tema 6.- estados bidimensionales - eii uva · es una lista “muchas” funciones biarmónicas en...

Tema 6.- Estados Bidimensionales

1. Introducción

2. Deformación plana

3. Tensión plana

4. Función potencial de tensiones de Airy

5. Planteamiento en coordenadas cartesianas

6. Planteamiento en coordenadas polares

ó

Solución, usualmente aproximada, pero útil, en función de las variables en el plano 1-2 : u1, u2, 11, 12, 22, ...

Existen métodos específicos, planteados en tensiones, para obtención de soluciones de problemas 2D.


1. Introducción


3. Tensión plana




Matemáticamente:

3

1 1 1 2

2 2 1 2

0

( , )

( , )

u

u u x x

u u x x

33 33 11 22

13 23 13 23

) 0 ( ) 0

) 0 0

a

b

nada depende de x3

x1

x2

3

3 3

3

prisma recto

extremos u 0

0

cargas indep. de x

X X

Se reproduce físicamente si:

x1

x2

x3

Deformación Plana: La solución correctora(u3=0 en extremos: es “raro” en la práctica)

Mi probl.

Corrector

D. P.

=

+

“Corrector”: prb. 3D complicado

Lo aproximamos por otro, usando St. Venant (“forma débil de las condiciones de contorno”):

33 1 2 3

ij

( x )

0

Ax Bx C

otros

Salvo esa aprox. la solución de D.P. dá ya las 11, 12, 22, finales.

Corr. Aprox.

Observaciones:

1) Para que sea aplicable el prisma ha de ser “largo” (St. Venant ).

2) ¿33 depende de x3? (y por tanto lo demás?)En el prb. de DP genuino, no. En el prb. corrector, sí (*).En el prb. corrector aproximado, no.

En el prb. “usual”, sí (*).

(*) Aunque esperamos que en la gran zona central, dependa muy poco.

3) En la práctica: un prb. de D.P. “usual” tendrá 33 autoequilibrada en la sección (exactamente nula en los extremos) para predecir la plastificación podemos despreciarla, con poco error.

4) En la práctica: un prb. de D.P. “genuino” tendrá 33 ≠0, no despreciable, pero una vez resuelto en 1-2, su cálculo es inmediato.

Deformación Plana: Ecuaciones de campo

Como 13= 23= 33=0,

2ij kk ij ijG

es válida con i,j,k 1,2.Además:

33 11 22( )

LEY DE COMPORTAMIENTO

11 11 11 22 33

11 11 22 11 22

11 11 22

11 11 22

(1 ) ( )

(1 ) ( )

(1 ) (1 )( )

(1 ) ( )

E

O bien desde Eij=(1+)ij-kkij :

22 22 11 22... (1 ) ( )E

(1 )( )ij ij kk ijE es válida con i,j,k 1,2.

siempre i,j,k 1,2


ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Como es /x3 =0 , 0ij j iX (Además, X3=0)

En el contorno: ij j in X (ya que 13= 23 =0)

33 3 3n X (Además, en los extremos del prisma)

siempre i,j,k 1,2

COMPATIBILIDAD

1, ,2 ( )ij i j j iu u (Evidentemente, los demás ij=0)


INTEGRABILIDAD

11,22 22,11 12,12

22,33 33,22 23,23

33,11 11,33 31,31

2

2

2

11,23 23,11 12,13 13,12

22,31 31,22 23,21 21,23

33,12 12,33 31,32 32,31

MICHELL Y BELTRAMI

siempre i,j,k 1,2

11 22 11 22 ,

1( , , )( )

1 j jX

211 22

1( ) ( )

1div X

uurO bien con laplaciano en 2D:

11,23 23,11 12,13 13,12

22,31 31,22 23,21 21,23

33,12 12,33 31,32 32,31


1. Introducción


3. Tensión plana




las deformaciones tampoco

Definición de T. P. : Las tensiones no dependen de x3,

y además 13= 23= 33=0

Esto se reproduce aproximadamente en la siguiente situación:

3

1 2 3 3

Placa delgada, espesor 2h<<L

X 0

0 en x = hX X X

x1

x2

x3

2h

L

x2

x3

Incompatibilidad de las hipótesis de T.P.

13 233

( , ) 0ij i jx

11,22 22,11 12,12

22,33 33,22 23,23

33,11 11,33 31,31

2

2

2

11,23 23,11 12,13 13,12

22,31 31,22 23,21 21,23

33,12 12,33 31,32 32,31

Todas las deriv. 2as de 33 (en 1-2) son =0, 33 lineal en x1,x2.

Y siendo 33=0 E33=33-1122

¡¡Pero 1122 no tiene porqué ser lineal en x1,x2 !!

¿Cómo es de verdad? En general:

x1 ó x2

x3

23 ó 13

x1 ó x2

x3

33

(simetría) (3a ec. de equilibrio en h)

A la vista de esto: si el espesor es pequeño, funciones regulares no tienen espacio para crecer mucho bajo esas condiciones que deben cumplir. Es buena aproximación despreciarlas frente a las tensiones en 1-2.

Tensión Plana: Ecuaciones de campo siempre i,j,k 1,2

LEY DE COMPORTAMIENTO

(1 )ij ij kk ijE ... entre otras muchas formas.

1

2 2 (1 )ij ij kk ijG G

1 1

2 2ij ij kk ij ij kk ijE G G

En D.P. teníamos:

En T.P. tenemos:

si en D.P. ponemos el valor /(1+) donde había , obtenemos la ley de T.P.

La condición es que usemos sólo G, .

Tensión Plana: Ecuaciones de campo siempre i,j,k 1,2ECUACIONES DE EQUILIBRIO

, ij0 en V ; en Sij j i j iX n X (no hay más)

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

1, ,2 ( )ij i j j iu u (además hay 330, como vimos)

ECUACIONES DE INTEGRABILIDAD

11,22 22,11 12,122 (además 33,11= 33,22= 33,12=0, que no se satisfacían exactamente)

ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI

211 22

1( ) ( )

1div X

uur(Laplaciano y div. 2D)


1. Introducción


3. Tensión plana




Consideramos el probema 2D sin fuerzas de volumen (Xi=0)

1

2

/11,1 12,2 11,11 12,21

21,1 22,2 22,22 21,12/

0

0

x

x

las tres cosas son iguales

Probamos a igualarlo a la deriv. 4 de una función escalar

11,11 22,22 12,12 1122, Ésta y las de equilibrio se satisfacen siempre si tomamos:

11 22 22 11 12 12, ; , ; ,

Además debe satisfacerse integrabilidad (Michel y Beltrami):2 2 2 2

11 22 22 11 1111 1122 2222( ) ( , , ) ( ) , 2 , , 0 4 0

NOTA: Independencia de las tensiones respecto del material:

A la vista de lo anterior, un problema con c.c en tensiones (solamente), puedo resolverlo sin usar la ley de comportamiento.

las ctes. elásticas no afectan a la solución de tensiones de ese tipo de problemas.

¡¡ puedo realizar modelos a escala de otro material diferente!!

10 ton/m

20 gr/cm


1. Introducción


3. Tensión plana




Lo mas inmediato: funciones polinómicas en x-y.

Si son de grado < 3, las tensiones (y deformaciones) serán de grado < 1, y satisfarán siempre las ecuaciones de integrabilidad.

de grado 2: Ax2+By2+Cxy

xy

Ax2

2A

By2

2B

Cxy

C

de grado 3:Dx3+Ex2y

+Fxy2+Gy3

xy

Dx3

6Dx

Gy3

6Gy

2Ey

Ex2y

Ex2y

2x

Fxy2

2Fx

Fxy2

2Fy

Hay que hacerlo involucrando a todos los términos del mismo grado a la vez, porque uno sólo no puede ser biarmónico (4x1

50)

La condición es mas restrictiva de lo que pudiera parecer: de los términos de un grado dado (>3), sólo nos quedarán 4

parámetros independientes, independientemente de lo elevado que sea el grado.

Cada grado que aumentamos aporta un número de parámetros

constante (4), pero una complejidad creciente.

Para usar polinomios de 4º grado en x-y (o superior), se requiere imponer su biarmonicidad.


1. Introducción


3. Tensión plana




Muy resumido:

r

r

rr

Clave: los ejes cambian de orientación al cambiar el punto observado.

Una derivada se calcula con el valor en dos puntos: Por eso las ecuaciones con derivadas tendrán distinta apariencia en polares. Por ej. las de equilibrio interno, compatibilidad, o integrabilidad.

Las ecuaciones algebraicas mantendrán su apariencia. Por ej. la ley de comportamiento.

No hay que razonar nada nuevo (la función de Airy debe seguir siendo biarmónica, etc). La transformación a polares de las ecuaciones en cartesianas (el operador 4 etc), es rutina matemática.

Tabla de funciones de Airy en polares.

Nos dan mucho trabajo hecho. No tenemos que “descubrir” por nuestra cuenta funciones biarmónicas, ni hacer sus derivadas.

Es una lista “muchas” funciones biarmónicas en polares, que tiene tabuladas las tensiones y desplazamientos que derivan de ellas.

Se utilizan con un enfoque inverso de resolución: Buscamos las tensiones (c.c.) que necesitamos satisfacer en nuestro problema, y construimos la solución basándonos en ellas.

Problemas axisimétricos: los que tienen las TENSIONES independientes de . No hay muchos problemas planos axisimétricos, sólo los 4 primeros términos de las tablas.

tema 6.- estados bidimensionales - eii uva · es una lista “muchas” funciones biarmónicas en...

Documents