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Tema 5. Introducción a los modelos de ecuaciones estructurales o modelos causales 5.1 Introducción a los modelos de ecuaciones el planteamiento LISREL. 5.2. Fases en la elaboración de un modelo.

5.2.1. El diagrama causal. 5.2.3. Especificación de las ecuaciones estructurales. 5.2.4. Estimación de parámetros utilizando la regla del trazado: condición de identificación.

5.2.4.1. Tipos de efectos.5.2.4.2. Descomposición de correlaciones: la regla del

trazado.5.2.4.3. Estimación de los parámetros: ejemplos

5.2.5. Ajuste del modelo a la realidad. 5.3. Aplicación mediante ordenador.

5.1 Introducción a los modelos de ecuaciones estructurales: el planteamiento LISREL.

Generalización del modelo de regresión lineal para atender, desde un punto de vista estadístico, cualquier hipótesis sustantiva

Ejemplos:

1) Un investigador quiere probar la siguiente hipótesis: Los resultados académicos en la Universidad dependen de los resultados en el bachillerato y éstos de los resultados en primaria.

2) Un investigador mantiene la hipótesis de que el estrés laboral depende de la responsabilidad del puesto de trabajo y la responsabilidad depende, a su vez, de la estructura de la empresa y de las expectativas de éxito del trabajador.

Hipótesis 1

Rendimientos en primaria

Rendimientos en la Universidado

Rendimientos en Bachillerat

Hipótesis 2

Estructura del servicio

Expectativas de éxito

ResponsabilidadEstrés


Tipos de variables en los modelos estructurales

Variable latente.Ej. Inteligencia

Variable observada (variable manifiesta) métrica (intervalo o razón). Ej. Renta familiar


Naturaleza de las relaciones

Relación estadística que no es de naturaleza causal entre dos variables del mismo nivel de observabilidad. Ej. Relación entre depresión y ansiedad

Relación de dependencia unidireccional, recursiva o directa entre dos variables. En algunos casos estaría justificada la interpretación causal.

Relación recíproca, bidireccional, no recursiva entre dos variables

Modelos estructurales

Modelos estructurales con

variablesobservadas

Modelos estructurales con variables latentes

Modelos con relaciones bidireccionaleso no recursivos

Modelos con relaciones

unidireccionales, recursivos o

modelos “PATH”

Modelos con relaciones bidireccionaleso no recursivos

Modelos con relaciones

unidireccionales o recursivos

5.2. Fases en la elaboración de un modelo. 5.2.1. El diagrama causal.

El diagrama causal es el primer nivel de formalización de la hipótesis formulada por el investigador. Es un gráfico en el que se representan a las variables incluidas en la hipótesis, las relaciones entre ellas y los parámetros del modelo.Tanto para elaborar el diagrama causal como para escribir las ecuaciones estructurales seguiremos la normativa del programa LISREL (LInear RELationships)


Representación de variables: se distingue entre variables exógenas y variables endógenas. Son variables exógenas las que no vienen determinadas por ninguna otra variable en el modelo. Las variables exógenas entre ellas sólo pueden covariar. Se representan por la letra “X” con subíndices numéricos y dentro de un cuadrado.Las variables endógenas son variables determinadas por otras variables exógenas o endógenas. Se las representa por la letra “Y” con subíndices numéricos y también se incluyen en un cuadrado.

Hipótesis 1

Rendimientos en primaria: X1

Rendimientos en Bachillerato: Y1

Rendimientos en la Universidad: Y2

X1 Y1 Y2

Hipótesis 2

Estructura del servicio: X1

X1 Estrés: Y2Responsabilidad: Y1

Y1 Y2Expectativas de éxito: X2

X2


Representación de relaciones:las variables se unirán por flechas que indiquen dependencia (causa-efecto) o covariación. En el primer caso se dibuja una flecha que parte de la “causa” y termina en el “efecto”. En el segundo caso se utiliza una línea curva con dos puntas de flecha.

Hipótesis 2

Hipótesis 1

X1 Y1 Y2

X2

X1

Y1 Y2


Representación de parámetros:

Los parámetros miden la magnitud de la relación entre las variables representadas en el diagrama. Se representan por letras griegas que se colocan sobre las flechas. Siguiendo las siguientes reglas:

Si el parámetro se refiere a la relación entre una variable exógenay una endógena se representa por la letra griega “γij”, donde i hace referencia al subíndice numérico de la variable endógena (efecto) de la relación y j hace referencia al subíndice numérico de la variable “causa”.

Si el parámetro se refiere a la relación directa entre dos variables endógenas se representa por la letra griega “βij”, donde i hace referencia al subíndice numérico de la variable endógena (efecto) de la relación y j hace referencia al subíndice numérico de la variable “causa”.

Hipótesis 1

X1 Y1 Y2

γ11 β21

Hipótesis 2

X2

X1

Y1 Y2

γ11

γ12

β21


Representación de errores:Al igual que en los modelos de regresión las variables no se explican totalmente.Se incluirán en el diagrama causal tantas variables de error como variables endógenas tengamos. Los errores se representan por la letra griega “acompañada del mismo subíndice numérico que la variable endógena correspondiente y unida a la variable endógena con una flecha que indica el efecto del error.

z1

Hipótesis 1

X1 Y1 Y2

γ11 β21

Hipótesis 2ζ1 ζ2

X2

X1

Y1 Y2

γ11

γ12

β21

ζ1 ζ2


Hipótesis 3: Dibujar el diagrama causal de la siguiente hipótesis:La cantidad de aprendizaje que se adquiere en la universidad depende de la calidad y cantidad de la información que reciben los alumnos y alumnas, de los conocimientos previos y de sus aptitudes. A su vez, la cantidad y calidad de la información depende de la estructura de los contenidos y de los recursos didácticos utilizados, variables entre las que se dan relaciones de covariación.


Ejercicio: Variables en el modelo:Variables exógenas:Conocimientos previos: X1Aptitudes: X2Estructura de los contenidos: X3Recursos didácticos: X4

Variables endógenas:Calidad de la información: Y1Cantidad de información: Y2Cantidad de aprendizaje: Y3

5.2.1. El diagrama causal.

X1

X2

X3

X4

Y2

Y1

Y3

γ31

γ32

γ13

γ14

γ23

γ24

β31

β32

ζ3

ζ1

φ34

ζ2

5.2.3. Especificación de las ecuaciones estructurales.

A cada una de las variables endógenas de un diagrama causal le corresponde una ecuación estructural que expresa dicha variable como una función lineal sus variables explicativas y del término de error. El modelo de ecuaciones estructurales es el conjunto de las ecuaciones correspondientes a las variables endógenas.

Hipótesis 1

X1 Y1 Y2

γ11 β21


Hipótesis 1

X1 Y1 Y2

γ11 β21

ζ1 ζ2

Y Y Y X

Y Y Y X

Y X

Y Y

1 1 2 11 1 1

2 21 1 2 1 2

1 11 1 1

2 21 1 2

0 0

0 0

= + + +

= + + +

= +

= +

γ ς

β ς

γ ς

β ς

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


Hipótesis 2

X2

X1

Y1 Y2

γ11

γ12

β21

Y X X

Y Y

Y Y Y X X

Y Y Y X X

1 11 1 12 2 1

2 21 1 2

1 1 2 11 1 12 2 1

2 21 1 2 1 2 2

0 0

0 0 0

= + +

= +− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

= + + + +

= + + + +

γ γ ς

β ς

γ γ ς

β ς

ζ1 ζ2

X1

X2

X3

X4

Y2

Y1

Y3

γ31

γ32

γ13

γ14

γ23

γ24

β31

β32

ζ3

ζ1

φ34

ζ2

Y X XY X XY X X Y Y

Y Y Y Y X X X XY Y Y Y X X X XY

1 13 3 14 4 1

2 23 3 24 4 2

3 31 1 32 2 31 1 32 2 3

1 1 2 3 1 2 13 3 14 4 1

2 1 2 3 1 2 23 3 24 4 2

0 0 0 0 00 0 0 0 0

= + += + += + + + +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −= + + + + + + += + + + + + + +

γ γ ςγ γ ςγ γ β β ς

γ γ ςγ γ ς

3 31 1 32 2 3 31 1 32 2 3 4 30 0 0= + + + + + + +β β γ γ ςY Y Y X X X X

5.2.3. Especificación de las ecuaciones estructurales. Expresión matricial de las ecuaciones estructurales

Para expresar matricialmente un modelo estructural expresamos las variables endógenas en función de todas las variables del modelo.


Hipótesis 1

X1 Y1 Y2

γ11 β21

ζ1 ζ2

( )

Y Y Y X

Y Y Y X

YY

YY

X

1 1 2 11 1 1

2 21 1 2 1 2

1

2 21

1

2

111

1

2

0 0

0 0

0 00 0

= + + +

= + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

γ ς

β ς

βγ ς

ς


Hipótesis 2

X2

X1

Y1 Y2

γ11

γ12

β21

Y Y Y X X

Y Y Y X X

YY

YY

XX

1 1 2 11 1 12 2 1

2 21 1 2 1 2 2

1

2 21

1

2

11 12 1

2

1

2

0 0

0 0 0

0 00 0 0

= + + + +

= + + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

γ γ ς

β ς

βγ γ ς

ς

ζ2

ζ1


Expresión matricial general de los modelos estructurales:

y = Βy + Γx + ζ

y(p×1): vector de endógenas

x(q×1): vector de exógenas

Β(p×p): matriz de coeficientes betaΓ (p×q): matriz de coeficientes gamma

ς (p×1): vector de términos de error


Además de las matrices anteriores se suelen incorporar otra dos:la matriz de varianzas-covarianzas entre las variables exógenas:Φ(q×q)y la matriz de varianzas-covarianzas entre los términos de error: Ψ (p×p. Así, las matrices relevantes de los modelos anteriores son:

( )β β γγ

φ φ ψψ

ψ=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 00 0

0021

1111

11

22

β β γγγ φ

φφ φ ψ

ψψ=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 00

0021

11

12

11

21 22

11

22

5.2.4. Estimación de parámetros: condición de identificación.5.2.4.1. Tipos de relaciones: la regla del trazado.

El objetivo de la estimación de parámetros es obtener los valores de los efectos directos (parámetros gamma y beta) incluidos en el modelo.

Para ello en primer lugar hay que analizar si es posible calcular dichos parámetros con la información disponible (condición de identificación).

En el caso que nos ocupa-modelos recursivos con variables observadas- siempre es posible estimar los parámetros dado que el número deellos es igual o menor que el número de correlaciones entre las variables incluidas en el modelo.

Es decir si definimos grados de libertad de un modelo estructural como:

( )glk k

n n n=−

− + +( )1

2 φ γ β

donde: k es el número de variables en el modelo.nΦes el número de parámetros Φ a estimarnγ es el número de paramétros γ a estimar y nβ es el número de parámetrosβ

Podemos encontrarnos con dos situaciones:gl = 0 Modelo saturado o exactamente identificado. Se puede estimar

pero no se puede verificar su ajuste a los datos empíricos. Las correlaciones observadas (rij) y las reproducidas (r*ij ) o ajustadas por el modelo son iguales.

gl > 0 Modelo sobreidentificado. Se puede estimar y verificar su ajuste a los datos. Hay correlaciones reproducidas que pueden ser distintas a las observadas. De los distintos modelos sobreidentificados que se puedan formular es mejor el que mejor ajuste las correlaciones observadas.

Unos de los procedimientos para obtener los parámetros consiste en descomponer las correlaciones entre las variables incluidas en el modelo en suma de efectos generando así, un sistema de ecuaciones de cuya resolución se deriven los valores de los parámetros.

Los efectos en los que se pueden descomponen las correlaciones son efecto directo, indirectos, conjuntos y/o espúreos y la regla que vamos a utilizar para obtener dichas descomposición se denomina regla de trazado. Las correlaciones obtenidas mediante la regla del trazado y a partir de los valores de los parámetros las denominamos reproducidas aunque sólo aquellas en cuya descomposición no hay efectos directos las denotaremos por r*ij . Las correlaciones en cuya descomposición aparezca un efecto directo las denotamos por rij porque coinciden con las correlaciones observadas.

a) efecto directo (ED): el que se da entre las dos variables que se encuentran en el inicio y fin de una determinada flecha. Su valor corresponde al valor del parámetro correspondiente.En la hipótesis I son efectos directos los siguientes:

5.2.4.1. Tipos de Efectos:Los cuatro tipos de efectos básicos en los que se pueden

descomponer las correlaciones son:

X1 Y1

Y2

γ11

β21Y1

b) efecto indirecto (EI): existe un efecto indirecto cuando una variable afecta a otra a través de una o más variables intermedias. En la Hipótesis 1 existe un efecto indirecto entre las variables X1 e Y2 cuyo diagrama básico es:

El valor del efecto indirecto es:

γ11 β21xEI =

X1 Y1 Y2

γ11 β21

c) efecto espúreo (EE): existe un efecto indirecto entre dos variables cuando están afectadas por una causa común. El diagrama básico de un efecto espúreo es:

γ11 γ21

Y1 Y2

X1

$21 $31

Y2 Y3

Y1

El valor del efecto espúreo es:

EE = γ11 γ21x

d) efecto conjunto (EC):es el que se dá entre una variable exógena y una endógena cuando la variable exógena covaría con otra. El diagrama básico de un efecto conjunto es:

Y1

X1

X2

Φ12

β12

El valor del efecto conjunto es: EC = β12xΦ12

5.2.4.2. Descomposición de correlaciones: la regla del trazado.

La regla del trazado es un procedimiento gráfico que consiste en buscar todos los posibles “caminos” o efectos entre la variable exógena de la correlación y la variable endógena sin invertir el orden causal o sentido de las flechas.

Como ya hemos comentado antes, en la nomenclatura para representar las correlaciones hemos incluido un * en las correlaciones reproducidas que no contienen efectos directos y no lo hemos incluido en las correlaciones reproducidas por el modelo que contienen efectos directos dado que, estas últimas, son iguales a las correlaciones observadas.

Hipótesis 1

X1 Y1 Y2

γ11 β21

ζ1 ζ2

Correlaciones a descomponer: rx1,y1, ry1,y2, r*x1,y2

Descomposición en suma de efectos de la correlación rx1,y1

Efecto directo:

X1 Y1

γ11


Efecto indirecto: no Efecto conjunto: no

rx1,y1 =Efecto espúreo: no

γ11Así, la correlación quedaría como:

ry y1 2Descomposición en suma de efectos de la correlación:

Efecto directo: Y2Y1

β21

Efecto indirecto: no Efecto espúreo: no Efecto conjunto: no

ry1y2 = β21Así, la correlación quedaría como:

Descomposición en suma de efectos de la correlación:

Efecto indirecto: Si

rx y1 2

*

Y2Y1

β21X1

γ11


Efecto directo: No Efecto conjunto: no Efecto espúreo: no

r*x1,y2 = β21γ11Así, la correlación quedaría como:

5.2.4.2. Descomposición de correlaciones: la regla del trazado.Hipótesis 2

X2

X1

Y1 Y2

γ11

γ12

β21

ζ1 ζ2

Descomposición de las correlaciones entre las variables observadas de la hipótesis 2:

X1 Y1

γ11

rx1,y1 = γ11

EI:no, EE: no y EC: no

X2 Y1

γ12 EDrx y2 1 12= γ


EI:no, EE: no y EC: no

ry y1 2 21= βEI:no, EE: no y EC: no

Y2Y1

β21 ED

r x y*

1 2 11 21= γ β X1 Y1 Y2β21γ11

EI

ED:no, EE: no y EC: no

Y2β21 EI

γ12 Y1r x y*

2 2 12 21= γ β X2

ED:no, EE: no y EC: no

Modelo Ax1 y1 y2

X1

Y2

Y1

Modelo B

3.011=xyr 7.0

12=xyr8.0

12=yyr

EJERCICIO.- Tengamos tres variables X1 , Y1 e Y2, cuyas correlaciones entreellas son:.

A este respecto, se proponen dos modelos alternativos:

Completar los diagramas causales, calcular los parámetros y determinar cual de los dos modelos ajusta mejor con las correlaciones observadas.

Solución

a) Los modelos completos serían:

X1 Y1 Y2

γ11 β21X1X1

ζ1 ζ2

γ11

γ21

Y1

Y2

X1

ζ2

ζ1

b) Estimación de parámetros.

En los modelos sobreidentificados para calcular el valor de los parámetros se descomponen en suma de efectos las correlaciones entre las variables relacionadas al menos por un efecto directo y se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido. En el modelo A para calcular los coeficientes descomponemos las correlaciones entre X1 e Y1y entre Y1 e Y2

γ11 β21y

rx1,y1 = γ11

Sabemos que las correlaciones entre variables relacionadas mediante, al menos, un efecto directo son iguales a las observadas de manera que, el valor del parámetro es:

0.3 = γ11De la misma manera, ry y1 2 21 0 8= =β .

Una vez calculados los parámetros se puede incluso calcular la proporción de variabilidad no explicada de cada variable endógena: y11 , y22 mediante las expresiones:

1- γ11 *rx1y1=1-0.09=0.91

1- β21 *ry1y2=1-0.64=0.36

El modelo A con los valores de los parámetros es:

Y1 Y2

0.91 0.36

0.3 0.8X1

Para obtener los parámetros del modelo B actuamos de la misma manera.

rx1,y2 = γ21=0.7rx1,y1 = γ11=0.3

la proporción de variabilidad no explicada de cada variable endógena: y11 , y22mediante las expresiones:

1- γ11 *rx1y1=1-0.09=0.91

1- γ21 *rx1y2=1-0.49=0.51

El modelo B con los valores de los parámetros es:

Y20.7 0.51

0.910.3

Y1

X1

c) Validación o ajuste del modelo:

Ya hemos comentado que sólo es posible evaluar el ajuste de los modelos sobreidentificados. El índice de ajuste es muy simple: para cada modelose calcula la suma de las discrepancias al cuadrado entre las correlacionesobservadas y las reproducidas por el modelo. Es decir:

( )ajuste r rij ij= −∑ *2

Para los modelos A y B la expresión anterior es:

r* r Diferencia Ajuste

0.3481

MODELO A

0.7 0.7-0.24=0.46

MODELO B

0.8-0.21=0.59

r x y* . * . .1 2 11 21 0 3 0 8 0 24= = =γ β 0.2116

r y y* . * . .1 2 11 21 0 3 0 7 0 21= = =γ γ 0.8

Con los datos que tenemos, el modelo A es mejor porque se ajusta más a las correlaciones observadas.

Ejercicios:1. Decomponer en suma de efectos las correlaciones entre Y2 e Y3 del modelo formulado en la Hipótesis 3.

2. Josep Lluís Melià (U. Valencia) propone el siguiente modelo sobre los accidentes laborales:Se propone que el clima de seguridad tendría efectos causales en la respuesta de seguridad de los mandos; ésta, a su vez, tendría efectos en la conducta de seguridad de los compañeros de trabajo, y esta última, junto con el clima de seguridad y la respuesta de seguridad de los mandos, tendría efectos en la conducta de seguridad del trabajador. El clima de seguridad y el riesgo basal tendrían efectos causales en el riesgo real, y finalmente, el riesgo real tendría efectos causales en los accidentes. Se considera que el clima de seguridad y el riesgo basal están correlacionados.Para la hipótesis anterior dibujar el diagrama causal, escribir las ecuaciones estructurales y descomponer en suma de efectos la correlación entre riesgo real y accidentes.

3. Dado el siguiente modelo, descomponer en suma de efecto la correlación entre Y2 e Y3

X1

y1 Y2

Y3

suficien

apoyo

problema

depresio

0.10

-0.04-0.22

-0.28

-0.21

0.20

0.79

4.- Se desea estudiar en un grupo de pacientes el efecto que tiene sobre la depresión (depresio), el número de problema percibidos (problema), el apoyo que cuentan para afrontarlos (apoyo) y la estimación de si este apoyo es suficiente (suficien). A este respecto, disponemos del siguiente diagrama causal:

Esto supuesto, determinar la matriz de correlaciones entre todas las variables del modelo.

5.- Un investigador estudiando la relación entre las variables estabilidad emocional de los hijos (EEH), estabilidad emocional de la madre (EEM), problemas económicos (PE) y red de apoyo (Apoyo) plantea la hipótesis representada en el siguiente diagrama

PE

Apoyo

EEM EEH

Manteniendo las relaciones incluidas en la hipótesis anterior, a)Formula dos modelos causales alternativos de manera que las correlaciones

observadas y las reproducidas entre las variables en cada modelo sean iguales. b) Para cada unos de los modelos planteados descomponer en suma de efectos

la correlación entre las variables problemas económicos (PE) y estabilidad emocionalde los hijos (EEH).

X1 Y1 Y2

0.5 0.7

6.- Un investigador estudiando la relación entre las variables conflictividad escolar, conflictividad familiar y problemas conductuales en adolescentes formula dos hipótesis.Hipótesis I: los problemas conductuales de los adolescentes dependen de la conflictividad familiar.La conflictividad escolar depende de los problemas conductuales de los adolescentes. Para esta primera hipótesis se han obtenido los siguientes valores

X1: Conflictividad familiar, Y1: Problemas conductuales, Y2: Conflictividad escolar

Hipótesis II: La conflictividad escolar depende de la conflictividad familiar y ésta de los problemas conductuales de los adolescentes. Para esta hipótesis se han obtenido los siguientes valores:

X1 Y1 Y2

0.5 0.6

X1: Problemas conductuales, Y1: Conflictividad familiar, Y2: Conflictividad escolar

De los dos modelos, ¿cuál se ajusta mejor a las correlaciones observadas?.

7.- Un investigador plantea las siguientes relaciones entre 4 variables:

X1

X2 Y2

Y1

Modelo 1X1

X2

Y1 Y2

Modelo 2

Sabiendo que las correlaciones observadas son:

rx1x2=0.5 rx1y1=0.6 rx1y2=0.7

rx2y1=0.4 rx2y2=0.3

ry1y2=0.2

Completar los diagramas, calcular los parámetros y evaluar cuál de los dos modelos se ajusta más a las correlaciones observadas.

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