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Tema B6. Tablas de contingencia

Ejemplo


En esta tabla se representan los mismos datos que en la tabla anterior, pero en términos de frecuencias (“recuento”)


� Para simplificar la tabla vamos a agrupar variables1. Juntamos las personas que están muy de acuerdo y bastante de

acuerdo… en considerarse bastante atractivo.2. Juntamos las personas que están poco o nada de acuerdo3. Eliminamos del análisis la no respuesta (hemos excluido a 192+77+31

= 300 personas. En total hay 4832 hombres en la muestra, es decir, que la no respuesta es del 6 por ciento (300/4832 = 0.06 ó el 6%). Esto puede introducir sesgos en nuestras conclusiones.

4. Creamos tres categorías a partir de la variable estudios � Sin estudios / primaria� Secundaria / FP� Universitarios medios y superiores

LA TABLA QUEDARÁ…


453220622470Total

820340480Universitarios

1459599860Secundaria

225311231130Sin estudios / primaria

TotalPoco / nadaMuy /bastante

A esta tabla se le conoce como tabla de frecuencias observadas

Tabla de frecuencias observadas


453220622470Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

100%45.5%54.5%Total

100%41.5%58.5%Universitarios

100%41.1%58.9%Secundaria

100%49.8%50.2%Sin estudios / primaria

TotalPoco / nada

Muy /bastante

Esta sería la tabla de frecuencias observadas

En términos de porcentajes, las frecuencias observadas quedarían así:

El porcentaje de personas que se consideran atractivos parece ser menor en las personas sin estudios o con estudios de primaria


� El porcentaje de personas que se consideran atractivos parece ser menor en las personas sin estudios o con estudios de primaria que en las personas con estudios secundarios o universitarios

100%45.5%54.5%Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

¿Se podría hablar de que existe asociación entre nivel de estudios y considerarse atractivo (autoconceptoestético)?

Para explorar si existe asociación vamos a comparar esta tabla con una tabla imaginaria en la que no existiría asociación (tabla de no asociación) o también llamada tabla de frecuencias esperadas (en caso de no asociación)


453220622470Total

820Universitarios

1459Secundaria



Por ello, una vez que se cuenta con la tabla de frecuencias observadas, el siguiente paso es construir la tabla de frecuencias esperadas

Para ello trabajaremos, en primer lugar, con los totales de la tabla


453220622470Total

820Universitarios

1459Secundaria

22531227.9Sin estudios / primaria


La frecuencia esperada de la celda (muy-bastante y sin estudios-primaria) seráel resultado de multiplicar el total de dicha columna (2470) por el de dicha fila (2253) y dividir la cantidad por el total de la tabla (4532), esto es (2470 * 2253) / 4532 = 1227.9)


453220622470Total

820373.1446.9Universitarios

1459663.8795.2Secundaria

22531025.11227.9Sin estudios / primaria


Podemos completar la tabla de frecuencias esperadas realizando lo mismo que en la diapositiva anterior para el resto de celdas.


453220622470Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

100%45.5%54.5%Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

Esta sería la tabla de frecuencias esperadas…

…. Y estos serían los porcentajes de la tabla de frecuencias esperadas

En todas las filas se han obtenido los mismos porcentajes, por eso a la tabla de frecuencias esperadas se le conoce también como tabla de no asociación


453220622470Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

453220622470Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

Esta sería la tabla de frecuencias observadas

Esta sería la tabla de frecuencias esperadas

Hasta ahora hemos producido cuatro tablas: dos con frecuencias…


100%45.5%54.5%Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

100%45.5%54.5%Total




TotalPoco / nada

Muy /bastante

Estos serían los porcentajes de la tabla de frecuencias observadas

Y estos los de la tabla de frecuencias esperadas o tabla de no asociación

… y otras dos con porcentajes.


453220622470Total

820340480Universitari

os


225311231130Sin estudios

/ primaria

TotalPoco / nadaMuy

/bastante

OBSERVADAS

453220622470Total

820373.1446.9Universitari

os


22531025.11127.9Sin estudios

/ primaria

TotalPoco / nada

Muy /bastante

ESPERADAS

Con nuestros datos, para calcular ji-cuadrado…Con nuestros datos, para calcular ji-cuadrado…

Habría que sumar:

El resultado (aprox.) es: 34.18


� Tenemos los elementos necesarios para una prueba de hipótesis

1. Las hipótesis

� H0: no existe asociación

� H1: existe asociación

2. Una prueba para comprobar la hipótesis


� Tenemos los elementos necesarios para una prueba de hipótesis

3. Podemos establecer una región de rechazo a partir de un determinado nivel de significación

Tenemos 2 columnas (2-1) = 1 y 3 filas (3-1) = 2 , luego 1*2=2 g.l.

Se suele emplear un nivel de significación de 0.05 (5%)

En la tabla ji-cuadrado (ver página siguiente) para estos grados de libertad y nivel de significación el valor límite de la región de rechazo (R.R.) es: 5.99


� Tenemos los elementos necesarios para una prueba de hipótesis4. Se puede comprobar si el valor obtenido

en la prueba ji-cuadrado pertenece a la región de rechazo.

En este caso el valor obtenido en la prueba de ji cuadrado es 34.18 que es mayor que el valor de ji-cuadrado obtenido en la tabla para un nivel de significación de 0.05 con dos grados de libertad (5.99). Es decir, 34.18 pertenece a la Región de Rechazo, por lo que rechazamos la hipótesis nula. 34.18 ϵ RR (0.05) χ2 > 5.99 por lo que rechazamos la H0 (hipótesis nula)

En el caso de los hombres existe asociación entre nivel educativo y considerarse atractivo con un nivel de significación del 5%. No obstante se ha de tener en cuenta que hubo un porcentaje de no respuesta del 6% (lo que ha podido sesgar la conclusión).


5. ¡Ojo! Para poder realizar la prueba ji-cuadrado se deben cumplir unos supuestos.� Cochram: un

máximo de un 20% de las celdas debe tener una frecuencia esperada entre 1 y 5

453220622470Total

820373.1446.9Universitari

os


22531025.11127.9Sin

estudios /

primaria

TotalPoco / nada

Muy /bastante

ESPERADAS

En el ejemplo, ninguna de las 6 celdas tiene menos de 5 casos.

La celda más pequeña cuenta con 373.1 casos

Se cumple el supuesto y por ello se puede calcular ji-cuadrado


� Problemas de ji-cuadrado� No indica la dirección

de la asociación� Con ji-cuadrado no

podemos concluir que la gente con mayor nivel de estudios tiende a considerarse más atractiva (o lo contrario)

� No informa sobre el grado de asociación

� Coeficiente de Contingencia� Cálculo

� El coeficiente C (de contingencia) permite conocer el grado de asociación


� En el ejemplo:

� Problemas del coeficiente de contingencia(C):

χ2= 34.18n= 4532Por tanto C= 0.087


� V de Cramer

� Cálculo

� Permite conocer el grado de asociación

χ2= 34.18n= 4532t = 1Por tanto V= 0.087

t representa el valor más pequeño de las dos cantidades r-1 o s-1, siendo r y s el número de columnas y de filas.

La ventaja de la V de Cramer es que su valor se sitúa entre 0 (asociación débil) y 1 (asociación fuerte).

CONCLUSIÓN: La asociación detectada entre nivel de estudios y sentirse atractivo, aunque significativa, no es fuerte (cercana a 0).

Medidas ordinales

� La explicación realizada hasta ahora es válida para tablas con variables nominales.

� Cuando trabajemos con datos de variables ordinales, podremos aplicar las medidas explicadas (ji-cuadrado, coeficiente de contingencia, V de Cramer) y las que se explican a continuación.


� Ejemplo de ejercicio

“En un estudio sobre movilidad social de un grupo de población se encontró la siguiente posición social (status) en las hijas en comparación con la posición social de las madres”.

6074142Bajo

96106118Medio

13611054Alto

AltoMedioBajoHijas\Madres

A partir de un ejemplo de García Ferrando (1992; 244-253)


� El primer paso es calcular los tipos de pares

1. El total de pares es:

896292290314Total

2766074142Bajo

32096106118Medio

30013611054Alto

TotalAltoMedioBajoHijas\Madres

n = 896 luego T = 400960 pares


2. A continuación se calculan los pares “semejantes o concordantes” (son aquellos pares en los que se produce un incremento tanto en la variable dependiente (posición de las hijas) como en la independiente (posición de las madres).

896292290314Total

2766074142Bajo

32096106118Medio

30013611054Alto


En el ejemplo hay 142 personas con madres con status bajo e hijas con status bajo, comparadas con las 106 hijas en posición media con madres de clase media se produce un incremento en ambas variables. Entre ambos grupos se producen 142*106 pares concordantes.


2. Pares “semejantes o concordantes” (Ns)

896292290314Total

2766074142Bajo

32096106118Medio

30013611054Alto

TotalAltoMedioBajoHijas\Madres El total de emparejamientos concordantes serían:

142 * (110+136+106+96)=63616

74 * (136+96)=17168

118 * (110+136)=29028

106 * (136)=14416

Ns= 63616+17168+29028+14416 = 124228


3. Pares “desemejantes o discordantes” (Nd)

El orden en una variable es opuesto al de la otra variable (cuando una se incrementa, la otra se reduce)

896292290314Total

2766074142Bajo

32096106118Medio

30013611054Alto

TotalAltoMedioBajoHijas\Madres El total de emparejamientos disconcordantes serían:

54 * (106+96+74+60)=18144

Nd= 6360+15812+17160+18144 = 57476

110 * (96+60)=17160

118 * (74+60)=15812

106 * (60) = 6360


4. Pares empatados (en la variable independiente) (Tx)

Están empatados en la variable independiente (x) (status de las madres)

896292290314Total

2766074142Bajo

32096106118Medio

30013611054Alto


96 * (60)=5760

Tx= 14040+16756+19800+7844+21216+5760 = 85416

136 * (96+60)=21216

106 * (74)=7844

118 * (142)=16756

110 * (106+74)=19800

54 * (118+142)=14040


5. Pares empatados (en la variable dependiente) (Ty)

Están empatados en la variable dependiente (y) (status de las hijas)

896292290314Total

2766074142Bajo

32096106118Medio

30013611054Alto


74 * (60)=4440

Ty= 13284+14960+123836+10176+19028+4400 = 85724

142 * (74+60)=19028

106 * (96)=10176

110 * (136) =14960

118 * (106+96)=23836

54 * (110+136)=13284


6. Pares empatados en x e y (Txy)

Son pares que se forman a partir de casos situados en la misma celda de la tabla. Se calculan para cada celda de la tabla y se suman.

896292290314Total

2766074142Bajo

32096106118Medio

30013611054Alto


Txy= 48116

54 * (53) / 2 = 1431

110*109 / 2 = 5995

136*135 / 2 = 9180

118*117 / 2 = 6903

106*105 / 2 = 5565

96* 95 / 2 = 4560

142*141 / 2 = 10.011

74 *73 / 2 = 2701

60 *59 / 2 = 1770


� En resumenNs= 124228

Nd= 57476

Tx= 85416

Ty= 85724

Txy= 48116

T = 400960 pares

� Las medidas que vamos a utilizar tienen todas en el numerador la diferencia entre Ns y Nd� Si Ns – Nd < 0

asociación negativa� Si Ns – Nd > 0

asociación positiva� Si Ns – Nd cercano a

0 no habrá asociación� Ns – Nd = 124228 –

57476 = 66752 (por tanto sería una asociación positiva: a mayor status de las madres, mayor status de las hijas)


� Coeficiente Tau-a de Kendall

Ns= 124228

Nd= 57476

Tx= 85416

Ty= 85724

Txy= 48116

T = 400960 pares

Tau-a = 0.17

El coeficiente oscila entre -1 y +1, aunque no puede alcanzar un valor de 1 si hay pares empatados


� Coeficiente Gamma de Goodman y Kruskal

Ns= 124228

Nd= 57476

Tx= 85416

Ty= 85724

Txy= 48116

T = 400960 pares

Gamma = 0.37

El coeficiente oscila entre -1 y +1, incluso con pares empatados.

Se trata de una medida simétrica


� Coeficiente d de SomersNs= 124228

Nd= 57476

Tx= 85416

Ty= 85724

Txy= 48116

T = 400960 pares

d = 0.25

Interpretación similar a Gamma, pero no sobreestima la asociación al eliminar la influencia de los empatados en la dependiente

Se trata de una medida asimétrica (varía en función de cuál sea la variable dependiente e independiente) luego dyx diferente de dxy


� Coeficiente Tau-b de KendallNs= 124228

Nd= 57476

Tx= 85416

Ty= 85724

Txy= 48116

T = 400960 pares

Tb = 0.25

También toma valores entre -1 y 1 (si hay igual número de filas y columnas)

Se trata de una medida simétrica


� Interpretación de los resultados: conclusión� Tau-a = 0.17� Gamma = 0.37� d = 0.25� Tb = 0.25

Lectura descriptiva: Los resultados son positivos, luego la asociación es positiva: cuando mayor es el status en las madres, mayor status en las hijas), pero el grado de asociación no es muy alto.

Lectura inferencial: para realizar una lectura en términos de significación estadística de estos resultados habría que realizar pruebas estadísticas especificas (ver páginas 301 a 306 de García Ferrando, 1992). Los programas estadísticos como SPSS calculan directamente dichas pruebas proporcionando el valor de significación para la hipótesis nula de no asociación (se debe emplear la herramienta de tablas de contingencia).

Ejercicios Cuaderno de Ejercicios

Ejercicio básico 1 (5 puntos sobre 10)

� “En una encuesta realizada a población joven, se obtuvo la siguiente distribución de la identificación religiosa según el lugar de residencia”. ¿Existe asociación significativa entre identificación religiosa y lugar de residencia?. ¿Se trata de una asociación fuerte o débil?

3203560No creyente

66126212280Indiferente

62170290432Católico no practicante

80188305320Católico practicante

Metropolitano

UrbanoSemi-urbano

Rural

García Ferrando, 1992

Ejercicios Cuaderno de Ejercicios

Ejercicio básico 2 (5 puntos sobre 10)� “En un estudio sobre la movilidad

social de un grupo de población, se encontró la siguiente distribución de la movilidad social de los individuos estratificados según el grado de movilidad social de los padres. Las hipótesis del estudio se formuló en el sentido de que existe una asociación moderada entre la movilidad social de los individuos y la movilidad social de los padres. Mediante el cálculo del coeficiente Gamma, ¿qué cabe decir sobre dicha hipótesis? Si se considera la movilidad social de los padres como la variable independiente, calcular el coeficiente d de Somers”. Compara las interpretaciones

433139138156Total

130283468Baja

154465157Media

149655331Alta

TotalAltaMediaBajaHijos / Padres

García Ferrando, 1992: 258

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