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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Temas 7-8Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería

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*Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez

Temas 7 y 8: Sólido rígido*

Física I

Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM)

Primer Curso

Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Temas 7-8Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería 2

Índice

Condición geométrica de rigidez.

Condición cinemática de rigidez.

Campo de velocidades de un sólido rígido.

Cantidad de movimiento de un sólido rígido.

Momento cinético de un sólido rígido. Momento de inercia. El péndulo físico.

Energía cinética de un sólido rígido.

Energía potencial de un sólido rígido.


Condición geométrica de rigidez

Caso particular de sistema de partículas en que las distancias entre dos partículas dadas se mantiene siempre constante.

Dadas las partículas i y k, de vectores posición y , con

se cumple que:

(condición geométrica

de rigidez)

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Índice









Condición cinemática de rigidez (I)

Partimos de la condición geométrica de rigidez:

Elevando al cuadrado la expresión de arriba:

Recordemos que :

Derivando el primer miembro:

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Condición cinemática de rigidez (II)

Hemos obtenido:

Derivando el segundo miembro:

Igualando:

(condición cinemática de rigidez)

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Índice









Campo de velocidades de un sólido rígido (I)

Cada punto del sólido puede en principio moverse con una velocidad diferente, siempre que se cumpla la condición cinemática de rigidez:

El primer miembro, , es la proyección de en la dirección de , y el

segundo miembro, ,

la proyección de .

Y la condición cinemática de

rigidez nos dice que son iguales.

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Campo de velocidades de un sólido rígido (II)

Llamamos campo de velocidades de un sólido rígido a la distribución de los vectores velocidad de cada punto del sólido.

De acuerdo con la condición cinemática de rigidez, podemos decir que el campo de velocidades del sólido rígido es equiproyectivo.

Y según el Teorema de Chasles,

la ecuación del campo de

velocidades es:

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Índice









Cantidad de movimiento de un sólido rígido

Vimos que, siendo la posición

de una partícula referida al c.m.,

entonces,

Y derivando:

La cantidad de movimiento del sist. de partículas:

(1)

Usando la ecuación del campo de velocidades:

(2)

Igualando (1) y (2): (el c.m. también cumple la ec. del campo de velocidades)

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Índice









Momento cinético de un sólido rígido (I)

Para un sistema de partículas obtuvimos:

Donde:

era el momento cinético del sistema de partículas respecto al c.m. y

, el momento cinético respecto al origen de coordenadas que tendría una partícula de masa , que se encontrase en la posición del c.m., , y se moviese a la velocidad del c.m., .

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Momento cinético de un sólido rígido (II)

En este tema hemos visto que ,

y que

Además, sabemos que y que

Combinándolo todo:

Igualando:

))

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Momento cinético de un sólido rígido (III)

Descomponemos en una parte paralela a y

otra perpendicular a : ,

donde es la parte de paralela a

, y , la parte de perpendicular a

, con , y .

,

y

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Momento cinético de un sólido rígido (IV)

Sustituyendo lo obtenido atrás y usando la fórmula del doble producto vectorial:

Vamos a estudiar algunos casos particulesar que simplifican la expresión anterior, al anularse el segundo sumatorio,

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Momento cinético de un sólido rígido (V). Momento de inerciaCaso particular 1: Sólido rígido simétrico y todos los puntos del sólido girando en torno a un eje de simetría que pasa por el c.m. (eje de rotación)

Entonces, por simetría, ya que, para todos los puntos, los sumandos se anulan dos a dos. Y es la distancia entre i y el eje de giro.

En este caso,

donde es el momento de inercia del sólido con respecto a ese eje que pasa por el c.m.

Para una distribución continua:17


Momento cinético de un sólido rígido (VI).

Caso particular 2: Otra forma de que se anule el término es que

Entonces, ,

y de nuevo,

En estos dos casos, se cumple que

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Momento cinético de un sólido rígido (VII). Teorema de Steiner.

Caso particular 3: Supongamos ahora que tenemos un sólido rígido que gira en torno a un eje que pasa, no por su centro de masas, sino por un punto fijo , en el que por comodidad situaremos el origen de coordenadas. Partiendo

de

y sustituyendo ,

Y la expresión es el Tª de Steiner

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Teorema del momento cinético (I).

Para los casos particulares 1 y 2, vamos a obtener la derivada temporal del momento cinético, .

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,

Arriba hemos usado resultados obtenidos en el tema de sistemas de partículas.


Teorema del momento cinético (II).

En el tema de sistemas de partículas, obtuvimos

, ,

, ,

, ,

Comparando las dos expresiones para , sale

, =

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Teorema del momento cinético (III).

=

La suma de los momentos de las fuerzas exteriores referidos al c.m. es igual al producto de la aceleración angular por el momento de inercia del sólido respecto a un eje que pasa por el c.m.

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Teorema del momento cinético (IV).

En el caso 3, obtuvimos

Entonces,

,

La suma de los momentos de las fuerzas exteriores referidos al origen es igual al producto de la aceleración angular por el momento de inercia del sólido respecto a un eje que pasa por el origen.

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Ejemplo: El péndulo físico (I)

Objeto rígido de masa m

Oscila alrededor de un eje que pasa por un punto fijo

Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones

¿Es un M.A.S.?

Eje

m


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El péndulo físico (II)

Eje

senM mgD

cmM r mg

Segunda Ley de Newton para una rotación:

2

2

dI

dt

senmgD

Si sen 2

2

d mgD

dt I

Ecuación diferencial de un MAS

cm

cm

r D

r D D

Σ , Σ ,

m


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El péndulo físico (III)

Eje

2

2

d mgD

dt I

Solución:

0 cos( )t con: mgD

I

Periodo del péndulo simple:

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IT

mgD

• Puede usarse para medir I

• Si I=mD2: T del pendulo simple

m


Índice









Energía cinética de un sólido rígido (I)

Para un sistema de partículas, obtuvimos:

Vamos a sustituir en la expresión obtenida para :

Recordando una de las aplicaciones del doble producto vectorial:

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A B C D C D A B C B D A A D B A C B D A D B C


Energía cinética de un sólido rígido (II)

Donde, recordemos, , es la componente de según la dirección normal a

y la distancia de la partícula i al eje de giro, e

es el momento de inercia del sólido con respecto a un eje de simetría que pasa por el c.m.

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Energía cinética de un sólido rígido (III)

Por tanto, hemos llegado a la expresión:

donde

el término es la energía cinética de traslación del c.m.,

y el término , la energía cinética de rotación del sólido rígido en torno a un eje que pasa por su c.m.

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ÍndiceCondición geométrica de rigidez.








Energía potencial de un sólido rígido

La energía potencial de un sistema de partículas (y por tanto la del caso particular que constituye el sólido rígido) se obtiene sumando las energías potenciales de cada una de las partículas:

Para el caso gravitatorio, tomando

quedaría

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