temario alg lineal

1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: lgebra Lineal Carrera: Todas las Carreras Clave de la asignatura: ACF-0903 (Crditos) SATCA1 3 - 2 - 5

2.- PRESENTACIN Caracterizacin de la asignatura. El lgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lgico, heurstico y algortmico al modelar fenmenos de naturaleza lineal y resolver problemas. Muchos fenmenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniera, se pueden aproximar a travs de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenmenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es ms sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no lineal, de all la importancia de estudiar lgebra lineal. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniera una herramienta para resolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniera. Est diseada para el logro de siete competencias especficas dirigidas a la aprehensin de los dominios: nmeros complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, base y dimensin de un espacio vectorial y transformaciones lineales. Esta materia proporciona adems conceptos matemticos que se aplicarn en ecuaciones diferenciales y en otras materias de especialidad.

Intencin didctica. La asignatura pretende proporcionar al alumno los conceptos esenciales del lgebra lineal. Se organiza el temario en cinco unidades. Primeramente se estudian los nmeros complejos como una extensin de los nmeros reales, tema ya abordado en otros cursos de matemticas. Se propone iniciar con esta unidad para as utilizar los nmeros complejos en el lgebra de matrices y el clculo de determinantes. Adems, el concepto de nmero complejo ser retomado en el curso de ecuaciones diferenciales.1

Sistema de asignacin y transferencia de crditos acadmicos

El estudio de Matrices y determinantes se propone como segunda unidad y previo a los sistemas de ecuaciones lineales con la finalidad de darle la suficiente importancia a las aplicaciones de las matrices, ya que prcticamente todos los problemas del lgebra lineal pueden enunciarse en trminos de matrices. Por la necesidad de que el alumno comprenda si una matriz tiene inversa, adems del clculo para obtenerla, se ha aadido antes del subtema Clculo de la inversa de una matriz, los conceptos: Transformaciones elementales por rengln, escalonamiento de una matriz y rango de una matriz. Es importante, para el estudiante, aprender el concepto de transformaciones elementales por rengln para desarrollar el escalonamiento de una matriz como mtodo para obtener la inversa. Para determinar si una matriz tiene inversa o no, evitando el concepto de determinante en este momento, se aborda el concepto de rango como el nmero de renglones con al menos un elemento diferente de cero de cualquiera de sus matrices escalonadas. Asimismo, se propone que al final de la unidad dos se estudien aplicaciones tales como anlisis de redes, modelos econmicos y grficos. Es importante resaltar que lo analizado aqu se utilizar en unidades posteriores de esta asignatura como en la dependencia lineal de vectores y la representacin de transformaciones lineales, y en otras asignaturas como en el clculo del wronskiano para la dependencia lineal de funciones. La tercera unidad, Sistemas de ecuaciones lineales, constituye una parte fundamental en esta asignatura por lo que la propuesta incluye el nfasis en el modelaje, representacin grfica y solucin de problemas para las diferentes aplicaciones como interseccin de rectas y planos, modelos econmicos lineales, entre otros. En la siguiente unidad se estudian los espacios vectoriales que se presentan en el temario de manera concisa, pero comprenden lo esencial de ellos. El temario de transformaciones lineales se presenta condensado haciendo nfasis en las aplicaciones y en la transformacin lineal como una matriz. Los contenidos presentados constituyen los elementos bsicos indispensables. Se proponen actividades de aprendizaje que permitan al alumno conocer el ambiente histrico que da origen a los conceptos del lgebra lineal, y a partir de ello extender el conocimiento. Las actividades de aprendizaje recomendadas pretenden servir de ejemplo para el desarrollo de las competencias, mencionadas ms adelante en este documento, y se propone adecuarlas a la especialidad y al contexto institucional.

3.- COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Competencias especficas Resolver problemas de aplicacin e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes reas de la ingeniera. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemticas.

Competencias genricas Procesar e interpretar datos Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numrica, geomtrica, algebraica, trascedente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemtico en forma oral y escrita. Modelar matemticamente fenmenos y situaciones. Pensamiento lgico, algortmico, heurstico, analtico y sinttico. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologas de la informacin. Resolucin de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Toma de decisiones. Reconocimiento de conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencia y precisin. Competencias instrumentales Capacidad de anlisis y sntesis. Capacidad de organizar y planificar. Comunicacin oral y escrita. Habilidades bsicas de manejo de la computadora. Habilidad para buscar y analizar informacin proveniente de fuentes diversas. Solucin de problemas. Toma de decisiones.

Competencias interpersonales Capacidad crtica y autocrtica. Trabajo en equipo.

Competencias sistmicas Capacidad de aplicar los conocimientos en la prctica. Habilidades de investigacin. Capacidad de aprender. Capacidad de generar nuevas ideas. Habilidad para trabajar en forma autnoma. Bsqueda del logro.

4.- HISTORIA DEL PROGRAMA Lugar y fecha de elaboracin o revisin Instituto Tecnolgico de Matamoros, del 9 al 13 marzo de 2009. Participantes Representantes de los Institutos Tecnolgicos de: Apizaco, Chihuahua, Chihuahua II, Durango, El Salto, Len, Matamoros, Mrida, Milpa Alta, Quertaro, San Luis Potos, Saltillo, Santiago Papasquiaro. Observaciones (cambios y justificacin) Reunin Nacional de Diseo de Asignaturas Comunes para el Desarrollo de Competencias Profesionales de las Carreras del SNEST.

Instituto Tecnolgico Representantes de los de Puebla, del 8 al 12 Institutos Tecnolgicos de junio del 2009. participantes en el diseo de asignaturas comunes para el desarrollo de competencias profesionales.

Reunin de Consolidacin de Diseo e Innovacin Curricular para el Desarrollo de Competencias Profesionales de Asignaturas Comunes del SNEST.

5.- OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO (competencia especfica a desarrollar en el curso) Resolver problemas de aplicacin e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes reas de la ingeniera. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemticas. 6.- COMPETENCIAS PREVIAS Manejar el concepto de los nmeros reales y su representacin grfica. Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio. Resolver ecuaciones cuadrticas. Emplear las funciones trigonomtricas. Graficar rectas y planos. Obtener un modelo matemtico de un enunciado. Utilizar software matemtico.

7.- TEMARIOUnidad Temas Subtemas

1

Nmeros complejos.

1.1 Definicin y origen de los nmeros complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos. 1.3 Potencias de i, mdulo o valor absoluto de un nmero complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un nmero complejo. 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extraccin de races de un nmero complejo. 1.6 Ecuaciones polinmicas. 2.1 Definicin de matriz, notacin y orden. 2.2 Operaciones con matrices. 2.3 Clasificacin de las matrices. 2.4 Transformaciones elementales por rengln. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. 2.5 Clculo de la inversa de una matriz. 2.6 Definicin de determinante de una matriz. 2.7 Propiedades de los determinantes. 2.8 Inversa de una matriz cuadrada a travs de la adjunta. 2.9 Aplicacin de matrices y determinantes.

2

Matrices y determinantes.

TEMARIO (continuacin)Unidad Temas Subtemas

3

Sistemas de ecuaciones 3.1 Definicin de sistemas de ecuaciones Lineales. lineales. 3.2 Clasificacin de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solucin. 3.3 Interpretacin geomtrica de las soluciones. 3.4 Mtodos de solucin de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer. 3.5 Aplicaciones. Espacios vectoriales. 4.1 Definicin de espacio vectorial. 4.2 Definicin de subespacio vectorial y sus propiedades. 4.3 Combinacin lineal. Independencia lineal. 4.4 Base y dimensin de un espacio vectorial, cambio de base. 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt. 5.1 Introduccin a las transformaciones lineales. 5.2 Ncleo e imagen de una transformacin lineal. 5.3 La matriz de una transformacin lineal. 5.4 Aplicacin de las transformaciones lineales: reflexin, dilatacin, contraccin y rotacin.

4

5

Transformaciones lineales.

8.- SUGERENCIAS DIDCTICAS (desarrollo de competencias genricas) Despertar la curiosidad de la investigacin con biografas de personas que hicieron aportaciones a las matemticas o problemas hipotticos con el fin de acrecentar el sentido y la actitud crtica del estudiante. Utilizar software de matemticas (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab) y calculadoras graficadoras para facilitar la comprensin de conceptos, la resolucin de problemas, la construccin de grficas y la interpretacin de resultados. Desarrollar prcticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera. Proponer problemas que: o Permitan al estudiante la integracin de los contenidos, para su anlisis y solucin. o Refuercen la comprensin de conceptos que sern utilizados en materias posteriores. o Modelen y resuelvan situaciones reales de ingeniera mediante conceptos propios del lgebra lineal. Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas as como analizar conceptos y definiciones.

9.- SUGERENCIAS DE EVALUACIN La evaluacin de la asignatura debe de ser continua y se debe considerar el desempeo en cada una de las actividades de aprendizaje, haciendo especial nfasis en obtener evidencias de aprendizaje como:

Reportes escritos. Solucin de ejercicios. Actividades de investigacin. Elaboracin de modelos o prototipos. Anlisis y discusin grupal. Resolucin de problemas con apoyo de software. Exmenes escritos para comprobar el manejo de aspectos tericos y declarativos.

10.- UNIDADES DE APRENDIZAJE Unidad 1: Nmeros complejos. Competencia desarrollar especfica a Actividades de Aprendizaje

Investigar el origen del trmino nmero Manejar los nmeros complejos y imaginario. las diferentes formas de Discutir el proceso de solucin de una representarlos, as como las ecuacin cuadrtica que cumpla la operaciones entre ellos para tener condicin b24ac < 0 para introducir la una base de conocimiento a utilizar definicin de . en ecuaciones diferenciales y en Comprobar las soluciones de una ecuacin diferentes aplicaciones de cuadrtica que cumpla la condicin b24ac ingeniera. < 0 para introducir las operaciones de suma y multiplicacin de nmeros complejos. Reconocer que cualquier potencia de in se puede representar como i 1. Graficar un mismo nmero complejo en la forma rectangular y su forma polar en el plano complejo para deducir las frmulas de transformacin entre diferentes formas de escribir nmeros complejos. Analizar la frmula de Euler para convertir una exponencial compleja a la forma polar o a la rectangular. Ejercitar las operaciones de suma, multiplicacin y divisin con complejos representados en sus diferentes formas. Analizar el teorema de De Moivre y aplicarlo a la potenciacin y radicacin de nmeros complejos. Resolver ecuaciones polinmicas con races complejas. Utilizar software matemtico para resolver operaciones con nmeros complejos. Resolver problemas de aplicacin en ingeniera que involucren el uso de los nmeros complejos.

Unidad 2: Matrices y determinantes. Competencia especfica a desarrollar Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; as como en otras reas de las matemticas y de la ingeniera, para una mejor comprensin y una solucin ms eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el clculo de la inversa de una matriz. Actividades de Aprendizaje Consensar en una lluvia de ideas el concepto de matriz y compararlo con una definicin matemtica. Identificar cundo dos matrices son conformables para la adicin de matrices. Calcular la de suma de matrices. Identificar cundo dos matrices son conformables para la multiplicacin de matrices. Calcular la multiplicacin de una matriz por un escalar y el producto entre matrices. Enunciar y ejemplificar las propiedades de las operaciones en matrices. Investigar la definicin de tipos de matrices cuadradas. Por ejemplo triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, peridica, nilpotente, idempotente, involutiva, simtrica, antisimtrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermitiana, ortogonal. Utilizar operaciones elementales por rengln para reducir una matriz a su forma de rengln escalonada. Determinar el rango de matrices cuadradas. Identificar matrices con inversa utilizando el concepto de rango. Calcular la inversa de matrices utilizando el mtodo forma escalonada reducida por renglones y comprobar que . Definir el determinante de una matriz de 2 x 2. Calcular determinantes utilizando la regla de Sarrus. Definir el concepto de menor y cofactor de una matriz. Calcular menores y cofactores de una matriz. Calcular determinantes de matrices de n x n.

Reflexionar y elegir el rengln/columna adecuado para reducir el nmero de operaciones en el clculo de un determinante. Parafrasear las propiedades de los determinantes. Establecer la relacin entre el valor del determinante de una matriz con la existencia de la inversa de la misma. Utilizar software matemtico para el clculo de la inversa de una matriz y determinantes. Resolver problemas de aplicacin de matrices y determinantes sobre modelos econmicos, crecimiento poblacional, teora de grafos, criptografa, entre otras.

Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales. Competencia especfica a desarrollar Actividades de Aprendizaje

Graficar las ecuaciones de un sistema de Modelar y resolver diferentes de dos ecuaciones con dos incgnitas en problemas de aplicaciones de un mismo plano e identificar el tipo de sistemas de ecuaciones lineales en solucin segn la grfica. el rea de las matemticas y de la Clasificar las soluciones de sistemas de ingeniera por los mtodos de ecuaciones lineales homogneos y no Gauss, Gauss-Jordan, matriz homogneos. inversa y regla de Cramer. Utilizar un graficador para visualizar geomtricamente y as interpretar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los mtodos propuestos. Analizar las caractersticas de un sistema de ecuaciones lineales y elegir el mtodo de solucin adecuado para resolverlo. Utilizar software matemtico para resolver problemas de sistemas de ecuaciones lineales. Resolver problemas de aplicacin en ingeniera de sistemas de ecuaciones lineales e interpretar su solucin.

Unidad 4: Espacios vectoriales. Competencia especfica a desarrollar Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que generaliza y hace abstraccin de operaciones que aparecen en diferentes reas de la matemtica mediante las propiedades de adicin y multiplicacin por un escalar. Construir, utilizando el lgebra de vectores, bases de un espacio vectorial y determinar la dimensin del espacio correspondiente. Actividades de Aprendizaje Comprender el concepto de espacio vectorial. Ejemplificar conjuntos de vectores que cumplan con los diez axiomas de espacio vectorial. Establecer analogas entre los espacios y subespacios vectoriales con la notacin de conjuntos y subconjuntos. Identificar si un conjunto de vectores son o no subespacios vectoriales de un espacio vectorial. Escribir vectores como combinacin lineal de otros. Determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente. Utilizar los conceptos de matrices y determinantes para determinar la independencia lineal de un conjunto de vectores. Identificar cundo es que un conjunto genera un espacio vectorial. Determinar si un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial. Graficar el espacio de solucin de un sistema de ecuaciones lineales y establecer la relacin entre la grfica y la dimensin del espacio de solucin. Encontrar la matriz de cambio de la base cannica a otra base y la matriz de cambio de una base no cannica a otra cualquiera. Comprobar la ortonormalidad de una base. Utilizar el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt. Utilizar software matemtico para encontrar la matriz de transformacin y realizar el proceso de ortonormalizacin de GramSchmidt.

Unidad 5: Transformaciones lineales. Competencia especfica a desarrollar Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de reflexin, dilatacin, contraccin y rotacin. Actividades de Aprendizaje Establecer una analoga entre la relacin de convertir un vector de materias primas multiplicadas por una matriz de transformacin a un vector de productos con la definicin de transformacin lineal. Identificar cundo una transformacin es una transformacin lineal. Definir y obtener el ncleo y la imagen de una transformacin lineal, as como la nulidad (dimensin del ncleo) y el rango (dimensin de la imagen). Representar una transformacin lineal como una matriz. Encontrar matrices de transformacin. Utilizar software matemtico para encontrar el ncleo y la imagen de una transformacin lineal. Resolver aplicaciones de transformaciones lineales de reflexin, dilatacin, contraccin y rotacin.

11.- FUENTES DE INFORMACIN 1. Aguilar, Kubli Eduardo, Asertividad, 1994 rbol Editorial, S.A. 2. Lay, David C., Algebra lineal y sus aplicaciones.-- 3a. ed. -- Mxico : Pearson Educacin, 2006. 3. Anton, Howard , Introduccin al lgebra lineal.-- 4a.ed.-- Mxico : Limusa, 2008. 4. Grossman, Stanley I. , Algebra lineal.-- 6a. Ed.-- Mxico : McGraw-Hill, 2008. 5. Gerber, Harvey , Algebra lineal.-- Mxico : Iberoamericana, 1992. 6. Williams, Gareth , Algebra lineal con aplicaciones.-- 4a. ed. -- Mxico : McGraw-Hill, 2007. 7. Solar Gonzlez, Eduardo / Apuntes de lgebra lineal.-- 3a. Ed.-- Mxico : Limusa, 2006. 8. Bru, Rafael , lgebra lineal.-- Colombia : Alfaomega, 2001. 9. Kolman, Bernard , lgebra lineal con aplicaciones y Matlab.-- 8a. Ed.-- Mxico : Pearson Educacin, 2006. 10. Zegarra, Luis A. , Algebra lineal.-- Chile : McGraw-Hill, 2001. 11. Poole, David , lgebra lineal.-- 2a. ed. -- Mxico : Thomson, 2007. 12. Nicholson, W. Keith, lgebra lineal con aplicaciones.-- 4a. Ed.-- Espaa : McGraw-Hill, 2003.

12.- PRCTICAS PROPUESTAS Utilizar software matemtico para comprobar operaciones de suma, multiplicacin, divisin, exponenciacin y radicacin con nmeros complejos. Utilizar software matemtico para realizar operaciones con matrices, calcular de la inversa de una matriz y obtener el determinante. Mediante el uso de un software matemtico resolver problemas de aplicacin de sistemas de ecuaciones lineales y, a travs de la graficacin, comprobar la solucin del sistema o mostrar que el sistema no tiene solucin. Utilizar software matemtico para encontrar la matriz de transformacin y representar un vector de una base a otra y realizar el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt. Utilizar software matemtico para resolver problemas de aplicaciones de las transformaciones lineales. Aplicar modelos lineales en la solucin de problemas de ingeniera.

1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Clculo Diferencial Carrera: Todas las Carreras Clave de la asignatura: ACF-0901 (Crditos) SATCA1 3 - 2 - 5 2.- PRESENTACIN Caracterizacin de la asignatura. La caracterstica ms sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian los conceptos sobre los que se construye todo el Clculo: nmeros reales, variable, funcin y lmite. Utilizando estos tres conceptos se establece uno de los esenciales del Clculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de cambio entre dos variables, nocin de trascendental importancia en las aplicaciones de la ingeniera. Esta asignatura contiene los conceptos bsicos y esenciales para cualquier rea de la ingeniera y contribuye a desarrollar en el ingeniero un pensamiento lgico, formal, heurstico y algortmico. En el Clculo diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para afrontar con xito clculo integral, clculo vectorial, ecuaciones diferenciales, asignaturas de fsica y ciencias de la ingeniera. Adems, encuentra, tambin, los principios y las bases para el modelado matemtico. Intencin didctica. La unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los nmeros reales y sus propiedades bsicas. Esto servir de sustento para el estudio de las funciones de variable real, tema de la unidad dos. En la tercera unidad se introduce el concepto de lmite de una sucesin, caso particular de una funcin de variable natural. Una vez comprendido el lmite de una sucesin se abordan los conceptos de lmite y continuidad de una funcin de variable real. En la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razn de cambio, se desarrolla el concepto de derivada de una funcin continua de variable real. Tambin se estudian las reglas de derivacin ms comunes. Finalmente, en la quinta unidad se utiliza la derivada en la solucin de problemas de razn de cambio y optimizacin (mximos y mnimos).1



Competencias especficas Comprender las propiedades de los nmeros reales para resolver desigualdades de primer y segundo grado con una incgnita y desigualdades con valor absoluto, representando las soluciones en la recta numrica real. Comprender el concepto de funcin real e identificar tipos de funciones, as como aplicar sus propiedades y operaciones. Comprender el concepto de lmite de funciones y aplicarlo para determinar analticamente la continuidad de una funcin en un punto o en un intervalo y mostrar grficamente los diferentes tipos de discontinuidad. Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variacin de una variable con respecto a otra. Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizacin y de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.

Competencias genricas Procesar e interpretar datos. Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numrica, geomtrica, algebraica, trascendente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemtico en forma oral y escrita. Modelar matemticamente fenmenos y situaciones. Pensamiento lgico, algortmico, heurstico, analtico y sinttico. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologas de informacin. Resolucin de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Optimizar soluciones. Toma de decisiones. Reconocimiento de conceptos o principios integradores. Argumentar con contundencia y precisin.

4.- HISTORIA DEL PROGRAMA Lugar y fecha de elaboracin o revisin Cd. de Matamoros, Tamaulipas del 9 al 13 de Marzo de 2009. Participantes Observaciones (cambios y justificacin) Definicin de los temarios.

Representantes de los Institutos Tecnolgicos de Len, Matamoros, Mrida y Milpa Alta. Cd. de Puebla, Puebla Representantes de los del 8 al 12 de junio del Institutos Tecnolgicos 2009 de Len, Matamoros, Mrida y Milpa Alta.

Consolidacin temarios.

de

los

5.- OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO (competencia especfica a desarrollar en el curso) Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de funcin de una variable para modelar y de la derivada para resolver. 6.- COMPETENCIAS PREVIAS Manejar operaciones algebraicas. Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incgnita. Resolver ecuaciones simultaneas con dos incgnitas. Manejar razones trigonomtricas e identidades trigonomtricas. Identificar los lugares geomtricos que representan rectas cnicas.


1

Nmeros reales.

1.1 La recta numrica. 1.2 Los nmeros reales. 1.3 Propiedades de los nmeros reales. 1.3.1 Tricotoma. 1.3.2 Transitividad. 1.3.3 Densidad. 1.3.4 Axioma del supremo. 1.4 Intervalos y su representacin mediante desigualdades. 1.5 Resolucin de desigualdades de primer grado con una incgnita y de desigualdades cuadrticas con una incgnita. 1.6 Valor absoluto y sus propiedades. 1.7 Resolucin de desigualdades que incluyan valor absoluto.

TEMARIO (continuacin).Unidad Temas Subtemas

2

Funciones.

2.1 Concepto de variable, funcin, dominio, condominio y recorrido de una funcin. 2.2 Funcin inyectiva, suprayectiva y biyectiva 2.3 Funcin real de variable real y su representacin grfica. 2.4 Funciones algebraicas: funcin polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonomtricas y funciones exponenciales. 2.6 Funcin definida por ms de una regla de correspondencia. funcin valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adicin, multiplicacin, composicin. 2.8 Funcin inversa. Funcin logartmica. Funciones trigonomtricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los nmeros naturales y recorrido en los nmeros reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Funcin implcita. 3.1 Lmite de una sucesin. 3.2 Lmite de una funcin de variable real. 3.3 Clculo de lmites. 3.4 Propiedades de los lmites. 3.5 Lmites laterales. 3.6 Lmites infinitos y lmites al infinito. 3.7 Asntotas. 3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. 3.9 Tipos de discontinuidades. 4.1 Conceptos de incremento y de razn de cambio. La derivada de una funcin. 4.2 La interpretacin geomtrica de la derivada. 4.3 Concepto de diferencial. Interpretacin geomtrica de las diferenciales. 4.4 Propiedades de la derivada. 4.5 Regla de la cadena. 4.6 Frmulas de derivacin y frmulas de diferenciacin. 4.7 Derivadas de orden superior y regla LHpital. 4.8 Derivada de funciones implcitas.

3

Lmites y continuidad.

4

Derivadas.


5

Aplicaciones de la derivada.

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. 5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del clculo diferencial. 5.3 Funcin creciente y decreciente. Mximos y mnimos de una funcin. Criterio de la primera derivada para mximos y mnimos. Concavidades y puntos de inflexin. Criterio de la segunda derivada para mximos y mnimos. 5.4 Anlisis de la variacin de funciones 5.5 Clculo de aproximaciones usando la diferencial. 5.6 Problemas de optimizacin y de tasas relacionadas.

8.- SUGERENCIAS DIDCTICAS (desarrollo de competencias genricas)

Con el dominio de los conceptos y con el conocimiento de la historia del clculo, el profesor abordar los temas de manera tal que propicie en el alumno el trabajo cooperativo y la aplicacin de dichos conceptos a travs de la experimentacin y el modelado logrando con ello la realizacin de las tareas programadas para el desarrollo de la competencia. Despertar la curiosidad de la investigacin con ancdotas o problemas hipotticos con el fin de acrecentar el sentido y la actitud crtica del estudiante. Utilizar software de matemticas y calculadoras graficadoras para facilitar la comprensin de conceptos, la resolucin de problemas y la interpretacin de resultados. Desarrollar prcticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera. Proponer problemas que: o Permitan al estudiante la integracin de los contenidos, para su anlisis y solucin. o Refuercen la comprensin de conceptos que sern utilizados en materias posteriores. o Modelen y resuelvan situaciones reales mediante conceptos propios de la asignatura. o Contribuyan a investigar sobre la extensin y profundidad de los conceptos.

Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas as como analizar conceptos y definiciones. Desarrollar la induccin, deduccin, sntesis y anlisis para fomentar las cualidades de investigacin.

9.- SUGERENCIAS DE EVALUACIN Evidencias de aprendizaje: Reportes escritos, solucin de ejercicios extra clase, actividades de investigacin, elaboracin de modelos o prototipos, anlisis y discusin grupal. Resolucin de problemas con apoyo de software. Ejercicios en clase. Exmenes escritos.

10.- UNIDADES DE APRENDIZAJE Unidad 1: Nmeros reales. Competencia desarrollar especfica a Actividades de Aprendizaje

.Construir el conjunto de los nmeros Comprender las propiedades de los reales a partir de los naturales, enteros, nmeros reales para resolver racionales e irracionales y representarlos desigualdades de primer y segundo en la recta numrica. grado con una incgnita y Plantear situaciones en las que se desigualdades con valor absoluto, reconozca las propiedades bsicas de los representando las soluciones en la nmeros reales: orden, tricotoma, recta numrica real. transitividad, densidad y el axioma del supremo. Representar subconjuntos de nmeros reales a travs de intervalos y representarlos grficamente en la recta numrica. Resolver desigualdades de primer grado con una incgnita. Resolver desigualdades de segundo grado con una incgnita. Resolver desigualdades con valor absoluto y representar la solucin en la recta numrica.

Unidad 2: Funciones.

Competencia especfica a Actividades de Aprendizaje desarrollar Comprender el concepto de funcin .Identificar, cundo una relacin es una real y tipos de funciones, as como funcin entre dos conjuntos. estudiar sus propiedades y Identificar el dominio, el codominio y el operaciones. recorrido de una funcin. Reconocer cundo una funcin es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. Representar una funcin real de variable real en el plano cartesiano. (grfica de una funcin). Construir funciones algebraicas de cada uno de sus tipos. Construir funciones trascendentes, trigonomtricas circulares y funciones exponenciales haciendo nfasis en las de base e. Reconocer las grficas de las funciones trigonomtricas circulares y grficas de funciones exponenciales de base e. Graficar funciones con ms de una regla de correspondencia. Graficar funciones que involucren valores absolutos. Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin y composicin de funciones. Reconocer el cambio grfico de una funcin cuando sta se suma con una constante. Mediante un ejercicio utilizar el concepto de funcin biyectiva para determinar si una funcin tiene inversa, obtenerla, y comprobar a travs de la composicin que la funcin obtenida es la inversa. Identificar la relacin entre la grfica de una funcin y la grfica de su inversa. Proponer funciones con dominio en los nmeros naturales y recorrido en los nmeros reales.

Plantear diversos arreglos ordenados de nmeros reales y reconocer cules de ellos corresponden a una sucesin. A partir de ecuaciones reconocer funciones que implcitamente estn contenidas en ellas.

Unidad 3: Lmite y continuidad. Competencia especfica a desarrollar Actividades de Aprendizaje

Proponer una sucesin de tipo geomtrico Comprender el concepto de lmite o una progresin aritmtica o geomtrica y de funciones y aplicarlo para determinar el valor al que converge la determinar analticamente la sucesin cuando la variable natural tiende continuidad de una funcin en un a infinito. punto o en un intervalo y mostrar Extrapolar el concepto de lmite de una grficamente los diferentes tipos de funcin de variable natural al de una discontinuidad. funcin de variable real. Calcular de manera prctica el lmite de una funcin (sustituyendo directamente el valor al que tiende la variable). Calcular el lmite de una funcin utilizando las propiedades bsicas de los lmites. Plantear una funcin que requiere para el clculo de un lmite, el uso de lmites laterales. Identificar lmites infinitos y lmites al infinito. Reconocer a travs del clculo de lmites, cundo una funcin tiene asntotas verticales y/o cundo asntotas horizontales. Plantear funciones donde se muestre analtica y grficamente diferentes tipos de discontinuidad

Unidad 4: Derivadas.

Competencia especfica a desarrollar Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variacin de una variable con respecto a otra.

Actividades de Aprendizaje Mostrar con una situacin real el concepto de incremento de una variable. Reconocer el cociente de incrementos de dos variables como una razn de cambio. Reconocer a la derivada como el lmite de un cociente de incrementos. Mostrar que el valor de la pendiente de la tangente a una curva en un punto se puede obtener calculando la derivada de la funcin que corresponde a la curva en dicho punto. Mostrar con una situacin fsica o geomtrica el concepto de incremento de una variable. Mostrar grficamente las diferencias entre x y dx as como entre y y dy. Definir la diferencial de la variable dependiente en trminos de la derivada de una funcin. Demostrar, recurriendo a la definicin, la derivada de la funcin constante y de la funcin identidad. Calcular derivadas de funciones de la forma f(x)=xn. Reconocer las propiedades de la derivada y aplicarlas para el clculo de funciones. Plantear una expresin en la que se tenga una funcin de funcin y calcular la derivada mediante el uso de la regla de la cadena. Reconocer la frmula que debe usarse para calcular la derivada de una funcin y obtener la funcin derivada. Calcular la diferencial haciendo uso de frmulas de derivacin. Establecer una funcin que requiera para el clculo de su derivada el uso de derivadas laterales. Calcular la derivada de funciones definidas por ms de una regla de correspondencia. Graficar la funcin derivada.

Calcular las derivadas de orden superior de una funcin. Reconocer, en el clculo de lmites, una forma indeterminada de tipo LHpital. Aplicar el teorema de LHpital para evitar indeterminaciones.

Unidad 5: Aplicaciones de la derivada

Competencia especfica a desarrollar Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizacin y de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.

Actividades de Aprendizaje Utilizar la derivada para calcular la pendiente de rectas tangentes a una curva en puntos dados. Aplicar la relacin algebraica que existe entre las pendientes de rectas perpendiculares para calcular, a travs de la derivada, la pendiente de la recta normal a una curva en un punto. Determinar si dos curvas son ortogonales en su punto de interseccin. Aplicar el teorema de Rolle en funciones definidas en un cierto intervalo y explicar su interpretacin geomtrica. Aplicar el teorema del valor medio del clculo diferencial en funciones definidas en un cierto intervalo y explicar su interpretacin geomtrica. Determinar, a travs de la derivada, cundo una funcin es creciente y cundo decreciente en un intervalo. Obtener los puntos crticos de una funcin. Explicar los conceptos de punto mximo, punto mnimo y punto de inflexin de una funcin. Determinar cundo un punto crtico es un mximo o un mnimo o un punto de inflexin (criterio de la primera derivada). Explicar la diferencia entre mximos y mnimos relativos y mximos y mnimos absolutos de una funcin en un intervalo. Mostrar la importancia del teorema de Rolle para la existencia de un mximo o de un mnimo en un intervalo.

Mostrar, a travs de la derivada, cundo una funcin es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. Determinar, mediante el criterio de la segunda derivada, los mximos y los mnimos de una funcin. Analizar en un determinado intervalo las variaciones de una funcin dada: creciente, decreciente, concavidades, puntos mximos, puntos mnimos, puntos de inflexin y asntotas. Resolver problemas de tasas relacionadas. Resolver problemas de optimizacin planteando el modelo correspondiente y aplicando los mtodos del clculo diferencial. Resolver problemas de aproximacin haciendo uso de las diferenciales.

11.- FUENTES DE INFORMACIN Larson, Ron. Matemticas 1 (Clculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009. Purcell, Edwin J. Clculo, Editorial Pearson, 2007. Ayres, Frank. Clculo, McGraw-Hill, 2005. Leithold, Louis. El Clculo con Geometra Analtica, Editorial Oxford University Press, 2009. 5. Granville, William A. Clculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009. 6. Hasser, Norman B. Anlisis matemtico Vol. 1, Editorial Trillas, 2009. 7. Courant, Richard. Introduccin al clculo y anlisis matemtico Vol. I, Editorial Limusa, 2008. 1. 2. 3. 4.

12.- PRCTICAS PROPUESTAS

Mediante el uso de un software identificar la interpretacin geomtrica de la derivada y, a travs de la graficacin, localizar los mximos, mnimos y puntos de inflexin de una funcin, as como los intervalos de su crecimiento, decrecimiento y concavidad.

Ejemplo: En la siguiente prctica el alumno ser capaz de explicar el comportamiento de la derivada y su grfica, adems, de explicar qu sucede en el trayecto de la funcin, es decir, un anlisis completo de la funcin. Esto lo realizar con ayuda del software educativo GEOGEBRA. 1. 2. Coloca el cursor en el cono entrada y escribe una funcin cualquiera. Selecciona el cono de punto nuevo y posteriormente da click en cualquier punto de la funcin dibujada.

3.

Presiona el cono recta perpendicular, selecciona tangentes. Nuevamente, posicinate en el punto de la funcin para determinar la tangente.

4. 5. 6.

Ahora desplaza el punto hacia la direccin deseada. Qu le sucede a la tangente? En el cono entrada teclea m=pendiente[a]

7. 8. 9.

Repite la operacin de arrastre y explica Qu sucede con la pendiente? Nuevamente en el cono entrada escribe B=(x(A),m) Posicinate en el punto B y presiona el botn del lado derecho del ratn, y selecciona activa el trazo, ahora realiza la misma operacin de desplazar el punto A, explica qu sucede con el punto B?

10. 11.

Ahora posicinate en la funcin dando doble click y escribe una nueva. Explica qu sucede y responde las mismas preguntas del ejercicio anterior.

1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Clculo Integral Carrera: Todas las Carreras Clave de la asignatura: ACF-0902 (Crditos) SATCA1 3 - 2 - 5

2.- PRESENTACIN Caracterizacin de la asignatura. Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lgico, heurstico y algortmico al modelar fenmenos y resolver problemas en los que interviene la variacin. Hay una diversidad de problemas en la ingeniera que son modelados y resueltos a travs de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Clculo integral. El problema esencial del Clculo integral es calcular reas de superficies, particularmente el rea bajo la grfica de una funcin; de manera ms sencilla, sumar reas de rectngulos. Varios conceptos son descritos como el producto de dos variables; por ejemplo: trabajo, como fuerza por distancia; fuerza como el producto de la presin por el rea; masa como densidad por volumen. Si cada uno de los factores que componen el producto se asocian con cada uno de los ejes coordenados; el producto se asocia en el plano con una rea que puede ser calculada a travs de una integral. En general, si se define un plano p q, entonces la integral nos permite calcular reas en este plano, las unidades del rea resultante estn definidas por las unidades de los factores. Intencin didctica. Buscando la comprensin del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, as se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aqulla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir reas. Se incluye la notacin sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representacin de sumas de Riemann. La funcin primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar ntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto.1


Una vez que se abord la construccin conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los mtodos de integracin, para tener ms herramientas en la construccin de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental. Las aplicaciones incluidas en el temario son las bsicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por s mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificacin, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniera. Se incluye la serie de Taylor puesto que el clculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la funcin a integrar como una serie de potencias. La lista de prcticas y actividades de aprendizaje recomendadas no es exhaustiva, se han incluido ejemplos que pretenden favorecer el desarrollo de las competencias. En dichas actividades se especifica la participacin del alumno con la intencin de resaltar su papel activo. En algunas unidades se sugiere iniciar el tratamiento del tema con la realizacin de una prctica, esto obedece a lo expuesto arriba: partir de lo concreto para llegar a lo abstracto.


Competencias especficas Contextualizar el concepto de Integral. Discernir cul mtodo puede ser ms adecuado para resolver una integral dada y resolverla usndolo. Resolver problemas de clculo de reas, centroides, longitud de arco y volmenes de slidos de revolucin. Reconocer el potencial del Clculo integral en la ingeniera.

Competencias genricas Modelar matemticamente fenmenos y situaciones. Pensar lgica, algortmica, heurstica, analtica y sintticamente. Argumentar con contundencia y precisin. Procesar e interpretar datos. Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numrica, geomtrica, algebraica, trascendente y verbal. Comunicar ideas en el lenguaje matemtico en forma oral y escrita. Reconocer conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologas de la informacin. Resolver problemas.

Analizar la factibilidad de las soluciones. Optimizar soluciones. Tomar decisiones. Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicacin.




de

los

5.- OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO (competencia especfica a desarrollar en el curso)

Contextualizar el concepto de Integral. Discernir cul mtodo puede ser ms adecuado para resolver una integral dada y resolverla usndolo. Resolver problemas de clculo de reas, centroides, longitud de arco y volmenes de slidos de revolucin. Reconocer el potencial del Clculo integral en la ingeniera.

6.- COMPETENCIAS PREVIAS Usar eficientemente la calculadora, respetando la jerarqua de operadores. Evaluar funciones trascendentes. Despejar el argumento de una funcin. Dominar el lgebra de funciones racionales as como de expresiones con potencias y radicales. Identificar, graficar y derivar funciones trigonomtricas y sus inversas. Manejar identidades trigonomtricas. Identificar, graficar y derivar funciones exponenciales y logartmicas.

Bosquejar la grfica de una funcin a partir de su expresin analtica y asociar una expresin analtica a una grfica dada para las funciones ms usadas. Calcular lmites de funciones. Calcular derivadas y diferenciales de funciones algebraicas y trascendentes. Transcribir un problema al lenguaje matemtico. Determinar las intersecciones entre grficas de funciones.


1

Teorema fundamental del clculo.

1.1 Medicin aproximada de figuras amorfas. 1.2 Notacin sumatoria. 1.3 Sumas de Riemann. 1.4 Definicin de integral definida. 1.5 Teorema de existencia. 1.6 Propiedades de la integral definida. 1.7 Funcin primitiva. 1.8 Teorema fundamental del clculo. 1.9 Clculo de integrales definidas. 1.10 Integrales Impropias. 2.1 Definicin de integral indefinida. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas. 2.3 Clculo de integrales indefinidas. 2.3.1 Directas. 2.3.2 Con cambio de variable. 2.3.3 Trigonomtricas. 2.3.4 Por partes. 2.3.5 Por sustitucin trigonomtrica. 2.3.6 Por fracciones parciales. 3.1 reas. 3.1.1 rea bajo la grfica de una funcin. 3.1.2 rea entre las grficas de funciones. 3.2 Longitud de curvas. 3.3 Clculo de volmenes de slidos de slidos de revolucin. 3.4 Clculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones.

2

Integral indefinida y mtodos de integracin.

3

Aplicaciones de la integral.

TEMARIO (continuacin)

Unidad

Temas

Subtemas

4

Series.

4.1 Definicin de seria. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita. 4.2 Serie numrica y convergencia Prueba de la razn (criterio de DAlembert) y Prueba de la raz (criterio de Cauchy). 4.3 Serie de potencias. 4.4 Radio de convergencia. 4.5 Serie de Taylor. 4.6 Representacin de funciones mediante la serie de Taylor. 4.7 Clculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

8.- SUGERENCIAS DIDCTICAS (desarrollo de competencias genricas) En las actividades de aprendizaje y prcticas sugeridas, se hace necesario que el profesor haga una mediacin oportuna y moderada: oportuna, para no dejar que la frustracin embargue al alumno; moderada, para permitirle pensar. Debe tenerse presente que las respuestas o acciones del estudiante, durante el proceso de construccin, no necesariamente sern inmediatas, ni las esperadas, por lo que deber tomarse lo rescatable de cada aportacin y orientar la discusin para la obtencin del logro de las competencias. Usar elementos tangibles, actividades concretas con las que puedan iniciarse algunos temas a lo largo del curso para que el alumno tenga un primer acercamiento y de manera intuitiva inicie la conceptualizacin. Disear y proponer problemas en los que haya informacin no necesaria para propiciar que el alumno discrimine entre la informacin relevante e irrelevante. Usar el origen histrico de algunos de los temas para darles contexto y que el alumno conozca cmo se gener el conocimiento. Fomentar actividades grupales que propicien la comunicacin, el intercambio de ideas, la reflexin, la integracin y colaboracin de pares. Propiciar el uso de software educativo. Llevar a cabo actividades prcticas que promuevan el desarrollo de habilidades para la experimentacin, tales como: observacin, identificacin, manejo y control de variables y datos relevantes. Propiciar el uso adecuado de conceptos y de terminologa cientficotecnolgica.

Interrelacionar las academias correspondientes, promoviendo reuniones en las que se discutan las necesidades de aprendizaje de los estudiantes y la profundidad con que se abordar cada uno de los temas. Tambin es deseable que esas reuniones se analicen problemas que relacionen la materia con otras. Contextualizar los contenidos del curso en situaciones de la vida real destacando la pertinencia y relevancia en su carrera profesional. 9.- SUGERENCIAS DE EVALUACIN

La evaluacin debe ser continua y cotidiana por lo que se debe considerar el desempeo en cada una de las actividades de aprendizaje, haciendo especial nfasis en: Reportes escritos de las observaciones hechas durante las actividades, as como de las conclusiones obtenidas de dichas observaciones. Informacin obtenida durante las investigaciones solicitadas plasmada en documentos escritos. Descripcin de otras experiencias concretas que podran realizarse adicionalmente. Exmenes escritos para comprobar el manejo de aspectos tericos y declarativos.

10.- UNIDADES DE APRENDIZAJE

Unidad 1: Teorema fundamental del clculo. Competencia desarrollar especfica a Actividades de Aprendizaje

Actividad del alumno: Se propone realizar la prctica 1.1. Contextualizar el concepto de integral definida. Actividad del alumno: Para una coleccin de funciones simples (como Visualizar la relacin entre x 2 clculo diferencial y el clculo y = 1, y = x, y = e , y = x ) construir la integral. primitiva a partir de la definicin. Calcular integrales definidas. Actividad del alumno: Realizar la prctica 1.2. Actividad conjunta maestro-alumno: Consultar el enunciado del Teorema Fundamental del Clculo y establecer la relacin entre el enunciado y las conclusiones de la prctica 1.1. Se sugiere que en este punto el profesor haga un cierre, precisando el Teorema.

Actividad del alumno: Calcular integrales definidas diversas y asociar cada integral con su interpretacin geomtrica. Actividad del maestro: proponer entre las integrales a resolver, algunas que se asocien con reas negativas. Verificar el Teorema Fundamental con pares de funciones y y y diferentes a las que se usaron en la prctica 1.1. Hacer un resumen sobre el desarrollo histrico del clculo con base en los textos que se sugieren en la bibliografa o algunas otras fuentes. Agregar al resumen comentarios personales.

Unidad 2: Integral indefinida y mtodos de integracin.

Competencia especfica a desarrollar Discernir cul mtodo puede ser ms adecuado para resolver una integral dada y resolverla usndolo. Determinar una funcin primitiva.

Actividades de Aprendizaje Utilizar las propiedades de linealidad de la integral indefinida para obtener la primitiva de otras funciones. Resolver integrales que requieran modificacin o interpretacin para adecuarlas a una frmula. Actividad maestro: Abordar cada nuevo mtodo proponiendo integrales que no puedan ser resueltas con los mtodos previos. (Adquirir una nueva herramienta cuando las que ya se tienen resultan insuficientes). Ante un grupo de integrales a resolver, seleccionar el mtodo ms adecuado segn la funcin integrando y resolver la integral aplicando el mtodo. Actividad maestro: Incluir lmites de integracin constantes y con expresiones en algunas de las integrales a resolver. Lmites constantes para reforzar la competencia en evaluacin de la integral definida y lmites con expresiones para anticipar aplicaciones en el Clculo de varias variables.

Unidad 3: Aplicaciones de la integral. Competencia especfica a desarrollar Interpretar enunciados de problemas para construir la funcin que al ser integrada da la solucin. Resolver problemas de clculo de reas, centroides, longitud de curvas y volmenes de slidos de revolucin. Reconocer el potencial del Clculo integral en la ingeniera.

Actividades de Aprendizaje Actividad conjunta maestro-alumno: Plantear la integral que resuelva el clculo del rea delimitada por una funcin. Actividad conjunta maestro-alumno: Para el clculo de reas entre funciones: graficarlas e identificar el rea a calcular y el intervalo de integracin; construir la integral definida y resolverla. Sugerencia: utilizar software de matemticas para graficar las funciones menos conocidas. Desarrollar la prctica 3.1. Actividad del alumno: Hacer una recopilacin de expresiones matemticas en las que aparezcan integrales en la bibliografa de ingeniera identificando de qu tema se trata y las variables fsicas que estn involucradas en la expresin. Participar en una plenaria en la que se intercambien los productos de la recopilacin. Actividad del alumno: Elaborar enunciados de problemas de aplicacin de la integral, inditos. Pudiera ser modificando condiciones de otro ya resuelto, dando adems solucin al nuevo problema. Actividad del alumno: Realizar la prctica 3.2.

Unidad 4: Series. Competencia especfica a desarrollar Identificar series finitas e infinitas en distintos contextos Determinar la convergencia de una serie infinita. Usar el teorema de Taylor para representar una funcin en serie de potencias y aplicar esta representacin para calcular la integral de la funcin. Actividades de Aprendizaje Realizar la prctica 4.1. Actividad del maestro: Formalizar a partir de la prctica 4.1 los conceptos: serie finita y serie numrica. Realizar la prctica 4.2. Actividad del maestro: Formalizar a partir de la prctica 4.2 los conceptos: serie infinita y convergencia de una serie. Actividad del maestro: Presentar la serie de potencias y su convergencia Actividad conjunta maestro-alumno: Calcular radios de convergencia de diversas series. Actividad del alumno: Buscar series en distintos campos de la ciencia registrando la serie y el contexto en el que tiene aplicacin. Participar en una plenaria en la que se intercambien los productos de la bsqueda. Actividad del maestro: Presentar la serie de Taylor como un caso particular de serie de potencias. Comentar la serie de Maclaurin. Actividad del alumno: Encontrar la serie de Taylor de diversas funciones propuestas. Realizar la prctica 4.3. Actividad del alumno: representar funciones como una serie de Taylor usando software de matemticas. Actividad del maestro: proponer para lo anterior, funciones que requieren gran trabajo de clculo. Actividad del alumno: resolver integrales que requieran representar la funcin con la serie de Taylor. Hacer un resumen sobre el desarrollo histrico de las series con base en los textos que se sugieren en la bibliografa o algunas otras fuentes. Agregar al resumen comentarios personales.

11.- FUENTES DE INFORMACIN 1. Stewart, James B. Clculo con una Variable. Editorial Thomson, 2. Larson, Ron. Matemticas 2 (Clculo Integral), McGraw-Hill, 2009. 3. Swokowski Earl W. Clculo con Geometria Analtica. Grupo Editorial iberoamericana,1998. 4. Leithold, Louis. El Clculo con Geometra Analtica, Editorial Oxford University Press, 2009. 5. Purcell, Edwin J. Clculo, Editorial Pearson, 2007. 6. Ayres, Frank. Clculo, McGraw-Hill, 2005. 7. Hasser, Norman B. Anlisis Matemtico Vol. 1, Editorial Trillas, 2009. 8. Courant, Richard. Introduccin al Clculo y Anlisis Matemtico Vol. I, Editorial Limusa, 2008. 9. Aleksandrov, A. D., Kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. La matemtica: su contenido, mtodos y significado. Madrid, Alianza Universidad, 1985. 10. Boyer C. B. (1959). The history of the Claculus and its conceptual development. New York, Dover Publications Inc. Software: El que se tenga disponible.

12.- PRCTICAS PROPUESTAS Prctica 1.1 Clculo de reas amorfas. Proponer al alumno la estimacin de reas de figuras planas amorfas, los mtodos para hacer la estimacin sern elegidos por los alumnos. Proponer una cota superior y una cota inferior para cada figura. Repetir lo anterior para figuras limitadas por curvas en el plano cartesiano, curvas de las que no se tenga la forma explcita de la funcin. El profesor retoma la actividad y seala como ms adecuado el uso de rectngulos como antecedente de la suma de Riemann.

Prctica 1.2 Grafica las funciones y = x 2 y y = 2 x ; alnealas siguiendo el patrn que se muestra.Y

xY

x 0 1 2 3

A partir del anlisis de las grficas propuestas llena la siguiente tabla x rea bajo y = 2 x y(x) desde 0 hasta x 0 0 0 1 2 3 4 Escribe lo que concluyes a partir de la observacin de los resultados obtenidos. Repite el ejercicio considerando ahora las funciones, y = 2 x y = 2 Hay semejanza en tus conclusiones en ambos ejercicios? Si no, compralas con las de tus compaeros. Si tu respuesta es afirmativa, aplica tu conclusin a otro par de funciones. Escribe un enunciado general usando en l f(x) y f(x).

Prctica 3.1 Encontrar ese punto especial. Proveerse de un clavo, hilo y recortes de cartn en forma de rectngulo, tringulo, parbola, semicrculo, semielipse. Determinar mediante mtodos experimentales (sugerido por el profesor) el centroide de cada figura. Un mtodo a usar consiste en hacer pasar un hilo por una perforacin prxima al borde de la figura y suspender la figura de dicho hilo mientras se traza una lnea sobre la figura en la direccin del hilo. Repetir la misma operacin en otro punto tambin cerca del borde. Cuidar que el hilo pase libremente por las perforaciones y no modificar la direccin del hilo mientras se hace el trazado de la

lnea sobre la figura. El centroide se localiza en la interseccin de las lneas. Puede trazarse una tercera lnea para verificar el procedimiento. Equilibrar la figura sobre la punta de un clavo. -Plantea una funcin para cada una de las figuras (construir un modelo matemtico) y calcula los centroides correspondientes mediante el Clculo integral. -Compara los resultados de ambos mtodos. -Escribe una memoria donde describas como construiste las figuras y sus funciones matemticas correspondientes. -Comenta las diferencias de los resultados experimentales con los resultados tericos.

Prctica 3.2 -Considera un conjunto de funciones e integra cada una de ellas usando todos los paquetes de software disponibles. -Cul es ms amigable? -Cul realiza las integrales ms rpido? -Cul da soluciones ms fciles de interpretar? -Cul da la solucin ms confiable? -Cul escogeras para trabajar de manera cotidiana? -Escribe un reporte con las respuestas a las preguntas anteriores y agrega las dificultades que encontraste en el proceso y las formas en que las resolviste. Compara tus experiencias con tus compaeros. Prctica 4.1 Granos de trigo en el tablero de ajedrez y Una suma rpida Cuenta la leyenda sobre el inventor del juego de ajedrez: El Brahmn Lahur Sessa, tambin conocido como Sissa Ben Dahir (Ben Dahir significa hijo de Dahir), escuch que el Rey Iadava estaba triste por la muerte de su hijo y fue a ofrecerle el juego del ajedrez como entretenimiento para olvidar sus penas; el rey qued tan satisfecho con el juego, que quiso agradecer al joven otorgndole lo que ste pidiera. Sessa lo nico que pidi fue trigo, pidi que el rey le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, el doble por la segunda, y as sucesivamente doblando la cantidad anterior con cada nueva casilla hasta llegar a la casilla nmero 64. Iadava accedi a esta peticin, pero cuando hizo los clculos se dio cuenta que la peticin era imposible de cumplir. - Cuntos granos de trigo tendra que dar el rey al inventor? - Si se asigna un dcimo de gramo a cada grano de trigo, cuntas toneladas se tendran? - Si se paga una tonelada por segundo, en cuntos siglos se salda la cuenta? - Escribe la estrategia que usaste para dar respuesta a las preguntas, Con qu dificultades te encontraste? Cmo las sorteaste? Una suma rpida. Gauss ha sido uno de los mejores matemticos de todos los tiempos. Incluso se le ha denominado el prncipe de las matemticas.

Su vida transcurri a lo largo de los siglos XVIII y XIX. Este matemtico ya realiz grandes proezas matemticas desde que era un nio, como lo puede demostrar la siguiente ancdota muy conocida: Cuando Gauss estaba en lo que hoy da denominamos educacin Primaria, su maestra (o maestro, segn otras versiones), cansada de lidiar con aquellos guajes, les mand la siguiente diablica tarea: sumar todos los nmeros del 1 al 100. Despus de proponer la faena, la susodicha se dispuso a pasar el tiempo en otros menesteres ms provechosos cuando una voz la sac de su ensimismamiento: -Ya est! -Anda nio, deja de decir tonteras y no me molestes con tus impertinencias! -Es 5050 En esto la docente se qued sin habla y le pregunt a Gauss, que como todos habrn supuesto acertadamente era el causante del asombro de la maestra, por la forma de su resolucin, a lo que Gaussito contest: -Completa el texto describiendo el razonamiento que us Gauss para hacer la suma tan rpidamente. Sugerencia: escribe los nmeros que Gauss sum, por lo menos los 5 primeros y los 5 ltimos; la clave est en agruparlos por parejas. -Aplica el mtodo encontrado para sumar los primeros 1000 nmeros naturales. -Puede generalizarse esa forma para sumar los primeros n nmeros naturales?

Prctica 4.2 Un vistazo al infinito Objetivo: Hacer evidente que las series infinitas pueden aparecer en diversos contextos. Actividad 1. -Cuando un arquero tira una flecha, sta abandona el arco por tramos; primero la mitad, luego la mitad de la mitad, despus la mitad de la mitad de la mitad y as sucesivamente. Representa este proceso mediante una serie, es finita o infinita la serie resultante? Propn un valor para la suma de todos los trminos. Se sugiere que el profesor dirija una discusin para llegar a los resultados y solicite a sus alumnos una consulta sobre Zenn de Elea y sus paradojas. Actividad 2. - Elegir dos enteros y expresar el cociente de ellos en forma decimal, hacer el cociente de manera que se obtenga la representacin decimal infinita (10/9 y no 9/10 5/7 y no 7/5). Expresar el cociente como una serie infinita. -Construir una serie tomando como trminos los recprocos de los nmeros naturales, conocida como serie armnica. Explorar la serie para decidir si est acotada. Sugerencia: se puede, con el auxilio de una hoja de clculo calcular sumas parciales tomando ms y ms trminos de la serie cada vez. Con base en los resultados obtenidos de las sumas parciales converge la serie, o diverge? Puede verse que los trminos de la serie corresponden a las ordenadas de los enteros en la funcin y = 1/x.Y

y = 1/x 1 2 3 4 5 X

Construye rectngulos tomando como alturas las ordenadas correspondientes a los extremos izquierdos de los subintervalos, calcula las reas de cada rectngulo y ascialas a los trminos de la serie armnica. La serie muestra una rea mayor que la de la curva? Compara la serie con la integral que representa el rea bajo la curva. Con base en lo que sabes sobre esta integral impropia, decide si la serie es convergente o divergente. El profesor retoma la actividad y formaliza a partir de ella los conceptos: serie infinita y convergencia de una serie. Prctica 4.3 Integracin de una funcin por series 2 -Encontrar la serie de Taylor de la funcin f ( x) = e x , alrededor de x0=0. -Determinar si la serie converge a la funcin. La serie de Taylor es una herramienta para calcular integrales definidas de funciones con primitivas difciles de determinar como sta. Una vez que se verifica la convergencia de la serie, el procedimiento consiste en integrar cada uno de los trminos y realizar la suma, lo cual nos da una aproximacin del valor de la integral dependiendo del nmero de trminos considerados. -Calcular la integral de la funcin en el intervalo [0,1] a travs de la integracin de la serie.

1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Clculo Vectorial Carrera: Todas las Carreras Clave de la asignatura: ACF-0904 (Crditos) SATCA1 3 - 2 - 5

2.- PRESENTACIN Caracterizacin de la asignatura. En diversas aplicaciones de la ingeniera, la concurrencia de variables espaciales y temporales, hace necesario el anlisis de fenmenos naturales cuyos modelos originan funciones vectoriales o escalares de varias variables. Se disea esta asignatura con el fin de proveer al alumno de herramientas para analizar estas funciones de tal manera que se pueda predecir o estimar su comportamiento, y estudiar conceptos relacionados con ellas; haciendo hincapi en la interpretacin geomtrica siempre que sea posible. El curso est diseado de manera que posibilite al estudiante para representar conceptos, que aparecen en el campo de la ingeniera, por medio de vectores; resolver problemas en los que intervienen variaciones continuas; resolver problemas geomtricos en forma vectorial; graficar funciones de varias variables; calcular derivadas parciales; resolver integrales dobles y triples; aplicar las integrales en el clculo de reas y volmenes. Con el diseo de este curso se pretende que al mismo tiempo que el alumno aprende el lenguaje de las matemticas, adquiera estrategias para resolver problemas; elabore desarrollos analticos para la adquisicin de un concepto; piense conceptualmente, desarrolle actitudes para la integracin a grupos interdisciplinarios y aproveche los recursos que la tecnologa ofrece, como el uso de software de lgebra simblica, calculadora grfica y computadora.

Intencin didctica. La caracterstica ms relevante de la materia es el tratamiento a nivel intuitivo de los Campos escalares y vectoriales desde el inicio del curso, con el fin de dotar de significado a muchos de los conceptos que se estudiarn ms adelante en el curso. El examinar y retomar, a lo largo de todo el curso, la importancia geomtrica y fsica1


de campos, como flujo de calor, flujo de energa, el gravitatorio o el asociado con cargas; anlisis que servir para dar significado a diversos subtemas del curso como lgebra vectorial, superficies de nivel, longitud de arco, vector tangente, etc. Esto permitir que el alumno se sensibilice de la importancia del concepto Campo en el desarrollo de las bases conceptuales de la fsica y la ingeniera, as como en la consolidacin del pensamiento cientfico. La propuesta es llegar a las formalizaciones a partir de lo concreto; por ejemplo, primero se estudia la geometra de las operaciones vectoriales y despus estas operaciones. En la ltima unidad se aborda el concepto Integral de Riemann de funciones de varias variables y el concepto de coordenadas esfricas y cilndricas, cuya intencin es mostrar el potencial del clculo en las aplicaciones donde se calcula un volumen; es decir, no se pretende ser exhaustivo en la resolucin de distintos problemas slo sensibilizar al alumno, del potencial que tiene el uso de estas coordenadas. En la seccin Unidades de aprendizaje se recomiendan actividades dirigidas a los estudiantes que pretenden servir de ejemplo para activar competencias al mismo tiempo que se adquieren conocimientos


Competencias especficas Competencias genricas Interpretar, reconstruir y aplicar modelos Identificar las variables presentes en que representan fenmenos de la un problema. naturaleza en los cuales interviene ms Relacionar varias fuentes de de una variable continua, en diferentes informacin a la vez. contextos de la ingeniera. Reconocer y definir un problema. Analizar fenmenos naturales Sintetizar informacin. Descubrir los datos relevantes. Combinar diferentes enfoques o puntos de vista. Proyectar imgenes en el espacio. Inferir y deducir principios. Razonar analgicamente. Generar hiptesis. Disear medios para verificar hiptesis. Establecer relaciones virtuales Pensar crticamente. Desarrollar pensamiento lgico matemtico.

Usar tecnologas computacionales y software para la graficacin de funciones. Buscar y analizar informacin proveniente de fuentes diversas. Comunicar con precisin y claridad y de manera explcita sus ideas Organizar y planificar. Tomar decisiones. Explorar sistemticamente la informacin. Trabajar en equipo. Aplicar los conocimientos a la prctica. Codificar y decodificar informacin de una modalidad a otra. Generalizar principios. Tomar conciencia de sus propias estrategias de aprendizaje. Aprender en forma autnoma Buscar estrategias para lograr sus objetivos.




de

los

5.- OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO (competencia especfica a desarrollar en el curso) Conocer los principios y tcnicas bsicas del Clculo en Varias Variables para interpretar y resolver modelos que representan fenmenos de la naturaleza en los cuales interviene ms de una variable continua.

6.- COMPETENCIAS PREVIAS Habilidad para abstraer, analizar y sintetizar problemas al lenguaje algebraico, que involucren el clculo diferencial, integral y operaciones de lgebra lineal. Dominio de: o lgebra intermedia, Trigonometra y Geometra Analtica. o Determinantes de 2X2 Y 3X3. o Funciones y sus diferentes representaciones. o Lmites. o Continuidad. o Clculo Diferencial. o Sumas de Riemann. o Clculo Integral. o Conocimiento de algunas de las aplicaciones de la integral de Riemann. o Conocimiento de la relacin entre derivada e integral de una funcin. Habilidades: o Usar el vocabulario propio de las matemticas. o Uso de tecnologas de informacin y comunicacin, como: calculadora, computadora, Windows, internet. o Representar puntos, rectas, planos y cnicas en el plano y en el espacio. o Interpretar el comportamiento de funciones. o Interpretacin y anlisis de problemas. o Identificar las variables importantes de un problema. o Derivar funciones algebraicas y trascendentes. o Diferenciar. o Mostrar geomtricamente el Teorema Fundamental del Clculo. o Emplear el teorema del valor medio. o Determinar el rea comprendida entre dos curvas. o Calcular volmenes de slidos de revolucin. o Resolver problemas usando las diferentes tcnicas de integracin. o Resolver integrales impropias. o Resolver problemas prcticos donde se requiere la utilizacin del clculo diferencial e integral. o Habilidad para codificar al lenguaje algebraico, problemas que involucran el clculo diferencial e integral.


1

Algebra de vectores.

1.1 Definicin de un vector en R2, R3 y su Interpretacin geomtrica. 1.2 Introduccin a los campos escalares y vectoriales. 1.3 La geometra de las operaciones vectoriales. 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades. 1.5 Descomposicin vectorial en 3 dimensiones. 1.6 Ecuaciones de rectas y planos. 1.7 Aplicaciones fsicas y geomtricas. 2.1 Ecuacin paramtrica de la lnea recta. 2.2 Curvas planas. 2.3 Ecuaciones paramtricas de algunas curvas y su representacin grfica. 2.4 Derivada de una funcin dada paramtricamente. 2.5 Coordenadas polares. 2.6 Graficacin de curvas planas en coordenadas polares. 3.1 Definicin de funcin vectorial de una variable real. 3.2 Graficacin de curvas en funcin del parmetro t. 3.3 Derivacin de funciones vectoriales y sus propiedades. 3.4 Integracin de funciones vectoriales. 3.5 Longitud de arco. 3.6 Vector tangente, normal y binormal. 3.7 Curvatura. 3.8 Aplicaciones.

2

Curvas en R2 y ecuaciones paramtricas.

3

Funciones vectoriales de una variable real.


4

Funciones reales de varias variables.

4.1 Definicin de una funcin de varias variables. 4.2 Grfica de una funcin de varias variables. 4.3 Curvas y superficies de nivel. 4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretacin geomtrica. 4.5 Derivada direccional. 4.6 Derivadas parciales de orden superior. 4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena. 4.8 Derivacin parcial implcita. 4.9 Gradiente. 4.10 Campos vectoriales. 4.11 Divergencia, rotacional, interpretacin geomtrica y fsica. 4.12 Valores extremos de funciones de varias variables. 5.1 Introduccin. 5.2 Integral de lnea. 5.3 Integrales iteradas dobles y triples. 5.4 Aplicaciones a reas y solucin de problema. 5.5 Integral doble en coordenadas polares. 5.6 Coordenadas cilndricas y esfricas. 5.7 Aplicacin de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas.

5

Integracin.

8.- SUGERENCIAS DIDCTICAS (desarrollo de competencias genricas)

Los ejemplos de actividades sugeridas estn dirigidas a los estudiantes, el papel del profesor ser el de mediador para lograr la co-reconstruccin del conocimiento. Investigar el origen histrico, el desarrollo y definiciones planteadas en los conceptos involucrados en el tema. Analizar y discutir, sobre la aplicacin de los conceptos, en problemas reales relacionados con la ingeniera en que se imparta esta materia. Presentar siempre el concepto antes de su expresin matemtica, posteriormente se podrn hacer problemas numricos. Propiciar el uso de Software de matemticas (Derive, Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab) o la calculadora graficadora como herramientas que faciliten la comprensin de los conceptos, la resolucin de problemas e interpretacin de los resultados. Abordar el concepto de integral de funciones de varias variables como generalizacin de la integral de funciones de una variable. Usar algunas de las aplicaciones de la integral de Riemann. Promover grupos de discusin y anlisis sobre conceptos previamente investigados, despus establecer definiciones necesarias y suficientes para el desarrollo del tema. Propiciar actividades de bsqueda, seleccin y anlisis de informacin en distintas fuentes. Propiciar el uso de las nuevas tecnologas en el desarrollo de la asignatura (procesador de texto, hoja de clculo, base de datos, graficador, Internet, etc.). Fomentar actividades grupales que propicien la comunicacin, el intercambio argumentado de ideas, la reflexin, la integracin y la colaboracin de y entre los estudiantes. Propiciar, en el estudiante, el desarrollo de actividades intelectuales de induccin-deduccin y anlisis-sntesis, las cuales encaminan al alumno hacia la investigacin. Llevar a cabo actividades prcticas que promuevan el desarrollo de habilidades para la experimentacin, tales como: identificacin manejo y control de variables y datos relevantes, planteamiento de hiptesis y trabajo en equipo. Desarrollar actividades de aprendizaje que propicien la aplicacin de los conceptos, modelos y metodologas que se van aprendiendo en el desarrollo de la asignatura. Proponer problemas que permitan al estudiante la integracin de contenidos de la asignatura y entre distintas asignaturas, para su anlisis y solucin. Relacionar los contenidos de la asignatura con el cuidado del medio ambiente; as como con las prcticas de una agricultura sustentable. Observar y analizar fenmenos y problemticas propias del campo ocupacional.

Relacionar los contenidos de esta asignatura con las dems del plan de estudios para desarrollar una visin interdisciplinaria en el estudiante. Cuando los temas lo requieran, utilizar medios audiovisuales para una mejor comprensin del estudiante.

9.- SUGERENCIAS DE EVALUACIN

La evaluacin debe ser continua y cotidiana por lo que se debe considerar el desempeo en cada una de las actividades de aprendizaje, poniendo nfasis en: El avance personal de cada estudiante. Reportes escritos de las conclusiones hechas durante las actividades. Informacin obtenida durante las investigaciones solicitadas, plasmadas en documentos escritos. Exmenes escritos para comprobar el manejo de contenidos tericos y procedimentales.

10.- UNIDADES DE APRENDIZAJE

Unidad 1: lgebra de vectores.

Competencia desarrollar

especfica

a

Actividades de Aprendizaje Hacer una resea histrica del nacimiento del Clculo de varias variables, haciendo hincapi en la situacin econmica, poltica y cultural del ambiente en el que se desarroll, as como la cognitiva, en cuanto al requisito particular del ritmo instantneo de cambio de variables, haciendo notar que en la actualidad las funciones de varias variables tienen muchas aplicaciones ya que se pueden describir fenmenos mediante la interdependencia de varias variables. Mediar para que los alumnos llenen las lneas intercaladas en la introduccin a los Sistemas R2 y R3, y hacer las figuras mencionadas (Ver prctica #1).

Analizar de manera intuitiva campos escalares y vectoriales del entorno. Identificar la manifestacin de un vector en distintos contextos. Resolver con soltura operaciones entre vectores. Determinar ecuaciones de rectas y planos dados, as como asociar grficas de planos y rectas a ecuaciones dadas.

Proponer la elaboracin grfica de una situacin que implique suma de vectores y posteriormente pedir que se permuten los vectores, solicitar que el alumno arroje un principio (el de conmutacin de vectores). Graficar los vectores de un campo vectorial a partir de una expresin de la fsica. Mostrar diversas grficas de campos escalares y vectoriales pidiendo al alumno que identifique las diferencias e iniciar la construccin de las operaciones vectoriales. A partir de la geometra de las operaciones vectoriales, inducir la construccin de las propiedades de las operaciones.

Unidad 2: Curvas en R2 y ecuaciones paramtricas.

Competencia especfica a desarrollar

Actividades de Aprendizaje

Construir la grfica de una curva Elige un punto y un director de tu campo. plana en forma paramtrica Escribe la ecuacin de la lnea recta. eligiendo la tcnica ms apropiada. Extindela a una forma vectorial. Interprtala geomtricamente. Realiza las operaciones indicadas. Las ecuaciones obtenidas se llaman ecuaciones paramtricas de la recta. Desdobla la igualdad en dos igualdades escalares. Una recta pasa por el punto A(-1,3) y tiene un vector director V = (2,5), escribe sus ecuaciones paramtricas. Da valores al parmetro t y grafica el conjunto de vectores de posicin que obtienes. Introduce tus datos en un graficador. Compara tu grfica con las grficas examinadas en la unidad 1, identifica semejanzas y diferencias. Visualizar, con ayuda del software, grficas de curvas planas.

Unidad 3: Funciones vectoriales de una variable real. Competencia especfica a desarrollar Reconocer una funcin vectorial en distintos contextos y manejarla como un vector. Manejar con soltura ecuaciones paramtricas y el software para graficar curvas. Analizar grficas de curvas de funciones vectoriales en el espacio. Determinar los parmetros que definen una curva en el espacio. Actividades de Aprendizaje Introducir la problemtica relativa al movimiento en el espacio y al anlisis de curvas. Abordar los conceptos con ejemplos de la cinemtica, mencionando el movimiento. A partir de analogas extender el concepto de funcin real de variable real a funcin vectorial de variable real. Visualizar, con ayuda del software, grficas relativas a funciones vectoriales.

Unidad 4: Funciones reales de varias variables.

Competencia especfica a desarrollar Analizar de manera formal campos escalares y vectoriales. Calcular derivadas parciales y direccionales, determinar gradientes, planos tangentes y valores extremos de una funcin. Resolver problemas que involucran varias variables.

Actividades de Aprendizaje Proponer la identificacin del dominio de una funcin, hacer representaciones grficas. Siempre proponer aplicaciones fsicas de este tipo de funciones. Utilizar software que ayude a visualizar las grficas y a realizar operaciones.

Unidad 5: Integracin.

Competencia especfica a desarrollar Plantear y resolver integrales a partir de una situacin propuesta, eligiendo el sistema de coordenadas ms adecuado. Usar software para hallar la representacin grfica de un campo vectorial.

Actividades de Aprendizaje Partiendo de los conceptos de integral de Riemann vistos en Matemticas 2, hacer una generalizacin al concepto de integral de funciones de varias variables, interpretndola primero como un rea y solicitar que los alumnos la generalicen y lleguen a su interpretacin como volumen. Iniciar la unidad con ejemplos de masas y cargas elctricas. Formalizar el concepto de campo vectorial como una generalizacin del concepto de gradiente.

11.- FUENTES DE INFORMACIN 1. Aleksandrov, A. D., Kolmogorov A. N., Laurentiev M. A. La matemtica: su contenido, mtodos y significado. Madrid, Alianza Universidad, 1985. 2. Boyer C. B. (1959). The history of the Claculus and its conceptual development. New York, Dover Publications Inc. 3. Bressoud 4. Crowe M. J. (1985). A history of Vector Analysis (The evolution of the Idea of a Vectorial System). New York, Dover Publications Inc. 5. Kline M. (1977). Calculus: an intuitive and physical approach. 2nd edition, New York, Dover Publications Inx. 6. Marsden J. E. & Tromba A. J. (2004). Clculo vectorial, 5. edicin, Wilmington, Addison-Wesley Iberoamericana. 7. Stewart J. (1999). Clculo multivariable. Mxico, Thomson. 8. Swokowsky E. (1989). Clculo con geometra analtica, 2. edicin, Mxico, Grupo Editorial Iberoamrica. Software: DERIVE DPGRAPH GYROGRAPHICS MATHEMATICA MATHCAD MAPLE

12.- PRCTICAS PROPUESTASPrctica # 1:

Los cientficos utilizan el trmino vector para indicar una cantidad que tiene magnitud y direccin (por ejemplo, ___________, ___________________). Un vector suele representarse por una flecha o un segmento de recta. La longitud de la flecha representa la magnitud (________________) del vector y la flecha representa la _______________ del vector. Por ejemplo, la figura 1 muestra una partcula movindose a lo largo de una trayectoria en el plano y su vector de velocidad v en una ubicacin especfica de la trayectoria. Actividad: Haz la figura 1.

Aqu, la longitud de la flecha representa la velocidad de la partcula y apunta en la direccin en que se mueve. La figura 2 muestra la trayectoria de una partcula que se mueve en el espacio. Aqu el vector de velocidad v es un vector tridimensional. Actividad: Haz la figura 2.

Prctica # 2 Considera un conjunto de funciones y resuelve un problema del curso usando todos los paquetes de software disponibles. o Cul es ms amigable? o Con cul resolviste el problema ms rpidamente? o Cul da soluciones ms fciles de interpretar? o Cul da a solucin ms confiable? o Cul escogeras para trabajar de manera cotidiana? Escribe un reporte con las respuestas a las preguntas anteriores y agrega las dificultades que encontraste en el proceso y las formas en que las resolviste. Compara tus experiencias con tus compaeros

1.- DATOS DE LA ASIGNATURA Nombre de la asignatura: Desarrollo Sustentable Carrera: Todas las Carreras Clave de la asignatura: ACD-0908 (Crditos) SATCA1 2 - 3- 5

2.- PRESENTACIN Caracterizacin de la asignatura. La humanidad sobrepasa, en todas las perspectivas, los lmites de su espacio natural y la capacidad del planeta, en el cual cohabita con las dems especies. Sostener las condiciones para un desarrollo equilibrado y sustentable implica un control para el crecimiento irracional de las ciudades y las industrias, encausadas bsicamente a satisfacer actitudes consumistas ante una explosin demogrfica cada vez ms descontrolada, ya sea por fenmenos migratorios o por planificacin deficiente. La intencin de esta asignatura es que el egresado adopte valores y actitudes humanistas, que lo lleven a vivir y ejercer profesionalmente de acuerdo con principios orientados hacia la sustentabilidad, la cual es el factor medular de la dimensin filosfica del SNEST. Se pretende, entonces, la formacin de ciudadanos con valores de justicia social, equidad, respeto y cuidado del entorno fsico y biolgico, capaces de afrontar, desde su mbito profesional, las necesidades emergentes del desarrollo y los desafos que se presentan en los escenarios natural, social-cultural y econmico. El reto es formar individuos que hagan suya la cultura de la sustentabilidad y en poco tiempo transfieran esta cultura a la sociedad en general. La diversidad temtica del programa conforma la comprensin del funcionamiento de las dimensiones de la sustentabilidad y su articulacin entre s. Se presentan estrategias para la sustentabilidad que se han diseado y desarrollado por especialistas, organizaciones y gobiernos a nivel internacional, nacional y local. Se refuerzan competencias para mejorar el ambiente y la calidad de vida humana, desde una perspectiva sistmica y holstica de la sustentabilidad de los recursos. La asignatura, por su aportacin al perfil profesional, debe impartirse entre el quinto y sptimo semestre de las carreras del SNEST. Se sugiere integrar grupos con estudiantes de las distintas carreras, para fomentar el anlisis y ejecucin de1


estrategias para el desarrollo sustentable regional desde la multidisciplina, a la vez que se desarrolla la competencia de trabajar de manera interdisciplinaria. Intencin didctica. Debido a la trascendencia de esta materia en la formacin integral del estudiante es necesario que el docente como ejemplo a seguir, participe y conozca actividades de investigacin, desarrollo tecnolgico, innovacin, gestin, y vinculacin con los sectores sociales que pueden ser utilizados como casos de estudio de desarrollo sustentable en su localidad o regin. El proceso didctico requiere de ambientes de aprendizaje basados en estrategias constructivistas, formas y mtodos aplicables al desarrollo sustentable. Desde esta perspectiva se fundamenta esta idea desde la pedagoga sistmica y holstica. Desde la pedagoga sistmica y holstica hasta la permacultura y la antroposofa. De hecho, la visin ecosistmica se incluye en todo el proceso de apreciacin de la sustentabilidad como una alternativa que requiere la participacin metdica, planificada y consciente de todos. En un sentido amplio, la pedagoga sistmica es la educacin que ensea a mirar, a ubicarse y relacionarse adecuadamente con los sistemas humanos que rodean al individuo y con aquellos a los que se pertenece; ya sean escolares, familiares, sociales u organizacionales. Es la disciplina que permite apreciar el funcionamiento de los sistemas, descubrir cmo sus integrantes se relacionan entre s, el orden existente, y si cada cual ocupa el lugar que le corresponde dentro de ellos. Todo ello a fin de restablecer el equilibrio dentro de los mismos y poder as acceder a las fuentes de la fuerza que dichos sistemas albergan para cada uno de sus miembros. Existen una serie de movimientos sistmicos genricos que la pedagoga sistmica brinda como medio de descubrir si estamos ordenados dentro de los sistemas y como medio de ubicarnos correctamente dentro de los mismos para ocupar el lugar adecuado. Concretamente, hay movimientos que posibilitan identificar las imgenes que deterioran y las que favorecen la relacin saludable y eficaz entre el sistema escolar y el familiar y la relacin de ambos con el institucional; as como hay imgenes relativas a las diferentes relaciones entre los miembros dentro de cada uno de ellos. Adems, en la pedagoga sistmica se aplica un enfoque fenomenolgico. El enfoque fenomenolgico conlleva exponerse al fenmeno, enfrentarse a la realidad y experimentar el proceso de auto-conocimiento. Describe las vivencias y aclara el sentido que envuelve al ser humano en su vida cotidiana, su significado como seres humanos, en definitiva la experiencia de lo que se es.

De la pedagoga holstica se retoman sus objetivos para resaltar las actitudes integrativas, unitarias y no fragmentarias de una gestin humana (especialmente en un proceso educativo, concebido esto tambin de la manera ms amplia posible, entendiendo no slo el mbito formal e informal, sino incluyendo tambin los procesos pedaggicos dentro del accionar de los movimientos sociales). Muy importante es darse cuenta de que la pedagoga holstica es, ante todo, educadora en valores. Lo fundamental no es la adquisicin nicamente de habilidades, sino, sobre todo, para formar ciudadanos libres, responsables, crticos, con conciencia poltica, humanistas, etc. Con la pedagoga holstica es posible promover el desarrollo de valores como: Libertad con responsabilidad personal y social Justicia social Equidad de gnero y respeto a la diversidad Sensibilidad ecolgica o cosmocntrica Transformacin interior y estructural Motivacin e investigacin personal Solidaridad Autodisciplina y trabajo metdico

El principio comn del holismo puede ser el de la evolucin de la vida, es decir, es bueno todo lo que favorece la vida, el crecimiento de todos. Lo que va contra esto se torna pedaggica, tica, antropolgica y csmicamente perverso. Finalmente es una pedagoga espiritual. Referida a una espiritualidad renovada (no a aquella tradicional que contrapone espiritualidad a lo material), una espiritualidad holstica que supere los dualismos ya presentados anteriormente y otros ms que generemos. Esto significa, por ejemplo, que la prctica de la meditacin (no religiosa, como tal) debera ser normal y cotidiana en cualquier mbito de la vida y, en concreto, en la educacin formal e informal. La meditacin ofrece la posibilidad de cambio de actitudes de la manera ms natural y espontnea, a diferencia de las inducidas. En una palabra: la pedagoga holstica es una pedagoga que ayuda a ser, y no slo, aunque tambin, a hacer, a los diferentes quehaceres. El concepto de permacultura se utiliza para crear ambientes humanos respetuosos de su entorno, que no contaminan ni explotan, y cuyo centro es el hombre sus actividades y estructuras en base a un pensamiento integral y holstico que toma en cuenta todos lo

temario alg lineal

Documents