tema 6. transmision de calor multidireccional y transitoria

Diapositiva 1

J.M.Corberán, R. Royo (UPV) 1

Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria

TRANSMISIÓN DE CALORMULTIDIRECCIONAL Y

TRANSITORIA

Diapositiva 2



ÍNDICE

1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DE CALOR

POR CONVECCIÓN2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA

- Parámetros adimensionales característicos- Transmisión de calor estacionaria unidimensional

- Ecuación general- Solución aproximada de Heissler

Diapositiva 3



TkgtTCp ∆⋅+=⋅⋅

∂∂ρ

00 2

2

2

2

2

2

=++⇒=∆⇒zT

yT

xTT

∂∂

∂∂

∂∂Ecuación de

Laplace• g=0• k=cte

•estacionario

TRANSMISIÓN DE CALOR ESTACIONARIA BIDIRECCIONAL. PLACA CONTEMPERATURAS CONOCIDAS EN LOS LADOS.

x

L

H Tb ),( yxT ∞T

∞T

∞−= TyxTyx ),(),(θ),( yxθ

00 2

2

2

2

2

2

2

2

=+⇒=+yxy

TxT

∂θ∂

∂θ∂

∂∂

∂∂

LxTT == ∞

0== ∞ yTT

HyTT == ∞

0== xTT b0== xbθθLx == 0θ

00 == yθHy == 0θ

1. TRANSMISIÓN DE CALOR MULTIDIRECCIONAL

Diapositiva 4



Aplicando el método de separación de variables: )()(),( yYxXyx ⋅=θ2

2

2

2

2 11 λ=⋅=⋅−ydYd

YxdXd

X02

2

2

=⋅+ XxdXd λ

022

2

=⋅− YydYd λ

[ ] [ ])cos()()cosh()( yBysinxAxsinhK λλλλθ +⋅+=Solución general:

[ ][ ]

[ ]12

)/)(12()/)(12(/)()12(4

0 ++⋅

+−+⋅

= ∑∞

= nHynsin

HLnsinhHxLnsinh

n

b ππ

ππθθ

Aplicando las condiciones de contorno, obtenemos:

Diapositiva 5


Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoriaPRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

02

2

2

2

=+yx ∂θ∂

∂θ∂

bθ

aθ

θ = +1θ 2θ

0

bθ

aθ

0 0

0

00 0 0

bT

∞T

aT

∞T

0 L

H

T(x,y)

y

xHy

yLx

x

paraparapara

para

a

b

====

===

=

0

0

0

0

θθθ

θθθ

donde:

),(),(),( 21 yxyxyx θθθ +=

00 22

2

22

2

21

2

21

2

=+⇔=+yxyx ∂θ∂

∂θ∂

∂θ∂

∂θ∂

===

===

===

===

00

00

00

00

21

21

21

21

θθ

θθθ

θθ

θθθ

Hy

y

Lx

x

a

b

Condiciones de contornoLa solución es la superposición de ambas:

Caso particular : Placa con dos lados a temperaturas diferentes

Diapositiva 6



2. PROCESOS TRANSITORIOS CON TRANSMISIÓN DECALOR POR CONVECCIÓN

Cuerpos de pequeñas dimensiones y conductividad elevada. En dichas condiciones, la temperatura en el interior del cuerpo se puede considerar uniforme en cualquier instante de tiempo:

dtVC

AhTT

dTTTAhQ

dtdTCV conv ⋅⋅

⋅−=

−⇒−⋅⋅==⋅⋅⋅−

∞∞ ρ

ρ )(

∫ ∫ ⋅⋅⋅

−=−−⇒

⋅⋅⋅

−=− ∞

∞

∞

T

iT

t tCV

hATTTTdt

CVhA

TTdT

i ρρln

0

τρ

θθ tt

CVhA

ii

eeTTTT −⋅⋅

⋅−

∞

∞ ==−−

=

( )tTT =

Integrando y aplicando la condición inicial de T=Ti en t=0:

(*)En caso de existir también intercambio por radiación se puede, bien introducir laecuación de calor intercambiado, o bien, utilizar el concepto de coeficiente equivalente a laradiación.

T(t)

∞Th,

hACV

⋅⋅⋅= ρτ (tiempo característico)

2.1. CASO DE TEMPERATURA UNIFORME

Diapositiva 7



iθθ

t

Ei

)1()1()(00

ττθρθt

i

t

i

ttT

op eEeCVdthAtdAqdTCmtE

−−−⋅=−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅−= ∫∫∫

τt

i

eEE −

−=1

Siendo Ei la variación de energía interna que sufriría la pieza si llegase alequilibrio térmico con el fluido que la rodea.

La energía total intercambiada hasta un tiempo t es:

0

ii CVE θρ ⋅⋅⋅=

Diapositiva 8


Tema6: Transmisión de calor multidireccional y transitoria2.2. VARIACIÓN ESPACIAL DE LA TEMPERATURA. PARÁMETROS ADIMENSIONALES

Comparación entre la variación de temperatura en el interior de lapieza (conducción) con la variación de temperatura en el fluido.

En condiciones estacionarias, el calor que se transmitepor conducción en la placa ha de ser igual al que setransmite por convección entre la superficie de la placa yel fluido en contacto con ésta

)()( 2,2,1, ∞−⋅=−⋅

TTAhTTL

Aksss

placa

placaconvec

conducplaca

s

ss

kLh

RR

AhAkL

TTTT ⋅==

⋅⋅

=−−

∞ .

.

2,

2,1,

1

solidokLh ⋅Número de Biot: Bi=

Ts,2Bi<<1

Bi≈1

Ts,2

Ts,2

Bi>>1

L

Qcond Qconv

Ts,1

x

T

Diapositiva 9



EVOLUCIÓN DE TEMPERATURAS EN FUNCIÓN DEL VALOR DELNUMERO DE BIOT:

x

-L L

h, T∞∞∞∞

h, T∞∞∞∞

Bi<<1T=T(t)

-L L

Bi= 1T=T(x,t)

-L L -L L

Bi>>1T=T(x,t)

T(x,0)=Ti T(x,0)=Ti

T∞∞∞∞ T∞∞∞∞T∞∞∞∞ T∞∞∞∞

Diapositiva 10



Se considera adecuada la utilización del modelo de temperatura uniforme si Bi<<1.

( )

=→

=→

=→=

⇒=⇒⋅=

3)(

2arg

)2(

.

.

.

int.

.

ocaraco

ocaraco

carac

ercambiocarac

carac

rLresfera

rLrolmuycilindro

LLLeplanapared

AVL

kLhBi

En la práctica la solución de temperatura uniforme es aceptable en las siguientescondiciones: Placas: Bi<0.1

Cilindro: Bi<0.05Esferas: Bi<0.03

(Diferencia de temperatura entre superficie y centro inferior al 5%)

El modelo de temperatura uniforme anteriormente desarrollado se puede caracterizaren función del parámetro adimensional de Biot:

FoBi

i

c

c

FoBiLLt

Ck

kLh

tCVhA

i

eFo

Lt

BikLh

eee ccp

c

p ⋅−⋅−⋅⋅

⋅⋅

⋅−⋅

⋅⋅⋅

−

=⇒

=⋅

=⋅

⇒===θθ

αθθ ρρ

2

Generándose de esta forma un nuevo número adimensional, número de Fourier, Fo,tiempo adimensional característico del transitorio.

Diapositiva 11



TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN TRANSITORIAUNIDIRECCIONAL.

La ecuación general de conducción, para propiedades constantes, y sin generacióninterna de calor, es:

TtTTk

tTCpTkg

tTCp ∆=⇒∆⋅=⋅⋅⇒∆⋅+=⋅⋅ α

∂∂

∂∂ρ

∂∂ρ

⋅=−=

⇒⇒⋅=)()(),(

),(),(2

2

tTxXtxTtxTtx

defunciónenxT

tT o

θθ

θ∂∂α

∂∂

)cossen(),( 21

2

xBxBetx t λλθ αλ ⋅+⋅⋅= −

SOLUCIÓN PARA PLACA PLANA, DE ESPESOR 2L, CONCONVECCIÓN POR AMBOS LADOS:En una sola dirección en coordenadas cartesianas:

Se introduce la diferencia de temperaturas, y de nuevo el métodode separación de variables:

∑∞

=

⋅−

∞

∞ ⋅⋅⋅+

⋅⋅=−−

1

2cos

cos2

nn

nnn

nFon

i Lx

sinsine

TTTT λ

λλλλλ

Bin

nnλ

λλ =cot/siendo

ECUACION GENERAL

2L

QCONV

Diapositiva 12



TRANSMISIÓN DE CALOR CONVECTIVA EN PLACAS, CILINDROS YESFERAS EN RÉGIMEN TRANSITORIO.

• Cálculo analítico de la solución de la ecuación anterior. Hoyen día solución analítica fácilmente programable.

• Resolución por métodos numéricos.

• Primeras gráficas de respuesta de temperatura (1923)

• Sólo válido para condiciones de temperatura inicial uniforme

• Heisler (1947): aproximación con un término de la seriefuncional solución . Limitaciones:

– No son válidas para Fo < 0.2

– Gráficos difíciles de leer para Fo < 1

SOLUCIÓN APROXIMADA DE HEISLER

Diapositiva 13



T(x t TT T

T TT T

T TT Ti o FIG

o

i FIG

, )

. .

−−

=−−

⋅

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞2 1

x/L

[ ]1,0∈Lx

TRANSMISIÓN DE CALORUNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARAPLACA INFINITA DE ESPESOR 2L

To: temperatura en el plano central de la placa=T(x=0,t)

Diapositiva 14



3.FIGi

o

4.FIGoi TTTT

TTTT

TTT)t,r(T

−−⋅

−−=

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞

r/r0

[ ]1,00∈

rr

TRANSMISIÓN DE CALORUNIDIRECCIONAL TRANSITORIA PARACILINDRO DE RADIO r0 Y LONGITUDINFINITA

To: temperatura en el eje delcilindro=T(r=0,t)

Diapositiva 15



5.FIGi

o

6.FIGoi TTTT

TTTT

TTT)t,r(T

−−⋅

−−=

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞

r/r0

[ ]1,00∈

rr

TRANSMISIÓN DE CALORUNIDIRECCIONAL TRANSITORIAPARA UNA ESFERA DE RADIO r0

To: temperatura en el centro dela esfera=T(r=0,t)

Diapositiva 16



TRANSMISIÓN DE CALOR BIDIMENSIONAL TRANSITORIAPLACA DE DIMENSIONES 2L*2H

HPLACAiLPLACAiHLi

tytxtyx

2222

),(),(),,(

⋅

=

⋅θ

θθ

θθ

θ

=2H

hL hL

hH

x

y

2Lx

*hL hL

2L

2H

yhH

hH

SOLUCIÓN BIDIMENSIONAL

Diapositiva 17



CILINDRO DE DIMENSIONES 2L,r0

LESPESORPLACAi

INFINITOrRADIO

CILINDROi

LLONGITUDrRADIO

CILINDROi

txtrtxr

oo 22

),(),(),,(

⋅

=

θ

θθ

θθ

θ

2L

xhL

hr hrhL

r0

=

0 r0 r

hr hr* x hL

hL

L 0

Diapositiva 18



PRISMA DE DIMENSIONES 2L*2H*2W

WPLACAiHPLACAiLPLACAiWHLPRISMAi

tztytxtzyx

222222

),(),(),(),,,(

⋅

⋅

=

⋅⋅θ

θθ

θθ

θθ

θ

hL hL

hH

hH

hw

hwhH T∞

hL

hw

2H

2L

x

y yH0

W0

z

0 Lx z

Diapositiva 19



)(

)(7.

∞−⋅⋅⋅=

⋅

=

TTCVE

EEEtE

ipi

iFIGi

ρ

iEE

ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA, UN CILINDRO, Y UNAESFERA CON EL MEDIO QUE LO RODEA HASTA EL TIEMPO T

ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA PLACA

Diapositiva 20



iEE

ENERGÍA INTERCAMBIADA POR EL CILINDRO

Diapositiva 21



iEE

ENERGÍA INTERCAMBIADA POR UNA ESFERA

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