tema 6 medios porosos 04 epsgs

Área de Mecánica de Fluidos. FLUJO EN MEDIOS POROSOS

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Área de Mecánica de Fluidos

Escuela Politécnica Superior Guillermo Schulz Curso de Complementos de Ingeniero Geólogo

HIDRÁULICA

http://web.uniovi.es/Areas/Mecanica.Fluidos/

FLUJO EN MEDIOS POROSOS

1. INTRODUCCIÓN. 2. PÉRDIDAS POR ROZAMIENTO EN MEDIOS POROSOS. 3. FLUJO EN MEDIOS NO SATURADOS. 4. PROBLEMAS RESUELTOS.

1

2

H

L


2

1. INTRODUCCIÓN.

DEFINICIÓN: Un medio poroso consiste en una fase continua con huecos interconectados. Su estructura suele ser granular o fibrilar. Ejemplos: esponjas, tejidos, papel, mechas, arena, grava, escayola, ciertas rocas (caliza, arenisca), lechos de filtración, destilación, absorción.

No se incluyen ciertos sólidos porosos con huecos no interconectados (poliestireno expandido) pues son impermeables.

Aplicaciones: hidrología superficial, producción de gas y de petróleo, filtrado, absorción, destilación. Consideremos un recipiente lleno de un medio poroso:

1

2

Se puede aplicar la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2, obteniendo:

21P

22

2

21

1 hg2

vzg2

vz −++=+

21P

22

21

21 hg2vvzz −=

−+−

Respecto a un caso en el que no existiese medio poroso, se hallan las siguientes diferencias: - hP1-2 son mayores - la variación de energía cinética es despreciable frente a hP1-2 - el líquido nuevo no ocupa todos los huecos disponibles 2. PÉRDIDAS POR ROZAMIENTO EN MEDIOS POROSOS. Se definen las siguientes variables:

- Velocidad superficial: T

S SQv = , basada en la sección total del conducto.

- Velocidad intersticial: T

I SQv

ε= , basada en la sección real existente.

- Porosidad: Total

cosHue

Total

cosHue

Total

cosHue

SS

LSLS

VV

===ε ; material granular: ε = 0.3-0.5; esferas iguales: ε = 0.4-0.55.

- Fracción de sólido: ε−1

- Diámetro hidráulico: Mojada

cosHueH S

VD = , para partículas esféricas:


3

( )6

D1D

D6/)1(S

V)1(V

VSN

VSVD P

2P3

PP1

P1

T

T

P1P

T

Mojada

cosHueH ε−

ε=

ππ

ε−ε

=ε−

ε=

ε==

Ahora, se lleva este valor a la expresión del coeficiente de fricción, obtenida a partir de la ecuación de D’Arcy-

Weisbach: g2

vD4Lfh

2I

Hp = :

2I

Pp2

I

Pp2

I

Hp v

11L

Dhg34

vg2

6D

1L4h

vg2

LD4hf

ε−ε

=ε−

ε==

y al número de Reynolds: ε−

εμρ

=ε−

εμ

ρ=

μρ

=1

vD32

6D

14vD4vRe IPPIHI

Estas expresiones también se pueden expresar en función de la velocidad superficial, ε

= SI

vv :

ε−μρ

=ε−

ε=

1vD

32Re;

v1

1LDhg

34f SP

2S

3P

p

En medios porosos, es habitual prescindir de los términos 4/3 (en f) y 2/3 (en Re):

2S

3P

pMP v1

1LDhgf

43f

ε−ε

==

ε−μρ

==1

vDRe23Re SP

MP

RÉGIMEN LAMINAR: en régimen laminar Re64f = ; teniendo en cuenta las definiciones anteriores, esta

expresión se transforma en:

MPMP Re

72f =

pero como el flujo no se produce en recorridos rectilíneos, sino en zig-zag, el recorrido es 2 veces más largo y la

velocidad es 2 veces más grande. Por tanto, la expresión anterior resulta: MP

MP Re144f = , aunque experimentalmente

se ha comprobado que la expresión que mejor se ajusta al comportamiento del flujo laminar es:

MPMP Re

150f =

y llevando este coeficiente de fricción a la ecuación que proporciona las pérdidas de carga, se obtiene la denominada ecuación de Kozeny-Carman, válida para 10ReMP < :

( )2P

S3

2

p DgLv1501h

ρμ

εε−

=


4

RÉGIMEN TURBULENTO: en régimen turbulento la rugosidad relativa es muy grande: 22/D

D

P

Pr ≈=ε .

Para valores tan altos de la rugosidad relativa, el coeficiente de fricción no depende del número de Reynolds, y para partículas esféricas el valor del mismo es: 75.1fMP = , y llevando este coeficiente de fricción a la ecuación que proporciona las pérdidas de carga, se obtiene la denominada ecuación de Burke-Plumber, válida para

1000ReMP > :

P

2S

3p DgLv75.11h

εε−

=

Para valores del número de Reynolds 1000Re10 MP << , se utiliza como coeficiente de fricción la siguiente

expresión:MP

MP Re15075.1f += , que llevada a la ecuación que proporciona las pérdidas de carga, permite obtener la

denominada ecuación de Ergun:

( )P

2S

32P

S3

2

p DgLv75.11

DgLv1501h

εε−

+ρ

με

ε−=

Habitualmente, en el interior de los medios porosos se tiene régimen laminar, pues no es fácil generar la suficiente presión como para que el flujo pase a turbulento. El estudio hecho hasta ahora es válido para medios porosos formados por partículas esféricas de igual tamaño. Para otras geometrías de partículas o partículas de diferentes tamaños el análisis se complica y no se han obtenido expresiones válidas para casos generales. No ha habido forma de calcular el flujo de agua, petróleo o gas en rocas naturales sin experimentación, puesto que ni las partículas son esféricas ni el tamaño es uniforme, por lo que en los estudios de hidrología y de extracción de petróleo es habitual expresar la ecuación de Kozeny-Carman como:

kgLvh S

p ρμ

=

obteniéndose la denominada ecuación de Darcy, en la que k se denomina permeabilidad, y tiene dimensiones de longitud al cuadrado (se suele utilizar como unidad de medida de permeabilidad el “darcy”: 1 darcy = 10-8 cm2). La permeabilidad aumenta con la porosidad del medio. Las velocidades que se suelen tener en medios porosos suelen ser tan pequeñas, que se puede despreciar la energía cinética al aplicar la ecuación de la energía. Como el flujo es laminar, se puede aplicar la ecuación de Darcy, y la aplicación de la ecuación de la energía a un medio poroso proporciona la expresión:

kgLvz

gP S

ρμ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρΔ

que para valores constantes de ky, μρ puede escribirse como:

( )xv

kdxzgPd μ

−=ρ+

Se puede obtener una ecuación equivalente para la dirección y; a continuación se derivan ambas expresiones respecto a x e y respectivamente, y se suman, obteniendo:

( ) ( ) { } 0yv

xv

kyzgP

xzgP

adcontinuidaplicandoyx2

2

2

2

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂μ

−=∂

ρ+∂+

∂ρ+∂


5

Por lo que definiendo zgP ρ+=φ , la anterior ecuación se puede expresar como:

0yx 2

2

2

2

=∂

φ∂+

∂φ∂

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Laplace y aparece también en problemas de transmisión de calor y electrostática, y existen numerosas técnicas de solución para la misma así como soluciones conocidas para varias geometrías, que pueden ser utilizadas para predecir el flujo bidimensional en flujo subterráneo y en explotaciones petrolíferas. 3. FLUJO EN MEDIOS NO SATURADOS. Hasta ahora se ha supuesto que todos los huecos en el medio poroso estaban ocupados por el mismo fluido. Sin embargo, existen numerosas situaciones en las que dos fluidos inmiscibles están presentes en los mismos huecos, por ejemplo, el flujo simultáneo de petróleo y gas, o petróleo y agua. Si en una tubería con un medio poroso en su interior se llenan todos los huecos con agua y, a continuación, se fuerza una corriente de aire a su través, la fracción de agua en la salida del medio poroso variará de la siguiente manera: inicialmente, sólo se obtendrá agua a la salida del medio poroso, y el caudal volumétrico será igual al del aire introducido. A partir de un cierto momento empezará a salir también aire con agua, hasta que llegado cierto instante, sólo aparecerá aire. Si se detiene el flujo de aire y se observa el medio poroso, se encontrará que entre un 10 y un 30% de los poros estarán llenos de agua. La razón de este comportamiento se halla en la tensión superficial. Si hay un solo fluido, en la superficie de contacto fluido-sólido existirán fuerzas de adhesión; pero si hay dos fluidos presentes, existirá además una entrefase fluido-fluido. Las fuerzas superficiales que aparecerán evitan el completo desplazamiento de un fluido por otro. El fluido desplazante (aire en el ejemplo anterior) tiende a moverse por los canales mayores del medio poroso y “rodea” al fluido desplazado. Cuando este fluido “rodeado”, que todavía está fluyendo, se reduce a una cantidad pequeña se fragmenta en gotas rodeadas por el fluido desplazante y se detiene. En resumen, una partícula de fluido detiene su movimiento cuando la “fuerza desplazante” (gradiente de presión x longitud de la gota x sección transversal) es equilibrada por la “tensión superficial” (tensión superficial / radio x sección transversal):

1rLxPA

rAL

xP

=σΔ

Δ⇒

σ=

ΔΔ

Dificultades: -Obtención de L y de r -Análisis válido para gotas esféricas La saturación residual (fracción de poros ocupados por el fluido desplazado cuando deja de fluir) es baja (2-3%) cuando la permeabilidad es alta (grava) mientras que es alta (30-60%) cuando la permeabilidad es baja (arena fina). Este tipo de flujos en medios no saturados es muy importante en campos petrolíferos, en los que los fluidos pueden ser petróleo-agua o petróleo-gas natural; en hidrología, donde se tiene aire-agua; en filtrado. Estos flujos se complican todavía más por la acción de la viscosidad: -si μdesplazante > μdesplazado no hay ningún efecto especial

-si μdesplazante < μdesplazado el fluido desplazante penetra más en el fluido desplazado y se produce un menor efecto desplazante, dando lugar al fenómeno de “rotura del frente” que, por ejemplo, limita la extracción de petróleo con agua salvo que se añadan aditivos para modificar la relación entre las viscosidades


6

4. PROBLEMAS RESUELTOS.

1) La figura muestra un dispositivo en el cual se hace circular agua a través de un conducto lleno de partículas esféricas de resina (DP = 1 mm) cuya porosidad es ε = 0.3. Con los datos suministrados, calcúlese el caudal circulante.

D = 0.05 m

H = 0.1 m

L = 0.3 m

DATOS: Propiedades del agua: μagua = 10-3 kg/(m s), ρagua = 1000 kg/m3. RESOLUCIÓN Aplicando la ecuación de la energía desde un punto situado en la superficie libre del depósito superior y un punto situado en la salida del conducto con el medio poroso (despreciando la energía cinética en este último punto), se obtiene:

21P21 hzz −=−

1

2

H

L

Teniendo en cuenta que LHzz 21 +=− :

( )2P

S3

2

21P DgLv1501hLH

ρμ

εε−

==+ −

Despejando la velocidad superficial:

( )( )

( ) ( )( )

s/m0048.03.01

3.03.010150

3.01.0108.910001L150

LHDgv 2

3

3

23

2

32P

S =−

+=

ε−ε

μ+ρ

= −

−


7

Por tanto, el caudal será:

s/cm42.9s/m00000942.005.04

0048.0D4

vAvQ 3322ss ==

π=

π==

Se calcula el número de Reynolds, para confirmar que el flujo es laminar:

( ) 86.63.0110

0048.01010001

vDRe 3

3SP

MP =−

=ε−μ

ρ= −

−

Como el número de Reynolds es inferior a 10, el flujo en el medio poroso es laminar.


8

2) En el dispositivo del problema anterior, se quiere conseguir una velocidad superficial de 0.3 m/s. Calcúlese el nivel H de agua en el depósito para conseguirlo.

DATOS: Propiedades del agua: μagua = 10-3 kg/(m s), ρagua = 1000 kg/m3. RESOLUCIÓN Aplicando la ecuación de la energía desde un punto situado en la superficie libre del depósito superior y un punto situado en la salida del conducto con el medio poroso (despreciando la energía cinética en este último punto), se obtiene:

21P21 hzz −=−

Teniendo en cuenta que LHzz 21 +=− :

( )2P

S3

2

21P DgLv1501hLH

ρμ

εε−

==+ −

( ) ( )( )

m7.243.0108.91000

3.03.0101503.0

3.01LDg

Lv1501H 23

3

3

2

2P

S3

2

=−−

=−ρ

με

ε−=

−

−

(comprobar ReMP)

3) En un ensayo de un filtro horizontal con aire a P1 = 100 kPa se obtuvieron los siguientes datos: sección del

conducto y del filtro A = 0.1 m2, ΔP1-2 = 15 kPa, L = 0.15 m, Q = 0.5 l/s. Calcúlese la porosidad del filtro y obténgase la caída de presión ΔP1-2 que se produciría si circulase un caudal de agua de Q = 0.5 l/s. DATOS: Propiedades del agua: μagua = 10-3 kg/(m s), ρagua = 1000 kg/m3. Propiedades del aire: μaire = 1.8 10-5 kg/(m s), ρaire = 1.2 kg/m3. RESOLUCIÓN En este caso la pérdida de carga se obtiene a partir de la diferencia de presión a través del filtro, pues es horizontal, y la velocidad media es la misma antes y después del filtro:

Paire2121 h

gP

gPP

=ρ

Δ=

ρ− −

La permeabilidad se puede obtener a partir de la ecuación de Darcy:

darcy9.0150001.0

15.00005.0108.1PA

LQP

LvkkgLvh

5

aire21

aire

aire21

SaireSp ==

Δμ

=Δ

μ=⇒

ρμ

=−

−−

Para el caso del agua se puede utilizar la ecuación de Darcy, o comparar dicha ecuación aplicada a agua y aplicada a aire:

kPa33.833108.1

1015000PPPA

LQPA

LQkkgLvh 5

3

aire

aguaaire21agua21

agua21

agua

aire21

aireSp ==

μ

μΔ=Δ⇒

Δ

μ=

Δμ

=⇒ρ

μ= −

−

−−−−


9

4) Un acuífero se recarga a un cierto ritmo durante un período, a la vez que de él se extraen caudales para suministro. Supóngase que el ritmo de aportaciones es constante durante tres meses al ritmo de 10 Hm3/mes, y que el de extracción lo es al ritmo de 2 Hm3/mes durante todo el año. Se supondrá que el nivel la capa freática está a 1 metro del nivel de superficie al final del período húmedo debido a la existencia de una manantial situado a esa cota, que no existen otros drenajes naturales y que la evaporación es insignificante.

Para simplificar, se adopta una geometría del acuífero prismática de eje vertical, por lo tanto con sección horizontal constante, de superficie 10 km2, y que el terreno presenta una porosidad de 0.1 uniforme en todo el dominio. Determinar, representándola gráficamente, la evolución del nivel de la capa freática en un año natural y dar una interpretación al volumen excedente. RESOLUCIÓN El volumen de agua aportado o extraído del acuífero ocupará en éste un volumen mayor debido a la porosidad:

hSV

VV

Total

Agua

Total

Agua

Δ==ε

siendo hΔ la variación en la altura del acuífero al existir una aportación/extracción de AguaV cada mes, y siendo

TotalS =10 km2=1000 Hm2 ; de la anterior expresión, se puede despejar hΔ :

ε=Δ

Total

Agua

SV

h

Meses húmedos: variación de AguaV : 10 - 2 = 8 Hm3; por tanto: m8Hm08.01.0Hm1000

Hm8h 2

3

===Δ

Meses secos: variación de AguaV : - 2 Hm3; por tanto: m2Hm02.01.0Hm1000

Hm2h 2

3

−=−=−

=Δ

-19

-17

-15

-13

-11

-9-7

-5

-3

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Meses

Niv

el C

apa

Freá

tica

[m]

El volumen excedente (durante parte del tercer mes) aparece en el manantial.

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