10.1

Tema 10 Equacions Diferencials Ordinàries Lineals i Sistemes Lineals a Coeficients Constants (10.A) Equacions diferencials ordinàries lineals, amb coeficients constants. 10.1, ... , 10.3.- Definició i exemples. Existència i unicitat de les solucions. Def. – (1) Una equació diferencial ordinària (EDO) lineal amb coeficients constants d’ordre n

és una equació de la forma:

)()()(...)()( 01)1(

1)( ttyatyatyaty n

nn

(*)

on ja , 10 nj , són constants, )(t és una funció contínua donada i )(ty és una

funció n-derivable a determinar de manera que verifiqui la relació (*). (2) Es diu aleshores que )(ty és una solució de (*), amb condicions inicials

)0(),...,0(),0( )1( nyyy . (3) Si 0)( t es diu que l’EDO és homogènia. En cas contrari s’anomena completa, i

se’n diu homogènia associada la que resulta de substituir )(t per 0. (4) S’anomena polinomi característic de (*) a:

011

1 ...)( aaaQ nn

n

i valors característics les seves arrels.

Exemples – (1) te és solució de: )()( tyty .

(2) tt cos,sin són solucions de: )()( 2 tyty .

(3) tt ee , són solucions de: )()( 2 tyty .

10.2

Observació – El polinomi característic verifica la propietat fonamental següent:

tnn

nt ePtyatyatyatyety )()()(...)()()( 01

)1(1

)(

D’aquí que els valors característics juguin un paper determinant en l’obtenció de solucions de les equacions homogènies. En particular, es pot ja observar en els exemples anteriors. Teorema (Existència i unicitat de solucions) – Donada una EDO com (*) i fixades les condicions inicials 110 ,...,, nyyy , existeix una

única solució )(ty tal que: 1)1(

10 )0(,...,)0(,)0( n

n yyyyyy .

10.4, ... , 10.7.- Resolució del cas homogeni. Prop. – Considerem una EDO homogènia de la forma:

0)()(...)()( 01)1(

1)(

tyatyatyaty nn

n

(1) El conjunt de solucions S0 és un espai vectorial de dimensió n. (1’) De forma més precisa, la correspondència amb les condicions inicials

)0(,),0(),0()( )1(0

nyyySty n

és un isomorfisme ( lineal bijectiva).

(2) N’és base tot conjunt de n solucions )(),...,(1 tyty n amb condicions inicials l.i., és a

dir:

0

)0()0(

)0()0(

det)1()1(

1

1

nn

n

n

yy

yy

(3) Tota altra solució, doncs, n’és una combinació lineal

)(...)()( 11 tyctycty nn y

els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials 110 ,...,, nyyy :

10.3

)0(...)0()0(

)0(...)0()0(

111

110

nn

nn

ycycyy

ycycyy

Def. – En les condicions anteriors, es diu que )(),...,(1 tyty n formen un conjunt

fonamental de solucions. Exemples – (1) El conjunt de solucions de

)()( tyty

és el format per les funcions

tecty 1)(

on 01 yc .

(2) Ídem per:

0211

21

2

,

cossin)(

)()(

ycyc

tctcty

tyty

(3) Ídem per:

102

101

21

2

2

1,

2

1

)(

)(

yyc

yyc

ececty

tyytt

Lema – En les condicions anteriors: (1) Si és un valor característic amb multiplicitat m, aleshores:

tmtt ettee 1,...,,

són solucions, i són l.i. (2) Si i és un valor característic complex (i per tant també i ) amb

multiplicitat m, aleshores:

10.4

tetttete

tetttetetmtt

tmtt

sin,...,sin,sin

cos,...,cos,cos1

1

són solucions, i són l.i.

Teorema – Donada una EDO homogènia de la forma:

0)()(...)()( 01)1(

1)(

tyatyatyaty nn

n

suposem que els seus valors característics són:

p ,...,1

amb multiplicitats pkk ,...,1 .

ii qq ,...,11

amb multiplicitats qmm ,...,1 .

(1) Aleshores, un conjunt fonamental de solucions és:

tetttete

tetttete

tetttete

tetttete

ettee

ettee

qtm

qt

qt

qtm

qt

qt

tmtt

tmtt

tktt

tktt

qqqq

qqqq

ppp

sin,...,sin,sin

cos,...,cos,cos

sin,...,sin,sin

cos,...,cos,cos

,...,,

,...,,

1

1

11

11

11

11

1

1

1111

1111

111

(2) Recordem que tota altra solució en serà una combinació lineal, amb coeficients determinats per les condicions inicials. Corol. (solució general per valors característics reals simples) – En particular, si els valors característics són n ,...,1 , tots diferents ( simples) tota

solució és de la forma:

tn

t nececty ...)( 11

on ncc ,...,1 queden determinats per les condicions inicials:

10.5

1111

)1(1

10

...)0(

...)0(

nnn

nnn

n

ccyy

ccyy

sistema que efectivament és compatible determinat si n ,...,1 són diferents

(determinant de Vandermonde). Exemples – (1) En els exemples anteriors:

)()( tyty ; valors característics: , simple.

)(2 tyy ; valors característics: i , simples.

)(2 tyy ; valors característics: , simples. (2) Per a

02 2 yyy

tenim un únic valor característic , doble. Per tant, les solucions són les funcions de la forma:

tt tececty 21)(

on 21,cc queden determinats per les condicions inicials 10 , yy :

211

10

)0(

)0(

ccyy

cyy

10.8, 10.9.- Resolució del cas complet. Prop. – Donada una EDO completa de la forma

)()()(...)()( 01)1(

1)( ttyatyatyaty n

nn

Sigui:

)(0 ty una solució particular (qualsevol).

S0 l’espai de solucions de la EDO homogènia associada.

Aleshores, el conjunt de solucions és:

10.6

00 )( StyS

És a dir, tota solució )(ty és la suma de )(0 ty més una combinació lineal d’un conjunt

fonamental de solucions (= una base de S0), els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials 10 ,..., nyy .

Exemples – (1) Per l’equació

teyyyy 21892

podem prendre:

Solució particular tety 2

0 52

1)(

Conjunt fonamental (els valors característics són i3,2 , simples):

tty

tty

ety t

3sin)(

3cos)(

)(

3

2

21

Per tant, tota solució és de la forma:

tctcecety tt 3sin3cos52

1)( 32

21

2

Els coeficients 321 ,, ccc queden determinats per les condicions inicials:

212

311

210

9413

1)0(

3226

1)0(

52

1)0(

ccyy

ccyy

ccyy

(2) Per l’equació

teyyyy 21892

podem prendre:

Solució particular

10.7

ttety 20 13

1)(

Conjunt fonamental: el mateix d’abans.

Per tant, tota solució és de la forma

tctcectty t 3sin3cos52

1)( 32

21

on 321 ,, ccc queden determinats per les condicions inicials, com abans.

Observació – El mètode dels coeficients indeterminats permet obtenir solucions particulars quan )(t és un polinomi, una exponencial, una senoidal, una cosenoidal, o bé una combinació lineal de productes de les anteriors. Per exemple

tt

etttett tt

2

632

cos)(

3sin25cos)1(7)(

però no pas per a: tttt log,,ln . De forma anàloga al cas de EED, el mètode consisteix essencialment en assajar una solució )(0 ty del mateix tipus que )(t , amb coeficients a determinar per tal que sigui

efectivament solució particular de la EDO. Concretament: (1) Si )()( tRet t i m és la multiplicitat de com arrel del polinomi característic ( 0m si no n’és arrel):

)(~

)(0 tRetty tm

on )(~

tR és un polinomi del mateix grau que )(tR i amb coeficients a determinar. (2) Si )(sin)(o)(cos)( tRtettRtet tt i m és la multiplicitat de i com

arrels del polinomi característic ( 0m si no en són arrels):

)(~

sincos)(0 tRttetty tm

on , i els coeficients de )(~

tR són a determinar, essent )()(~

tRgrtRgr .

Exemple – (1) teyyyy 21892

10.8

Com que 1)( tR i 2 no és arrel de 1892)( 23 Q , assagem una solució de la forma:

tecty 2

10 )(

per tal que sigui efectivament una solució particular de la EDO donada:

52

1521892)( 1

210000

2 cecyyyyet tt

En definitiva: tety 20 52

1)( .

(2) teyyyy 21892

Com que ara 2 és una arrel simple de )(Q , assagem una solució de la forma:

ttecty 210 )(

per tal que sigui efectivament una solució particular de la EDO donada:

13

1131892)( 1

210000

2 cecyyyyet tt

En definitiva: tety 20 13

1)( .

(10.B) Sistemes lineals a coeficients constants. 10.11, 10.12.- Definició i exemples. Existència i unicitat de les solucions. Def. – (1) Un sistema lineal amb coeficients constants és una equació de la forma

)()()( tbtAxtx

on nMA , )(),...,()( 1 tbtbtb n són n funcions contínues donades

i )(),...,()( 1 txtxtx n són n funcions contínues a determinar de forma que

verifiquin la igualtat anterior. (1’) De forma més explícita, si )( ijaA :

10.9

)()()()(

)()()()(

11

111111

tbtxatxatx

tbtxatxatx

nnnnnn

nn

(2) Es diu aleshores que )(tx és una solució amb condicions inicials

)0(),...,0()0( 1 nxxx n.

(3) Si 0)( tb es diu que el sistema és homogeni. En cas contrari s’anomena complet, i

se’n diu el seu homogeni associat el que resulta de substituir )(tb per 0. Exemple – (1) Donat

)()( tAxtx ,

42

31A

és a dir:

)(4)(2)(

)(3)()(

212

211

txtxtx

txtxtx

una solució és: tt eetx 2

1 3)( , tt eetx 22 2)(

En efecte:

)(

)2(3)3(23)3()(

2

22221

tx

eeeeeeeeDtx tttttttt

o també:

tt

tt

tt

tt

tt

tt

ee

ee

ee

ee

ee

eeD

2

2

2

2

2

2

2

3

42

31

22

23

2

3

(2) Donat

)()( tAxtx ,

01

10A

n’és solució, per tot 21 ,cc :

10.10

2

1

cossin

sincos)(

c

c

tt

tttx

ja que:

2

1

2

1

2

1

cossin

sincos

01

10

sincos

cossin

cossin

sincos

c

c

tt

tt

c

c

tt

tt

c

c

tt

ttD

(3) Sistema associat a una EDO

Donada una EDO

)()()(...)()( 01)1(

1)( tbtyatyatyaty n

nn

Si definim )(),...,(1 txtx n per:

)()(),...,()(),()( )1(

21 tytxtytxtytx nn

resulta

)(

0

0

0

)(,

1000

0100

0010

)()()(

1210 t

tb

aaaa

A

tbtAxtx

n

Observem que A és una matriu del tipus “companion” (companya), amb polinomi característic el de la EDO de partida. Per tant, els VAPs de A són els valors característics de la EDO, amb les mateixes multiplicitats.

Teorema (Existència i unicitats de les solucions) – Donat un sistema

)()()( tbtAxtx com a la definició anterior i fixades les condicions inicials 0x n, existeix una única

solució )(tx tal que: 0)0( xx .

10.11

10.13, ... , 10.17.- Resolució del cas homogeni. Prop. – Considerem un sistema homogeni

)()( tAxtx Com en el cas general anterior, fixades unes condicions inicials 0x n existeix una

única solució. En aquest cas podem afegir: (1) El conjunt de solucions, en variar 0x , forma un espai vectorial S0 de dimensió n.

(1’) Més encara, és un isomorfisme la correspondència entre:

les condicions inicials 0x n i la solució corresponent de S0.

(2) Un subconjunt de solucions és l.i. sii ho són les seves condicions inicials. Per el cas 1n , l’expressió de les solucions és immediata:

0)()()( xetxtaxtx at

De forma anàloga, per n qualsevol resulta: Teorema – En les condicions de la proposició anterior:

0)()()( xetxtAxtx At

Observació - La definició i càlcul de Ate no és senzill. En general, cal reduir la matriu A a la seva forma canònica de Jordan JA i aleshores resulta:

1)( JJJ SASA

n

tAJ

c

c

eStx J 1

)(

on:

(1) les constants ncc ,,1 queden determinades per les condicions inicials

mitjançant:

n

J

c

c

Sxx 1

0)0(

10.12

és a dir, són les coordenades de 0x en la base de Jordan JS .

(2) la exponencial tAJe es calcula mitjançant:

tJ

tJ

tAJ e

e

eJ

J

A J 2

1

2

1

1

1J

1!1!2

1!1

1

2 tt

tee tJt

Es detalla a continuació per al cas particular que A sigui diagonalitzable, i també per als casos no diagonalitzables amb dimensions 2n i 3n . Prop. (Cas diagonalitzable) – En les condicions anteriors: (1) Si A diagonalitza, i nvv ,...,1 és una base de VEPs, amb VAPs respectius n ,...,1 , tota

solució és de la forma

nt

nt

nt

t

n vecvec

c

c

e

e

vvtx n

n

11

1

11

1

)(

on els coeficients ncc ,...,1 són les coordenades de 0x en la base de VEPS nvv ,...,1 :

nnvcvcxx ...)0( 110

(2) Analitzem amb més detall la situació quan hi ha VAPs complexos conjugats.

Suposem, per exemple, 12 . Aleshores podem prendre 12 vv , i ha de ser 12 cc

per tal que 0x tingui coordenades reals.

(2’) Més encara, si bia 1 , iwuv 1 , prenent 211 ' ccc = 11 cc ,

)(' 212 ccic = )( 11 cci , resulta:

webtcbtcuebtcbtc

btwbtuecbtwbtuec

vecvecvecvec

atat

atat

tttt

)cos'sin'()sin'cos'(

)cossin(')sincos('

2121

21

111122111121

Els nous coeficients poden determinar-se directament de les condicions inicials:

10.13

nnvcvcwcucxx ...'')0( 33210

Exemple – (1) Refem l’exemple anterior:

)()( tAxtx ,

42

31A

)2)(1(23)( 2 AQ

11 )2,3(1 v

22 )1,1(2 v

1

1

2

3)( 2

21tt ecectx

tt

tt

ecec

ecec2

21

221

2

3

1

1

2

3)0( 21 ccx

(2) Per al sistema

)()( tAxtx ,

31

21A

resulta:

54)( 2 AQ

i 21 )0,1()1,1()1,1(1 iiv

i 22 )0,1()1,1()1,1(2 iiv

0

1)cos'sin'(

1

1)sin'cos'(

sin

cossin'

cos

sincos'

1

1

1

1)(

221

221

22

21

)2(1

)2(1

tt

tt

titi

etctcetctc

t

ttec

t

ttec

iec

iectx

0

1'

1

1')0( 21 ccx

10.14

Corol. (Cas no diagonalitzable, n = 2) – Suposem, per 2n ,

)()( tAxtx

amb A no diagonalitzable, és a dir:

VAP doble, 1)(dim IANuc . Siguin vw, t.q.: wIAvIANucw )(),( Aleshores, tota solució és de la forma:

vectvwecc

c

tevwtx ttt

212

1 )(1

01)()(

on 21,cc queden determinats per les condicions inicials:

vcwcxx 210 )0(

Exemple – Per al sistema

)()( tAxtx ,

11

13A

tenim:

1

1

11

11)2(

)2(44)( 22

NucIANuc

tQA

Per tant, podem prendre:

)0,1(w , )1,1( v Resulta:

1

11)( 2

22

1tt ec

t

tectx

1

1

0

1)0( 21 ccx

10.15

Corol. (Cas no diagonalitzable, n = 3) – Suposem:

)()( tAxtx 3MA , no diagonalitzable

Cal distingir, diversos casos: (1) 1 VAP simple, 11 )( vIANuc

2 VAP doble, 1)(dim 2 IANuc

Prenem 2, vw de manera que:

wIAv

IANucwIANucw

)(

)(),(

22

222

Aleshores:

232211

3

2

1

21221

22

2

1

)()()( vectvwecvec

c

c

c

ete

e

e

vwvtx ttt

tt

t

t

232110 )0( vcwcvcxx

(2) VAP triple, 2)(dim IANuc

Prenem 21,, vvw mitjançant

wIAv

wIA

)(

0)(

1

2v VEP l.i. amb 1v Aleshores:

231211

3

2

1

21 )(

00

0

00

)()( vcvctvwec

c

c

c

e

ete

e

vvwtx t

t

tt

t

231210 )0( vcvcwcxx

(3) VAP triple, 1)(dim IANuc Triem vuw ,, com segueix:

uIAvwIAu

IANucw

)(,)(

)( 2

Aleshores:

vectvuecvt

tuwec

c

c

c

tttevuwtx tttt

32

2

1

3

2

1

2)(

212

01

001

)()(

vcucwcxx 3210 )0(

10.16

Exemple – Busquem la solució de:

1

1

2

)0(,

310

110

111

),()( xAtAxtx

Els VAPs de A són: 1, simple; 2, doble. Però no diagonalitza, ja que: 1)2(dim IANuc Prenem 21 ,, vwv de manera que:

wIAv

IANucwIANucw

IANucv

)2(

)2(),2(

)(

2

2

1

Per exemple:

)1,1,0(

)0,1,1(

)0,0,1(

2

1

v

w

v

La solució general serà: 2

23

2211 )()( vectvwecvectx ttt

Determinem els coeficients a partir de les condicions inicials: 23211)0( vcwcvcx

1,0,2 321 ccc

En definitiva:

t

t

t

tt

e

e

e

eetx2

22

2

1

1

0

0

0

1

2)(

Obs. (cas no derogatori) – Vegem les solucions per al cas de matriu A no derogatòria (per tant, no diagonalitzable si algun VAP és múltiple) per dimensió qualsevol, cas que inclou bona part dels apareguts abans per 2n i 3n . Per simplificar la notació considerem el cas de dos VAPs. Suposem doncs:

10.17

1)(dim)(dim

)()()(

)()(

IANucIANuc

IIQ

tAxtx

A

Sabem que A pot reduir-se a la forma de Jordan:

MJMJJ

JASS

1

1,

1

1;1

essent S una base formada per dues cadenes de Jordan:

wIAuwIAuw

wIAuwIAuw1

2

12

)(,,)(,

)(,,)(,

on els generadors ww , han de verificar:

1

1

)(,)(

)(,)(

IANucwIANucw

IANucwIANucw

Aleshores, la solució general pot expressar-se com:

)()(

)()()(

1121

1121

ututwcutuecuec

uttuwctuuecuectxtt

tt

wcucucuc

wcucucucxx

21121

211210 )0(

10.18, 10.19.- Comportament dinàmic. De manera anàloga a com hem fet per sistemes discrets, el comportament dinàmic de les solucions d’un sistema lineal es pot estudiar a partir dels seus modes propis. Vegem que presenta la mateixa tipologia que en el cas discret, però no pas depenent del valor absolut dels VAPs, sinó del signe de la seva part real. (a) Comportament dels modes propis. Prop. (comportament dinàmic dels modes propis) –

10.18

Considerem el sistema:

)()( tAxtx (1) Si és un VAP de A, i v un VEP seu, tota solució que s’inicia en la

recta vF , hi roman: FtxvFx )()0( , t (1’) De forma més precisa: )0()( xetx t . Per tant:

(1’.1) Si 0 , F és una recta d’escapament (és a dir, les solucions en ella són no acotades, fora de la corresponent a 0)0( x ).

(1’.2) Si 0 , F és una recta d’entrada (és a dir, les solucions en ella tendeixen

a l’origen). (1’.3) Si 0 , F és una recta de punts d’equilibri.

(2) Sigui bia , bia VAPs complexos conjugats i suposem iwuv ,

iwuv VEPs respectius. Aleshores:

FtxwuFx )(,)0( , t (2’) De forma més precisa:

(2’.1) Si 0a , F és un pla d’escapament (de fet, les solucions són espirals divergents, fora de la corresponent a 0)0( x ).

(2’.2) Si 0a , F és un pla d’entrada (de fet, les solucions són espirals

convergents a l’origen). (2’.3) Si 0a , F és un pla de girs tancats.

(b) Comportament respecte a un punt d’equilibri: estabilitat, ... Finalment, vegem el comportament de les solucions en relació a un punt d’equilibri. Recordem que en sistemes discrets, l’estabilitat depenia essencialment de si 1VAPs

ó 1VAPs . Aquí depèn del signe de la part real dels VAPs.

Def. – Considerem un sistema lineal homogeni:

)()( tAxtx (1) Un punt d’equilibri ex és una solució constant:

10.19

eAx0

(2) Suposem que 0ex és l’únic punt d’equilibri.

El sistema s’anomena:

(2.1) Inestable si alguna solució no és acotada.

(2.2) Asimptòticament estable si tota altra solució hi tendeix

extx

)(lim

(2.3) Marginalment estable si tota altra solució és acotada, però alguna no

convergeix a ex .

Prop. (estabilitat) – Donat com abans:

)()( tAxtx (1) xe=0 n’és un punt d’equilibri. L’únic sii 0 no és VAP de A. (2) Aleshores, siguin i els VAPs de A i )( iR les seves parts reals:

(2.1) 0)( iR , per algun i inestable.

(2.2) 0)( iR , per tot i asimptòticament estable.

(2.3) Si 0)( iR per tot i, el sistema és marginalment estable sii els VAPs

amb 0)( iR tenen la mateixa multiplicitat geomètrica que algebraica.

Altrament, és inestable. Exemple – (1) El sistema

)(414

13)( txtx

és asimptòticament estable, ja que els seus VAPs són2

7

2

1i

.

(2) El sistema associat a la EDO:

0)(2)(4)(3)( tytytyty

10.20

és asimptòticament estable, ja que els seus valors característics són: i 1,1 . (3) El sistema

)(01

10)( txtx

és marginalment estable. De fet les solucions són:

)0(cossin

sincos)( x

tt

tttx

Aplicació – Les tesis de Vichnegradski per estabilitzar el regulador de Watt (L.S.Pontriaguin, Ecuaciones diferenciales ordinarias) El regulador centrífug de Watt aplicat a la màquina de vapor constitueix el més antic sistema automàtic de control. Ideat a finals del segle XVIII, va funcionar adequadament fins a mitjans XIX. Però els canvis de disseny al llarg de la segona meitat del XIX el varen fer més i més inestable. L’enginyer Vichnegradski (1876) va trobar les causes d’aquesta inestabilitat i la manera d’evitar-la. El sistema queda descrit per les equacions diferencials:

FkJ

bmgmnm

cos

sincossin22

on és l’angle d’obertura de les barres del regulador, m és la massa de les boles, b és el coeficient de fregament de la corredora del regulador, és la velocitat de gir del volant que representa la màquina de vapor, J és el moment d’inèrcia d’aquest volant, n és la relació de transmissió del tren d’engranatges que connecta el regulador amb la màquina de vapor, k >0 és un coeficient constant de proporcionalitat i F una magnitud que depèn de la càrrega aplicada a la màquina de vapor. És clar que hi ha un únic punt d’equilibri e , e determinat per:

kF

e cos , Fn

gk

n

g

ee 222

cos

L’objectiu perseguit és que aquest punt d’equilibri sigui asimptòticament estable, la qual cosa queda garantida (Lyapunov) si ho és el sistema lineal que l’aproxima en un entorn d’aquest punt. Aquesta aproximació lineal s’obté prenent els primers termes de Taylor en el punt d’equilibri, resultant

10.21

A

,

00sin

sin2

cos

sin010

2

e

e

e

e

e

J

k

g

m

bgA

on s’ha introduït la variable per tal de passar a un sistema de 3 equacions de primer ordre. Segons hem vist, aquest sistema serà asimptòticament estable si i només els VAPs

1 , 2 , 3 de la matriu A són negatius. Es demostra que una condició necessària i

suficient a tal efecte és

AtrA

trA

A

det

0

0

0det

2

321

1332212

321

Les tres primeres equacions són certes, amb la qual cosa es conclou que una condició suficient d’estabilitat és la quarta, és a dir:

0

2

F

m

bJ

Per una millor interpretació, introduïm la “irregularitat de la marxa”, :

FdF

d

200

que mesura com la velocitat de règim de la màquina de vapor varia segons la càrrega aplicada. Amb això la condició d’estabilitat resulta finalment

1m

bJ

D’aquí Vichnegradski va concloure que era perjudicial per a la estabilitat del regulador:

- augmentar la massa m - disminuir el fregament b - disminuir el moment d’inèrcia J - disminuir la irregularitat

Això explica el deteriorament del regulador al llarg del segle XIX ja que el progrés tècnic (major potència, millor mecanització,...) havia modificat les quatre magnituds en sentit desfavorable a l‘estabilitat Per compensar-ho, Vichnegradski va proposar les seves famoses dues tesis:

10.22

- cal augmentar el fregament de la corredora del regulador - cal augmentar la irregularitat de la marxa