tema iv v aplicacion de la integral y coordenadas polares uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 71, 76 MATEMÁTICA II

TEMA III-IV: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES Y COORDENADAS

POLARES

CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE GRÁFICAS DE FUNCIONES1

Consideremos las curvas )( )( xgyyxfy con ambas funciones sobre el intervalo

.bxa Ellas determinan la región que se muestra a continuación:

Y )(xgy

)(xfy

a b X

Observa que )( )( xgyxf son funciones continuas en el intervalo cerrado ba , . El área

de )(xf en el intervalo ba , está dada por dxxfb

a

)( . Si g es otra función y )()( xgxf

para toda x en ba , , entonces el área A de la región acotada por las gráficas de

)( )( xgyxf , bxyax , está dada por

dxxgxfdxxgdxxfAb

a

b

a

b

a

)()( )( )(

Es importante que conozcas que para encontrar los puntos de intersección, estos se

calculan resolviendo simultáneamente las ecuaciones; es decir se igualan las dos funciones

y se resuelven éstas, encontrando los límites de integración.

1 Purcell, Edwin, J. Varberg, Dale. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p. 284-287.

TEMA II: INTEGRALES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA II

Observa como se calcula el área entre dos curvas en el siguiente ejemplo: Encontraremos el

área de la región acotada por las gráficas 62 xy y 032 xy y realizaremos la

gráfica.

PASO 1: Una forma de encontrar los límites de integración es realizando la gráfica. La otra

forma es igualando las dos funciones. Para este ejemplo, encontraremos los límites de

integración de las dos formas.

Sea 62 xy Ecuación (1)

032 xy Ecuación (2)

Despejando “y” de la ecuación (1) y (2), tenemos que:

De la ecuación (1)

62 xy Ecuación (3)

De la ecuación (2)

32 xy Ecuación (4)

Igualando las ecuaciones (3) y (4), se tiene:

0632

326

2

2

xx

xx

0322 xx

TEMA II: INTEGRALES


Factorizando esta ecuación:

0)1)(3(322 xxxx

Igualando a cero cada factor:

3 03 xx

1 01 xx

Por lo tanto, los límites de integración es: 3 ,1

La otra forma es realizando la gráfica. De la ecuación (1) se despeja a la incógnita “y”, y se

elabora una tabla dando valores a “x” para encontrar el respectivo valor de “y”.

x 6 xy yx,

-3 -(-3)2 + 6 = -9 + 6 = - 3 (-3, -3)

-2 -(-2)2 + 6 = - 4+6 = 2 (-2, 2)

-1 -(-1)2 + 6 = -1 +6 = 5 (-1, 5)

0 -(0)2 + 6 = 6 (0, 6)

1 -(1)2 + 6 = -1 +6 = 5 (1, 5)

2 -(2)2 + 6 = - 4 +6 = 2 (2, 2)

3 -(3)2 + 6 = - 9 + 6 = - 3 (3, -3)

De la ecuación (2) se despeja la incógnita “y” y se elabora otra tabla dando valores a “x”

para encontrar su respectivo valor de “y”.

TEMA II: INTEGRALES


x 32 xy yx,

-3 -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 (-3, 9)

-2 -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7 (-2, 7)

-1 -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5 (-1, 5)

0 -2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 (0, 3)

1 -2(1) + 3 = - 2 + 3 = 1 (1, 1)

2 -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1 (2, -1)

3 -2(3) + 3 = -6 + 3 = -3 (3, -3)

PASO 2: Se realiza la gráfica con los valores obtenidos de las dos tablas.

y

32 xy

Como puedes observar en la gráfica los puntos donde se intersectan las dos gráficas son (-1,

5) y (3, -3), esto nos indica que 3 1 xyx son los límites de integración.

PASO 3: La gráfica que está por encima de la región es la que tiene por ecuación

62 xy , como se observa en la gráfica, y la que está por debajo del área a determinar

es la que tiene por ecuación 32 xy . Esto nos indica que el área A entre las curvas está

dada por la diferencia de las funciones, es decir, la ecuación 62 xy menos la

ecuación 32 xy , esto se representa por la integral siguiente:

dxxx 32623

1

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 2 4 x

(3, -3)

(-1, 5) 62 xy

TEMA II: INTEGRALES


PASO 4: Se calcula la integral anterior.

2

23

23

3

1

23

23

1

23

1

3

32

3

111 31

3

19

313

1999

19(3)1(3

)1(333

3

)3(

32

2

3

)32( 326

u

xxx

dxxxdxxx

Por lo tanto el área es: 2

3

32uA

Ejercita tus conocimientos y calcula el área entre las curvas de las siguientes funciones:

22)( xxxf y 4)( xxg , realiza las gráficas correspondientes.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN.

Si una región plana situada completamente a un lado de una línea fija en su plano, gira

alrededor de ésta, entonces se genera un Sólido de revolución. La recta fija se llama eje del

sólido de revolución. Por lo tanto el volumen del sólido de revolución se define de la

siguiente manera:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado ba , y sea R la región acotada por la

gráfica de f, el eje “x” y las rectas x=a y x=b. El volumen V del sólido de revolución

generado al girar R alrededor del eje “x” es:

dxxfVb

a

2 )(

TEMA II: INTEGRALES


Para calcular el volumen de un sólido revisa con atención el siguiente ejemplo:

Sea 1)( 2 xxf , observa como se calcula el volumen del sólido de revolución generado

al girar la región bajo la gráfica de f(x) con x = -1 y x = 1 alrededor del eje “x”.

PASO 1: Se gráfica la función 1)( 2 xxf , en el intervalo que se indica.

y

x

PASO 2: Se aplica la fórmula para encontrar el volumen, en el intervalo 1 ,1 .

dxxxdxxV 12 1 241

1

21

1

PASO 3: Se integra y se evalúa dicha integral, obteniendo de esta manera el volumen del

sólido de revolución.

1

1

35

3

2

5

x

xxV

PASO 4: Se calcula la integral anterior.

1

-1

1)( 2 xxf

TEMA II: INTEGRALES


13

2

5

11

3

2

5

1

13

2

5

11

3

2

5

1

)1()1(3

2

5

)1()1(1

3

2

5

1 35

35

V

V

V

Por lo tanto el volumen del sólido de revolución es: 15

56V

Ejercita tus conocimientos y calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar

la región bajo la gráfica de 2)( xf , en el intervalo 3 ,0 . Realiza la gráfica.

EJERCICIOS:

1. Calcula el área entre las gráficas de las funciones que se indican y realiza la gráfica

correspondiente.

a) 42 )( ,2)( xxgxxxf

b) 5)( ,1)( 2 xgxxf

c) xxgxxf )( ,)( 2

2. Calcula el volumen generado por el sólido de revolución alrededor del eje “x”,

dado en cada una de las siguientes funciones, en el intervalo que se indica. Realiza

la gráfica correspondiente.

d) 2 ,0 )( xxf

e) 1 ,1 )( 2 ttg

f) 4 ,0 )( tth

g) 0 ,3 3 xy

TEMA II: INTEGRALES


TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta Respuesta correcta

a)

1 ,0 )( 2)( 42 xxgxxxf

2421

0

421

0

15

7 2 )(2 udxxxxdxxxx

y

b)

2 ,2 5)( 1)( 2 xgxxf

222

2

22

2

3

32 4 15 udxxdxx

y

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 1 2 3 4 x

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 3 x

TEMA II: INTEGRALES



c)

1 ,0 )( )( 2 xxgxxf

222

11

0

21

0

3

1 udxxxdxxx

y

d)

2 ,0 )( xxf

32

0

22

0

2 udxxdxxV

y

x

e)

1 ,1 )( 2 ttg

3221

1

5

2udttV

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x

TEMA II: INTEGRALES


y

19.

f)

4 ,0 )( tth 324

0

3

64udttV

g)

0 ,3 3 xy

320

3

93 udxxV

Sugerencias

Si te equivocaste en los reactivos del 1 al 6, revisa los ejercicios resueltos y consulta

el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p.

270-273.

-4

-2

0

2

4

-1 1 2 3 4 x

-4

-2

0

2

4

-4 -3 -2 -1 1 x

y

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1 x

y


TEMA II: INTEGRALES


Si te equivocaste en los reactivos del 7 al 13, revisa los ejercicios resueltos y

consulta el libro de Earl W. Swokowski. “Cálculo con Geometría Analítica”, p.p.

460-485.

Si te equivocaste en los reactivos del 14 al 20 revisas los ejercicios resueltos y

consulta el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e

Integral”, p.p. 281-301.

Recuerda que cuu

duln

SISTEMA DE COORDENADAS PLANO

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el

origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y

ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de

las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto

A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Coordenadas_cartesianas.png

TEMA II: INTEGRALES


COORDENADAS POLARES

Además de las coordenadas cartesianas existen otros sistemas de coordenadas en el plano,

uno de ellos se forma al considerar una semirrecta e (denominada eje polar y cuyo extremo

se llama polo y se denota con la letra O ) y una circunferencia con centro en el polo.

Para dar las coordenadas polares de un punto ,P se consideran la distancia del punto P al

extremo O y el ángulo que forma la semirrecta e con el segmento .OP

En este caso, la primera coordenada está en el intervalo ,0 mientras que la segunda en

el intervalo .2,0

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A COORDENADAS

POLARES Y VICEVERSA.

Se pueden transformar las coordenadas de un cierto sistema a otro sistema. Por ejemplo: si

,r son las coordenadas polares de un punto en el plano, sus correspondientes

coordenadas cartesianas (ejes perpendiculares) vienen dadas por las fórmulas:

.θen , y = r sθ x = r cos

TEMA II: INTEGRALES


Mientras que si yx, son las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, entonces las

coordenadas polares se obtienen a través de las fórmulas:

.,222

x

yarctgyxr

En la actualidad, con las calculadoras científicas se pueden obtener las coordenadas polares

de un punto conociendo las coordenadas cartesianas y viceversa.

En general un sistema de coordenadas en el espacio está definido por tres curvas o rectas

que se cortan en un único punto y unidades de medidas en cada una de estas.

Para calcular el ángulo yx, calculamos el arcotangente de a

b prescindiendo de los

signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

IV cuadrante elen ,360

0y 0 si,270

III cuadrante elen ,180

0y 0 si,180

II cuadrante elen ,180

0y 0 si,90

I cuadrante elen ,

0y 0 si,0

0

0

0

0

0

0

0

ba

ba

ba

ab

a

barctg

Ahora a cada punto P del espacio podemos asociar una terna de números reales

111 , z, yx y viceversa. Los números 11, yx y 1z se denominan coordenadas del punto .P

TEMA II: INTEGRALES


Los sistemas de coordenadas tienen distintas denominaciones. Los de uso más frecuente

son: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Ejemplo 1: Representar los puntos cuyas coordenadas polares son P1(2, 4

), P2(3, 6

), P3(-2, 6

)

Solución:

Ejemplo 2: Localizar los siguientes puntos en el plano polar: a) P(3 , 60º) , b) Q(-3, 240º) ,

c) R(-3, -120º) , d) S(3, -300º)

Solución:

a) P(3, 60º )

b) Q(-3, 240º)

TEMA II: INTEGRALES


c) R( -3, -120º)

d) S( 3, -300º)

Ejemplo 3: Hallar las coordenadas rectangulares de los puntos con coordenadas polares

P1(-2, 6

5 ) y P2(3, 3

4 ).

Solución:

Para P1(-2, 6

5 ), tenemos que x = r cos θ = – 2 cos 6

5= – 2 – (

23 ) = 3

y = r sen θ = – 2 sen 6

5 = – 2 (½ ) = –1, por tanto las coordenadas rectangulares del

punto son P1( 3 ,–1).

Para P2(3, 3

4 ), x = 3 cos 3

4 = 3 (–½) = –

3/2

Y = 3 sen 3

4 = 3 (–

23 ) = –

2

33, por tanto las coordenadas rectangulares del punto

son P2(– 3/2, –

2

33).

Para pasar de coordenadas cartesianas (x, y) a polares (r, θ) han de usarse las ecuaciones:

θ = anc tan x

y y r =

22 yx

Ejemplo 4: Dadas las coordenadas cartesianas del punto P(1, - 3 ) , determinar las

coordenadas polares del mismo.

TEMA II: INTEGRALES


Solución:

24312

22 yxr

θ = ang tan x

y = ang tan 3 = -60º por lo tanto las coordenadas polares del punto son

P(2,-60º ).

Ejercicios:

1. Pasar a coordenadas cartesianas los puntos del ejemplo 2.

2. A continuación se dan los puntos en coordenadas polares calcular sus coordenadas

cartesianas.

Coordenadas Polares Resp en Coordenadas Cartesiana

a) P(4, 6

3)

P(0, 4)

b) P(-1, 4

5) P(

22,

22 )

c) P(4, 3

) P(2, 32 )

d) P( 2 , 2,36º) P(-1,004; 0,996)

3. A continuación se proporcionan puntos en coordenadas cartesianas calcular sus

correspondientes en coordenadas polares.

Coordenadas Cartesianas Res Coordenadas Polares

a) P(1, 1) P( 4

,2

b) P(-3, 4) P(5, 2,214º )

c) P 3,3 P 4

5,6

d) P(4, 6) P( 22 , 0,983º)

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios

Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.

Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,

Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

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