PROBLEMAS DE FISICA CUANTICA (Lic. en Fısica, UEx; Curso 2005/2006)Tema 4

1. Demuestrese que para una partıcula libre de momento bien definido el flujo de probabilidad S(x, t) es igual av P (x, t), donde v es la velocidad de la partıcula y P (x, t) la densidad de probabilidad.

2. Demuestra que si el potencial V (x) = V0(x) + iW (x) incluye una parte imaginaria W (x) (potencial optico), laecuacion que satisface la densidad de probabilidad es

∂

∂tP (x, t) = − ∂

∂xS(x, t) +

2~W (x)P (x, t).

3. A partir de la ecuacion de continuidad para la densidad de probabilidad P (x, t) y teniendo en cuenta la expresiondel flujo de probabilidad S(x, t) demuestra que

md

dt〈x2〉 = 〈pxx + xpx〉.

4. Considerese una partıcula de masa m que se puede mover libremente a lo largo del eje x desde x = −a/2 hastax = +a/2, pero que le esta estrictamente prohibido hallarse fuera de esta region.

a) Comprueba que la funcion de onda del estado fundamental es

Ψ(x, t) ={

A cos(πx/a)e−iEt/~ , −a/2 < x < +a/20 , |x| > a/2

y halla el valor de la energıa E.

b) Halla la probabilidad de encontrar la partıcula entre las coordenadas x = a/6 y x = a/2.

c) Compara con la prediccion clasica.

5. a) Verifica que la funcion de onda

Ψ(x, t) ={

A sen(2πx/a)e−iEt/~ , −a/2 < x < +a/20 , |x| > a/2

es una solucion a la ecuacion de Schrodinger para el mismo sistema del problema 4.

b) La funcion de onda anterior corresponde al primer estado excitado. Determina el valor de la energıa E dela partıcula en dicho estado y comparala con la energıa del estado fundamental.

c) Dibuja la dependencia espacial de esta funcion de onda. Comparala con la funcion de onda para el estadofundamental y da un argumento cualitativo que relacione la diferencia en las dos funciones de onda con ladiferencia en las energıas de los dos estados.

6. a) Normaliza las funciones de onda de los problemas 4 y 5 ajustando los valores de las constantes multiplicativasA.

b) Halla 〈x〉, 〈x2〉, 〈px〉 y 〈p2x〉 en ambos casos. Calcula ∆x ∆px.

7. a) Una partıcula se mueve en el interior de un potencial V (x) en forma de pozo cuadrado finito de ancho a yprofundidad V0. Estos parametros (anchura y profundidad) estan relacionados con la masa m de la partıculade tal manera que la energıa permitida mas baja E1 es igual a V0/4. Utiliza argumentos cualitativos paradibujar la forma aproximada de la autofuncion correspondiente.

b) Supon que el fondo de la funcion potencial del apartado 7a se cambia anadiendo una protuberancia en elcentro de altura aproximada V0/10 y ancho a/4. Considera cualitativamente que le sucedera a la curvaturade la autofuncion en la region de la protuberancia y como afectara esta al problema de obtener un com-portamiento aceptable de la autofuncion. A partir de estas consideraciones, predice cualitativamente comoafectara la protuberancia al valor de la energıa mas baja permitida E1.

c) Contesta a las mismas cuestiones del apartado 7b si en vez de una protuberancia se anade un hueco deprofundidad V0/10 y ancho a/4.

d) Ya que la protuberancia del apartado 7b es pequena, un buen valor aproximado de la energıa mas baja dela partıcula se puede obtener sumando la energıa mas baja de la partıcula en ausencia de la protuberanciaal valor esperado de la energıa potencial extra representada por la protuberancia, utilizando la funcionde onda Ψ correspondiente al potencial sin protuberancia. Utilizando este punto de vista, predice si unaprotuberancia del mismo tamano pero localizada en un extremo del fondo tendrıa un efecto mayor, menoro igual sobre la energıa permitida que la protuberancia centrada.

8. a) Demuestra por sustitucion en la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo para el potencial pozocuadrado del problema 7 que en la region prohibida clasicamente la autofuncion tiene la forma matematica

ψ(x) = A exp[−√

2m(V0 − E)x/~]

b) Utilizando la densidad de probabilidad correspondiente a la autofuncion del apartado 8a, halla una expre-sion para estimar la distancia D externa a la region accesible clasicamente dentro de la cual existe unaprobabilidad apreciable de encontrar a la partıcula. (Sugerencia: considerese que D se extiende hasta elpunto en el cual la probabilidad se reduce en un factor e respecto a su valor en el punto de retrocesoclasico).

c) El potencial pozo cuadrado da una buena descripcion de las fuerzas que actuan sobre un electron que semueve a traves de un bloque de metal. La diferencia de energıa V0 − E, para la energıa del electron masalta, es la funcion trabajo del metal. Tıpicamente V0−E ' 5 eV. Utiliza este valor para estimar la distanciaD del apartado 8a.

9. a) Utilizando las primeras dos funciones de onda normalizadas Ψ1(x, t) y Ψ2(x, t) para una partıcula quese mueve libremente en una region de longitud a, pero confinada estrictamente a esta region (problema4), construye la combinacion lineal Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t). Deduce una relacion que incluya lasconstantes ajustables c1 y c2 tales que Ψ(x, t) tambien esta normalizada.

b) Utilizando las funciones de onda “mezcladas” normalizadas del apartado 9a, calcula el valor esperado dela energıa total E de la partıcula en terminos de las energıas E1 y E2 de los dos estados y de los valores dec1 y c2 de los parametros de mezcla. Interpreta cuidadosamente el significado del resultado.

c) Si la partıcula descrita por la funcion de onda del apartado 9a es un proton que se mueve en un nucleo,dara lugar a una distribucion de carga que oscila en el tiempo con la misma frecuencia que las oscilacionesde su densidad de probabilidad. Evalua esta frecuencia para los valores de E1 y E2 correspondientes a unamasa del proton de 10−27 kg y una dimension nuclear de 10−14 m. Evalua tambien la frecuencia y la energıadel foton que emitirıa esta distribucion de carga oscilante cuando el proton pasara de su estado excitado asu estado fundamental. ¿En que region del espectro electromagnetico esta este foton?

10. Considerese el problema 9 con c1 = c2 = 1/√

2.

a) Halla 〈x(t)〉 y 〈px(t)〉.b) Verifica que 〈px(t)〉 = m d〈x(t)〉/dt.

11. Considera de nuevo la partıcula descrita en el problema 4. Halla las funciones de onda Ψn(x, t) de los estadosestacionarios y los correspondientes niveles energeticos En. ¿Que relacion existe entre el numero de nodos decada funcion y el nivel de energıa correspondiente? Compara las densidades de probabilidad clasica y cuantica.

12. Supongase que la partıcula del problema 11 esta en el estado dado por Ψ1(x, t) y que en el instante t = 0 semide la posicion de la partıcula y se la encuentra entre −ε/2 y +ε/2. Si inmediatamente despues de esta medidase mide la energıa de la partıcula, ¿que resultados se pueden obtener y con que probabilidades?

13. Sea el potencial tipo doble pozo (con dos mınimos)

V (x) =~2

2m

(4

225senh2x− 2

5cosh x

)

a) Dibuja la funcion V (x) y encuentra la posicion de los mınimos.

b) Demuestra que

ψ(x) = (1 + 4 cosh x) exp(− 2

15coshx

)

es una solucion de la ecuacion de Schrodinger, encuentra el nivel de energıa correspondiente y traza estenivel en el dibujo de V (x).

c) Dibuja ψ(x) y muestra que tiene un comportamiento adecuado en los puntos de retroceso y en la regionclasicamente permitida.

14. Considerese la autofuncion mostrada en la parte superior de la figura 1 siguiente.

a) ¿Cual de los tres potenciales ilustrados en la parte inferior de la figura podrıa conducir a tal autofuncion?Proporcionense argumentos cualitativos para justificar la respuesta.

b) La autofuncion mostrada no es la que corresponde al estado de energıa mas bajo permitido para el potencial.Hagase un esquema de la forma de la autofuncion que corresponde a la menor energıa permitida.

c) En otro esquema indıquese el rango de energıa en el que es de esperar que los niveles de energıa estenseparados discretamente y el rango de energıa en el que es de esperar que las energıas permitidas seencuentren distribuidas de manera continua.

Figura 1: Ejercicio 14

15. Dibuja los potenciales unidimensionales correspondientes a las funciones de onda (a) y (b) que se muestran enla figura 2. ¿Cual es el numero del nivel de energıa correspondiente, contando con el nivel de energıa mas bajo?

Figura 2: Ejercicios 15 y 16

16. Repite el ejercicio 15 pero para las funciones de onda (c)–(e).