Tema B5. ¿Cómo se comparan dos proporciones?

Ejemplo de ejercicio

Tema B5. ¿Cómo se comparan dos proporciones?

Los datos son: Ejemplo:Partimos del ejemplo del tema

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“En el barómetro de enero de 2011 del CIS se ha obtenido que a 447 personas José Luis Rodríguez Zapatero les inspira personalmente mucha o bastante confianza, mientras que Mariano Rajoy inspira confianza a 478 personas de un total de 2478 personas encuestadas. ¿La proporción de personas a las que Zapatero les inspira mucha o bastante confianza es menor que la de Mariano Rajoy?”

Los datos son:ProporcionesZp = 447/2478 = 0,18Raj= 478/2478 = 0,19Número de casos 2478

Rajoy inspira confianza a un 19 % de las personas encuestadas y Zapatero a un 18%.

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La pregunta ahora sería: ¿La proporción de personas a las que

Zapatero les inspira mucha o bastante confianza es menor que la de Mariano Rajoy?

Tema B5. ¿Cómo se comparan dos proporciones?

¿Qué pasos debo dar para resolver la pregunta?

Los pasos son:

1. Establecer las hipótesis del contraste

2. Comprobar los supuestos3. Elegir una prueba para el contraste

(z)4. Establecer la región de rechazo de

la hipótesis nula (para un nivel de significación determinado)

5. Calcular el valor de z6. Comprobar si está en la región de

rechazo de la hipótesis nula7. Escribir la conclusiónLos símbolos que emplearemos para referirnos a los

parámetros (de la población) y a losestadísticos (de la muestra) son:

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1. Establecer las hipótesis del contraste de medias

H0 : Π1 - Π 2 = 0H1 : Π 1 - Π 2 < 0

¡Ojo!. Cuando la hipótesis alternativa sea del tipo H1 : π1 - π2 ≠ 0 emplearemos la información de la curva normal proporcionada por sus dos colas o lados, mientras que que cuando sea del tipo H1 : π1 - π2 < 0 emplearemos un único lado de la curva normal. Esto es relevante al escoger los valores que reflejan el nivel de confianza (zn.c.) (ver paso 4).

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2. Comprobar los supuestos Debo saber si las muestras tiene un tamaño grandea) Si la muestra tiene un

tamaño grande puedo aplicar la Ley de los Grandes Números. Para saber si n es grande deben cumplirse estas dos condiciones: 1. p n ≥ 52. (1-p) n ≥ 5

b) Si la muestra es pequeña no puedo aplicar la prueba para el contraste de proporciones (tendría que aplicar otros métodos alternativos, no explicados en la asignatura).

En el ejemplo (para los datos sobre Rajoy):

1. p n ≥ 5 es 478 (cumple la condición)

2. (1-p) n ≥ 5 es 2000 (cumple la condición), luego n es grande

En el ejemplo (para los datos sobre Zapatero):

1. p n ≥ 5 es 447 (cumple la condición)

2. (1-p) n ≥ 5 es 2031 (cumple la condición), luego n es grande

En un barómetro CIS la población es la población de España, luego es infinita

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3. Elegir una prueba para el contraste (z)

que sigue una distribución N(0,1) si H0 es cierta.

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4. Establecer la región de rechazo de la hipótesis nula (para un nivel de significación determinado)

El nivel de significación no está especificado en el enunciado. Podemos escoger el que pensemos que es más adecuado. Para un estudio de opinión, como este, puede ser adecuado un 0.05 (5 por ciento).

El contraste es unilateral (una cola), ya que la hipótesis alternativa el del tipo H1 : π1 - π2 < 0

Empleamos, la tabla de la curva normal para establecer la región de rechazo. Una probabilidad de 0.05 en la cola de la distribución (nivel de significación) es equivalente a una probabilidad de 0.45 entre el valor z escogido y la media de la curva normal (0). Es decir, una probabilidad (o proporción de área de la curva normal) del 0.45 se corresponde con una puntuación típica de 1,645, por tanto la región de rechazo es:

RR (0.05) si z < -1,645

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5. Calcular el valor de z6. Comprobar si está en la Región de rechazo7. Escribir la conclusión

= (-0.0125) / 0.011 = -1.13

-1.13 no pertenece a la RR (0.05) z < -1,645, por lo que no se puede rechazar la hipótesis nula. Habrá que pensar que ambos políticos cuentan con la misma proporción de personas a las que les inspiran mucha o bastante confianza.

Ejercicios Cuaderno de Ejercicios

Ejercicio básico 1 (7 puntos sobre 10) Ejercicio 5 del Manual de Sánchez Carrión (pág. 472)

“Cada vez que se van a celebrar elecciones generales los periódicos encargan encuestas para sondear la intención de voto de los españoles. Dos de estas encuestas, ambas hechas con muestras de 1.200 personas, obtienen resultados distintos para la intención de voto de un mismo partido. Mientras que en la encuesta A el partido obtiene el 30% de los votos, en la encuesta B su intención de voto sube hasta el 35%. A la vista de estos resultados surge una polémica en la que se pone en cuestión la validez de las encuestas. ¿Está justificada la crítica?. ¿Qué argumentos utilizarías tú para terciar en la polémica?”

Ejercicios Cuaderno de Ejercicios

Ejercicio recomendado (3 puntos sobre 10). Ejercicio 3 del capítulo 10 del manual de García

Ferrando (1992)“En una muestra de población activa, el 64 por 100 de los trabajadores manuales se declara identificado con posiciones ideológicas de izquierdas, mientras que así lo hace el 47 por 100 de los empleados. La muestra está integrada por 225 trabajadores manuales y 217 empleados. ¿Se puede considerar significativa la diferencia al nivel de significación del 1 por 100?”