Tema 9. Campos escalares y camposvectoriales. Integrales de línea eintegrales de super�cie

Índice de contenidos del tema 91. Campos escalares y campos vectoriales

2. Gradiente, laplaciano, divergencia y rotacional

3. Integración de campos escalares y vectoriales sobre curvas y super�cies

4. Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss (o de la divergencia)

5. Campos vectoriales conservativos

a) Teorema fundamental del Cálculo pare integrales de línea de campos vecto-riales conservativos

b) Potencial de un campo vectorial conservativo

Campos escalares y campos vectorialesEn la realidad es natural trabajar con magnitudes escalares y vectoriales en regiones

conexas planas o del espacio.De�nición de campo escalar y campo vectorial. Sea A un conjunto conexo.

Un campo escalar es una función real de varias variables en la que a cada puntode su dominio se le asigna el valor que toma una determinada magnitud escalarsobre dicho punto,

f : A ⊂ Rn → R .

Un campo vectorial es una función vectorial de varias variables en la que a cadapunto de su dominio se le asigna el vector correspondiente a una determinadamagnitud vectorial que actúa sobre dicho punto,

F : A ⊂ Rn → Rn.

1

2

Observaciones:

1. Los conceptos anteriores tienen sentido físico para n = 2 y 3.

2. En ocasiones podrán aparecer campos vectoriales de la forma

F : A ⊂ Rm → Rn, con m 6= n.

Como por ejemplo, el rotacional de un campo vectorial en R2,rot F : A ⊂ R2 → R3, que ya se verá más adelante.

3. En el concepto de campo vectorial se mani�esta cláramente la dualidad punto�vector para los elementos de Rn: en un campo F los elementos del dominio seinterpretan como puntos, mientras que los de la imagen se interpretan como vec-tores (que se aplican sobre el punto del dominio del que son imagen).

Ejemplos de campos escalares y vectoriales

1. Campos escalares:

los que proporcionan la densidad,los que proporcionan la temperatura,los que proporcionan la altura, etc.

2. Campos vectoriales:

Campos de fuerzas:� campos eléctricos,� campos gravitatorios, etc.

Campos de velocidades:� movimiento del viento junto a una super�cie aerodinámica,� corrientes oceánicas,� velocidad de un �uido, etc.

Campos de �ujo: el que describe un �ujo de calor, etc.

Ejemplo de campo vectorial. Campo gravitacional . La ley de gravitación de Newtonestablece que

‖F‖ =mMG

r2.

Sea (x, y, z) el vector de posición del objeto de masa m, y M concentrada en el núcleode la Tierra (origen de coordenadas), entonces r = ‖(x, y, z)‖, por tanto la fuerza degravedad que actua sobre este objeto m, que es atractiva, es

F (x, y, z) = −‖F‖ (x, y, z)

‖(x, y, z)‖ =−mMG

‖(x, y, z)‖3 (x, y, z).

3

Representaciones grá�cas

Campos escalares −→ Grá�cas de funciones reales (n = 2).Curvas de nivel (n = 2). Ejemplo: Mapas topográ�cos.Super�cies de nivel (n = 3).

Campos vectoriales−→ Curvas de nivel (n = 2).Super�cies de nivel (n = 3).Campos de direcciones.

Líneas de �ujo:

líneas de corriente,líneas de fuerza,curvas integrales, etc.

Ejemplo: Trayectorias de máxima pendiente.

De�nición (Representación grá�ca mediante conjuntos de nivel).Sea F : A ⊂ Rn → Rn, y k ∈ R+. Se de�ne el conjuntos de nivel k de F como el

conjunto de nivel k del campo escalar f = ‖F‖,

Bk = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ A ⊂ Rn : ‖F (x1, x2, . . . , xn)‖ = k} .

Estos se denominan curvas de nivel cuando n = 2, y super�cies de nivel cuando n = 3.

• La representación de curvas y super�cies de nivel de campos vectoriales no se limitaal conjunto de nivel, sino que junto con el conjunto de nivel también se representanalgunos de los vectores F (a) con a ∈ Bk, aplicados sobre el propio punto a, vectoresque tienen en común su longitud o norma (que es k).

Ejemplo 1 Sea F : R2 → R2 de�nido por F (x, y) = (−x/2,−y/2). Para cada k > 0,la curva de nivel k de F es la siguiente:

Ck ={(x, y) ∈ R2 : ‖(−x/2,−y/2)‖ = k

}=

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = (2k)2

}.

Los vectores F (x, y), con (x, y) ∈ Ck, aplicados sobre (x, y), �apuntan� hacia el origende coordenadas y su longitud k es la mitad de la del radio de la circunferencia en laque se aplica, que es 2k. ¤

k=8

k=3

k=1

-4 0 4 8

-4

0

4

8

Figura 1: Curvas de nivel y campo de direcciones del campo vectorial F (x, y) = (−x/2,−y/2)

4

De�nición. Una línea de �ujo de F : A ⊂ R3 → R3 es una curva r(t) ⊂ A tal que

r′(t) = F (r(t)).

Observe:

(a) Son las trayectorias seguidas por una partícula cuyo campo de velocidad es elcampo vectorial dado.

(b) Los vectores de un campo vectorial son tangentes a las líneas de �ujo.

Procedimiento para obtener analíticamente las líneas de �ujoSi se desea obtener la línea de �ujo que pasa por cierto punto c del dominio de F , setendrá el problema de valores iniciales

r′i(t) = Fi (r1(t), r2(t), r3(t)) , i = 1, 2, 3

r(t0) = c, t0 ∈ R.

Interpretación añadida: la solución r(t) de dicho sistema proporciona no solo latrayectoria que sigue una partícula sometida a dicho campo de velocidades, sino tambiénla rapidez ‖r′(t)‖ con que la partícula recorre esa trayectoria.

Ejemplo 2 Sea F : R2 → R2 el campo vectorial F (x, y) = (−x/2,−y/2). La parametrizaciónr de cualquier línea de �ujo de este campo debe satisfacer que

r′(t) = (r′1(t), r′2(t)) = F (r1(t), r2(t)) = (−r1(t)/2,−r2(t)/2).

Luegor′1(t) = −r1(t)/2r′2(t) = −r2(t)/2

}⇒ r(t) = (k1e

−t/2, k2e−t/2), k1, k2 ∈ R,

se puede deducir que las líneas de �ujo son semirectas con extremo en el origen. ¤

5

Gradiente, laplaciano, divergencia y rotacionalDe�nición. Sea f : A ⊂ R3 → R un campo escalar. Suponiendo las condiciones dederivabilidad necesarias, se de�nen los campos gradiente y laplaciano de f, como loscampos vectorial y escalar dados respectivamente por

∇f(x, y, z) =

(∂f

∂x(x, y, z),

∂f

∂y(x, y, z),

∂f

∂z(x, y, z)

),

∆f(x, y, z) =∂2f

∂x2(x, y, z) +

∂2f

∂y2(x, y, z) +

∂2f

∂z2(x, y, z).

De�nición. Sea F : A ⊂ R3 → R3 un campo vectorial. Suponiendo las condiciones dederivabilidad necesarias, se de�nen los campos divergencia y rotacional de F , como loscampos escalar y vectorial dados respectivamente por

div F (x, y, z) =∂F1

∂x(x, y, z) +

∂F2

∂y(x, y, z) +

∂F3

∂z(x, y, z),

rot F (x, y, z) =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)=

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣.

Caso particular. En el caso F : A ⊂ R2 → R2, el rotacional de F es el campo vectorialrot F : A ⊂ R2 → R3 de�nido por

rot F (x, y) =

(0, 0,

∂F2

∂x(x, y)− ∂F1

∂y(x, y)

)=

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

0

F1 F2 0

∣∣∣∣∣∣.

Otro tipo de notación: Si se utiliza el símbolo del gradiente como un operador,

∇ =

(∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

),

entonces se puede escribir que

∇ · F =

(∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)· (F1, F2, F3) =

∂

∂xF1 +

∂

∂yF2 +

∂

∂zF3 = div F,

∇× F =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣=

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)= rot F.

6

Integración de campos escalares y vectoriales sobre cur-vas y super�cies

En esta sección se introducirán nuevos tipos de integrales.Los conjuntos sobre los que se integrará son curvas de R2 o R3, y super�cies de R3. Ylas funciones que se integrarán son campos escalares y vectoriales de R2 o R3.Introducción. Recordemos, si h : [a, b] → R es una función continua, h ≥ 0, entonces

Area(h, [a, b]) =

∫ b

a

h(x)dx.

¾Qué ocurrirá cuando h : γ(t) ⊂ R2 → R, h ≥ 0?

Este problema dará como resultado el área curva que encierra la grá�ca del campo hsobre la curva γ(t).

Figura 2: Super�cie determinada por un campo escalar positivo de�nido sobre una circunferencia del plano

Teorema 1 Sean f : A ⊂ R3 → R y G : A ⊂ R3 → R3 ambos continuos.Sea la curva C ⊂ A regular a trozos respecto de r : [a, b] → R3.Sea la super�cie S ⊂ A suave a trozos respecto de s : B ⊂ R2 → R3, B conexo.Entonces, se tiene que

∫

C

f dr =

∫ b

a

f(r(t)) ‖r′(t)‖ dt,

∫

C

Gdr =

∫ b

a

G(r(t)) · r′(t) dt,∫∫

S

f ds =

∫∫

B

f(s(u, v)) ‖N(u, v)‖ dudv ,∫∫

S

Gds =

∫∫

B

G(s(u, v)) ·N(u, v) dudv . (1)

Nota: Para la expresión (1) se exige que la super�cie S sea orientable, puesto que dichaintegral mide el �ujo del campo a través de S en la dirección dada por sus vectoresnormales.

•Propiedades de las integrales de linea y super�cie de campos escalares(consultar libro)•Propiedades de las integrales de linea y super�cie de campos vectoriales(consultar libro)

7

Ejemplo 3 Integral de línea de un campo escalar. Sea f : A ⊂ R3 → R de�nidopor

f(x, y, z) =4 + x2 + y2 + z2

5− 2x2 − 2y2 − 2z2,

donde A = B((0, 0, 0), 20) es la bola abierta de centro (0, 0, 0) y radio 20. Sea C ⊂ Ala curva parametrizada por r(t) = (cos t,

√2 sen t, cos t), con t ∈ [

√2, 2

√2]. Calculemos

la integral de f sobre la curva C.Como f(r(t)) = (4 + 2)/(5 − 4) = 6 y ‖r′(t)‖ = ‖(− sen t,

√2 cos t,− sen t)‖ =

√2,

la integral buscada, aplicando la fórmula de la integral de línea de campos escalares es∫

C

f dr =

∫ 2√

2

√2

f(r(t)) ‖r′(t)‖ dt =

∫ 2√

2

√2

6√

2 dt = 12. ¤

Ejemplo 4 Integral de super�cie de un campo escalar. Sea f(x, y, z) = y. Cal-culemos

∫∫S

f ds donde S es la super�cie parametrizada por s(u, v) = (u, v, g(u, v))siendo g(u, v) = u + v2 con 0 ≤ u ≤ 1 y 0 ≤ v ≤ 2.

La norma del vector normal asociado a esta parametrización (que vimos en el temaanterior) es

‖N(u, v)‖ =

√1+

(∂g

∂u

)2

+

(∂g

∂v

)2

=√

2 (1 + 2v2).

Obtenemos que la integral buscada es:∫∫

S

f ds =

∫ 1

0

∫ 2

0

f(s(u, v)) ‖N(u, v)‖ dudv=

∫ 1

0

∫ 2

0

v√

2 (1 + 2v2)dudv =13√

2

3. ¤

Dependencia e independencia de la parametrizaciónUna cuestión que se debe plantear en relación a las integrales de línea y super�cie es sidependen de la parametrización elegida r y s.La respuesta será diferente para campos escalares y vectoriales:

La integral de línea y de super�cie de campos escalares son independientes de laparametrización elegida.

La integral de línea y de super�cie de un campo vectorial dependerá de la orientaciónelegida.

Teorema 2 Sea F : A ⊂ R3 → R3 integrable sobre una curva C ⊂ A e integrable sobreuna super�cie orientable S ⊂ A. Sean r1 y r2 dos parametrizaciones regulares a trozosde C. Y s1 y s2 dos parametrizaciones suaves a trozos de S.

(a) Si r1 y r2 dan la misma orientación a la curva C, así como s1 y s2 originan lamisma orientación sobre S, entonces se tiene que

∫

C

F dr1 =

∫

C

F dr2 ,

∫∫

S

F ds1 =

∫∫

S

F ds2.

(b) Si r1 y r2 producen en C orientaciones contrarias, así como s1 y s2 dan lugar aorientaciones contrarias en S, entonces

∫

C

F dr1 = −∫

C

F dr2 ,

∫∫

S

F ds1 = −∫∫

S

F ds2.

8

Ejemplo 5 Integral de línea de un campo vectorial. Sea F : R2 → R2 el campovectorial de�nido por F (x, y) = (x + y, 3x − y). Sea C la curva parametrizada por lafunción r : [0, 2] → R2 de�nida por r(t) = (t− 1, t2). Calculemos la integral de F sobrela curva C.

Como F (r(t)) = (t− 1 + t2, 3t− 3− t2) y r′(t) = (1, 2t), la integral buscada es∫

C

F dr =

∫ 2

0

F (r(t)) · r′(t)dt =

∫ 2

0

(−2t3 + 7t2 − 5t− 1) dt = −4/3.

Si la orientación considerada en la curva C fuese la contraria a la determinada por r,entonces la integral del campo F sobre C sería igual a 4/3. ¤

Nota. Si la integral de línea resultase negativa (como es el caso del ejemplo), quieredecir que el campo �uye o circula globalmente en dirección contraria a la orientaciónelegida para la curva C, es decir, el campo se opone al movimiento a lo largo de lacurva.

Ejemplo 6 Integral de super�cie de un campo vectorial.Sea F (x, y, z) = (1 + z2, 2z, 2xz), y S el primer octante de la super�cie esférica decentro (0, 0, 0) y radio 1, orientado hacia el exterior de la super�cie esférica. Calculemosla integral de F sobre la super�cie S:Una parametrización de S (descrita mediante coordenadas esféricas) y el vector normalasociado a esta parametrización son respectivamente:

σ(θ, φ) = (cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos φ), (θ, φ) ∈ [0, π/2]× [0, π/2] ,

N(θ, φ) =∂σ

∂θ× ∂σ

∂φ= − sen φ σ(θ, φ) = − sen φ(cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos φ).

Observe que el vector N(θ, φ) tiene la misma dirección y sentido opuesto al vectorde posición del punto donde se aplica, esto es, N(θ, φ) apunta hacia el interior de lasuper�cie esférica, es decir, σ orienta a la super�cie S en dirección contraria a la deseada.Por tanto, la integral buscada sería

∫∫

S

F ds = −∫∫

S

F dσ = −∫ π

2

0

∫ π2

0

F (σ(θ, φ)) ·N(θ, φ) dφdθ.

Ahora bien, como

F (σ(θ, φ)) ·N(θ, φ) = 3 cos θsen2φ cos2 φ + cos θsen2φ + 2 sen θsen2φ cos φ,

entonces se obtiene que∫∫

S

F ds = −∫ π

2

0

∫ π2

0

(3 cos θ sen2φ cos2 φ + cos θ sen2φ + 2 sen θ sen2φ cos φ) dφdθ

= −5π

8− 2

3. ¤

9

Teoremas de Green, de Stokes y de GaussDiferencias y similitudes.

Los tres teoremas tienen en común que relacionan dos tipos de integrales distintas,una sobre cierto dominio y otra sobre su frontera o borde.

Se diferencian en cuanto al tipo de campos y dominios en los que se aplican:

• Los teoremas de Stokes y de Gauss tratan de campos vectoriales en R3,mientras que el teorema de Green utiliza campos vectoriales en R2.

• El dominio considerado en el teorema de Green es un �trozo� del plano xycuyo borde consta de una o varias curvas cerradas planas.

• En el teorema de Stokes, el dominio es una super�cie en R3 cuyo borde constade una o varias curvas cerradas no planas en general.

• En el teorema de Gauss, el dominio es un cuerpo o �sólido� cuyo borde esuna super�cie cerrada.

Teorema de Green∫

∂R

F dr =

∫∫

R

· · · dxdy,

Teorema de Stokes∫

∂S

F dr =

∫∫

S

· · · ds,

Teorema de Gauss∫∫

∂V

F ds =

∫∫∫

V

· · · dxdydz.

10

El teorema de GreenEn este teorema se necesitará integrar un campo vectorial a lo largo de la frontera

de cierta región R del plano xy, que puede estar formada por más de una curva.

Para esta nueva situación, necesitaremos saber cómo puede orientarse la fronterade R cuando está formada por más de una curva.

De�nición. Sea R un conjunto conexo, cerrado y acotado de R2 cuya frontera ∂R estáformada por n curvas cerradas simples y regulares a trozos C1, C2, . . . , Cn (n ≥ 1) queno se cortan entre sí (véase la �gura 3).

C1

C2 C3

C5

C4

(a)

C1

C2 C3

C5

C4

(b)

R R

Figura 3: Orientaciones (a) izquierda (o positiva) y (b) derecha (o negativa) de la frontera de una región R del planoxy

Al igual que sobre una sola curva, sobre ∂R se van a considerar dos orientacionesposibles:

1. Si la curva C1 (la exterior) se orienta en el sentido antihorario, y las demásC2, . . . , Cn (interiores) �en el caso de que existan� se orientan en el sentidohorario, entonces se dice que la frontera de R tiene orientación izquierda (o posi-tiva), y se denota ∂R+.

2. Si todas las curvas se orientan en sentido contrario al de la orientación izquierda,entonces se dice que la frontera de R tiene orientación derecha (o negativa), y sedenota ∂R−.

Teorema 3 (de Green) Sea F : A ⊂ R2 → R2, A conexo y abierto y F = (F1, F2) ∈C1(A). Sea R ⊂ A un subconjunto conexo, cerrado y acotado cuya frontera ∂R esta for-mada por varias curvas cerradas simples y regulares a trozos C1, C2, . . . , Cn. Entonces,(a) si ∂R = ∂R+ (orientación izquierda o positiva), se satisface la igualdad:

∫

∂R+

F dr =

∫∫

R

(∂F2

∂x(x, y)− ∂F1

∂y(x, y)

)dxdy , (2)

(b) si ∂R = ∂R− (orientación derecha o negativa), se tiene que∫

∂R−F dr = −

∫∫

R

(∂F2

∂x(x, y)− ∂F1

∂y(x, y)

)dxdy.

Nota. Del teorema se explica por qué a la orientación izquierda y derecha se les hallamado también orientación positiva y negativa, respectivamente.

11

Ejemplo 7 Sea F (x, y) = (−y, x) de�nido en R2. Calculemos la integral de línea de Fsobre la frontera del cuadrado D de vértices (1, 0), (0, 1), (−1, 0) y (0,−1), orientadaen el sentido horario.

Observe que se satisfacen las hipótesis que permiten aplicar el teorema de Green.Teniendo en cuenta que a la frontera se le ha dado la orientación derecha, se tiene que

∫

∂D−(−y, x) dr = −

∫∫

D

[1− (−1)] dxdy = −2Area(D) = −4. ¤

El teorema de StokesEl teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green

para tres dimensiones.

Mientras el teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región planacon una integral de línea sobre la curva cerrada frontera plana, o unión de varias,

el teorema de Stokes relaciona una integral de super�cie con una integral de líneasobre la curva cerrada frontera de la super�cie (que no necesariamente es unacurva plana) o unión de varias (i.e. super�cie con agujeros).

x

y

x

y

z

s

S

A

oA

a

b

r=soff

B

oS

F

Figura 4: Esquema de los elementos que intervienen en el teorema de Stokes

Teorema 4 (de Stokes) Sea F : B ⊂ R3 → R3, B conexo y abierto, F ∈ C1(B).Sea una super�cie S ⊂ B orientable, suave y simple respecto de s : A ⊂ R2 → R3.Supongamos A conexo, cerrado y acotado cuya frontera ∂A es una curva cerrada simpley regular a trozos respecto de f : [a, b] → R2, que la orienta en el sentido antihorario oizquierdo, ∂A = ∂A+. Si se parametriza ∂S mediante la función r = s ◦ f , entonces sesatisface la siguiente igualdad:

∫

∂S

F dr =

∫∫

S

rot F ds. (3)

Nota. En general, la igualdad anterior del teorema de Stokes se satisface siempre quelas orientaciones dadas a ∂S y a S, respeten la regla del sacacorchos, en el caso contrario(como la parte (b) de la �gura 5), la integral de super�cie irá precedida de signo negativo,

∫

∂S

F dr1 = −∫∫

S

rot F ds1 .

en este caso diremos que la super�cie y su borde están orientados positivamente.

12

(a) (b)

Figura 5: En (a) se veri�ca la regla del sacacorchos en el teorema de Stokes, en (b) no se veri�ca

Ejemplo 8 Sea S la super�cie de�nida en el cuadrado D = [0, 2] × [1, 3] cuya grá�caes la de f : D → R tal que f(x, y) = xy2. La orientación dada a ∂S = ∂S−. Se pretendecalcular la siguiente integral ∫

∂S−(xy, yz, z) dr.

Esta se puede obtener utilizando el teorema de Stokes, como vamos a hacer a con-tinuación.

En primer lugar, parametrizamos S mediante s : D → R3 de�nida por s(x, y) =(x, y, xy2). Esta parametrización orienta a S hacia arriba, pues la componente terceradel vector normal es positiva,

N(x0, y0) =∂s

∂x(x0, y0)× ∂s

∂y(x0, y0) = (−y2

0,−2x0y0, 1).

Como la orientación dada al ∂S es derecha, se corresponde según la regla del sacacorchoscon una orientación de S hacia abajo, lo cual indica que las orientaciones de la super�ciey su borde contradicen la regla del sacacorchos. Por tanto, al aplicar el teorema deStokes, tendremos que preceder con signo negativo a la integral de super�cie.

Como rot(xy, yz, z) =(−y, 0,−x) tenemos∫

∂S

(xy, yz, z) dr = −∫∫

S

rot(xy, yz, z) ds = −∫∫

S

(−y, 0,−x) ds.

A continuación se calcula la integral de super�cie del campo vectorial G(x, y, z) =(−y, 0,−x).

Como G(s(x, y)) = G(x, y, xy2) = (−y, 0,−x), y N(x, y) = (−y2,−2xy, 1), se ob-tiene el resultado que se pedía

−∫∫

S

(−y, 0,−x) ds = −∫∫

D

[(−y, 0,−x) · (−y2,−2xy, 1)] dxdy =

−∫ 2

0

∫ 3

1

(y3 − x) dydx = −36. ¤

13

El teorema de Gauss (o de la divergencia)El teorema de Gauss ofrece la posibilidad de calcular una integral de un campo

vectorial sobre una super�cie cerrada mediante una integral triple sobre la región delespacio formada por dicha super�cie y la región que encierra.

Teorema 5 (de Gauss o de la divergencia) Sea F : V ⊂ R3 → R3 de clase C1(V ),donde V es un conjunto conexo, cerrado y acotado, cuya frontera ∂V es una super�ciecerrada, suave a trozos y orientable.(a) Si ∂V se orienta hacia el exterior de V , que se denotará por ∂V = ∂V +, entoncesse satisface la siguiente igualdad:

∫∫

∂V +

F ds =

∫∫∫

V

div F (x, y, z) dxdydz .

(b) Si la orientación de ∂V fuese hacia el interior, que se denotará por ∂V = ∂V −, setendría que ∫∫

∂V −F ds = −

∫∫∫

V

div F (x, y, z) dxdydz.

Ejemplo 9 Calculemos el �ujo del campo vectorial F (x, y, z) = (z, y, x) sobre la esferaunidad orientada hacia el exterior.

Primero calculamos div F (x, y, z) = 1. La esfera unidad es la frontera de la bolaunidad B dada por x2 + y2+z2 ≤ 1.

Entonces el teorema de Gauss calcula el �ujo a través de una integral triple∫∫

∂B+

F ds =

∫∫∫

B

div F (x, y, z) dxdydz =

∫∫∫

B

1 dxdydz = V ol(B) =4π

3. ¤

Analogía entre el teorema de Green, de Stokes y de Gauss con el segundoteorema fundamental del CálculoComparemos las ecuaciones de los tres teoremas con el enunciado del segundo teoremafundamental del Cálculo

F (a)− F (b) =

∫ b

a

F ′(x)dx,

∫

∂R

F dr =

∫∫

R

(∂F2

∂x(x, y)− ∂F1

∂y(x, y)

)dxdy,

∫

∂S

F dr =

∫∫

S

rot F ds,∫∫

∂V

F ds =

∫∫∫

V

div F (x, y, z) dxdydz.

en los cuatro casos hay una integral que comprende las derivadas, en el ladoderecho de las cuatro fórmulas,

y en los cuatro casos, el lado izquierdo contiene los valores de las funciones origi-nales F solo en la frontera del dominio.

14

Campos vectoriales conservativosEn Física, un campo de fuerzas es conservativo cuando en él se satisface la ley deconservación de la energía.

De�nición de campo vectorial conservativo. F : A ⊂ R3 → R3, A conexo y abierto.F es conservativo si el valor de las integrales de línea de F dependen tan solo de cuálessean los puntos inicial y �nal de la curva (regular a trozos).Esto induce la notación (similar a la de la integral de Riemann),

∫

C

F dr =

∫ Q

P

F dr

∀C ⊂ A regular a trozos, con cualquier parametrización r : [a, b] → R3 tal que r(a) = Py r(b) = Q.

Ejemplo 10 Sea F (x, y) = (x + y, 3x− y). Demostremos que F no es conservativo.Sean C1 y C2 dos curvas que parten del punto (−1, 0) y terminan en el punto

(1, 4), respectivamente, y parametrizadas por r1(t) = (t− 1, t2) con t ∈ [0, 2] y r2(t) =(−1 + 2t, 4t) con t ∈ [0, 1]. Como

∫

C2

F dr2 = −16 6= −4

3=

∫

C1

F dr1,

se concluye que el campo F no es conservativo. ¤

Teoremas fundamentales del Cálculo para integrales de línea decampos vectoriales conservativos

La similitud entre las integrales de campos vectoriales conservativos sobre curvas yla integral simple de Riemann se va a extender a resultados tan importantes como losdos primeros teoremas fundamentales del Cálculo in�nitesimal.

El primero de los teoremas proporciona una especie de �función primitiva� de loscampos vectoriales conservativos continuos.

Teorema 6 (1er T.F.C. para integrales de lınea)

Sea F : A ⊂ R3 → R3 conservativo continuo, A conexo y abierto, y P ∈ A un punto�jo.Se de�ne el campo escalar f : A ⊂ R3 → R dado por

f(X) =

∫ X

P

F dr.

Entonces f ∈ C1(A) y ∇f = F .

De�nición. Un campo escalar f que cumpla ∇f = F siendo F vectorial conservativocontinuo, de�nidos F y f en A conexo y abierto, se denomina función potencial de F .Observe. El potencial de un campo conservativo continuo viene a ser lo que en funcionescontinuas de una variable es la primitiva de una función.

15

Al igual que para las funciones integrables Riemann, cuyas in�nitas primitivas di-�eren en una constante, todo campo conservativo continuo tendrá in�nitos potencialesque di�eren también en una constante.

Teorema 7 Sea F conservativo continuo de�nido en un conjunto conexo y abierto Ade R3. Sea f un potencial de F , y g otro campo escalar de clase C1(A). Entonces

g es un potencial de F ⇔ g(x, y, z) = f(x, y, z) + K, ∀(x, y, z) ∈ A.

El segundo teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea es aplicable acampos vectoriales que sean el gradiente de un campo escalar.

Teorema 8 (2o T.F.C. para integrales de lınea o Teorema de Barrow)

f : A ⊂ R3 → R de clase C1. A conexo y abierto.Sea C ⊂ A curva regular a trozos parametrizada por r : [a, b] → R3.Entonces ∫

C

∇fdr = f(r(b))− f(r(a)) .

Nota. Si C es cerrada =⇒∮

C

∇fdr = 0.

Teorema 9 (caracterizacion de campos conservativos en conjuntos conexos)Sea F : A ⊂ R3 → R3 vectorial continuo. A conexo y abierto.Son equivalentes:(a) F es conservativo.(b) F es gradiente, es decir ∃f ∈ C1(A) : F = ∇f , en tal caso, se veri�ca

∫ Q

P

F dr =

∫ Q

P

∇f dr = f(Q)− f(P ).

(c)∮

C

Fdr = 0, ∀C ⊂ A, C cerrada y regular a trozos.

Notas:1. Observe por (b) que el principal motivo de querer conocer el potencial de F es para

facilitar el cálculo de integrales de línea, aunque necesitaremos conocer previamente siF es conservativo.

2. La interpretación física que se le da al apartado (c) es que el trabajo realizadoal mover una partícula en un campo de fuerzas conservativo (como lo es el campogravitacional) a lo largo de una trayectoria cerrada es 0.

16

En los dos siguientes ejemplos se aplica la condición necesaria ((b) ⇒ (a)) del teo-rema 9.

Ejemplo 11 Sea f(x, y, z) = xy+ln z, que es de clase C1 en A = {(x, y, z) ∈ R3 : z > 0}.Es claro que A es conexo y abierto. Por tanto, aplicando el teorema 9, podemos concluirque F (x, y, z) = ∇f(x, y, z) = (y, x, 1/z) es conservativo en A. ¤

Ejemplo 12 Calculemos el trabajo que realiza el campo gravitacional

F (x, y, z) =−mMG

‖(x, y, z)‖3 (x, y, z)

al mover una partícula con masa m desde el punto (3, 4, 12) hasta (2, 2, 0) a lo largo deuna curva C regular a trozos. Es fácil probar que el campo escalar

f(x, y, z) =mMG√

x2 + y2 + z2,

veri�ca que F = ∇f , por tanto, F es conservativo. El trabajo que se realiza es∫

C

F dr =

∫ (2,2,0)

(3,4,12)

∇f dr = f(2, 2, 0)− f(3, 4, 12) = mMG

(1

2√

2− 1

13

). ¤

Ejemplo 13 Se probará a continuación que F (x, y) = (x+y, 3x−y) no es conservativoutilizando el apartado (c) del teorema 9. Su dominio es conexo y abierto, pues setrata de R2. Sea C la curva cerrada regular parametrizada por r : [0, 2π] → R2 tal quer(t) = (cos t, sen t). Como

∮

C

F dr =

∫ 2π

0

F (r(t)) · r′(t)dt =

∫ 2π

0

(3 cos2 t− 2 sen t cos t− sen2 t) dt = 2π 6= 0,

se concluye que F no es conservativo. ¤El siguiente teorema proporciona una sencilla condición necesaria para que un campo

sea conservativo, aplicable en unas condiciones bastante generales, aunque algo másrestrictivas que las consideradas hasta ahora: se exigirá que los campos vectoriales seande clase C1 en su dominio.

Teorema 10 (condicion necesaria)Sea F : A ⊂ R3 → R3 de clase C1(A). A conexo y abierto.

F conservativo ⇒ rot F = θ.:

( ⇐⇒ En el casoA convexo.

)

Aplicación. rot F 6= θ ⇒ F no conservativo.

Teorema 11 (caracterizacion de campos conservativos en conjuntos convexos)Sea F : A ⊂ R3 → R3 vectorial continuo de clase C1(A). A convexo y abierto.Son equivalentes:(a) F es conservativo.(b) F es gradiente, es decir ∃f ∈ C1(A) : F = ∇f .(c)

∮

C

Fdr = 0, ∀C ⊂ A, C cerrada y regular a trozos.

(d) rot F = θ,

(en el caso R2, este apartado es equivalente a ∂F1

∂y=

∂F2

∂x

).

17

En el siguiente ejemplo se aplica el teorema 10.

Ejemplo 14 Sea F (x, y) = (x + y, 3x− y) ∈ C1 (R2). Como rot F (x, y) = (0, 0, 2) 6= θ,∀(x, y) ∈ R2, el teorema 10 asegura que F no es conservativo. ¤En el siguiente ejemplo se aplica el teorema 11.

Ejemplo 15 Sea F (x, y, z) = (y, x, 1/z), que es de clase C1 en A = {(x, y, z) ∈ R3 : z > 0}.Es inmediato que A es convexo y abierto (es el semiespacio superior), y rot F (x, y, z) =(0, 0, 0) ∀(x, y, z) ∈ A. Por tanto, F es conservativo en A. ¤

Potencial de un campo vectorial conservativoEn este apartado se desarrollará una técnica que permitirá, al menos en los casos

su�cientemente sencillos, encontrar el potencial de un campo conservativo. El interésde esto no es solo probar que F es un campo vectorial conservativo, sino facilitar laresolución de integrales de línea de campos vectoriales que sean conservativos.Una vez que se obtenga el potencial, es muy fácil obtener cualquier integral de línea delcampo conservativo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 16 Obtención de un potencial de un campo vectorial conservativocontinuo.Se seguirá una argumentación similar a la que se utiliza para la resolución de las ecua-ciones diferenciales exactas.Sea F : R2 → R2 de�nido por F (x, y) = (−x/2,−y/2). Como F ∈ C1 (R2), el dominioes trivialmente convexo, y rot F (x, y) = (0, 0, 0) ∀(x, y) ∈ R2, el teorema 11 aseguraque F es un campo conservativo.

Busquemos un potencial del campo F , es decir, un campo escalar f tal que ∇f = F .Entonces f debe satisfacer el siguiente sistema

∂f

∂x(x, y) = F1(x, y) = −x

2∂f

∂y(x, y) = F2(x, y) = −y

2

⇒ f(x, y) =

∫ −x

2dx = −x2

4+ k(y).

Derivando esta igualdad respecto de y y aplicando la segunda ecuación, se obtiene quek′(y) = −y/2, (en este momento, si k′(y) dependiera de x se llegaría a un absurdo y seconcluiría con que F no puede ser un campo gradiente: no es conservativo).Tenemos que k(y) = −y2/4 + M , de donde se concluye que un potencial de F escualquier función de la familia

f(x, y) = −x2 + y2

4+ M, M ∈ R.

Una vez obtenido el potencial del campo conservativo F , la integral de línea de F alo largo de una curva de su dominio, con extremos cualesquiera P y Q, se puede obtenerde una manera muy sencilla. Por ejemplo, tomando el potencial f(x, y) = −(x2 + y2)/4(M = 0), se tiene que

∫ (3,−3)

(1,−2)

F dr = f(3,−3)− f(1,−2) =18

4− 5

4=

13

4. ¤