Este tema centra la mayor parte de la enseñanza

de las matemáticas en primaria.Los contenidos de números son la base de

posteriores aprendizajes, además de tener unaaplicación a la vida cotidiana evidente.

Partiremos del RD1513/2006 y del D126/2007 Canariaspara abordar los objetivos, contenidos y criterios de evaluación

Introduciremos conjuntos numéricos, veremos distintos tiposde modelos y materiales. También nos detendremos en cálculo mental,

estimado y uso de calculadora.

Estudiaremos el concepto de sistemas de numeración, y realizaremos indicacionessobre la intervención educativa.

El bloque 1, «Números y operaciones», pretende esencialmente el desarrollo del sentido numérico, entendido como el dominio reflexivo de las relaciones numéricas que se expresan en la habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas, para realizar mentalmente cálculos; todo ello apoyado en la manipulación de materiales (regletas de cuisenaire u otras, bloques base diez, cinta métrica, calculadora, ábaco…).

DECRETO 126/2007 de 24 de mayo

1.1.CONTRIBUCIÓN AL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia matemática

En el bloquenúmeros y

operaciones

Se logra mediante el carácter instrumental de los númerosy cálculo numérico, que permite resolver la mayoría de los

problemas que se presentan en la vida cotidiana.

Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

Permite un comprensión mejor del entorno en múltiples contextos:medidas de temperatura, cálculos monetarios..

Competencia en tratamiento de la información y competencia digital

Los números proporcionan destrezas asociadas a su uso, como la comparación,

la aproximación… facilitando la comprensión de informaciones que incluyen cantidadesO medidas.

Competencia en autonomía e iniciativa personal

Mediante la planificación, gestión de recursos y valoración de los resultado,necesarios para hacer frente a la resolución de verdaderos problemas

para los niños.

Competencia para aprender a aprender

Competencia en comunicación lingüística

Es también necesario incidir desde el área en los contenidos relacionados con la autonomía,

la perseverancia y el esfuerzo para abordar situaciones de creciente complejidad, la sistematización, la mirada crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo

Incorporando lo esencial del lenguaje matemático a la expresión habitual y la adecuada precisión en su uso

1.2. OBJETIVOSRD1513

Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo

como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas

Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones

diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus

posibilidades de uso

El desarrollo de la humanidad ha ido al desarrollo de los conceptosnuméricos y su uso. Todas las culturas y épocas han sentido la necesidad de desarrollar herramientas que permitieran resolver

problemas cotidianos asociado a las cantidades y sus operaciones.

2.1.NÚMEROS NATURALES

Las técnicas de contar son universales y surgen ligadas a la necesidad de :

Comunicar información relativa al tamaño de las colecciones

de objetos.

Indicar el lugar que ocupa un objeto dentro de una colección

ordenada de objetos.

CONTAR

ES

Poner en correspondencia uno a uno los distintos

elementos de un conjunto con un subconjunto deotro conjunto.

Godino2004

Los número naturales son cualquier sistema de objetos,perceptibles o pensados, que se usan para informar delcardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro delconjunto.

2.1.1. Formalizaciones matemáticas de los números naturales.

Formalización de PEANO

Un conjunto de objetos N, se dice que está naturalmente ordenado si cumple los siguientes

axiomas

A cada objeto le corresponde otro que se llamasu siguiente o sucesor.

Existe un primer elemento 0, que no es sucesor de ningún otro elemento.

Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo sucesor.

Todo subconjuto de N que contiene el O y que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos coincide con N.

Formalización a partir de laidea de clases de equivalencia

Dos conjuntos de objetos que tienen el mismo cardinal son equivalentes y todoslos conjuntos equivalentes forman una misma clase de conjuntos.

El conjunto de estas clases está naturalmente ordenado.

2.1.2.Operaciones entre números naturales.SUMA Dados dos conjuntos finitos A y B disjuntos, con cardinales:

N(A)= a y n(B)=b

Definimos la suma de a y b como el cardinal del conjunto

A U B.

Propiedades

La suma es

Una operación internaConmutativaAsociativaPoseedora de un elemento neutro.

Dados dos conjuntos A Y B con cardinales a y b, e define el producto

de a x b, como el cardinal del producto cartesiano A X B:

a x b = n(AXB)= n(A) x n(B)

Propiedades

El producto es

Una operación internaConmutativoAsociativoPoseedor de una elemento neutro.

PRODUCTO

RESTA

Sean A y B dos conjuntos tales que B c A y con cardinales a y b,

Se define la diferencia a-b como el cardinal del conjunto

A-B= [x/x EA y x E B ]

2.1.NÚMEROS ENTEROS

Conjunto de los números naturales más los negativos.

Modelos para representar los nº enteros y sus operaciones.

El modelo de recta numérica

El modelo de fichas

Consiste en usar fichasblancas y negras

Blancas +Negras -

Una blanca se anula conuna negra.

2.3.NÚMEROS FRACCIONARIOSGeneralmente un par ordenado de números enteros con la condiciónde que el segundo sea distinto de cero.

A numeradorB denominador

2.3.1. Significados de una fracción

Partes de un todo

Cociente de enteros

Razón

Operador

Simbolización decimal

2.3.2. Representaciones y modelos para fracciones

Modelo lineal

Modelo de área

Fracción equivalente, nº racional

2.4.NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales pueden escribirse de dos maneras:como fracción o bien en notación decimal.

3 / 10 = 0,3

Fracción   Notacióndecimal

Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse

2.4.1 Contextos de los números decimales.

medida

División entera

Aproximación

Porcentajes

Calculadora y pcs.

Notación científica

Didáctica

2.4.2. Representaciones y modelos de decimales.

Las fracciones decimales son la base de los decimales.Los significados y representaciones de las fracciones son útiles

para los decimales.Inicialmente a los niños les resulta más fácil usar la anotación

fraccionaria que decimal.

Modelos de los númerosdecimales

Bloquesmultibase

Papel cuadriculado

Es un conjunto de reglas y convenios que nos permiten expresarverbal y gráficamente los números mediante palabras y signos.

3.1.SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOS

Primeramente se usan cifras para denotar 1,n,n2,n3… donde n es la base del sistema de numeración. Para representar

un número se acumulan los símbolos necesarios en cada uno de losórdenes.

SISTEMA EGIPCIO

Luego, se usan cifras para 1,a,n,an,n2,an2...Donde a<n es un divisor privilegiado de n que recibe el nombre

de base auxiliar del sistema.

SISTEMA ROMANO

3.2.SISTEMAS DE NUMERACIÓN HÍBRIDOS

Son de tipo aditivo-multiplicativo.

Dos tipos de símbolos:

Los que representan

Las distintas potencias de la base n.

A los multiplicadores de dichas potencias.

SISTEMA CHINO

3.3.SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES

Se basan en el valor relativo a sus cifras, ya que una misma cifra representadistintos valores según el valor que ocupe.

SISTEMA MAYA SISTEMA BABILÓNICO

3.4.SISTEMAS DE NUMERACIÓN DECIMAL

Base 10.

Unidades de orden superior

Multiplicadores

Valor de posición

Valor relativo

Se basa en los siguientes supuestos:

Materiales y recursos para la enseñanza del sistema decimal

- Objetos corrientes que sirvan como contadores- Regletas Cuisenaire- Bloques multibase de Dienes- Ábacos.

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),

={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }

CÁLCULO ESCRITO

En todo algoritmo está implicadas dos cuestiones relacionadas: anotación y procedimiento.

Anotación

Procedimiento

Es la anotación indo-arábiga

Está basado en el valor posicional de las cifras y es diferente en cada operación aritmética.

El algoritmo debe poseer las siguientes propiedades:

Nitidez Eficacia Universalidad

El algoritmo de la suma o adición

Se necesita prestar atención ala correcta colocación de los sumandos y elresultado, de manera que unidades, decenas, centenas… se alineen paraevitar errores.

Dificultades y errores

Muchas dificultades se deben mása los errores en las sumas básicas que a la falta de comprensión de las fases

del algoritmo usual.

ERRORES

Operar como si se tratarade dígitos.

Error en la segunda columna

Confundir el papel del cero.

CÁLCULO MENTAL Y ESTIMACIÓN

Los algoritmos que se desarrollan en la aritmética del cálculo mental y estimadoTienen unas características que los diferencian de los llamados lápiz y papel.

Son flexibles, personales y el resultado no tiene por qué ser exacto.

De sumas

Basados en la descomposición de uno o ambos sumandos:Convirtiendo en 10 a uno de los sumandos

Separando las distintas unidades de cada sumando.

De productos

Descomposición de unos de los factores: a veces de tipo aditivo y otrasde tipo multiplicativo.

CALCULADORAAplicaciones didácticas posibles:

- Permite concentrarse en el proceso de resolución de problemasy no en las operaciones aritméticas.

- Logra el acceso a matemáticas que van más allá de los cálculos.

- Explorar, desarrollar y reforzar conceptos incluyendo estimación,cálculo y aproximación.

- Experimentar con ideas y patrones matemáticos.

- Hacer cálculos tediosos con datos de la vida real.

Rizo 2002

Establece3 etapas

Etapa de familiarización

Etapa de familiarización y exploración

Etapa de aplicación

6.1. PERÍODO DE 6 A 8 AÑOS

OBJETIVOS CONTENIDOS

ACTIVIDADES EVALUACIÓN

Elaborar estrategias de cálculomental.Reconocer situaciones de suma, resta, multiplicación y división

Utilización de números ordinales.Cálculo de sumas y restasutilizando algoritmos estandar.

Cálculo mental de sumas

Observación del calendario e interpretación de su lenguaje.

3. Comparar cantidades pequeñas de objetos en hechos o situaciones

familiares, interpretando y expresando los resultados de la comparación de

forma numérica; y ser capaz de redondear, en función del contexto, a la decena más cercana.

6.2. PERÍODO DE 8 A 10 AÑOS

OBJETIVOSCONTENIDOS

ACTIVIDADESEVALUACIÓN

Establecer equivalencias entre lasuma y la resta y entre la multiplicación y división.

Identificar regularidades numéricas y escribir series ordenadas de números.

3.1. Composición y descomposición aditiva y multiplicativa de los números, y construcción

y memorización de las tablas de multiplicar.

2.1. Comprensión en situaciones familiares de la multiplicación como suma abreviada,

y su utilización en disposiciones rectangulares yproblemas combinatorios; y empleo de la

división para repartir y agrupar.

Comentar de manera lúdica el nombreDe los números: cardinales, ordinalesy romanos.

Plantear problemas con númerosdecimales.

2. Realizar cálculos numéricos de números naturales con fluidez,

utilizando el conocimiento del sistema de numeración decimal y las

propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de problemas.

6.3. PERÍODO DE 10 A 12 AÑOS

OBJETIVOS

CONTENIDOS

ACTIVIDADES EVALUACIÓN

Conocer los nº enteros y su aplicaciónpara representar algunas situaciones de la vida cotidiana.

Calcular sumas y restas de fraccionesy realizar operaciones con nº decimales.

Planteamiento y resolución de problemasen los que intervengan operaciones combinadas.

Realización de series de nº proporcionales

2. Realizar operaciones y cálculos numéricos mentales y escritos en situaciones de resolución de problemas

habituales en la vida cotidiana, mediante erentes algoritmos

alternativos para cada operación, y automatizarlos a partir de la comprensión de cómo operan en ellos

las propiedades de los números y de las operaciones.

1.4. Usos de los números decimales habituales

en la vida cotidiana. Fracciones decimales, porcentajes y

su equivalencia con los números decimales

hasta el elemento de 2.º orden (centésimas

En este tema:

Hemos estudiado distintos aspectos del aprendizaje delos números y el cálculo en primaria.

Vimos que el bloque de números y operaciones contribuyeal desarrollo de las CCBB.

Hemos hecho un recorrido histórico sobre los distintosSistemas de numeración.

Repasado los distintos procedimientos de cálculo.

Establecido una intervención educativa por ciclos.

BibliografíaTemarioCenOposiciones09