tema08.pdf

Mecanica Clasica 2

Prof. Cayetano Di Bartolo

Departamento de Fısica

Universidad Simon Bolıvar

Esta guıa esta basada en los manuscritos que elabore para los cursos de Mecanica que dicteen la Universidad Simon Bolıvar. La guıa todavıa requiere de modificaciones y correcciones,y es mi esperanza que en algun momento se convierta en un libro. Si el lector desea hacermealguna observacion puede escribirme a la direccion [email protected]

AGRADECIMIENTOS

El libro se esta realizando con la magnıfica colaboracion de mi esposa Jacqueline Geille,quien contribuye en todos los aspectos de su elaboracion. Tambien agradezco al ProfesorLorenzo Leal, de la Universidad Central de Venezuela, que muy amablemente me facilito susnotas para el curso de Mecanica.

Ultima actualizacion: Febrero de 2005

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Cuerpo rıgido

8.1 Introduccion.

Un cuerpo rıgido se define como un sistema de partıculas tal que la distancia entre ellas nocambia en el tiempo, dαβ = |rα − rβ| = cte. Los sistemas reales, compuestos de atomosvibrantes, no pueden satisfacer esta condicion, sin embargo la mayorıa de los cuerpos quellamamos solidos la satisfacen de manera aproximada. Adicionalmente supondremos que loscuerpos rıgidos satisfacen la version restringida de la tercera ley de Newton:

Fα,β = −Fβ,α = (rα − rβ)fαβ , (8.1)

con fαβ una funcion de las posiciones de las partıculas. Esta condicion implica que las fuerzasinternas no realizan trabajo ya que la potencia asociada a las fuerzas entre cualquier par departıculas del rıgido es nula,

Potencia 12 = F2,1 · V2 + F1,2 · V1 = f12(r1 − r2) · d

dt(r1 − r2) =

1

2f12

d

dt|r1 − r2|2 = 0 .

Un solido rıgido con al menos 3 partıculas no co-lineales tiene 6 grados de libertad, veamos el conteoayudandonos con la grafica a la derecha. Se necesi-tan 3 coordenadas, (x, y, z), para ubicar la partıcula p1.Para ubicar la partıcula p2, a una distancia fija de p1,se requiere una direccion (vector unitario u2,1), i.e., dosnumeros reales. Una partıcula p3 (no alineada con lasotras dos) requiere de un angulo, α, que especifique elgiro alrededor de la lınea que une p1 y p2.

p1

p2

p3

(x, y, z)

u2,1

α

Al fijarse la posicion de 3 partıculas no colineales quedan definidas las posiciones del resto delas partıculas (conocidas las distancias entre ellas), para convencernos de esto ultimo veamosque las tres partıculas definen una base ortonormal solidaria al rıgido, por ejemplo formadapor el vector u2,1, el vector perpendicular a la lınea p1p2 que apunta hacia p3 y un vectorperpendicular a los dos anteriores. Por ser esta base solidaria al rıgido se cumple que el vectorposicion respecto a p1 de cualquier otro punto del rıgido se escribe como una combinacionlineal a coeficientes constantes de los vectores de la base. Usualmente se especifica la posiciondel centro de masa y luego se fija de alguna manera, con los tres grados de libertad restantes,la rotacion del solido en el referencial centro de masa.

139

140 Mecanica Clasica 2 C. Di Bartolo (Febrero de 2005)

Generalmente simplificaremos la escritura de ecuaciones para un solido rıgido suponien-dolo formado por un conjunto discreto de partıculas. Se puede pasar de una notacion discreta(de sumatorias) a una continua (de integrales) haciendo el cambio∑

α

mα ∗ (· · · rα · · · ) →∫

cuerpo

dm ∗ (· · · r · · · )

A continuacion definiremos la velocidad angular de un cuerpo rıgido. En muchas oca-siones para describir el movimiento de un solido rıgido usaremos dos sistemas de referencia:

1) un referencial S (usualmente inercial aunque nosotros no lo haremos a menos quese diga explıcitamente), al cual se le suele llamar fijo, denotaremos por “O” a supunto de origen y por B = i, j,k a una base de vectores cartesianos fijos en S.

2) un referencial S ′ solidario al cuerpo rıgido, usualmente conocido como “sistemamovil”. S ′ se traslada y rota con el cuerpo, i.e., todas las partıculas que componenal rıgido estan en reposo en S ′. Llamaremos “O′” a su origen.

A la velocidad angular WS′|S se le denomina velocidad angular del cuerpo rıgido y la deno-taremos por W ,

W ≡ WCuerpo rıgido|S = WS′|S . (8.2)

Si se toma otro sistema de coordenadas S ′′ solidario al cuerpo se cumple que WS′′|S′ = 0 porlo cual WS′′|S = WS′|S.

Recuerdese que los dos sistemas de referencia miden derivadas temporales de un vectorde forma distinta,

d

dtA

∣∣∣∣S

=d

dtA

∣∣∣∣S′

+ WS′|S × A . (8.3)

En particular, la posicion y velocidad de una partıcula α del cuerpo rıgido en ambos sistemasde coordenadas se relacionan por:

r = rO′,O + r′ (8.4)

V ≡ dr

dt

∣∣∣∣S

; V ′ ≡ dr′

dt

∣∣∣∣S′

= 0 (8.5)

V = VO′,O|S + W × r′ (8.6)

S

S ′

r

r′

rO′,O

O

O′

mα

8.2 Rotaciones.

En muchas ocasiones relacionaremos las medidas de cantidades fısicas realizadas en los refe-

C. Di Bartolo Cuerpo rıgido 141

renciales “fijo” y “movil”. Para facilitar estas comparaciones conviene introducir el operadorde rotacion. En esta seccion definiremos el operador de rotacion y estudiaremos algunas desus propiedades.

8.2.1 Notacion para transformaciones lineales y vectores.

Llamaremos V al espacio vectorial de todos los vectores en R3. A estos vectores losdenotaremos tanto en la forma usual, por ejemplo a ∈ V, como en la forma

| a > ∈ V . (8.7)

Esta ultima notacion es muy “pesada” e incomoda si solo se trabaja con vectores pero resultapractica cuando se introducen formas lineales y dıadas.

Llamaremos < a | a la forma lineal sobre V que consiste en tomar el producto escalarcon el vector a, i.e.,

< a | : V → R / < a | ( | b >) ≡< a | b >≡ a · b ∀ b ∈ V . (8.8)

Es claro que se satisfacen las siguientes propiedades de linealidad y simetrıa:

| λ1b1 + λ2b2 >= λ1| b1 > +λ2| b2 > , (8.9)

< λ1b1 + λ2b2 | = λ1 < b1 | + λ2 < b2 | , (8.10)

< a | b >= , (8.11)

con λ1 y λ2 numeros reales.

Dados dos vectores a y b definimos su dıada o producto diadico, y lo anotamos como

a b ≡ | a >) ≡ | a >= | a > = a b · c ∀ c ∈ V

Veamos como es la composicion (o producto) de dos dıadas. Sea c ∈ V. Entonces

(| a1 >< b1 |) (| a2 >< b2 |) | c > = (| a1 >< b1 |) (| a2 > b2 · c)

= a1 (b1 · a2) (b2 · c) = (b1 · a2) | a1 >< b2 | (c)

luego(| a1 >< b1 |) (| a2 >< b2 |) =< b1 | a2 > | a1 >< b2 | . (8.14)

Tambien resultara util la representacion matricial de los objetos antes definidos, veamoscomo se construye. Escojamos dos bases ortonormales en V

B = u1, u2, u3 y B′ = u′1, u

′2, u

′3 . (8.15)

Un vector a puede escribirse como una combinacion lineal de los vectores de cada base,

a =∑

i

aiui =∑

j

a′ju

′j (8.16)

dondeai =< ui | a > y a′

j =< u′j | a > . (8.17)

Llamaremos a a1, a2, a3 y a′1, a

′2, a

′3 las componentes de a en las bases B y B′ respec-

tivamente. Tomaremos la representacion matricial del vector a como una matriz columnaformada con sus componentes. La representacion depende de la base seleccionada,

(a)B =

a1

a2

a3

y (a)B′ =

a′1

a′2

a′3

. (8.18)

El producto escalar de dos vectores puede escribirse como el producto de una matriz filapor una matriz columna

< a | b >=∑

i

aibi =(

a1 a2 a3

) b1

b2

b3

. (8.19)

Esto nos lleva a escoger la representacion matricial de < a | como una matriz fila

( < a | )B = (a· )B =(

a1 a2 a3

). (8.20)

Luego, el producto escalar < a | b > consiste en la multiplicacion de la matriz fila querepresenta a < a | por la matriz columna que representa a | b >.

A continuacion definiremos la representacion matricial de una transformacion lineal. SeaA : V → V una transformacion lineal, i.e.,

i) Ab ∈ V ∀ b ∈ Vii) A(λ1b1 + λ2b2) = λ1Ab1 + λ2Ab2

Para indicar que una transformacion lineal A actua sobre un vector b usaremos indistinta-mente las siguientes notaciones:

Ab = A | b >= | Ab > .

Definimos las componentes de A en la base B como

Aij ≡ ui · (Auj) ≡< ui | A | uj > , (8.21)

esto es, Aij es la componente i-esima del vector Auj luego

A | uj >=∑

i

Aij | ui > . (8.22)

Es inmediato demostrar que la expresion matricial del vector A | a > se obtiene de

(A | a >)B =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

a1

a2

a3

,

este resultado nos lleva a definir la representacion matricial de A en la base B por

(A)B =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

. (8.23)

Una transformacion lineal puede definirse por su accion sobre los elementos de la baseen consecuencia dos transformaciones lineales son identicas si y solo si tienen los mismoselementos de matriz o componentes.

Para obtener la representacion matricial de la dıada | a >= aibj y obtenemos

| a >< w | . . . A . . . | a > . . . < b | . . .)B

el resultado final se obtiene al multiplicar entre sı las matrices que representan a los objetosen el orden indicado por la expresion.

A continuacion estudiaremos la traspuesta de una transformacion lineal. Dada una trans-formacion lineal A definimos su traspuesta AT como la transformacion lineal que satisfacela relacion

< a | AT | b >= ∀a, b ∈ V . (8.25)

Esto implica< a | AT | b >==< Aa | b > ∀b ,

luego se cumple que< a |AT =< Aa | . (8.26)

Los elementos de matriz de la traspuesta son (AT )ij = Aji, por lo cual la representacionmatricial de AT es igual a la traspuesta de la representacion matricial de A,

(AT )B =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

T

=

A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33

. (8.27)

Para finalizar este apartado dejaremos al lector la demostracion de las siguientes identi-dades

1| =∑

i

| ui >< ui | (8.28a)

Aij | ui >< uj | = (| ui >< ui |) A (| uj >< uj |) (8.28b)

A =∑i,j

Aij | ui >< uj | . (8.28c)

8.2.2 Rotaciones activas.

Dado un vector r podemos rotarlo alrededor de un eje y obtener un nuevo vector r′

del cual diremos que es una rotacion activa del primero. Llamemos n a la direccion deleje de rotacion que pasa por el origen O y θ al angulo de rotacion en sentido horario comose muestra en la figura siguiente a la izquierda, la figura de la derecha muestra la mismasituacion vista desde arriba. En ambas figuras se han marcado algunos puntos y lıneas quenos ayudaran a obtener la expresion analıtica del vector r′ en funcion del vector r, el anguloθ y la direccion n.

r r′

n

θ

c

a b

O

a b

c

d eθ

De acuerdo a las figuras anteriores se cumple que

r′ = Oc + cd + db ,

por otro lado

Oc = (r · n)n

cd = cacosθ = [r − Oc]cosθ = [r − (r · n)n]cosθ

db = ce senθ = n × ca senθ = n × r senθ

y sumando estas relaciones obtenemos la expresion analıtica de r′ que estabamos buscando:

r′ = (1 − cosθ)(r · n) n + rcosθ + n × r senθ (8.29)

Al examinar esta ultima expresion es facil darse cuenta que la transformacion que llevadel vector r al vector r′ es lineal. Llamaremos a esta transformacion lineal una rotacion yla denotaremos por Rn(θ). Luego,

r′ ≡ Rn(θ)r = (1 − cosθ)(r · n) n + rcosθ + n × r senθ (8.30)

Deseamos hallar la representacion matricial del operador rotacion y para ello comenzare-mos definiendo la transformacion lineal

Gn : V → V / Gn | r >≡ Gn r = n × r . (8.31)

Deteminemos la representacion matricial de Gn en la base ortonormal de mano derecha

B = u1, u2, u3 / ui × uj =∑

k

εijkuk . (8.32)

Sus elementos de matriz son

(Gn)Bij =< ui | Gn | uj >= ui · (n × uj) = n · (uj × ui) = −

∑k

εijknk (8.33)

esto significa que su representacion matricial es

(Gn)B =

0 −n3 n2

n3 0 −n1

−n2 n1 0

(8.34)

donde ni = n · ui. Esta transformacion lineal se puede escribir como la suma de tres trans-formaciones asociadas a los elementos de la base,

n × r =∑

i

niui × r =∑

i

niGuir

luego podemos escribir que

Gn = n · G ≡∑

i

ni Gui. (8.35)

Si definimos Gi ≡ (Gui)B se cumple, de (8.35) y (8.33), que

(Gn)B =∑

i

ni Gi , (8.36)

(Gk)ij ≡ −εkij , (8.37)

G1 =

0 0 00 0 −10 1 0

; G2 =

0 0 10 0 0−1 0 0

; G3 =

0 −1 01 0 00 0 0

. (8.38)

Estas 3 matrices se conocen como los generadores de las rotaciones. Notese que si conside-ramos otra base ortonormal derecha B′ = e1, e2, e3 se cumple que

(Gei)B′ = (Gui

)B = Gi . (8.39)

De (8.30) y (8.31) se obtiene que el operador rotacion puede escribirse como

Rn(θ) = (1 − cosθ) | n >< n | + cosθ 1| + sen θ Gn (8.40)

y es inmediato encontrar que su representacion matricial es

(Rn(θ))B = cosθ

1 0 00 1 00 0 1

+ (1 − cosθ)

n21 n1n2 n1n3

n1n2 n22 n2n3

n1n3 n2n3 n23

+ sen θ

0 −n3 n2

n3 0 −n1

−n2 n1 0

. (8.41)

Para referencias futuras escribamos explıcitamente la matriz que representa a una rotacionactiva, positiva, de angulo θ alrededor de cada eje cartesiano

(Ru1(θ))B =

1 0 00 cosθ −sen θ0 sen θ cosθ

(8.42a)

(Ru2(θ))B =

cosθ 0 sen θ0 1 0

−sen θ 0 cosθ

(8.42b)

(Ru3(θ))B =

cosθ −sen θ 0sen θ cosθ 0

0 0 1

, (8.42c)

y para rotaciones infinitesimales, con dθ 1, se cumple a primer orden en dθ que

Rn(dθ) = 1| + dθ Gn (8.43)

Ejemplo 8.1.

En este ejemplo se rota la base ortonormal derecha B = u1, u2, u3 por medio de la rotacionactiva R = Ru3(θ). Al final se calculan los productos u′

i × u′j con u′

i ≡ Rui.

Usando (8.42c) se obtiene que

(Ru3(θ)u1)B =

cos θ −sen θ 0sen θ cos θ 0

0 0 1

100

=

cos θsen θ

0

= (cos θ u1 + sen θ u2)B .

Procediendo de manera similar con los otros dos vectores de la base obtenemos finalmenteque

u′1 = cos θ u1 + sen θ u2 , u′

2 = −sen θ u1 + cos θ u2 , u′3 = u3 . (8.44)

A partir de estas ecuaciones (y calculando directamente) es inmediato demostrar que u′3 ×

u′1 = u′

2, u′1 × u′

2 = u′3 y u′

2 × u′3 = u′

1. En consecuencia

u′i × u′

j =∑

k

εijku′k . (8.45)

8.2.3 Algunas propiedades de las rotaciones.

Las transformaciones lineales que dejan invariante el producto escalar se denominan or-togonales, i.e.,

A es ortogonal ⇔ Ar1 · Ar2 = r1 · r2 ∀ r1, r2 ∈ V (8.46)

La rotacion es una transformacion ortogonal y tiene las propiedades de estas transforma-ciones. Veamos algunas de ellas. De (8.46)

< Ar1 | Ar2 >=< r1 | AT A | r2 >=< r1 | r2 > ∀ r1, r2 ∈ V ,

luegoA es ortogonal ⇔ A−1 = AT . (8.47)

Para el caso particular de las rotaciones se tiene que la transformacion lineal inversa es otrarotacion de angulo opuesto alrededor del mismo eje, por lo cual

Rn(θ)T = Rn(θ)−1 = Rn(−θ) = (1 − cosθ) | n >< n | + cosθ 1| − sen θ Gn . (8.48)

De (8.47) se tiene que

1 = det(1|) = det(A−1A) = det(AT )det(A) = (detA)2 ,

luegoA es ortogonal ⇒ detA = ±1 . (8.49)

Demostremos que el determinante de las rotaciones vale +1, en el calculo aprovecharemosel hecho de que el determinante de una transformacion no depende de la base escogida paracalcularlo. En la base ortonormal y derecha B′′ ≡ e1, e2, n se cumple, usando (8.42c), que

(Rn(θ))B′′ =

cosθ −sen θ 0sen θ cosθ 0

0 0 1

(8.50)

cuyo determinante es cos2θ + sen2 θ = 1. Luego

det(Rn(θ)) = +1 . (8.51)

Otra cantidad que no depende de la base es la traza de un operador lineal. Para lasrotaciones, se obtiene de (8.50) que

Traza(Rn(θ)) ≡∑

i

< ui | Rn(θ) | ui >= 1 + 2cosθ . (8.52)

La transformacion identidad es una rotacion de angulo cero y ya vimos que el inverso deuna rotacion es otra rotacion. Se puede demostrar, pero no lo haremos aquı, que el productode dos rotaciones es otra rotacion. Todo esto significa que el conjunto de todas las rotaciones,con la ley de composicion, forman un grupo. Este grupo no es conmutativo, es decir

en general Rn(θ)Rm(α) = Rm(α)Rn(θ)

Este grupo tiene subgrupos abelianos; las rotaciones alrededor de un eje fijo forman unsubgrupo abeliano.

Rn(θ)Rn(α) = Rn(α)Rn(θ) = Rn(θ + α) (8.53)

Por otro lado, las rotaciones infinitesimales conmutan hasta primer orden

Rn(dθ)Rm(dα) = Rm(dα)Rn(dθ) + Orden 2 (8.54)

= 1| + dθ Gn + dα Gm + O(dα dθ) .


Demostremos a continuacion que las rotaciones satisfacen la siguiente identidad

(Ra) × (Rb) = R(a × b) . (8.55)

Para la demostracion usaremos los resultados del ejemplo 8.1. Escribimos los vectores a y ben las bases del ejemplo: B y su rotada por R = Ru3(θ).

(Ra) × (Rb) =∑i,j

aibj(Rui) × (Ruj) =∑i,j

aibju′i × u′

j =∑i,j,k

aibjεijku′k

= R(∑

i,j,k

aibjεijkuk

)= R

(∑i,j

aibjui × uj

)= R(a × b) .

Por ultimo se deja al lector la demostracion de las siguientes propiedades de los genera-dores:

(GaGb)ij = δajδib − δabδij (8.56a)

GaGb − GbGa =∑

c

εabcGc (8.56b)

GTa = −Ga (8.56c)

Traza(Ga) = 0 (8.56d)

Traza(GaGb) = −2δab (8.56e)

Traza[Rn(θ) Gm] = −2sen θ n · m (8.56f)

8.2.4 Rotaciones Pasivas.

En ocasiones se esta interesado no en como cambia un vector ante una rotacion, sino encomo se comparan sus componentes en dos bases distintas, una de ellas obtenida por mediode una rotacion de la otra. A esta situacion se le llama rotacion pasiva y la estudiaremos eneste apartado.

Sean las bases ortonormales de mano derecha

B = u1, u2, u3, B′ = u′1, u

′2, u

′3 con u′

i ≡ Rn(θ) ui . (8.57)

Donde estamos suponiendo que B′ se obtiene de B por una rotacion de angulo θ alrededordel eje paralelo a n. Sea un vector r cuyas componentes en cada base vienen dadas por

(r)B =

x1

x2

x3

y (r)B′ =

x′1

x′2

x′3

. (8.58)

Para hallar como se relacionan los dos conjuntos de coordenadas nos basta un pequenocalculo

r =∑

i

xiui =∑

i

x′iu

′i ⇒ x′

i = u′i · r =

∑j

xj u′i · uj ⇒

x′i =

∑j

xj < Rn(θ)ui | uj >=∑

j

xj < ui | RTn (θ) | uj >=

∑j

xj(Rn(−θ))Bij .

Luego x′1

x′2

x′3

= (Rn(−θ))B

x1

x2

x3

= (RTn (θ))B

x1

x2

x3

. (8.59)

Notese que una rotacion activa de la base de angulo θ equivale a una rotacion pasiva deangulo −θ.

Tambien resultara util encontrar como cambian las componentes o elementos de matrizde una transformacion lineal. Para una transformacion lineal A la relacion entre sus dosrepresentaciones matriciales se obtiene a partir de

A′ij ≡< u′

i | A | u′j >=< ui | RT

n (θ) A Rn(θ) | uj >

luego(A)B′ = (RT

n (θ) A Rn(θ))B = (R−1n (θ) A Rn(θ))B . (8.60)

Se trata de una transformacion de similaridad.

Se dice que un objeto de componentes Ti1,...,in es un tensor de rango n frente a lasrotaciones si sus componentes transforman bajo una rotacion pasiva como

T ′i1,...,in =

∑j1,...,jn

RTi1,j1

. . .RTin,jn

Tj1,...,jn con RTi,j ≡< ui | RT

n (θ) | uj > . (8.61)

Notese que los vectores son tensores de rango 1 y las transformaciones lineales son tensoresde rango 2.

8.3 Energıa cinetica.

En un capıtulo anterior escribimos la energıa cinetica de un sistema de partıculas como sumade dos terminos: un termino de traslacion que depende de la velocidad del centro de masay un termino que llamabamos de rotacion. En esta seccion escribiremos la energıa cineticade rotacion de un cuerpo rıgido en funcion de su velocidad angular.

Consideremos dos sistemas de referencia: el referencial S, que puede ser o no inercial,y el referencial S ′ que es solidario al cuerpo rıgido y con origen en su centro de masa.

Etiquetaremos las partıculas del rıgido con letras griegas, llamaremos M a la masa neta delcuerpo y W = WS′|S a su velocidad angular en el referencial S. De (8.6) se tiene que lavelocidad de la partıcula α en S es

Vα = Vcm + W × rα,cm

donde rα,cm es la posicion de la partıcula respecto al centro de masa y Vcm es la velocidad delmismo. Al substituir esta ecuacion en la expresion de energıa cinetica del sistema se tiene

T |S =1

2

∑α

mαV 2α =

1

2

∑α

mα[V 2cm + 2Vcm · (W × rα,cm) + |W × rα,cm|2]

=1

2MV 2

cm + Vcm · (W ×∑

α

mαrα,cm) +1

2

∑α

mα|W × rα,cm|2

pero ∑α

mαrα,cm = 0 y

|W × rα,cm|2 = (W × rα,cm) · (W × rα,cm) = W 2r2α,cm − (W · rα,cm)2 ,

luego

T |S =1

2MV 2

cm +1

2

∑α

mα[W 2r2α,cm − (rα,cm · W )2] (8.62)

donde el primer sumando es la energıa cinetica de traslacion y el segundo sumando es laenergıa cinetica de rotacion Trot. Es inmediato que esta ultima se puede escribir como

Trot ≡1

2

∑α

mα[W 2r2α,cm − (rα,cm · W )2] =

1

2< W | Icm | W > (8.63)

donde la transformacion lineal Icm se conoce como el tensor de inercia en el centro de masa.El tensor de inercia en el punto Q se define por

IQ ≡∑

α

mα< rα,Q | rα,Q > 1| − | rα,Q >< rα,Q | (8.64)

y en la proxima seccion se estudiaran en detalle algunas de sus caracterısticas. En definitivala energıa cinetica de un solido rıgido es

T |S =1

2MV 2

cm +1

2< W | Icm | W > . (8.65)

Si las fuerzas externas activas que actuan sobre el rıgido son conservativas y llamamos Val potencial del cual provienen entonces el Lagrangeano del sistema sera

L =1

2MV 2

cm +1

2< W | Icm | W > −U (8.66)

siempre y cuando el referencial S sea inercial. Las ecuaciones de Lagrange, junto con lasecuaciones de ligadura si las hubiese, proporcionan las ecuaciones de movimiento del cuerporıgido.

Otra expresion para la energıa cinetica que sera de utilidad es la siguiente

T |S =1

2MV 2

Q +1

2< W | IQ | W > +M VQ · [W × (rCM − rQ)] , (8.67)

donde Q es un punto solidario al rıgido con velocidad VQ en S e IQ es el tensor de inerciadel rıgido en Q. Dejaremos al lector su demostracion.

8.4 El tensor de inercia.

El tensor de inercia ya aparecio en la expresion para la energıa cinetica de un cuerpo rıgidoencontrada en la seccion anterior y mas adelante veremos que sera de utilidad para expresaren forma compacta el momentum angular de un cuerpo rıgido. Aquı estudiaremos este tensorcon algun detalle.

8.4.1 El tensor, la matriz y los momentos de inercia.

En esta subseccion definimos el tensor de inercia, la matriz de inercia y los momentos deinercia. Tambien estudiamos algunas de sus propiedades.

Definimos el tensor de inercia en el punto Q, o con origen enQ, a la transformacion lineal

IQ ≡∑

α

mα< rα,Q | rα,Q > 1| − | rα,Q >< rα,Q | (8.68)

donde rα,Q ≡ rα − rQ es la posicion de la partıcula α respecto alpunto Q.

mα

Q

rα,Q

La representacion matricial del tensor de inercia se denomina matriz de inercia. A conti-nuacion hallaremos esta matriz. Sea la base ortonormal B ≡ u1, u2, u3, a las componentesde rα,Q en este base las llamaremos

xi(α) ≡ ui · rα,Q =< ui | rα,Q > . (8.69)

Entonces las componentes del tensor de inercia son

IQij = IQji ≡< ui | IQ | uj >=∑

α

mα

[δij

∑k

xk(α)x

k(α) − xi

(α)xj(α)

](8.70)

y la matriz de inercia, obviando el ındice α, toma la forma

IQ ≡ (IQ)B =

∑

m(y2 + z2) −∑mxy −∑

mxz

−∑mxy

∑m(x2 + z2) −∑

myz

−∑mxz −∑

myz∑

m(x2 + y2)

. (8.71)

Las componentes fuera de la diagonal se denominan productos de inercia y la componenteIi ≡ IQii =< ui | IQ | ui > se denomina momento de inercia respecto al eje que pasa por Qy tiene direccion ui.

Tambien definiremos el momento de inercia respecto acualquier eje. Dado un eje que pasa por Q y tiene direccionn se define el momento de inercia respecto al eje como IQ,n ≡∑

α

mαR2α, donde Rα es la distancia de mα al eje (ver dibujo).

Dejamos al lector la demostracion de que

IQ,n ≡∑

α

mαR2α =< n | IQ | n > (8.72)

mα

Q

rα,Qn

Rα

Ejemplo 8.2.

En este ejemplo se halla la matriz de inercia de una barra en su centro de masa. La barra eshomogenea, delgada, de longitud h y masa M , usaremos como base ortonormal la mostradaen la figura.

Los puntos de la barra satisfacen x = y = 0 luego Iz =Ixz = Ixy = Ixy = 0. La simetrıa de la barra nos conduce aIx = Iy, luego

Ix = Iy =

∫z2 dm =

∫ +h/2

−h/2

M

hz2 dz =

Mh2

12. µy

µz

µx

cm

h

La matriz de inercia de la barra en su centro de masa es entonces

Icm =Mh2

12

1 0 00 1 00 0 0

. (8.73)

A continuacion estudiaremos varias propiedades y teoremas relacionados con el tensor deinercia.


Dependencia temporal: Si Q es un punto fijo en el cuerpo rıgido (por ejemplo el centrode masa) y la base B ≡ u1, u2, u3 es solidaria al cuerpo entonces

xi(α) ≡ ui · rα,Q = constante ⇒ d

dtIQij = 0 .

En otras bases no solidarias al cuerpo rıgido las componentes de IQ pueden depender deltiempo.

Suma de tensores de inercia: Dado un cuerpo rıgido C com-puesto de dos partes A y B es claro, de la definicion del tensor deinercia, que

IQ|A∪B=C = IQ|A + IQ|B (8.74)

A B

C = A ∪ B

Desigualdad: Examinando los elementos de la diagonal de la matriz de inercia es inme-diato convencerse de la siguiente desigualdad

Ii + Ij ≥ Ik ∀ i, j, k diferentes entre sı. (8.75)

Teorema de la figura plana: Si un cuerpo rıgido es plano,digamos que se encuentra en el plano xy, entonces

Iz = Ix + Iy . (8.76)

Veamos su demostracion. Como z = 0 se cumple que Ix =∑m(y2 +z2) =

∑my2 e Iy =

∑m(x2 +z2) =

∑mx2

por lo cual Iz =∑

m(x2 + y2) = Ix + Iy.x

y

z

Ejemplo 8.3.

Consideremos un disco homogeneo en el plano xy, de radio R, centrado en el origen, de masaM y densidad superficial σ = M/(πR2). Deseamos hallar los momentos de inercia respectoa los ejes de coordenadas. Por simetrıa es claro que Ix = Iy y junto con el teorema de lafigura plana se obtiene Ix = Iy = Iz/2. El momento Iz se obtiene por integracion:

Iz =

∫dmr2 =

∫ 2π

0

∫ R

0

σ(rdrdθ)r2 = σR4

42π =

MR2

2.

Finalmente tenemos

Ix = Iy =MR2

4e Iz =

MR2

2. (8.77)

Traslacion del tensor de inercia. Teorema de Steiner: Consideremos un cuerporıgido y un punto Q con vector posicion a respecto al centro de masa (cm) del rıgido (versiguiente figura a la izquierda). A partir de la definicion del tensor de inercia es inmediatodemostrar que

IQ = Icm + M(

a21| − | a >< a | )(8.78)

donde M es la masa del cuerpo rıgido (la demostracion la dejaremos como un ejercicio parael lector).

Q

cm

mα

a rα,Q

r′α

cm Qa

nn

h

De esta traslacion del tensor de inercia es facil encontrar como se relacionan los momentosde inercia entre ejes paralelos. La figura anterior a la derecha muestra al cuerpo rıgido y ados ejes paralelos, con direccion n y separados una distancia h, que pasan por el centro demasa y el punto Q. De acuerdo a (8.72) y (8.78) el momento de inercia respecto al eje quepasa por Q cumple con

IQ,n = Icm,n + M < n | ( a21| − | a >< a | ) | n >

= Icm,n + M(a2 − (a · n)2

)luego

IQ,n = Icm,n + M h2 . (8.79)

Esta ultima identidad se conoce con el nombre de Teorema de Steiner o Teorema de ejesparalelos.

Ejemplo 8.4.

Aquı continuaremos con la barra del ejemplo 8.2, hallaremos la matriz de inercia de la barraen su extremo izquierdo usando (8.78). Se tiene que a = −hµz/2 y

a21| − | a >< a | =h2

4

(1| − | µz >< µz |

)luego de (8.78) y (8.73) se llega a la matriz de inercia en el extremo de la barra

I = Icm +Mh2

4

1 0 00 1 00 0 0

=Mh2

3

1 0 00 1 00 0 0

. (8.80)

8.4.2 Ejes principales de inercia.

Un eje que pasa por el punto Q y tiene direccion n es un eje principal de inercia si secumple que n es un autovector del tensor de inercia en el punto Q,

IQ | n >= I | n > . (8.81)

En componentes en alguna base ortonormal la ecuacion anterior toma la forma

IQ11 IQ12 IQ13

IQ12 IQ22 IQ23

IQ13 IQ23 IQ33

n1

n2

n3

= I

n1

n2

n3

. (8.82)

Es inmediato de (8.72) que si este es el caso entonces el autovalor es el momento de inerciarespecto al eje,

I = IQ,n ≡< n | IQ | n > . (8.83)

Los autovalores, o valores propios, del tensor de inercia IQ se denominan momentos princi-pales de inercia en el punto Q y de la teorıa de matrices se obtiene que se pueden determinarde la ecuacion

determinante[IQ − I 1|

]= 0 . (8.84)

Por ser IQij una matriz real simetrica se puede demostrar que posee una base ortogonalpropia de vectores reales con autovalores reales, dicho de otro modo, “para cada punto Qexisten 3 ejes perpendiculares (que se cortan en Q) que son ejes principales de inercia”. SeaB′ = e1, e2, e3 una base ortonormal de vectores formada por autovectores de IQ, i.e.,

IQ | ej >= I ′j | ej > con I ′

j ≡ IQ,ejy j ∈ 1, 2, 3 ; (8.85)

en ella los elementos de matriz son I ′Qij =< ei | IQ | ej >= δijI

′j, luego la representacion

matricial del tensor en esta base es diagonal,

(IQ)B′ =

I ′1 0 0

0 I ′2 0

0 0 I ′3

, (8.86)

o si se quiere

IQ =∑

i

I ′i | ei >< ei | . (8.87)

Comentario 8.1 (Direcciones principales sobre los puntos de losejes principales en el centro de masa). A continuacion enunciemos unapropiedad util de los ejes principales de inercia en el centro de masa. SeaB = e1, e2, e3 una base principal de inercia de Icm. Se cumple que encualquier punto de los tres ejes principales de inercia que pasan por el cen-tro de masa y tienen las direcciones dadas por B, el tensor de inercia tiene ala base B como base propia. La demostracion de esta propiedad se hace muysencilla si se utiliza la propiedad de traslacion del tensor de inercia (8.78) ysera dejada como un pequeno ejercicio para el lector.

Comentario 8.2 (Energıa cinetica de rotacion y ejes principales). Enla base propia del tensor de inercia en el centro de masa la energıa cineticade rotacion toma una forma sencilla; si llamamos Wx,Wy,Wz a las compo-nentes, en esta base, de la velocidad angular del cuerpo rıgido y Ix, Iy, Iz alos autovalores de Icm entonces se obtiene que

Trot =1

2< W | Icm | W >=

1

2(IxW

2x + IyW

2y + IzW

2z ) . (8.88)

Comentario 8.3 (Algo de nomenclatura).

• Un cuerpo es llamado “peonza asimetrica” si tiene los tres momentosprincipales distintos. Esto depende del punto donde se tome la matrizde inercia.

• Si los momentos principales son tales que I1 = I2 = I3 se dice que es una“peonza simetrica”.

• Si en cambio I1 = I2 = I3 se le llama “peonza esferica”.

• Para un sistema de partıculas colineales, digamos rα = zαuz, se tieneque

I1 = I2 =∑

α

mαz2α ; I3 = 0 .

Este sistema posee solo dos, de los tres usuales, grados de libertad rela-cionados con la rotacion, y se le llama rotor.

8.4.3 Cuerpos rıgidos simetricos.

En este apartado estudiaremos las propiedades de los ejes principales de inercia en el casode algunos cuerpos rıgidos con mucha simetrıa.

1) Si un cuerpo rıgido tiene un plano de simetrıa, entonces cualquier eje perpendicular alplano es un eje principal de inercia en el punto que corta al plano.

Para la demostracion tomemos un sistema de ejes carte-sianos con origen en un punto Q sobre el plano de simetrıay el eje z perpendicular al mismo. El vector IQ| uz > puedeescribirse en la base cartesiana como

IQ| uz > =∑

i

< ui | IQ | uz > | ui >

= Ixz| ux > +Iyz| uy > +Iz| uz > .

x

y

z

Q

Tenemos que demostrar que los productos de inercia Ixz e Iyz son nulos, para ello observare-mos que las contribuciones de las partıculas a esos productos de inercia se pueden organizaren pares que se anulan. Que el plano xy sea de simetrıa significa que para cada partıculacon coordenadas r1 = (x, y, z) existe otra de la misma masa con posicion r2 = (x, y,−z);como m1x1z1 + m2x2z2 = 0 entonces Ixz = 0 y como m1y1z1 + m2y2z2 = 0 entonces Iyz = 0.Luego obtenemos que uz es propio de IQ,

IQ| uz >= Iz| uz > . (8.89)

2) Si un cuerpo es un solido de revolucion el eje desimetrıa es un eje principal de inercia. Todos los ejesperpendiculares al eje de simetrıa y que ademas lo cortenen el mismo punto Q son ejes principales en Q y tienensus momentos de inercia iguales entre sı (el cuerpo rıgidoes una “peonza simetrica”).

y

x

Q

z

Eje de simetrıa

Veamos la demostracion del enunciado anterior. Llamemos z al eje de simetrıa y Q a unpunto sobre el mismo que tomaremos como origen de un sistema de coordenadas cartesianas.Cualquier plano que contenga al eje de simetrıa es un plano de simetrıa y en consecuencia,usando el caso anterior, todos los ejes que sean perpendiculares al eje de simetrıa y pasen porQ son ejes principales de inercia en el punto Q; por otro lado, usando la simetrıa del rıgido,es evidente que todos estos ejes tienen el mismo momento de inercia I, esto es I = Ix = Iy.En resumen

IQ| ux >= I| ux > y IQ| uy >= I| uy > . (8.90)


Demostraremos a continuacion que los productos de inercia Ixz e Iyz son nulos. Para cadapunto r1 = (x, y, z) existe otro r2 = (−x,−y, z) con la misma masa por lo cual sus contribu-ciones a Ixz se eliminan de a pares:

m1x1z1 + m2x2z2 = 0 ⇒ Ixz ≡ −∑

α

mαxαzα = 0 .

La demostracion de Iyz = 0 es similar. En consecuencia la identidad IQ| uz >= Ixz| ux >+Iyz| uy > +Iz| uz > conduce a que el eje z sea principal de inercia, esto es,

IQ| uz >= Iz| uz > . (8.91)

Ejemplo 8.5.

Consideremos un disco homogeneo de radio R, masa M , en el plano xy y centrado en elorigen. En el ejemplo 8-2 obtuvimos para este disco los momentos de inercia:

Iz =MR2

2; Ix = Iy =

MR2

4.

Como el eje z es un eje de simetrıa se cumple que los ejes cartesianos son ejes principalesde inercia, luego la representacion matricial de Icm en esta base es

Icm =MR2

4

1 0 00 1 00 0 2

.

8.5 Eje instantaneo de rotacion.

En esta seccion introduciremos el concepto de eje instantaneo de rotacion para un cuerporıgido y estudiaremos algunas de sus caracterısticas. Usaremos dos referenciales: el refer-encial S del observador (no necesariamente inercial) y el referencial S ′ solidario al cuerpo.Tomaremos el origen de S ′ en el centro de masa (cm) del cuerpo rıgido, llamaremos W =WS′|S a la velocidad angular del cuerpo rıgido en el referencial S y Vcm a la velocidad delcentro de masa en S; supondremos que W = 0. Dado un punto Q denotaremos por rQ, r′

Q,VQ y V ′

Q sus posiciones y velocidades en S y S ′ respectivamente.


Definicion de eje instantaneo de rotacion:Dado un punto P fijo en S ′ tal que en cierto instante t0 esta en reposoen S llamaremos eje instantaneo de rotacion del cuerpo rıgido al instantet0 y en el referencial S al eje que pasa por P y tiene direccion W (t0).

Dado un referencial S no siempre existe un punto que satisfaga las condiciones de ladefinicion anterior, dicho de otra forma, en un referencial S arbitrario no siempre existeun eje instantaneo de rotacion del cuerpo rıgido. Para estudiar las consecuencias de estadefinicion seran de mucha utilidad los siguientes dos enunciados:

Q esta fijo en S ′ ⇔ VQ = Vcm + W × r′Q , (8.92)

Si P y Q estan fijos en S ′ ⇒ VQ − VP = W × (rQ − rP ) . (8.93)

El primer enunciado es consecuencia de la ley de transformacion de velocidades (1.46) y elsegundo enunciado es una consecuencia inmediata del primero. Veamos a continuacion unaserie de propiedades significativas que poseen los ejes instantaneos de rotacion.

Propiedad 1: Sea E un eje instantaneo de rotacion de un cuerpo rıgidopara el instante t0 y en el referencial S. Se cumple que todos los puntossolidarios al rıgido que forman parte de E estan en reposo, al instante t0,en el referencial S.

Para demostrar esta propiedad solo basta demostrar que todos los puntos del eje tienen lamisma velocidad en S ya que por definicion el eje contiene al menos un punto en reposo.Dados dos puntos P y Q solidarios al rıgido y pertenecientes al eje instantaneo entonces suposicion relativa es paralela a W y obtenemos de (8.93) que VQ = VP = 0.

Otra propiedad de los ejes instantaneos de rotacion es que cuando existen solo hay uno,esto es, se cumple la siguiente propiedad:

Propiedad 2: Todos los puntos solidarios al rıgido que en t0 estan enreposo en S pertenecen al eje instantaneo de rotacion.

Para demostrar esta propiedad partimos de dos puntos P y Q solidarios al rıgido y en reposoen S, de (8.93) se obtiene que 0 = W × (rQ − rP ) luego rQ,P es paralelo a W , y si Ppertenece al eje entonces Q tambien.

Cuando existe un eje instantaneo de rotacion para un cuerpo rıgido todos sus puntos giransimultaneamente alrededor de este eje, mas claramente, se cumple la siguiente propiedad:

Propiedad 3: Si al instante t0 un cuerpo rıgido tieneun eje instantaneo de rotacion en S, se cumple para eseinstante que

Q fijo en S ′ ⇒ VQ|S = W × RQ .

donde RQ es el vector perpendicular al eje que va desdeeste hasta Q (ver figura a la derecha).

Q

eje instantaneo

RQW


Para demostrar esta propiedad basta usar (8.93) con P un punto del eje, luego VQ = W ×(rQ − rP ) = W × RQ.

De la ecuacion (8.67) con Q un punto sobre el eje de rotacion se obtiene la siguientepropiedad.

Propiedad 4: Sea un cuerpo rıgido que al instante t0 tiene un eje ins-tantaneo de rotacion en S, siendo Ieir el momento de inercia del cuerporespecto a este eje. Entonces para t0 se cumple que la energıa cineticadel solido rıgido en el referencial S es

T =1

2W 2 Ieir . (8.94)

Ya hemos dicho que no siempre existe un eje instantaneo de rotacion, las condicionespara que exista se establecen en el siguiente enunciado:

Vcm(t0) · W (t0) = 0 ⇔ Existe un punto P fijo en S ′ tal que VP (t0) = 0 . (8.95)

Veamos su demostracion en dos partes (durante la misma todos los vectores estaran evaluadosal instante t0):

i) Comencemos con el sentido (⇐). Debido a (8.92) si ∃P /V ′P = VP = 0 se cumple que

0 = Vcm + W × r′P ⇒ Vcm · W = 0.

ii) Ahora en el sentido (⇒). Supongamos que Vcm · W = 0, esto significa que el vector Vcm

pertenece al plano perpendicular a W . Por otro lado cualquier vector de ese plano puedegenerarse o escribirse como W × A para algun A. Esto significa que siempre es posibleencontrar un vector r′

P tal que 0 = Vcm + W × r′P y esto, debido a (8.92), significa que

VP = 0.

Siempre es posible conseguir un referencial inercial en el cual la velocidad Vcm(t0) tengacualquier valor que uno desee, en particular esa velocidad puede ser perpendicular a lavelocidad angular W (t0) y usando (8.95) se obtiene que para cada instante t se puedeencontrar un sistema de referencia inercial en el cual el cuerpo rıgido tenga un eje instantaneode rotacion en ese instante.

Por ultimo definamos que significa rodar sin deslizar. Se dice que un cuerpo rıgidorueda sin deslizar sobre una superficie si los puntos del solido en contacto con la superficietienen velocidad nula respecto al referencial S solidario a la superficie. En este caso el ejeinstantaneo de rotacion en el referencial S existe, pasa por dichos puntos y es paralelo a lavelocidad angular del rıgido respecto a S.

Ejemplo 8.6.

En este ejemplo se halla el eje instantaneo de rotacion y la velocidad angular de un aro


que, manteniendose siempre en un plano vertical, rueda sin deslizar sobre una superficiehorizontal (plano xy) mientras gira alrededor de un eje vertical (el eje z).

El aro es homogeneo, de radio R, masa M y posee unavarilla sin masa en uno de sus diametros. Otra varilla sinmasa de longitud l y siempre horizontal une el centro C delaro con un punto P del eje z, ver figura a la derecha. El puntoQ denota al punto del aro que hace contacto con el planohorizontal. La base B = uρ, uϕ, uz es la base de coordenadascilındricas en el punto Q. Llamaremos S al referencial en elcual estan fijos los ejes cartesianos y la superficie horizontal.Al referencial solidario al aro lo llamaremos S ′.

R

R

x

y

z

ϕ

P

C

Q uρ

uϕ

Notese que los puntos P y Q estan fijos en S y en S ′ en consecuencia el eje instantaneode rotacion del aro (en el referencial S) es aquel que pasa por ambos puntos. Un vectorunitario paralelo a este eje es

u =1√

l2 + R2(−l uρ + R uz) . (8.96)

A continuacion deseamos obtener la velocidad angular del aro en la base B y en funcionde ϕ. Como la velocidad angular es paralela al eje instantaneo de rotacion se cumple queW = Wu, y para hallar W en funcion de ϕ usaremos la propiedad 3 tomando como puntofijo el centro C, esto es, VC |S = W × RC = W × rC,Q. Donde usamos que (RC − rC,Q) esun vector paralelo a W . Por otro lado VC |S = l ϕ uϕ, luego

l ϕ uϕ =W√

l2 + R2(−l uρ + R uz) × (Ruz) =

W l R√l2 + R2

uϕ ⇒ W =

√l2 + R2

Rϕ

y en consecuencia

W =ϕ

R(−l uρ + R uz) . (8.97)

8.6 Momento angular de un cuerpo rıgido.

Sea S un sistema de referencia arbitrario (inercial o no) y S ′ el referencial movil o solidarioal cuerpo rıgido. El momento angular del solido rıgido respecto a un punto Q es

LQ|S ≡ LQ ≡∑

α

mα(rα − rQ) × d

dt(rα − rQ)

∣∣∣∣∣S

. (8.98)

Escogeremos al punto Q fijo en S ′ y escribiremos el momento angular en terminos del tensorde inercia y de la velocidad angular del cuerpo rıgido W = WS′|S. Partamos de la relacion

d

dt(rα − rQ)

∣∣∣∣S

=d

dt(rα − rQ)

∣∣∣∣S′

+ W × (rα − rQ) = W × rα,Q ,

donde rα,Q ≡ rα − rQ, luego

LQ =∑

α

mαrαQ × (W × rαQ)

y usando la identidad vectorial

rα,Q × (W × rα,Q) = |rα,Q|2 W − (rα,Q · W ) rα,Q

se obtiene

LQ =∑

α

mα [ < rα,Q | rαQ > W− < rα,Q | W > rα,Q ]

=∑

α

mα

[< rα,Q | rα,Q > 1| − | rα,Q >< rα,Q | ]

W .

Finalmente, de la definicion del tensor de inercia (8.68), llegamos a

| LQ > = IQ | W > con Q solidario al rıgido . (8.99)

La ecuacion anterior escrita en componentes o en forma matricial, en alguna base arbi-traria, toma las forma

LQi = IQijWj o

L1

L2

L3

=

I11 I12 I13

I12 I22 I23

I13 I23 I33

W1

W2

W3

. (8.100)

Estas expresiones se pueden simplificar si se utiliza una base principal, sea B = e1, e2, e3una base principal y ortonormal en el punto Q tal que

IQ =∑

i

Ii | ei >< ei | y | W >=∑

i

Wi | ei >

entonces obtenemos la siguiente expresion sencilla para la relacion entre LQ y W

| LQ >=∑

i

IiWi | ei > . (8.101)

El lector puede observar que los vectores LQ y W no necesariamente son paralelos. Estosvectores seran paralelos si y solo si la direccion del vector velocidad angular es una direccionprincipal de inercia en Q.


Ejemplo 8.7.

A continuacion hallaremos, para el aro del problema (8.6), el momento angular respecto alcentro de masa del aro en el referencial S.

En primer lugar necesitamos el tensor de inercia del aro en su centro de masa (punto C).El aro es un solido de revolucion con un eje de simetrıa que pasa por C y es perpendicular alaro. Este eje es por tanto un eje principal y cualquier eje que sea perpendicular a el y pasepor C tambien es un eje principal en el punto C. Por simetrıa todos los ejes en el plano delaro y que pasan por C tienen el mismo momento de inercia I, en otras palabras tenemosuna peonza simetrica y la base B = uρ, uϕ, uz es una base propia de IC ,

IC | uρ >= IC,ρ | uρ > , IC | uϕ >= I | uϕ > , IC | uz >= I | uz > . (8.102)

Donde IC,ρ es el momento de inercia respecto al eje perpendicular al aro y que pasa por C.De su definicion es inmediato encontrar que este momento vale

IC,ρ = MR2 . (8.103)

Para determinar el momento I se puede utilizar el teorema de la figura plana encontrandoseque

I =1

2MR2 . (8.104)

Usando (8.97) se obtiene finalmente el momento angular del aro respecto a su centro, enel referencial S y expresado en la base B,

LC = IQ W =ϕ

R(−l IC,ρ uρ + R I uz) = MR ϕ

(−l uρ +

R

2uz

). (8.105)

Notese que los vectores LC y W no son paralelos.

8.7 Ecuaciones de Euler.

En esta seccion usaremos el formalismo Newtoniano para hallar las ecuaciones dinamicasque rigen la rotacion de un cuerpo rıgido. Al final escribiremos las ecuaciones de Euler parala rotacion de un rıgido.

El movimiento de traslacion (o la traslacion del centro de masa) de cualquier sistema departıculas esta gobernado por la ecuacion

F Ext = Macm . (8.106)

Esta ecuacion solo da cuenta de los grados de libertad de traslacion que tiene un solido rıgido.Los restantes grados de libertad estan relacionados con la rotacion del rıgido. Veremos acontinuacion que la evolucion de estos grados de libertad se puede obtener de la relacionentre el torque y el momento angular para un sistema de partıculas.

Para comenzar supondremos que los cuerpos rıgidos satis-facen la version restringida de la tercera ley de Newton, i.e.,suponemos que las fuerzas internas entre las partıculas sonparalelas a las lıneas de union entre ellas.

m1 m2

F1,2 F2,1

Como vimos en el capıtulo de sistemas de partıculas esto significa que en un referencialinercial S el torque y el momento angular del sistema o cuerpo rıgido, respecto a un puntoQ, satisfacen las ecuaciones

NQ ≡∑

α

(rα − rQ) × Fα =∑

α

(rα − rQ) × F Extα ≡ NExt

Q , (8.107)

d

dtLQ

∣∣∣∣S

= NExtQ − M(rcm − rQ) × rQ|S . (8.108)

Simplificaremos esta ultima ecuacion escogiendo que el punto Q sea el centro de masa o unpunto en reposo en algun referencial inercial,

NExtQ =

d

dtLQ

∣∣∣∣S

con Q el centro de masao un punto fijo en S.

(8.109)

Para aprovechar la relacion entre el momento angular y la velocidad angular, la mayorıa delas veces, convendra trabajar con una base fija en el referencial S ′ y un punto Q solidarioal rıgido ya que de esta manera los elementos de la matriz de inercia son constantes. Cam-biemos entonces la derivada temporal en la ecuacion anterior por una derivada temporal enel referencial movil,

NExtQ =

d

dtLQ

∣∣∣∣S

=d

dtLQ

∣∣∣∣S′

+ W × LQ .

Luego la ecuacion vectorial que rige la dinamica rotacional de un cuerpo rıgido es

NExtQ =

d

dtLQ

∣∣∣∣S′

+ W × LQcon Q el centro de masao un punto fijo en S y S ′.

(8.110)

Para tratar con la ultima ecuacion en componentes la proyectaremos en una base movilB = e1, e2, e3 fija en S ′. Si definimos

Ni = NExtQ · ei , Li = LQ · ei , Wi = W · ei , Iij =< ei | IQ | ej >


la ecuacion (8.110) en componentes toma la forma

Ni = Li +∑j,k

εijkWjLk

y usando (8.99) en componentes, Li =∑

n IinWn, se obtiene el sistema de ecuaciones dife-renciales para las componentes de la velocidad angular o ecuaciones de movimiento para ladinamica rotacional del cuerpo rıgido,

Ni =∑

n

IinWn +∑j,k,n

εijkWjIknWn . (8.111)

A su vez estas ecuaciones se simplifican mucho si la base movil B es una base principalde inercia en el punto Q, Iij = Iiδij, en este caso las ecuaciones resultantes se denominanecuaciones de Euler y toman la forma

Ni = IiWi +∑j,k

εijkIkWjWk (Base movil principal en Q) , (8.112)

o en notacion no compacta:IxWx + (Iz − Iy)WyWz = Nx

IyWy + (Ix − Iz)WxWz = Ny

IzWz + (Iy − Ix)WyWx = Nz

(8.113)

Recuerdese que las ecuaciones de Euler son ecuaciones diferenciales para las componentes dela velocidad angular en una base principal solidaria al cuerpo.

8.8 Ejemplo: el girocompas.

El girocompas, mostrado a la derecha, es un instrumentopara determinar el norte geografico (no magnetico) de laTierra. Aquı usaremos algunas de las ideas desarrolladasen las secciones anteriores para estudiar una version sim-plificada del mismo. El girocampas posee un disco que,solidario a un eje horizontal, gira con respecto a un so-porte; a su vez el soporte puede girar libremente sobre sueje vertical. Llamaremos Wd a la velocidad angular deldisco respecto al soporte y supondremos que se mantieneconstante por un mecanismo en las paredes del soporte.

disco eje del disco

soporte

eje delsoporte

θ

Wdu1

Tambien supondremos que el soporte y los ejes son de masa despreciable comparada conla masa del disco. El eje que pasa por el centro de masa del disco y tiene direccion u1 es


un eje de simetrıa y por lo tanto es un eje principal de inercia, llamaremos I1 al momentocorrespondiente. Las direcciones principales de inercia, en el centro de masa, perpendicularesa u1 estan degeneradas, llamaremos I a su momento de inercia.

Colocaremos el girocompas en un punto p de latitud α sobre la superficie de la Tierra,en ese punto seleccionamos el origen de un sistema de coordenadas solidario a la Tierra cuyabase es

BT = uT1 , uT2 , uT3 , (8.114)

esta base esta orientada segun las direcciones cardinales y hacia arriba como se muestra enlas figuras siguientes.

uT1

uT2

uT3

ΩT

α

u

p

N

S

EO

uT1

uT2

uT3

(Vista desde arriba)

Supondremos que el centro de la Tierra esta en reposo en un sistema de referencia inercial Sy llamaremos ΩT = ΩT u a la velocidad angular con la cual gira la Tierra sobre su eje segunS. El vector ΩT en la base BT toma la forma

ΩT = ΩT u = ΩT [cosα uT1 + senα uT3 ] . (8.115)

El eje de simetrıa del girocompas es horizontal en el puntop, esto significa que se encuentra en el plano uT1 , uT2, lla-maremos θ al angulo entre el eje de simetrıa y uT1 . Definimosla base

B = u1, u2, uT3como se indica en la figura a la derecha. Esta base es solidariaal soporte del girocompas y es una base principal de inerciaen el centro de masa del disco.

N

S

EO

uT1

uT2

uT3

u1

u2

θ

La velocidad angular de la base B respecto a BT es WB|BT= θuT3 y respecto al obser-

vador inercial es WB = WB|BT+ ΩT que puede expresarse en ambas bases como:

WB = ΩTcosα uT1 + (θ + ΩTsenα )uT3

= ΩTcosα cosθ u1 − ΩTcosα senθ u2 + (θ + ΩTsenα ) uT3 (8.116)

ya que uT1 = cosθ u1 − senθ u2. Por otro lado la velocidad angular del disco en el referencialinercial es W = WB + Wd u1 y su expresion en la base B es


W = (ΩTcosα cosθ + Wd) u1 − ΩTcosα senθ u2 + (θ + ΩTsenα ) uT3 . (8.117)

El momentum angular del girocompas es el momentum angular del disco (el resto tiene masadespreciable) y, de acuerdo a la ecuacion anterior, es igual a

Lcm = Icm |W >=

I1(ΩTcosα cosθ + Wd) u1 − IΩTcosα senθ u2 + I(θ + ΩTsenα ) uT3 . (8.118)

Para estudiar el movimiento de rotacion del girocampas partiremos de la ecuacion (8.109)tomando como el punto Q el centro de masa del disco,

N extcm =

d

dtLcm

∣∣∣∣S

=d

dtLcm

∣∣∣∣B

+ WB × Lcm , (8.119)

no usaremos las ecuaciones de Euler (8.113) ya que en este ejemplo preferimos usar la baseB en lugar de una base solidaria al disco. La ecuacion anterior expresada como componentesen la base B toma la forma

Ni = Li + εijkWBjLk . (8.120)

El torque del peso, respecto al centro de masa, es nulo y el de las otras fuerzas, que actuansobre el eje del soporte, no tiene componente en la direccion uT3 . Luego N3 = 0 y de (8.120)tenemos entonces

0 = L3 + ε3jkWBjLk = L3 + WB1L2 − WB2L1

= Iθ + (ΩTcosα cosθ )(−IΩTcosα senθ ) − (−ΩTcosα senθ )(ΩTcosα cosθ + Wd)I1

= Iθ + ΩTcosα senθ [ΩTcosα cosθ (−I + I1) + I1Wd] ,

supondremos que Wd es muy grande comparada con la velocidad angular de rotacion de laTierra, i.e.,

I1Wd |ΩTcosα cosθ (−I + I1)|luego

θ +

(I1

IΩTWd cosα

)senθ ≈ 0 . (8.121)

La ecuacion anterior, para pequenos angulos θ, muestra que el eje de simetrıa del disco oscilaalrededor del norte geografico con una frecuencia

Wosc =√

(I1/I)ΩTWd cosα . (8.122)

La frecuencia de la oscilacion varıa con la latitud: en el Ecuador es mayor, y disminuye hacialos Polos.


8.9 Angulos de Euler.

Dado un sistema de ejes cartesianos xyz podemos definirla orientacion de otro x′y′z′ dando tres angulos. Existenmuchas formas de definir estos angulos, pero habitualmenteen mecanica se escogen los angulos de Euler ϕ, θ y ψ que yadefiniremos. Notese que el plano x′y′ corta al plano xy en unalınea recta que llamaremos lınea nodal, esta lınea es perpen-dicular a los ejes z y z′. Definimos el vector nodal n como unvector paralelo a la lınea nodal dado por x

y

z

x′

y′

z′

n

n = uz × u′z / |uz × u′

z| , (8.123)

observese que el vector n pertenece tanto al plano xy como al x′y′.

Los angulos de Euler ϕ, θ, ψ se muestran en el proximo dibujo y se definen por:

ϕ = angulo entre ux y n θ = angulo entre uz y u′z ψ = angulo entre n y u′

x (8.124)

ϕ ∈ [0, 2π) θ ∈ [0, π] ψ ∈ [0, 2π)

Estos angulos se definen de forma tal que al aplicar tres rotaciones sucesivas a los ejes (odirecciones) xyz se obtengan los ejes x′y′z′, las rotaciones y el orden en el cual se realizan semuestran a continuacion:

1) Rotacion alrededor de z de angulo ϕ, Ruz(ϕ).

2) Rotacion alrededor de n de angulo θ, Rn(θ).

3) Rotacion alrededor de z′ de angulo ψ, Ru′z(ψ).

Todas las rotaciones son positivas, i.e., se hacen enel sentido antihorario en el plano perpendicular al ejede rotacion y cuando se ve a este emerger de dichoplano.

x

y

z

x′

y′

z′

n

1

1

ϕ

2

2

θ

3

3

ψ

planoxy

plano x′y′

El producto de estas tres rotaciones,

R(ϕ, θ, ψ) ≡ Ru′z(ψ)Rn(θ)Ruz(ϕ) , (8.125)

transforma la base B = ux, uy, uz en la base B′ = u′x, u

′y, u

′z, esto es

u′i = R(ϕ, θ, ψ) ui = Ru′

z(ψ)Rn(θ)Ruz(ϕ) ui i ∈ 1, 2, 3 . (8.126)


Por construccion es claro que existe una correspondencia biunıvoca entre los angulos deEuler y los sistemas de ejes rotados. Ahora deseamos hallar la representacion matricial deR(ϕ, θ, ψ) en la base B; no lo haremos multiplicando las expresiones matriciales en la base Bde las tres matrices en (8.125) porque las mismas son un tanto aparatosas. Lo que haremossera descomponer la rotacion pasiva correspondiente en tres rotaciones pasivas sucesivas yusar las expresiones (8.42), dado un vector r =

∑i xi ui =

∑i x

′i u

′i se cumple que

x′

y′

z′

= (RT (ϕ, θ, ψ))B

xyz

= RT3 (ψ)RT

1 (θ)RT3 (ϕ)

xyz

(8.127)

=

cosψ senψ 0−senψ cosψ 0

0 0 1

1 0 00 cosθ senθ0 −senθ cosθ

cosϕ senϕ 0−senϕ cosϕ 0

0 0 1

xyz

.

El lector debe notar que las matrices RT3 (ψ), RT

1 (θ), RT3 (ϕ) en la expresion anterior corres-

ponden a representaciones de rotaciones cada una de ellas en una base distinta. RT3 (ϕ) se

encuentra en la base B, RT1 (θ) en la base obtenida luego de la primera rotacion y RT

3 (ψ) enla siguiente. Finalmente al multiplicar las tres matrices obtenemos la expresion buscada:

(RT (ϕ, θ, ψ))

B=+cosϕ cosψ − senϕ cosθ senψ +senϕ cosψ + cosϕ cosθ senψ senθ senψ

−cosϕ senψ − senϕ cosθ cosψ −senϕ senψ + cosϕ cosθ cosψ senθ cosψsenϕ senθ −cosϕ senθ cosθ

(8.128)

Si los angulos de Euler varıan en el tiempo los dos sistemas de ejes rotan uno respecto alotro, deseamos determinar la velocidad angular relativa entre ellos en funcion de los angulosde Euler. Llamaremos S al referencial en el cual la base B esta fija y S ′ aquel en el cualB′ esta en reposo, para hallar WS′|S conviene introducir otros dos referenciales de apoyo:en el referencial S2 estan fijas las direcciones n, u′

z y en el S1 las direcciones n, uz. Esinmediato que

WS′|S2 = ψ u′z , WS2|S1 = θ n y WS1|S = ϕ uz ,

y al substituir en WS′|S = WS′|S2 + WS2|S1 + WS1|S se obtiene

WS′|S = ϕ uz + θ n + ψ u′z (8.129)

Para futuras referencias expresaremos esta velocidad en los dos sistemas de vectores unitarios:

WS′|S = ux [θ cosϕ + ψ senθ senϕ] + uy [θ senϕ − ψ senθ cosϕ] + uz [ϕ + ψ cosθ] (8.130)

WS′|S = u′x [θ cosψ + ϕ senθ senψ] + u′

y [ϕ senθ cosψ − θ senψ] + u′z [ψ + ϕ cosθ] . (8.131)

Ejemplo 8.8.

Para un cuerpo rıgido arbitrario expresemos la energıa cinetica de rotacion en funcion de losangulos de Euler.

Tomemos el referencial S ′ solidario al cuerpo y las direcciones u′x, u

′y, u

′z coincidiendo

con las direcciones principales de inercia en un punto Q, llamemos I1, I2, I3 a los momentosde inercia correspondientes y W a la velocidad angular del cuerpo rıgido en S. Se cumpleentonces que

TQ ≡ 1

2< W | IQ | W >

=I1

2[θ cosψ + ϕ senθ senψ]2 +

I2

2[ϕ senθ cosψ − θ senψ]2 +

I3

2[ψ + ϕ cosθ]2 . (8.132)

Para el caso particular de una peonza simetrica (I1 = I2 = I3) se obtiene

TQ =1

2I1[θ

2 + ϕ2sen2θ] +1

2I3[ψ + ϕ cosθ]2 (8.133)

8.10 Rotacion libre de torques de un cuerpo rıgido.

Aquı estudiaremos algunas caracterısticas del momento angular de un cuerpo rıgido querota sin torques respecto a algun punto Q, este punto debe ser el centro de masa o algunpunto solidario al rıgido que este en reposo en un referencial inercial. Estamos interesadosen determinar las direcciones de equilibrio del momento angular y la estabilidad de esasdirecciones.

Como es usual llamaremos S a un sistema de referencia inercial, S ′ al sistema solidario alcuerpo rıgido y W = WS′|S a la velocidad angular del cuerpo rıgido en el referencial inercial.Consideremos un punto Q solidario al rıgido que o es el centro de masa o se trata de unpunto que tambien esta en reposo en S. Supondremos que el torque neto respecto al puntoQ es nulo luego

d

dtLQ

∣∣∣∣S

= NQ = 0 . (8.134)

Sea B = e1, e2, e3 una base ortonormal, principal de inercia en el punto Q cuyos momen-tos principales de inercia son (I1, I2, I3). Denominaremos (W1,W2,W3) y (L1, L2, L3) a lascomponentes en la base B de W y LQ respectivamente. Luego

IQ =∑

i

Ii | ei >< ei | , (8.135)

LQ = IQW =∑

i

IiWiei . (8.136)

Por lo tantoLi = IiWi . (8.137)

Como ejemplos de cuerpos rıgidos libres de torque en un punto pueden considerarserıgidos arbitrarios sometidos unicamente a la fuerza de gravedad o trompos simetricos quegiran manteniendose siempre verticales y con la puntas fijas.

A continuacion demostraremos que en el referencial S ′ existen direcciones de equilibriopara LQ, esto es, direcciones para las cuales si inicialmente LQ es paralelo se mantendraparalelo. De (8.134) se sigue que

0 =d

dtLQ

∣∣∣∣S

⇒ LQ es constante en S . (8.138)

Esta ecuacion en el referencial movil toma la forma

d

dtLQ

∣∣∣∣S′

+ W × LQ = 0 , (8.139)

si ella se expresa en la base B se obtienen las ecuaciones de Euler con torque nulo y siademas se usa (8.137) se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales para lascomponentes del momento angular

Li =∑j,k

εijkLjLk

Ik

. (8.140)

Las ecuaciones (8.136) y (8.139) conducen a las siguientes afirmaciones

LQ es fijo en S ′ ⇔ d

dtLQ

∣∣∣∣S′

= 0 ⇔ W × LQ = 0

⇔ W y LQ son paralelos ⇔ LQ = I W

⇔ W es una direccion principal de inercia en el punto Q . (8.141)

En consecuencia si en un instante dado la direccion de LQ es la de un eje principal de inerciaen Q entonces segun el referencial S ′ se mantendra esa direccion todo el tiempo y se cumpliraque

d

dtW

∣∣∣∣S′

=d

dtW

∣∣∣∣S

= 0 . (8.142)

Si la direccion inicial no es la de un eje principal entonces LQ no sera constante en S ′, en esteultimo caso la direccion de W variara segun S y el movimiento del rıgido puede verse untanto complicado. Las direcciones principales de inercia son “puntos fijos” en el espacio detodas las direcciones posibles de velocidad angular (o de momentum angular) en el sentidode que si W (o L) tiene alguna de esas direcciones la mantendra en el tiempo segun S ′.

Para el problema que estamos estudiando hay dos constantes de movimiento, relacionadascon el momento angular, que resultaran de mucha utilidad . La primera, debido a (8.138),es

L2 ≡ LQ · LQ = cte . (8.143)

La segunda cantidad, que ya demostraremos que es constante, es

TQ ≡ 1

2< W | IQ | W >=

1

2

∑i

W 2i Ii = cte . (8.144)

Si Q es el centro de masa entonces TQ es la energıa cinetica de rotacion, pero si Q es un puntofijo en S y en S ′ entonces TQ es la energıa cinetica total del cuerpo rıgido. Para demostrarque TQ es constante usaremos (8.136) y (8.139),

dTQ

dt=

d

dt

(1

2

∑i

W 2i Ii

)=

∑i

WiWiIi = W ·(

dL

dt

∣∣∣∣S′

)= 0 .

De estas dos constantes de movimiento y usando (8.137) se obtiene el siguiente sistemade ecuaciones para las componentes del momentum angular

L2 = L21 + L2

2 + L23 , (8.145a)

1 =L2

1

2TQI1

+L2

2

2TQI2

+L2

3

2TQI3

. (8.145b)

En el espacio tridimensional de todos los vectores LQ laprimera ecuacion representa una esfera de radio L concentro en LQ = 0 y la segunda ecuacion representa unelipsoide llamado elipsoide de energıa cinetica. El vectorLQ vive en la interseccion de las dos superficies, en eldibujo a la derecha se muestran las dos superficies yla interseccion de las mismas se encuentra destacada acolor.

Es claro que su modulo L esta acotado tanto por arriba como por abajo,

Lmin ≤ L ≤ Lmax (8.146)

con

Lmin =√

2TQ minI1, I2, I3 y Lmax =√

2TQ maxI1, I2, I3 . (8.147)


Para estudiar la estabilidad de las direcciones principales de inercia en Q trataremos apartir de ahora solamente con el caso particular de la peonza asimetrica. Supondremos queel cuerpo rıgido cumple

I1 > I2 > I3 , (8.148)

luegoLmin =

√2TQ I3 y Lmax =

√2TQ I1 . (8.149)

A continuacion probaremos el siguiente teorema:

Teorema 1: Las direcciones principales de inercia en Q, e1, e3 son deequilibrio estable y la direccion e2 es de equilibrio inestable.

Comencemos probando que la direccion e1 es de equilibrio estable. Combinando las dosecuaciones (8.145) para eliminar L1 se obtiene

L22

(I1 − I2

I2

)+ L2

3

(I1 − I3

I3

)= ε2L2

max , (8.150)

donde se ha definido

ε ≡√

L2max − L2

L2max

= constante (8.151)

que satisface 0 ≤ ε ≤ 1. La ecuacion (8.150) muestra que los valores L2, L3 describen unaelipse y esta ecuacion es claro que

L22 ≤

(I2

I1 − I2

)ε2L2

max y L23 ≤

(I3

I1 − I3

)ε2L2

max . (8.152)

Supongamos ahora que el cuerpo rıgido tiene momento angular en la direccion e1 y se per-turba ligeramente, en este caso tenemos que ε 1 y veamos que en el transcurso del tiempoel momento angular se mantiene variando en un entorno de la direccion de equilibrio. De(8.152) se sigue que L2 = O(ε) y L3 = O(ε) y usando (8.151) se obtiene

L1 =√

L2 − L22 − L2

3 =√

L2max(1 − ε2) − L2

2 − L23 = Lmax + O(ε2) , (8.153)

luego L1 = O(ε2). Por otro lado de (8.140) se obtienen las ecuaciones de evolucion para L2

y L3,

L2 = L1L3

(1

I1

− 1

I3

)= −L1L3

(I1 − I3

I1I3

)= −Lmax

(I1 − I3

I1I3

)L3 + O(ε3)

L3 = L1L2

(1

I2

− 1

I1

)= +L1L2

(I1 − I2

I1I2

)= +Lmax

(I1 − I2

I1I2

)L2 + O(ε3) .

Derivando estas ecuaciones respecto al tiempo es inmediato desacoplarlas obteniendose

L2 = −L2max

I21

(I1 − I3

I3

)(I1 − I2

I2

)L2 + O(ε3) (8.154)

L3 = −L2max

I21

(I1 − I3

I3

)(I1 − I2

I2

)L3 + O(ε3) . (8.155)


De donde es claro que L2 y L3 oscilan alrededor de la posicion de equilibrio estable L2 =L3 = 0 con frecuencia

Wosc,1 =Lmax

I1

√(I1 − I3)(I1 − I2)

I2I3

. (8.156)

Una situacion similar se obtiene si consideramos una perturbacion alrededor de e3 siendoen este caso

Wosc,3 =Lmin

I3

√(I1 − I3)(I2 − I3)

I1I2

(8.157)

la frecuencia de oscilacion de L1 y L2 alrededor de la posicion de equilibrio estable L1 =L2 = 0. Dejaremos al lector su demostracion.

Veamos ahora que la direccion de equilibrio e2 es inestable. De (8.145) se puede eliminarL2 para obtener

L21

(I2 − I1

I1

)+ L2

3

(I2 − I3

I3

)= 2TI2 − L2 = constante . (8.158)

En esta ecuacion, el coeficiente de L21 es negativo y el de L2

3 es positivo, de modo que L1 yL3 ya no estan sobre una elipse. Aun cuando partamos de valores de L1 y L3 cercanos a cero(la direccion de equilibrio) la interseccion ente la esfera y el elipsoide puede ocurrir para L1

y L3 lejos de cero y el momento angular no se queda con valores en un entorno de Le2, estosignifica que se trata de una direccion de equilibrio inestable.

Como un ejemplo de una peonza asimetrica se tienela raqueta de tenis mostrada en la figura a la derecha.Sus momentos principales de inercia en el centro de masasatisfacen

I1 = I2 + I3 ; I1 > I2 > I3 .

Si arrojamos la raqueta de tenis girando ya sea alrededorde los ejes #1 o #3 la raqueta seguira girando en tornoa esos ejes.

e1

e3

e2

ejes estables

eje inestable

Sin embargo si lanzamos la raqueta girando inicialmente alrededor del eje #2 cualquierperturbacion hara que la direccion de la velocidad angular cambie drasticamente respecto ala raqueta. Debido a este ejemplo algunas personas gustan llamar al teorema que acabamosde demostrar el teorema de la raqueta de tenis.

tema08.pdf

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