Tema: Funciones

Funciones

El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas. Intuitivamente, una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro conjunto (no necesariamente distinto). Si bien podemos definir funciones entre conjuntos cualesquiera, nos interesan las funciones de variable real.

Sean X, Y conjuntos, f es una función de X en Y si, y sólo si, para cada x X existe un único y Y tal que (x,y) f.

Si f es una función de X en Y, anotamos f : X Y ó

El conjunto X se llama dominio de f: Df

El conjunto Y es el codominio de f: Cf

Si (x,y) f, decimos que y es la imagen de x bajo f, y es la preimagen de x, lo que podemos denotar también como:

y = f(x) ó x f y

El conjunto de los elementos y Y que son imagen de algún x X, se llama recorrido de f: Rf. Nota que Rf Cf = YSi y = f(x), decimos que x es la variable independiente y que y es la variable dependiente.

Ejemplo:

1. Sea X el conjunto de hombres casados, Y el conjunto de mujeres en una determinada comunidad y f : X Y, “x está casado con y”. Si en la comunidad sólo está permitida la monogamia, esta relación es función, porque todos los hombres del conjunto X son casados y tienen una esposa única que está en el conjunto Y. Suponemos que todos los matrimonios completos residen en la comunidad, y los hombres casados de otras comunidades que visitan a esta comunidad no son elementos del conjunto X.

2. Sea f: {1, 2, 3, 4} {2, 4, 6, 8} tal que f(x) = 2x. Expresa f por extensión e indica si es función. f = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}f es función porque todos los elementos del dominio tienen una única imagen. En este ejemplo se tiene: 2 es la imagen de 1, 1 es la preimagen de 2: f(1) = 2

4 es la imagen de 2; 2 es la preimagen de 4: f(2) = 46 es la imagen de 3, 3 es la preimagen de 6: f(3) = 68 es la imagen de 4, 4 es la preimagen de 8: f(4) = 8

3. Sea X el conjunto de hombres, y sean las relaciones:f1 = { (x, y} XX, x es hijo de y}f2 = { (x, y) XX, x es padre de y}f3 = { (x, y) XX, x es hermano de y}Indica cuáles de estas relaciones son funciones y cuáles no, justifica tu respuesta.f1 es función porque cada hombre es hijo de un único padre.f2 no es función, no todos los hombres tienen hijos (es decir no son padres) y además si tienen hijos éstos no son únicos necesariamente.

Neumann – López Funciones 1

f3 no es función porque no todos los hombres tienen hermanos y además éstos no tienen que ser necesariamente únicos.

4. f = {(x,y) IR IR : y = 3x}Es función, para cada x IR , 3x es un único número real.

El gráfico de f es una línea recta que pasa por el origen. Si trazamos una recta paralela al eje Y en cualquier zona del dominio de f, podemos notar que ésta corta el gráfico de f en un único punto, lo que significa que para cada x existe un único y (una única imagen): ¡f es función!

En este ejemplo se tiene: f(−1) = 3(−1) = −3 (la imagen de −1 es −3)f(4) = 34 = 12 (la imagen de 4 es 12)f(2z) = 3(2z) = 6z

5. f = {(x,y) IR IR : y2 = x}No es función: (1,1) f y (1, −1) f (1 tiene dos imágenes diferentes)

El gráfico de f es una parábola con vértice en el origen y eje de simetría el eje da las abcisas. En este caso, podemos notar que si trazamos una recta paralela al eje ordenado en (0,) [0,) = Df, ésta corta al gráfico en dos puntos distintos, es decir que los x (0,) tiene dos imágenes distintas: ¡f no es función!

Neumann – López Funciones 2

En algunas ocasiones no se especifica cual es el dominio de la función, en este caso se toma como dominio de la función f, aquellos valores de x para los cuales la expresión f(x) está definida. Para determinar el dominio de una función f, así como su recorrido, hay que tomar en cuenta que una expresión subradical de una raíz de índice par es no negativa, las expresiones que aparecen en el denominador de una fracción son distintas de cero y que el argumento de una función logarítmica es positivo.

Ejemplo

Encuentra el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

1.

2x − 10 0 2x 10 x 5 Df = [5,)La raíz cuadrada de cualquier número real siempre es mayor o igual a 0:

y 0 Rf = [0,)

2.

x2 − 1 = (x − 1)(x +1) 0 x 1 y x −1 Df = IR − {−1,1}

yx2 − y = 1 yx2 = y + 1

, y ≠ 0

y + 1 0, y > 0 y −1, y > 0 y > 0ó y + 1 0, y < 0 y −1, y < 0 y −1

Rf = (−,−1] (0,)

Otra forma de resolver la inecuación :

+ − + Rf = (−,−1] (0,)

−1 0

Neumann – López Funciones 3

3. f(x) = ln(x −1)

x − 1 > 0 x > 1 Df = (1,)Rf = IR

Funciones de variable real

Es necesario que conozcas algunas funciones de variable real:

Función constante: y = c

Df = IR , Rf = {c}El gráfico es una línea recta paralela al eje X

Ejemplo

Grafica y = 3

Ejemplo

Grafica y = 3

Neumann – López Funciones 4

Función identidad: y = x

Df = Rf =IR El gráfico es una línea recta que pasa por el origen y biseca el primer y tercer cuadrante.

x 0 1y 0 1

Función lineal: y = ax + b

Df = Rf =IR El gráfico es una línea recta. Basta determinar dos de sus puntos y trazar la recta que pasa por ellos.

Ejemplo

Grafica y = 2x + 1

Df = Rf = IR

Neumann – López

x 0 1y 1 3

Funciones 5

Ejemplo

Grafica y = 3x + 2Df = Rf = IR

Función cuadrática: y = ax2 + bx + c

Df =IR , Rf = [k,) si a > 0, Rf = (−,k] si a < 0, donde V(h,k) es el vértice de la parábola.El gráfico es una parábola cóncava hacia arriba si a > 0 y cóncava hacia abajo si a < 0

Ejemplo

Grafica y = 3x2 12x + 45

y = 3x2 − 12x + 45 = 3(x2 − 4x + 4) + 45 – 12 = 3(x − 2) 2 + 33 y − 33 = 3(x − 2) 2 V(2,33) Df = IR , Rf = 33,+)

Ejemplo

Grafica y = −3x2 − 12x + 45

y = −3x2 − 12x + 45 = −3(x2 + 4x + 4) + 45 + 12 = −3(x + 2) 2 + 57 y − 57 = −3(x + 2) 2 V(−2,57) Df = IR , Rf = (,57

Neumann – López

x 0 1y 2 −1

x 0 2 4y 45 33 45

x −4 −2 0y 45 57 45

Funciones 6

Función polinomial: y = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0

Df = IR , Rf = depende de la función polinomial.

Ejemplo

Grafica y = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1

y = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = (x − 1)4

Df = IR y = (x − 1)4 0 Rf = [0,)

Ejemplo

Grafica y = = x3 − 3x2 + 3x − 1

y = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3

Df = IR y = (x − 1)3 x − 1 = x = + 1 Rf = IR

Funciones trigonométricas

Función seno: y = sen(x)

Df = IR , Rf = [−1,1], sen(x) = sen(x + 2k)

Neumann – López

x −1 0 1 3y 16 1 0 16

x −2 0 1 3y −8 1 0 8

Funciones 7

Función coseno: y = cos(x)

Df = IR , Rf = [−1,1], sen(x) = cos(x + 2k)

Fnción tangente: y = tan(x)

Df = IR − , Rf = IR, tan(x) = tan(x + k)

Otras funciones trigonométricas: y = cosec(x), y = sec(x), y = cot(x)

Función exponencial: y = a x, a IR + y a 1

Df = IR , Rf = IR +, pasa por el punto (0,1)Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente

Ejemplo

Grafica y = 2 x

Neumann – López

x −1 0 1y 1 2

Funciones 8

Ejemplo

Grafica y =

Función logaritmica: y = , a IR + y a 1

Donde y = x = a y

Df = IR +, Rf = IR , pasa por el punto (1,0)Si a > 1, la función es crecienteSi 0 < a < 1, la función es decreciente

Ejemplo

Grafica y = log 2 x

Ejemplo

Grafica y =

Funciones definidas a trozos: son aquellas funciones que tienen diferentes reglas de correspondencia en distintos subintervalos de su dominio.

Neumann – López

x −1 0 1y 2 1

x 1 2y −1 0 1

x 2 1y −1 0 1

Funciones 9