Relaciones y funciones

Una correspondencia por pares de elementos de un conjunto con elementos de un segundo conjunto recibe el nombre de relación. El primer elemento da un par ordenado es la abscisa. El conjunto de abscisas recibe el nombre de dominio de la relación. El segundo elemento de un par ordenado es la ordenada. El conjunto de ordenadas recibe el nombre de rango de la relación.

Se acostumbra representar el dominio y el rango con los conjuntos D y R.

Una relación es un conjunto de pares ordenados. El dominio es el conjunto de abscisas de los pares ordenados. El rango es el conjunto de ordenadas de los pares ordenados.

Ejemplo: El dominio de una relación consta de los enteros positivos menores que 6. El rango yde la relación es igual a 3 menos x, donde xes un miembro que pertenece al dominio. Expresa la relación en forma de tabla de valores y como ecuación. Enseguida traza una grafica de la relación.

Tabla: Grafica:

Y

O X

Ecuación: y = 3-x

x Y1 22 13 04 -15 -2

La grafica de la relación se puede utilizar para determinar el dominio y el rango de la relación.

Ejemplo: Determina el dominio y el rango de cada relación.

a) b) yy

o x o x

Según la grafica, parece que Según la grafica, parece que todos los números

todos los números reales se reales se encuentran incluidos en el dominio. El

encuentran incluidos en el rango incluye los números reales no negativos.

dominio y el rango de la

relación.

Las relaciones del ejemplo 3 constituyen un tipo especial de relación denominado función.

Que es función

Una función es una relación en la que cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango.

Ejemplo: Determina el dominio y el rango de cada relación. Enseguida indica si la relación constituye una función.

a) [(-3,0), (4,-2), (2,-6)]El dominio es [-3,2,4]y el rango es [-3,-2,2,3]. En el dominio, el cuarto corresponde a dos elementos del rango, -2 y 2. Por lo tanto, ésta relación noconstituye una función.

b) [(4,-2), (4,2), (9,-3), (-9,3)]En esta relación, el dominio es [-9,4,9] y el rango es [-3,-2,2,3]. En el dominio, el cuarto corresponde a dos elementos del rango, -2,2. Por lo tanto, esta relación no constituye una función.

Una función también se define como un conjunto de pares ordenados en el que dos pares no poseen el mismo primer elemento. Esta definición se emplea cuando una relación se encuentra representada mediante una grafica. Si toda recta vertical trazada en la grafica de relación pasa a lo sumo por un punto de la grafica, entonces la relación constituye una función. Esta prueba recibe el nombre de prueba de la recta vertical.

La relación es una función La relación no es una función Y

o x

Ejemplo: Determina si la grafica de cada relación representa una función. Explica.

Cualquier letra se puede utilizar para denotar una función. En notación funcional, el símbolo f(x) se lee “f de x”, y debe interpretarse como el valor de la función f en x. Asimismo, h(t) es el valor de la función h en t. La expresión y=f (x ) indica que para cada elemento que sustituye a x en el dominio, la función asigna uno y sólo un remplazo para y. Los paresordenados de una función se pueden representar mediante (x , y )o (x , f (x )) .

Toda función puede evaluarse en cada valor de su dominio. Por ejemplo, para determinar f (−4 ) si f (x)=3x3 –7 x2 – 2x, evaluamos la expresión3x3 – 7x2 – 2xpara x=−4.

Ejemplo: Evalúa cada función para el valor indicado.

a) f (−4 ) si f(x) = 3x3 – 7x2 – 2x

f (−4 )= 3(−4)3 –7 (−4)2 –2(−4)

b) g(9) si g(x) = ¡6 x−77 ¡

g(9) = ¡6(9)–77 !

¿ !−23 !O23

Operaciones de funciones

Suma: [ f +g] [x ]=f [x ]+g[ x ]

Resta: [ f −g ][ x ]=f [x ] – g [x ]

Producto [ f . g ][ x ]=f [x ] . g[ x ]

División ( fg)[ x ]=

f (x )g (x)

, g (x)≠0.

El dominio de cada nueva función consta de los valores de x que pertenecentanto al dominio de f como al de g. el dominio de la función cociente se restringe más excluyendo cualquier valor que iguale el denominador, g(x), a cero.

Ejemplo: Dadas las funcionesf (x)=3x2−4 y g(x)=4 x+5 ,determina cada una de las funciones siguientes:

a) ( f +g)(x)=f (x )+g (x)

¿3 x2 – 4+4 x+5

¿3 x2+4 x+1b) ( f – g)(x)=f (x )−g(x )

¿3 x2 – 4 x – (4 x+5)¿3 x2−4 x – 9c) ( f ∙ g)(x)=f (x )∙ g(x )

¿(3x2 – 4)(4 x+5)¿12 x3+15 x2 –16 x –20

d) ( fg)(x )=

f (x)g (x)

¿ 3x2−44 x+5

, x ≠–54

Las funciones también pueden combinarse mediante la composición. En la composición se lleva a cabo una función y enseguida se realiza una segunda función con base en el resultado de la primera función. Se puede pensar en la composición en términos de la fabricación de un producto. Por ejemplo, la fibra se convierte en tela. Luego, la tela se convierte en una prenda.

En la composición, una función g aplica los elementos del conjunto R a los elementos del conjunto S. otra función f aplica los elementos del conjunto S a los elementos del conjunto T. Por lo tanto, el rango de la función g es igual al dominio de la función f. A continuación se presenta un diagrama.

R SX g ( x )=1

4x

4 18 212 3

La función formada por la composición de dos funciones f y g recibe el nombre de función compuestade f y g. Ésta operación se presenta con f. g, que se lee “f composición g”, o “f de g”.

R S T

f (g)

[ ( f ) ( g ) ]=f ¿

Composición de funciones

x g(x ) f (g ( x ))

Dadas las funciones f y g, la función compuesta f ∙ gse puede representar mediante la siguiente ecuación:

[ f ∙ g ][ x]=f [g [x ]]

El dominio de f y g incluye los elementos x del dominio de g para los cuales g[x] se encuentra en el dominio de f.

El dominio de una función compuesta [ f ∙ g ](x)se determina a partir de los dominios f (x) y g (x) .

La composición de una función consigo misma recibe el nombre de iteración.Cada resultado de una función iterada recibe el nombre de iterado. Para iterar una función f (x) , se determina el valor de la función f (x), en el valor inicialx0 El valor f (x0)es el primer iterado, y recibe el nombre de x1. El segundo iterado es el valor de la función evaluada en el primer iterado; es decir, f ¿o f (x1) . Cada iterado ésta representado por xndonde n es el número de iterado. Por ejemplo, el tercer iterado es x3

Trazos de graficas de ecuaciones lineales.

Lineal está representado por la expresión Ax+By+C=0, donde A y Bno son 0. La grafica de esta ecuación es una recta. Abajo aparece la grafica de la ecuación 3 x+4 y –12=0

Las soluciones de una ecuación lineal son los puntos de la grafica de ésta representadas por pares ordenados. Un par ordenado corresponde a un punto del plano de coordenadas. En virtud de que dos puntos determinan una recta, sólo se requiere dos de ellos para trazar la grafica de una ecuación lineal. La intersección con el eje x y la ordenada en el origen con frecuencia son los puntos más fáciles de encontrar. La intersección con el eje x es el punto donde la línea cruza el eje x, y la ordenada en el origen es el punto donde la grafica cruza el eje y. En la grafica anterior, la intersección con el eje x se encuentra en (4,0) y la ordenada en el origen se encuentra en (0,3).

Por lo general, las coordenadas 4 y 3 reciben el nombre de intersecciones con el eje x y con el eje y, respectivamente.

3x+4 y – 12=0

La pendiente de una recta no vertical es el cociente del cambio en las ordenadas de los puntos entre el cambio corresponde en las abscisas. La pendiente de una recta es constante.

La pendiente, m, de la recta que pasa por(x1 ∙ y1) y¿) está representada por la siguiente ecuación, donde x1no es igual a x2

m= y 2− y 1x 2−x1 (x1,y1) (m= y2- y1/x2-x1) (x2,y2)

La pendiente en una recta se puede interpretar como la razón de cambio de las coordenadas ypor unidad de incremento en las coordenadas x.

Hay cuatro clases de pendientes de recta. La siguiente tabla muestra una grafica con cada una de las diferentes pendientes.

Pendiente positiva

Pendiente negativa

Pendiente o Pendiente indefinida

y= 2x + 3 y = -x +1 y = 3 x = 2

De acuerdo con la tabla, no todas las ecuaciones lineales representan funciones. Una función lineal se define de la siguiente manera. ¿Cuándo una ecuación lineal no es una función?

Una función lineal se encuentra definida por f[x] = mx + b, donde m y b son números reales.

Los valores de xpara los cuales f(x) = 0 reciben el nombre de raíces de la función f.En el caso de una función lineal, las raíces se pueden encontrar resolviendo la ecuación mx + b = 0. Si m no es igual a 0, entonces, - b/m es la única raíz de la función. Las raíces de una función son las intersecciones con el eje x tiene las coordenadas (-b/m, o).

Cuando m = 0 f(x) = b. Esta función recibe el nombre de función constante y su grafica es una recta horizontal. La función constante f(x) = b no tiene raíces si b no es igual a 0, o bien, cada valor de x es una raíz si b = 0.

Análisis de familias de graficas lineales

Una familia de graficas es un grupo de graficas con una o más características similares. En el caso de las funciones lineales, hay dos clases de familias de graficas. De acuerdo con la forma pendiente-ordenada en el origen de la ecuación, una familia se caracteriza por que las graficas que la conforman poseen la misma pendiente m en y = mx + b. Las graficas de la otra clase de familia poseen la misma ordenada en el origen b en y = mx + b.

Las familias de graficas lineales se pueden estudiar al trazar las graficas de diversas ecuaciones en la misma pantalla de la calculadora grafica.

Ejemplo: Traza la grafica de y = 3 – 5, 3x – 1,y = 3xy y=3x + 6. Describe las semejanzas y diferencias que hay entre las graficas.

Traza las graficas de las ecuaciones en la misma pantalla. Cambia el modo de visualización [-9,4,9,4] a [-6.2, 6.2].

Observa que las graficas parecen rectas paralelas con la misma pendiente positiva. Estas graficas pertenecen a la familia de rectas con 3 pendientes. La pendiente de las rectases la misma, pero éstas poseen diferentes ordenadas en el origen. Las cuatro rectas constituyen la graficas d y = 3x, de ellas recorridas hacia arriba o hacia abajo.

Ecuación Pendiente Ordenada en el orden general

Relación de la grafica de y=3 x

y=3 x−5 3 -5 Recorrida 5 unidades hacia abajo

y=3 x−1 3 -1 Recorrida 1 unidad abajo

y=3 x 3 0 La misma

y=3 x+6 3 6 Recorrida 6 unidades hacia arriba

Forma punto-pendiente.Si el punto con coordenadas [x1.y1] pertenece a una recta con pendiente m, la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta se puede expresar de la siguiente manera: y- y1 = m(x – x1

Determinación de ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares

Rectas paralelas

Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales y no tienen puntos en común. Dos rectas verticales siempre son paralelas.

La pendiente de una se puede obtener directamente a partir de la forma normal de la ecuación si B no es igual a 0. Resuelve la ecuación para y.

Ax + By + C = 0

By = -Ax – C

y = −A /B x – −cb B no es igual a 0

pendiente ordenada en el origen

Así la pendiente m es –A/B y la ordenada en el origen b es –C/B

Rectas perpendiculares

Dos rectas no verticales en un plano son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y de signo contrario.

Una recta horizontal y una recta vertical siempre son perpendiculares.

También es posible utilizar la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta a una recta dada.

Trazo de graficas de desigualdades lineales

Una desigualdad lineal no constituye una función. No obstante, es posible utilizar las graficas de las funciones lineales como ayuda para trazar graficas de desigualdades lineales.

La grafica de y =−12 x

+2 separa el plano de coordenadas en dos regiones llamadas

semiplanos. La recta representada por y= −12 x

+2 recibe el nombre de frontera

de cada región. Si la frontera forma parte de la grafica, se representa como una línea sólida. Una parte de la frontera no forma parte de la grafica se traza con

una línea punteada. La grafica de y mayor que −12 x

+2es la región ubicada sobre

la línea. La grafica de y menor que −12 x

+2 es la región ubicada debajo de la línea.

Para determinar el semiplano que debe sombrearse en la grafica de una desigualdad, se hace una prueba con un punto en cada lado de la frontera sustituyendo sus coordenadas en la desigualdad original. Si el origen (0,0) no se encuentra en la frontera, con frecuencia constituye un punto con el cual es fácil llevar a cabo la prueba. Si el enunciado de la desigualdad es verdadero para el punto de prueba, entonces se sombrea el semiplano que contiene al punto de prueba. Si el enunciado de la desigualdad es falso para el punto de prueba, entonces se sombrea el semiplano que no tiene el punto de prueba

Simetría y graficas con coordenadas.

Las graficas pueden tener un tipo de simetría que se denomina simetría con respecto a un punto.

Dos puntos distintos P yP’ son simétricos con respecto al punto M si y sólo si M es el punto medio PP´. El punto M es simétrico con respecto a sí mismo.

Si la definición de simetría con respecto a un punto se extiende a un conjunto de puntos, como la forma la grafica de una función, entonces cada punto P en el conjunto debe tener un punto imagen P´ que también pertenece al conjunto. Una grafica simétrica con respecto a un punto dado puede girar 180! con respecto a dicho punto sin que parezca que sufrió un cambio. Cada una de las siguientes figuras posee simetría con respecto al punto señalado.

La simetría con respecto a un punto dado M se puede expresar diciendo que se trata de una simetría con respecto al punto M.

El origen constituye un punto común de simetría. Observa que las graficas de

f ( x )=x3 y g ( x )=1x

exhiben una simetría con respecto al origen. Observa los

patrones de los valores de la función en la tabla adjunta a cada grafica.

Los valores en las tablas surgieron que f(-x) = -f(x) siempre que la grafica de una función sea simetría con respecto al origen.

Simetría con respecto al origen

La grafica de una relación S es simétrica con respecto al origen si y sólo si (a,b) εS simplifica que (-a,b) εS.Una función tiene grafica simétrica con respecto al origen si sólo si f(-x) = -f(x) para toda x en el dominio de f.

(a,b)εS significa que el par ordenado (a,b) pertenece al conjunto solución de S.

Simetría con respecto a una recta

Dos puntos diferentes P y P´ son simétricos con respecto a una recta l si y sólo si l es la bisectriz perpendicular de PP´. Un punto P es simétrico con respecto a sí mismo y a la recta l si y sólo si P se encuentra en la recta l.

Familias de graficas

Todas la parábolas están relacionadas con la grafica de y = x2. Esto convierte a y = x2 en la grafica madre de la familia de las parábolas. Recordemos que una familia de graficas es un grupo de graficas con unas o más características semejantes.

Una grafica madre consiste en una grafica básica que se transforma para generar otros miembros de una familia de graficas. Enseguida se muestran diferentes tipos de graficas. Observa que con excepción de la función constante, el coeficiente de x en cada ecuación es 1.

Las reflexiones y traslaciones de una función madre pueden afectar el aspecto de la grafica. La grafica transformada puede aparecer en un lugar diferente, pero se asemejará a la grafica madre. Una reflexión gira una figura 180 grados a lo largo de una recta denominada eje de simetría. El eje de simetría también recibe el nombre de recta simétrica.

Modificación de la función madre y=f ( x ) , c>0

Modificación de la grafica madre

Ejemplos

Reflexiones y=−f ( x )y=f (−x )

Se refleja en el eje x.Se refleja en el eje y.

Traslacionesy=f ( x )+cy=f ( x )−c

y=f ( x+c )y=f (x−c)

Traslación de la gráfica c unidades hacia arriba.Traslación de la gráfica c unidades hacia abajo.

Traslación de la gráfica c unidades hacia la izq.Traslación de la gráfica c unidades hacia la der.

Funciones inversas y relaciones

Dos relaciones son inversas si y sólo si una de las relaciones contienen el elemento (b,a) mientras que la otra relación contiene el elemento (a,b).

Si f(x) representa una función, entonces f−1(x) representa su inversa. No obstante,f−1(x) no es necesariamente una función. Para trazar la grafica de una función o una relación y su inversa, se intercambian las coordenadas x y y de los pares ordenados de la función. Este procedimiento da origen a graficas simétricas entre si con respecto a la recta y = x.

Ejemplo. Traza la grafica de f(x) = [x] + 3 y su inversa.

Para trazar la grafica de la función, sea y = f(x). Puede trazarla grafica de f−1(x), se intercambian las coordenadas x y y de los pares ordenados de la función.

La prueba de la recta horizontal puede utilizarse para determinar si la inversa de una relación será una función. Si toda recta horizontal corta a la grafica de la relación en un punto a lo sumo, entonces la inversa de la relación constituye una función.

Es posible determinar algebraicamente la inversa de una relación. Primero, sea y = f(x). Enseguida intercambiemos x y y. finalmente, despeje y de la ecuación que se obtiene.

Para determinar la inversa de una función, se utiliza un proceso de inversión para despejar y, después de intercambiar las variables. Este proceso de inversión se puede ampliar para resolver diversos problemas que se presentan en la realidad.

Función inversa

Dos funciones, f y f−1, son inversa si sólo si [ f ∙ f−1 ] [ x ]=[ f−1∙ f ] [ x ]=x

Ejemplo Si f(x) =4x – 9, determina f-1(x) y verifica que f y f-1 sean funciones inversas.

y = 4x – 9f(x) = y

x = 4y – 9 Intercambio de x y y

x + 9 = 4y Despeje de y

x+94

= y

x+94

= f−1(x) Reemplazo de y por f-1

Ahora demostremos que [f . f-1] [x] = [f-1 . f][x] = x.

( f ∙ f−1 ) ( x )=f ( x+94

)( f−1 ∙ f ) ( x )=f −1(4 x−9)

= 4 ( x+94 )−9 =

(4 x−9 )+94

= x = x

Puesto que [f . f-1] [x] = [f-1 . f][x] = x, f y f-1son funciones inversas.

Puntos críticos y extremos.

Los puntos críticos son aquellos puntos de la grafica en los que la recta tangente a la curva es horizontal y vertical. Un polinomio puede poseer 3 tipos de puntos críticos. Un punto crítico puede ser máximo, mínimo o un punto de inflexión. Si la grafica de una función es creciente a la izquierda de x = c y decreciente a la derecha de x = c, entonces hay una máximo en x = c. Si la grafica de una función es decreciente a la izquierda de x = c y creciente a la derecha de x, entonces hay un mínimo en x = c. un punto de inflexión constituye un punto en la que la grafica cambia su curvatura según se le ilustra en seguida.

La grafica de una función puede proporcionar una vista visual para determinar si una función posee un valor máximo o mínimo. El valor máximo de una función alcanza en su dominio recibe el nombre de máximo absoluto. Así mismo, el valor mínimo de una función es el mínimo absoluto. El termino general para máximo o mínimo es extremo. Las funciones cuya grafica abajo poseen extremos absolutos.

Las funciones también pueden contar con extremos relativos. Pueden ser que el valor máximo relativo de una función no represente el máximo valor de f en el dominio, sino el máximo valor de y en algunos intervalos del dominio. Así mismo, el mínimo relativo es el mínimo valor de y en algún intervalo del dominio. La función cuya grafica aparece abajo posee un mínimo relativo un máximo relativo.

Nótese que los extremos son valores de una función es decir, representan la coordenadas y de cada punto máximo y mínimo.

Los puntos críticos de la grafica de una función pueden resultar útiles para resolver problemas que implican la maximización y minimización de valores.

Ángulos y medidas en radianes.

La definición de radian se basa en el concepto de circulo unitario. Recuerda que el circulo unitario es un circulo de radio 1 cuyo centro esta en el origen de un sistema de coordenadas rectangular.

Un punto P(x,y) están dentro del circulo unitario si y sólo si su distancia desde el origen es 1. Asi como, para cada punto P(x,y) en el circulo unitario, la distancia desde el origen están representada en la siguiente oración:

√ ( x−0 )2+√( y−0)2

Si cada lado de esta ecuación se eleva al cuadrado, el resultado es una ecuación del circulo unitario x2 + y2 = 1. Consideremos un ángulo a en posición normal, como el mostrado arriba. Sea P(x,y) el punto de intersección de su lado terminal con el circulo unitario. La medida en realidad con un ángulo en posición normal se define como la longitud del arco correspondiente sobre el circulo unitario. Por lo tanto, la medida del ángulo a es s radianes dado que C es 2πr, una revolución completa corresponde a un ángulo de 2π (1 ) o 2π radianes. Existe una relación importante entre las medidas en radianes y en grados dado que un ángulo de una revolución completa pueda representarse por 360° o por 2 π radianes, 360° = a 2 π radianes. De esta manera 180° = π radianes y 90° = a π2

radianes.

Las formulas siguientes relacionan las medidas en grados con medidas en radianes.

Fórmula de conversión entre grado y radianes.

1 radian = 180π grados o aproximadamente 57.3 grados.

1 grado = π

180radianeso aproximadamente 0.017 radian.

La medida en radianes puede utilizarse para encontrar la longitud de un arco circular. Un arco circular es una parte de un círculo. El arco con frecuencia se define mediante el ángulo central que lo interseca. Un ángulo central de un círculo es un ángulo cuyo vértice se encuentre en el centro del círculo.

Longitud de un arco.

La longitud de cualquier arco circular s es igual al producto de la medida de los radios del circulo r y la medida en radianes del ángulo central Ѳ que subtiende.

S = rѲ

Ejemplo:

Dado un ángulo central de 128°, encuentra la longitud de su arco intersecado en un círculo de 5 centímetros de radio. Redondea a la décima más cercana.

Primero, convierte la medida del ángulo central de grados a radianes.

128° = 128° × π

180°

= 3245

π o 32π45

Enseguida, encuentra la longitud del arco.

s = rѲ

s = 5( 32π45 )

s≈11.17010721

La longitud del arco es aproximadamente 11.2 centímetros.

Un sector de un círculo es una región delimitada por un ángulo central y el arco intersecado.

Área de un sector circular.

Si Ѳes la medida del ángulo central expresado en radianes y r es la medida del radio del circulo, entonces el área del sector, A, es la siguiente.

A =12

r2Ѳ

Descomposición factorial.

Ley de los signos:

Antes de entrar a ver lo 10 casos y los sub-casos de descomposición factorial, veremos las leyes de los signos.

Suma

1. Si los números tienen el mismo signo se suman se deja el mismo signo.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Multiplicación y división

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Potencias

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

26 = 64

(−2)6 = 64

2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

23 = 8

(−2)3 = −8

NOTA INTERESANTE: Si multiplicamos una X por otra X obtendremos: X2.

Y si sumamos una X con otra X obtendremos 2X.

Caso Ι Factor común

a2+ab=a(ab)

Para factorar por factor común debe de existir una estructura parecida a la anterior y se resuelve escogiendo los factores que se repiten en su mínimo exponente y colocándolos como coeficiente de un paréntesis, dividiendo los términos por el coeficiente.

Ejemplo:

5m2n+15mn3=5 mn(m+3n2)

Caso ΙΙ Factor común por agrupación

Para poder factorar por agrupaciónnecesitamos agrupar los dos primeros términos que tienen el factor común x precedidos por un signo + o – dependiendo de los términos y los dos últimos que tienen el factor común y y se sigue con el procedimiento de factor común.

ax+bx+ay+by=¿

x (a+b )+ y (a+b )=¿

(a+b)(x+ y)

Ejemplo:

mx+ x+2+2m=¿

m ( x+2 )+ (x+2 )=¿

(x+2)(m+1)

Caso ΙΙΙTrinomio cuadrado perfecto

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2abb

Para que exista un trinomio cuadrado perfecto es necesaria la estructura anterior habiendo dos términos elevados al cuadrado que sean positivos y uno (generalmente el de en medio) sea dos veces el múltiplo de las raíces.

El resultado queda dentro de un paréntesis elevado al cuadrado y dentro de él se colocan las raíces separadas por el signo del término de en medio.

Ejemplo:

1) x4−2x2+1=(x2−1 )2

x22 (x2 )1

2) 94

x2−3 x+1=( 62

x−1)2

32

x2 (32 )(1 )(1)

Caso especial del Trinomio cuadrado perfecto

a2+2a ( a−b )+ (a−b )2=[a+(a−b )]2=¿

a2a (a−b )(a−b) = (2a−b)2

Ejemplo:

( x+ y )2−( x+ y ) (a+x )+(a+x )2=¿¿

( x+ y ) 2 ( x+ y ) (a+x )(a+ x)(2 x+ y+a)2

Caso Ι ν Diferencia de cuadrados

a2−b2= (a+b ) ( a−b )

1−a4=(1+a2 ) (1−a2 )

(1+a2 )(1+a)(1−a)

Para que exista una diferencia de cuadrados se necesitan dos cuadrados (uno positivos y uno negativo), y para poder factorar se abren dos paréntesis, separando los términos; uno con signo – y otro con +.

Ejemplo:

a2n−9b4m=(an+3b2m )(an−3b2m)

Caso especial de diferencia de cuadrados perfectos

Ejemplo:

1) (a+b)2−c2=[( a+b )+c] [ (a+b )−c ]

2) (a+b)2−( x+ y )2=[ (a+b )+( x+ y ) ] [(a+b)−(x+ y)]

Caso especial combinación de los casos ΙΙΙ y Ι V

a2+2ab+b2−1

(a+b )2−1=[ (a+b )+1][(a+b)−1]

Ejemplo:

9a2−x2+2 x−1=¿

9a2−(x2−2 x+1 )=¿

9a2−( x−1 )2=¿

[3a+( x+1 ) ] [3a− (x−1 ) ]

(3a+x−1)(3a−x+1)

Caso V trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

x4+x2 y2+ y 4

x2 y2−x2 y2

x4+2 x2 y2+ y4−x2 y2

(x2+ y2)2−x2 y2=[ (x2 y2 )+xy ] [(x2+ y2)−xy ]

Algunas veces nos encontraremos con casos que el termino de en medio no será exactamente 2 veces el resultado de las raíces, en estas veces podemos hacer lo anterior.

Caso especial.

a4+4 b4=a4+4 a2 b2+b4−4a2 b2

¿

[ (a2+2b2 )−2ab ][ (a2+2b2 )+2ab ]

Caso V Ι trinomio de la forma x2±bx ±c

Para que polinomio se declare de la forma anterior b y c son constantes y la x de b debe ser la raíz cuadrada de la primer x .

Ejemplo:

x2+5x+6

Paso 1. Para operar abrimos 2 paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de la x y la colocamos en los 2 paréntesis y añadimos los signos; en el primer paréntesis se coloca el signo del segundo factor y en el segundo, la multiplicación del segundo signo con el tercero, así:

¿

Paso 2. Buscamos dos números que sumados den el primer número (5) y multiplicados den el segundo (6).

(x+2)(x+3)

Caso especial.

(a+b)2−12 (a+b )+20

[ (a+b )−10 ] [ (a+b )−2]

Caso V ΙΙ Trinomio de la forma a x2±bx ±c

Para que polinomio se declare de la forma anterior a ,b y c son constantes y la x de b debe ser la raíz cuadrada de la primer x .

En algunas ocasiones nos vamos a encontrar con que la a no va a tener raíz cuadrada, en ese caso se recurre a multiplicar a por el primero y el último término.

Ejemplo:

Paso 1. Para operar abrimos 2 paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de la x y la colocamos en los 2 paréntesis y añadimos los signos. Cuando ano tiene raíz cuadrada se hace lo explicado anteriormente.

6 x2−7 x−3

6 (6 x2)−7 x−6 (3)

36 x2−7 x−18

(6 x−9)(6x+2)

Paso 2. Ya que tenemos esto se procede a dividir todo dentro el número que se multiplico con anterioridad, en este caso el número 6. Como el 6 no divide a los dos términos se fragmenta de la siguiente forma:

(6 x−9 ) (6 x+2 )3∗2

(2 x−3)(2 x+1)

Caso V ΙΙΙ Cubo perfecto de binomios

Suma o diferencia

(a+b )3=a3+3a2 b+3ab2+b3

( x− y )3=x3−3x2 y+3xy 2− y3

Para encontrar en cubo perfecto de binomio debemos de darnos cuenta si es una suma o una diferencia, (cuando es suma todos los términos van a estar separados por un signo +; y si es diferencia van a estar separados por signos intercalados).

8 x6+54 x2 y6−27 y9−36 x4 y3

Si están desordenados procedemos a ordenar. Anteriormente el cubo estaba desordenado por que es una diferencia y los signos van intercalados.

8 x6−36 x4 y3+54 x2 y6−27 y9

Tomamos el primer y último término y les sacamos raíz cúbica, dejando el cubo perfecto así:

(2 x2−3 y3)3

Simplificamos los términos de en medio.

8 x6−3(2x¿¿2)(3 y3)+3(2x¿¿2)(3 y¿¿3)−27 y9¿¿¿

Caso ΙΧ Suma o diferencia de cubos perfectos.

Notemos que ahora se van a abrir 2 paréntesis en el primero la raíz cúbica de ambos términos y en el segundo el binomio de cuadrado perfecto.

Suma

a3+b3=( a+b ) (a2−ab+b2 )

Diferencia

8−x3=(2−x)(4+2 x+x2)

Notemos también el cambio de los signos que hay entre el Caso V ΙΙΙ y éste caso.

Caso Χ Suma o diferencia de 2 patrones iguales.1. an−bn es divisible por a−b siendo n par o impar.2. an+bn es divisible por a+b siendo n impar.3. an−bn es divisible por a+b siendo n par.4. an+bn nunca es divisible por a−b.

m5+n5=(m+n)(m4−m3n+m2 n2−mn3+n4)

Miremos el fenómeno que acontece en este caso, el primer término (m¿¿5)¿ en el segundo paréntesis empieza con un exponente de nivel inferior y va disminuyendo y el segundo término (n¿¿5)¿ por lo contrario va aumentando.

Ejemplo:

x5+32=(x+2)(x4−2x3+4 x2−8 x+16)

Sistema de ecuaciones

Método de sustitución:

2 x+5 y=−24

8 x−3 y=19

Despejamos x de la primera ecuación x=−24−5 y

2

Paso 1. En cualquier ecuación despejamos cualquier variable.

Paso 2. Sustituir el valor de la variable despejada en la otra ecuación.

Paso 3. Despejamos la otra variable y operamos.

8 (−24−5 y )2

−3 y=19

4 (−24−5 y )1

−3 y=19

−96−20 y−3 y=19

−23 y=19+96

−23 y=115

y= 115−25

=−5

Paso 4. Colocamos el valor de la variable despejada en la ecuación despejada anteriormente

x=−24−5 y2

x=−24−5 (−5 )

2 x=

12

Método de igualación

6 x−28 y=−85

24 x−5 y=−5

Paso 1. Despejamos la misma variable en las dos ecuaciones.

Paso 2. Igualamos los despejes y1= y2

Paso 3. Despejamos y operamos

y1=−85−6 x

−18y2=

−5−24 x−5

−85−6x−18

=−5−24 x−5

−5 (−85−6 x )=−18 (−5−24 x )

425+30 x=90+432x

30 x−432 x=90−425

−402x=−335

x=−335−402

=56

Paso 4. Sustituimos el valor en la una de las ecuaciones despejadas.

y=−5−24( 5

6 )−5

y=5

Método de adición y sustracción

Paso 1. Multiplicar las ecuaciones por el coeficiente de la variable a eliminar; multiplicando el coeficiente de la ecuación A por la ecuación b y viceversa.

2 x+5 y=24 ⋮ 8

8 x−3 y=19 ⋮−2

16 x+40 y=−192

−16 x+6 y=−38

Paso 2. Se suma y restan las ecuaciones.

Paso 3. Ya quedando solamente una incógnita se procede a despejar para hallar su valor.

46 y=−230

y=−23046

y=−5

Paso 4. Despejar la otra variable y sustituyendo el valor de la ya despejada.

2 x+5 y=24

2 x+5 (−5 )=24

2 x−25=24

2 x=24+25

x=492

Resolución de sistema de ecuaciones fraccionarias

x+ yx− y

=−27

8 x+ y−1x− y−2

=2

Paso 1. Suprimir los denominadores.

7 ( x+ y )=−2(x− y)

8 x+ y−1=2 ( x− y−2 )

Paso 2. Operamos lo correspondiente.

7 x+7 y=−2 x+2 y

8 x+ y−1=2x−2 y−4

Paso 3. Pasamos las literales de un lado y los números de otro.

7 x+7 y+2x−2 y=0

8 x+ y−2 x+2 y=−4+1

Paso 4. Operamos y reducimos.

9 x+5 y=0

6 x+3 y=−3

Dividimos la 2da ecuación dentro de 3.

9 x+5 y=0

2 x+ y=−1

Multiplicamos por -5 la 2da ecuación.

9 x+5 y=0

−10 x−5 y=5

−x+0=5

x=−5

Paso 5.

9 (−5 )+5 y=0

−45+5 y=0

5 y=45

y=9

Sistemas literales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

xy− y

b=a

b

x− y=a

Paso 1. Quitamos los denominadores de la primera ecuación.

bx−ay=b2

x− y=a

Paso 2. Multiplicamos por b la 2da ecuación y cambiándole el signo. (Método de adición y sustracción)

bx−ay=b2

−bx+by=−ab

by−ay=b2−ab

Paso 3. Sacamos factor común y despejamos y.

by−ay=b2−ab

y (b−a )=b (b−a )

y=b

Paso 4. Sustituimos el valor de y en la ecuación y despejamos x.

x− y=a

x−b=a

x=a+b

Ecuaciones simultaneas de primer grado con tres o más incógnitas.

Ejemplo:

x+4 y−z=6

2 x+5 y−7 z=−9

3 x−2 y+z=2

Paso 1. Tomar dos ecuaciones y eliminamos una variable, multiplicamos (Método de adición y sustracción).

x+4 y−z=6

3 x+2 y+z=2

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por -1, obteniendo:

3 x+12 y−3 z=18

−3 x+2 y−z=−2

14 y−4 z=16

Paso 2. Tomamos la tercera ecuación y despejamos la misma variable con otra ecuación (Método de adición y sustracción).

2 x+5 y−7 z=−9

x+4 y−z=6

Multiplicamos la primera ecuación por -1 y la segunda ecuación por 2, obteniendo:

−2 x−5 y−7 z=9

2 x−8 y−2 z=12

3 y+5 z=21

Paso 3. Por cualquier método resolvemos el nuevo sistema de ecuación formado por las nuevas ecuaciones (Método de adición y sustracción).

14 y−4 z=16

3 y+5 z=21

Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 4, obteniendo:

70 y−20 z=80

12 y+20 z=84

Despejamos la variable:

82=164

y=16482

=2

Paso 4. Despejamos la otra variable en una ecuación anterior remplazando “y”.

14 (2 )−4 z=16

28−4 z=16

−4 z=16−28

−4 z=−12

z=−−12−4

=3

Paso 5. Ya teniendo 2 de tres variables nos vamos a las primeras ecuaciones y remplazamos las variables ya conocidas.

x+4 y−z=6

x+4 (2 )−3=6

x+8−3=6

x+5=6

x=6−5

x=1

Determinantes

ab

¿ad−cb

c d

Resolución por determinantes de un sistema de ecuación con dos conjuntos.

Sea el sistema:a1 x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2

x=

c1 b1

c2 b2

a1 b1

a2 b1

y=

a1 c1

a2 c2

a1 b1

a2 b2

Resolver por determinantes:5 x+3 y=5

4 x+7 y=27

x=

5 327 75 34 7

=[5∗7 ]− [27∗3 ][ 5∗7 ]−[ 4∗3 ]

35−8135−12

=−4623

=−2

y=

5 54 275 34 7

=[5∗27 ]− [ 4∗5 ][5∗7 ]− [ 4∗3 ]

135−2035−12

=−11523

=5

Determinante de tercer orden

a1 b1 c1=d1

a2 b2 c2=d2

a3 b3 c3=d3

Resolucion

x=

d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a2 b3 c3

y=

a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a2 b3 c3

z=

a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a2 b3 c3

Radicales

Un radical es una expresión de la forma n√a, en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Operaciones con radicales

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Multiplicación de radicales

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

División de radicales

Radicales del mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

Potencia de radicales

Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalizar

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos.

1Del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Cantidades imaginarias y complejas

Objetivos

Reconocer que el grupo de las cantidades imaginarias es aplicable a la solución de ecuaciones de la forma:

x2+a=0

Efectuar correctamente operaciones y gráficas con cantidades imaginarias y complejas.

Conceptos generales

En anteriores capítulos hemos analizado ecuaciones de tipo:

x+a=0yx2−a=0

Pero al analizar que sucede cuando se encuentran ecuaciones del tipo x2+a=0

El resultado de la incógnita indica que debe ser un número que elevado al cuadrado de negativo, valor que en los números reales no existe. Este valor no existe porque se ha visto que para un índice par en la radicación el radicando no puede ser una cantidad negativa real. Este tipo de expresiones genera un nuevo conjunto de números que son los llamados números imaginarios.

Potencias de la unidad imaginaria

En forma general toda expresión n√−a

Donde n es par y -a es una cantidad real negativa recibe el nombre de imaginaria pura.

Simplificación de las imaginarias puras

Toda raíz imaginaria pura puede simplificarse a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria. √−1

Operaciones con cantidades imaginarias puras

Suma y resta

Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales multiplicadas por , es decir a la forma ai y se reducen como radicales semejantes.

Simplificar:

Generalmente se encuentran cantidades de la forma , y para hallar su valor se efectúa el siguiente procedimiento:

En las potencias de la cantidad imaginaria , se vio que las cuatro primeras potencias de son: , -1, - , 1 y este orden se repite a partir de la cuarta potencia, luego entonces:

Para hallar el valor de , se divide el exponente de i entre el número 4 que representa a la cuarta potencia de la cantidad imaginaria:

En forma genérica: in donde n>4 y positivo, in=¿ residuo de n4

Multiplicación

Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales multiplicadas por , es decir a la forma ai y se multiplican las cantidades transformadas, luego se reemplazan las potencias de i por su valor respectivo.

Ejemplo:

Multiplicar:

División

Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales multiplicadas por , es decir a la forma ai y se dividen las cantidades transformadas, luego se

reemplazan las potencias de i por su valor respectivo.

Ejemplo:

Dividir

Cantidades complejas

Las cantidades complejas nacen de la necesidad de ampliar los números imaginarios, y son cantidades que constan de un par de números dados en un orden, en el cual uno es real y el otro puede ser imaginario.

Las cantidades complejas son de la forma a+b√−1

Es decir a + bi, donde a y b son cantidades reales.

Cantidades complejas conjugadas

Son dos cantidades complejas que difieren solamente en el signo que separa a las cantidades imaginarias:

a+b√−1ya−b√−1

Y la suma de dos cantidades complejas conjugadas dan como resultado una cantidad real.

Suma y resta de cantidades complejas conjugadas

Para sumar o restar cantidades complejas conjugadas se suman o restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre si.

Suma

Resta

La diferencia de dos cantidades complejas conjugadas da como resultado una cantidad imaginaria pura.

Multiplicación de cantidades complejas conjugadas

Las cantidades complejas se multiplican como expresiones compuestas, solo que hay que tener en cuenta los valores de las potencias de la cantidad imaginaria, especialmente √−1

2=−1.

El producto de dos cantidades complejas conjugadas es igual a una cantidad real.

Multiplicación

División de cantidades complejas conjugadas

Para dividir dos cantidades complejas conjugadas, se escriben en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, la racionalización se desarrolla multiplicando tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador.

Dividir: