de ilustración consideremos el perfil mostrado en la Figura 7. 1 .

J_Pv -7 e::::::: p M

Figura 7. 1 Deflexión debida al presfuerzo

Me -t j QU4EI 1 _¡_

VIGA CONJUGADA

A = Mc

De acuerdo al método de la viga conjugada, la deflexión en el centro del claro, producida por la fuerza de presfuerzo en la viga real, será igual al momento flector en la misma sección de la viga conjugada:


l. Determinación de las reacciones de_ la viga conjugada, que por simetría

1 L QL QL2 R = R =R =- · - · - =-, D 2 2 4EI I 6EI

2. Determinación de la carga transversal equivalente (Q)

P11 =P sin e

. e e 2e sm = -- =-L / 2 L

p = 2Pe " L

Q = 4Pe L

3. Determinación del momento flector en el centro del claro de la viga conjugada

M = R · !:. -! · !:. · QL · ! · !:. e 2 2 2 4EI 3 2

QL3 QL3 QL3 M =-- -- =--e 32EI 96EI 48EI

4. Finalmente, determinación de la flecha en el centro del claro

Ll = _!!__ . 4Pe p 48EI L

P · e · L2 Ll =--p 1 2EI

Nota: El valor positivo significa que la deflexión es hacia arriba.

7.2.2 Deflexiones producidas por las cargas

Capítulo 7

Para detenninar las deflexiones producidas por las cargas externas, incluyendo el peso propio, de nuevo se recurre a la Mecánica de Sólidos. De todos los métodos presentados ahí se recomienda el de la viga conjugada por su simplicidad cuando se trata de vigas y de detenninar la deflexión en un punto en particular. A manera de ilustración consideremos el caso de una viga simplemente apoyada en sus extremos y con carga uniformemente distribuida (como puede ser el peso propio) como se muestra en la Figura 7.2.

1 54

l. Determinación de las reacciones de la viga conjugada, que por simetría

R =R = Area I D 2

Area =- (L) - =-2 (wL2 ) 2wL3 3 SEi 24EI



wL3 R =R =--1 D 24EI

f§u;on1Jf L

L

VIGA CONJUGADA

Figura 7.2 Deflexión inmediata debida a una carga distribuida uniformemente

2. Determinación del momento flector en la sección del centro del claro (V.C.)

M = -R ,(�) + Area e 1 2 2 {Brazo de palanca)

{ wL3 )( L) ( wL3 )(3 L) Me = 24EI 2 + 24EI s '2 wL4 {-8 + 3) 5wL4 M = = ---e 384EI 384EI

o 1mcyc

3. Finalmente, la deflexión en el centro del claro de la viga real será el momento flector en la misma sección de la viga conjugada

5wL4 � = ---e 384EI

Nota: El signo negativo indica que la deflexión �s hacia abajo.

Cabe notar que el momento de inercia, tanto para el caso del presfuerzo como de las cargas externas, debe determinarse según se menciona en 3.4. 1 . Sin embargo, es común usar el área gruesa para su determinación.

7.3 Deflexiones a largo plazo de vigas no agrietadas (vigas clase U)

Como se mencionó al inicio de este capítulo, la pérdida de la fuerza de pres fuerzo y el fenómeno del flujo plástico del concreto hacen que las deflexiones inmediatas se vean modificadas a través del tiempo. Obviamente, la pérdida del pres fuerzo disminuye la deflexión (hacia arriba) causada por el mismo presfuerzo, haciendo que la detlexión de las cargas externas (hacia abajo) se incrementen. Por otro lado, el efecto del flujo plástico del concreto incrementa las deflexiones debidas al pres fuerzo (hacia arriba), puesto que las fi-


�J 1mcyc Capítulo 7

bras inferiores �on las que, por verse sometidas a compresión, se acortarán por este fenómeno. El efecto del flujo plástico también existirá para todas las cargas externas, incluyendo el peso propio, que permanecen por tiempos significativos (cargas sostenidas).

La determinación de las deflexiones a largo plazo, en forma "exacta", es un problema que puede ser bastante complejo y consumidor de tiempo, puesto que las pérdidas del pres fuerzo como el efecto del flujo plástico son fenómenos que, entre otras cosas, dependen fuertemente del tiempo. El método más apropiado, en este caso, es aquel que considere intervalos de tiempo, que mientras más cortos mejor. Ahora bien, puesto que por lo general las deflexiones de interés son las que ocurren en la fase inicial, que son inmediatas, y las que ocurren en la fase de servicio cuando ya han ocurrido la mayor parte de las pérdidas diferidas, las deflexiones a largo plazo ( ó últimas) se pueden estimar aproximadamente.

7.3.1 Deflexiones a largo plazo usando Cu y una fuerza promedio de presfuerzo

Para calcular las deflexiones a largo plazo lo primero que tiene que hacerse es determinar las deflexiones inmediatas debidas al presfuerzo y a las cargas externas, incluyendo el peso propio, pues aquellas estarán en función de éstas. Para la fase inicial, o sea bajo P1 + w0, esto puede hacerse como se discutió en 7.2 . 1 y 7.2.2

(7. 1 )

donde:

ó.pi = dejlexión inmediata debida a Pi

ó.0 = dejlexión inmediata debida al peso propio

Nota: Los valores negativos indicarán deflexiones hacia arriba

Para considerar los efectos a largo plazo, como son la pérdida del presfuerzo y el flujo plástico del concreto, puede uno basarse en que las deflexiones resultantes de la fuerza de presfuerzo Pe , después de pérdidas diferidas, pueden calcularse como la suma de la detlexión inicial más los cambios debidos a la reducción de la fuerza y al flujo plástico del concreto, es decir:

1 56

a) Cambio en la deflexión debido a la reducción de la fuerza de presfuerzo

ÓO red. = Ó pi - Ó pe

que será hacia abajo, es decir, positiva.

b) Cambio en la deflexión debido al flujo plástico del concreto

ó8 = /. p. c. ó pi + ó pe e 2 11 (7.2)

(7.3)

este cambio será hacia arriba, como se comentó antes, y la relación está impl icando que se usa un fuerza de presfuerzo promedio cuya deflexión se incrementa por el coeficiente de flujo plástico.

Por lo tanto, la deflexión a largo plazo debida a la fuerza de presfuerzo estará dada por la siguiente relación

( ) ( Ó · + Ó pe J ó /. p. = -ó pi + ó pi - ó pe -

pt 2 e 11

que simplificándola, obtenemos ( ó p;

+ ó,,e Je ó l. p. = -Ó pe - 2 " (7.4)


'

· Detlexiones de vigas

donde

� pe = R� 11;

t(I 1mcyc

Nota: En todas estas ecuaciones las deflexiones son inmediatas, es decir, las deflexiones a largo plazo se obtienen a partir de las inmediatas, corno se mencionó antes.

Las detlexiones debidas a las cargas externas también se ven afectadas por el flujo plástico del concreto:

a) Para el peso propio

� I = � o + C11� 0 o . . p.

b) Para la carga muerta adicional

� = � + C � d. / . p. " /1 " c) Para carga viva sostenida

� u. 11. = � , + C "� '

Finalmente, la deflexión total a largo plazo será

( 7 . 5 )

donde la deflexión a largo plazo debida a la carga viva solo existirá para carga viva sostenida, que puede ser la totalidad, una parte de ella o nada.

7.4 Deflexiones inmediatas de vigas agrietadas (vigas clase C y T) En general, el agrietamiento de las vigas de concreto presforzado parcialmente ocurrirá bajo la totalidad de la carga viva, por lo

;cual la deflexión inmediata deberá calcularse para dicha carga siguiendo un criterio diferente al de secciones no agrietadas. El cálculo de esta deflexión puede hacerse con las ecuaciones de la Mecánica Elástica usando un momento de inercia de la sección reducido por el ,efecto del agrietami ento. En la estimación de ese momento de inercia reducido debe tenerse en cuenta que no todas las secciones de la viga están agrietadas, por lo cual debe ser un momento de inercia que tenga como límite inferior el de la sección agrietada y corno límite superior el de la sección gruesa. Para determinar el momento de inercia de la sección agrietada se considera, conservadorarnente, que la sección está totalmente agrietada (en la falla) y no parcialmente agrietada (corno realmente está). La razón de esto es que el momento de

.inercia de la sección parcialmente agrietada no es constante, sino que cambia con el nivel de carga.

El ACI exige, para secciones agrietadas, que se calculen las deflexiones con base en una relación bil ineal mornento-deflexión. Es decir, que se debe considerar el momento de inercia de la sección gruesa para las deflex iones causadas por aquella porción de la carga viva ligeramente menor a la de agrietamiento, y se debe cons iderar el momento de inercia de la sección agrietada y transformada para la deflexión adicional causada por la porción de carga viva mayor o igual a la de agrietam iento. Alternativamente; el ACI, permite que se use, para toda la carga viva, un momento de inercia efectivo que según D. Branson puede determ inarse por:

(7.6)

donde, para concreto presforzado y en la determ inación de deflexiones por carga viva


�¡ 1mcyc

donde

Mcr = 1 - (Jtl - fr ) Mª f,

P ( eC ) M f,1 = - Ae 1 + -f +s2-c r 2

f, = �' 2

Capítulo 7

(7.8)

7.4.1 Momento de inercia de secciones agrietadas

Como ya mencionamos antes, para la determinación del momento de inercia de la sección agrietada se considera ésta, en forma conservadora, como totalmente agrietada y sin la influencia benéfica de la fuerza de pres fuerzo. Esto implica que la sección se considera como si fuera de concreto reforzado. A manera de ilustración se muestra a continuación la forma de determinar dichos momentos de inercia para las secciones más usadas:

1 58

a) Sección rectangular simplemente armada

En la Figura 7.3 se puede apreciar que para una sección agrietada y transformada sujeta solo a flexión la línea neutra coincide con el centroide de dicha sección y por lo tanto:

b 4-+ w=wo ó Wd ó w.

X

As

sección real sección transformada

Por equilibrio: C = T e = (%)fcbx T = nAsfct fct = ((d-x)/x)fc (%)fcbx = nAs((d-x)/x)fc (%)bxx = nAs(d-x)

Figura 7.3 Momento de inercia de la sección transformada y agrietada

X = nAs [�l + 2bd - l] b nA.� (7.9)



y

bx 3 2 1 cr = -3- + nA.f ( d -X)

o 1mcyc

(7. 10)

obviamente, las ecuaciones de arriba son para una viga que solo tiene acero de pres fuerzo (As = área del acero de pres fuerzo, debería ser Ap)· Para el caso en que se tenga también acero de refuerzo ordinario no pres forzado, como sucede normalmente en concreto presforzado parcialmente, la profundidad del eje neutro estaría determinada por:

(7. 1 1 )

y el momento de inercia por

(7. 12)

b) Secciones rectangulares doblemente armadas

De la Figura 7.4, la profundidad del eje neutro estará dada por la siguiente ecuación

b

nsA's X

d

AP e ---'--As • ---1---- -.¡_ ------- -------

b

Figura 7.4 Icr para una sección rectangular doblemente armada

b�' = n,,A,, ( d,, - X) + n,A, ( d -X) - ( n, - l)A'. (X - d') (7. 1 3)

y el momento de inercia de la sección agrietada y transformada será:

!" = b� ' + n,,A,, (d p -X)' +n,A, ( d -X) ' +( n , - l)A'. (X - d') ' (7. 14)

c) Secciones T ( para las cuales x>hr)

Para secciones físicamente Ten las cuales x < '11, se usan las relaciones para secciones rectangulares, por lo cual, se empieza suponiendo que se comportará como rectangular para determinar el valor dex. Si éste resulta menor que el espesor del patín se determina el momento de inercia con la ecuación para secciones rectangulares . En caso contrario tendrá que recalcularse el valor dex usando una expresión apropiada para una sección T que se escribe a continuación con referencia a la Figura 7.5


�' 1mcyc Capítulo ?

b

d

Ap e -+-----As . _.__ ___ _ -+--+-

bw

Figura 7.5 Icr para una sección T (con x>�r)

bw (x - h1) 2 -2nPAP (dP -x) -2nsAs (d -x) + bh.r (2x - h.r) =0 (7. 1 5)

y el momento de inercia de la sección agrietada y transformada será

(7. 1 6)

7.5 Deflexiones a largo plazo de vigas agrietadas La presencia de acero ordinario no pres forzado en vigas pres forzadas parcialmente también afecta las deflexiones a largo plazo

al igual que en concreto reforzado. El acero longitudinal no pres forzado a tensión ayuda a contrarrestar el efecto del flujo plástico en el concreto. Es por esto que para las deflexiones a largo plazo de vigas agrietadas conviene más usar algún método que tome en cuenta la presencia del acero de refuerzo no presforzado. Existe un método aproximado desarrollado por Martín L. D. (citado por A. H. Nilson, 1 987) que usa coeficientes o multiplicadores para obtener la deflexión total a largo plazo a partir de las inmediatas. Para tomar en cuenta la presencia de acero no presforzado, se obtiene un nuevo coeficiente como se indica a continuación :

(7 . 1 7)

donde C1 es el multiplicador básico (ver Apéndice A) y suponiendo que AJ Ap � l .

7 .6 Deflexiones pennisibles Las deflexiones límites para las estructuras son muy variables, dependerán del tipo particular de la estructura en consideración

y de las circunstancias particulares para esa estructura. Ciertos límites se establecen �n los reglamentos de construcción como el del ACI (ACI 3 1 8-02, Capítulo 9 inciso 5), del AASHTO (Capítulo 9, inciso 1 1 ) y del DF (Distrito Federal, México).

7.7 Ejemplos 7�7. 1 Cálculo de deflexiones para una viga no agrietada

Para la viga pretensada mostrada en la Figura 7.6 calcule la deflexión a largo plazo que ocurre en el centro del claro.


1


90 cm 12 14 12

2H2r:�·-·fft- --·---�f 4---+ .¡........'.... +---1-1º 10 10 P = 691 .00 kg ( c a rg a m u e rta) SECCION a-a

Figura 7.6 Ejemplo 7.7.1 : Deflexión de una viga no agrietada

Datos:

Ac 1356 cm2 Wo 325 kglm

lg 1 13903 cm-1 Wd 104 kglm

e, 12. 03 cm W¡ = 315 kglm

C2 = 1 7.97 cm Ws = 744 kglm

S1 = 9468 cm3 l = 8. 10 m

S2 = 6339 cm3 e = 9. 45 cm

r2 = 84. 0 cm2 W11 = 1 136 kg/m

P¡ = 55169. 0 kg R = 0. 80

Cu = 2. 0 fe = 350 kglcni2

p = 691. 0 kg (muerta) fci = 245 kglcm2

Solución :

l. Cálculo de la carga de agrietamiento

Mcr =2 .J350x6339 + 44 1 35 (� +9.45) = 860567. 00 kg - cm 1 7 .9 1

w = 8x 8605.67

= 1 049 kg / m> ws cr {8.1) 2

Como podemos ver la viga no se agrietará, pues Wcr > w.�


�, 1mcyc

1 6 1

o 1mcyc

2. Cálculo de las deflexiones inmediatas

a) Por P1

b).-Por Pe

e) Por Wo

d) Por wd

e) Por w1

� . = -P¡eL2 = P' 8Ec/g

_( 5_5_1 6_9 )_( 9_.4_5)_( 8_1

_

0 )_2 _ = _

159 cm (8)(1 5 1 00.J245)(1 1 3649)

� = � .R Eci =-{l .59) (0.8)( l 5 l OO.J245 J=-1 .06 cm pe P' Ec 1 5 1 oo.J350

(5) (3 .25) (8 1 0) 4 � º = =0 .68 cm

(3 84) (1 5 1 00�245 ) (1 !_3649)

{5) {1 .04) (8 1 0) 2 {69 1) {270) (3 x 8 1 02 - 4x 2702 )

� - +---------'---------'--d -(384) (1 5 1 00.J350)(1 1 3649) (24) (1 5 1 00.J350) (1 1 3649)

�d =0 .588 cm

(5) (3.1 5) (8 1 0) 4

� 1 = =0 . 55 cm (384) (1 5 1 oo.J350) (1 1 3649)

3. Cálculo de la deflexión a largo plazo ( 1 . 59 + 1 .06) ( ) ( ) � l. p. =-1 . 6-

2 x2 + 1 + 2 0 .68 + 0 .588 + 0 .55

�l. p. = 0 . 644 cm

Cuando no esté actuando la carga viva

� l. p. = 0 .094 cm

Capítulo 7

7.7.2 Cálculo de deflexiones para una viga agrietada

Se requiere calcular las deflexiones inmediatas y a largo plazo para una viga de sección doble T estandar del PCI (8DT32) que se muestra en la Figura 7.7. La sección es de una viga pretensada que se usará en un claro simplemente apoyado de 2 1 .35 m para soportar, además de su peso propio ( w0 = 872 kg/m), una carga muerta adicional (wd) de 1 1 8 kg/m que se colocará dos meses después de la transferencia y una carga viva (w1) de 1 003 kg/m. Del manual del PCI se obtiene la siguiente información:



Datos:

Ae = 3658 cm2

lg = 2308419 cm"'

S1 = 84218 cm3

r2 = 631. 06 cm2

Ap = 15. 792 cm2 (16 �-112 " grado 270)

P; = 187200. 00 kg

Pe = 162450. 00 kgt

A.v = 3.95 cm2 (4 �-112 " grado 270)

Ir = 2�350 = 37. 42 kglcm2

e, = 27. 41 cm

C2 = 53.87 cm

S2 = 42852 cm3

Je = 350 kglcm2

.fe; = 245 kglcm2

ee.c/. = 44.35 cm

eapo = 20.85 cm

R = 0.868

Nota: El acero no presforzado (As) es de la misma calidad que el presforzado y tiene el mismo perfil.

244 cm

.. �!t?.i-f • t11 +-+ 1 2 v-=}1.3 cm 1 2 L=21.36 m 1 1 22 cm 1 SECCION a-a Figura 7. 7 Ejemplo 7. 7.2: Deflexión de una viga agrietada

Solución:

l. Cálculo de Mcr


Me =37 . 42 ( 42852) + (1 62450) ( 63 1 .06 + 44 .35) r

53 .87

Mer = 1 07 1 1 200.00 kg - cm

{j 1mcyc

1 63

f{I 1mcyc

i '

1 64

2. Cálculo de M01 Md y M, 872 (2 1 .35) 2

M0 = x 1 00 = 4968465.00 kg - cm < Me, 8 1 1 8 Md = - M0 =672338.00 kg - cm 872

M0 +Md = 5640803.00 kg-cm< Mcr

1 003 M1 = -- MJ =57 1 4875.00 kg - cm 1 1 8

Ms = M0 + Md + M1 = 1 1 3 55678.00 kg - cm> Mcr

3. Cálculo de las porciones de carga viva para Ig y para fer

4. Cálculo de Icr

.1M =Ms - Mcr = 644478.00 kg - cm

(8) (6444 78) .1w1 = = 1 1 3 . 1 1 kg / m ( 1 00) (2 1 .35) 2

( W ¡ ) g = 1 003 - 1 1 3 = 890 kg f m

( W 1 ) cr = 1 1 3 kg / m

a) Como sección rectangular

d = ec. cl . + C1 = 4435 + 27.4 1 = 7 1.76 cm

As = 1 5.792 + 3 .95 = 1 9.742 cm2

n = l .89x l 06 = 6 .69 1 5 1 oo.J35o

x = nAs [�1 + 2bd - 1] = 8 .29 cm> h 1 b nÁs

b) Como viga T

b = 1 9.7 + 1 2 2 =3 1.7 w x cm 2

de la que obtenemos

Capítulo 7



x = 9.07 cm

fer = 3 1 .7 (9.07 - 5)3 + 244 {5)3 +{244) (5) (9.7 - 5 / 2)2 3 1 2

+6 .69(1 9 .742) (7 1 . 76 -9.7) 2

fer = 57497 1.00 cm4

5. Cálculo de la deflexiones inmediatas


a) Por P; (camber), con Eci = 15100 .J245 = 236352 kglcm2

/J. pi = -7.1 4 cm

b) Por Pe , con Ec

!J. =(Eci JR!J. . =(,JW J (0 .868) 7 . 1 4 = 5 . 1 8 cm pe E pi 350 e

c) Por w0, con Ec;

/J. = (5) (8. 72) (2 1 35)4 = 4 32 cm º (3 84) (1 5 1 00.J245) (23o84 1 9) ·

/).d = (Ee; J wd /). 0 =(.J245 J(�J 4.32 = 0 .49 cm Ee w0 .J350 872

e) Por w1 usando una relación bilineal

Primero con (wJc = 890 kglm y con Ig r w; A 890 0 9 /J. 1 = - LJ.d = - .4 =3.70 cm wd 1 1 8

ahora con (w1 )cr = 1 13 kglm y con lcr

por lo tanto

/J.; =(�J ( w7 !J.� J = (23084 1 9) (�) 3.7 = 1.89 cm fer w; 57497 1 890

!J. 1 = /J. � + !J.; = 5.59 cm

o 1mcyc

1 65

o 1mcyc

1 66

t) Por w1 usando un momento de inercia efectivo

f = 1 62450 (l + 44.35x 53 .87 J + l l 355678 = 52.45 kg / cm2 ti 3658 63 1.06 42852

f = 57 1 4875 = 1 33 .36 k / cm2 I 42852 g

Mcr = l 52 .45 - 37 .42 =0 .887 M0 1 33 .36

le = (0.887) 3 {23084 1 9) +[ 1 -(0.887) 3] {57497 1) = 1 786304 cm4

11 1 = (5) (1 0.03) (2 1 3 5)4 = 5.37 cm

(3 84) (1 5 1 oo.J35o) (1 786304)

g) Resumen de deflexiones inmediatas

11p; = -7. 14 cm

11pe = -5. 18 cm

110 = 4.32 cm

11d = 0.49 cm

111 = 5.59 cm

6. Cálculo de las deflexiones a largo plazo

a) Por Cu = 2 y fuerza de presfuerzo promedio

ó., p = -5.1 8 -( 7.1 4 ;5.1 8) 2 + (1 + 2)(432 + 0.49) + 559

11 1. p. =2.52 cm

cuando no esté actuando la carga viva

b) Por coeficientes

11 1. p. = -3.07 cm

e1 =2.45 ,p e l .o =2.70

e1 .d =3.oo

� = 3 . 95 = 0 . 25 Ap 1 5 . 792

Capítulo 7



Problemas

e = 2.45 +0 .25 = 2.1 6 2 '11 1 +0 .25

e = 2. 10 +0.25 =2 .36 2 '0 1 + 0 .25

e = 3 .00+0 .25 =2 .60 2 'd 1 +0.25

� = -7 .1 4x 2 .I 6+4 .32x 2 .36+0 .49x 2 .6+5 .59 = 1 .64 cm / . p.

sin la carga viva:

� = -3 .95 cm / . p.

t) 1mcyc

Note que para el efecto del flujo plástico por la fuerza de presfuerzo se usa la deflexión inmediata por P; y no un promedio de P; y Pe .

7.1 Para los perfiles de fuerza de pres fuerzo mostrados en la Figura P7 . 1 derive las fórmulas para determinar las deflexiones inmediatas en el centro del claro.

:f:-::;y----zj;:- ji��'iJ¡ 27------�-------1-

Figura P7. l Deflexiones debidas al presfuerzo en el centro del claro

7.2 Para la viga del problema4.2 calcule las deflexiones inmediatas en el centro del claro y la detlexión a largo plazo usando el método aproximado, también en el centro del claro.

7.3 Para el ejemplo desarrol lado en 4.2.5 determine la deflexión producida por el presfuerzo inicial (camber) en el centro del claro. Sugerencia: primero determine el número de cables adheridos (de los cuales obtendrá la fuerza de presfuerzo) que puede tener en tramos de 50 cm empezando del extremo hacia el centro, una vez que tenga esto use Ja carga equivalente del pres fuerzo con viga conjugada para obtener lo requerido.

7.4 Para la viga del problema 4.6 calcule las deflexiones inmediatas al centro del claro y la deflexión a largo plazo, también el centro del claro: a) usando una relación bil ineal momento-detlexión y b) usando un momento de inercia efectivo según la fórmula 7.6. Use la totalidad de la carga viva de 500 kg/m2 (recuerde que el disefto se hace solo para una carga viva de 200 kg/m2).


,�, 1mcyc

BIBLIOGRAFÍA

l . Bate, S . C . C . y Bennet, E. W. , 1 976. Design of Prestressed Concrete, Halsted Wiley.

2. Building Code Reguirements for Structural Concrete (ACI 3 1 8-02) and Commentary (ACI 3 l 8R-02), American Concrete Institute

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13. O'Brien, E. J. & Dixon, A. S. , 1 995, Reinforced and Prestressed Concrete Design, The Complete Process, Longman Scientific & Technical, Essex (England).

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16. Wang, C. y Salmon, C. G. , 1 985 . Reinforced Concrete Design, Harper & Row.


Apéndice A

Tabla A 1 . Relaciones claro/peralte recomendadas

Tipo de viga

Vigas 1 y Vigas simple T

Vigas doble T

Trabes de puente

Losas sólidas en un sentido

Losas huecas en un sentido

Placas planas en dos sentidos

Fuente: A. H. Nilson, 1 987, página 1 6 1

L/h

24-36

30-40

25-30

35-50

40-50 .

40-50

Tabla A2. Información sobre el acero de presfuerzo y duetos para postensado

Tipo Diámetro Area cm2

cm(pulg.)

Cable 7-Hilos 0250 0.64( 1 /4) 0.230

0.80(5/ 1 6) 0.370

0.95(3/8) 0.520

1 . 1 1 (7/ 1 6) 0.700

1 .27( 1 /2) 0.930

1 .52(0.6) 1 .390

Cable 7-Hilos 0270 0.95(3/8) 0.550

1 . 1 1 (7/ 1 6) 0.740

1 .27( 1 /2) 0.990

1 . 52(0.6) 1 .390

Alambre 0.488(0. 1 92) 0. 1 87

0.498(0. 1 96) 0. 1 94

0.635(0.250) 0.320

0.701 (0.276) 0.390 {l )-Camisa metálica inyectada con lechada (2)-Elementos engrasados previamente (no adheridos) (3)-Elementos cubiertos de mastique (no adheridos)

Tipo de dueto(#) K(m'1 )

( ! )-Alambre 0.0033 a 0.0049

( ! )-Vari lla 0.0003 a 0.0020

( 1 )-Cable 7-H 0.00 1 6 a 0.0066

(2)-Alambre 0.0033 a 0.0066

(2)-Cable 7-H 0.0033 a 0.0066

(3)-Alambre 0.001 0 a 0.0066

(3)-Cable 7-H 0.00 1 O a 0.0066

Fuente: Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto (Reglamento de construcciones)


o 1mcyc

µ

0 . 1 5 a 0.25

0.08 a 0.30

0. 1 5 a 0.25

0.05 a 0.'1 5

0.05 a 0. 1 5

0.05 a 0. 1 5

0.05 a 0. 1 5

1 7 1

(1 1mcyc Apéndice A __... _______ . ___ - --- - ·- _L 1

ht

h bw bw/2 · - · - · - · - e:-eñ"froict"e · - · - · - · - · - · - · - ·

ht

Tabla A3. Propiedades para secciones 1 ó cajón simétricas

bJb hr!h A/bh l/bh3 C/h S/bh2 r2/h2

0. 1 0. 1 0.28 0.0449 0.5 ' 0.0899 0. 1 605 0. 1 0.2 0.46 0.067 1 0.5 0. 1 343 0. 1459 0. 1 0.3 0.64 0.0785 0.5 0. 1 5 7 1 0. 1 227 0. 1 0.4 0.82 0.0827 0.5 0. 1 655 0. 1 009

0.2 0. 1 0.36 0.0492 0.5 0.0984 0. 1 367 0.2 0.2 0.52 0.0689 0.5 0. 1 379 0. 1 326 0.2 0.3 0.68 0.079 1 0.5 0. 1 5 8 1 0. 1 1 63 0.2 0.4 0.84 0.0828 0.5 0. 1 656 0.0986

0.3 0. 1 0.44 0.0535 0.5 0. 1 069 0. 1 2 1 5 0.3 0.2 0.58 0.0707 0.5 0. 1 4 1 5 0. 1 220 0.3 0.3 0.72 0.0796 0.5 0. 1 592 0. 1 1 06 0.3 0.4 0.86 0.0829 0.5 0. 1 657 0.0964

0.4 0. 1 0.52 0.0577 0.5 0. 1 1 5 5 0. 1 1 1 0 0.4 0.2 0.64 0.0725 0.5 0. 145 1 0. 1 1 33 0.4 0.3 0.76 0.080 1 0.5 0. 1 603 0. 1 054 0.4 0.4 0.88 0.0829 0.5 0. 1 659 0.0942

0.5 0. 1 0.60 0.0620 0.5 0. 1 240 0. 1 033 0.5 0.2 0.70 0.0743 0.5 0. 1 487 0. 1 062 0.5 0.3 0.80 0.0807 0.5 0. 1 6 1 3 0. 1 008 0.5 0.4 0.90 0.0830 0.5 0. 1 660 0.0922


b

h - · - · - · - · - · - - · - · - - · - · - · - · - · - · - · c:e-riii-c>iCie · - · - · - · - · - - ·

bw

Tabla A4. Propiedades para secciones T

bwfb htlh A/bh l/bh3

0. 1 0. 1 0. 1 9 0.0 1 80 0. 1 0.2 0.28 0.0 1 92 0. 1 0.3 0.37 0.0 1 93 0. 1 0.4 0.46 0.0202

0.2 0. 1 0.28 0.0283 0.2 0.2 0.36 0.03 14

0.2 0.3 0.44 0.03 1 8 0.2 0.4 0.52 0.0320

0.3 0. 1 0.37 0.0366 0.3 0.2 0.44 0.0407 0.3 0.3 0.5 1 0.04 1 7 0.3 0.4 0.58 0.04 1 8

0.4 0. 1 0.46 0.0439 0.4 0.2 0.52 0.0485 0.4 0.3 0.58 0.0499 0.4 0.4 0.64 0.0500

0.5 0. 1 0.55 0.0509 0.5 0.2 0.60 0.0553 0.5 0.3 0.65 0.0569 0.5 0.4 0.70 0.0572


Ci/h C2/h 0.287 0.7 1 3

0.243 0.757 0.245 0.755 0.265 0.735

0.37 1 0.629 0.322 0.678

0.309 0.69 1 0.3 1 5 0.685

0.4 1 5 0.585 0.373 0.627 0.356 0.644 0.355 0.645

0.44 1 0.559

0.408 0.592 0.39 1 0.609 0.388 0.6 1 3

0.459 0.54 1 0.433 0.567 0.4 1 9 0. 58 1 0.4 14 0.5857 1 4

++ bw /2

S,/bh2

0.0628

0.079 1 0.0789 0.076 1

0.0762 0.0975

0. 1 030 0. 1 0 1 5

0.088 1 0. 1 093 0. 1 1 72 0. 1 1 76

0.0996 0. 1 190 0. 1275

0. 1 29 1

0. 1 1 09 0. 1277 0. 1 358 0. 1 380

o 1mcyc

b 1 ! S2/bh2 r2/h2

0.0252 0.0947 0.0254 0.0686 0.0255 0.0522 0.0275 0.0439

0.0450 0. 1 0 1 1 0.0464 0.0873

0.046 1 0.0723 0.0468 0.06 1 6

0.0(25 0.0988 0.0649 0.0926 0.0648 0.08 1 8 0.0648 0.0720

0.0787 0.0955 0.08 1 9 0.0933 0.0820 0.0860 0.08 1 7 0.0782

0.094 1 0.0926 0.0976 0.0922 0.0980 0.0876 · 0.0976 0.08 1 7

1 73

o 1mcyc

1 74

b b

C1

bw

hf1 - · - · - · - - ·r==l-. · - · - ·

� hf2

b2 b2

Tabla AS. Propiedades para secciones 1 asimétricas con: C=l.00

bJb

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2 0.2

0. 1 0. 1

0. 1 0. 1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3 0.3

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2 0.2 0.2

0.3

0.3

0.3 0.3

ho/h

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2 0.3 0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2 0.3 0.4

A/bh

0.2 1 0 0.320

0.430 0.540

0.290 0.380

0.470 0.560

0.220.

0.340

0.460

0.580

0.300

0.400

0.500

0.600

0.380

0.460

0.540 0.620

0.230 0.360

0.490

0.620

0.3 1 0

0.420

0.530 0.640

0.390

0.480 0.570 0.660

0.0260 0.0345

0.0387 0.0407

0.03 1 5

0.0378 0.0403 0.04 1 3

0.0294

0.0408

0.0465 0.0490

0.0346 0.0436

0.0477

0.0494

0.0393

0.046 1

0.0489 0.0497

0.0326 0.0464

0.0534

0.0563

0.0374

0.0488

0.0544 0.0565

0.0420

0.05 1 1

0.0553 0.0567

Ci/h b /b = 0.30

0.350 0.325 0.329

0.344

0.39 1

0.353

0.344 0.350

b lb = 0.40

0.377

0.359

0.363 0.376

0.4 1 0

0.380

0.374

0.380

0.429

0.396

0.383 0.384

b /b = 0.50

0.402 0.389

0.393

0.403

0.427

0.405

0.40 1 0.406

0.442

0.4 1 7

0.408 0.409

C,/h

0.650 0.675

0.67 1

0.656

0.609 0.647

0.656 0.650

0.623

0.64 1

0.637 0.624

0.590

0.620

0.626

0.620

0.57 1

0.604

0.6 1 7 0.6 1 6

0.598 0.6 1 1

0.607

0.597

0.573

0.595 0.599

0.594

0.558

0.583 0.592 0.59 1

S1/bh2

0.0742 0. 1 06 1 0. 1 1 75

0. 1 1 83

0.0806

0. 1 072 0. 1 1 72 0. 1 1 79

0.0780

0. 1 1 36 0. 1 28 1 0. 1 304

0.0843

0. 1 1 47

0. 1 276

0. 1 299

0.09 1 7

0. 1 1 66

0. 1274 0. 1 295

0.08 1 0 0. 1 1 92

0. 1 359

0. 1 395

0.0875

0. 1205

0. 1 356 0. 1 39 1

0.0950

0. 1 226

0. 1 355 0. 1 3 87

h

ht1 =ht C=ht2 / ht1 ht2=C ht

S,/bh2

0.0400 0.05 1 1

0.0576

0.062 1

0.05 1 8

0.0584 0.06 1 4 0.0635

0.0472

0.0636

0.0730

0.0785

0.0586

0.0703

0.0762

0.0796

0.0689

0.0763

0.0792 0.0807

0.0545 0.0759

0.0880

0.0943

0.0653 0.0820

0.0908 0.0952

0.0753

0.0875 0.0933 0.0960

0. 1 237 0. 1 077

0.0899

0.0754

0. 1 088 0.0995

0.0857 0.0737

0. 1 337

0. 1 1 99

0. 1 0 1 1

0.0845

0. 1 1 52

0. 1 089

0.0955

0.0823

0. 1 035

0. 1 003

0.0905 0.0802

0. 1 4 1 6 0. 1 288

0. 1 090

0.0907

0. 1 206

0. 1 1 62

0. 1 026 0.0883

0. 1 077

0. 1 064 0.0970 0.0860

Apéndice A


o 1mcyc

Tabla AS. Continuación

bw/b ha/h A/bh Idbh3 Crlh C,/h Srlbh2 S,/bh2 r2th2 b /b = 0.60

0. 1 0. 1 0.240 0.0355 0.425 0.575 0.0834 0.06 1 7 0. 1 477 0. 1 0.2 0.380 0.05 14 0.4 1 6 0.584 0. 1236 0.0879 0. 1 352 0. 1 0.3 0.520 0.0595 0.4 1 9 0.58 1 0. 1420 0. 1025 0. 1 145 0. 1 0.4 0.660 0.0627 0.427 0.573 0. 1468 0. 1 095 0.0950

0.2 0. 1 0.320 0.0401 0.444 0.556 0.0903 0.0720 0. 1 252 0.2 0.2 0.440 0.0535 0.427 0.573 0. 1253 0.0935 0. 1 2 1 7 0.2 0.3 0.560 0.0603 0.425 0.575 0. 1 4 1 9 0. 1049 0. 1077 0.2 0.4 0.680 0.0629 0.429 0.571 0. 1464 0. 1 1 02 0.0925

0.3 0. 1 0.400 0.0445 0.455 0.545 0.0979 0.08 1 7 0. 1 1 1 3 0.3 0.2 0.500 0.0556 0.436 0.564 0. 1276 0.0986 0. 1 1 12 0.3 0.3 0.600 0.061 1 0.430 0.570 0. 1 420 0. 107 1 0. 1 0 1 8 0.3 0.4 0.700 0.0630 0.43 1 0.569 0 . 146 1 0 . 1 1 09 0.0901

b lb = 0.70 0. 1 0. 1 0.250 0.0381 0.446 0.554 0.0854 0.0688 0. 1 524 0. 1 0.2 0.400 0.0559 0.440 0.560 0. 1 270 0.0998 0. 1 397 0. 1 0.3 0.550 0.0650 0.443 0.557 0. 1469 0. 1 1 67 0. 1 1 82 0. 1 0.4 0.700 0.0685 0.449 0.5 5 1 0. 1 527 0. 1242 0.0978

0.2 0. 1 0.330 0.0425 0.459 0.541 0.0927 0.0787 0. 1 289 0.2 0.2 0.460 0.0579 0.448 0.552 0. 1 292 0. 1 048 0. 1258 0.2 0.3 0.590 0.0657 0.447 0.553 0. 1 47 1 0. 1 1 87 0. 1 1 1 3 0.2 0.4 0.720 0.0686 0.450 0.550 0. 1 524 0. 1247 0.0953

0.3 0. 1 0.4 10 0.0469 0.467 0.533 0. 1 005 0.0880 0. 1 1 44 0.3 0.2 0. 520 0.0598 0.454 0.546 0. 1 3 1 8 0. 1 095 0. 1 1 50 0.3 0.3 0.630 0.0663 0.450 0.550 0. 1474 0. 1206 0. 1 053 0.3 0.4 0.740 0.0687 0.45 1 0.549 0. 1 522 0. 1�2 0.0929


('; 1mcyc

1 76

b b

C1

C2 bw

hf1

- · - · - · - · - - ·� · - · · - · - ·

� hf2

b2 b2

Tabla A6. Propiedades para secciones 1 asimétricas con: C=l.20

bwfb ho/h A/bh l,/bh3 Ci/h C,/h Si/bh2

0. 1

0. 1 0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2

0.2

0. 1

0. 1

0. 1 0. 1

0.2 0.2 0.2

0.2

0.3

0.3

0.3 0.3

0. 1

0. 1

0. 1

0. 1

0.2 0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3 0.3

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0. 1

0.2

0.3 0.4

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3 0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0.2 14

0.328 0.442

0.556

0.2921

0.384

0.476

0.568

0.226

0.352

0.478 0.604

0.304

0.408

0.5 1 2

0.6 1 6

0.382

0.464

0.546 0.628

0.238

0.376

0.5 1 4

0.652

0.3 1 6 0.432

0.548

0.664

0.394

0.488

0.582 0.676

0.027 1 0.0361 0.0400

0.04 1 5

0.0320

0.0385

0.0409

0.04 1 6

0.03 10

0.0428

0.048 1 0.0498

0.0355 0.0448

0.0488

0.0499

0.0398

0.0467 0.0493 0.0500

0.0344

0.0487

0.0552

0.0570

0.0387 0.0504

0.0556

0.0571

0.0428

0.0521

0.0561 0.057 1

b /b = 0.30

0.360

0.336 0.338

0.35 1

0.395

0.357

0.348

0.353 b /b = 0.40

0.391

0.373

0.375 0.383

0.4 1 6 0.388

0.38 1

0.385

0.43 1

0.399

0.386 0.386

b lb = 0.50

0.4 1 9

0.406

0.406 0.4 1 1

0.436 0.4 1 5

0.4 1 0

0.4 12

0.447

0.423

0.4 1 3 0.4 1 3

0.640

0.664 0.662

0.649

0.605

0.643

0.652

0.647

0.609

0.627

0.625 0.6 1 7

0.584 0.6 12

0.6 1 9

0.6 1 5

0.569

0.601 0.6 14 0.6 14

0.58 1

0.594

0.594

0.589

0.564 0.585

0.590

0.588

0.553

0.577

0.587 0.587

0.0753

0. 1 074 0. 1 1 83

0. 1 1 82

0.08 1 2

0. 1 079

0. 1 1 76

0. 1 1 79

0.0792

0. 1 1 47

0. 1 285 0. 1 299

0.0852 0. 1 1 56

0. 1 280

0. 1297

0.0922

0. 1 1 7 1

0. 1277 0. 1 294

0.0822

0. 1 201

0. 1 360

0. 1 388

0.0886 0. 1 2 1 5

0. 1 358

0. 1 386

0.0958

0. 1233

0. 1 357 0. 1384

h

hf1 =hf C=ht2 / hf1 ht2=Cht

0.0424

0.0544 0.0605

0.0639

0.0529

0.0599

0.0627

0.0643

0.0508

0.0683

0.0770 0.0807

0.0608 0.0732

0.0788

0.08 1 1

0.0699

0.0777

0.0804 0.08 14

0.0592

0.08 1 9

0.0929 0.0968

0.0686 0.0862

0.0943

0.0970

0.0774

0.0902

0.0956 0.0972

0. 1 267

0. 1 1 00

0.0906

0.0746

0. 1 097

0. 1 004

0.0859

0.0733

0 . 1 370

0. 1 2 1 6 0. 1 007 0.0824

0. 1 1 67 0.1099

0.0952

0.08 10

0. 1 04 1

0 . 1 007

0.0904 0.0795

0. 1 446

0. 1 295

0. 1 073

0.0875

0. 1 223 0 . 1 1 67

0. 1 0 1 5

0.0859

0. 1 086

0. 1 068

0.0963 0.0845

Apéndice A


1

Q 1mcyc

Tabla A6. Continuación

bJb hn/h A/bh l/bh3 Ci/h C,/h Si/bh2 S2/bh2 r2/h2 b lb = 0.60

0. 1 0. 1 0.250 0.0375 0.444 0.556 0.0846 0.0674 0. 1 501 0. 1 0.2 0.400 0.0539 0.434 0. 566 0. 1 242 0.0952 0. 1347 0.1 0.3 0.550 0.06 13 0.433 0.567 0. 1 4 1 7 0. 1 082 0 . 1 1 1 5 0. 1 0.4 0.700 0.0634 0.435 0.565 0. 1 458 0. 1 122 0.0906

0.2 0 . 1 0.328 0.04 1 6 0.455 0. 545 0.09 1 5 0.0763 0. 1269 0.2 0.2 0.456 0.0555 0.440 0.560 0. 1262 0.0990 0. 1 2 1 6 0.2 0.3 0.584 0.06 1 7 0.435 0.565 0. 1 4 1 8 0. 1 092 0. 1 057 0.2 0.4 0.7 1 2 0.0634 0.435 0.565 0. 1457 0. 1 123 0.089 1

0.3 0. 1 0.406 0.0456 0.461 0.539 0.0989 0.0847 0. 1 124 0.3 0.2 0.5 1 2 0.0570 0.444 0.556 0. 1284 0. 1025 0. 1 1 1 3 0.3 0.3 0.6 1 8 0.062 1 0.437 0.563 0. 1 420 0. 1 103 0. 1004 0.3 0.4 0.724 0.0634 0.436 0.564 0. 1 456 0. 1 1 24 0.0876

b /b = 0.70 0. 1 0. 1 0.262 0.0404 0.466 0.534 0.0866 0.0756 0. 1 54 1 0. 1 0.2 0.424 0.0585 0.459 0.54 1 0. 1 274 0. 1 082 0. 1 380 0. 1 0.3 0.586 0.0668 0.457 0.543 0. 1 462 0. 1229 0. 1 140 0. 1 0.4 0.748 0.069 1 0.456 0.544 0. 1 5 16 0. 1269 0.0923

0.2 0. 1 0.340 0.0444 0.472 0.528 0.0940 0.0840 0. 1 304 0.2 0.2 0.480 0.0600 0.462 0.538 0. 1 300 0. 1 1 1 5 0. 1250 0.2 0.3 0.620 0.0671 0.457 0.543 0. 1 467 0. 1237 0. 1 083 0.2 0.4 0.760 0.069 1 0.456 0.544 0. 1 5 1 6 0. 1 269 0.0909

0.3 0 . 1 0.4 1 8 0.0483 0.475 0.525 0. 1 0 1 7 0.092 1 0. 1 1 56 0.3 0.2 0.536 0.06 1 5 0.464 0.536 0. 1 326 0. 1 146 0. 1 147 0.3 0.3 0.654 0.0675 0.458 0.542 0. 1472 0. 1245 0. 103 1 0.3 0.4 0.772 0.069 1 0.456 0.544 0. 1 5 1 6 0. 1 270 0.0895


\1 1mcyc

1 78

b b

C1

C2 bw

hf1

- · - · - · - · - - ·r==l · - · · - · - ·

� hf2

b2 b2

Tabla A 7. Propiedades para secciones 1 asimétricas con : C=l.40

bJb

0. 1 0. 1

0. 1 0. 1

0.2 0.2 0.2 0.2

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3 0.3 0.3

0.3

0. 1 0. 1 0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2 0.2

0.3 0.3 0.3

0.3

ha/h

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2

0.3 0.4

0. 1 0.2 0.3

0.4

0. 1 0.2 0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3 0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

A/bh

0.2 1 8 0.336 0.454

0. 572

0.294 0.388 0.482 0.576

0.232 0.364

0.496 0.628

0.308

0.4 1 6

0.524

0.632

0.384 0.468 0.552 0.636

0.246 0.392 0.538

0.684

0.322

0.444

0.566 0.688

0.398 0.496 0.594

0.692

0.028 1 0.0374

0.0409

0.04 1 7

0.0325 0.0391 0.04 1 3 0.04 1 8

0.0323 0.0444

0.049 1

0.0500

0.0363

0.0458 0.0494

0.0500

0.0402

0.0472 0.0496

0.0500

0.0360 0.0504 0.056 1

0.0572

0.0398 0.05 1 7

0.0563 0.0572

0.0435 0.0529 0.0565 0.0572

Ci/h b /b = 0.30

0.369 0.346

0.346

0.354

0.398 0.36 1 0.35 1 0.355

b /b = 0.40 0.403 0.385 0.383

0.387

0.422

0.395 0.386 0.387

0.434 0.402 0.389 0.387

b /b = 0.50

0.433 0.4 1 9 0.4 1 5

0.4 1 4

0.444 0.424

0.4 1 6 0.4 1 4

0.45 1 0.428 0.4 1 7

0.4 1 4

C,/h

0.63 1 0.6'54

0.654

0.646

0.602 0.639 0.649 0.645

0.597 0.6 1 5

0.6 1 7

0.6 1 3

0.578

0.605 0.6 1 4

0.6 1 3

0.566 0.598 0.6 1 1 0.6 1 3

0.567 0.58 1 0.585

0.586

0.556

0.576 0.584 0.586

0.549

0.572 0.583 0.586

S1/bh2

0.0762 0. 1 08 1 0. 1 1 84

0. 1 1 78

0.08 1 6 0. 1 084 0. 1 1 77 0. 1 1 77

0.080 1 0. 1 1 52 0. 1 282

0. 1 293

0.0860

0. 1 1 6 1 0. 1 279 0. 1 292

0.0926 0. 1 1 74 0. 1 276 0. 1 292

0.083 1 0. 1 203 0. 1 353

0. 1 3 8 1

0.0895

0. 1 2 1 9 0. 1 354 0. 1 38 1

0.0964 0. 1 237 0. 1 355 0. 1 3 8 1

h

ht1 =hf C=ht2 / ht1 ht2=Cht

0.0446 0.057 1

0.0625

0.0646

0.0540 0.06 1 2 0.0637 0.0647

0.054 1 0.0722

0.0796

0.08 1 6

0.0628

0.0757 0.0804

0.08 1 6

0.0709

0.0789 0.08 1 2 0.08 1 7

0.0635 0.0868 0.0959

0.0976

0.07 1 6

0.0897 0.0965 0.0976

0.0793 0.0924 0.0970 0.0976

0. 1 29 1 0 . 1 1 1 2 0.090 1

0.0730

0. 1 1 05 0. 1 008 0.0857 0.0725

0. 1 392 0. 1 2 1 9 0.0990

0.0796

0. 1 1 78

0. 1 1 0 1

0.0942

0.0792

0. 1 046 0. 1 008 0.0899 0.0787

0. 1 463 0. 1 286 0. 1 043

0.0836

0. 1 235

0. 1 1 64 0.0995 0.083 1

0. 1 093 0. 1 067 0.0952 0.0826

Apéndice A


() 1mcyc

Tabla A 7. Continuación

bJb ho/h AJbh 1Jbh3 C,/h C,/h S,/bh2 S2/bh2 r2/h2

b /b = 0.60 0. 1 0. 1 0.260 0.0393 0.460 0.540 0.0854 0.0727 0. 1 5 1 1 0. 1 0.2 0.420 0.0557 0.449 0.5 5 1 0. 1241 0. 1 0 10 0. 1 326 0. 1 0.3 0.580 0.0622 0.442 0.558 0. 1408 0. 1 1 1 5 0. 1 073 0. 1 0.4 0.740 0.0635 0.437 0.563 0. 1452 0. 1 128 0.0858

0.2 0. 1 0.336 0.0430 0.465 0.535 0.0925 0.0802 0. 1 278

0.2 0.2 0.472 0.0569 0.450 0.550 0. 1 264 0. 1033 0. 1205 0.2 0.3 0.608 0.0624 0.442 0.558 0. 1 4 12 0. 1 1 1 9 0. 1 027 0.2 0.4 0.744 0.0635 0.437 0.563 0. 1452 0. 1 1 28 0.0853

0.3 0. 1 0.4 1 2 0.0466 0.467 0.533 0.0998 0.0875 0 . 1 1 32 0.3 0.2 0.524 0.0580 0.45 1 0.549 0. 1287 0. 1057 0. 1 108

0.3 0.3 0.636 0.0626 0.442 0.558 0. 1 4 1 7 0. 1 1 22 0.0984

0.3 0.4 0.748 0.0635 0.437 0.563 0. 1453 0. 1 128 0.0849 b /b = 0.70

0. 1 0. 1 0.274 0.0422 0.484 0.5 1 6 0.0873 0.08 1 8 0. 1 541

0. 1 0.2 0.448 0.0603 0.474 0.526 0. 1272 0. 1 1 47 0. 1346

0. 1 0.3 0.622 0.0676 0.466 0.534 0. 1 452 0. 1265 0. 1 087 0. 1 0.4 0.796 0.069 1 0.457 0.543 0. 1 5 12 0. 1273 0.0868

0.2 0. 1 0.350 0.0459 0.483 0.5 1 7 0.0950 0.0888 0. 1 3 1 1

0.2 0.2 0.500 0.06 1 5 0.473 0.527 0. 1 301 0 . 1 1 66 0 . 1230

0.2 0.3 0.650 0.0678 0.464 0.536 0. 1460 0. 1266 0. 1 043

0.2 0.4 0.800 0.0691 0.457 0.543 0. 1 5 1 3 0. 1 273 0.0864

0.3 0. 1 0.426 0.0495 0.483 0.5 1 7 0. 1027 0.0958 0. 1 163

0.3 0.2 0.552 0.0627 0.472 0.528 0. 1 329 0. 1 1 86 0 . 1 135

0.3 0.3 0.678 0.0680 0.463 0.537 0. 1467 0. 1267 0. 1 003

0.3 0.4 0.804 0.069 1 0.457 0.543 0. 1 5 1 3 0. 1273 0.0860


o 1mcyc

1 80

b

C1

C2 bw

b2

hf1

hf2

b

- - - - - -f�;2j- --h

b2

Tabla AS. Propiedades para secciones 1 asimétricas con: C=l.60

bwlb ha/h A/bh L/bh3 C,/h C,/h S i/bh2

0. 1 0. 1 0. 1 0. 1

0.2 0.2 0.2 0.2

0. 1 0. 1 0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2 0.2 '

0.3 0.3 0.3 0.3

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2 0.2

0.3 0.3 0.3 0.3

0. 1 0.2 0.3 0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0. 1 0.2

0.3 0.4

0. 1

0.2

0.3 0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0. 1

0.2

0.3 0.4

0. 1 0.2 0.3 0.4

0.222 0.344 0.466 0.588

0.296 0.392 0.488 0.584

0.238 0.376 0.5 1 4

0.652

0.3 1 2 0.424 0.536 0.648

0.386 0.472 0.558 0.644

0.254 0.408

0.562

0.7 1 6

0.328

0.456 0.584 0.7 1 2

0.402 0.504 0.606 0.708

0.0290 0.0383 0.04 14 0.04 1 8

0.0329 0.0396 0.04 1 6 0.04 1 8

0.0335 0.0455 0.0496

0.0500

0.0370 0.0465 0.0497

0.0500

0.0405 0.0475 0.0498 0.0500

0.0373 0.05 1 6

0.0566

0.0572

0.0407

0.0526 0.0567 0.0572

0.044 1 0.0535 0.0567 0.0572

b /b = 0.30

0.378 0.354 0.35 1 0.356

0.401 0.364 0.353 0.355

b /b = 0.40

0.4 1 5 0.395 0.389

0.387

0.428 0.400 0.390 0.387

0.436 0.404 0.39 1 0.387

b /b = 0.50 0.446 0.430 0.42 1

0.4 1 4

0.452

0.43 1 0.420 0.4 1 4

0.455 0.432 0.420 0.4 1 4

0.622 0.646 0.649 0.644

0.599 0.636 0.647 0.645

0.585 0.605 0.6 1 1

0.6 1 3

0.572 0.600 0.6 1 0

0.6 1 3

0.564 0.596 0.609 0.6 1 3

0.554 0.570

0.579

0.586

0.548

0.569 0.580 0.586

0.545 0.568 0.580

0.586

0.0768 0. 1 083 0. 1 1 80 0. 1 1 75

0.0820 0. 1 086 0. 1 1 76 0. 1 1 76

0.0807 0. 1 1 52

0. 1275 0. 1 292

0.0865 0. 1 1 62

0. 1 275 0. 1 292

0.0929 0. 1 1 75 0. 1 275 0. 1 29 1

0.0836 0. 1200 0. 1 345

0. 1 384

0.0902

0. 1 2 1 9

0. 1 348 0. 1 383

0.0970 0. 1238 0. 1 35 1 0. 1 382

ht1 =hf C=ht2 / ht1 ht2=Cht

S,/bh2

0.0467 0.0593 0.0638 0.0648

0.0549 0.0623 0.0643 0.0648

0.0572 0.0753 0.08 1 2 0.08 1 7

0.0647 0.0776 0.08 1 4 0.08 1 7

0.07 1 8 0.0798 0.08 1 7 0.08 1 7

0.0674 0.0906 0.0976

0.0975

0.0743

0.0924 0.0977 0.0976

0.08 1 0 0.0942 0.0978

0.0976

0. 1 308 0. 1 1 1 5 0.0888

0.07 1 0

0. 1 1 1 1 0. 1 0 1 0 0.085 1 0.07 1 5

0. 1 406 0. 1 2 1 1

0.0965

0.0767

0. 1 1 86 0. 1 098 0.0927 0.0772

0. 1 049 0. 1 007 0.0892 0.0777

0 . 1 470 0. 1266

0. 1 006

0.0799

0. 1 242

0. 1 1 53 0.0970 0.0803

0. 1 098 0. 1 06 1 0.0936 0.0808

Apéndice A

Concreto Presforzado ·

o 1mcyc

Tabla AS. Continuación

bwlb ho/h Acfbh ldbh3 C1/h C,/h Si/bh2 S2/bh2 r2/h2

b lb = 0.60 0. 1 0. 1 0.270 0.0407 0.474 0.526 0.0859 0.0775 0 . 1 509 0. 1 0.2 0.440 0.0569 0.460 0.540 0. 1237 0. 1 054 0. 1 293 0. 1 0.3 0.61 0 0.0626 0.447 0.553 0. 1 399 0. 1 1 32 0. 1 026 0. 1 0.4 0.780 0.0636 0.435 0.565 0. 1 460 0. 1 1 26 0.08 1 5

0.2 0. 1 0.344 0.044 1 0.473 0.527 0.0932 0.0838 0. 1282 0.2 0.2 0.488 0.0578 0.458 0.542 0. 1263 0. 1067 0. 1 1 85 0.2 0.3 0.632 0.0627 0.446 0.554 0. 1 405 0. 1 1 32 0.0992 0.2 0.4 0.776 0.0636 0.436 0.564 0. 1 459 0. 1 1 26 0.08 1 9

0.3 0. 1 0.4 1 8 0.0475 0.473 0.527 0. 1 004 0.090 1 0. 1 1 36 0.3 0.2 0.536 0.0588 0.456 0.544 0. 1 288 0. 1 08 1 0. 1 096 0.3 0.3 0.654 0.0628 0.445 0.555 0. 1 4 1 2 0. 1 1 3 1 0.0960 0.3 0.4 0.772 0.0635 0.436 0.564 0. 1 458 0. 1 1 27 0.0823

b /b = 0.70 0. 1 0. 1 0.286 0.0438 0.499 0.501 0.0877 0.0874 0. 1 53 1 0. 1 0.2 0.472 0.06 1 5 0.486 0.5 1 4 0. 1 265 0. 1 1 95 0. 1 302 0. 1 0.3 0.658 0.0678 0.470 0.530 0. 1 443 0. 1 28 1 0. 1 03 1 0. 1 0.4 0.844 0.0693 0.454 0.546 0. 1 526 0. 1269 0.0821

0.2 0. 1 0.360 0.0472 0.493 0.507 0.0957 0.0932 0. 1 3 1 1 0.2 0.2 0.520 0.0625 0.482 0.5 1 8 0. 1298 0. 1205 0. 1 202 0.2 0.3 0.680 0.0680 0.468 0.532 0. 1 453 0. 1279 0. 1000 0.2 0.4 0.840 0.0693 0.454 0.546 0. 1 525 0. 1269 0.0825

0.3 0. 1 0.434 0.0506 0.489 0.5 1 1 0. 1 034 0.099 1 0. 1 1 66 0.3 0.2 0.568 0.0635 0.478 0.522 0. 1 328 0. 1 2 1 6 0. 1 1 1 8 0.3 0.3 0.702 0.0682 0.466 0.534 0. 1 462 0. 1278 0.097 1 0.3 0.4 0.836 0.0692 0.455 0.545 0. 1 523 O. l :JJO 0.0828


o 1mcyc

1 82

b b

C2 bw

hf1

- · - · - · - · - - ·r-==l · - · · - · - ·

� hf2

b2 b2

Tabla A9. Propiedades para secciones I asimétricas con: C=l.80

b,Jb ha/h A/bh t/bh3 C,/h C2/h Si/bh2

0. 1 0 . 1

0. 1

0. 1

0.2 0.2

0.2 0.2

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3 0.3

0.3

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2 0.2

0.3

0.3

0.3

0.3

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2

0.3 0.4

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3 0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0.226 0.352

0.478

0.604

0.298 0.396

0.494 0.592

0.244 0.388

0.532

0.676

0.3 1 6

0.432

0.548

0.664

0.388

0.476 0.564

0.652

0.262 0.424

0.586

0.748

0.334

0.468

0.602 0.736

0.406

0.5 1 2

0.61 8

0.724

0.0299 0.039 1

0.04 1 6

0.04 1 8

0.0333 0.0399

0.04 1 7 0.04 1 8

0.0345 0.0463 0.0498

0.0502

0.0377

0.0471

0.0498

0.0501

0.0408

0.0478

0.0499 0.0501

0.0385 0.0524

0.0567

0.0575

0.04 1 6

0.0532

0.0567 0.0574

0.0447

0.0539

0.0568

0.0573

b lb = 0.30

0.386 0.361

0.354

0.355

0.404

0.367

0.355 0.355

b /b = 0.40

0.425 0.404

0.392

0.385

0.433

0.405

0.392

0.386

0.438

0.407 0.392 0.387

b /b = 0.50

0.458

0.439

0.424

0.4 1 0

0.459

0.437 0.422 0.4 1 1

0.459

0.436

0.42 1

0.4 12

0.6 1 4 0.639

0.646

0.645

0.596 0.633

0.645 0.645

0.575 0.596

0.608

0.6 1 5

0.567

0.595

0.608

0.6 1 4

0.562

0.593 0.608

0.6 13

0.542 0.56 1

0.576

0.590

0.54 1

0.563

0.578 0.589

0.54 1

0.564

0.579

0.588

0.0773 0. 1083

0. 1 1 75

0. 1 1 79

0.0823 0. 1 086 0. 1 1 73 0. 1 1 77

0.08 1 2 0. 1 1 49

0. 1269

0. 1 303

0.0870

0. 1 1 62

0. 1271

0. 1299

0.0932

0. 1 1 75

0. 1273 0. 1295

0.0840

0. 1 1 95

0. 1338

0. 1 404

0.0907

0. 1 2 1 7

0. 1 344 0. 1 398

0.0974

0. 1237

0. 1 348

0. 1 393

h

ht1 =hf C=ht2 / ht1 ht2=Chf

S2/bh2

0.0486 0.06 1 1

0.0645

0.0648

0.0558 0.063 1

0.0646 0.0648

0.0599 0.0777

0.08 1 9

0.08 1 5

0.0664

0.079 1

0.08 1 9

0.08 1 6

0.0726

0.0805

0.0820 0.08 1 6

0.07 1 0 0.0935

0.0983

0.0974

0.0768

0.0945 0.0982 0.0974

0.0826

0.0955

0.0982

0.0975

0. 1 32 1 0. 1 1 1 0

0.0871

0.0692

0. 1 1 1 6 0. 1 008

0.0843 0.0706

0. 1 4 1 3 0. 1 1 94

0.0936 0.0742

0. 1 1 92

0. 1 090

0.0909

0.0755

0. 1 052 0. 1 004 0.0884

0.0768

0. 1 468 0. 1 237

0.0967

0.0769

0. 1 245

0. 1 1 36

0.0943 0.0780

0. 1 1 0 1

0. 1 053

0.09 19 0.0792

Apéndice A


o 1mcyc

Tabla A9. Continuación

bJb ha/h A/bh ldbh3 Ci/h C,/h S i/bh2 S2/bh2 r2/h2

b /b = 0.60

0. 1 0. 1 0.280 0.0420 0.487 0.5 13 0.086 1 0.08 1 8 0. 1 499

0. 1 0.2 0.460 0.0577 0.469 0.53 1 0. 1 230 0. 1 085 0. 1 253

0. 1 0.3 0.640 0.0626 0.449 0.55 1 0. 1 394 0. 1 1 38 0.0979

0. 1 0.4 0.820 0.064 1 0.430 0.570 0. 1 49 1 0. 1 1 24 0.0782

0.2 0. 1 0.352 0.045 1 0.482 0.5 1 8 0.0937 0.0870 0. 1 282

0.2 0.2 0.504 0.0585 0.464 0.536 0. 1259 0. 1092 0. 1 1 60

0.2 0.3 0.656 0.0627 0.448 0.552 0. 1 402 0. 1 1 36 0.0956

0.2 0.4 0.808 0.0640 0.43 1 0.569 0. 1 484 0. 1 1 25 0.0792

0.3 0. 1 0.424 0.0482 0.478 0.522 0. 1 0 1 0 0.0924 0. 1 138 0.3 0.2 0.548 0.0593 0.46 1 0.539 0. 1 286 0. 1 099 0. 1 08 1

0.3 0.3 0.672 0.0629 0.446 0.554 0. 1409 0. 1 1 35 0.0935 0.3 0.4 0.796 0.0639 0.432 0.568 0. 1 477 0. 1 1 25 0.0802

b /b = 0.70

0. 1 0. 1 0.298 0.0450 0.5 1 3 0.487 0.0878 0.0924 0. 1 5 1 1 0. 1 0.2 0.496 0.0622 0.494 0.506 0. 1258 0. 1229 0. 1 253 0 . 1 0.3 0.694 0.0679 0.47 1 0.529 0. 1 440 0. 1284 0.0978 0. 1 0.4 0.892 0.070 1 0.447 0.553 0. 1 570 0. 1268 0.0786

0.2 0. 1 0.370 0.0483 0.502 0.498 0.096 1 0.097 1 0. 1 305 0.2 0.2 0.540 0.063 1 0.488 0.5 12 0. 1293 0. 1233 0. 1 1 69 0.2 0.3 0.7 1 0 0.0680 0.469 0.53 1 0. 1 450 0. 1282 0.0958 0.2 0.4 0.880 0.0700 0.448 0.552 0. 1 56 1 0. 1 268 0.0795

0.3 0. 1 0.442 0.05 1 5 0.496 0.504 0. 1 040 0. 1 02 1 0. 1 1 66 0.3 0.2 0.584 0.0640 0.483 0.5 1 7 0. 1 325 0. 1 238 0. 1096 0.3 0.3 0.726 0.0682 0.467 0.533 0. 1 460 0. 1280 0.0939 0.3 0.4 0.868 0.698 0.450 0.550 0. 1 553 0. 1269 0.0804


o 1mcyc

1 84

b

C2 bw

b2

hf1

hf2

b

- - - - - -E·� ;2J- - -h

b2

Tabla Ato. Propiedades para secciones 1 asimétricas con : C=2.00

bJb ha/h Acfbh L/bh3 C¡/h C,/h Si!bh2

0. 1 0. 1 0. 1

0. 1

0.2 0.2

0.2 0.2

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2 0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.3

0. 1 0. 1

0. 1

0. 1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.3

0. 1 0.2

0.3 0.4

0. 1

0.2

0.3 0.4

O. l 0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1 0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0. 1

0.2

0.3

0.4

0.230

0.360 0.490

0.620

0.300 0.400 0.500 0.600

0.250 0.40b 0.550

0.700

0.320

0.440

0.560

0.680

0.390

0.480 0.570 0.660

0.270 0.440

0.6 1 0

0.780

0.340

0.480

0.620

0.760

0.4 1 0

0.520

0.630

0.740

0.0306 0.0396 0.04 1 7

0.0420

0.0336 0.0402

0.04 1 7 0.04 1 9

0.0353 0.0469

0.0498

0.0507

0.0382

0.0474 0.0498

0.0505

0.04 1 1

0.0480

0.0499

0.0502

0.0394 0.0530

0.0567

0.0584

0.0423

0.0536

0.0568

0.058 1

0.0452

0.0542

0.0568

0.0578

b lb = 0.30

0.393 0.367 0.356

0.352

0.407 0.370

0.356 0.353

b /b = 0.40

0.434 0.4 1 0

0.394

0.380

0.438

0.409

0.393

0.382

0.440 0.408

0.392

0.385

b /b = 0.50

0.469 0.445

0.424

0.403

0.465

0.442

0.423

0.405

0.462

0.438

0.42 1

0.408

0.607 0.633

0.644 0.648

0.593 0.630 0.644 0.647

0.566 0.590

0.606

0.620

0.563 0.59 1

0.607

0.6 1 8

0.560

0.592 0.608

0.6 1 5

0.53 1 0.555

0.576

0.597

0.535

0.558

0.577

0.595

0.538

0.562

0.579

0.592

0.0777 0. 1 080

0. 1 1 7 1

0. 1 1 95

0.0826 0. 1 086

0. 1 1 7 1 0. 1 1 86

0.08 1 4 0. 1 1 44

0. 1 265

0. 1 333

0.0874

0. 1 1 59

0. 1 269

0. 1 320

0.0934 0. 1 1 75

0. 1272

0. 1 306

0.0842 0. 1 1 89

0. 1 338

0. 145 1

0.09 1 0

0. 1 2 1 3

0. 1343 0. 1434

0.0978

0. 1235

0. 1 348

0. 1 4 1 7

ht1 =ht C=ht2 / ht1 ht2=Cht

0.0504 0.0625

0.0647

0.0648

0.0566 0.0638 0.0647 0.0648

0.0624 0.0795

0.082 1

0.08 1 7

0.0679

0.0803 0.082 1

0.08 1 7

0.0733

0.08 1 1 0.0820

0.08 1 7

0.0742 0.0955

0.0984

0.0977

0.0790

0.0959

0.0983

0.0977

0.0840

0.0965

0.0982

0.0977

0. 1 329 0. 1 1 00

0.085 1

0.0678

0. 1 1 20 0. 1 004

0.0834 0.0698

0. 1 4 1 4 0. 1 1 72

0.0906

0.0724

0. 1 1 94

0. 1 078

0.0890

0.0742

0. 1 053

0.0999

0.0875

0.076 1

0. 1 460 0. 1 204

0.0929

0.0749

0. 1244

0. 1 1 1 6

0.09 1 5

0.0765

0. 1 102

0. 1 042

0.0902

0.078 1

Apéndice A


�"' 1mcyc

Tabla AlO. Continuación

bJb ha/h A/bh l/bh3 C,/h C2/h Si!bh2 S2/bh2 r2/h2 b /b = 0.60

0. 1 0. 1 0.290 0.0430 0.498 0.502 0.0862 0.0856 0. 1482 0. 1 0.2 0.480 0.058 1 0.475 0.525 0. 1223 0. 1 1 07 0. 1 2 1 0 0. 1 0.3 0.670 0.0627 0.449 0.5 5 1 0. 1 397 0. 1 1 36 0.0935 0. 1 0.4 0.860 0.0655 0.42 1 0.579 0. 1 556 0. 1 1 3 1 0.0762

0.2 0. 1 0.360 0.0460 0.489 0.5 1 1 0.0940 0.0899 0. 1277 0.2 0.2 0.520 0.0588 0.469 0.53 1 0. 1254 0. 1 1 09 0. 1 132 0.2 0.3 0.680 0.0628 0.447 0.553 0. 1 404 0. 1 1 35 0.0923 0.2 0.4 0.840 0.065 1 0.424 0.576 0. 1 537 0. 1 1 30 0.0775

0.3 0. 1 0.430 0.0489 0.483 0.5 1 7 0. 1 0 1 3 0.0945 0. 1 1 37 0.3 0.2 0.560 0.0596 0.464 0.536 0. 1283 0. 1 1 12 0. 1 063 0.3 0.3 0.690 0.0629 0.446 0.554 0. 1 4 1 1 0. 1 1 34 0.091 1 0.3 0.4 0. 820 0.0647 0.427 0.573 0. 1 5 1 7 0. 1 1 30 0.0790

b /b = 0.70 0. 1 0. 1 0.3 1 0 0.0461 0.524 0.476 0.0879 0.0968 0. 1 486 0. 1 0.2 0.520 0.0625 0.500 0.500 0. 125 1 0. 125 1 0. 1203 0. 1 0.3 0.730 0.0679 0.469 0.53 1 0. 1 448 0. 1280 0.093 1 0. 1 0.4 0.940 0.072 1 0.436 0.564 0. 1 653 0. 1279 0.0767

0.2 0. 1 0.380 0.0492 0.5 1 1 0.489 0.0964 0. 1006 0. 1295 0.2 0.2 0.560 0.0634 0.493 0.507 0. 1 287 0. 125 1 0. 1 1 33 0.2 0.3 0.740 0.068 1 0.468 0.532 0. 1 456 0. 1279 0.0920 0.2 0.4 0.920 0.07 1 7 0.439 0.56 1 0. 1 632 0. 1 278 0.0779

0.3 0. 1 0.450 0.0523 0.501 0.499 0. 1 044 0. 1 048 0. 1 1 62 0.3 0.2 0.600 0.0643 0.487 0.5 1 3 0. 1 32 1 0. 1252 0. 1 072 0.3 0.3 0.750 0.0682 0.466 0.534 0. 1 464 0. 1278 0.09 10 0.3 0.4 0.900 0.07 12 0.442 0.558 0. 1 6 1 0 0. 1276 0.079 1


o 1mcyc

Tabla Ali . Coeficientes para estimar combeos y deflexiones a largo plazo

Sin acción Con acción _____________________________ compuesta compuesta

En la erección: 1 .- Deflexión debida a l peso propio

2.- Combeo debido al presfuerzo

Etapa final: 3.- Deflexión debida al peso propio

4.- Combeo debido al presfuerzo

5.- Deflexión debida a la carga muerta adicional

6.- Deflexión debida al peso del colado en sitio

Fuente : Nilson, A. H., 1 987. Página 346

1 .85

1 .80

2.70

2.45

3 .00

1 .85

1 .80

2.40

2.20

3.00

2.30

Apéndice A

Nota: La primera parte se refiere al tiempo en que el elemento precolado es puesto en la estructura, se asume que han pasado entre 30 y 60 días después del "colado"; por lo tanto, los coeficientes consideran tanto la detlexión inmediata como los efectos parciales dependientes del tiempo. La segunda parte se refiere a la fase final, en la cual han ocurrido todos los efectos de pérdida de presfuerzo y de flujo plástico del concreto.


() 1mcyc

Apéndice B

Bl. Programa computacional (Q-basic) para calcular �M0 de una víga de concreto presforzado

l ' * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 '*PROGRAMA PARA DETERMINAR EL MOMENTO ULTIMO RESISTENTE DE VIGAS DE CONCRETO * 3 '*PRESFORZADO DE SECCIONES 1, SECCIONES T Y SECCIONES REC.(Y SUS EQUIVALENTES)* 4 '*USANDO EL BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE ADOPTADO POR EL ACI. fps SE DETER-* 5 '*MINA POR FORMULAS PROPUESTAS POR EL ACI O POR COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIO-* 6 '*NES. AUTOR: ING. FELIPE J. OROZCO ZEPEDA, Ph.D.,PROFESOR DEL DEPTO. DE ING.* 7 '*CIVIL DEL ITESM-CAMPUS MONTERREY. AGOSTO DE 1 994. * 8 ' * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 O CLEAR : PRINT "DETERMINA EL MOMENTO RESISTENTE Y EL DE AGRIETAMIENTO PARA PRESFORZAD02:PRINT 1 5 PRINT " HECHO POR ING. FELIPE J. OROZCO ZEPEDA, Ph.D., ING.CIVIL-ITESM2: PRINT 20 INPUT "dp(cm)="; DP: INPUT "fc(kg/cm2)="; FC: INPUT "fpe(kg/cm2)="; FE: INPUT "fpy(kg/cm2)="; PY 30 INPUT "fy(kg/cm2)="; FY: INPUT "Ep(kg/cm2)="; EP: INPUT "Es(kg/cm2)="; ES: INPUT "L(cm)="; L 35 INPUT "GRADO="; G: FU = G * 70 36 PRINT " LOS TIPOS DE ACERO PUEDEN SER: "

PRINT " CABLE O ALAMBRE DE RELAJAMIENTO NORMAL: CLA VE= l " PRINT " CABLE O ALAMBRE DE BAJO RELAJAMIENTO: PRINT " VARILLA DE ALEACION:

37 INPUT "TIPO DE ACERO ES:"; Z$ 40 BI = .85 - .05 * (FC - 280) / 70 50 IF FC <= 280 THEN BI = .85 60 IF FC >= 560 THEN BI = .65

. 1

70 INPUT "FORMA DE LA SEC. ES(l/T/R):"; A$ 80 IF A$ = "1" GOTO 120 90 IF A$ = "T" GOTO 140

0.9

. l 00 INPUT "b(cm)="; B l : INPUT "h(cm)="; H l : H = H l : PRINT 1 1 0 IF A$ = "R" GOTO 145

CLAVE=2" CLAVE=3"

1 20 INPUT "b l (cm)=''; B l : INPUT ''hfl(cm)=''; H l : INPUT "bw(cm)="; BW: INPUT ''b2(cm)=''; B2: INPUT ''hf2(cm)=''; H2: INPUT "h(cm)="; H : PRINT

1 30 IF A$ = "1" GOTO 145


,, 1mcyc

I40 INPUT "b(cm)="; B I : INPUT "hf(cm)="; H I : INPUT "bw(cm)="; BW: INPUT "h(cm)="; H I45 PRINT : INPUT "d(cm)="; D: INPUT "d'(cm)="; DC: PRINT 1 50 AC = B I * H 1 + B2 * H2 + (H - H 1 - H2) * BW I 60 C2 = (B I * H1 * (H - H 1 / 2) + B2 * H2 * H2 / 2 + BW * (H - H1 - H2) * (H - Hl + H2) / 2) / AC 1 70 CI = H - C2: E = DP - C I

Apéndice B

1 80 IC = B 1 * H1 /\ 3 / I2 + B 1 * H 1 * (H - H 1 / 2 - C2) /\ 2 + 82 * H2 * H2 * H2 / 12 + 82 * H2 * (H2 / 2 - C2) * (H2 / 2 - C2) I 85 IC = IC + BW * (H - H l - H2) * (H - H l - H2) * (H - Hl - H2) / 1 2+ 8W * (H - H l - H2) * ((H - H l + H2)/2 - C2) * ((H - H l + H2) /2 - C2) I 90 S I = IC I C I : S2 = IC / C2: RG = IC / AC 1 92 INPUT "Ap(cm2)="; AP: INPUT "As(cm2)="; SA: INPUT "A's(cm2)="; CA I 93 INPUT "CABLES ADHERIDOS?(S/N):"; B$ 1 94 INPUT "fps POR COMPA TIBILIDAD?(S/N):"; C$ I 95 RP = AP / DP / B I : MC = 2 * SQR(FC) * S2 + FE * AP * (RG / C2 + E) 200 IF C$ = "S" GOTO 220 2 I O IF FE > (.5 * FU) GOTO 250 220 GOSUB 730 230 RP = AP / DP / B 1 240 IF PS > O GOTO 660 250 W = SA * FY / D / B 1 / FC: CW = CA * FY / D / B I / FC 260 WU = RP * FU / FC + D / DP * (W - CW) 270 IF B$ = "N" GOTO 360 280 IF Z$ = "3" THEN GP = .55 290 IF Z$ = " I " THEN GP = .4 300 IF Z$ = "2" THEN GP = .28 3 1 0 IF CW = O GOTO 340 320 IF WU< . I 7 THEN WU = . I 7 3 3 0 IF DC > (. I 5 * DP) GOTO 670 340 PS = FU * (1 - GP * WU / 81) 350 IF B$ = "S" GOTO 440 360 IF (L / H) > 35 GOTO 4 1 0 370 P I = FE + 700 + FC / 1 00 / RP : P2 = PY: P3 = FE + 4200: PS = P l 380 I F P2 < PI THEN P S = P2 390 IF P3 < PS THEN PS = P3 400 IF (L / H) < = 35 GOTO 440 4 1 0 P I = FE + 700 + FC / 300 / RP: P2 = PY: P3 = FE + 2 1 00: PS = P I 420 IF P2 < PI THEN PS = P2 430 IF P3 < PS THEN PS = P3 440 A = (AP * PS + SA * FY - CA * FY) / .85 / FC / B I 450 IF A$ = "R" GOTO 580 460 IF A <= H 1 GOTO 580 4 70 A W = (AP * PS + SA * FY - .85 * FC * (B 1 - B W) * H 1 ) / PS 480 A = (AW * PS - CA * FY) / .85 / FC / 8W: C = A I 81 : IF SA = O GOTO 490 485 ET = .003 * (D / C - I ) : IF ET < (FY / ES) GOTO 690 490 WP = A W * PS / BW / DP / FC: WW = SA * FY / 8W / D / FC: WC = CA * FY / D / BW / FC: IF CA = O GOTO 500 492 IF DC >= C GOTO 7 1 0 495 EC = .003 * ( 1 - DC / C): IF EC < (FY / ES) GOTO 7 1 0 500 IR = WP + D / DP * (WW - WC): I B = .36 * BI 5 I O IF IR < =IB GOTO 540 520 MU = .7 * (FC * BW * DP /\ 2 * (IB - .08 * 81 /\ 2) + .85 * FC * (8 1 - 8W) * H 1 * (DP - H 1 I 2)) 530 IF IR > IB GOTO 560 540 CF = .85 * FC * (B I - BW) * H l : FW = .85 * FC * A * BW 550 MU = .9 * (CF * (DP - H 1 / 2) + FW * (DP - A / 2) + SA * FY * (D - DP) + CA * FY * (DP - DC)) 560 IF A$ = "I" GOTO 655 570 IF A$ = "T" GOTO 655


o 1mcyc

580 WP = RP * PS / FC: IR = WP + D / DP * (W - CW): IB = .36 * 81: C = A / 81: IF SA = O GOTO 600 590 ET = .003 * (O / C - 1 ): IF ET< (FY / ES) GOTO 690 600 IF CA = O GOTO 620 605 IF OC > C GOTO 7 1 0 6 1 0 EC = .003 * ( 1 - OC / C): I F E C < (FY / ES) GOTO 7 1 0 620 I F IR< = I B GOTO 650 630 MU = .7 * (FC * B 1 * DP /\ 2 * (IB - .08 * BI /\ 2)) 640 IF IR > IB GOTO 660 650 MU = .9 * (AP * PS * (DP - A / 2) + SA * FY * (D - A / 2) + CA * FY * (A / 2 - OC)) 655 TP = FY: PC = FY: IF SA = O THEN TP = O 656 IF CA = O THEN PC = O 660 PRINT "(Mu)r="; MU; " kg-cm": PRINT "a="; A; " cm": PRINT "INDICE DE REFUERZO="; IR: PRJNT "INDICE DE

REF.8ALANCEADO="; IB: PRINT "fps="; PS; " kg/cm2": PRINT"Mcr="; MC; " kg-cm": PRINT 665 PRINT "fs="; TP; " kg/cm2": PRINT "fs="; PC; " kg/cm2": PRINT : GOTO 720 670 INPUT "d '> (0. 1 5*dp), REDUCIRLO?(S/N):" ; D$: IF 0$ = "S" GOTO 145 680 GOTO 725 690 INPUT "As NO FLUYE, AUMENTAR d?(S/N):"; E$ : IF E$ = "S" GOTO 145 700 GOTO 725 7 1 0 INPUT "A 's NO FLUYE O d '> e, REDUCIR d '?(SIN):"; F$: IF F$ = "S" GOTO 145 7 1 1 GOTO 725

; 720 INPUT "ALGUN CAMBIO EN CUANTO A ADHERENCIA?(S/N):" ; G$: IF G$ = "S" GOTO 1 93 722 INPUT "ALGUN CAMBIO EN CUANTO A LA FORMA DE DETERMINAR fps?(S/N):" ; H$: IF H$ = "S" GOTO 1 94 723 INPUT " ALGUN CAMBIO EN AREAS DE ACERO?(S/N):"; 1$: IF 1$ = "S" GOTO 1 92

' 725 END 730 INPUT "DESEA USAR RAMBERG-OSGOOD PARA fps?(S/N):" ; J$ : IF J$ = "N" GOTO 735 732 PRINT "DE PARAMETROS DE RAMBERG-OSGOOD:" 733 INPUT "A="; AA: INPUT "B="; BB: INPUT "C="; ce 735 C = .0 1 * H : EE = FE / EP: CE = FE * AP / AC / 1 5 1 00 / (FC) /\ .5 * ( 1 + E /\ 2 / RG) 740 CD = .003 * (DP / C - 1 ): PD = EE + CE + CD 745 IF J$ = "S" GOTO 836 750 IF PO > .008 GOTO 780 760 PS = EP * PO 770 IF PD < =.008 GOTO 840 780 IF G < = 250 GOTO 820 790 PS = 1 8760 - .075 / (PD - .0065) 800 IF PS > (.98 * FU) THEN PS = .98 * FU 8 1 0 IF G = 270 GOTO 840 820 PS = 1 7360 - .058 / (PD - .006) 830 IF PS > (.98 * FU) THEN PS = .98 * FU 835 IF J$ = "N" GOTO 840 836 PS = EP * PD * (AA + (1 - AA) / (1 + (BB * PD) /\ CC) /\ (1 / CC)) 837 IF PS > (.98 * FU) THEN PS = .98 * FU 840 IF CA = O GOTO 860 845 IF CD > = C GOTO 860 850 EC = .003 * (1 - OC / C): PC = ES * EC: IF EC > = (FY / ES) THEN PC = FY 860 IF SA = O GOTO 880 870 ET = .003 * (D / C - 1 ): TP = ES * ET: IF ET > = (FY / ES) THEN TP = FY 880 IF A$ = "R" GOTO 960 890 IF (BI * C) > H 1 GOTO 920 900 CP = .85 * FC * B 1 * 81 * C + CA * PC 9 1 0 IF (BI * C) < = H l GOTO 930 920 CP = .85 * FC * (B l - BW) * H l + .85 * FC * 8W * BI * C + CA * PC


fí 1mcyc

930 T = AP * PS + SA * TP 940 IF A$ = "1" GOTO 980 950 IF A$ = "T" GOTO 980 960 CP = .85 * FC * B l * BI * C + CA * PC 970 T = AP * PS + SA * TP 980 IF (T - CP) < = (.0 1 * T) GOTO 1 000 990 c = c + .00 1 * H: PRINT "e="; C: GOTO 740 1 000 IF A$ = "R" GOTO 1 1 30 1 0 1 0 IF (BI * C) < = Hl GOTO 1 1 30 1 020 A W = (AP * PS + SA * TP - .85 * FC * (B 1 - BW) * H 1 ) / PS 1 030 A = BI * C 1 040 WP = A W * PS / BW / DP / FC: WW = SA * FY / BW / D / FC: WC = CA * FY / BW / D / FC 1 050 IR = WP + D / DP * (WW - WC): IB = .36 * BI 1 060 IF IR< = IB GOTO 1 090 1 070 MU = .7 * (FC * BW * DP " 2 * (IB - .08 * BI " 2) + .85 * FC * (B l - BW) * Hl * (DP - Hl / 2)) 1 080 IF IR > IB GOTO 1 1 90 1 090 CF = .85 * FC * (B l - BW) * H l : FW = .85 * FC * BW * A 1 100 MU = .9 * (CF * (DP - H l / 2) + FW * (DP - A / 2) + SA * TP * (D - DP) + CA * PC * (DP - DC)) 1 1 1 O IF A$ = "I" GOTO 1 1 90 1 120 IF A$ = "T" GOTO 1 190 1 1 30 WP = RP * PS / FC: W = SA * TP / D / B l / FC: CW = CA * PC I D / B l / FC 1 140 IR = WP + D / DP * (W - CW): IB = .36 * BI: A = BI * C 1 1 50 IF IR< = IB GOTO 1 1 80 1 1 60 MU = .7 * (FC * B l * DP " 2 * (IB - .08 * BI " 2)) 1 1 70 IF IR > IB GOTO 1 1 90 1 1 80 MU = .9 * (AP * PS * (DP - A / 2) + SA * TP * (D - A / 2) + CA * PC * (A I 2 - DC)) 1 190 IF B$ = "S" GOTO 12 1 0 1200 MU = .75 * MU 12 1 0 RETURN

1 90

Apéndice l


,, 1mcyc

B2. Programa para diseñar la combinación más económica de P¡ y e para vigas de concreto presforzado por esfuerzos permisibles y usando el diagrama de magnel

5 LPRINT " HECHO POR ING. FELIPE OROZCO ZEPEDA M.I. 05/2 1 / 1 99 1 ITESM-NMSU": LPRINT : LPRINT : LPRINT 1 0 CLEAR : PRINT "DISENA LA COMBINACION MAS EeONOMieA DE Pi Y e": PRINT : INPUT "L(m)="; L: INPUT

"Wd(kg/m)="; WD: INPUT "Wl(kg/m)="; WL 20 INPUT "Ac(cm2)="; A: INPUT "C l (cm)="; es: INPUT "C2(cm)="; CI: INPUT "S l (cm3)="; S I : INPUT "S2(cm3)="; S2: IN PUT"r2(cm2)="; RG: INPUT "R="; R: INPUT "fti(kg/cm2)="; F l : INPUT "fci(kg/cm2)="; F2: INPUT "fcs(kg/cm2)="; F3 : INPUT

"fts(kg/cm2)="; F4 30 1 = S 1 * CS: WO = .24 * A: WS = WO + WD + WL: LPRINT : LPRINT " D A T O S:" : LPRINT : LPRINT " Wo="; WO; "kg/m":

LPRINT " Wd="; WD; "kg/m": LPRINT " Wl="; WL; "kg/m" 40 LPRINT " L="; L; "m" : LPRINT " Ac="; A; "cm2": LPRINT" e I="; CS; "cm": LPRINT " C2="; CI; "cm": LPRINT" S I =";

S I ; "cm3": LPRINT " S2="; S2; "cm3" : LPRINT " le="; I; "cm4": LPRINT" r2="; RG; "cm2": LPRINT " R="; R; " (R=Pe/Pi)"

50 LPRINT " fti="; F l ; "kg/cm2": LPRINT " fci="; F2; " kg/cm2": LPRINT" fes="; F3 ; " kg/cm2 ": LPRINT " fts="; F4; "kg/cm2" 60 INPUT "Mo(kg-cm)="; MO: INPUT "Ms(kg-cm)="; MT: LPRINT : LPRINT : LPRINT" Mo="; MO; "kg-cm": LPRINT "

Ms="; MT; "kg-cm": LPRINT 70 K l = ((F l + MO / s 1) * A) /\ - 1 : K2 = ((-F2 + MO / S2) * A) /\ - 1 : e 1 = es / RG 80 K3 = R * ((-F4 + MT / S2) * A) /\ - 1 : K4 = R * ((F3 + MT / S 1 ) * A) /\ - 1 : C2 = eJ /_ RG 90 M I = Kl * C l : M2 = K2 * C2: M3 = K3 * C2: M4 = K4 * C l 1 00 EO = (Kl + K3) / (Kl * C l - K3 * C2): El = (K2 + K4) / (K4 * C l - K2 * C2) 1 1 0 E l = 1 / C l : E2 = -1 / C2: E3 = E2: E4 = El : EB = (Kl + K2) / (K l * e t - K2 * e2) 1 20 Y l = K l * ( 100 * C l - 1 ) : Y2 = K2 * ( 1 00 * C2 + 1 ): Y3 = K3 * ( 1 00 * C2 + 1 ): Y4 = K4 * ( 1 00 * Cl - 1 ) 1 30 I F M4< O GOTO 2 1 0 140 LPRINT : LPRINT " CASO: M I , M2, M3 Y M4>0": LPRINT 1 50 PRINT : INPUT "RECUBRIMIENTO CGS(cm)="; RE 1 55 EM = CI - RE: E = EO 1 60 IF EO > EM THEN E = EM 1 70 IF EM< El GOTO 340 1 80 EL = (K3 + K4) / (K4 * C 1 - K3 * C2): P = (K4 * (e 1 * E - 1 )) /\ - 1 : IF E > EL THEN P = (K3 * (e2 * E + 1 )) /\ - 1 1 90 PM = (K2 * (C2 * E + I )) /\ - 1 : IF E > EB THEN PM = (K 1 * (C 1 * E - 1 ) ) /\ - 1 200 I F M4 > O GOTO 350 2 1 0 IF M3 < O GOTO 3 1 0 220 LPRINT : LPRINT " CASO: M I , M2 Y M3>0, M4": LPRINT 230 PRINT : INPUT "RECUBRIMIENTO CGS(cm)="; RE 235 EM = CI - RE: E = EO: IF EO > EM THEN E = EM 236 IF EO < O THEN E = EM 240 IF EO < O GOTO 270 250 P = (K3 * (C2 * E + 1 )) /\ - 1 : PM = (K2 * (C2 * E + 1 )) /\ - 1 : JF E > EB THEN PM = (K 1 * (C 1 * E - 1 )) /\ - 1 260 I F M3 > O GOTO 350 270 PM = (K2 * (C2 * E + 1 )) /\ - 1 : IF E > EB THEN PM = (K l * (e l * E - 1 )) /\ - 1 280 IP = (K3 * (C2 * E + 1 )) /\ - 1 290 LPRINT : LPRINT " CRUCE { l ) CON (3) OCURRE EN e NEGATIVA": LPRINT 300 PC = PM: PRINT "Pi,max="; PM; "kg" : PRINT "Pi,min="; IP; "kg": PRINT "e="; E; "cm": LPRINT" Pi,max="; PM; "kg":

LPRINT " Pi,min="; IP; "kg": LPRINT " e="; E; "cm": IF M3 > O GOTO 390


�, 1mcyc

3 1 0 LPRINT : LPRINT " CASO: M I Y M2 >0 , M3 Y M4<0": LPRINT 320 PRINT : INPUT "RECUBRIMIENTO CGS(cm)="; RE: E = Cl - RE 325 EB = (Kl + K2) / (Kl * C l - K2 * C2): P = (K2 * (C2 * E + 1 )) /\ - 1 : IF E > EB THEN P = (Kl * (C l * E - 1 )) A _ l 330 IF M3 < O GOTO 380 340 PRINT : PRINT "DISMINUYA REC. CGS O AUMENTE h": PRINT : IF EM < El GOTO 1 50

Apéndice B

350 PC = PM: PRINT "Pi,max="; PM; "kg": PRINT "Pi,min="; P; "kg": PRINT "e="; E; "cm": PRINT : LPRINT" Pi,max="; PM; "kg": LPRINT " Pi,min="; P; "kg" : LPRINT" e="; E; "cm": LPRINT

360 IF M4 > O GOTO 390 370 IF M3 > O GOTO 390 380 PC = P: PRINT "Pi,max="; P; "kg": PRINT "Pi,min=0.0 kg" : PRINT "e="; E; "cm": PRINT : LPRINT " Pi,max="; P; "kg":

LPRINT " Pi,min=O.O kg": LPRINT" e="; E; "cm": LPRINT 390 LPRINT : LPRINT" CRUCES CON EJE e:": LPRINT" X l ="; E l ; "cm": LPRINT " X2="; E2; "cm": LPRINT " X3="; E3 ;

"cm": LPRINT" . X4="; E4; "cm": LPRINT 400 LPRINT : LPRINT " VALORES DE ( 1 /Pi) PARA e= l 00 cm :": LPRINT" ( 1 /Pi) l ="; Y l ; " 1 /kg" : LPRINT" (1 /Pi)2="; Y2;

" 1/kg": LPRINT " ( 1 /Pi)3="; Y3 ; " 1 /kg" : LPRINT " ( l /Pi)4="; Y4; " 1 /kg": LPRINT 4 1 0 PRINT : INPUT "DESEA CAMBIAR EL REC. CGS?(S/N):"; A$ 420 IF A$ = "S" GOTO 1 30 430 PRINT : INPUT "DESEA REVISAR DEL EXTREMO HACIA EL CENTRO?(S/N):" ; B$ 440 IF B$ = "S" GOTO 60 450 END


o 1mcyc

B3. Derivación de la fórmula para determinar el esfuerzo cortante desarrollado en una sección de concreto agrietado

De consideraciones de equilibrio, E. Mürsch (citado por Col lins y Mitchell, 1 99 1 ) a principios de este siglo derivó en forma analítica una expresión para determinar el esfuerzo cortante máximo desarrollado en una sección agrietada de concreto. Esta expresión

Q _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -�f ;rer�ón

1 '1 tensión

�X

�X

Figura B 1 . Esfuerzo cortante, por flexión, desarrollado en concreto agrietado

es la que actualmente propone el ACI con ligeras modificaciones y cuyo desarrollo presentamos en seguida, haciendo referencia a la Figura B l .

Para l a zona a compresión, que no está agrietada, el esfuerzo cortante desarrol lado estará dado por

(B3. l )

donde, Q, para un punto a una distancia y hacia arriba de la línea neutra, estará dado por

Q =(x -y)b. (x ;y + y ) = b; (x ' -y ') (B3 .2)

donde la x ( que es constante para un caso dado) es la profundidad, a partir de la fibra superior, del b loque no agrietado e y es la distancia de la línea neutra al punto donde se desea evaluar el esfuerzo cortante, es por lo tanto una variable. Es claro, entonces que el esfuerzo cortante (longitudinal y transversal) será cero en la fibra superior y alcanzará su valor máximo en la línea neutra, variando parabólicamente.

Para la zona a tensión, que está agrietada, el esfuerzo cortante longitudinal, que es igual al transversal para cumplir con condiciones de equilibrio, se puede determinar por medio del siguiente desarrollo analítico, tomando como referencia el diagrama de cuerpo libre presentado en la Figura B 1 .


o 1mcyc

De la condición de equilibrio "f.Fh = O, obtenemos

11T = V

donde

substituyendo 83.4 en B3.3, obtenemos

donde

11T v = --'1x · b w

M1 11T = � jd

substituyendo B3.6 en B3 .5, obtenemos

donde

M1 1 V = -- · --f1X bwjd

M1 - = V '1x

finalmente, substituyendo B3.8 en B3.7, obtenemos

(B3.3)

(83 .4)

(B3 .5)

(83.6)

(83 .7)

(B3.8)

(83 .9)

donde bw es el ancho del alma y jd es el brazo de palanca del momento resistente.

Apéndice B

Nótese que esta última ecuación no está en función de alguna distancia de la línea neutra al punto donde se está haciendo el corte para tomar el diagrama de cuerpo libre, lo que quiere decir que el esfuerzo cortante se mantiene constante en toda la porción agrietada. ,El ACI, en su reglamento de 1 963, simplifica la ecuación 83.9 a

(83 . 1 0)

ecuación que, actualmente, sigue en uso para determinar el esfuerzo cortante máximo desarrollado por las cargas en una sección determinada.


o 1mcyc

B4. Derivación de la fórmula para determinar Vci (ecuación 5.6) La Figura 82 muestra información experimental de pruebas realizadas por Sozen et al., ( 1 959) y MacGregor et al., ( 1965). Con

referencia a dicha figura, supongamos que la sección bajo consideración, esto es, donde se desea determinar Vc1 , es la sección C. La grieta debida a la tensión diagonal se inicia en la parte superior de una grieta por flexión formada previamente. De acuerdo con las pruebas, la proyección horizontal de la grieta por tensión diagonal es al menos igual a d (suponiendo que la inclinación de dicha grieta es de 45°) . Entonces, la grieta por flexión en la cual se inicia la de tensión diagonal está a una distancia d de la sección C. Las mismas pruebas sugieren que una grieta por flexión (en B), formada a la mitad entre donde se inicia la grieta de tensión diagonal y la sección C, dispara la falla por corte (o tensión diagonal).

0/2 i d/2 ! 1 B C

Figura B2. Fal la por flexión-cortante

g rietas por flexión bw

Ahora bien, si Vy M son el corte y el momento en la sección C y Ver y M'er son el corte y el momento en la sección B, se puede encontrar una relación entre e llos como s igue:

M - M' = V + Ver . !!_ er 2 2 (B4. l )

donde M - M'er es e l cambio en momento entre las secciones B y C, que de acuerdo con l a Mecánica Clásica es igual al área bajo e l diagrama de corte entre ambas secciones (lado derecho de la ecuación 84. 1 ). Dicha área se determina considerando un valor promedio para los cortes entre en las secciones B y C. Puesto que en la mayoría de los casos la diferencia entre Vy Ver es pequeña, la ecuación 84. 1 puede ser escrita como

M - M' = Vd er 2

la cual puede ser arreglada y presentada como

M _ M�, = d . V Ve, 2

Resolviendo la ecuación B4.3 para Ver , obtenemos


(84.2)

(84.3)

1 95

o 1mcyc

M d M;, - - - = --V = M;, er M / V - d / 2

Apéndice B

(B4.4)

donde V es el corte en la sección C debido a la carga, muerta adicional más viva, superimpuesta mientras que M'er es el momento de agrietamiento debido a las mismas cargas. S i se desea el corte total de agrietamiento, necesitamos sumar e l corte debido al peso propio (V0). La razón para separar los efectos de esta manera es que la relación M /V es constante para un patrón de carga dado, cosa que no sería.cierto si se incluye el peso propio (pues éste siempre es uniformemente distribuido, mientras que las otras cargas no lo son necesariamente). Entonces:

M' V = er + V • er M / V - d / 2 ° (84.5)

El primer término de la ecuación 84.5 representa la fuerza cortante que junto con V0 inicia la grieta por flexión, pero para desarrol lar la grieta de tensión diagonal se necesita, de acuerdo con las pruebas, un incremento de 0. 1 6fl:bwd. Por lo tanto:

V . = 0.1 6 'f'e' bw dp + M;, + Vº el '\/J e M / V - d / 2 (84.6)

El reglamento de construcciones de concreto del ACI desprecia el término d/2 haciendo la ecuación 84.6 más s imple y más conservadora. El significado físico de esto es que ahora Ver y M'er causan la grieta de flexión en la sección considerada (C) y no en la sección 8. Entonces, la ecuación B4.6 viene a ser:

(B4.7)

o sea, la ecuación 5.6 en el capítulo cinco de esta obra.


o 1mcyc

B5. Derivación de la fórmula para determinar Vs para estribos inclinados

El uso de estribos inclinados optimiza el material, aunque habrá que tener cuidado cuando haya inversión del corte y que la inclinación sea en la dirección correcta. La contribución del refuerzo (Vs) a resistir la fuerza cortante en el caso de estribos inclinados se puede derivar usando como referencia la Figura B3.

V

I jd/tane diagrama de cuerpo l ibre

Figura 83. Contribución del refuerzo al corte con estribos inclinados

En la Figura B3, 0 es la inclinación de la grieta por tensión diagonal y a es la inclinación de los estribos. La fuerza de tensión proporcionada por los estribos (Fs) será igual a

donde Av es el área transversal de un estribo, el número de estribos será igual a 11.r A E tr'b jd I tan e + jd I tan a J VO. ue s 1 os =--------

s

substituyendo B5.2 en B5. l , obtenemos

(B5. l )

(B5.2)

(B5.3)

aplicando la condición de equilibrio :EFv = O al diagrama de cuerpo libre de la Figura B3, obtenemos

V = Fs · sena (85 .4)

substituyendo la ecuación B5.3 en la ecuación B5.4, obtenemos

(85.5)

puesto que para el ACI 0 = 45' y jd = d, la ecuación 85.5 se reduce a


: 1

o 1mcyc Apéndice B

(B5 .6)

esta ecuación (B5.6) es la que adopta el ACI para diseñar el refuerzo al corte para estribos inclinados.


o 1mcyc

B6. Derivación de la fórmula para determinar la pérdida por fricción en concreto postensado (ecuación 6. 1)

En un tendón, constituido por los alambres o cables alojados en un dueto, de una viga postensada tendremos dos clases de curvatura (causantes de la fricción), la curvatura intencional y la curvatura accidental (debida a las imperfecciones propias de la práctica). El desarrollo de la ecuación que nos permite calcular la fuerza o esfuerzo ya reducidos por la fricción, se hará tomando como referencia la Figura B4 que presentamos a continuación:

I N

A d;��2

p� p· (e) d��..-...�, Pe P dFtr=dP

� (b)

Figura B4. Pérdida de presfuerzo por fricción para construcción postensada

El cambio de fuerza debido a la fricción, como ya se mencionó antes, se compone de dos partes, el cambio de fuerza debido a la curvatura no intencional:

donde

K Fuerza perdida / Fuerza de presfuerzo / .1 1 = en 1 m / unidad de longitud

'

(coeficiente de oscilación, ver Tabla A2)

P = función que define la fuerza de presfuerzo

y el cambio de fuerza debido a la curvatura intencional

donde

µ = coeficiente de fricción


(86. 1 )

199

o 1mcyc

200

Apéndice B

N = la fuerza normal

la fuerza normal se puede determinar de la condición de equilibrio :E Fv = O al diagrama de cuerpo libre de la Figura 84.c

donde

quedando finalmente

N = da (P +P') 2

P := P'

N =P · da

que substituyendo en la ecuación B6.2, obtenemos

el cambio de fuerza total será, entonces

dP = KPdx+ µ · Pda integrando la ecuación B6.3, obtenemos

finalmente, obtenemos

dP - =Kdx +µ · da p

J P .• dP J ' J ª Ps -p = K ocú+µ o da

In P I � = Kx I � +µa I �

p In _!_ =KI +µa PB

P - p -(Kl+µa) . B - A e

(86.2a)

(B6.3)

(86.4)


(1 1mcyc

La ecuación B6.4 la podemos expresar en términos de esfuerzo, dividiendo ambos lados por el área de presfuerzo, quedando

j = j e -(Kl+µa) p, B p, A (B6.5)

que es la ecuación 6 . 1 del capítulo 6 (Pérdidas en la fuerza de presfuerzo). De la Figura 84. d, podemos ver que

que en valor absoluto, pues a debe ser positivo, nos queda

a =8 H -8 A (86.6)

Concreto Presforzado ?0 1

o 1mcyc

Apéndice C

Vigas para puentes vehiculares

De acuerdo con las especificaciones AASHTO 1996

Cl. Introducción La ingeniería civil es una disciplina cuyo principal objetivo es poner los recursos naturales al servicio del ser humano para me

jorar su calidad de vida. Para lograr lo anterior ha tenido que desarrollar áreas como la geotecnia, la hidrología, la hidráulica, los sistemas de transportación, la ingeniería ambiental (antes ingeniería sanitaria), las ciencias de la construcción y la ingeniería estructural (que algunos engloban en las ciencias de la construcción). De todas estas áreas la que es básica para la mayoría de las demás es la ingeniería estructural, pues no se podrían desarrollar plenamente sin su auxilio. Esto es lo que sucede con la ingeniería de transportación, la cual sin los puentes las v ías terrestres quedarían truncas. El puente (palabra del latín que significa unir), en opinión de algunos autores (M. P. Collins y D. Mitchell), es la más pura expresión del arte y la ciencia de la ingeniería estructural, pues, el ingeniero, además de asegurarse de que cumpla su función con seguridad, debe considerar cuidadosamente su impacto en el medio ambiente.

Según los mismos autores, mencionados l íneas arriba, un puente exitoso será aquél que sea económico (tanto en términos del costo inicial como del costo de mantenimiento a lo largo de su vida útil), funcional y placentero estéticamente. Debido a que los puentes de concreto presforzado pueden cumplir con las anteriores condiciones para el éxito, compiten cada vez más con otros materiales en la construcción de dichas estructuras.

C2. Tipos de puentes Dependiendo principalmente del claro a salvar, existen muchas formas diferentes de puentes de concreto presforzado como vi

gas simplemente apoyadas o continuas de sección 1 , sección cajón (peralte constante o variable) y losas huecas; arcos de sección cajón y sistemas atirantados de sección cajón. Para claros que van de 1 O a 50 m, usualmente se usan vigas simplemente apoyadas o continuas de sección 1 con una losa "colada" en el sitio y que sirve de patín, aumentando la capacidad de soportar carga (ver Figura C 1 ).

C3. Cargas de tráfico Mientras que el propósito primario de un puente es soportar con seguridad el tráfico, deberá soportar también otras cargas

como el peso propio, las cargas de viento, s ísmicas, presiones de agua, variaciones térmicas y empujes de hielo. Sin embargo, para el tipo de puentes que consideraremos aquí (a base de vigas 1 simplemente apoyadas), las cargas importantes a considerar serán las cargas de tráfico, que se consideran como cargas vivas, y el peso propio de las vigas, losas, instalaciones y acabados, que se consideran como cargas muertas.

------------------- ------ ----------- - - - -- - - ------- . . . . . .


Apéndice C

s é fJ Para claros de 1 0 a 30 m

1 fj ( Para claros de 1 5 a 50 m

Sección transversal

Figura C 1 . Puentes de claro pequeño a mediano

Las cargas de tráfico, como cualquier carga viva, se determinan recurriendo a algún reglamento de construcción. En nuestro medio, usualmente se siguen las Especificaciones Estándares para Puentes de Autopistas adoptadas por la Asociación Americana de Autopistas Estatales y Normas Oficiales de Transportación (Standard Specifications for Highway Bridges, 1611i . Edition. 1996, adopted by the American Association of State Highway and Transportation Officials, mejor conocida como la AASHTO).

1. CARGAS DE CAMIÓN:

HS20-44 HS1 5-44

4000 kg 16000 kg 1 6000 kg 3000 kg 1 2000 kg 1 2000 kg

4.27 m V carga

- · - · - · - · - · - · - · - · - · 0.4 w - · - · - · - - · - · - · - - · - · - · 0.4 w - · - · - · -de

0.8w(carga de eje)

0.4 w

rueda

0.8w (carga de eje)

0.4 w carga

· - · - · - ·de �--�

rueda

Ancho del carril de carga

3.05 m

0.61 m 1 .83 m 0.61 m

w = carga (peso) combinada de los dos primeros ejes(p.e., para H520w =4+1 6 = 20 Ton.)

v = claro variable: de 4.27 a 9.14 m inclusive (usar el que produzca el máximo efecto)

Nlta : para la carga H20 y H1 5 sw elimina el tercer eje

.__ __ .;__ __________ ___ ________ ·-----------·- -------·----------------' Figura C2. Cargas de un camión, según AASHTO


() 1mcyc

Las cargas de tráfico especificadas por la AASHTO para cargas de camión se muestran en la Figura C2 y para cargas de carril se muestran en la Figura C3 .

2. CARGAS DE CARRIL:

H20 y HS20 � 6075 kg para momento 8775 kg para corte

w = 71 0 kg/m

H 1 5 y HS 1 5�

Nota : La carga concentrada deberá colocarse de manera que produzca la acción máxima en la sección en estudio.

Figura C3. Cargas de carril según AASHTO

Con estos dos tipos de cargas de tráfico (de rueda o eje y la distribuida acompaftada con una concentrada), deberán calcularse las acciones (momento flector o fuerza cortante) y tomarse la mayor para el disefto o revisión. En la detenninación del momento máximo negativo, para cargas de carril en vigas continuas, se considerarán dos cargas concentradas igu!les colocadas de tal manera que se maximice dicho momento. Para el momento positivo se usará solo una carga concentrada, en la carga de carril . Cuando más de un carril es cargado, las cargas vivas se reducen (ver Tabla C 1) en vista de la improbabilidad de que todos los carriles tengan su máxima carga al mismo tiempo. La reducción se hace de acuerdo a la Tabla C 1 que se presenta a continuación:

Tabla C l . Reducción de la intensidad de carga por carga multicarril

Número de carriles cargados % de carga viva a ser usada

1 6 2 1 00

3 90

4 ó más 75

La rugosidad de la superficie rodante produce efectos dinámicos, éstos se consideran incrementando las cargas de tráfico (vivas) de acuerdo a la siguiente expresión empírica adoptada por la AASHTO:


1 = 1 5 .25 ::; 0 .30 L + 38 . 1 25

(C3 . l )

205

\, o 1mcyc Apéndice C

donde

L = longitud del claro, en m, para calcular momentos. Longitud de la porción cargada del claro desde el punto en consideración hasta la reacción más alejada, para calcular fuerzas cortantes.

La fonna en que se maneja este factor se ilustra con las siguientes relaciones para determinar el momento flector de servicio (igual podría ser para la fuerza cortante):

Ms = Mo + M/) + MI.+ /

El factor de impacto (1) también deb"! considerarse cuando se adopta el criterio de resistencia, ya sea en el disefio o revisión de vigas para puentes. La relación que especifica la AASHTO es:

res son:

(C3 .2)

donde el lado izquierdo representa la capacidad última reducida por el factor de reducción, que según el artículo 9 . 14, los val o-• Para miembros de concreto pretensado y prefabricado en planta � = 1 .0 • Para miembros de concreto postensado y colados en el sitio � = 0.95 • Para corte � = 0.90 • Para zonas de anclaje � = 0.85 para concreto de peso normal y � = 0.70 para concreto ligero.

El lado derecho representa la demanda, D es la carga muerta y (L + I) es la carga viva con impacto. Entonces, 1 .3 es el factor de carga muerta y 1 .3x5/3 es el factor para la carga viva. La manera de usar la relación (C3 .2) se i lustra con el siguiente ejemplo:

entonces

C4. ·Análisis

MD = 5000 kg-m (en el cual se incluye el peso propio)

ML = 4000 kg-m

1 = 0.20

M., = u [sooo ; � (1 + 0 .2) (4000) J M11 = 1 6900 kg - m

Entenderemos por análisis, por un lado, la forma de distribución de las cargas de tráfico en las vigas longitudinales , es decir, qué ancho del puente participará en resistir las cargas de tráfico (ancho tributario). Por otro lado, una vez que se determine el factor de distribución que nos permite conocer que tanta carga de rueda, de eje o de carril tomará la viga, también tendremos que determinar las acciones máximas (momentos flectores y fuerzas cortantes) producidas por cargas móviles. Esto también requiere de un análisis usando líneas de influencia o algún otro método que nos permita determinar la posición más crítica de las cargas móviles. La Figura C4 ilustra el concepto del factor de distribución.

La AASHTO considera que la carga que tomará la viga estará en función del espaciamiento de las mismas, el tipo de construcción (del puente) y el número de carriles de. tráfico. De esta manera estaremos determinando el factor de distribución, es decir un factor


(°¡ 1mcyc

que multiplicará a la carga de rueda para saber la parte de esa carga que tomará la viga. Las fórmulas para los factores de distribución están en la Tabla 3 .23 . l de Jas especificaciones de laAASHTO (Distribución de las Cargas de Rueda en las Vigas Longitudinales). Para el caso de losas de concreto apoyadas en vigas de concreto presforzadas (sin ser vigas cajón), la AASHTO especifica:

s s

Figura C4. Distribución de la carga de tráfico en las vigas longitudinales

• Para puentes con un solo carril de tráfico

s

s FD = -

7.0 Si S excede de 1 O' use la nota de pie f.

• Para puentes con dos o más carriles de tráfico

s FD = -

5 . 5 S i S excede de 14 ' use l a nota de pie f.

Nota: Si se usara la carga de eje o de carril, los factores de distribución serán

s FD = -

14.0 (para un solo carril de tráfico)

s

s FD = -

1 1 .0 (para dos o más carri les de tráfico)

en las fórmulas anteriores S estará en pies (1 pie = 0.305 m) y será el espaciamiento de las vigas longitudinales.

En la nota de pie f, la AASHTO especifica que la carga en cada viga será la reacción de la carga de rueda, suponiendo que el piso actúa entre las vigas como una viga transversal simplemente apoyada (recordar que 1 1 ' , ó 3 .36 m es el ancho oficial de un carril . Si S fuera igual a 1 1 ' , entonces, el factor de distribución será 2, es decir que la viga tomaría la carga de eje o el doble de la carga de rueda).

Es importante tener en cuenta que los factores de distribución mencionados líneas arriba son para vigas interiores. Para vigas exteriores, la AASHTO especifica:


fl 1mcyc Apéndice C • (3.23.2.3 . 1 . 1 ) La carga muerta soportada por una viga exterior será la porción de la losa que le corresponda. Banquetas, parapetos y

la superficie de rodamiento (2" de asfalto), si se colocan después de que la losa haya fraguado, se pueden distribuir por igual a todas las vigas (ver Figura C5). • (3.23.2.3. 1 .2) El momento flector (o la fuerza cortante) por carga viva para vigas exteriores se detenninará aplicando a la viga la reacción obtenida suponiendo que el sistema de piso actúa como una viga simplemente apoyada entre las vigas longitudinales (ver Figura C5). • (3.23.2.3 . 1 .3) Cuando la viga exterior soporta la carga viva de banqueta así como la carga viva con impacto de tráfico y será diseñada por el método de la carga de servicio (esfuerzos permisibles), los esfuerzos pennisibles se pueden incrementar en un 25% para la combinación de carga muerta + carga viva de banqueta + carga viva e impacto de tráfico, cuidando que la viga no vaya a tener menor capacidad que la requerida si no hubiera banqueta. Cuando la combinación de carga viva de banqueta + carga viva e impacto de tráfico gobierna el disefto y la viga será diseftada por el método de resistencia, se puede usar un factor de 1 .25 en lugar de 1 .67, es decir • (3.23.2.3. 1 .5) En ningún caso una viga exterior tendrá menor capacidad soportante que una viga interior.

2'

ancho de losa a j R1 I R2 soportar

s

Figura C5. Consideraciones para vigas exteriores

Para detenninar las acciones máximas (momento flector y fuerza cortante) seguimos la regla, que se estudia en Mecánica de Sólidos 1, para un tren de cargas móvil sobre una viga simplemente apoyada y que establece: El momento jlector bajo una carga determinada, del tren de cargas, es máximo cuando el punto medio entre la carga y la resultante de las cargas existentes en el claro, coincide con el punto medio del claro (Singer, F. L., Resistencia de Materiales, Baria, 1971).

Esta regla deberá aplicarse tantas veces como cargas concentradas tenga el tren de cargas, buscando el momento máximo para cada una de ellas. El momento gobernante será el máximo absoluto de todos. Si al hacer los movimientos alguna de las cargas se sale del claro, habrá que detenninar una nueva resultante con las cargas que quedaron en el claro.

La fuerza cortante máxima será igual al valor máximo de la reacción que se obtenga al mover el tren de cargas hacia ambos extre-mos.

La aplicación de la regla descrita líneas arriba se ilustra en las Figuras C6 y C7, en las cuales se presenta un ejemplo concep-tu al.

Para determinar la fuerza cortante máxima, primero se coloca el tren de cargas haciendo coincidir P1 con R1 y después se coloca haciendo coincidir P3 con R2: La fuerza cortante máxima será igual al valor de la reacción para el caso en que quede más cerca la resul-


() 1mcyc

a ' � R

P2 a + P3 (a + b) X = -------

R

Figura C6. Tren de carga actuando sobre una viga simplemente apoyada

tante (R) del apoyo. Para el ejemplo que estamos considerando, podemos ver que cuando P3 coincide con R2 , la resultante queda más cerca del apoyo (ver Figura C8).

Una vez obtenido el momento máximo se procede a disefiar la viga longitudinal por flexión para revisarla después, tanto por esfuerzos permisibles como por resistencia y por corte.

CS. Diseño Generalmente las vigas de concreto presforzado para un puente se prefabrican, ya sea en una planta o en un lugar cercano a la

obra. Una vez colocadas en su lugar se fabrica, in situ, la losa que formará la calzada de dicho puente. Esta losa trabajará junto con la viga como una sección compuesta, pues tanto los tiempos de fabricación como la resistencia de los concretos no serán los mismos. La construcción puede ser "apuntalada" o sin "apuntalar" (soportada o sin soportar), como generalmente la sin "apuntalar" es la más común, sólo ésta trataremos aquí. La notación y las propiedades de la sección compuesta se muestran en la Figura C9.

Un posible criterio para disefiar la sección precolada, es suponer que ésta deberá soportar, además de su peso propio, toda la carga muerta más una porción de la carga viva (p.e. 50%) de tráfico. Después se revisa con la totalidad de la carga viva, pero ya como sección compuesta.

Generalmente, el proceso a seguir es proponer, en base a alguna relación claro/peralte recomendada, una sección standard de tal manera que sus módulos de sección cumplan con los requeridos de acuerdo a las siguientes relaciones:

donde:

S > S = ( 1 - R )M opc + M ocip + M d + MI 1 - l , req

( RJ,; -fes )

(1 - R)Mopc + Mocip + Md + M, s > s - -----..--------2 - 2, req .

(f1s - Rjci )

Mopc= momento flector debido al peso propio de la sección precolada

Mocip= momento flector debido a la losa colada en el sitio (patín)

Md = momento debido a la carga muerta adicional a los pesos propios


(C5. l )

(C5.2)

209

o 1mcyc

-----------------------·-------

1 . Det. de Mto. bajo P1

:;;l'

jR1 L/2-i/2=c i/2 i/2 d=c

R� R1 = Rd/L M1 = R1 e

2. Det. de Mto. bajo P2 x - a 1 1

P1 P2 p3 a b

R

L/2 (x - a)/2

JJ e = U2-(i-a)/2 Ri R1 = Rc/L M2 = (L/2 - (i - a)/2) R1 - P1 a

3. Det. de Mto. bajo P3 b _ {X _ a)=c

a

¡R1 d = L/2 - c/2

R2 = Rd/L

1 1

b

R¡

c/2 J J

M3 = R2 e

e = L/2 - c/2

Ri -- ------------------

Fig C7. Detenninación del momento máximo para un tren de cargas móvil

2 10

Apéndice C


o 1mcyc

a b

R L -x

R1 = R(L - x )/ L = V1

a b

L - c b - (x - a) = e

R2 = R(L - e )/ L = V2

Figura CS. Determinación de la fuerza cortante máxima

M 1 = momento debido a la porción de la carga viva (de tráfico)

Para el disefto de la fuerza de presfuerzo y de su excentricidad, puesto que por lo general tendremos una sección de concreto excedida en su capacidad por esfuerzos permisibles, se sugiere el uso de la técnica de Magnel para determinar la combinación más económica de P¡ y e.

Para asegurar que la sección compuesta (parte precolada + patín-losa) trabajará a flexión como una sola unidad se hace necesario garantizar la posibilidad de la transferencia del corte longitudinal en la unión del patín-losa con la sección prefabricada (ver Figura CIO).

Para garantizar la transferencia del corte longitudinal (u horizontal), podemos seguir las especificaciones (9.20.4) .de la AASHTO:

(9.20.4. 1 ) En un miembro compuesto, se debe asegurar la transferencia total de las fuerzas cortantes horizontales que se desarrollan en las superficies de contacto de las partes interconectadas.

(9.20.4.2) El disefto de las secciones transversales sujetas a corte horizontal puede hacerse de acuerdo al artículo 9.20.4.3 o al artículo 9.20.4.4.

(9.20.4.3) El disefto de las secciones transversales sujetas a corte horizontal puede basarse en:

(C5.3)


�' 1mcyc

C3c

1 1

! 1 i �b

colado in s itu (C IP)

ht

centroide de la · - · - - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - ·:- · - · - · - · · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · - · · - ·sección compuesta

C1 p ! h . e hp

- · - · - · - · - · - · - . i- · - · - · - · · - · - . - · - · - · - · - · -

1 1

centroide de la - · - · - · - · - · - · - · "sección prefabricada

+Ap Pag. 2 1 prefabricado (PC)

PROPIEDADES DE LA SECCIÓN PRECOLADA (información de tablas): Acp = área de la sección prefabricada (generalmente, la gruesa) lcp = momento de inercia centroidal de la sección prefabricada r2p = rad io de giro de la sección prefabricada elevado al cuadrado

ec

S1p = módulo de sección superior de la sección prefabricada ( lcp/C1p) S2p • = módulo de sección inferior de la sección prefabricada ( lcp/C2p)

PROPIEDADES DE LA SECCIÓN COMPUESTA: nb = ancho transformado a concreto de la sección precolada (n = Ecrp/Ec < 1.00) Acc = área de la sección transformada lec = momento de inercia centroidal de la sección transformada S1c = lcc/C1c S2c = lcc/C2c S3c = lcc/C3c S4c = lcc/C4c r2c = lcc/Acc

DETERMINACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA SECCIÓN COMPUESTA: Acc = Acp + nbht C2c = [Acp C2p + nbht (he - ht/2)]/Acc C1c = hp - C2c C3c = he - C2c C4c = C3c - ht lec = lcp + Acp (C2c - C2p)2 + nbh3t /1 2 + nbht (C3c - ht /2)2

Apéndice C

Figura C9. Propiedades de las secciones prefabricada y compuesta


o 1mcyc

colado in situ e bv I ........... -·----·-··-·T-----. 1----------------------i···--·----···---··· �-------------------i ···--·-···-· .. ·-----·-·

dp

prefabricado (PC)

Figura C 1 O. Transferencia del corte longitudinal entre el patín y el alma

donde Vu es la fuerza cortante desarrollada, por las cargas factorizadas, en la sección considerada, Vnh es la fuerza cortante resistente nominal de acuerdo con lo siguiente, y donde d es para la sección compuesta entera:

(a) Cuando la superficie de contacto esta limpia, libre de lechada e. intencionalmente rugosa

vnh :5. 5 .6 bd

(b) Cuando un mínimo de conectores al corte son provistos de acuerdo al artículo 9.20.4.5, y la superficie de con tacto esta limpia y libre de lechada, pero no intencionalmente rugosa

vnh :5. 5 .6 bd (c) Cuando un m ínimo de conectores al corte son provistos, de acuerdo al artículo 9.20.4.5, y la superficie de con

tacto está limpia y libre de lechada e intencionalmente rugosa con una amplitud total de 6.3 mm (1/4")

Vnh :5. 24 .S bd (d) Por cada porciento de refuerzo al corte horizontal en exceso del mínimo requerido por el artículo 9.20.4.5, Vnh

puede ser incrementado por

V = bd ( 1 1 .2/y J nh 2800 por ejemplo, si tenemos un exceso de refuerzo del 2%, para el caso (b) tendremos que

V h :5. 5 . 6 bd + 2 Y bd ( 1 1 .2/ J n 2800 (9.20.4.4) El corte horizontal puede ser investigado calculando, en cualquier segmento que no exceda de un décimo del claro, el cambio en fuerza de compresión o tensión a ser transferida. Esta fuerza factorizada no deberá exceder � Vn/, obtenida de·acuerdo al artículo 9.20.4.3 , (ver Figura C l 1 ).


o 1mcyc Apéndice C

En la Figura C 1 1 se ilustra el concepto del artículo 9.20.4.3 . En el caso particular mostrado la fuerza a transferir es de compresión, para un momento negativo sería de tensión. El cambio de fuerza en ese segmento se calcularía de la siguiente manera:

M M el = -'-'1 Y e = -"-2

jd 2 jd

jd = d - h 1 / 2 (d = dP, para presforzado)

(para determinar Vnh se substituye la longitud del segmento por d)

e colado In sltu

jd

T1 T2 fAp prefabricado (PC)

dista ncia <=U1 O

Figura C 1 1 . Transferencia de una fuerza de compresión en una sección compuesta

(9.20.4.5) Conectores para la fuerza cortante horizontal:

(a) Cuando se requiera, un área mínima de conectores de refuerzo deberá proveerse entre los elementos interconectados. El área no deberá ser menor que 3.5bvslfy, y el espaciamiento no excederá cuatro veces el menor ancho del alma del elemento soportante, ni 60 cm (el menor de los dos).

(b) Los conectores pueden consistir de varillas solas o alambres, estribos de múltiples ramas o las ramas verticales de malla electrosoldada. Todos los conectores deberán ser adecuadamente anclados dentro de los elementos interconectados por una longitud embebida suficiente (de acuerdo a la longitud de desarrollo necesaria) o ganchos.

Para garantizar la estabilidad lateral de la viga, aumentar la resistencia del borde libre del patín en los extremos de la viga y para transmitir las fuerzas laterales a la subestructura, se deben colocar entre las vigas diafragmas en los extremos y en puntos intermedios donde ocurra el máximo momento para claros iguales o mayores a los 1 2 m ( 40'), de acuerdo al artículo 9. 1 0. 1 de la AASHTO. Se pretende que estos elementos estructurales también sirvan para hacer que las cargas vivas de tráfico se distribuyan entre todas las vigas del sistema. El criterio para su diseño se i lustra en la Figura C 12 y por lo general son de concreto reforzado.

2 1 4 Concreto Presforzado

C6. Revisión

A's

As

a

s

Estrl os

W = carga de rueda

a = S I 2 (para flexión) a = O (para corte)

Figura C 1 2. Viga diafragma de acuerdo a 9-1 0. 1 de la AASHTO

o 1mcyc

La revisión, usualmente, se efectúa en secciones a cada décimo del claro. Para esto, conviene usar líneas de influencia tanto para los momentos flectores como para las fuerzas cortantes, pues las cargas vivas (de tráfico) son móviles y habrá que buscar para cada sección su posición crítica. Por la simetría basta hacerlas para la mitad del claro. En la Figura C 13 se mvestran las L. de l. para la mitad de una viga simplemente apoyada.

Para la revisión bajo cargas de servicio, tanto en la fase de transmisión como en la fase final, deberá determinarse los esfuerzos desarrollados en las fibras extremas de la sección de concreto para compararlos con los permisibles. Los esfuerzos desarrollados para secciones compuestas podrán ser determinados con las siguientes expresiones:

• En la fase de transmisión (bajo P¡ + w0pc , tomada por la sección precolada)


f - p; (1 epC2p J Mopc - - - + --- + --2 A 2 S cp rp 2 p

(C6. l )

(C6.2)

2 1 5

o 1mcyc

2 1 6

L. de l . para Momentos X f ; ! ! t J--t---W_j_ ¡ ¡ ¡ ¡

t 1' ; ; : ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1 : : : : : : : : : : : : : : : . .

t t

L. de l. para Cortes X ±1 ; . . . . . t : : : : : : :

Llitib:il . . . . . . ¡ � . � ; ¡ ¡ ¡ • • • • 1 • . . ' . . . . .

r�t • • • • • • 1 . . . . . . . ' ttí±bbil : : : : : : . : . . . . . . • • • • 1 • • 1 • • 1 1 • • • • • • 1 1 . . . . . . 1 1 1 • • •

t��t . . • ' • 1 • • • • • 1 • • • • • •

1 • • • 1 • 1 • ¡ ¡ � 1fl t±billt 1'� . . . . · 1 nTi1IlII t

Figura Cl3 . L. de l. para la mitad de una viga simplemente apoyada • En la fase de construcción de la losa-patín (bajo Pe + w0pc + Wocip,, tomada por la sección precolada)

/1 = -pe (1 - e p� t p ) - Mopc + Mocip

Acp rp S1 P

f 2 = -

pe (1 + e P � 2p ) + M opc . + M ocip

Acp rP S2P

(C6.3)

(C6.4)

Apéndice C

• En la fase de servicio (bajo Pe + Wopc + Wocq, + wd + w1., éstas dos últimas cargaJ tomadas por la sección compuesta)

f = -pe (1 - epC t p ) -

Mopc + Mocip -Md + ML

t Acp r; St p S i c

f - pe (1 epC 2p ) Mopc + Mocip Md + ML 2

- -- + -- + + ----

Acp r; S2p S2c

(C6.5)

(C6.6)


() 1mcyc

/3 = Md + M1. S J e

(fibra superior de la losa) (C6.7)

14 = Md + MI. S 4 c

(fibra inferior de la losa) (C6.8)

(esfuerzo en concreto de losa)

(esfuerzo en concreto de losa)

Los esfuerzos pennisibles propuestos por la AASHTO son más severos que los del ACI , por ejemplo, mientras que el ACI permite un esfuerzo de compresión igual a 0.6/ 'e; en la fase de transmisión, la AASHTO pennite solo 0.55/ 'ci en vigas postensadas, y en la fase de servicio no pennite que se desarrol len esfuerzos de tensión en vigas que no tengan acero de refuerzo adherido.

Al igual que cualquier viga de concreto presforzado, las vigas para puentes deben revisarse por resistencia, es decir, para conocer si son seguras o no, se debe detenninar la capacidad última para compararla con la demanda presentada por las cargas factorizadas según se indicó antes. Los criterios para los annados máximo y mínimo del ACI y de la AASHTO son los mismos, sólo que se deberá considerar que las vigas son de sección compuesta, lo que hará que algunos detalles sean diferentes: para revisar que cumpla con el armado mínimo deberemos determinar el momento de agrietamiento de una sección compuesta. De la ecuación C6.6, que volvemos a escribir

- -- + --- + + ----f - pe (i e,,C 2p J Mopc + Mocip Md + ML 2 Acp r1; S 2p S 2c

si igualamos Ji = /,.,, entonces tendremos Md + M1• = M*cr , quedando

f _ e 1 P 2 p opc oc1p cr - -- + --- + + --P ( e C J M + M . M * r Ac,, r� S2,, S 2c

de la cual, resolviendo para M*cr , obtenemos

M• =J · S + -e 1 + � · S - opc oc1p S p ( e e ) M + M .

cr r 2c A 2 2c S 2c � � 2p

finalmente, como le estamos restando los momentos de las cargas muertas resistidas por el precolado, nos debe quedar

A{., = M*cr + Mopc + Mccip

para que cumpla con annado mínimo

Debido a que las secciones de las vigas, ya compuestas, serán T (aunque, generalmente, se comportarán como rectangulares), la AASHTO especifica un ancho efectivo del patín que deberá ser el menor de:

b � � del claro de la viga

b � J2h¡ + bw

b � Yi de la distancia libre a la siguiente alma


(1 1mcyc Apéndice C

En la detenninación del momento nominal resistente (Mn) se sigue el mismo criterio que el ACI, considerando que toda la sección tendrá el f 'e correspondiente al patín, pues por lo general la viga se comportará como sección rectangular. Los factores de reducción y de carga serán los indicados en la sección C3 de estas notas (ver página 203).

Finalmente, en cuanto a revisión se refiere, las deflexiones también deben de considerarse para garantizar un buen desempefio bajo cargas de servicio, es decir, la serviciabilidad debe asegurarse. La ventaja que tendremos en vigas para puentes es que las secciones serán no agrietadas, pues no se penniten esfuerzos de tensión mayores que el módulo de ruptura, esto se traduce en elementos estructurales más rígidos y en cálculos más simples.

La AASHTO especifica en su sección 9. 1 1 :

(9. 1 1 .3 . 1 ) Vigas simplemente apoyadas o continuas deben diseñarse de tal manera que la deflexión debida a la carga viva más impacto de servicio no exceda de 1 /800 del claro, excepto en puentes en áreas urbanas usadas por peatones en donde la relación no deberá exceder de 1 / 1 000 del claro.

(9. 1 1 .3 .2) Para vigas en voladizo los límites son de 1/300 y 1/375 del claro, respectivamente (con referencia al artículo anterior).

Ahora bien, puesto que tendremos una viga de sección compuesta, los momentos de inercia que deberán considerarse serán: • Bajo P¡ Icp (sección precolada) • Bajo P¡ + Wocp Icp (sección precolada) • Bajo P¡ + wocp + Wocip • Bajo Pe + Wocp + Wocip + wd • Bajo Pe + Wocp + Wocip + wd + wL

Icp (sección precolada)

L:c (sección compuesta)

Ice (sección compuesta)

C7. Ejemplo A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar los conceptos vistos a través de las secciones C 1 a C6. Se pretende disefiar

las vigas longitudinales para un puente vehicular con carga de tráfico tipo HS20-44 con dos carri les de circulación (uno de ida y otro de venida). Se deberán usar vigas 1 tipo AASHTO (ver anexo al final de este Apéndice) con la información que se presenta a continuación (ver Figura C l4):

2 1 8

Solución:

f'c = 420 kglcm2

f'ci = 280 kglcm2

fe = 280 kglcm2 (para la losa que servirá de patín a la viga)

fp11 = 18900 kg/cm2 (acero de presfuerzo grado 270)

¡;, = 4200 kglcm2 (acero no presforzado de refuerzo)

l. Estimación del peralte con base en una relación claro / peralte recomendada

para Llh=25 obtenemos h = 100 cm ( 39.4 " )

del anexo 2 para vigas tipo AASHTO trataremos con una tipo I II, con las siguientes propiedades

Acp = 3613 cm2 (560 pulg. 2)

lcp = 5219126 cm4 (125390 pulg:1)

hp = 1 14. 3 cm (45 pulg.)

r2p = 1445 cm2 (224 pulg. 2)


C1p = 62. 81 cm (24. 73 pulg.) S1p = 83094 cm3 (5071 pulg.3)

C2p = 51. 49 cm( 20.27 pulg. S2p = 101363 cm3 (61086 pulg. 3)

S/2 s s

L = 25.00 m hr = 1 9.00 cm (7.5'")

S = 2.50 m (8.2") asfalto = 7.62 cm (3 '")

s s

Figura C l 4. Ejemplo de diseño de una viga para puente vehicular (carga HS20-44)

2. Propiedades de la sección compuesta (gobierna b = 250 cm)

con referencia a la Figura C9 y empleando las fórmulas indicadas ahí, obtenemos: n = 0.8 1 6

Acc = 7 489 cm2

C2c = 88. 91 cm

C1c = 25. 39 cm

C3c = 44. 39 cm

C4c = 25. 39 cm

lec = 1 5 1 1 3 1 5 7 cm.¡

S1c = 595241 cm3

S2c = 169983 cm3

S3c = 340463 cm3

S-1c = 595241 cm3

S/2

he = 133. 30 cm

() 1mcyc

Para revisar la sección propuesta se calcularán los módulos de sección requeridos para compararlos con los actuales.

3. Cargas sobre la viga

a) Muertas soportadas por el precolado

Wopc = 860 kglm (peso de la viga precolada)

Wocip = 0. 19 x 2.50x2400 = 1140 kglm (peso de losa)


�) 1mcyc

220

w 'd = 97 kglm {peso de instalaciones, w dpd w ' 'd = 1403 kg (cargas concentradas en L/3 por diafragmas)

b) Muertas soportadas por la sección compuesta (wdc) w ' ' 'd = O. 0767 x 2.50x2300 = 441 kglm (asfalto como sup. de rodamiento)

w ' ' ' 'd = 198 kg/m (parapetos)

w ' ' ' ' 'd = 1 7 kglm (pasamanos)

c) Cargas vivas (serán soportadas por la sección compuesta)

l. De eje: HS20-44 (delantero: 4000 kg y traseros: 1 6000 kg)

2. De carril:

(a) Para momento flector

una carga distribuida de 950 kg/m y una concentrada de 8 1 00 kg.

(b) Para Fuerza Cortante

una carga distribuida de 950 kg/m y una concentrada de 1 1 700 kg.

Nota: la carga concentrada habrá que colocarla de manera que produzca la máxima acción.

El factor de impacto será

1 = 1 5 •25 =0 .242 < 0 .30

25 + 38 . 1 25

4. Momentos máximos desarrollados por las cargas muertas y vivas

(a) Factor de distribución para la carga viva (de tráfico)

F.D. = S/5.5 = 8.215.5 = 1.49 (para carga de rueda)

F.D = 1.4912 = O. 745 (para carga de eje o de carril)

(b) Momento máximo con carga de carril

Wmuer1a= 860 + 1 140 + 97 + 441 + 198 + 1 7 = 2753 kg / m

P muerta = 1403 kg @ L/3

Mmuerta = (2753 X 252/8)100 + {1403 X 25 / 3)100

Mmuerta = 22 676 979. 00 kg-cm

Mviva = {(950 X 252/8)100 + (8100 X 25 / 4} 100} (J.242} (O. 745}

Mviva = 1 1 551 667. 00 kg-cm (ya con el factor de impacto y con el F.D.)

Mservicio = 3 4 228 646. 00 kg-cm (en el centro del claro)

(c) Momento máximo con carga de eje. Con referencia a la Figura C6 y C7 con

Apéndice C

a = 4.27 m, b = 4.27 m, y L = 25 .00 m, obtenemos R = 36000. 00 kg y i = 5. 69 m


l. Para el momento máximo bajo P1 = 4000 kg (a 2.85 m antes del centro del claro)

e = d = 25 - 5·69 =9.655 m 2

R1 = (�6000) (9. 655) I 25 = 13903.20 kg

M1 = (13903.2)(9.655) = 134235.00 kg-m

2. Para el momento máximo bajo P2 = 16,000 kg (a 0.71 m antes del centro del claro)

e = [ 25 - (5. 69 - 4.27)] )2 = 11. 79 m

1 = (36000) (11. 79) / 25 = 16 977. 60 kg

M2 = (1 l. 79) (16977. 60) - (4000)(4.27) = 183085.90 kg-m

3. Para el momento máximo bajo P3 = 16 000 kg (a 1 .425 m después del centro)

e = 4.2 7 - (5. 69 - 4.27) = 2.85 m

d = e = (25 - 2.85)12 = 11.075 m

R2 = (36000) (1 l. 075)125 = 15 948. 00 kg

M3 = (15948. 00)(11. 075) = 1 76 624. 10 kg-m

Gobierna el momento bajo P2, a 7 1 cm antes del centro del claro, con un momento de 1 83 085.9 kg-m.

El momento por carga viva más impacto que se distribuirá en la viga será: .

ML+J = 183086 x 1. 242 x O. 745 = 169408. 00 kg-m

Mmuerta = {2753 X 25 / 2) {J l. 79) - {2753/2) {11. 79}2 + {1403 X 25 /3)

Mmuerta = 226 076. 00 kg-m

Mservicio = 226076. 00 + 169408. 00 = 395484. 00 kg-m

Mservicio = 39548400. 00 kg-cm

Nótese que gobierna la carga de eje sobre la de carril .

5. Revisión de la sección propuesta (PC)

(a) Esfuerzos permisibles

ft¡ = 0.8.J280 = 13. 4 kg / cm2 <14 kg / cm2, (VoBo)

fe; =-0. 55 (280) = -154. 00 kg/cm2

fr.� =l. 6 .J420 = 32. 79 kg / cm2 (se asume que tendrá refuerzo adherido)

(j 1mcyc

fes =-0. 40 (420) = -168. 00 kg / cm2 (se diseñará solo para un 50% de la carga viva)

(b) Módulos de sección requeridos (R = 0.85)

f'1r = Rfi; -fcs = 1 79.39 kg / cm2


ti 1mcyc

222

/'2r = /rs - Rfc¡ = 163. 69 kg / cm2

Momentos soportados por la sección precolada

Mopc = [(860 X 25 X 1 l. 79 / 2) - (860 X 1l. 792 I 2))100 = 6 697 074. 00 kg-cm

Mocip = [1140 x 25 x 1l. 79 I 2) - (1140 x 1l . 792 / 2))100 = 8 877 516. 00 kg-cm

Mw'd = (97 / 1140) Mocip = 755 368. 00 kg-cm

Mw "d = (1403 X 25 I 3)100 = 1 169 167. 00 kg-cm

0. 15 Mopc+Mocip+Mw ·d+Mw"d = 1 1 806 612. 00 kg-cm

Momentos soportados por la sección compuesta (se tomará el 50% de la carga)

Apéndice C

0.5Mw" 'd = [(0.5 X 441 X 25 X 11. 79 / 2) - (0.5 X 441 X 1 1. 792 / 2)]100 = 1 71 7 099. 0 kg-cm

0.5Mw""d = (198 / 44l)Mw""d =770 942. 0 kg-cm

0. 5Mw "" 'd = (1 7 / 198)Mw ""d = 66 192. 0 kg-cm

0.5ML+/ =16 940 800. 00 X 0.50 = 8 470 400. 0 kg-cm

0.5(Mw"'d+Mw""d+Mw"'"d+U.+J = 1 1 024 633. 0 kg-cm

M = 0. 15 Mopc + Mocip + Mw'd + M..v "d + 0. 5(M..v ' "d + M..1• ""d + M..v " " 'd + M1.+J

M = 22 831 245. 00 kg-cm

S1r = MI f '1r = 127 272 cm3 (vs 83 094 cm3)

S2r = MI f '2r = 139 479 cm3 (vs 101 363 cm3)

Como podemos ver la sección propuesta no es adecuada. Se necesitaría una sección más aperaltada, del anexo 2 para vigas tipo AASHTO se selecciona la tipo IV.

(a) Propiedades de la sección precolada (AASHTO tipo IV)

hp = 137. 16 cm (54pulg.)

Ácp = 5 090 cm2 (789 pulg. 2)

lcp = JO 852 859 cm.¡ (260 741 pulg. 2)

C1p = 74.35 cm (29.27pulg.)

C2p = 62.81 cm (24. 73pulg)S1p = 145 970 cm3 (8 908 pulg. 3)

S2p = 1 72 788 cm3 ( 1 0 544 pulg.3)

r2 = 2 129 cm2 (330 pulg. 2)

Wocp = 1 213 kg /m

Mocp = {(1213 X 25 X 1l. 79 / 2) - (1213 X 1 l. 792 12))100 = 9 445 989. 00 kg-cm

0. 15 Mocp = 1 416 898. 00 kg-cm (la diferencia es 4 1 2 337.00 kg-cm)


ti 1mcyc

M + M!ocp = 22 831 245. 00 + 412 337. 00 = 23 243 582. 00 kg-cm

S '1, = 129 570. 00 cm3 (versus S1p = 145 970. 00 cm3)

S '2r = 141 998. 00 cm3 (versus S2p = 1 72 788. 00 cm3)

(b) Propiedades de la sección compuesta

h, = 13 7. 16 + 19 = 15 6. 16 cm

Ácc = 5 090+ 204 X J 9 = 8966 cm2

C2, = [5090 x 62.81 + 204 x 19 (156. 16 - 1912)} / 8966 = 99. 06 cm

e,, = 137. 1 6-99. 06 = 38. 10 cm

C3, = 156. 16-99. 06 = 57. 10 cm

C-1, = C1, = 38. 10 cm

!,, = JO 852 860 + 5 090(99. 06-62.81/ + 204(19)3 / 12 + 204 X 19( 57. 1-19 / 2/

!,, = 26 440 127 cm4

s,, = 693 930 cm3

S2, = 266 910 cm3

83, = 463 050 cm3

S-1c = s,,

r2 = 2 948.93 cm2

6. Diseño de la combinación más económica de P; y e

Usando la técnica de los diagramas de Magnel con las propiedades de la sección prefabricada y con los momentos

Mo = Mocp = 9 445 989. 00 kg-cm

Ms = {Mopc + Mocip + Mw 'd + Mw"d} + {0.5(Mw"'d + Mw""d + Mw"'"d + M¿+¡}}

Ms = 31 272 673. 00 kg-cm

obtenemos, asumiendo re = 10 cm (recubrimiento del centroide del acero)

P;,máx = 415 214. 00 kg

P;,mín = 346 930. 00 kg

e = 52.81 cm (es la emáx con re = 10. 00 cm)

el área de presfuerzo, con un fp;p = O. 7 fp11 = 13,230. 00 kg I cm2, será

Ap = 346 930 / 13 230 = 26.22 cm2

usando cable trenzado de 7 hilos (torón) de diámetro igual a 1 .27 cm. ( 1 /2") con área de 0 .99 cm2, el número de cables será

No. Cables = 26.2210. 99 = 26. 48


Q 1mcyc

224

Apéndice C

se sugiere usar 30 cables alojados en tres duetos ( 1 O cables en cada uno) que esforzados a su máximo esfuerzo permisible de 13 ,230 kg/cm2 darían

P; = 392 931. 00 kg (Pi,mín < P; < Pi.máJ

puesto que la viga será postensada, el perfil del presfuerzo será parabólico con la excentricidad máxima donde ocurra el momento máximo y excentricidad igual a cero en los apoyos (ver Figura C 1 5) . Para efectos prácticos se considerará que la excentricidad máxima se localiza en el centro del claro y se calculará la excentricidad en donde ocurre el momento máximo (0.7 1 m del centro del claro)

la constante se determina haciendo y = e cuando xp = 1250 cm (L/2)

K = 52.811(1250)2

entonces, la excentricidad en la sección de máximo momento será

em10. máx. = emáx -Y71 cm

Y71 cm = 52. 81(71)2 I (1250}2 = 0. 1 7 cm

emto, máx. = 52. 81 - 0. 1 7 = 52. 64 cm

finalmente, en cuanto al diseño por flexión se refiere, sólo resta determinar para el fabricante de la viga el esfuerzo que deberá inducir para tensar el acero de pres fuerzo. Éste se estima, ajustándolo después de calcular pérdidas, asumiendo que las pérdidas instantáneas serán del orden del 1 0%, quedando:

20

20

h1 = 13·230. 00 / 0.9

fp1 = 14 700. 00 kg / cm2 (con una elongación de cerca de 1 9.50 cm, aproxJ

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·�

= o = : O l centroide del

· - · · - · - ·¡ - ·- · ¡- ·- · - · ·- · - · -p-r-ec.ofacfo- ·- ·- · - · - · - · ·- ·- ·- -·- · - · - · - · - · - · - · - · - · -

0 0 0 �O cm.

sección en el apoyo sección en L/ 2

Figura C 1 5. Acomodo de los tendones en L/2 y en los extremos (apoyos)


o 1mcyc

7. Revisión (estimando pérdidas, no calculándolas) de la sección compuesta

Por esfuerzos permisibles en la sección crítica por flexión (@ x = 1 1 . 79 m)

l . Bajo P1 + Wopc' usando las ecuaciones C6.1 y C6.2

Ji = 0. 00 kg / cm2

h = -142.41 kg / cm2

2. Bajo Pe + Wopc + Wocip + w 'd + w "d, usando las ecuaciones C6.3 y C6.4 (modificadas para que también consideren w 'd y w"d):

Ji = .- 83. 71 kg / cm2

h = - 5 O. 34 kg / cm2

3. Bajo Pe + Wopc + Wocip + w 'd + w "c1 + w " 'c1 + w " "c1 + w " " 'c1 + W1.+1 , usando las ecuaciones C6.5 a C6.8:

Ji = - 115.47 kg I cm2 {fibra superior del precolado)

h = 32.23 kg / cm2 (fibra inferior del precolado)

jj = - 47.59 kg / cm2 (fibra superior de la losa transformada)

f¡ = - 31. 76 kg / cm2 (fibra inferior de la losa transformada)

f' 3 = - 38. 84 kg / cm2 (fibra superior de la losa original)

f' 4 = - 25.92 kg / cm2 (fibra inferior de la losa original)

Como se puede observar, en ningún caso se exceden los esfuerzos permisibles (para esta fase/es = - 0.6/ 'e = - 252.00 kglcm2). Note que e l esfuerzo desarrollado en la fibra inferior del precolado quedó casi en el limite (32.79), lo que quiere decir que el criterio de disefto es el adecuado y eficiente. Cabe hacer la aclaración que la revisión por esfuerzos permisibles debe hacerse no sólo para la sección crítica, sino para secciones a cada L/1 O. Para esto deberán colocarse las cargas de tráfico de manera que produzcan el máximo momento en la sección considerada, se sugiere el uso de lineas de influencia con una hoja de cálculo electrónica como se ilustra a continuación (ver Anexo 1 al final).

Para carga de carril y para carga muerta distribuida uniformemente (por viga)

a L - a


o 1mcyc

226

Por una relación de triángulos semejantes

L\ = a(L - a) ! L A = (L) (.1) 1 2 A = a (L - a) / 2 M(L+I ) = (950x A + 8 1 00x L\ ) (1 + l) (F . D .) Mv = Wo (A)

Para carga de eje (por viga)

caso 1

....... .-"

'"·'< e ) a e

P1 = 4 000 kg

P2 = 16 000 kg

d L - (a + e + d)

L - (a + e)

e = d = 4. 2 7 m L = 2 5. 00 m

L\ = a(L - a) / L A = a(L - a) /2

Por relación de triángulos semejantes

L\ ' = L\/ (L - a)[L - (a + e)]

L\ ' ' = L\ / (L - a) [L - (a + e + d)] ÑÍrL + 1; = [P2(L\) + Pi(L\ ') + P1(L\ "))(1 + I}(F.D.)

Mn = Wv(A)

Apéndice C


caso 2 (cuando a>c)

a

� = a(L - a) / L

A = a(L - a) / 2

por relación de triángulos semejantes

� , = (� /a)(a - c)

� ' ' = � / (L - a) [L - (a + d)]

L - a

Mr1, + 1J = [P,(� ') + P2(�) + Pi(� ")}(l + l)(F.D.)

o 1mcyc

se deberá tomar el mayor valor de Mr1, + IJ que resulte de los casos 1 y 2 para compararlo con el valor obtenido con la carga de carril.

8. Revisión por resistencia en la sección critica por flexión


Md = 25 356 506. 00 kg-cm

ML+I = 16 929 800. 00 kg-cm

M11 = 1. 3[25 356 506+513(16 929 800)]

M11 = 69 644 800. 00 kg-cm

Mcr = 4 567 333. 00 kg-cm

l.2Mcr = 5 480 600. 00 kg-cm

dp = 145. 99 cm

he = 11 246. 00 kglcm2

/py = 1 7 010. 00 kglcm2

f'c = 280. 00 kg/cm2

Ap = 29. 70 cm2

As = 5. 68 cm2

227

o 1mcyc

228

Apéndice C

$Mn = 71 ! 85 300. 00 kg-cm (con Ap + 2#6 con d = 150 cm)

como se puede observar, la viga cumple con armado mínimo (l.2Mcr < $ Mn) y es segura, pues $ Mn >Mu. De nueva cuerita, cabe aclarar qu� la revisión debe hacerse para secciones a cada UJ O, colocando las cargas de tráfico de tal manera que se produzca el máximo momento en la sección considerada. Pueden usarse las relaciones vistas líneas arriba.

9. Revisión por tensión' diagonal (diseño del refuerzo transversal)

De nuevo se rec ,mienda el usq de líneas de influencia para diseñar el armado transversal de manera que tome el corte máximo que se puede generar en la sección considerada. Para determinar la contribución del concreto a resistir el corte se procede de la manera usual con la ayuda de una hoja de cálculo electrónica y también con las l íneas de influencia, como se i lustra a continuación.

e L - (a + e + d)

a e d L - (a + e + d)

A L - (a + e + d)

e = 8 1 ! a 8 = 8 v l (L - a)

de las relaciones de arriba se obtiene

8 1 = (a l L)

8 v = (L - a)/a

con estos valores obtenemos las áreas bajo la línea de influencia

A+ = (L - a/ / (2L)

A- = a2 / (2L)

ÁNETA = (L - 2 a) / 2

por relación de triángulos semejantes

8 'v = 8 n l(L - a)[L - (a + e)}

8 "n = 8 n /(L - a)[L - (a + e + d)]

el factor de impacto para el corte estará en función de a de acuerdo con


1 5 . 25 I = � 0 .30 a + 3 8 . 1 25

las fuerzas cortantes desarrolladas por cargas muertas y vivas serán (por viga)

por carga de eje

por carga de carril

VrL + IJ = { 950 (A+) + 11 700 (8D)} (1 + l}(F.D.)

o 1mcyc

deberá tomarse el valor mayor de los dos. Para calcular la contribución del concreto a resistir el corte usaremos, en la hoja de cálculo, las siguientes relaciones, tomando el menor de los valores obtenido con ellas :

a) Considerando la posibilidad de falla en el alma

b) Considerando la posibilidad de falla por flexión-cortante

a continuación se definen los parámetros involucrados en la relaciones anteriores.

Con referencia a la Figura de abajo, en la cual se define el perfil del presfuerzo, obtendremos parámetr-0s comunes a V cw y Vc1

X

L / 2 L / 2

La ecuación de la parábola es


\1 1mcyc

230

haciendo

Xp = L/2 y YP = e

obtenemos

k = 4e / L2

substituyendo lo anterior en la original queda

pero

X + xp = L/2 ó Xp = L/2 - X

que substituyendo en la ecuación anterior obtenemos

YP = (4e/L2) (x - Ll2/

Apéndice e

la ecuación anterior nos sirve para determinar la excentricidad, el peralte efectivo de la viga y la pendiente del perfil en cualquier sección a una distanciax del apoyo izquierdo incorporándola a las siguientes relaciones y derivándola con respecto ax, respectivamente:

(de la sección precolada)

o también

dy P 8e ( ) tan 8 = - = - x - L / 2 dx L2

Ahora definiremos relaciones para parámetros propios de Vcw

VP = P11 sen 8

Finalmente, las relaciones para definir los parámetros de Vc1

Mopc + Mocip S S 2C

2 p

V; y Mmdx se determinarán con las relaciones establecidas con la líneas de influencia

V. = (w + w )( L -2aJ + P + Vu, eJe (�J 1 dpc de 2 m l .3 S si x � L / 3


donde

donde

V ( )(L -2a ) V,,, e¡e (3 ) = w + w --- + --·- -i dpe de 2 1 .3 S

wdpe = carga muerta adicional soportada por el precolado

Wc1e = carga muerta adicional soportada por la sección compuesta

P m = carga muerta puntual (por los diafragmas)

si x � 7.5 cm

si x > 7.5 cm

si x > L / 3

Me1e = momento por la carga de tráfico (viva) de eje (que gobierna)

Si l a fuerza cortante desarrol lada es tal que requiera refuerzo transversal, se usarán l as siguientes relaciones

donde

donde

V,, = Fuerza cortante desarrollada por las cargas factorizadas

Ve = Fuerza cortante resistente proporcionada por el concreto (la menor entre Yei y Vci11)

Vr = Fuerza cortante resistente proporcionada por el refuerzo (estribos)

$ =factor de reducción (igual a 0.85)

Avfydp s = --- � smáx ' sárea min vs

s = separación de estribos a usar

Smax = separación máxima permitida

Sarea min = separación para cumplir con área mínima

o 1mcyc

Es muy úti l , junto con la hoja electrónica de cálculo, un diagrama que muestre la fuerza cortante resistente proporcionada por el concreto así como las fuerzas cortantes ú ltimas desarro l ladas (ver la gráfica de la siguiente página):

10. Revisión de la transferencia al corte en secciones a cada L/1 0 del claro

Para cada sección se determina Vu (fuerza cortante última desarrol lada) y se compara con $ Vnh (fuerza cortante resistente, por fricción) poniendo o no conectores entre e l patín y el alma, generalmente se usa el refuerzo transversal que ya se tiene para la tensión diagonal . En la tabla, donde se presentan los cálculos se puede ver que sólo en la primer sección el cortante resistente, considerando que

,se tiene un área mínima de resfuerzo transversal, es menor que el desarrol lado. S in embargo, en esa sección se tiene un refuerzo transversal mayor que el m ínimo (55.3% en exceso) por lo cual la resistencia es mucho mayor que la desarrol lada.

Concreto Presforzado ¡ 23 1

o 1mcyc Apéndice C

Corte Actuante versus Corte Resistente (concreto) 300000 --250000 1 1

"' \ / � 200000 - � � 150000 �

-� y '� � l 1-.__ -, ,___ "-.. 100000 � """� !"--1 r--

� ¡---_, l..........._._ � r--¡---,

--x(m) -o- Vu -6- 2Vu -o- Ne 50000 r-- -..¡ >-----¡--..-.,. -- --'----t3@50 '3@ 1� f3<1J 18 -- --....¡ l V ¡, I/ / t3@ 122 /#3@ �3 ¡, #3rm o.> / / / / / / I ' o 1 2 3 4 5 6 7 --x(m) o 2.5 5 7.5 10 11 .79 12.5 �vu 1 1 9238 101589 83940 66291 46818 34182 29170 -l:r-2Vu 238475 203178 167880 1 32582 93637 68364 58339 -o- Ne 1 07504 1 02748 48157 33861 24899 23254 23281

Claro (m)

Figura C 1 6. Diagrama de $V e versus V u 1 1. Diseño de la viga-diafragma

El diafragma se disefta como una viga de concreto reforzado simplemente apoyada entre las vigas portantes de la calzada como se indicó anteriormente (ver Figura C 12). Para el ejemplo que nos ocupa:

232

Mu = PL/4 = (16000) (2. 5) / 4 + 0.4 X 1. 3 7X 2400 X 1. 4x2.52/8

Mu = 1 1 438.5 kg-m

Vu = 16000 + 0.4 X 1 .37 X 2400 X 2.5/2 = 1 7 644 kg

bw = 40 cm, h = 137 cm, d = 130 cm, J; = 4200 kg I cm2, f 'e = 250 kg I cm2

diseñándola como viga de concreto reforzado

As = As. mín = 1 7. 16 cm2 (6#6 por abajo y 2#6 por arriba)

� Ve = 0.85 X 0.55 .J2so X 40 X 130 = 3843 7 kg


(1 1mcyc

�Ve > V" por lo tanto no necesita estribos, se pondrán sólo para sostener el acero longitudinal:

2 est. #3 @ 50 cm (4 estribos).

12. Revisión de las deflexiones

Cálculo de las deflexiones inmediatas

Ec; = 15100 .J280 = 252, 671 kg I cm2 (f 'e; = 280 kg / cm2)

Ec = 15100 .J420 = 309,458 kg /cm2

Ecc = 15100 .J280 = 252, 671 kg I cm2 (con f 'e de la losa)

P; = 392 931 kg

E = 52.81 cm

lcp = 10 852 859 cm"'

lec = 26 440 127 cm"

Wopc =1213 kg /m,

Wdc = 656 kg / m

�1cip= 1 140 kg /m, Wdpc= 97 kg / m

Ppun. = 1403 kg (en los tercios del claro, por los diafragmas)

para un perfil parabólico del presfuerzo

ó . = - 5P;eL2 P' 48EI

substituyendo los datos, obtenemos

Óp; = - 4.93 cm (negativo: hacia arriba)

ó = -Ó . Eci R = -(4.93)( 1 5 1 0º .J280 J co.ss) pe pt E e 1 5 1 00 .J420 Ópe = -3. 42 cm

para cargas uniformemente distribuidas

5wL4 Ó =--384EI

substituyendo en la fórmula anterior para cada una de las cargas muertas distribuidas, obtenemos

Óopc = 2.250 cm (positivo: hacia abajo, con Ec; e lcp) Óocip = l. 730 cm (con Ec e lcp) Ódpc = 0. 147 cm (con Ec e lcp)


() 1mcyc

234

�de = 0.500 cm

para las cargas muertas puntuales en los tercios del claro

� = Pa (3L2 - 4a2) 24EI

donde a = U3 = 8.33 m

11d.pun = 0.232 cm (con Ec e fcp)

Apéndice C

para las cargas vivas de carril (carga uniformemente distribuida y una concentrada en el centro del claro)

Wcarril = 950 (1 + !) F.D. = 950 ( 1.242) ( O. 745) = 879 kg / m

P = 8100 ( 1. 242 )( O. 745) = 7495 kg (en el centro del claro)

5 (8 .79) (25004 ) 7495 (25002) � + =0 .67 cm I, carril 3 84E J 48E J ce ce ce ce

para cargas vivas de eje

P1

e

± 4.27

H 0.71!

/r 1.52 J 1 1 1 i

25.00 m

111. eje = 1 .503 cm resumen de deflexiones inmediatas

11p; = -4.93 cm 11pe = -3. 42 cm 11opc = 2.25 cm 11ocip = l. 73 cm 11d.pun = o. 2 3 cm 11dpc = O. 1 5 cm

11dc = 0. 50 cm 111,e_¡e= 1. 50 cm 8.94

P1 = 4000 (1+ / )FD = 370 1 kg

P2 = 1 6000 (1+/)FD = 14805 kg

P3 = 14805 kg


en la transm isión de la fuerza de presfuerzo (camber)

� = �pi + �opc = -2. 68 cm

deflexión a largo plazo

donde


� = -� - ( � pi + � pe Je + {l + C )(� oq1 + � ocip + �d.p11n J / arg o p. pe 2 11 11 +� + � Jpc de

(coeficiente de flujo plástico del concreto)

�largo p. = 2. 807 cm (permanente)

�total = �/ar¡:o p. + �/.eje = 4. 31 cm

fí 1mcyc

235

�, 1mcyc Apéndice C

C.8. Anexo 1 : Desarrollo del ejemplo en hoja electrónica de cálculo :

EJEMPLO DEL DISEÑO DE UNA VIGA PARA PUENTE nombre cantidad unidades nombre

L 25 m Re PI 392931 ka ce R 0.85 efectividad d

PE 333991 ka FO SPC1 1 45970 cm3 SCC1 SPC2 172788 cm3 SCC2

Aco 5090 cm2 CCP1 r2p 2 1 29 cm2 n

ARREGLO 1 (CARGAS DE EJE) PPP3 . PPP2 PPP1

X(m) DELTA DELTA 1 DELTA 2 o 0.000 0.000 0.000

2.5 2.250 1 . 823 1 . 396 5 4.000 3. 1 46 2.292

7.5 5.250 3.969 2.688 1 0 6.000 4.292 2.584

1 1 .79 6.230 4.21 6 2.202 1 2.5 6.250 4. 1 1 5 1 .980

kg-m kg-m kg-m kg-m MTO.C.M.P. MTO.DC MTO.DPC M(L+l)NIGA

o o o o 3508 1 8450 2728 65444 701 5 32800 4850 1 14239

10523 43050 6366 144804 1 1 692 49200 7275 165039 1 1 692 51085 7554 169298 1 1 692 51250 7578 168624

kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2 f3(f.sup.lo) f4(f.inf.losa) f3 f4

0.00 0.00 o'.00 0.00 - 1 8. 1 2 -12.09 -14.78 -9.87 -31.75 -21 . 1 9 -25.91 -1 7.29 -40.57 -27.07 -33.1 0 -22.09 -46.27 -30.87 -37.75 -25. 1 9 -47.59 -31.76 -38.84 -25.92 -47.48 -31.69 -38.75 -25.86

kg kg kg kg-m Vu Vd Vi Mmáx

1 19238 29413 4 1 7 1 1 o 101589 23530 36342 93209 83940 17648 30973 164279 66291 1 1 765 25604 2 1 1 555 46818 5883 1 883? ?.dno7n 34182 1 61 1 1 4988 247594 291 70 o 1 3463 247077

cm kg kg cm el mas grande:

Vs Vs,lim,inf Smax S1 (Av,minl 1 3804 57227 60 84 -1363 57227 60 84 42098 58244 60 84 38153 63082 60 84 25788 65985 60 84 1 2856 66875 60 84 6927 66953 60 84

DEFLEXIONES EN EL CENTRO DEL CLARO: cm cm cm cm

Api A pe Aopc Aocip -4.930 -3.420 2.250 1 .730

236

cantidad unidades nombre 1 0 cm PPP1

4.27 m PPP2 4.27 m PPP3

0.745 factor de dis. 1 693930 cm3 SCC3 2669 1 0 cm3 SCC4

74.35 cm CCP2 0.81 6 rel. Modular Acc ARREGLO 2 (CARGAS DE EJE)

PPP2 DELTA 0.000 2.250 4.000 5.250 6.000 6.230 6.250

cm ep(x) 0.00

1 9.01 33.80 44.36 50.70 52.64 52.81

cm dp(x) 93.35

1 1 2.36 1 27. 1 5 1 37.71 144.05 145.99 1 46. 1 6 kg-cm

M'cr 26265920 25866442 25555737 25333805 ?5200646 251 59840 251 56260

cm

S2(Av,min) 76 76 76 79 8 1 82 82

CAMBER cm

Adpc, cp 0.232

PPP1 PPP3 DELTAIZ1 DELTADE2

o 0.000 0.000 1 . 823 0.584 3.146 2.261 3.969 3.438 4.292 3.974 4.21 6 4 . 1 1 5 4 . 1 1 5 cm kg/cm2

yp(x) f1 (Pi+wopc) 52.81 -77.20 33.80 -49.31 1 9.01 -27.63 8.45 -1 2. 1 4 2. 1 1 -2.85 0.1 7 0.00 0.00 0.25

cm kg-m 0.8hc Mu 124.93 o 124.93 259919 124.93 458527 124.93 592401 124.93 6756 1 8 124.93 696448 124.93 696004

kg kg Vci Vci,lim 1 noc;c;oi=+14 23411 1 'l?7/'Hl 23411

"'"""" 23827 'lOR':l7 25806 '>n'>n'> 26994 ?AQC::7 27358 ?'l.d.dQ 27390

cm kg Sestruc. 2Vu

54 238475 -546 203178

18 167880 22 1 32582 33 93637 68 68364 1 26 58339 -2.680 cm

cm cm A dpc, cd Adc

0. 1 47 0.500

cantidad 4000

1 6000 1 6000 0.242

463050 693930

62.81 8966

kg-m MTO. C.V.E 1

o 70752 1 23504 1 58256 175008 175945 173760 kg/cm2

f2(Pi+wopc) -77.20

-100.75 -1 1 9.07 -132. 1 6 -140.01 -142.41 -142.62

Ap + 2#6 kg-m � Mn

449756 543041 6 1 7 1 1 3 670561 701948 7 1 1 853 71 2722

THETA(rad) 0.084 0.067 0.051 0.034 0.0 1 7 0.005 0.000

kg Ve

1 07504 102748 481 57 33861 24899 23254 23281

cm Al 1 . 503

unidades kg kg kQ factor de imp cm3 cm3 cm cm2

kg-m MTO.C.V.E2

o 651 68 1 1 6672 1 56548 178424 1 83029 1 82300 kg/cm2

f1 (cons.losa) -65.62 -71.66 -76.89 -81 .32 -83.33 -83.71 -83.74

kg Vud

52296 42202 321 07 220 1 3 10095 2867

o kg Vp

281 2 1 22525 1 691 1 1 1 282 5643 1603

o

kg Vnh(5.6bvd)

30209 30209 30746 33299 34832 35301 35343

Cu 2.000

nombre cantidad unidades IMP 0.242 factor de imo

Woco 1 2 1 3 ko/m Wocio 1 1 40 ka/m Wdoc 97 ka/m Wdc 656 ka/m PM 1 403 ka len LJ3) eo 52.81 cm he 1 56 . 1 6 cm

kg-m kg-m kg-m MTO. e.V.e. MTO. OPC MTO.OCIP

o o o 44944 341 1 6 32063 79900 60650 57000 104869 79603 7481 3 1 1 9850 90975 85500 124441 94460 88775 124844 94766 89063 kg-cm2 sección compuesta

f2( conslosa) f1(p.c.) f2(p.c.) -65.62 -65.62 -65.62 -60.51 -83.75 -29.08 -56.09 -98.08 -1 .00 -52.35 -1 08.39 1 8.03 -50.65 - 1 1 4.21 29.62 -50.34 -1 1 5.47 32.23 -50.31 -1 1 5.42 32.07

kg kg lmp.p/corte Vul.carr vul.eje

0.40 49470 66941 0.38 42280 59387 0.35 35589 51 833 0.33 29396 44278 0.32 23702 36724 0.31 1 9930 3 1 3 1 5 0.30 1 8505 291 70

kg/cm2 kg kg fcc Vcw Ve

65.62 126475 126475 65.62 120880 120880 65.62 1 1 70 1 3 56655 65.62 1 1 9700 39837 65 62 1 1 9050 29292 65.62 1 16539 27358 65.62 1 1 5070 27390

tomando la kg dp real: kg-m

Vnh(24.5bvd) Vnh(24.5bvd) 1 .2Mcr 1 32 1 63 98756 341447 1 32 1 63 1 1 8868 41 6007 1 3451 2 1 3451 2 474105 145685 145685 51 5561 1 52389 1 52389 540434 1 54444 1 54444 548056 1 54624 1 54624 548725

cm Al.p. ,perm.

2.807


C.9. Anexo 2: Propiedades de las vigas tipo AASHTO

b1 b1

±""'' hsup2

4 ..

h bw bw I .. ,.

hinf1

bz bz

Tabla l. Propiedades de la$ secciones tipo AASHTO Tipo b l b2 bw h hsupl hsup2

I 1 2" 1 6" 6" 28" 4" 3"

I I 12" 1 8" 6" 36" 6" 3"

11 1 1 6" 22" 7" 45" 7" 4.5"

IV 20" 26" 8" 54" 8" 6"

V 42" 28" 8" 63" 5" 3"

VI 42" 28" 8" 72" 5" 3"

Tipo Ac(pulg.2) I8(pulg.4) C1 C2 r2(pulg.2) W0cp(lb/pie)

l 276 22,750 1 5 .4 1 " 1 2.59" 82 288

I I 369 50,979 20. 1 7" 1 5 .83" 1 38 384

1 1 1 560 125,390 24.73" 20.27" 224 583

IV 789 260,74 1 29.27" 24.73" 330 822

V 1 ,0 1 3 52 1 , 1 80 3 1 .04" 3 1 .96" 5 1 4 1 ,055

VI 1 ,085 733,320 35 .62" 36.38" 676 1 , 1 30


I .. ,,. hsup2 hsup3

r··� hinf1

hsup3

No tiene

No tiene

No tiene

No tiene

4"

4"

hinfl 5"

6"

7"

8"

8"

8"

�ti 1mcyc

hinf2 ·

5"

6"

7.5"

9"

1 0"

1 0"

237

,., 1 mcyc

Inst ituto Mexicano del Cemento y del Concreto, A.C. Insurgentes Sur 1 846, Col . Florida

C .P . 01 030, México, D .F . Tels. : 5662 0606 • 5662 3348

5662 6356 • 5663 4367 Fax : 5322 57 45

www . imcyc.com drueda@mai l . imcyc.com

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