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TEMA 4: Variables binariasEconometría I

M. Angeles Carnero

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico

Curso 2011-12

Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2011-12 1 / 51

Variables binarias

Las variables que hemos estado considerando hasta este momentoeran variables cuantitativas (salarios, renta, experiencia laboral, añosde educación, etc.). En este tema vamos a ver cómo se puedenincorporar factores cualitativos en los modelos de regresión. El sexo ola raza de un individuo, la región en donde vive, el sector industrial alque pertenece una empresa, etc. son factores cualitativos que aparecencon frecuencia en los modelos empíricos.Los factores cualitativos aparecen a menudo bajo la forma deinformación binaria: Un individuo es hombre o mujer, un individuo haparticipado o no en un programa de formación profesional, unaempresa ofrece o no un plan de pensiones a sus trabajadores, etc. Estasvariable cualitativas se representan mediante variables binarias quetoman los valores cero y uno y se denominan variables ficticias o,utilizando el término en inglés, variables dummy.


Modelos con un único factor cualitativo:

Vamos a considerar, por ejemplo, las variables ficticias o variablesdummy de sexo:

Hombret =

�1 si el individuo t es hombre0 si el individuo t es mujer

Mujert =

�1 si el individuo t es mujer0 si el individuo t es hombre

y consideremos el modelo para el salario por hora en función de laexperiencia laboral que vimos en el Tema 1, en el que ahoraincorporamos la dummy de ser hombre.

salariot = β1 + β2Hombret + β3expt + ut (1)


Si calculamos en este modelo la media del salario para hombres ymujeres que tengan los mismos años de experiencia laboraltenemos

E(salariot/Hombret = 1) = β1 + β2 + β3expE(salariot/Hombret = 0) = β1 + β3exp (1b)

Al incorporar la variable ficticia Hombret lo que estamos haciendoes permitir que el término independiente del modelo pueda serdistinto para hombres y mujeres, ya que para hombres el términoconstante es β1 + β2 mientras que para las mujeres es β1, y portanto β2 refleja las posibles diferencias en el término constanteentre hombres y mujeres.Además,

β2 = E(salariot/t es Hombre)� E(salariot/t es Mujer)

y por tanto β2 mide la diferencia en el salario medio entrehombres y mujeres con la misma experiencia laboral. La hipótesisde ausencia de diferencias entre hombres y mujeres sería β2 = 0.


Alternativamente podríamos haber incorporado en el modelo ladummy de ser mujer:

salariot = α1 + α2Mujert + α3expt + ut (2)

Si calculamos ahora la media del salario para hombres y mujeresque tienen los mismos años de experiencia laboral tenemos

E(salariot/Mujert = 0) = α1 + α3expE(salariot/Mujert = 1) = α1 + α2 + α3exp (2b)

y por tanto

α2 = E(salariot/t es mujer)� E(salariot/t es hombre)

es decir α2 mide la diferencia en el salario medio entre mujeres yhombres con la misma experiencia laboral.


Los modelos


salariot = α1 + α2Mujert + α3expt + ut (2)

son equivalentes y tendremos que

β1 + β2 + β3exp = α1 + α3expβ1 + β3exp = α1 + α2 + α3exp

�)

8<:β3 = α3β1 + β2 = α1β1 = α1 + α2

Por lo tanto, obviamente α2 = �β2. Esta relación entre losparámetros de los modelos (1) y (2) también se verifica para losestimadores MCO de los dos modelos como ilustra el siguienteejemplo


Ejemplo 1:

Utilizando una muestra para Estados Unidos de 526 individuos se hanestimado por MCO los modelos (1) y (2) obteniéndose los siguientesresultados

\salariot = 4,145(0,2845)

+ 2,481(0,3022)

Hombret + 0,0269(0,0111)

expt

\salariot = 6,626(0,2862)

� 2,481(0,3022)

Mujert + 0,0269(0,0111)

expt

donde salario es el salario por hora en dólares y exp es la experienciapotencial en años (edad menos años de educación menos 6).

Podemos comprobar que efectivamentebβ3 = bα3 = 0,0269bβ1 +bβ2 = 4,145+ 2,481 = 6,626 = bα1bα1 + bα2 = 6,626� 2,481 = 4,145 = bβ1

Según este modelo el salario por hora de los hombres es en media2,481 dólares mayor que el de las mujeres con la mismaexperiencia.Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2009-10 7 / 51

Si queremos contrastar la hipótesis nula de que no hay diferenciasen el salario medio por hora entre hombres y mujeres tenemosque contrastar en el modelo (1)

H0 : β2 = 0H1 : β2 6= 0

El estadístico de contraste bajo la hipótesis de normalidad de loserrores es

t =bβ2

SE(bβ2)� t523 ' N(0, 1) Bajo H0

En este ejemplo t = 2,481/0,3022 = 8,21. Puesto quejtj = 8,21 > z0,025 = 1,96, podemos rechazar H0 al 5 %, y por tantoconcluimos que existen diferencias en el salario medio entrehombres y mujeres. Nótese que alternativamente podríamoshaber utilizado el segundo modelo para hacer el contraste(contrastando H0 : α2 = 0; H1 : α2 6= 0) y que la conclusión queobtendríamos sería idéntica ya que el valor absoluto delestadístico de contraste sería el mismo.Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2009-10 8 / 51

Si quisieramos contrastar la hipótesis de que los hombres gananmás que las mujeres (e.d. que existe discriminación por sexo en elmercado laboral), tendríamos que contrastar

H0 : β2 = 0H1 : β2 > 0

Si rechazamos H0 podemos afirmar que el salario medio de loshombres es mayor que el salario medio de las mujeres con lamisma experiencia laboral. En este contraste unilateral, elestadístico de contraste es el mismo pero la región de rechazocambia. Puesto que t = 8,21 > z0,05 = 1,64, rechazamos lahipótesis nula de que no existen diferencias salariales entrehombres y mujeres frente a la alternativa unilateral de que elsalario medio de los hombres es mayor que el salario medio de lasmujeres con la misma experiencia laboral. En el modelo (2), estemismo contraste se realizaría con el parámetro α2 con lassiguientes hipótesis:

H0 : α2 = 0H1 : α2 < 0


Por último también podemos escribir el mismo modeloincluyendo las dos dummies de sexo (Hombre y Mujer) y noincluyendo el término constante, es decir podemos especificar elmodelo

salariot = δ1Hombret + δ2Mujert + δ3expt + ut (3)

Si calculamos ahora la media del salario para hombres y mujeresque tienen los mismos años de experiencia laboral tenemos

E(salariot/Hombret = 1, Mujert = 0) = δ1 + δ3expE(salariot/Hombret = 0, Mujert = 1) = δ2 + δ3exp (3b)

y por tanto

δ1 � δ2 = E(salariot/t es hombre)� E(salariot/t es mujer)

δ1 � δ2 mide la diferencia en el salario medio entre hombres ymujeres con la misma experiencia laboral.


Los modelos (1), (2) y (3) son equivalentes y tendremos

δ1 + δ3exp = β1 + β2 + β3exp = α1 + α3expδ2 + δ3exp = β1 + β3exp = α1 + α2 + α3exp

�)

)

8<:δ3 = β3 = α3δ1 = β1 + β2 = α1δ2 = β1 = α1 + α2

Esta relación entre los parámetros del modelo (3) y los de losmodelos (1) y (2) también se verifica para los estimadores MCOcomo ilustra el siguiente ejemplo


Ejemplo 1 (Continuación):

En base a la misma muestra del ejemplo 1 se ha estimado ahora elmodelo (3) obteniendo los siguientes resultados

\salariot = 6,626(0,2862)

Hombret + 4,145(0,2846)

Mujert + 0,0269(0,0111)

expt

Podemos comprobar que efectivamente

bβ3 = bα3 = 0,0269 = bδ3bβ1 +bβ2 = 4,145+ 2,481 = 6,626 = bα1 = bδ1bα1 + bα2 = 6,626� 2,481 = 4,145 = bβ1 =

bδ2

Nótese que la diferencia estimada en el salario medio entrehombres y mujeres con la misma experiencia laboral viene dadaahora por bδ1 � bδ2 = 2,481, que es exactamente el mismo resultadoque obtuvimos antes.


Para contrastar ahora la hipótesis nula de que no hay diferenciasen el salario medio por hora entre hombres y mujeres tenemosque contrastar

H0 : δ1 � δ2 = 0H1 : δ1 � δ2 6= 0

El estadístico de contraste bajo la hipótesis de normalidad de loserrores es

t =bδ1 � bδ2

SE(bδ1 � bδ2)� t523 ' N(0, 1) Bajo H0

Para calcular el error estándar de bδ1 � bδ2 necesitamos la \cov(bδ1,bδ2)ya que

SE(bδ1 � bδ2) =

q\var(bδ1) +

\var(bδ2)� 2 � \cov(bδ1,bδ2)

=

r�SE(bδ1)

�2+�

SE(bδ2)�2� 2 � \cov(bδ1,bδ2)


Sabiendo que \cov(bδ1,bδ2) = 0,0358

SE(bδ1 � bδ2) =p

0,28622 + 0,28462 � 2 � 0,0358 = 0,3022

que coincide con el error estandar de bβ2 y por tanto obtenemos denuevo el mismo valor para el estadístico de contraste.

En la práctica, puesto que los modelos son equivalentes,estimaríamos solo uno de ellos y es muy importante tenerpresente que aunque las conclusiones en base a los tres modelosson las mismas, la interpretación de los parámetros estimados sondiferentes.

Nota: No podemos especificar un modelo que incluya las dosdummies de sexo y el término constante ya que habríamulticolinealidad exacta puesto que Hombret +Mujert = 1 paratodas las observaciones.

Si la variable dependiente está en logarítmos los coeficientes delas variables ficticias miden diferencias en porcentaje.


Ejemplo 2:

En base a la misma muestra del ejemplo 1 se ha estimado ahora elsiguiente modelo para el logaritmo del salario por hora

\log(salario)t = 1,355(0,0404)

+ 0,393(0,0429)

Hombret + 0,00376(0,00158)

expt

Ahora el coeficiente de la dummy de ser hombre mide ladiferencia en porcentaje en el salario medio por hora entrehombres y mujeres con la misma experiencia, y por tanto, en basea estos resultados, se estima que los hombres tienen en media unsalario que es un 39,3 % mayor que el de las mujeres con la mismaexperiencia laboral.


Modelos con un factor cualitativo con másde dos valores:Supongamos ahora que queremos analizar si existen diferencias en elsalario por hora entre distintas regiones. La región de residencia estambién un factor cualitativo, pero a diferencia del sexo que solopuede tomar dos valores, los países están generalmente divididos enmás de dos regiones. Supongamos que tenemos J regiones en un país,entonces podemos definir J variables ficticias

R1t =

�1 si el individuo t vive en la región 10 si el individuo t no vive en la región 1

R2t =

�1 si el individuo t vive en la región 20 si el individuo t no vive en la región 2

...

RJt =

�1 si el individuo t vive en la región J0 si el individuo t no vive en la región J


y considerar el modelo

salariot = β1 + β2R2t + β3R3t + ...+ βJRJt + βJ+1expt + ut

donde hemos excluido la dummy de la región 1. Si calculamos en estemodelo la media del salario para individuos que tengan los mismosaños de experiencia laboral pero que vivan en distintas regionestenemosE(salariot/t vive en la región 1) = E(salariot/R2t = 0, R3t = 0, ...RJt = 0)

= β1 + βJ+1exp

E(salariot/t vive en la región 2) = E(salariot/R2t = 1, R3t = 0, ...RJt = 0)= β1 + β2 + βJ+1exp

E(salariot/t vive en la región 3) = E(salariot/R2t = 0, R3t = 1, ...RJt = 0)= β1 + β3 + βJ+1exp

...E(salariot/t vive en la región J) = E(salariot/R2t = 0, R3t = 0, ...RJt = 1)

= β1 + βJ + βJ+1exp


Al incorporar las variables ficticias regionales estamospermitiendo que el término independiente del modelo pueda serdistinto para distintas regiones, ya que para la región 1 el términoconstante es β1, para la región 2 es β1 + β2, .., y para la región J esβ1 + βJ, y por tanto, β2, .., βJ reflejan las posibles diferencias en eltérmino constante entre individuos que viven en la regiones 2,...J,en comparación con los individuos que viven en la región 1.Además

β2 = E(salariot/t en región 2)� E(salariot/t en región 1)β3 = E(salariot/t en región 3)� E(salariot/t en región 1)

...βJ = E(salariot/t en región J)� E(salariot/t en región 1)

y por tanto β2 mide la diferencia en el salario medio entre losindividuos que viven en la región 2 comparados con los que vivenen la región 1 con la misma experiencia laboral.


Tenemos entonces que en este modelo las diferencias entreindividuos que viven en distintas regiones se reflejansimplemente en el término constante y la hipótesis de ausencia dediferencias entre regiones sería β2 = β3 = ... = βJ = 0.También podríamos escribir el modelo incluyendo la dummy dela región 1 y excluyendo la dummy de cualquier otra región. Porejemplo, si excluyeramos la de la región 2 los coeficientes de lasdemas dummies reflejarían diferencias en el salario medio entrelas distintas regiones y la región 2.Los modelos definidos excluyendo cualquiera de las dummiesregionales son equivalentes y podriamos obtener los estimadoresMCO y las varianzas estimadas de cualquiera de los modelosutilizando los resultados para uno de los otros análogamente alejemplo 1.


Ejemplo 3:

En base a la misma muestra del ejemplo 1 se ha estimado ahora elsiguiente modelo para el salario por hora

\salariot = 5,853(0,383)

� 0,712(0,462)

Nortet� 1,057(0,430)

Surt+ 0,217(0,5121)

Oestet+ 0,0329(0,0117)

expt

siendo la categoría omitida la región Este. En base a estosresultados tenemos que el salario medio por hora para individuoscon la misma experiencia laboral es 0,712 dolares menor en laregión Norte que en la Este, 1,057 dolares menor en la región Surque en la Este y 0,217 dolares mayor en la región Oeste que en laEste.

Consideremos ahora el efecto de la educación sobre los salarios.Algunas bases de datos proporcionan información sobre los añosde educación de los individuos y en ese caso podemos especificarel modelo

salariot = β1 + β2educt + β2expt + ut

donde educt son los años de educación.Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2009-10 20 / 51

En este modelo, β2 es el efecto marginal de la educación sobre elsalario. Un año más de educación supone un incremento en elsalario que es el mismo cuando pasamos de 1 año a 2, de 2 a 3, etc,con independencia de que el año adicional suponga o no laobtención de algún título concreto como el titulo de Bachiller o untítulo universitario.Una alternativa a los años de educación, es considerar la variablecualitativa que refleja el grado educativo que posee cadaindividuo. Así podemos definir J+ 1 variables ficticias

Educ0t =

�1 si t no ha finalizado el grado educativo 10 en caso contrario

Educ1t =

8<:1 si t ha finalizado el grado educativo 1

pero no ha finalizado el grado educativo 20 en caso contrario

...

EducJt =

�1 si t ha finalizado el grado educativo J0 en caso contrario


y considerar el modelo

salariot = α1 + δ1Educ1t + δ2Educ2t + ...+ δJEducJt + α2expt + ut

sin la dummy de no haber finalizado el grado educativo 1.En este modelo, la media del salario para individuos con losmismos años de experiencia pero con distintos grados educativoses:E(salariot/t no ha finalizado el grado educativo 1)= E(salariot/Educ1t = 0, Educ2t = 0, ...EducJt = 0) = α1 + α2exp

E(salariot/t ha finalizado el grado educativo 1 pero no el 2)= E(salariot/Educ1t = 1, Educ2t = 0, ...EducJt = 0) = α1 + δ1 + α2exp

E(salariot/t ha finalizado el grado educativo 2 pero no el 3)= E(salariot/Educ1t = 0, Educ2t = 1, ...EducJt = 0) = α1 + δ2 + α2exp...E(salariot/t ha finalizado el grado educativo J)= E(salariot/Educ1t = 0, Educ2t = 0, ...EducJt = 1) = α1 + δJ + α2exp


Al incorporar las variables ficticias de educación estamospermitiendo que el término independiente del modelo pueda serdistinto para individuos con distintos niveles educativos, ya quepara los individuos que no han completado el primer niveleducativo el término constante es α1, para aquellos que hancompletado el primero pero no el segundo es α1 + δ1, .. y portanto, δ1, .., δJ reflejan las posibles diferencias en el términoconstante entre individuos que han completado el nivel educativo1,...J e individuos que no han completado el primer niveleducativo.Además

δ1 = E(salariot/t ha finalizado el grado educativo 1 pero no el 2)�E(salariot/t no ha finalizado el grado educativo 1)...

δJ = E(salariot/t ha finalizado el grado educativo J)�E(salariot/t no ha finalizado el grado educativo 1)


Por tanto δ1 mide la diferencia en el salario medio entre losindividuos que han completado el nivel educativo 1 pero no el 2 ylos que no han completado el 1 y tienen la misma experiencialaboral, δ2 mide la diferencia en el salario medio entre losindividuos que han completado el nivel 2 pero no el 3 y los que nohan completado el 1 con la misma experiencia laboral,.., y δJ midela diferencia en el salario medio entre los individuos que hancompletado el nivel J y los que no han completado el 1 con lamisma experiencia laboral. Por tanto, en este modelo lasdiferencias entre individuos con distintos niveles educativos sereflejan simplemente en los términos constante y la hipótesis deausencia de diferencias en el salario medio entre niveleseducativos sería δ1 = δ2 = ... = δJ = 0.También podríamos escribir el modelo incluyendo la dummyEduc0 y excluyendo cualquiera de las otras. Los modelos definidosexcluyendo cualquiera de las dummies de educación sonequivalentes y podriamos obtener los estimadores MCO y lasvarianzas estimadas de cualquiera de los modelos utilizando losresultados para uno de los otros análogamente al ejemplo 1.Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2009-10 24 / 51

Ejemplo 4:


salariot = α1 + δ1Bachillert + δ2Univt + ut

donde Bachillert toma el valor 1 si el inviduo t ha completado elnivel educativo que permite acceder a la universidad pero notiene un título universitario y Univt toma el valor 1 si el individuot tiene un título universitario. La categoría omitida es no haberfinalizado el "bachillerato".Los resultados de esta estimación son:

\salariot = 2,862(0,3797)

+ 1,708(0,3628)

Bachillert + 4,917(0,4373)

Univt + 0,0570(0,0108)

expt

El salario medio por hora para individuos con la mismaexperiencia laboral es 1,708 dolares mayor para los que hancompletado el "bachillerato"que para los que no lo han finalizadoy 4,917 dólares mayor para los que tienen un título universitario.Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2009-10 25 / 51

Para comparar el salario medio entre universitarios y estudiantescon el "bachillerato"terminado con la misma experiencia, tenemosque comparar los coeficientes de Univt y Bachillert. La diferenciaentre los coeficientes de las variables Univ y Bachiller es ladiferencia de salarios medio que buscamos para un mismo nivelde experiencia, como indica la siguiente expresión:

δ2 � δ1 =

= [E(salariot/t universitario)� E(salariot/t no bachillerato)]� [E(salariot/t con bachillerato)� E(salariot/t no bachillerato)]= E(salariot/t universitario)� E(salariot/t con bachillerato)

Las estimaciones obtenidas indican que los individuos con títulouniversitario ganan un salario medio 3.209 dólares mayor que elsalario medio de los individuos que han acabado "bachillerato".Para contrastar la hipótesis nula de que las diferencias entreuniversitarios y estudiantes con bachillerato no son significativas(es decir, H0 : δ2 � δ1 = 0 frente H1 : δ2 � δ1 6= 0) es necesarioconocer la covarianza estimada entre δ̂1 y δ̂2.Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2009-10 26 / 51

Sin embargo, es más fácil realizar este contraste si el modelo seestima especificando como categoría omitida haber finalizado el"bachillerato", es decir

salariot = γ1 + λ1NoBacht + λ2Univt + ut

donde NoBacht toma el valor 1 si el individuo no ha completado el"bachillerato" y donde λ2 es la diferencia entre el salario medio delos individuos con título universitario y el salario medio de losindividuos con "bachillerato".Las estimaciones correspondientes a este modelo son

\salariot = 4,5702(0,2688)

� 1,708(0,3628)

NoBacht + 3,209(0,3603)

Univt + 0,0570(0,0108)

expt

La estimación del coeficiente de Univ coincide con la diferenciasalarial media entre universitarios e individuos que han finalizadosólo el "bachillerato", puesto que este es el grupo de referencia.Por lo tanto, el contraste anterior es equivalente a H0 : λ2 = 0frente a la alternativa H1 : λ2 6= 0, para el cuál es únicamentenecesario conocer el error estándard de bλ2


Modelos con varios factores cualitativos:Consideremos ahora la variable ficticia

Casadot =

�1 si el individuo t está casado0 si el individuo t no está casado

y el modelo

salariot = β1 + β2Hombret + β3Casadot + β4expt + ut (4)

Si calculamos en este modelo la media del salario para hombres ymujeres, casados y no casados, y que tengan los mismos años deexperiencia laboral tenemos

E(salariot/t es mujer no casada) = β1 + β4exp

E(salariot/t es hombre no casado) = β1 + β2 + β4exp

E(salariot/t es mujer casada) = β1 + β3 + β4exp

E(salariot/t es hombre casado) = β1 + β2 + β3 + β4exp


Por tanto

β2 = E(salariot/t hombre no casado)-E(salariot/t mujer no casada)= E(salariot/t hombre casado)-E(salariot/t mujer casada)

β3 = E(salariot/t mujer casada)-E(salariot/t mujer no casada)= E(salariot/t hombre casado)-E(salariot/t hombre no casado)

de forma que en este modelo β2 mide las diferencias en el salariomedio por hora entre hombres y mujeres con la misma experiencialaboral y el mismo estado civil, mientras que β3 mide lasdiferencias en el salario medio por hora entre individuos casadosy no casados con la misma experiencia laboral y el mismo sexo.También podríamos escribir el modelo utilizando la dummy deser mujer en lugar de la de ser hombre y/o la de no estar casadoen lugar de la de estar casado y los modelos serían equivalentes, ypodríamos obtener los estimadores MCO y las varianzasestimadas de cualquiera de los modelos utilizando los resultadospara uno de los otros análogamente al ejemplo 1.


Ejemplo 5:


\salariot = 3,73+ 2,298(0,3025)

Hombret + 1,222(0,3262)

Casadot + 0,0133(0,0116)

expt

Según estos resultados el salario medio de los hombres es 2,298dólares mayor que el de las mujeres con la misma experiencialaboral y el mismo estado civil, mientras que el salario medio delos casados es 1,222 dólares mayor que el de los solteros con lamisma experiencia laboral y el mismo sexo.


Interacciones entre dos variables ficticias:El modelo

salariot = β1 + β2Hombret + β3Casadot + β4expt + ut

no permite que las diferencias por sexo para un nivel deexperiencia y estado civil dados, difieran dependiendo del estadocivil del individuo.Para permitir que las diferencias entre hombres y mujeres seandiferentes para los distintos estados civiles, y que las diferenciassalariales medias entre casados y solteros sean distintas entrehombres y mujeres, debemos añadir al modelo una variable quesea una interación entre la variable ficticia de Hombre y la variableficticia Casado.Así pues, la variable ficticia interacciónHomCasadot = Hombret � Casadot toma el valor 1 si el individuo tes hombre y está casado, y 0 en caso contrario.


Consideremos el siguiente modelo:

salariot = γ1+γ2Hombret+γ3Casadot+γ4HomCasadot+γ5expt+ut (5)

Si calculamos en este modelo la media del salario para hombres ymujeres, casados y no casados, y que tengan los mismos años deexperiencia laboral obtenemos

E(salariot/t es mujer no casada) = γ1 + γ5exp

E(salariot/t es hombre no casado) = γ1 + γ2 + γ5exp

E(salariot/t es mujer casada) = γ1 + γ3 + γ5exp

E(salariot/t es hombre casado) = γ1 + γ2 + γ3 + γ4 + γ5exp


Por lo tanto,

γ2 = E(salariot/hombre no casado)-E(salariot/mujer no casada)γ2 + γ4 = E(salariot/hombre casado)-E(salariot/mujer casada)

γ3 = E(salariot/mujer casada)-E(salariot/mujer no casada)γ3 + γ4 = E(salariot/hombre casado)-E(salariot/hombre no casado)

Introducir en el modelo la interación entre las dos variablesficticias nos permite que las diferencias entre hombres y mujeressean distintas entre solteros y casados (la diferencia por sexos paraindividuos casados es γ4 unidades mayor que para los nocasados). Asimismo, las diferencias entre solteros y casados esdistinta entre hombres y mujeres (la diferencia entre casados ysolteros es γ4 unidades mayor para los hombres que para lasmujeres).



En base a la misma muestra del ejemplo 1 se ha estimado elmodelo (5), y los resultados obtenidos son los siguientes:

\salariot = 4,47+ 0,575(0,4739)

Hombret � 0,132(0,4320)

Casadot

+2,8365(0,6081)

HomCasadot + 0,0110(0,0113)

expt

Para contrastar la hipótesis nula de que las diferencias salarialesmedias por sexo son iguales entre casados y no casados, debemoscontrastar la significatividad individual del parámetro γ4, es decir

H0 : γ4 = 0H1 : γ4 6= 0


En este caso,

t =bγ4

SE(bγ4)� t523 ' N(0, 1) Bajo H0

En este ejemplo t = 2,8365/0,6081 = 4,66.Puesto que jtj = 4,66 > z0,025 = 1,96, podemos rechazar H0 al 5 %,y por tanto concluimos las diferencias salariales medias entresexos es diferente para los individuos casados que para losindividuos no casados.


Interacciones en las que intervienen variables ficticias:El modelo


permite analizar posibles diferencias en el salario medio entrehombres y mujeres pero en este modelo se supone que el efectomarginal de la experiencia es el mismo para hombres y mujeres.Para permitir que este efecto marginal sea distinto para hombres ymujeres podemos considerar un modelo que incluya lainteracción de la variable experiencia con una de las dummies desexo. Por ejemplo, podemos considerar el modelo

salariot = β1 + β2Hombret + β3expt + β4Hombreexpt + ut (6)

donde Hombreexpt = Hombret � expt.


En este modelo el efecto marginal de la experiencia puede serdistinto para hombres y mujeres ya que

∂salariot

∂expt= β3 + β4Hombret

y por tanto β3 mide el efecto que tiene para las mujeres un añomás de experiencia laboral mientras que β3 + β4 mide ese efectopara los hombres.La hipótesis de que el efecto marginal de la experiencia sobre lossalarios es el mismo para hombres y mujeres es β4 = 0.Por otra parte

E(salariot/expt = 0) = β1 + β2Hombret

β1 es el salario medio de las mujeres sin experiencia laboral yβ1 + β2 es el salario medio de los hombres sin experiencia laboral.Por tanto, la hipótesis de que los salarios son idénticos parahombres y mujeres con la misma experiencia laboral (hipótesis deausencia de discriminación salarial por sexo) es β2 = β4 = 0.


Alternativamente podríamos haber incluido la dummy de sermujer en lugar de la de ser hombre

salariot = α1 + α2Mujert + α3expt + α4Mujerexpt + ut (7)

En este modelo el efecto marginal de la experiencia es

∂salariot

∂exp= α3 + α4Mujert

y por tanto α3 mide el efecto que tiene para los hombres un añomás de experiencia laboral mientras que α3 + α4 mide ese efectopara las mujeres. La hipótesis de que el efecto marginal de laexperiencia sobre los salarios es el mismo para hombres y mujereses α4 = 0.Por otra parte

E(salariot/expt = 0) = α1 + α2Mujert

α1 es el salario medio de los hombres sin experiencia laboral yα1 + α2 es el salario medio de las mujeres sin experiencia laboral.


Por tanto, la hipótesis de que los salarios son idénticos parahombres y mujeres con la misma experiencia laboral (hipótesis deausencia de discriminación salarial por sexo) es α2 = α4 = 0. Lahipótesis nula de que el efecto marginal de la experiencia laborales el mismo para hombres y para mujeres (permitiendo que lossalarios medios para un mismo nivel de experiencia sean distintosentre hombres y mujeres) es α4 = 0.Los modelos (6) y (7) son equivalentes y si comparamos los dosmodelos tenemos que

α1 = β1 + β2

α1 + α2 = β1

α3 = β3 + β4

α3 + α4 = β3


Finalmente también podemos escribir el modelo como

salariot = γ1Hombret+γ2Mujert+γ3Hombreexpt+γ4Mujerexpt+ut (8)

En este caso el efecto marginal de la experiencia es

∂salariot

∂exp= γ3Hombret + γ4Mujert

y por tanto γ3 mide el efecto que tiene para los hombres un añomás de experiencia laboral mientras que γ4 mide ese efecto paralas mujeres.La hipótesis de que el efecto marginal de la experiencia sobre lossalarios es el mismo para hombres y mujeres es γ3 = γ4.


Por otra parte

E(salariot/expt = 0) = γ1Hombret + γ2Mujert

γ1 es el salario medio de los hombres sin experiencia laboral y γ2es el salario medio de las mujeres sin experiencia laboral. Portanto, la hipótesis de que los salarios son idénticos para hombres ymujeres con la misma experiencia laboral (hipótesis de ausenciade discriminación salarial por sexo) es γ1 = γ2, γ3 = γ4. Losmodelos (6), (7) y (8) son equivalentes y si comparamos losmodelos tenemos que

γ1 = α1 = β1 + β2

γ2 = α1 + α2 = β1

γ3 = α3 = β3 + β4

γ4 = α3 + α4 = β3


Ejemplo 6:


\salariot = 4,612(0,3398)

+ 1,547(0,4819)

Hombret + 0,0015(0,0159)

expt + 0,0551(0,0222)

Hombreexpt

Según estos resultados, un año más de experiencia supone unincremento del salario por hora de 0,0015 dólares para las mujeres(practicamente nulo, de hecho la variable exper no es significativa)y de 0,0015+ 0,0551 = 0,0566 dólares para los hombres.El efecto marginal de la experiencia en el salario es 0,0551 dólaresmayor para hombres que para mujeres.Por otra parte el salario medio estimado para individuos sinexperiencia laboral es 4,612 dólares para las mujeres y4,612+ 1,547 = 6,159 para los hombres.


Alternativamente podemos escribir el modelo:

\salariot = 6,159(0,3417)

� 1,547(0,4819)

Mujert + 0,0566(0,0154)

expt � 0,0551(0,0222)

Mujerexpt

\salariot = 6,159(0,3417)

Hombret + 4,612(0,3398)

Mujert + 0,0566(0,0154)

Hombreexpt +

+0,0015(0,0159)

Mujerexpt

Los efectos estimados son idénticos a los que obtuvimos antes.

Nótese que en los modelos (6), (7) y (8) permitimos que tanto eltérmino constante como la pendiente sean distintas para hombresy mujeres.Otra posibilidad sería estimar por separado para hombres ymujeres el modelo de regresión del salario sobre una constante yla experiencia laboral. La diferencia es que cuando estimamos porseparado permitimos que la varianza de los errores sea distintapara hombres y mujeres, mientras que cuando estimamos elmodelo (6) estámos imponiendo que la varianza de los errores esla misma a la hora de calcular los errores estándar.Econometría I (UA) Tema 4: Variables binarias Curso 2009-10 43 / 51


En base a la misma muestra del ejemplo 1 se ha estimado ahora elsiguiente modelo para el salario por hora por separado parahombres y mujeres

Para la muestra de mujeres: \salariot = 4,612(0,2501)

+ 0,0015(0,0117)

expt

Para la muestra de hombres: \salariot = 6,159(0,4073)

+ 0,0566(0.,0184)

expt

Si comparamos estos resultados vemos que los efectos estimadosson idénticos. Los efectos marginales de la experiencia y lossalarios medios para individuos sin experiencia laboral coincidentanto para hombres como para mujeres con los que obteniamosanteriormente. Lo que cambia son los errores estándar, ya queahora no estamos imponiendo que la varianza de los errores sea lamisma para hombres y mujeres.


Contrastes de cambio estructural

Cuando trabajamos con datos de series temporales podemos estarinteresados en analizar si los parámetros del modelo sondiferentes en dos sub-periodos temporales distintos, para esoconsideraremos el modelo:

Yt = β1 + β2X2t + ..+ βkXkt + ut, t = 1, 2, ..., T1Yt = α1 + α2X2t + ..+ αkXkt + ut, t = T1 + 1, T1 + 2, ..., T (9)

Una posibilidad es estimar por separado el modelo para los dossub-periodos y posteriormente contrastar si los parámetros de losdos modelos son iguales, es decir contrastarβ1 = α1, β2 = α2, .., βk = αk.Cuando los parámetros no son iguales en los dos sub-periodosdiremos que se ha producido un cambio estructural.


Alternativamente, si la varianza del término de error es constantepara todas las observaciones, es decir si var(ut) = σ2 parat = 1, 2, ..., T1, T1 + 1, ..., T, podemos escribir el modelo utilzandouna variable ficticia que tome el valor 1 para uno de los dossub-periodos y cero para el otro.Así, si definimos �

D1t = 1, si t � T1D1t = 0, en otro caso�D2t = 1, si t > T1D2t = 0, en otro caso

Podemos escribir el modelo como

Yt = γ1+ δ1D1t+γ2X2t+ δ2D1tX2t+ ..+γkXkt+ δkDktX2t+ut (10)


En este modelo el efecto marginal de Xj sobre Y puede ser distintoen los dos sub-periodos

∂Yt

∂Xjt= γj + δj si t � T1 (es decir, si D1t = 1)

∂Yt

∂Xjt= γj si t > T1 (es decir, si D2t = 1)

El término constante del modelo también puede ser distinto en losdos sub-periodos ya que para t � T1 el término constante esγ1 + δ1 mientras que para t > T1 el término constante es γ1.Puesto que los parámetros son iguales en los dos sub-periodos siδ1 = δ2 = ... = δk = 0, el contraste de cambio estructural consisteen contrastar esta hipótesis frente a la alternativa de que al menosuno de los δj sea distinto de cero.


Nótese que existe la siguiente equivalencia entre los parámetrosde los modelos (9) y (10) y también entre los estimadores MCOde los dos modelos

γj + δj = βjγj = αj

j = 1, 2, .., k

Además, los residuos MCO del modelo (10) coinciden con losresiduos MCO de la primera ecuación del modelo (9) parat = 1, 2, .., T1 y con los residuos MCO de la segunda ecuación delmodelo (9) para t = T1 + 1, T1 + 2, .., T.Consecuentemente, la SCR del modelo (10) es la suma de la SCRdel modelo en la primera ecuación del modelo (9) y la SCR delmodelo en la segunda ecuación del modelo (9).


Teniendo en cuenta la hipótesis nula del contraste del cambioestructural, el modelo sin restringir es el modelo (10) mientrasque el modelo restringido es

Yt = γ1 + γ2X2t + ..+ γkXkt + ut (11)

Así pues, el estadístico de contraste del cambio estructural es elestadístico F que utilizamos en el Tema anterior:

F =[(SCR11 � SCR10)/k][(SCR11)/(T� 2k)]

� Fk,T�2k bajo H0

puesto que el modelo sin restringir contiene 2k variablesexplicativas y donde SCR11 es la suma cuadrática residualobtenida de la estimación por MCO del modelo (11) y SCR10 es lasuma cuadrática residual obtenida de la estimación por MCO delmodelo (10).


Alternativamente, igual que en el caso de los modelos (6), (7) y(8), podríamos haber escrito el modelo interaccionando todas lasvariables con D2t en lugar de con D1t, o bien incluyendo lasinteraciones de todas las variables con las dos dummies y sinincluir las variables explicativas sin interaccionar con lasdummies.

Como señalabamos anteriormente, para que los modelos (9) y(10) sean equivalentes tiene que verificarse que la varianza delerror coincida en los dos sub-periodos.Vamos a ver cómo contrastar esta hipótesis: Sea σ2

1 la varianza delos errores de las observaciones correspondientes al primersub-periodo y sea σ2

2 la varianza de los errores de lasobservaciones correspondientes al segundo sub-periodo, es decir

var(ut) = σ21, t = 1, 2, .., T1

var(ut) = σ22, t = T1 + 1, T1 + 2, .., T


La varianza de los errores será la misma para todas lasobservaciones si σ2

1 = σ22, y por tanto, vamos a proponer un

contraste paraH0 : σ2

1 = σ22

H1 : σ21 6= σ2

2

Si los errores son normales podemos utilizar el estadístico decontraste

F =bσ2

1bσ22� FT1�k,T2�k Bajo H0

donde T2 es el número de observaciones en el segundosub-periodo y

bσ21 =

T1

∑t=1

et

T1 � ky bσ2

2 =

T∑

t=T1+1et

T2 � ky et son los residuos MCO del modelo (9) y (10). Puesto que setrata de un contraste de dos colas, rechazaremos H0 a nivel α siF > FT1�k,T2�k,α/2 o bien F < FT1�k,T2�k,1�α/2.


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