tema 5 potències i arrel quadrada - ieslaasuncion.org · – si el radicand és positiu i...

Bloc I. ARIMÈTICA. Tema 6: POTÈNCIES I ARREL QUADRADA TEORIA

IES L’ASSUMPCIÒ d’Elx http://ww w.ieslaasuncion.org MATEMÀTIQUES 1r ESO

1

1. INTRODUCCIÓ.

Observa l’arbre genealògic de Lluïsa:

Hi ha ocasions en les que per a resoldre un problema es necessari fer multiplicacions amb factors iguals. Fíxa’t en el següent exemple:

Calcula el nombre de besavis que té Lluïsa:

!

Pares : 2

Iaios : 2 " 2 = 4

Besavis : 2 " 2 " 2 = 8

#

$ %

& %

Per a expressar aquestes multiplicacions on tots els factors són iguals de manera abreujada, utilitzarem les potències.

2. POTÈNCIES. * Una potència és una forma abreujada d’escriure un producte de factors iguals:

!

a " a " a " a " a " a = a6

* En les potències el factor repetit s’anomena base, i el nombre de vegades que es repeteix, exponent.

Rebesavis

Besavis

Iaios

Pares

Lluïsa



2

Exemple:

Si l’exponent és 2, es llig al quadrat; si és 3, al cub; si és 4, a la quarta; si és 5, a la cinquena; etc.

* Quan la base “a” és un nombre negatiu cal tancar-l’ho entre parèntesis. Per exemple,

!

"2( )4 , significa que el

nombre

!

"2 es multiplica per si mateix quatre vegades i per tant el seu valor és 16.

Observa que (núm. negatiu)parell = positiu , en canvi, (núm. negatiu)imparell = negatiu

Exemples:

Exemples:

!

"5( )2

= ("5) # ("5) = 25

"5( )3

= ("5) # ("5) # ("5) = "125

* La base de la potència pot ser qualsevol nombre. Per exemple

!

2

3

"

# $ %

& '

2

=2

3(2

3, és a dir, és

!

4

9.

3. NOTACIÓ CIENTÍFICA.

* Escriure un nombre en notació científica és expressar-l’ho de la forma

!

a "10n sent

!

"a" un nombre enter o decimal major o igual que 1 i menor que 10 i

!

"n" un nombre enter. La notació científica s’utilitza per a expressar números molt grans o molt xicotets. Observa els exemples on passem un nombre a notació científica o viceversa:

!

4205 = 4,205 "103; 0,0009503 = 9,503 "10

#4; 325,12 = 3,2512 "10

2; 7 "10

6= 7000000; 2,1"10

#2= 0,021

Es llig:

!

4 elevat a tres

o

4 elevat al cub

"

# $

% $



3

4. PROPIETATS DE LES POTÈNCIES.

* Per a multiplicar dos potències de la mateixa base, se sumen els exponents:

Exemple:

!

24" 2

3= 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 = 2

7

24" 2

3= 2

4+3= 2

7

* Per a dividir dos potències de la mateixa base, es resten els exponents:

Exemple:

!

27: 2

3= 2

7"3= 2

4

* La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors:

Exemple:

!

2 " 3( )3

= 63 = 6 " 6 " 6 = 216

23" 3

3 = (2 " 2 " 2) " (3 " 3 " 3) = 8 " 27 = 216

* La potència d’un quocient és igual al quocient entre les potències del dividend i del divisor:

Exemple:

!

6 : 3( )3

= 23 = 2 " 2 " 2 = 8

63: 3

3 = (6 " 6 " 6) : (3 " 3 " 3) = 216 : 27 = 8

!

am" a

n= a

m+n

!

am: a

n= a

m"n

!

am

an

= am"n

!

(a " b)n

= an" b

n

!

a : b( )n

= an: b

n

!

a

b

"

# $

%

& '

n

=an

bn



4

* Per a elevar una potència a una altra potència, es multipliquen els exponents:

Exemple:

!

25( )3

= 25 " 25 " 25 = 25+5+5 = 215

Errors habituals!!!!!

* No és igual

!

an que

!

a " n . Per exemple, estaria mal dir que

!

35 és igual a

!

3 " 5 ja que

!

35

= 3 " 3 " 3 " 3 " 3 = 243 i en canvi

!

3 " 5 =15.

* No és igual

!

("a)n que

!

"an . Per exemple, estaria mal dir que

!

"3( )2 és igual a

!

"32 ja que

!

"3( )2

= ("3) # ("3) = 9 i en canvi

!

"32

= "3 # 3 = "9 .

* No és igual

!

(a + b)n que

!

an

+ bn . Per exemple, estaria mal dir que

!

2 + 3( )2 és igual a

!

22

+ 32 ja que

!

2 + 3( )2

= 52 = 25 i en canvi

!

22

+ 32

= 4 + 9 =13.

5. ARRELS.

* L’arrel d’índex "n" del nombre "a" (radicand) és el nombre "b" tal que

!

bn

= a , és a dir:

* Quan l’índex és 2 s’anomena arrel quadrada, quan l’índex és 3 s’anomena arrel cúbica.

* Es diuen quadrats perfectes als quadrats dels nombres enters. Es diuen cubs perfectes als cubs dels nombres enters.

* Observa que: – Si el radicand és positiu i l’índex és parell aleshores hi ha dos arrels.

– Si el radicand és negatiu i l’índex és parell aleshores no hi ha arrels.

– Quan l’índex és imparell sempre hi ha una única arrel siga quin siga el radicand.

!

am( )

n

= am "n

ÍNDEX

RADICAND



5

Exemples:

Exemples:

!

49 = 7 ja que 72

= 49

Però 30 no és exacta, aleshores calculem l"arrel entera :

52

= 25 < 30

62

= 36 > 30

# $ % & 5 < 30 < 6& 30 ' 5

6. JERARQUIA DE LES OPERACIONS I ÚS DEL PARÈNTESI

* La jerarquia de les operacions i l’ús del parèntesi diu que quan es tenen distintes operacions combinades s’ha de seguir l’orde:

a) Parèntesi.

b) Potències i arrels.

c) Multiplicacions i divisions.

d) Sumes i restes.

e) Si les operacions tenen el mateix nivell, es comença per l’esquerra.

Exemples:

Exemples:

!

164 " (2 " 3)5" 3

2# 49 =

= 2 " ("1)5" 9 # 7 =

= 2 " ("1) " 63 =

= 2 +1" 63 =

= 3" 63 =

= "60

Bloc I. ARIMÈTICA. Tema 6: POTÈNCIES I ARREL QUADRADA EXERCICIS Resolts en http://www.aprendermatematicas.org

IES L’ASSUMPCIÒ d’Elx http://ww w.ieslaasuncion.org

6

MATEMÀTIQUES 1r ESO

EXERCICIS 1. Potències:

a) Calcula 32 , 51 , 2

3,0 , 3

3

5!"

#$%

&, 07 , 4

0 , ( )42! , 42! , ( )51! , 4

10

b)Troba els quadrats i els cubs perfectes menors de 200. c)Passa a notació científica els nombres 570400000 i 0,000021 d)Passa a notació decimal els nombres

!

2,7 "10#3 i

!

3,1402 "105

e)Tenim una finca quadrada el costat de la qual mesura 23 m. Quin és el preu de venda si cada 2m val 20 €?

f) Calcula el volum d’un poal de 4 m d’aresta.

2. Propietats de les potències a) Expressa el resultat en forma d’una única potència. a1) 27

33 ! a2) 262:2 a3) ( )32

5 a4) 4423 ! a5) 55

2:6 a6) ( ) 254

2: xxx !

b) Quines expressions són certes i quines són falses? b1) 377

3!= b2) ( ) 33

55 !=! b3) ( ) 2223232 !=! b4) ( ) 222

3232 +=+ b5) ( ) 22532 =+

3. Arrel quadrada a) Calcula mentalment 25 , 0 i 4! b) Calcula l’arrel quadrada per defecte i per excés de 90. c) Realitza les següents operacions sense calculadora

!

3 " 24# #7( )

2

# 50 : 52( ) " 81 + #1( )

3

" 2 " 49 + 16 " 4 : 16( )

d) Un terreny quadrat té 2625 m d’àrea. Quin és el seu perímetre?

4. Procediment de l’arrel quadrada a) Troba sense calculadora i comprova el resultat b) Troba sense calculadora 697 . Comprova que residuarrelradicand +=

2 . Troba 697 amb dos decimals. c) Un tauler de fusta de forma quadrada té una superfície de 2

242,9 m . Calcula el que mesura cada costat arredonint als centímetres. I si la superfície fora de 2

8649,0 m ?

5. Calcula el valor de x en cada cas: a) 162 =

x b) x=23 c) 8

3!=x d) 125

3=x e) 7±=x f) x=81

g) x=0 h) 1±=x i) x1001,5501 != j) x

10202,0 != k) x42222 =!!!

6. Fes les operacions amb la calculadora i arredonix el resultat a dos decimals ( ) ( )4344453223

!+!"

7. En un carrer hi ha 6 cases, cada una té 6 pisos i cada pis 6 vivendes i en cada vivenda hi ha una mitjana de 6 persones. Expressa en forma de potència el nombre mitjà de persones que viuen en al carrer i troba quanta en són.

8. Alba veu una notícia a la televisió i, quan arriba a classe, en cinc minuts se la conta a 5 amics, cadascú d’aquestos se la conta cada 5 minuts a altres 5, i així successivament. Si el centre on estudia té 750 alumnes, quant de temps tarden a assabentar-se tots els alumnes del centre?

9. Es desitja tancar una finca que té forma quadrangular i l’àrea de la qual és de 5776 2m . Si el metre de tanca

costa a 12 €, quant costa tancar-la? 10. Una paret d’un bany és quadrada i té en total 144 taulellets quadrats. Si cada taulellet mesura 25 cm, quant

mesura de longitud la paret? 11. Escriu en forma de potència el nombre de besavis que té cada persona, i calcula el resultat.

Bloc I. ARIMÈTICA. Tema 6: POTÈNCIES I ARREL QUADRADA EXERCICIS Resolts en http://www.aprendermatematicas.org

IES L’ASSUMPCIÒ d’Elx http://ww w.ieslaasuncion.org

7

MATEMÀTIQUES 1r ESO

12. Deixem caure una pilota des d’1 m d’altura. Cada bot puja d’alt els 3/4 de l’anterior. Escriu en forma de potència l’altura que aconseguirà al tercer bot, i troba el resultat.

13. Un llibre de matemàtiques mesura de grossor

!

1,5 "10#2m i té 280 pàgines. Calcula el grossor de cada full en

metres i notació científica.

14. Calcula en notació científica el nombre de segons que té un any bixest. 15. Un cine té el mateix nombre de files que de columnes. Venen totes les entrades per a una sessió, obtenint 675 €.

Si han venut cada entrada a 3 €, quantes files té el cine? 16. Volem posar taulells en el sòl d’una habitació quadrada, i en cada costat caben 12 taulells. Si cada taulell costa

1,5 €, quant costen tots els taulells que necessitem? 17. En quines xifres pot acabar un quadrat perfecte?

18. Troba el nombre l’arrel del qual quadrada sencera és 27 i dóna 15 de resta. 19. Tenim una habitació quadrada de 4,5 m de costat i volem entaulellar-la amb taulells de 35 cm de costat. Quants

taulells hem de comprar? 20. Per a embalar calcetins, introduïm cada parell en una caixa xicoteta de forma cúbica. Al seu torn, introduïm en

caixes majors les caixes xicotetes, de manera que caben 36 caixes de calcetins en el fons d’una caixa gran i 6 caixes en cada columna. Escriu en forma de potència el nombre total de caixes de calcetins. Si cada caixa de calcetins costa 5 €, quin serà el valor de la caixa gran que conté les caixes xicotetes amb els parells de calcetins?

tema 5 potències i arrel quadrada - ieslaasuncion.org · – si el radicand és positiu i...

Documents