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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

-------------------------------------------------------------------------------TEMA 18

ONDAS EN MEDIOS ELÁSTICOS. ENERGÍA QUE TRANSPORTAN. FE-NÓMENOS CARACTERÍSTICOS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. METODOSEXPERIMENTALES PARA SU ESTUDIO. EL SONIDO COMO EJEMPLO DEONDAS LONGITUDINALES. CONTAMINACIÓN ACÚSTICA.

Esquema

1. Introducción al Movimiento Ondulatorio.1.1. Fenómenos ondulatorios de la naturaleza.1.2. Movimiento Armónico Simple. (M.A.S.).1.3. Ecuaciones de la Elongación, Velocidad y Aceleración.1.4. Energía del Oscilador Armónico.

2. Movimiento Ondulatorio. Ondas Mecánicas.2.1. Ondas Longitudinales y Transversales.2.2. Ondas sinusoidales.2.3. Composición de ondas. Análisis de Fourier.2.4. Velocidad y propagación de las ondas.2.5. Ecuación de onda. Conceptos de Frecuencia y Número de Onda.

3. Energía del Movimiento Ondulatorio.3.1. Energía de un Movimiento Ondulatorio.3.2. Intensidad del Movimiento Ondulatorio.3.3. Absorción del Movimiento Ondulatorio en un medio.

4. Fenómenos característicos del Movimiento Ondulatorio.4.1. Principio de superposición.4.2. Interferencia de ondas.

4.2.1. Intensidad en el fenómeno de interferencia.4.3. Ondas estacionarias.4.4. Pulsaciones.4.5. Principio de Huygens. Reflexión y refracción de ondas.4.6. El Efecto Doppler.

5. Métodos experimentales para el estudio del Movimiento Ondulatorio.5.1. Ondas en cuerdas elásticas.5.2. Ondas en muelles.5.3. Cubeta de ondas.

6. El sonido.6.1. El sonido como onda longitudinal. Velocidad de la onda sonora.6.2. Cualidades del sonido.6.3. Intensidad del sonido.6.4. Sensación sonora.

6.4.1. Sensación umbral. Límites de sensación sonora.7. Contaminación acústica.

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TEMA 18

ONDAS EN MEDIOS ELÁSTICOS. ENERGÍA QUE TRANSPORTAN. FE-NÓMENOS CARACTERÍSTICOS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. METODOSEXPERIMENTALES PARA SU ESTUDIO. EL SONIDO COMO EJEMPLO DEONDAS LONGITUDINALES. CONTAMINACIÓN ACÚSTICA.

1. INTRODUCCION AL MOVIMIENTO ONDULATORIO

1.1. Fenómenos Ondulatorios de la Naturaleza.

Cuando existe una serie de fenómenos en la naturaleza que presentan analogías ysimilitudes en su descripción y desarrollo, pueden agruparse para su estudio en un blo-que único de conocimientos. Esto ocurre con fenómenos tan aparentemente disparescomo son el sonido, la luz, las ondulaciones en la superficie de los líquidos, las ondas deradio y televisión, los movimientos sísmicos, etc., que se pueden caracterizar por laexistencia de un foco emisor donde se produce el fenómeno y su propagación en el es-pacio que le rodea mediante un "movimiento ondulatorio", lo que constituye la base dela "Mecánica Ondulatoria". También es movimiento ondulatorio el que describen laspartículas elementales que tienen velocidades del mismo orden que la velocidad de laluz, a las que se les asocia una onda.

Un hecho común de todo fenómeno ondulatorio es que se produce un transportede energía sin que haya transporte de materia, no obstante dicho transporte de energíapuede requerir de un medio material para realizarse (ondas mecánicas) o no requerir demedio material alguno, es decir, realizarse en el vacío (ondas electromagnéticas).

1.2. Movimiento Armónico Simple. (M A S ).

Una onda mecánica se produce cuando un foco emisor genera una perturbación fí-sica que se propaga a través del medio. La perturbación más simple que el foco puedeproducir consiste en la oscilación de un punto material en una dirección única (un sologrado de libertad) a ambos lados de una posición de equilibrio. La posición del puntopara un instante determinado vendrá dada por una sola coordenada x (elongación) y lafuerza resultante F que actúa sobre la partícula tenderá allevarla hacia la posición central de equilibrio y será di-rectamente proporcional a la elongación (Ley de Hooke):

xkF .−=La Fuerza F y la elongación x son en todo momento, de sentidos opuestos de ahí

el signo negativo de la ecuación, ya que la fuerza está siempre dirigida hacia el centro oposición de equilibrio La constante de proporcionalidad k se llama constante recupera-dora o constante armónica pues el sistema descrito es el Oscilador Armónico Simple.

1.3. Ecuaciones de la elongación. Velocidad y Aceleración.

Aplicando la ecuación de Newton a la fuerza recuperadora de la partícula, resulta:

xkam .. −= o sea: xmk

a −=

que es la condición que debe cumplir un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), o sea:

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xa 2ω−= donde:mk=ω

siendo ω la frecuencia angular o pulsación del movimiento armónico.

Considerando que la aceleración es la derivada segunda del desplazamiento, laecuación del oscilador armónico se escribirá en forma diferencial:

022

2

=+ xdt

xd ω cuya solución es: )cos(.)( ϕω += tAtx (1)

que describe la posición de la partícula para el instante t y contiene dos constantes: A yϕ, procedentes de las dos integraciones realizadas para la solución de la ecuación dife-rencial.

A = Amplitud o valor máximo de la elongación x (máximo desplazamiento)ϕ = Fase inicial o fase para t=0, tiempo en el cual la elongación inicial viene dada

por ϕcos.0 Ax = .La ecuación (1) es la elongación en el M.A.S. y describe la posición del oscilador

x desde el origen o posición de equilibrio, en el instante t contado éste a partir del origende tiempos t=0, en que la elongación del oscilador es la elongación inicial ϕcos.0 Ax =correspondiente a la fase inicial.

Para comprender mejor el Movimiento Armónico Simple, puede servirnos comomecanismo auxiliar un móvil con Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.) sobre unacircunferencia de radio A (Amplitud del M.A.S.), con velocidad angular ω constante(siendo ω=2π/T). Proyectando el móvil sobre el diámetro, su punto de proyección des-cribirá exactamente un Movimiento Armónico Simple de frecuencia angular ω. En lafig.2 se observa que para t=0 existe una fase inicial ϕ del M.A.S. correspondiente alángulo ϕ del M.C.U. Tanto la velocidad v=ω.A como la aceleración a=ω2A del M.C.U.al proyectarlas sobre el diámetro, darán la velocidad y aceleración del M.A.S.

En la ecuación (1), x nos da la elongación del móvily es un vector de posición, pero como el movimiento serealiza en una sola dimensión, todos los vectores tienen lamisma dirección, y se prescinde de la notación vectorial

Derivando sucesivamente respecto del tiempo, obte-nemos la velocidad:

( )ϕωω +−== tAdtdx

v sen (2)

y la aceleración:

( )ϕωω +−=== tAdt

xddtdv

a cos2

2

2

(3)

resultando: xa 2ω−= (4)

Para comprender mejor el significado de la frecuencia angular ω, calcularemos laelongación para dos instantes t y t+2π/ω o sea (t y t+T):

1º instante: ( )ϕω += tAx cos.1

2°instante: ( )[ ] ( ) =++=++= ϕπωϕωπω 2cos./2cos.2 tAtAx … …= ( ) 1cos. xtA =+ϕω

igual elongación que para el primer instante, o sea, se encuentra en la misma posición,

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sentido de desplazamiento, velocidad y aceleración que en el primer instante. El móvilrepite posición y todas sus variables cinemáticas después del tiempo 2π/ω que llamamosT (periodo) que establece el tiempo de repetición, luego T=2π/ω y

πνπω 22 ==T

siendo T1=ν la frecuencia

1.4. Energía del Oscilador Armónico.

La energía de un oscilador armónico es la suma de las energías cinética y poten-cial de la partícula oscilante. Esta, por estar sometida a una fuerza recuperadora acu-mula en su desplazamiento una energía potencial elástica y por encontrarse en movi-miento con una cierta velocidad posee una energía cinética. Ambas energías son:

( ) ( )ϕωϕωω +=+== tkAtAmmvEC222222 sen

21

sen21

21

siendo: 2ωmk =

( ) ( )∫∫∫ +==

==−−=−=

xx

xxx

P tkAkxx

kdxxkdxkxdxFE0

222

0

2

00cos

21

21

2.. ϕω

y la energía total del oscilador armónico será pues:

( ) ( )[ ] 2222

21

cossen21

kAttkAEEE PC =+++=+= ϕωϕω (5)

lo que nos indica que la energía del oscilador es constante y una vez en vibración nointercambia energía con el exterior, salvo que exista rozamiento. Las energías cinética ypotencial oscilan de tal manera que su suma se conserva y es proporcional al cuadradode la amplitud.

2. MOVIMIENTO ONDULATORIO. ONDAS MECÁNICAS

2.1. Ondas Longitudinales y Transversales.

Consideremos un medio material formado por partículas entre las cuales existeninteracciones mutuas más o menos intensas de lo que dependerá la rigidez del medio.En un punto del medio se produce una perturbación armónica consistente en que unapartícula oscila alrededor de su posición de equilibrio y arrastra a las partículas vecinastanto en la dirección de la oscilación como en las direcciones perpendiculares a la osci-lación Esto originará la transmisión y propagación de esta perturbación, partícula a par-tícula, en todas las direcciones a partir del foco (origen de la perturbación) dando lugaral Movimiento Ondulatorio, que tendrá características diferentes según se propague enla dirección de oscilación del foco o en dirección perpendicular a la oscilación.

Todos los puntos del medio serán alcanzados por la perturbación al cabo de uncierto tiempo de iniciada en el foco, tiempo que dependerá de la distancia del punto alfoco y de la velocidad con que se propague el movimiento ondulatorio.

Movimiento Ondulatorio longitudinal. Consideremos las partículas que se en-cuentran en la misma línea de oscilación del foco perturbador. La partícula oscilante ensu movimiento de vaivén empujará a las vecinas, las cuales actuarán de igual modo,comportándose como nuevos focos de perturbación y transmitirán la perturbación me-diante una serie de compresiones y dilataciones del medio pues cada una de las partícu-las oscila con un cierto retraso respecto a la anterior y adelanto respecto a la siguiente.

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Al cabo de cierto tiempo, la perturbación alcanzará a partículas alejadas del foco emisorsin que haya habido desplazamiento de materia salvo la vibración de las partículas.

La perturbación se propaga en este caso, mediante un Movimiento OndulatorioLongitudinal (M.O.L.) en la dirección de la propia vibración del foco. Como ejemplo deeste M.O.L. tenemos el Sonido, que se propaga en el un medio material como el aire,agua, etc. mediante una serie sucesiva de compresiones (+∆p) y de dilataciones o enra-recimientos (-∆p), transmitiéndose una onda de presión.

El Movimiento Ondulatorio Longitudinal se propaga en cualquier medio material,aunque sus partículas no se ejerzan entre sí fuerzas intermoleculares y la velocidad depropagación dependerá de las características de rigidez del medio.

Movimiento Ondulatorio Transversal. Las partí-culas situadas en direcciones perpendiculares a la devibración, sólo se verán arrastradas por la partículaperturbadora P si entre ellas existen fuerzas de ligadu-ra de cualquier naturaleza, de forma que cuando laprimera oscile, arrastre a las partículas laterales en lamisma dirección y les produzca igual oscilación y asíla perturbación se propaga partícula a partícula en unMovimiento Ondulatorio Transversal (M.O.T) en di-rección perpendicular a la vibración. La perturbaciónoscilatoria alcanzará otros puntos del medio a travésde este M.O.T cuya velocidad dependerá también delas características elásticas del medio.

Una característica diferenciadora de las ondas transversales con respecto a laslongitudinales es que las primeras pueden polarizarse, es decir fijar el plano en que seproduce la vibración de las partículas ya que éste puede variar a lo largo de la propaga-ción de la onda mientras las segundas no son susceptibles de polarizarse.

2.2. Ondas Sinusoidales.

Las ondas sinusoidales son aquellas que se propagan en el medio produciendo encada partícula un movimiento armónico simple, idéntico para todas las partículas. Sonlas ondas que trataremos en este tema y aunque quizás parezca demasiado restringido,no lo es si tenemos en cuenta que cualquier perturbación ondulatoria, más o menoscompleja, como las que se producen en los fenómenos naturales, puede expresarse comouna superposición de ondas sinusoidales dadas por expresiones armónicas simples.

Una perturbación armónica cuando se propaga en forma de una onda sinusoidal,lo hace en forma de ondas esféricas o de ondas circulares según que lo haga en tres o endos dimensiones y siempre que el medio sea homogéneo e isótropo, es decir, que pre-sente las mismas propiedades en todas las direcciones de su espacio de propagación.

2.3. Composición de Ondas. Análisis de Fourier

Las ondas que se producen en la naturaleza y de forma experimental en el labora-torio, o mediante instrumentos musicales, son en realidad, una superposición o compo-sición de ondas sinusoidales armónicas simples. Esto constituye el teorema de Fourier,

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que permite descomponer cualquier onda compleja en suma de ondas armónicas dadaspor ecuaciones sinusoidales simples con frecuencias que son múltiplos de una frecuen-cia fundamental.

Por ejemplo, en la fig.4 la onda compleja C, de período T, puede descomponerseen la suma de tres sinusoides (armónicas) de períodos T, T/3 y T/9 y de amplitudes A,A/2 y A/4 y se puede escribir:

tA

tA

tA πνπνπνψ 18sen4

6sen2

2sen. ++=

FIG.4

2.4.- Velocidad de propagación de las ondas.

Hemos de distinguir claramente entre la velocidad de la partícula en su movi-miento de vibración armónica, dada por la expresión (2) y la velocidad de propagaciónde la perturbación a través de las partículas del medio, ésta llamada "velocidad de laonda" o "velocidad de fase" , depende de la elasticidad del medio, de su densidad, de laclase de ondas, de la temperatura, etc., pero es independiente de las propiedades delfoco emisor.

Las ondas longitudinales y transversales se propagan a diferente velocidad en unmedio rígido, como se puede comprobar en las ondas sísmicas longitudinales y trans-versales a través de la corteza y núcleo de la Tierra, lo que permite la localización delhipocentro del sismo. En todo medio homogéneo e isótropo, la velocidad de la onda esconstante en todas las direcciones.

El cálculo teórico de velocidades de onda para medios distintos es bastante com-plejo y en general depende de las propiedades elásticas del medio por lo que daremos laexpresión general de la velocidad de onda y su aplicación a ciertos medios materialesdeterminados.

La velocidad del Movimiento Ondulatorio en un medio material viene dada por:

ρM

v =

siendo M = módulo de elasticidad del medio, que es la relación entre la presión defor-madora (F/S) y la deformación relativa (∆V/V) ó(∆L/L) y se mide en N/m :

VVSF

M∆

= ó

∆ LL

SF

ρ = es la densidad del medio medida en Kg/m3 :

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A partir de esta expresión general pueden obtenerse las velocidades de ondas enmedios sólidos, líquidos o gaseosos.

Se llama longitud de onda λ a la distancia mínima, medida en la dirección de pro-pagación, que separa dos partículas que se encuentran en el mismo estado de vibración,o sea, que están en fase (puntos 2 y 6). Mientras 1 realiza una oscilación completa entreA y B la onda se propaga la distancia λy alcanza a la partícula 5; en una se-gunda vibración de 1 la perturbaciónalcanza a la partícula 9 y así sucesiva-mente, luego cada longitud de onda Aes recorrida por la onda en el mismotiempo en que se produce la vibraciónde la partícula 1 y por ende, de las de-

FIG. 5

más partículas. Este tiempo es el periodo T de la vibración, luego:

νλλ.==

Tv

siendo ν la frecuencia de la vibración, es decir el número de vibraciones por unidad detiempo. Se mide en Hertz (ciclos/s, vib/s u oscilac/s).

2.5. Ecuación de onda. Conceptos de Frecuencia y Número de Ondas.

Para establecer la ecuación del movimiento ondulatorio, consideraremos un focoO origen de una perturbación armónica dada por la expresión:

tA ωψ cos.0 =donde la elongación ψ0 representa el desplazamiento de la partícula origen desde la po-sición de equilibrio. Generalizando, ψ representará la magnitud de la perturbación quese propaga con la onda. Esta perturbación puede ser un desplazamiento lineal de molé-culas que vibran, una variación de presión, una variación de campo eléctrico o magnéti-co o cualquier otra perturbación oscilante.

En la perturbación inicial ψ0 dada por ψ0=A.cosωt se ha supuesto que el origende tiempos t=0 coincide con la posición de equilibrio (fase inicial cero ϕ=0).

A una distancia x del punto origen, la onda llegará un cierto tiempo después,tiempo que vendrá dado por: t'=x/v y la partícula P allí situada sufrirá una oscilaciónarmónica idéntica a la de la partícula origen, si no hay pérdidas de energía, con un retra-so de t’=x/v respecto de la partícula origen. La perturbación ψ de dicha partícula vendrádada por una ecuación de M.A.S. idéntica a la anterior, o sea:

( )'cos. ttA −= ωψsiendo t el tiempo contado desde el inicio de la perturbación en el origen y t' el tiempotranscurrido hasta iniciarse la perturbación de la partícula P.

−=

−=

−=

Tvx

TtA

vxt

TA

vxtA ππωψ 2cos2cos.cos

resultando:

−=

λπψ x

TtA 2cos (6)

que es la ecuación del Movimiento Ondulatorio que expresa la magnitud ψ de la pertur-bación de la partícula P, de coordenada x, en el instante t. Esta ecuación es doblemente

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periódica y se repiten sus valores en el espacio y en el tiempo, lo que se comprueba paravalores t, t+T, t+2T, t+3T, etc., y para x, x+λ, x+2λ, x+3λ, etc.

Cualquiera que sea el punto considerado existe una periodicidad en su movi-miento pues se repite para T segundos. Los puntos que se encuentran a diferentes dis-tancias tendrán una diferencia de fase que dependerá de la distancia entre ellos. La dife-rencia de fase entre dos puntos a distancias x1 y x2 del foco será:

λπ 212

xxD

−=

y si esta distancia:1) es igual a un número entero de longitudes de onda λ, los puntos se encuentran "en

fase" o en "concordancia de fase".2) es igual a un número impar de se-

milongitudes de onda λ/2, 3λ/2, 5λ/2, etc,se encuentran en "oposición de fase".

3) es igual a un número impar de cuar-tos de longitudes de onda, es decir, λ/4,3λ/4, 5λ/4, etc., se encuentran en este casoen "cuadratura de fase". FIG. 7

La ecuación (6) puede escribirse también así:( )xtA κνπψ −= 2cos (7)

donde ν=l/T es la frecuencia y κ=1/λ es el número de ondas u ondas contenidas en unadistancia unidad. Algunos textos llaman Numero de ondas a la expresión 2π/λ o núme-ro de ondas contenidas en la distancia 2π, siendo entonces la ecuación:

( )xtA κωψ −= cos (8)

Ambas ecuaciones (6) y (7) se refieren a la perturbación ondulatoria a lo largo deleje X, sin embargo en cualquier otra dirección arbitraria r del espacio será:

( )rtA κνπψ −= 2cosSi consideramos las derivadas parciales primera y segunda respecto a x y a t re-

sultará:

( )

( )xtAt

xtAx

κνππνψ

κνππκψ

−−=∂∂

−=∂∂

2sen.2

2sen.2 ( )

( )xtAt

xtAx

κνπνπψ

κνπκπψ

−−=∂∂

−−=∂∂

2cos.4

2cos.4

22

2

2

22

2

2

y dividiendo miembro a miembro las segundas derivadas parciales:( )( )

22

2

2

2

22

22

22

22

2cos42cos4

vTxtA

xtAxt ===

−−−−=

∂∂∂∂ λ

κν

κνπκπκνπνπ

ψψ

o bien: 2

22

2

2

xv

t ∂∂=

∂∂ ψψ

(9)

ecuación diferencial del Movimiento Ondulatorio o ecuación de d'Alembert que expresaque toda variación de la magnitud ψ (elongación, presión, campo eléctrico o magnético,etc.) que la cumpla resulta ser una perturbación ondulatoria.

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3. ENERG1A DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

3.1. Energía de un Movimiento Ondulatorio.

Cuando la partícula del foco se separa de su posición de equilibrio para iniciar lavibración, han de vencerse fuerzas elásticas mediante una energía aplicada a la partículay en su vibración la energía comunicada se transforma en cinética y potencial al pasarpor las distintas posiciones del Movimiento Armónico Simple. Ambas energías, quetienen su origen en la perturbación inicial, se transmiten partícula a partícula avanzandoen todas las direcciones, lo que constituye la onda. Es una transmisión de energía sintransporte de materia.

Cada partícula, cuando pasa por su elongación máxima (x=A y v=0) presenta suenergía en forma de Energía Potencial exclusivamente y cuando pasa por su posición deequilibrio (x=0, v=vm) presenta toda su energía en forma de Energía Cinética.

Como la elongación viene dada por: Tt

A πψ 2cos=

la velocidad vendrá dada por: Tt

ATt

v ππψ2sen

2−=∂∂=

la velocidad máxima se producirá cuando: 12sen ±=Ttπ o sea A

TvM

π2m=

y la energía cinética vendrá dada por:

222

22

2

22 .

2421

21

AkAT

mA

TmmvE MC ==== ππ

(donde hemos englobado las constante en una sola: 2π2m/T2=k) y se deduce que laenergía de la perturbación ondulatoria es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Si se quiere mantener la propagación del Movimiento Ondulatorio continuamenteha de suministrarse al foco emisor la energía que éste emite en forma de ondas puescada partícula al transmitir la energía a sus vecinas pierde esta energía y quedaría enequilibrio si no recibiese la correspondiente fracción de energía para mantener el movi-miento. En un medio que sea homogéneo e isótropo la energía se transmite por igual entodas las direcciones y se reparte entre superficies esféricas concéntricas con el focoemisor.

La energía que se emite por el foco en un tiempo dt, se propaga, y al cabo de untiempo t1 se encontrará distribuida en una capa esférica de radio r1=v.t l y al cabo de untiempo t2 se encontrará en otra capa esférica de radio r2=v.t2 siendo el espesor de la capav.dt . Las masas de estas capas de espesores infinitesimales serán:

vdtrdrrdm

vdtrdrrdm2

22

22

21

211

.4..4.

.4..4.

πρπρ

πρπρ

==

==

y la energía contenida en ambas es la misma por ser la energía emitida por el foco en unintervalo dt determinado, transmitida al exterior y localizada en dos instantes diferentes.Dicha energía es:

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22

2

.2

AdmT

dEπ=

=

=

22

222

2

2

21

212

2

1

..4.2

..4.2

AvdtrT

dE

AvdtrT

dE

πρπ

πρπ

dividiendo miembro a miembro y siendo dE1=dE2 resulta:

22

22

21

21

.

.1

rArA= o sea:

1

2

2

1

rr

AA = (10)

es decir, las amplitudes del movimiento ondulatorio son inversamente proporcionales alas distancias al foco emisor, lo que significa que la onda se amortigua en amplitud conla distancia.

3.2. Intensidad del Movimiento Ondulatorio.

Se define Intensidad del Movimiento Ondulatorio en un punto dado del medio, ala energía que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propaga-ción, en la unidad de tiempo, o sea, a la potencia emisiva por unidad de superficie:

SP

tSE

I ==.

En los distintos puntos considerados, las intensidades vendrán dadas por:

trE

I 21

1 4π= e

trE

I 22

2 4π= (11)

dividiendo una entre otra resulta: 21

22

2

1

rr

II =

Las intensidades son inversamente proporcionales a los cuadrados de las distan-cias al foco y por (10) resulta:

22

21

2

1

AA

II = ⇒ 2AI ∝

resultando que la intensidad del Movimiento Ondulatorio es proporcional al cuadradode la amplitud.

3.3. Absorción del Movimiento.

La intensidad de un movimiento ondulatorio disminuye más deprisa de lo que in-dica la ecuación anterior y es debido a que el medio de propagación retiene parte de laenergía que transmite el movimiento ondulatorio en un proceso que se llama Absorcióny que dependerá de la estructura molecular del medio y de su estado cristalino. Prescin-diremos del mecanismo que produce la absorción y estudiaremos solamente sus efectos.

Consideraremos un frente de onda plano, lo que se obtie-ne a distancia muy grande del foco emisor de ondas esféricas,que alcanza un medio de espesor d separado por dos planosparalelos. Sobre el primero incide una intensidad Io y del se-gundo emerge la onda con intensidad disminuida I, (fig.9). Seandos superficies intermedias 1 y 2 separadas una distancia muypequeña dx y a distancia x del inicio de la capa de absorción.Entre estas superficies intermedias la intensidad disminuye en

FIG.9

dl de tal forma que esta disminución es proporcional al espesor y a la intensidad inci-

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dente: dxIdI .∝− o sea dxIdI ..β−=donde la constante de proporcionalidad β se llama "coeficiente de absorción" y repre-senta la absorción o disminución de la intensidad del Movimiento Ondulatorio de inten-sidad unidad al atravesar un medio de espesor unidad. El signo negativo significa que Idisminuye para una variación positiva de x.

Integrando: ∫ ∫−=I

I

ddx

IdI

0 0β ⇒ [ ] [ ]dI

I xI 00ln β−= ⇒ dII β−=− 0lnln

dII β−=0

ln ⇒ deII β−=0

⇒ deII β−= 0

La intensidad disminuye exponencialmente en el medio a causa de la absorción.Llamaremos "espesor de semiabsorción D" al espesor del medio que reduce, por absor-ción, la intensidad incidente a la mitad de su valor, o sea: I=I/2 luego:

DeII β−= 0

0

2 ⇒ De β−=

21

⇒ Dβ−=− 2ln ⇒ ββ693'02ln ==D

Las sustancias pueden presentar coeficientes de absorción que dependen de laslongitudes de onda de los MM.OO. y así, ondas de igual naturaleza pero distinta λ no sedebilitan igual al atravesar el mismo espesor del medio. Por ejemplo, los sonidos agudos(menor λ) en el aire son mejor absorbidos que los graves (mayor λ). El vidrio es trans-parente a los rayos solares que penetran en un invernadero, estos son absorbidos por lasparedes y éstas se calientan emitiendo radiación infrarroja de mayor λ que no escapa porel vidrio porque es opaco a ella (efecto invernadero).

4. FFNOMENOS CARACTERISTICOS DEL MOVIMIENTO ONDULA-TORIO.

4.1. Principio de superposición.

Cuando dos o más movimientos ondulatorios se propagan en un mismo medio,surge el problema de determinar la ecuación de la onda resultante de todos ellos actuan-do conjuntamente. Un principio de fundamento matemático nos servirá para resolver lacuestión; es el llamado Principio de Superposición de Ondas.

Sean ψ1, ψ2, …ψn las ecuaciones de n ondas que se propagan a través de un mediocomún. Por el Principio de superposición la onda resultante tiene por ecuación:

∑=

=n

ii

1

ψψ

Desde el punto de vista físico, significa que cada onda individuamente considera-da se propaga en el medio como si no existieran las demás. Es decir, la ecuación de on-da particular no se ve modificada por la existencia de otra u otras ondas presentes Noobstante, el efecto conjunto de todas ellas en un punto genérico del medio será diferentedel que se produciría si cada uno actuara por separado. La aplicación física del principiode superposición tiene sus limitaciones, y en rigor, sólo es válido para las ondas elec-tromagnéticas y para ondas mecánicas de pequeña amplitud, en particular para ondassonoras.

4.2. Interferencia de Ondas.

Cuando a un punto P del medio llegan dos movimientos ondulatorios procedentesde dos focos emisores diferentes, que tienen el mismo valor de la frecuencia y número

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de ondas, aunque pueden tener distinta amplitud, el punto P oscilará según le obliguenlos MM.OO. que lo alcanzan, sin que influya la oscilación de uno sobre la del otro. Laperturbación en P es, pues, la suma de las perturbaciones que producen los dos MM.OO. originarios.

Supongamos que F1 y F2 emiten ondas coheren-tes (igual frecuencia), distintas amplitudes, oscilacio-nes paralelas y en fase, que producen en P unas pertur-baciones ψ1 y ψ2 dadas por:

−=

λπψ 1

11 2cos sTtA y

−=

λπψ 2

22 2cos sTtA

La perturbación total ψ en el punto P, aplicandoel Principio de superposición, es: FIG. 10

+

−=+=

λπψψψ 1

121 2coss

Tt

A

−

λπ 2

2 2coss

Tt

A =…

…= +λ

ππ 11 2cos2cos

sTt

A +λ

ππ 11 2sen2sen

sTt

A …

…+ +λ

ππ 22 2cos2cos

sTt

A ...2sen2sen 22 =

λππ

sTt

A

…=

+

λπ

λππ 2

21

1 2cos2cos2coss

As

ATt

+

+

λπ

λππ 2

21

1 2sen2sen2sens

As

ATt

(*)

La perturbación total ψ también será sinusoidal y vendrá dada por una ecuaciónarmónica general que desarrollada resultará:

ϕπϕπϕπψ sen.2sen.cos.2cos2cosTtA

TtA

TtA +=

−=

e identificando con la ecuación anterior (*) tendremos:

ϕλ

πλ

π cos.2cos2cos 22

11 A

sA

sA =+

ϕλ

πλ

π sen.2sen2sen 22

11 A

sA

sA =+

ecuaciones que determinan la amplitud resultante y la fase resultante. Si elevamos alcuadrado ambas ecuaciones y sumamos miembro a miembro, tendremos:

+++=

λπ

λπ

λπ

λπ 2121

2122

21

2 2sen2sen2cos2cos2 ssssAAAAA

o sea: ( )212122

21

2 2cos2 ssAAAAA −++=

λπ

= ϑcos2 2122

21 AAAA ++ (12)

siendo el ángulo de fase: ( )21

2ss −=

λπϑ

1) Se produce un máximo de amplitud, y por consiguiente de intensidad, en elpunto P cuando cosϑ=1 con lo cual:

( )22121

22

21

2 2 AAAAAAA +=++= es decir: 21 AAA +=las amplitudes se suman algebraicamente, lo que ocurrirá en los puntos en que cosϑ=1o sea: ϑ=2π(s1-s2)/λ sea un ángulo de 0º o de varias revoluciones completas, es decir:2π(s1-s2)/λ=2πk siendo k un numero natural k=0, 1, 2, 3, 4,… Finalmente, la condiciónanterior será: λ.21 kss =− (13)

13/29

es decir, la diferencia de los caminos que separan los focos del punto P, ha de ser unnúmero entero de longitudes de onda, por ello las ondas llegaran a P en fase y sumaránsus elongaciones y amplitudes, produciéndose una interferencia constructiva.

2) Se producirá un mínimo de amplitud, y por tanto de Intensidad, cuandocosϑ=−1, con lo que:

( )22121

22

21

2 2 AAAAAAA −=−+= es decir: 21 AAA −=las amplitudes se restan algebraicamente, lo que ocurrirá cuando e sea un ángulo de180º (ángulo llano) o con una o más vueltas completas: 180°+360°, 180°+720°, 180+1080 , etc., es decir:

( ) ( )πλπ

122

21 +=−= kss (14)

es decir, un numero impar de ángulos llanos k=0, 1, 2, 3, 4,…de donde se deduce:

( )2

1221

λ+=− kss

es decir, la diferencia de caminos entre P y los focos es un número impar de semilongi-tudes de onda. Las ondas llegan a P en oposición de fase y sus amplitudes se restan pro-duciéndose una interferencia destructiva.

En consecuencia, todos los puntos que cumplan la condición de que sus distanciasa los focos difieran en un valor constante, ya sea kλ o bien (2k+1)λ/2 u otros valoresfijos, oscilaran con igual amplitud y en fase y por definición, dichos puntos correspon-den a ramas de hipérbolas o superficies de hiperboloides con focos en F1, y F2, obte-niéndose un conjunto de hipérbolas correspondientes a amplitud máxima (líneas o su-perficies ventrales) o correspondientes a amplitud mínima (líneas o superficies nodales).

4.2.1. Intensidad en el fenómeno de interferencia.

La intensidad en el fenómeno de interferencia la podemos obtener considerando:211 .AkI = e 2

22 .AkI =y la intensidad total será 2.AkI = siendo A la amplitud de interferencia y la constante

vk ρνπ 222= valores que sustituidos en (12) resulta:

( )212121 2

cos2 sskI

kI

kI

kI

kI −++=

λπ

o sea: ( )212121

2cos2 ssIIIII −++=

λπ

y se obtienen las mismas condiciones de máximos y mínimos que para el caso de la am-plitud.

Como caso particular consideraremos la interferencia producida en un punto, pordos ondas idénticas, incluso de amplitud A. En este caso, en los puntos de interferenciaconstructiva, la amplitud será 2A y en los puntos de interferencia destructiva la amplitudserá nula y las líneas nodales serán puntos en reposo.

4.3. Ondas Estacionarias.

Un caso importante de interferencia de ondas, que es la base del funcionamientode muchos instrumentos musicales, es el de las ondas estacionarias.

14/29

Se producen en el medio por la interferencia de dos movimientos ondulatorios quetienen la misma amplitud y longitud de onda y que se propagan en la misma direcciónpero en sentidos opuestos, como ocurre con la onda engendrada en una cuerda y su re-flejada en el extremo de sujeción de la cuerda. Las ecuaciones de estas ondas serán:

−=

λπψ x

TtA 2cos1 y

+=

λπψ x

TtA 2cos2

La ecuación del movimiento resultante será la ecuación de su composición:

+

−=+=

λπψψψ x

TtA 2cos21

+

λπ x

TtA 2cos =…

…= +λ

ππ xTt

A 2cos2cos +λ

ππ xTt

A 2sen2sen

…+ +λ

ππ xTt

A 2cos2cos ...2sen2sen =λ

ππ xTt

A

…=λ

ππ xTt

A 2cos2cos2

que representa la ecuación de un M.A.S. cuya amplitud depende de la posición x delpunto, o sea:

TtA

TtxA ππ

λπψ 2cos'.2cos2cos2 =

= (15)

donde λπ /2cos2' xAA = es una función sinusoidal de la amplitud del M.A.S. de la po-sición x.

La amplitud es máxima para los puntos cuya abscisa cumpla la condición:

12cos ±=λ

π x

o sea: πλ

π .2 kx = ⇒

2λ

kx =

estos puntos de máxima amplitud (A'=2A, vientres oantinodos), están fijos en el espacio y la distanciaentre ellos es de un numero entero de semilongitudesde onda.

FIG. 11

Existen otros puntos en los que la amplitud es nula, y son aquellos que cumplen la

condición: 02cos =λ

π x

o sea: ( )2

122π

λπ += k

x ⇒ ( )4

12λ+= kx

Estos puntos de amplitud nula tienen como abscisa, múltiplos impares de cuartosde longitudes de onda. Los nodos están intercalados entre los vientres, y la distanciaentre un nodo y un vientre será:

( ) ( )44

21224

12λλλλλ =−+=−+= kk

kkd

Los trenes de ondas que dan lugar a las ondas estacionarias se originan, por ejem-plo, en los instrumentos musicales, cuando un movimiento ondulatorio incide normal-mente contra un obstáculo y se refleja cambiando de sentido en su propagación. Se ori-gina entonces un cambio de fase equivalente a λ/2.

15/29

4.4. Pulsaciones.

Los movimientos ondulatorios que se presentan en la Naturaleza, como sonidos,ondas electromagnéticas, ondas sísmicas, etc., no son movimientos ondulatorios purosde una única longitud de onda. Se presentan en general como grupos de movimientosondulatorios de longitudes de onda λ variadas y próximas, llamados Trenes de ondas oPulsos.

Generalmente los MM.OO. que componen los trenes de ondas se propagan en elmedio a diferentes velocidades que dependerán de su λ (v=λ/T=λν); el medio, en estecaso, se llama dispersivo.

La velocidad de cada componente del tren de ondas se llama velocidad de fase yla distinguiremos de la velocidad del propio tren de ondas como conjunto, llamada velo-cidad de grupo, ya que el tren de ondas se propaga como un movimiento ondulatorioresultante de las ondas que lo componen. Sólo en el caso de que el medio no sea disper-sivo, los MM.OO. tendrán la misma velocidad, independiente de su longitud de onda yla velocidad de fase de los componentes será igual a la velocidad de grupo.

Consideremos la superposición en igual dirección y sentido, de dos movimientosondulatorios de igual amplitud y diferente longitud de onda. sus longitudes de onda λ1 yλ2 se diferencian en una cantidad pequeña en comparación con su propia dimensión ylas ecuaciones serán:

−=

111 2cos

λπψ

xTt

A y

−=

222 2cos

λπψ

xTt

A

como consecuencia de la superposición se obtiene un movimiento ondulatorio dado por:

−+

−=+=2211

21 2cos2cosλ

πλ

πψψψ xTtx

TtA

que desarrollaremos aplicando la ecuación trigonométrica siguiente:

2cos

2cos2coscos

βαβαβα −+=+

siendo:

−=

11

2λ

πα xTt

y

−=

22

2λ

πβ xTt

luego:

...2

22

cos2

22

cos2. 22112211 =

−−

−

−+

−=

λπ

λπ

λπ

λπ

ψ

xTtx

Ttx

Ttx

Tt

A

…=

−−

−

+−

+ xtTT

xtTT

A21212121

11112

2cos.11112

2cos.2λλ

πλλ

π

sustituyendo los períodos T1 y T2 por sus inversas las frecuencias ν1 y ν2 y las longitu-des de onda λ1 y λ2 por sus inversos los números de ondas κ1 y κ2, resultará:

−−

−

+−

+= xtxtA

222cos.

222cos.2 21212121 κκννπκκννπψ

16/29

Llamaremos frecuencia promedio a la media aritmética de las frecuencias compo-nentes y numero de onda promedio a la media aritmética de los números de onda com-ponentes, o sea:

221

0

ννν += y 2

210

κκκ +=

y llamaremos frecuencia de modulación a la semidiferencia de las frecuencias compo-nentes y numero de onda de modulación a la semidiferencia de los números de ondacomponentes, o sea:

221 ννν −=m y

221 κκκ −=m

con lo que: ( ) ( )xtxtA mm κνπκνπψ −−= 2cos.2cos2 00

es decir: ( )xtA 002cos' κνπψ −= Onda pulsante (16)que es un movimiento ondulatorio de frecuencia ν0 y número de ondas κ0 intermediosentre los valores de las ondas componentes y cuya amplitud:

( )xtAA mm κνπ −= 2cos2' Onda moduladora (17)es otra función ondulatoria de frecuencia νm y número de onda κm y por tanto A' varíaperiódicamente en el espacio y en el tiempo. De la longitud de onda de modulación:

mm κ

λ 1=

o inversa del número de ondas:

2121

2

2

1κκκκλ

−=−=m

resultará: 12

21

21

12

21

2211

2λλ

λλ

λλλλ

λλ

λ−

=−=−

=m

se deduce que cuando las longitudes de onda λ1 y λ2 se diferencian en una cantidad muypequeña λ1−λ2≅0 resultará λm>>λ1 y λm>>λ2 o sea, pulsaciones de larga longitud deonda y pequeña frecuencia.

Las pulsaciones que se obtienen con ondas sonoras se emplean para afinar instru-mentos musicales, pues comparando su frecuencia con un diapasón de frecuencia pa-trón, la pulsación de baja frecuencia nos indicará la gran proximidad de las frecuenciasde ambos y por ende, de su longitud de onda.

Hemos de distinguir con claridad que existen dos velocidades:

1) La velocidad de la onda pulsante, que resulta de componer las otras dos llama-da "velocidad de fase":

( )( ) 21

21

21

21

0

0

0

0

22

κκνν

κκνν

κνλ

++=

++===

Tv f

2) La velocidad de la envolvente u onda de modulación de las amplitudes, llama-da “velocidad de grupo”:

( )( ) 21

21

21

21

22

κκνν

κκνν

κνλ

−−=

−−===

m

m

m

mg T

v

En general, para todos los medios materiales donde se propagan ondas mecánicas,

17/29

las dos velocidades son diferentes, pues en ellos (medios dispersivos) la velocidad de laonda depende de la longitud de onda: vf≠vg. Sólo son iguales dichas velocidades en losmedios homogéneos no dispersivos en los que la velocidad de un movimiento ondulato-rio es independiente de la longitud de onda, como le ocurre a la luz en el vacío. En estecaso vf=vg.

4.5. Principio de Huygens. Reflexión y refracción de ondas.

En la propagación del Movimiento Ondulatorio,cuando un punto del medio es alcanzado por la pertur-bación, se comporta de forma idéntica al foco emisor,aunque con menos amplitud, o sea, menor energía, porestar ésta distribuida en un frente más amplio y debidotambién a la absorción. Cada punto al que llega laperturbación se comporta como un foco emisor deperturbaciones en todas las direcciones. Esto es elfundamento de principio de Huygens (1629-1695):"Todos los puntos del medio alcanzados por una per-turbación ondulatoria se convierten en centros emiso- FIG. 13

res de nuevas ondas (ondas secundarias) y la envolvente de todas ellas constituye elnuevo frente de ondas".

Las ondas secundarias sólo son activas en los puntos de la envolvente, pues en losde más puntos laterales se produce la destrucción de las ondas por interferencia. Fresnelcompletó el principio de Huygens admitiendo que las Ondas secundarias, son activas entodos los puntos, pero para obtener el efecto en un lugar determinado es preciso consi-derar los fenómenos de interferencia producidos en dicho punto.

Mediante el principio de Huygens puede explicarse tanto la reflexión como la re-fracción de ondas

Reflexión de ondas. La Reflexión es el fenómenopor el cual una onda que se propaga en un medio, al cho-car con un obstáculo retrocede por el mismo medio. Lasleyes de reflexión, enunciadas por Snellius, son las si-guientes: FIG. 14

1- El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano.2- El ángulo de incidencia i y el ángulo de reflexión r son iguales.

Para la explicación ondulatoria del fenóme-no, aplicando el principio de Huygens, considere-mos un frente de onda plana AB (fig 15), que cho-ca con una superficie opaca a las ondas. Los pun-tos extremos A y B del frente de onda, alcanza lasuperficie en los puntos A y B' que se conviertenen centros emisores de ondas secundarias, pero elextremo A del frente llega antes a la superficie yemite ondas que se propagan en el mismo medio.

FIG.15

Cuando el extremo B llega a la superficie en B', la onda emitida en A se encuentra en A'y el nuevo frente de onda será el A'B' .

18/29

Los puntos AB' de la superficie, emiten ondas secundarias al mismo medio, concierto retraso de A a B' a medida que el frente va alcanzando la superficie. Por simetríade la figura, los triángulos rectángulos ABB' y AA'B' son iguales, resultando que el án-gulo í (de incidencia) entre AB y la superficie es igual al ángulo r (de reflexión) entre elfrente reflejado A'B' y la superficie.

Refracción de ondas. La refracción es el fenómeno por el cual un MovimientoOndulatorio que se propaga en un medio, al chocar en la superficie de separación conotro medio, sufre una desviación en su trayectoria acercándose o alejándose de la nor-mal según que la velocidad de propagación del M.O. sea menor o mayor en el segundomedio que en el primero. Las leyes enunciadas por Snellius para la refracción son:

1. El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en elmismo plano.

2. La relación entre el seno del ángulo de incidencia i y el senodel ángulo de refracción r es constante e igual al cociente de las ve-locidades del movimiento ondulatorio en el primero y segundo me-

dios: nvv

ri ==

2

1

sensen

índice de refracción

Para explicar el fenómeno de la refracción de ondas consideremos un frente deondas AB que incide bajo un ángulo i sobre la superficie que separa dos medios de dife-rente densidad, en los cuales las velocidades del movimiento ondulatorio son v1 y v2 talque v1>v2.

El frente alcanza la superficie primero enA, punto que emite ondas secundarias de Hu-ygens en el segundo medio, a menor velocidadque en el primer medio. Sucesivamente, otrospuntos de la superficie, posteriormente alcanza-dos, emiten dichas ondas hasta que es alcanzadoel punto B'. El nuevo frente de onda A'B', envo l-vente de las ondas elementales emitidas sucesi-vamente por los puntos AB' de la superficie S,resulta con diferente orientación que el frenteincidente, formando un ángulo r (de refracción) FIG. 17

con la superficie. La propagación de B a B' se realiza en el mismo tiempo, en el medio 1que la propagación de A a A’ en el medio 2, luego:

AA’=v2t y BB’=v1tComo en los triángulos ABB’ y AB’A’ se cumple que:

=

=

rABAA

iABBB

sen.''

sen.'' dividiendo miembro a miembro, resulta:

rAB

iABtvtv

AA

BB

sen.'

sen.'

'

'

2

1 == ⇒ nri

vv

==sensen

2

1

donde la constante n es el llamado "índice de refracción" del medio 2 respecto del me-dio 1, o relación entre las velocidades de la luz en el medio 2 y en el medio 1..

19/29

4.6. El Efecto Doppler.

Hasta ahora hemos considerado focos emisores estacionarios cuya frecuencia devibración es idéntica a la frecuencia del movimiento ondulatorio que origina y se propa-ga en el medio estacionario. Un observador receptor de onda, que esté en reposo, perci-birá igual frecuencia que la del foco emisor. Cuando éste se mueve con respecto al ob-servador o viceversa, o ambos se mueven respecto al medio, se percibe una frecuenciadiferente de la emitida, fenómeno éste que fue observado y estudiado por el físico aus-tríaco Christian Doppler.

Consideremos que la velo-cidad del movimiento ondulato-rio en el medio es c y constante,por ser un medio homogéneo eisótropo. Si tenemos un observa-dor que se mueve con velocidadvO hacia el foco, la velocidadtotal del M.O. para el observadorserá: vO+c.

La distancia entre el foco yel frente de onda AB al cabo deltiempo t será:

tvtcs F−= .y ha de comprender el número de ondas emitidas en ese tiempo, siendo dicho númerode ondas νft luego la longitud de onda del movimiento ondulatorio en ese espacio ABdonde se concentran todas las ondas emitidas en t será:

f

F

f

F vct

tvtcondasdeNúm

Espacioνν

λ −=−=⋅

= ...

(18)

A su vez el observador se mueve hacia la derecha con velocidad vO saliendo (eneste caso) al encuentro del Movimiento Ondulatorio por lo que la velocidad relativa deéste respecto al observador será obviamente: vO+c

La frecuencia ν0 que el observador percibirá, será el cociente entre la velocidaddel movimiento ondulatorio y su longitud de onda, o sea:

λν cvO +=0

y sustituyendo λ, resultará:F

Of vc

vc−+=νν0 (19)

En el caso de que vf=c la velocidad del foco seaigual a la velocidad del movimiento ondulatorio las ondasemitidas serían tangentes interiores en el punto P (el focoemisor estaría siempre situado en el mismo sitio), produ-ciéndose una interferencia constructiva y acumulándose enese punto una formidable cantidad de energía potencial,formándose una barrera energética que es lo que se deno-mina barrera del sonido.

FIG. 19

20/29

Una evidencia clara del efecto Doppler la tenemos cuando nos cruzamos con uncoche que emite su claxon. El sonido que percibimos cuando se acerca es cada vez másagudo y cuando se aleja es cada vez más grave.

Otro efecto Doppler de gran interés actual es el corrimiento de las frecuencias delespectro electromagnético procedente de las estrellas lejanas que como focos animadosde gran velocidad serán observados con una frecuencia mayor si se acercan a la Tierradirectamente o presentan una componente de velocidad en la dirección y sentido de lavisual Estrella-Tierra, por lo que su luz aparecerá con frecuencias mayores (corrimientohacia el violeta). En cambio si la estrella se aleja de la tierra o presenta una componentede velocidad que se aleja del planeta, se observará una frecuencia menor que la emitida,produciéndose un enrojecimiento del espectro (corrimiento hacia el rojo). Este fenóme-no es más claramente observado en estrellas binarias (sistemas de dos estrellas que giranuna alrededor de otra) cuyas órbitas de giro están en el mismo plano o en planos próxi-mos a la posición de la Tierra.

5. METODOS EXPERIMENTALES PARA EL ESTUDIO DEL MOVI-MIENTO ONDULATORIO

5.1. Ondas en cuerdas elásticas.

Un método experimental sencillo de demostrar el Movimiento Ondulatorio enmedios elásticos, es la experiencia de Melde. El dispositivo experimental se describe enla fig.20:

Un electroimán, constituido por una bobina de 500 espiras y un núcleo de hierroen su interior, está alimentado por una corriente alterna. Sobre el núcleo del electroimánse coloca una lámina de acero flexible que por un extremo está fija a un soporte sujeto ala mesa por un tornillo y el otro extremo de la lámina de acero está sobre el núcleo delelectroimán. Este extremo de la lámina tiene una perforación donde se anuda una cuerdaelástica de unos 2 ó 3 metros de larga que por su otro extremo se mantiene horizontal ymoderadamente tensa por el punto fijo A.

Al conectar el interruptor, el electroimán se imanta alternativamente con arreglo ala frecuencia de la corriente alterna que lo alimenta y produce una vibración de igualfrecuencia a la lámina que la transmite a la cuerda elástica, dando lugar a la onda inicial,la que al reflejarse en el punto fijo A, provoca otra onda idéntica que interfiriendo con lainicial da lugar a la onda estacionaria, como se muestra en la figura.

En dicha onda estacionaria pueden observarse claramente los puntos que tienenvibración máxima (interferencia constructiva) llamados vientres y los puntos de vibra-ción nula (interferencia destructiva) llamados nodos. Al estirar la cuerda elástica puedealterarse el sistema de ondas y producirse otras de diferente longitud de onda λ.

21/29

La medida precisa de estas longitudes de onda, permite medir otros parámetrosenergéticos de ellas, como la velocidad de propagación de la onda:

ηF

v =

siendo F la fuerza de tensión de la cuerda y η la densidad lineal, o masa por unidad delongitud. O bien:

kL

vν2=

siendo L la longitud de la cuerda, νla frecuencia y k un número entero de semiondas.

5.2. Ondas en muelles.

Análogamente al experimento anterior y utilizando el mismo dispositivo eléctricode producir vibraciones, se conecta a la varilla un muelle largo y muy elástico que suje-taremos por el otro extremo para situarlo en posición vertical. Una vez conectado elinterruptor, la vibración producida en la varilla transmite al muelle una onda longitud i-nal que reflejada en el extremo superior fijo da lugar a una onda estacionaria longitud i-nal. Dicha onda puede apreciarse por la aparición en el muelle de zonas nítidas y difu-sas. Las zonas nítidas corresponden a zonas del muelle que no vibran, por confluir enellas las ondas en interferencia destructiva (nodos) y las zonas difusas corresponden ainterferencias constructivas (vientres) donde se produce la máxima vibración.

Las mediciones deben de hacerse entre zonas nítidas, ya que las medidas en zonasdifusas resultan más problemáticas y sujetas a errores importantes. La distancia entredos zonas nítidas corresponde a la distancia entre dos nodos y equivale a media longitudde onda. A partir de estas medidas se determinan otros parámetros de la onda.

5.3. Cubeta de ondas.

El aparato de la "cubeta de ondas" consta deuna cubeta plana, rectangular, de fondo transparente,que se llenará de agua y se situará en la parte másalta de una estructura metálica como se muestra enla fig.21. Sobre la cubeta, e inclinado un ángulo de45° se sitúa un espejo y frente a él, y en posiciónvertical, una pantalla blanca y translúcida, donde seproyectarán las imágenes del movimiento ondulato-rio que se van a obtener en el agua de la cubeta.

En la parte baja de la estructura se sitúa unafuente de luz estroboscópica, que consiste en unacaja metálica cerrada, que en su parte superior tieneun agujero. En el interior va alojada una bombilla yentre ésta y el agujero existe un disco giratorio tam-bién con un agujero, de tal forma que al girar el dis-co sólo permitirá salida de luz intermitentemente, defrecuencia variable mediante la manipulación de unmando que varía la velocidad del disco. Este haz deluz intermitente es lo que se denomina una fuente de

FIG. 21

22/29

luz estroboscópica e iluminará la cubeta de ondas por su parte inferior La imagen que seproduzca en el agua se proyectara en el espejo y posteriormente en la pantalla, dondeserá observada y estudiada.

Sobre la cubeta de ondas llena de agua se van a originar algunos fenómenos on-dulatorios. Para ello disponemos de un aparato de brazo vibrador conectado a la fuentede luz estroboscópica y regulado por el mismo mando. Dicho vibrador, que consiste enun electroimán, dispondrá de distintos accesorios que "pinchando" el agua o moviéndolaen vaivén, provocará ondas de diferentes estilos y formas. Estas ondas en el agua de lacubeta serán reflejadas, desviadas, interferidas, compuestas, etc. por otros distintos ac-cesorios que se colocarán como obstáculos dentro de la cubeta.

La imagen de los MM.OO. desarrollada en la cubeta será iluminada por la luz es-troboscópica, reflejada en el espejo y proyectada en la pantalla. Ajustando convenien-temente la frecuencia de giro del disco (frecuencia del haz estroboscópico) podrá obte-nerse una imagen estática de la cubeta, obteniéndose ondas esféricas, interferencias, on-das planas, reflexiones, etc., cuyo análisis resultará muy cómodo.

6. EL SONIDO

6.1. El Sonido como Onda Longitudinal. Velocidad de la onda sonora.

Las Ondas Sonoras son ondas longitudinales, es decir, consisten en una sucesiónde compresiones y dilataciones o enrarecimientos que se producen en el medio que laspropaga a una velocidad que depende de sus propiedades elásticas.

Las Ondas Sonoras necesitan de un medio material para su propagación pues esun hecho experimental que el sonido no se propaga en el vacío. El hecho de que se pro-pague en gases y líquidos (fluidos), demuestra que el sonido son ondas longitudinales.Cualquier tipo de vibración puede engendrar ondas sonoras pero únicamente las vibra-ciones longitudinales son capaces de transmitirlo por el aire mediante un mecanismo desucesivas compresiones y enrarecimientos de las capas moleculares del aire. En cuantoa la recepción del sonido, constituye un error suponer que las ondas sonoras pueden serdetectadas únicamente por el oído, ya que cualquier dispositivo que absorba la energíatransmitida por dichas ondas y las convierta en alguna otra forma de energía (calor, mo-vimiento, electricidad, etc.), puede servir para ponerlas de manifiesto.

Respecto a la velocidad de propagación de las ondas sonoras, ésta depende de lanaturaleza y propiedades del medio de propagación. Considerando que la velocidad delas ondas longitudinales en los gases viene dada por la expresión:

MRT

vγ=

siendo: γ=constante adiabática del medio (γ=1’4 para el aire) R=constante de los gases ideales. T=temperatura absoluta del gas. M=masa molecular del gas

Vemos que la velocidad del sonido es independiente de la presión atmosférica yvaría proporcionalmente a la raíz cuadrada de la temperatura. Como las masas molecu-lares del N2 es 28 y del O2 es 32, mientras que la masa molecular del vapor de agua es

23/29

18, la masa molecular (media ponderada) del aire seco es mayor que la del aire húmedo,por lo que la velocidad del sonido en el aire seco es menor que en el aire húmedo, aun-que esto se compensa en parte por el factor γ, que vale 1'4 para el O2 y N2 y vale 1'32para el vapor de agua.

Regnault fue el primero que logró medir directamente la velocidad de propagaciónde las ondas sonoras en el aire, mediante un registro automático del tiempo transcurridoentre el instante en que una pistola era disparada y el de llegada de las ondas sonoras aun diafragma vibrante; los resultados de dichas medidas dan, en condiciones normales:

V0=331’7 m/s ≅ 332 m/sPara temperaturas distintas de 0ºC, puede utilizarse la expresión:

( ) ttvtvv .61'03322111 0

2/10 +≅

+≅+= αα

La velocidad del sonido en el agua viene dada por la expresión:

ρQ

v = siendo

⋅=

=3

29

/1000

/10.16'2

mKg

mNQ

ρ smv /1500 ⋅=

6.2. Cualidades del Sonido.

El sonido está caracterizado en su percepción por tres cualidades: la intensidad, eltono y el timbre.

De acuerdo con la primera cualidad, la intensidad, los sonidos pueden clasificarseen: fuertes o débiles, y puesto que se trata de vibraciones, su intensidad dependerá delcuadrado de la amplitud. El oído aprecia muy erróneamente la intensidad de un sonido,de modo que para comparar con cierta precisión la de dos sonidos entre sí, es necesarioque ambos sean del mismo tono.

El tono o altura es la cualidad que nos permite distinguir entre un sonido agudo yotro grave. Físicamente esta cualidad corresponde a la frecuencia de la vibración ondu-latoria que es mayor en los denominados agudos que en los graves.

Finalmente el timbre de un sonido es la cualidad en virtud de la cual podemosdistinguir dos sonidos de igual tono (frecuencia) e intensidad emitidos por dos focos

sonoros diferentes. El timbre se debe a que, en general, un sonido no es puro y las ondascorrespondientes no son sinusoidales, sino que las ondas reales resultan ser suma de

varios movimientos periódicos sinusoidales puros superpuestos, que acompañan en ma-yor o menor número, a la onda sinusoidal correspondiente a la frecuencia fundamental,dando por ello calidades distintas al sonido resultante. Las ondas citadas se llaman ar-mónicos y sus frecuencias son múltiplos de la fundamental (ver punto 2.3 Composición

de ondas. Análisis de Fourier).

Existen métodos artificiales para realizar el análisis de sonidos, descomponién-dolo en los diversos armónicos que lo forman. Los métodos de análisis están basados enla obtención de un registro del sonido, que puede ser de naturaleza mecánica, óptica oelectrónica. Obtenido el registro del sonido, la descomposición de la curva periódica noarmónica en sus componentes armónicos, se realiza mediante analizadores basados en elteorema de Fourier. Así obtenemos el espectro acústico, donde los distintos sonidospuros vendrán indicados por segmentos proporcionales a su intensidad o amplitud.

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Los instrumentos musicales emiten ondas que no son puras, de las cuales se puedesacar su espectro acústico. Uno de los pocos instrumentos que produce una escala musi-cal de ondas armónicas puras es el diapasón y por ello es utilizado como patrón de fre-cuencias en la notas musicales y para la afinación de los instrumentos.

6.3. Intensidad del Sonido.

La intensidad de un sonido puede considerarse desde dos puntos de vista: el fi-siológico o subjetivo, y el físico u objetivo. La intensidad fisiológica o subjetiva de unsonido corresponde a la sensación que nos produce, y en consecuencia, depende delobservador. La intensidad física u objetiva de una onda en un punto, depende, comopara cualquier otro M.O., de la energía transportada por la misma y, por tanto, es laenergía que atraviesa por segundo, la unidad de superficie normal a la dirección depropagación y se medirá en Watios/m2.

Potencia Sonora. La energía emitida por un foco sonoro en un segundo y en todaslas direcciones es lo que se conoce como potencia sonora del foco. Si se conoce la in-tensidad I, del sonido producido por dicho centro emisor, a una distancia R, por la defi-nición de intensidad, resulta: Potencia Sonora = 4πR2.I

En consecuencia, la potencia sonora puede medirse directamente determinando laenergía que pasa a través de la unidad de superficie en un segundo, a una distancia co-nocida R del foco. Los resultados de tales mediciones demuestran que las potencias so-noras de la mayor parte de los focos corrientes son extraordinariamente débiles. Ejem-plos:

Conversación corriente 7 10-6 WNota aguda de un cantante 2.10-3 WFortísimo de trompeta 3.10-1 WSirena de alarma 3.103 W

No son de extrañar estas minúsculas cantidades de energía transportadas por lasondas sonoras si se tiene en cuenta la pequeñísima amplitud de las vibraciones que eje-cutan las partículas del medio que las transportan o las insignificantes variaciones depresión determinadas por tales ondas. Lo realmente sorprendente es que nuestro oídopueda captarlas cuando a veces las amplitudes citadas apenas son del orden de 10-6 o10-7 mm y las variaciones de presión de 0'2.10-4 barias.

6.4. Sensación sonora.

Es fácil comprobar que no existe relación directa entre la intensidad física (W/m )de un sonido que llega al oído y la sensación sonora que nos produce, a la que llamare-mos sensación, sonoridad o intensidad fisiológica.

Dos focos sonoros idénticos actuando simultáneamente no producen una sensa-ción sonora doble que uno solo. Esto se debe a que la sensación sonora obedece, apro-ximadamente, la ley psicofísica general de Weber-Fechner, que dice: "La sensación esfunción lineal del logaritmo de la excitación" o dicho en otras palabras, que la sensa-ción crece en progresión aritmética, cuando la excitación lo hace en progresión geo-métrica. En consecuencia, si designamos por S1 y S0 las sensaciones producidas por dossonidos de intensidades físicas I1 e I0 tendremos:

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0

101 log

II

SS =−

y si I0 es la intensidad correspondiente al valor umbral (S0=0) podemos determinar suintensidad fisiológica o sensación por:

0

logII

S =

Una intensidad I inferior al valor umbral I0 no es capaz de excitar la sensación so-nora del oído. De la ecuación se deduce que un sonido produce una sensación unidadcuando su intensidad física es 10 veces mayor que la umbral. Esta unidad se denominabel, y su décima parte es el decibel (db). La sonoridad se expresa, generalmente, en estasegunda unidad, con lo que:

0

log.10II

S = decibeles

La sensación sonora también puede expresarse en función de la distancia a quenos hallamos del foco sonoro. Si a la distancia r0 (distancia umbral) deja de percibirse elsonido, porque la intensidad es allí I0, la correspondiente a la intensidad umbral, al si-tuarnos a una distancia inferior r la sensación percibida será:

rr

S 0log.20=

ya que las intensidades son inversamente proporcionales al cuadrado de las distancias.En realidad la sensación es, en r, algo mayor que la calculada pues no hemos tenido encuenta la debilitación del sonido por su absorción en el aire.

6.4.1. Sensación Umbral. Límites de sensación sonora.

El valor de I0 es la intensidad física umbral o mínima intensidad del sonido paraque éste sea percibido. Este valor umbral es variable con la frecuencia y suele tomarsepara poder comparar sonidos de frecuencias diversas, I0=10-16 W/cm2 que corresponde aun sonido patrón de ν=1000 Hz. Cuando la sensación sonora o sonoridad se refiere aesta frecuencia se expresa en otra unidad, “fon” y la sensación en fon de un sonido es:

1610log.10 −= I

S fon

teniendo en cuenta que I no es la intensidad del sonido considerado sino la de otro soni-do de 1000 Hz que produzca la misma sensación.

Los sonidos de sensación nula tienen el valor de 0 fon, y los de sensación dolorosason de 120 fon, por lo que sólo podremos percibir sonidos que estén dentro de estoslímites. He aquí algunos ejemplos de la sonoridad de algunos sonidos frecuentes:

Rumor de hojas 10 fonConversación en voz baja 20 fonRadio a intensidad media 40 fonAutomóvil silencioso 50 fonTráfico urbano 70 fonMáquina remachadora 95 fonAvión despegando 115 fon

Para que un sonido sea percibido por nuestro oído es necesario que su frecuenciaesté comprendida entre 16 Hz y 20000 Hz, fuera de cuyos límites el oído no es sensible.

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Pero no basta con esa condición, es necesario a su vez, que la intensidad física I se en-cuentre también dentro de cierto intervalo, ya que por debajo del mismo no es percibidopor falta de excitación suficiente (umbral de audición) y por encima produce sensaciónde dolor. Este intervalo de I, varía con la frecuencia del sonido. La máxima sensibilidaddel oído tiene lugar para una frecuencia de unos 2500-3000 Hz en cuyo caso bastanenergías umbrales de unos 0'5.10-16 W/cm2. Considerando la equivalencia calorífica delJulio, se puede comprobar que con la energía equivalente a una caloría podríamos pro-ducir un sonido audible durante algunos millones de años, lo que corrobora la extraor-dinaria sensibilidad del oído humano.

7. CONTAMINACIÓN ACÚSTICA

Ya hemos dicho que el oído no puede percibir sonidos por debajo de una frecuen-cia de 16 Hz (Infrasonidos) o por encima de los 20000 Hz (Ultrasonidos). Estos umbra-les inferior y superior, representan los límites de audibilidad del oído de una personamedia. Tanto los infrasonidos como los ultrasonidos pueden provocar daños irreparablesy sensaciones dolorosas.

Las causas que provocan un aumento de la sonoridad ambiental y dan lugar acontaminación acústica, y que fundamentalmente están localizadas en las áreas indus-triales y urbanas, son:

-Aumento del tráfico viario, que dado su incremento exponencial, supone un factorimportante de contaminación acústica. Añadamos a ello el gran número de vehícu-los que, con funcionamiento defectuoso (coches viejos, motocicletas, etc.) sobrepa-san ellos solos los niveles permitidos de sonoridad.

-Aumento del tráfico aéreo, lo que en las proximidades de los aeropuertos, ya próxi-mos a las ciudades, representan incrementos incontrolados de los niveles de sonori-dad autorizada.

-Modernización y generalización de las obras públicas, que utilizan máquinas cadavez más potentes, modernas y ruidosas, los que significa una poderosa fuente deruido (construcción, autopistas, infraestructuras, etc.).

-Zonas industriales, especialmente las industrias que incluyan máquinas moledoras,maquinaria móvil, cintas transportadoras, producen altos niveles de ruido perjud i-cial para el personal de la industria.

-Servicios públicos, cada vez más demandados por la sociedad, ambulancias, sirenasde aviso, camiones de basura, limpieza turna, centro de ocio y diversión, etc. traencomo secuelas elevados niveles de ruido, especialmente en horas nocturnas.

En general, el hombre actual está sometido a un continuo bombardeo acústico deefectos imprevisibles, con sólo realizar su rutina diaria pues el transporte (autobús, me-tro, trenes, automóviles,..), medios de comunicación (radio, televisión, teléfono, músicaambiental,…) y relaciones sociales (ruidos de restaurantes, cafeterías, discotecas,) hanelevado grandemente los niveles de sonoridad y desarrollamos nuestra vida en un am-biente con alto grado de contaminación acústica.

Los efectos sobre el ser humano y animales, de esta contaminación acústica noestá suficientemente investigada y aún están por determinar. Puede existir una relacióndirecta entre los elevados niveles de ruido en nuestra sociedad con:

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-La situación de stress y alteraciones nerviosas. El insomnio y falta de descansonocturno.

-Introversión y falta de comunicación.-Pérdida de atención, concentración mental y capacidad de razonamiento.

Las agresiones físicas que los sonidos producen sobre el cerebro y las consecuen-cias que se derivan, son objeto de intensas investigaciones y no podemos especular so-bre ello. Unicamente podemos afirmar que la contaminación acústica es un mal de nues-tra sociedad debido al desarrollo, no del todo bien planificado, y que debemos atajar conacciones diversas, que podemos englobar en:

-Concienciación a la población, en especial a la juventud, de las gravedad del pro-blema.

-Acciones enérgicas de las autoridades en el cumplimiento de las normas existentesal respecto.

-Disminución del tráfico urbano, potenciando el transporte colectivo, peatonalizandocentros urbanos, creando carreteras de circunvalación, etc.

-Alejamiento de los aeropuertos de las grandes ciudades.-Control riguroso de todo aparato emisor de sonidos, como acondicionadores de aire,

ascensores, aparatos de música, televisores, escapes de automóviles y motocicletas,aparatos de limpieza nocturna.

La lucha contra la contaminación en general, es un reto de nuestra sociedad desa-rrollada, si no queremos dejar el planeta inhabitable de aquí a unos años. Se ha tomadoconciencia del grave problema que supone el vertido incontrolado de toda clase de resi-duos, especialmente si la naturaleza no tiene posibilidad de reciclarlos a corto plazo. Noobstante, esta sociedad no ha tomado clara conciencia de la gravedad del problema de lacontaminación acústica y el nivel de ruidos en nuestro entorno diario aumenta exponen-cialmente. Sólo la voluntad colectiva de acabar con los ruidos resolverá el problema.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA y CarlosGRACIA MUÑOZ. Física General. XXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.

Marcelo ALONSO y Edward J.FINN. Física. Volumen 2 Mecánica. Addison-Wesley Iberoamericana. MEJICO.

Jesús RUIZ VAZQUEZ. Física. Edit. Selecciones Científicas. 1975. MADRID

Joaquín CATALA DE ALEMANY. Física General. Saber, Entidad Española deLibrería. VALENCIA.

Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y aplicacio-nes. Volumen I. Editorial McGrawHill. MADRID.

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Tratamiento Didáctico----------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVOS

Iniciar al alumno en el mundo de las ondas mostrándole los múltiples fenómenos dela naturaleza que se desarrollan como tales.

Estudio matemático del Movimiento Ondulatorio desde su forma más simple (armó-nicos) partiendo del Movimiento Armónico Simple y prepararlo para afrontar la com-plejidad del estudio de las oscilaciones reales.

Estudiar los fenómenos característicos de las Ondas Mecánicas y Electromagnéticas(interferencias, pulsaciones, difracción, etc.) y aplicarlos al mundo real.

Aplicar lo estudiado al sonido como fenómeno ondulatorio más familiar y cercano einterpretar los fenómenos sonoros y su percepción.UBICACIÓN

En la E.S.O., el presente tema se introduce, a nivel muy elemental, en 4º curso (se-gunda etapa) dentro del módulo específico de Ondas, en la materia de Física y Química.En el Bachillerato, el tema se explica con cierta profundidad en el 2º curso, disciplina deFÍSICA, y supone una base importante para la Mecánica Ondulatoria, cuyos conceptosbásicos son necesarios para la comprensión del modelo de átomo, que se explica enQuímica.TEMPORALIZACIÓN

Puede desarrollarse el tema en un periodo de 12 horas u debe completarse este perio-do con 2 horas para la resolución de problemas numéricos relacionados con la ecuaciónde ondas y sus fenómenos característicos.METODOLOGÍA

La metodología a seguir ha de ser activa y de participación de los alumnos en el de-sarrollo de las explicaciones y éstas pueden completarse con la demostración práctica,en la propia aula o en el aula laboratorio, de algunos de los fenómenos estudiados.

Resolución de cuestiones sobre situaciones teóricas o reales y resolución de proble-mas numéricos, utilizando siempre el sistema internacional.

Pueden demostrarse los fenómenos característicos de las ondas mediante la utiliza-ción de la cubeta de ondas en el laboratorio.CONTENIDOS MÍNIMOS

El Movimiento Ondulatorio.Movimientos Ondulatorios longitudinales y transversales.Ecuación de la Onda.Frecuencia. Periodo. Longitud de onda. Número de ondas.Energía del Movimiento Ondulatorio. Intensidad.Absorción.Interferencias. Condiciones de interferencia constructiva y destructiva.Concepto de onda estacionaria. Condiciones en que se produce.Concepto de pulsación. Condiciones en que se produce.El sonido como onda. Cualidades del sonido.Sensación sonora. Umbrales de audición.Factores fundamentales de la contaminación acústica.

MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOSLibro de Texto complementado con apuntes de clase.Materiales elementales de laboratorio: cuerdas elásticas, muelles, vibradores, diapa-

sones, cajas acústicas, cubeta de ondas, materiales complementarios para la realizaciónde prácticas básicas de ondas.

Hojas de problemas sobre movimiento ondulatorio y sus parámetros.

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Vídeos didácticos sobre movimientos ondulatorios y su desarrollo, instrumentos mu-sicales, terremotos y maremotos y otros fenómenos ondulatorios.EVALUACIÓN

Pruebas objetivas sobre los conceptos fundamentales del tema, valorando compren-sión, memorización y aplicación de estos conceptos a situaciones reales.

Pruebas escritas con problemas numéricos exigiendo resolución completa con utili-zación de máquinas calculadoras.

Valoración de las prácticas realizadas en el aula o en el laboratorio.Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas (3 falsas y 1 cierta)

que obligue al alumno al razonamiento de las situaciones planteadas.