Tema II Presentación 4 Autor: Dr. Mario Estévez Báez Diseño: Lic. José Mario Estévez Carrera.

Simplemente, para facilitar la explicación ulterior, vamos a recordar algunas propiedades de los números complejos, ya que para los cálculos del análisis espectral, la operación con números complejos facilita mucho, tanto la notación, como la ejecución de los cálculos asociados a la FFT. En la bibliografía básica del tema, el estudiante cuenta (en el material acerca del Análisis Espectral) con un breve recordatorio de la matemática de los números complejos, que recomendamos revisar a los estudiantes. Un número complejo, digamos Z, se puede escribir como se muestra en la lámina arriba a la izquierda, o sea, colocando dentro de paréntesis, dos valores separados por una coma. El primer valor representa al componente real y el segundo al componente imaginario del número complejo. Un número complejo, que tenga como valor “0” en el componente imaginario, es simplemente un número real, en tanto que un número complejo con valor “0” en su componente real, solo posee valor imaginario. La unidad de los números ima-ginarios se acostumbra representar por las letras “i” o “j” y corresponde como valor, a la raíz cuadrada de -1. En el diagrama a la derecha de la lámina, hemos representado en un sistema de coordenadas ortogonales, un número complejo que hemos denominado (a, b). Al ubicar los valores, a y b, se observa que se encuentran en un punto P que repre-senta al punto en el plano que ocupa el número complejo (a, b). Este punto recibe el nombre de afijo del número complejo. Existen numerosas maneras de representación matemática de los números complejos, como se muestra en la lista a la izquierda de la lámina. De ellas, recordemos la geométrica, que acabamos de explicar y más adelante analizaremos la representación módulo–argumental.

En la lámina mostramos a la izquierda alguitas reglas para las operaciones de suma, resta y multiplicación de números complejos. Detengámonos en la multiplicación de los números complejos. La multiplicación de los números (a, b) por (c, d), se calcula realizando operaciones de multiplicación, suma y resta. Digamos que el componente real del nuevo número complejo que resulta de la multiplicación, se obtendrá multipli-cando el componente real “a” del primer número, por el componente real “c” del segun-do número y restándolo de la múltiplicación del componente imaginario del primer nú-mero (“b”), por el componente imaginario del segundo número (d). El valor imaginario del nuevo número complejo se obtiene multiplicando el primer componente real (a) del primer número por el componente imaginario del segundo número (d) y sumándolo al producto del componente imaginario del primer número (b), por el componente real del segundo número (c). En el ejemplo de multiplicación de los números complejos (3, 5) y (2, 6) se pueden comprobar esos pasos, que recomendamos revisar bien, pues los utili-zaremos en las próximas láminas. Bajo el diagrama que representa geométricamente al número complejo (a, b), se muestran unas sencillas pero importantísimas expresiones que se derivan mediante la aplicación de criterios de geometría y trigonometría elemen-tales. Prestemos particular atención, a la propiedad que dice que el valor de ρ2 (Rho2), no es más que el llamado módulo del número complejo.

Arriba a la izquierda se muestra la expresión de análisis de la Transformada Dis-creta de Fourier, que ya hemos expuesto con anterioridad. El componente WT, que es un número complejo, se utiliza por comodidad en la expresión, para no poner todos los elementos que representa, y que no son más que el número e elevado al valor del expo-nente complejo negativo -i x (2 x π / T). X (n) y WT

kn son ambos números comple-jos, por lo cual podemos sustituirlos simbólicamente por nuestras letras: a, b, c y d, que ya vimos representaban a los valores reales e imaginarios de dos números complejos. En este caso, resulta sencillo darnos cuenta, que las operaciones de sumatoria de la ex-presión de la Transformada Discreta de Fourier, implican la suma de múltiples resulta-dos de multiplicaciones de números complejos. En la expresión B de la lámina hemos sustituido para facilidad del alumno los valores a, b, c y d por los valores concretos en la expresión de la transformada. Sin perder de vista lo que hemos planteado antes, pode-mos expresar, como se muestra en “C”, el resultado de la operación de multiplicación de un solo miembro de la sumatoria que resultaría necesario calcular. Perfectamente nos damos cuenta, que hay implicadas operaciones de multiplicación, sumas y restas. Cuan-do se hace un resumen muy general del número de operaciones que resulta necesario efectuar para una serie de valores, encontramos que al menos son 4T2 multiplicaciones y T(4T – 2) sumas. Es una cantidad inmensa de operaciones, lo que limitó extraordina-riamente el uso de la DFT para el análisis espectral. La solución la aportaron los llama-dos algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier o FFT (en lengua inglesa), el pri-mero de los cuales fue publicado en 1965 por Cooley y Tukey. Una restricción para facilitar los cálculos con muchos algoritmos de la FFT es que requieren usar muestras que sean potencias enteras de dos, tales como 64, 128, 256, 512, 1024, etc.

Tomaremos aquí, la secuencia de R-Rs que habíamos utilizado anteriormente y vamos a suponer que la misma ha sido obtenida mediante el muestreo de una serie ordi-nal de cardiointervalos R-R con una frecuencia de 1 Hz, o sea, con período de muestreo de 1000 ms. El intervalograma nos muestra la representación de la secuencia de valores de modo gráfico.

En la tabla que se muestra en la lámina, aparecen todos los pasos de las opera-ciones efectuadas mediante la aplicación del algoritmo de la FFT a los valores de la secuencia de la lámina anterior. En la columna 1 aparece el número de orden de los ítems de la serie que son 32, pero que mostramos hasta el 18vo ítem. En la columna 2, aparecen los valores correspondientes a la serie de cardiointervalos. Se ha denominado como RealEn, que significa valor del componente real de entrada. En la columna 3 apa-recen los componentes imaginarios correspondientes a los valores de la serie, que como está constituida por valores reales, poseen como valor imaginario “0”. En la columna 4, se enumeran los valores de las frecuencias discretas que serán analizadas, pero que en nuestro caso, en vez de iniciarlas con valor 1, la hemos iniciado con valor “0”. En la columna 5, se muestran los valores de las frecuencias discretas para las cuales se calcu-lan los indicadores cuantitativos. El primer valor correspondiente a la frecuencia discre-ta “0” no posee valor en la tabla y corresponde a la llamada frecuencia “0” o componen-te de DC de la secuencia. En la frecuencia discreta “1”, el valor es el que corresponde a la resolución del proceso que ya vimos en láminas anteriores cómo se calculaba y que recordemos ahora, es el cociente del valor 1 entre la duración en segundos de la secuen-cia. Los sucesivos valores de la frecuencia discreta, son múltiplos enteros de esa resolu-ción, o sea, la frecuencia discreta 2 será (2 x valor de resolución), la 3 será (3 x valor de resolución) y así sucesivamente. En la columna 6 se muestra el valor expresado como período del valor de cada frecuencia discreta y que naturalmente es submúltiplo entero del valor mayor que se obtiene para la frecuencia discreta 1. En las columnas 7 y 8 apa-recen los resultados de las operaciones realizadas por el algoritmo de la FFT. Podemos advertir que la cifra que se obtiene para la frecuencia discreta “0”, solo tiene un compo-nente real y es extraordinariamente superior a todos los valores obtenidos para las fre-cuencias discretas ulteriores.

Continuando con nuestra tabla, podemos ver que para cada frecuencia discreta la FFT produce un valor real y uno imaginario. El valor real y el imaginario los podemos homologar a nuestro simbólico número complejo (a, b). El valor a, siendo siempre el valor real, y el b, nuestro valor imaginario. Debemos prestar atención al hecho, de que a partir de la frecuencia discreta N / 2 o sea, 32 / 2 = 16 [y fíjense que decimos frecuen-cia discreta 16 (columna 4) y no número de orden 16 (columna 1)], los valores co-mienzan a repetirse y serán exactamente iguales a los de la primera mitad de la serie, solo que para el caso de los valores de los componentes imaginarios, el signo será opuesto al observado al de la primera mitad de la serie. Por ello, en nuestra tabla no se muestran los valores por encima de la frecuencia discreta 18. En la columna 9, se mues-tra un valor que corresponderá a la estimación de la densidad de potencia espectral para cada componente de frecuencia. Ello implica obtener la suma de los valores de los com-ponentes real e imaginario elevados al cuadrado, multiplicar por 2 ese resultado, ya que los valores de la serie tienen simetría en espejo y luego dividir ese valor por 32, que son el total de valores de la serie. Los valores de la columna 10, son similarmente calcula-dos, pero en vez de elevar al cuadrado los componentes real e imaginario, a estos valo-res se les extrae la raíz cuadrada. El resto de los cálculos es similar.

En los diagramas de la lámina, se muestran los resultados del proceso realizado para los valores de la densidad de potencia espectral. En la parte superior se ha emplea-do un diagrama utiliza líneas para unir los valores, en tanto en el inferior se han usado barras. Estas son las dos modalidades más frecuentes de representación de los espectro-gramas de la densidad espectral de potencia.

En la parte superior de la lámina se muestra un espectrograma de potencias es-pectrales, en tanto en la parte inferior, se muestra el espectrograma de amplitudes. Am-bos se corresponden a los cálculos que se describieron en la tabla que nos sirvió como ejemplo anteriormente.

Los dos espectrogramas que se muestran en la lámina corresponden al análisis de una misma secuencia de cardiointervalos R-R de 5 minutos de duración. En la parte superior aparece el espectrograma de potencia y en la inferior el de amplitud. Puede advertirse el realce de las frecuencias más altas respecto a las más lentas en este último tipo de diagrama.

Las dimensiones de los valores de los espectrogramas de potencia o amplitud es-tarán en dependencia de las dimensiones de los valores que se introdujeron a la entrada del proceso de la FFT. Si los valores introducidos fueron valores de período, la dimen-sión de los valores resultantes estarán dados en unidades de período elevados al cuadra-do. Es decir, si los valores de entrada fueron en milisegundos, los valores de la potencia espectral estarán en dimensiones de milisegundos elevados al cuadrado, lo cual se sim-boliza (ms2). Si los valores de entrada tienen dimensiones de frecuencia, por ejemplo, ciclos cardiacos por unidad de tiempo, la dimensión de los resultados de la potencia espectral poseerán una dimensión de (ciclos cardiacos por unidad de tiempo)2. Frecuen-temente, se pueden observar periodogramas con unidades logarítmicas expresadas en dimensiones logarítmicas naturales o vulgares (logems2/Hz o log10ms2/Hz) También es utilizado con frecuencia mostrar los valores en decibeles. Si preferimos unidades adimensionales para expresar la densidad espectral de potencia, simplemente bastaría dividir los valores de salida de la FFT por la media de los valores de entrada elevados al cuadrado o por la raíz cuadrada si lo que deseamos es la densidad de la amplitud espec-tral. En ambos casos, se obtendrán resultados adimensionales. Naturalmente que la mor-fología de los espectrogramas se modificará de acuerdo con los cálculos utilizados.

En la lámina se muestra un espectrograma de potencia representado con unida-des en decibeles en el eje de las ordenadas. Observe que tiende a enfatizar la importan-cia de las frecuencias discretas más altas y reducir la relevancia de las más bajas.

En la parte inicial de esta presentación y en otros momentos, hemos hablado de que los indicadores en el dominio del tiempo se expresan como valores con coordenadas de intensidad y tiempo, mientras que los indicadores en el dominio de la frecuencia se expresan como valores en coordenadas de intensidad, frecuencia y fase y en el desarro-llo del tema, ya hemos conocido la manera de calcular las coordenadas de intensidad (potencia o amplitudes) y frecuencia (frecuencias discretas). Los valores de la fase están dados por el ángulo que se crea entre el componente imaginario y el real y que se puede calcular por la expresión: ;a

bTanARC=ϕ es decir, el valor del arco cuya tangente

es igual al valor imaginario dividido por el real y correspondiente a cada frecuencia dis-creta. Se acostumbra representar los valores de fase de los componentes en el dominio de la frecuencia, expresando los valores angulares en radianes y entonces los límites habituales estarán, como lo muestra la primera expresión de la lámina, entre: -π / 2 hasta π / 2 radianes. El diagrama de fases mostrado en la parte superior derecha de la lámina corresponde a los valores de la primera mitad de la serie analizada en el recién presen-tado ejemplo. El resto de los valores no se presentan, ya que son simétricos. Ahora bien, otra manera de presentar en un diagrama, tanto los componente de intensidad, frecuen-cia y fase, sería ubicar en un plano ortogonal los valores correspondientes a la parte real e imaginaria haciéndolos corresponder a un punto que como debemos recordar es el afijo de un número complejo y que se representa por la expresión (Rho x Phi) (ρφ), es decir, toma en cuenta el módulo y la fase de los números complejos de salida de la FFT para cada frecuencia discreta. Ese diagrama es el mostrado en la porción inferior iz-quierda de la lámina.

En la lámina se muestra un diagrama de afijos, que permite calcular el software SDSPlus, que se pone a disposición de los educandos y donde se representan los valores de los afijos, utilizando colores que corresponden a diferentes gamas de frecuencia que poseen una determinada relevancia clínico-fisiológica y que abordaremos en otra pre-sentación.

En la lámina se recoge, en los diferentes enunciados, lo que consideramos como resumen y conclusiones de esta presentación. El alumno debe revisar los materiales bi-bliográficos para dominar los conceptos que han sido expuestos en las presentaciones de este Tema, mostradas hasta el momento.