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Tema 4 : Equilibrio del sólido rígido
4.1 Introducción
4.2 Diagrama del sólido libre
4.3 Equilibrio en dos dimensiones: reacciones en los
apoyos
4.4 Equilibrio en tres dimensiones: reacciones en los
apoyos
Condición necesaria y suficiente para el equilibrio de
un sólido rígido
ΣFx = 0
ΣF = 0 ΣFy = 0 No hay traslación
ΣFz = 0
ΣMx = 0
ΣMo ΣMy = 0 No hay rotación
ΣMz = 0
Las fuerzas externas aplicadas no imprimen al sólido
movimiento ni de traslación ni de rotación
6 ecuaciones de equilibrio
-Identificar todas las fuerzas aplicadas sobre el sólido
rígido y dibujar el diagrama de sólido libre
- Fuerzas contenidas en un plano estructuras
bidimensionales
- Fuerzas tridimensionales estructuras
tridimensionales
- Soportes de las estructuras (o apoyos): se considerarán
las reacciones ejercidas sobre la estructura por sus
soportes hay que identificar en cada tipo de apoyo las
reacciones
- Inmovilización de estructuras dependerá
de los apoyos utilizados
Diagrama del sólido libre
Incluir todas las fuerzas que actúan sobre el sólido y
excluir todas las que no estén directamente aplicadas a él.
a) Elección del sólido libre. Se separa de su base y se
desliga de cualquier otro cuerpo. Se dibuja su contorno.
b) Se dibujan todas las fuerzas externas
1 - Las ejercidas por la base de apoyo sobre el sólido
2 - Las ejercidas por los cuerpos de los que ha sido
desligado
3 - La fuerza de atracción ejercida por la tierra, el
peso (c. g)
c) El módulo, dirección y sentido de las fuerzas
externas conocidas. En particular, el sentido de la
fuerza ejercida sobre el sólido libre y no por el sólido
libre
d) Las fuerzas externas desconocidas son las
reacciones en los apoyos, fuerzas de ligadura.
- Con ellas se imposibilita el movimiento del cuerpo
- Se ejercen en los puntos en los que el cuerpo está
soportado o unido a otros cuerpos.
Equilibrio en dos dimensiones;estructuras bidimensionales
La estructura y las fuerzas aplicadas están contenidas
en el mismo plano
Tres grupos:
A) reacciones equivalentes a una fuerza con recta
soporte conocida – una incógnita (una componente de
la reacción)
apoyos móviles o de rodillo
balancines
superficies lisas
bielas o eslabones
cables cortos
correderas sobre guías lisas
B) reacciones equivalentes a una fuerza de dirección
y sentido desconocidos, dos incógnitas (dos
componentes de la reacción)
articulación o rótula
bisagras
superficies rugosas
C) reacciones equivalentes a una fuerza y un par –
generalmente son los empotramientos que inmovilizan
completamente al sólido rígido, 3 incógnitas (2
componentes de la reacción y el momento del par)
Condiciones de equilibrio (dos dimensiones)
Tomando los ejes x e y en el plano de la estructura,
para cada una de las fuerzas aplicadas sobre la
estructura.
Fz = 0, Mx = My = 0
Así, las seis ecuaciones anteriores se reducen a sólo
tres
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMo = 0
la condición ΣMo = 0 debe satisfacerse sea cual sea el
origen O que se haya tomado y por tanto es un punto
cualquiera del plano de la estructura.
El sistema de tres ecuaciones obtenido no permite
determinar más de tres incógnitas
Reacciones estáticamente indeterminadas y ligaduras
parciales
Aquellos soportes tales que el sólido rígido no puede
moverse bajo las cargas dadas ni bajo otras condiciones
de carga
el sólido rígido está completamente ligado
Si las reacciones generaban tres incógnitas
sistema de tres ecuaciones de equilibrio
reacciones están estáticamente determinadas
Consideremos el caso siguiente:
Px
P Qx Q Sx S
Py
Qy Sy
C D
Ay By
Ax Bx
A B
A y B son articulaciones: impiden el movimiento
horizontal y vertical 2 incógnitas cada
apoyo
Las reacciones correspondientes suministran cuatro
incógnitas solamente hay tres ecuaciones de equilibrio
independientes
hay más incógnitas que ecuaciones: no pueden
determinarse todas las incógnitas
Una de las ecuaciones da tan sólo el valor de Ax + Bx =
0 (ΣFx=0) Se dice que las componentes Ax y
Bx están estáticamente
indeterminadas
Consideremos los apoyos en A y B móviles
3 ecuaciones de equilibrio y tan sólo 2 incógnitas
A B
Ay By
las ligaduras son insuficientes para evitar el
movimiento de la estructura
impedido el movimiento vertical pero puede moverse
libremente en la dirección horizontal
la estructura está parcialmente ligada
Conclusión: Para que un sólido rígido esté completamente
ligado y para que las reacciones en los apoyos estén
estáticamente determinadas, tiene que haber tantas
incógnitas como ecuaciones de equilibrio
Equilibrio en tres dimensiones – estructuras tridimensionales
Las condiciones de equilibrio ΣF = 0 y ΣM = 0, se reduce
en caso de tres dimensiones a las seis ecuaciones de
equilibrio
ΣF = 0 ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0
ΣM = 0 ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0
Constituyen un sistema de seis ecuaciones que no
permiten determinar más de 6 incógnitas. Estas
incógnitas serán generalmente reacciones en los soportes
o apoyos
Reacciones en los soportes: 3 dimensiones
Tipo de reacción comprobar el tipo de
movimiento que impide
Seis movimientos fundamentales 3 traslación Fx, Fy Fz
3 rotación Mx,My, Mz
Apoyos de bola, superficies lisas y cables Impiden la
traslación en una dirección, generan una fuerza de
dirección conocida
Cada apoyo introduce una incógnita: el módulo de la
reacción
Rodillos en superficies rugosas y ruedas sobre carriles
Impiden la traslación en dos direcciones: una fuerza
con dos componentes desconocidas
cada apoyo introduce dos incógnitas: 2 componentes
de la reacción
Superficies rugosas y las rótulas
Impiden la traslación en las tres direcciones: unas
fuerza con tres componentes desconocidas
cada apoyo introduce tres incógnitas: 3 componentes
de la reacción
Empotramientos
Impiden cualquier movimiento: traslación y
rotación
Introduce seis incógnitas: 3 componentes de la
fuerza de reacción y 3 momentos, uno respecto a
cada uno de los ejes
A) - Si las reacciones contienen más de seis incógnitas:
más incógnitas que ecuaciones
algunas de las reacciones son estáticamente
indeterminadas
B) - Si las reacciones contienen menos de seis incógnitas:
menos incógnitas que ecuaciones
alguna de las ecuaciones de equilibrio no puede
satisfacerse
el cuerpo está parcialmente ligado