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Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1/41Tema 6: Inducción

Tema 6: Inducción

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2010/11



1. Introducción

2. Ley de Faraday

3. Ley de Lenz

4. Fuerza electromotriz de movimiento

5. Campo eléctrico inducido

6. Inductancia

7. Energía magnética

Índice

Tema 6: Inducción



1. Introducción

En 1831, M. Faraday(Inglaterra) y J. Henry (EE.UU.)

descubren que cuando se mueve un imán cerca de un aro metálico, aparece una corriente eléctrica en el aro.



Aquí hemos sustituído la espira única por un arrollamiento de espiras (bobina). El efecto es el mismo: También se induce en ellas una corriente por efecto del movimiento del imán.E igualmente, si mantuviéramos quieto el imán y lo que desplazáramos fueran las espiras.

Introducción



Introducción

También ocurre lo mismo si en lugar de un imán, lo que movemos es una corriente en las proximidades del aro.

Éste circuito transporta una corriente porque está conectado a la batería

Éste, en cambio, no estáconectado! Y sin embargo, también aparece una corriente en él, sólo por mover el otro.

(Devanado primario)

(Devanado secundario)

batería

(Esto es sólo un medidor)



Introducción

O si, sin desplazarlo, abriéramos y cerráramos el interruptor.

(Oersted)



Introducción

En todos los casos aparece una corriente inducida, generada por lo que se llama una “fem inducida”.

Un campo magnético que varía con el tiempo puede generar (inducir) una corriente eléctrica en el aro…

La clave común de todos estos experimentos es el flujo magnético que atraviesa el aro, que, por una razón u otra, varía en el tiempo.



Introducción

… que se puede cuantificar en términos del “flujo magnético” que lo atraviesa.

Recordamos qué es el flujo magnético:

B Sm dφ = ⋅∫ Si el flujo magnético varía…

en el tiempo

a trav

és d

e S

S



2. Ley de Faraday

… entonces aparece una feminducida:

mddtφε = −

La fem inducida en un aro (espira o circuito) es igual a (menos) la variación con respecto al tiempo del flujo magnético que lo atraviesa.

La fem inducida en un aro (espira o circuito) es igual a (menos) la variación con respecto al tiempo del flujo magnético que lo atraviesa.

Ley de Faraday de la inducciónLey de Faraday de la inducción

Fem inducida

El signo lo discutiremos más tarde



1. Introducción

Para un bobinado de N espiras:

mdN

dtφε = −

Fem inducida

N espiras

Símbolo de circuito:

Nombre: “bobina”

El flujo se multiplica por el número de espiras, y con él, la fem.

Ley de Faraday



mddtφε = −

… vemos que se puede inducir una fem en un circuito de varias formas:

… vemos que se puede inducir una fem en un circuito de varias formas:

De esta expresión…

1. Porque cambie el módulo de B2. Porque cambie el área del circuito, S

O su orientación respecto a B3. Porque cambie la dirección de B4. O alguna combinación de las anteriores

1. Porque cambie el módulo de B2. Porque cambie el área del circuito, S

O su orientación respecto a B3. Porque cambie la dirección de B4. O alguna combinación de las anteriores

con B Sm dφ = ⋅∫Ley de FaradayLey de Faraday

S

Ley de Faraday



3. Ley de Lenz

Vamos con ese signo…

mddtφε = −

Ley de FaradayLey de FaradayFem inducida

Ley de Lenz: Ley de Lenz: La polaridad de la fem inducida en la espira es tal que se opone al cambio del flujo magnético en ella. La fem y corriente inducidas se oponen al cambio que las produce. (Es decir, intentan mantener el “status quo”).

En realidad, la ley de Lenz está contenida en la de Faraday: es sólo la interpretación de su signo.



Ley de Lenz



4. Fuerza electromotriz del movimiento

Se llama así a la fem inducida por el movimiento de un conductor en un campo magnético

Por ejemplo: Si nuestra barra se desplaza dentro de B, aparece una ddp. entre sus extremos:

0F F e B qE qvB− = =

Las cargas estarán en equilibrio cuando:

Aparece un campo eléctrico en la barra

que produce una ddp:

Esta ddp se mantiene mientras dure el mov. Si se invierte el sentido de mov., se invierte también la polaridad de ΔV.

V E L BvLΔ = ⋅ =



Si nuestra barra formara parte de un circuito…Aquí la fem aparece debido a que el área S varía, (circuito deformable):

Fuerza electromotriz de movimiento

El flujo magnético que atraviesa el circuito es

m BLxφ =área del circuito

(Campo y superficie perpendiculares)x



Así que la fem inducida será:

Fuerza electromotriz de movimiento

( )md d dxBLx BL BLvdt dt dtφε = − = − = − = −

BLvIR Rε

= =

Si la resistencia del circuito es R, la intensidad inducida será:

Y la potencia desarrollada por la fem inducida:

( )2 2 2

22

aplB L v BLvP F v ILB v R I R

R R⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠



5. Campo eléctrico inducido

Consideremos el siguiente ejemplo: un solenoide y una espira conductora circular

No puede ser una fuerza magnética: El campo magnético que genera el solenoide está confinado en su interior. En la región externa donde está la espira ni siquiera hay campo magnético.

Si la I en el solenoide varía, aparece una I’ inducida en la espira. ¿Pero cuál es la fuerza que hace circular las cargas en la espira? B

I’



Campo eléctrico inducido

Nos vemos obligados a admitir que en la espira se crea un campo eléctrico inducido, como resultado de la variación del flujo magnético. El trabajo que realiza ese campo sobre cada carga es precisamente la fem εind.

( ). . .p q

C

uCE d Wε = == ⋅∫

Ley de Faradayen fon. de E

Ley de Faradayen fon. de E

E mC

dd

dtφ

ε = ⋅ = −∫

Con ello, la L. de Faraday se puede escribir, para un trayecto de integración C constante:

Trabajo que realiza el campo E ind. por unidad de carga

Fem inducida




Como vemos, este campo eléctrico inducido NO ES CONSERVATIVO:

Campo eléctricodebido a cargas estáticas (tema 1)

Campo eléctrico inducido por cambios de flujo magnético

CONSERVATIVO

NO CONSERVATIVO


( ) 0. . .p q

C

uCE d Wε == ≠=⋅∫

El trabajo que realiza este campo E ind. es = 0Campo eléctrico inducido.

A diferencia del producido por carga estática, éste no es conservativo (su integral a lo largo de un camino cerrado no es cero).




Calcular E para un contorno circular de radio r<R, y para otro de radio r>R

Sea una región circular acotada, donde B=0. (Afuera, B=0)

Calculémoslo, por ejemplo, para el caso de la espira que rodea al solenoide:

La simetría del problema hace que el campo eléctrico sea constante (en módulo) sobre cualquier contorno circular, y además, tangente (no puede ser radial porque eso implicaría una carga interior al contorno, y no la hay).

En ella, además, el campo magnético varía, a razón de K T/s, . dB Kdt

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠




¿Cuánto vale E, para una espira de radio r < R, y para otra de radio r > R?

¿Y si no tuviéramos espira conductora sobre el contorno?¿Habría campo eléctrico inducido, o fem sobre él?



6. Inductancia6. Inductancia

La inductancia es un parámetro que mide la capacidad de

influencia de un circuito sobre otros, o sobre sí mismo.

¿Cómo se produce esa influencia?

I’



I1

La intensidad que recorre el circuito 1, I1,provoca un flujo magnético tanto a través de símismo como a través del conductor 2, situado en sus cercanías.

Inductancia

Como el campo magnético es proporcional a la intensidad, el flujo magnético también lo es:

B

Flujo a través del cond. 1


Coeficiente de

Autoinduccióndel cond. 1

Coef. deInducción mútua

1 1 1

2 1

m

m

L IM I

φφ

=

=

1

2



Igualmente, si repetimos el experimento haciendo circular la intensidad ahora por el circuito 2, I2,provocaría un flujo magnético tanto a través de símismo como a través del conductor 1:

Inductancia

2 2 2

1 2

m

m

L IM I

φφ

=

=

Coeficiente de

Autoinduccióndel cond. 2

Coef. deInducción mútua

I2

B



1

2



Igual que la capacidad, los coeficientes de inducción sólo dependen de la geometría del circuito (y del medio interconductor). Por eso, para nuestro sistema de dosconductores, en contra de lo que podría pensarse, sólo hay tres coefs. de inducción distintos: L1, para el circ. 1, que da cuenta de la geometría del circ. 1, L2, que da cuenta de la geom. del circ. 2, y M, que da cuenta de la geom. compartida del sistema.

Inductancia

Para un sistema general de N conductores, escribiríamos esta relación en forma matricial:

1 1 12 1 1

2 21 2 2

1

N

N N N N

L M M IM L I

M L I

φφ

φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]L Iφ = ⋅Donde [L] es la matriz de inductancia, que es simétrica

O de forma más compacta:



Inductancia

Unidades de L y M:

[ ] [ ] [ ][ ]

' 'Webers Wb

L M Henrio HI Amperio Aφ

= = = = = =

Si las intensidades I1 y/o I2 cambian, producen fem’sinducidas:

1 11 1

2 12

m

m

d dIL

dt dt

d dIM

dt dt

φε

φε

= − = −

= − = −

1 21

2 22 2

m

m

d dIM

dt dt

d dIL

dt dt

φε

φε

= − = −

= − = −

Debido al cambio de I1 Debido al cambio de I2

En el circ. 1:

En el circ. 2:



Inductancia

Ejemplo: Autoinducción de un solenoide

0B nIμ=

( )

10 0

21 2

0 0

espiram

N espiras espiram mN

NB A nI A I A

NI A n I A

φ μ μ

φ φ μ μ

−

− −

=

⋅

⋅ = =

= = =

( )20

N espirasmL n A

Iφ

μ−

= =0B nIμ=

Si es ideal (infinitamente largo), el campo sólo existe dentro, y es aproximadamente uniforme,

El flujo magnético a través de una sola espira:

El flujo magnético a través de todas las espiras:

A Autoinductancia del solenoide



7. Energía magnética

Presentamos el estudio energético en un caso concreto: un solenoide. ¿Cuánto vale la energía en un solenoide/bobina? ¿En qué la emplea?

0B nIμ=

Empezamos por la primera pregunta:¿Cuánto vale la energía en un solenoide?

Hablamos de “energía” en general,

luego veremos de qué naturaleza es

esta energía.



Energía magnética

0B nIμ=

Pues bien, calculémosla:¿Cuánto vale la energía en un solenoide?

Este cálculo lo hacemos a partir de la potencia: Ya sabemos (del tema 4)que la potencia empleada por cualquier elemento de circuito es:

abP V I=

Lo recordamos:



Watios

•La cantidad de carga que atraviesa el elemento en un dt:

•El cambio de Energía, dU:

•La transferencia de energía por unidad de tiempo (potencia):

Unidades:

[Julios][segundo]

[Coulombios][segundo]

[Julios][Coulombios]

= = =

fig 25.21Sears

P =dEp,abdt

= Vab I = [Voltios][Amperio] = W

Energía y potencia en circuitos eléctricos (tema 4)

Recordamos:

( ) ( )a b a bdU V V dQ V V I dt= − ⋅ = − ⋅ ⋅

abdU

P V Idt

= = =

Para un elemento genérico:

dQ I dt= ⋅



Energía magnética

Lo único que tenemos que hacer, para calcular P (potencia) en un solenoide, es identificar cuál es la Vab que cae en sus extremos.

0dIdt

>

I

•

•

a

babV =

Suponiendo ese sentido de recorrido para la intensidad, ésta puede aumentar o disminuir 0

dIdt

<

0dIdt

<

dIL

dt= +

dILdt

= −

0dIdt

>

cae, de a a b, para

Y aumenta, de a a b, para

abV



Energía magnética

Es decir, nuestro solenoide/bobina/inductor presenta una polaridad variable, dependiendo del signo de la dI/dt (o sea, del aumento o disminución de I). En los dos casos, siempre se opone al cambio (ley de Lenz), con el mismo valor:

I

•

•

a

b 0dIdt

<

dILdt

ε = 0dIdt

>

≡

≡•

•

a

b

+

dIL

dtε =≡

•

•

a

b

+

,

,

fem inducida



Energía magnética

el sentido de circulación mostrado, supongamos una variación de la Ipositiva (I aumenta, Con esa elección, la potencia sería:

I

•

•

a

b

0dIdt

>

abdI

P V I LIdt

= ⋅ =

dU dIP LI dU LIdIdt dt

= =→=

).

De la potencia, obtenemos la energía

Energía de un inductor

212

dU LId LIU I=→ = =∫ ∫

Independientemente de su polaridad, (signo), Vab= . Para dILdt

ε = ±

Positiva(al final del

capítulo hablaremos del

signo)



∀La “densidad” de energía, u:

Y por unidad de volumen (p.u.v.)

Energía almacenada por el campo magnéticoEnergía almacenada por el campo magnético

Aunque la hayamos sacado del solenoide, esta expresión tiene validez general para inductor de geometría. La energía la almacena el campo. Por tanto, allá donde haya campo, hay energía almacenada, (en particular, en el interior del solenoide).

∀ ∀

2

0

12

Buμ

=

( ) ( ) ( )2 2 2 2

02 2 20

0 0

1 1 1 12 2 2 2

n A I BU LI n A I Aμ

μμ μ

= = = =

En función del campo magnético: En función del campo magnético: 2

012

u Eε=

Otra forma de expresar lo mismo: Otra forma de expresar lo mismo:

(Para un solenoide recto):Volumen del

solenoide



Energía almacenada por el campo magnéticoEnergía almacenada por el campo magnético

¿En qué emplea la energía el solenoide (o en general, cualquier inductor)?

¿En qué emplea la energía el solenoide (o en general, cualquier inductor)?

Y llegamos a la segunda pregunta: Y llegamos a la segunda pregunta:

La almacena (energía magnética).Igual que el condensador almacenaba energía (eléctrica).

La energía almacenada siempre es positiva, (todo es positivo en la expresión de U), así que sus valores oscilan entre cero (mínimo) y 1/2LI2 (máximo), cuando circula una intensidad de corriente estable I.

Sin embargo, el valor de la potencia desarrollada depende del signo de “dU”, y éste, del delproducto “IdI”. Es decir, aunque la energía almacenada en el inductor sea siempre positiva, su cambio (“dU”) puede ser tanto positivo como negativo, indicando el signo un flujo de energía hacia el exterior, o hacia el interior del inductor. Si la intensidad aumenta, IdI >0, y la energía fluye hacia el interior del inductor y se almacena. Si la intensidad disminuye, IdI<0, la energía fluye desde el inductor hacia el exterior, (se libera). Cuando IdI=0, no entra ni sale energía del inductor, su energía se mantiene constante al valor que tenía.



ResumenResumen



Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté(vol. II)•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de

Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. RevertéSears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education

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