objetivos:        Contactar con la geometría proyectiva como ampliación de la conocida g. euclediana.       Realizar transformaciones en el plano, tales como la homología y sus casos particulares, afinidades e inversiones.       Ampliar dichas transformaciones a otros tipos de problemas.       Conocer las relaciones de las transformaciones con la geometría descriptiva que se estudiará mas adelante.

En el ámbito de Segmentos proporcionales.

•Teorema de Thales •Razón simple •Razón doble •Cuaterna armónica

En el ámbito de Operaciones en el plano.

•Transformaciones proyectivas: •Homografías•Homotecia •Homología afín - Simetría axial •Homología especial - Traslación

•Transformaciones no proyectivas:• inversión•Equivalencia.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

La GEOMETRÍA PROYECTIVA observa las propiedades que se conservan en una proyección.EJEMPLO: Si desde un punto trazamos rectas que unan puntos rectas o planos y cortamos a éstas con otro plano, éste tipo de Geometría estudiará las propiedades de los puntos de corte.No se interesa por medidas de segmentos o ángulos, sino por las posiciones relativas d los elementos en el espacio o en el plano.Aunque representa conceptos tridimensionales es posible su empleo sobre un plano.También aparece el concepto de infinito en las resoluciones

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PROYECTIVAPROYECTIVA

RECTA ORIENTADA:Se designa así a la recta en la cual ha sido fijado un sentido como positivo

P A B +

Elementos geométricos fundamentales. Son el punto, la recta y el plano.

Formas geométricas. Son las formadas con los elementos geométricos.

Razón simple de tres puntosRazón simple de tres puntos

Dados dos puntos fijos A y B) en una recta r orientada (que tiene sentido positivo y negativo), la razón simple es el cociente o razón de distancias entre el primero a los otros dos fijos. Se llama razón simple de tres puntos P, A Y B a la relación:

h = (PAB) = PAPB

P A B +

SI SE VARÍA EL ORDEN DE NOTACIÓN, SE VARIÁ EL VALOR DE LA RAZÓN.

Puntos fijos

+aclaraciones+aclaraciones

10 1530

p A B

K=PAB=PAPB;

aritméticamente: 2030 ,de donde

podemos afirmar, mn=1015=20

30

20

Valor de la razón simple, imagínate un valor

Se refiere a los puntos que están en razón simple

m

n

K, es un valor. En una recta donde hay tres puntos alineados, si consideramos a uno de ellos, el P por ejemplo el origen de esa recta, el segmento formado desde este punto P al siguiente punto A dividido por la distancia de P al ultimo punto nos va a dar un valor =k. En geometría ese valor viene expresado como PA/PB. Es decir, se interesa mas por la relación entre el primer segmento/segundo segmento.

Ese valor se expresa mediante la fracción

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN SIMPLECONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE UNA RAZÓN SIMPLE

•Sean A Y B los puntos fijados sobre una recta.•Para construir el punto P cuya razón h es conocida, se trazan por A y B dos rectas paralelas cualesquiera, tomando sobre ellas dos segmentos que están en la relación m/n = , al mismo o a distinto lado, según que el valor de h sea positivo o negativo.•El segmento que une los extremos obtenidos determina sobre la recta el punto buscado (P1 para + y P2 para -)

El ejercicio consistirá en hallar la ubicación de P en la recta para que la razón simple de estos tres puntos estuvieran en la misma relación que m/n.

nm

+datos

Razón doble de cuatro puntosRazón doble de cuatro puntos

Dados dos puntos fijos A y B en una recta r orientada se llama razón doble de cuatro puntos M, N, A y B al cociente de las razones simples de los dos primeros respecto a los otros dos:

k = (MNAB) =(MAB)(NAB)

MA/MBNA/NB

=

Cuaterna armónicaCuaterna armónica

-NA NB

MAMB

=

Si la razón doble de cuatro puntos vale -1, entonces se dice que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica:

k = (NMAB) =(NAB)(MAB)

NA/NBMA/MB

= =-1

MN están separados armónicamente por AB

Para construir el cuarto conjugado armónico de un punto M respecto a un par dado AB se trazan por A y B dos líneas paralelas cualesquiera y por M una recta secante arbitraria que determina sobre las paralelas los segmentos f y r , cuya razón es precisamente, la razón (MAB). Trácese sobre la prolongación de la paralela trazada por A un segmento igual a f y su unión con el extremo de r determina el cuarto armónico N.

Construcción geométrica de una Construcción geométrica de una cuaterna armónicacuaterna armónica

Se trataba de ubicar un punto tal que la razón doble NMAB RESULTARA (–1), es decir, que los cuatro puntos formen o estén en una relación de cuaterna armónica

NMAB=(NAB)(MAB)

=- F/R F/R

=-1

Invariante proyectivo.Invariante proyectivo.

La razón simple de tres puntos no varía al proyectar sus puntos paralelamente sobre otra recta, puesto que los segmentos son proporcionales y su razón no varía. De aquí que la razón doble de cuatro puntos no varía al proyectar sus puntos sobre una recta, puesto que se trata del cociente de dos razones fijas.

Esta proyección puede ser paralela o desde un punto exterior.

Transformaciones geométricas.Transformaciones geométricas.

Una transformación geométrica es una correspondencia (o aplicación) entre elementos de dos formas geométricas.El concepto de transformación en geometría es equivalente al concepto de función en álgebra.

•Transformaciones proyectivas. Es una transformación tal que cuatro puntos en línea recta se transforman en cuatro puntos en línea recta, siendo la razón doble de los cuatro primeros igual a la razón doble de los cuatro segundos.

Existen también transformaciones entre haces de rectas, haces de planos, etc.

En geometría se dice que dos formas son proyectivas si una puede obtenerse de la otra mediante proyecciones y secciones.

•Homografía. Se denomina así a la correspondencia entre dos formas geométricas tal que a un elemento de una forma le corresponde un elemento de la misma especie de la otra forma (a un punto le corresponde un punto, a una recta le corresponde una recta, etc.), según una determinada ley. Son transformaciones homográficas: la homología, la afinidad, la homotecia, la traslación, la simetría y el giro.•Correlación. Es la correspondencia entre elementos de distinta especie (a un punto le corresponde una recta, a una recta le corresponde un plano, etc.).

HOMOGRAFÍASHOMOGRAFÍASLas transformaciones que pasamos a tratar a continuación están incluidas en la homografía, que podemos definir como la relación espacial existente entre figuras planas. Éstas se relacionan con sus homólogas, punto a punto y recta a recta, mediante la proyección desde un elemento vértice, de modo que las figuras pertenecen a las secciones planas de los haces proyectivos.Dos secciones planas de la misma radiación se llaman perspectivas y son homográficas;

Aplicaciones de la homologíaAplicaciones de la homología

Transformaciones geométricasHomología Definición

Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes:- Dos puntos homólogos están alineados con un punto fijo (centro de homología)-Dos rectas homólogas siempre se cortan en una recta fija (eje de homología)

-El eje, por tanto, es el lugar geométrico de los puntos que son homólogos de sí mismos (puntos dobles).

HOMOLOGÍAHOMOLOGÍA

Coeficiente de homología

Es la razón doble que forman dos puntos homólogos A y A', el centro O y el punto P de intersección de la recta AA' con el eje e.

k = (OPAA´) = (OAA') (PAA') = OA/OA´

PA/lPA'

El valor de K nos lo pueden dar como un nº, ejemplo 0,5, o una fracción, ejemplo: 1/2

EjercicioEjercicioHallar el homólogo B' de B , conociendo el centro O, el eje e y un par de puntos homólogos A y A'.

1 Se unen los puntos A y B mediante la recta r que

corta al eje en el punto C-C'.

2 El punto C-C' se une con el punto A' mediante la

recta r', homóloga de la recta r.

3 Se une el centro O con el punto a hasta cortar a la

recta r' en el punto B' solución.

RECTAS LÍMITERECTAS LÍMITE Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son dos: I y I´, paralelas al eje.

r´

r

e

O

r´

r

e

K

O

J ´

Ejercicio

Dadas dos rectas homólogas r y r', el centro O y el eje e, hallar las rectas límites:

1 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta (en el punto K´.

2 Por K´ se traza la recta límite I´ paralela al eje.

3 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta r' en el punto J.

4 Por J se traza la recta límite l paralela al eje.

Al punto K se le denomina punto límite

Transformaciones geométricasRectas límite

Definición

Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito

- Recta límite l’: Por O se traza la paralela a r hasta cortar a r’

- Recta límite l: Por O se traza la paralela a r’ hasta cortar a r

Si no se ve bien en la anterior diapositiva, aquí te muestro el mismo trazado de manera más clara

a) Propiedades de las rectas límitesa) Propiedades de las rectas límites

e

O

P i

e

O

r s

P i

Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite) tienen sus homólogas . paralelas a OPP.

b) Propiedades de las rectas límitesb) Propiedades de las rectas límites

1. La distancia de una de las rectas límite al centro de homología es la misma que hay desde la otra recta límite al eje de homología.

2. Las rectas límite están siempre entre el centro O y el eje e , o bien fuera de ellos.

Determinación de una homologíaDeterminación de una homologíaUna homología queda determinada conociendo los siguientes datos:

A´

e

O

Ar

r´

O

s´

s

A´

A

d-d´

B'

B

e

O IO I

B'

B

O

I´

I

•a) El eje, el centro y un par de puntos homólogos. •b) El centro y dos pares de rectas homólogas.•c) Un punto doble y dos pares de puntos homólogos.• d) El centro, el eje y una recta límite.•e) El centro, una recta límite y dos puntos homólogos.•f) El centro, el eje y el coeficiente de homología.(X)•g) El centro y las dos rectas límite.•h) Dos figuras homólogas.

EJERCÍCIOSEJERCÍCIOS

Hallar el homólogo Hallar el homólogo AA'' de un punto de un punto AA conociendo el centro de conociendo el centro de homología homología OO,, el eje el eje ee y la recta límite y la recta límite ll

•1 Se traza una recta r cualquiera que pase por A;

•dicha recta corta al eje en P ya la recta límite en K.

•2 Se une el centro O con K y por el punto P se traza la paralela r' (homóloga de r) a OK.

•3 Donde la recta OA corta a r' se obtiene el punto A'.

Construir la figura homóloga del polígono Construir la figura homóloga del polígono ABCDEABCDE conociendo el centro conociendo el centro OO, el eje , el eje ee y un punto y un punto AA'.'.

•1 Aplicando el procedimiento general, se une el punto A con cualquier otro, el B por ejemplo, hasta cortar al eje en el punto M.•2 El punto M se une con A' mediante una recta que corta al rayo OB en el punto B'.•3 Se une el punto C con el punto B, o con cualquier otro del que ya se conozca su homólogo, y se siguen las mismas operaciones anteriores hasta determinar los homólogos de todos los vértices.

Hallar el homólogoHallar el homólogo B' B' de un puntode un punto B B conociendo el centroconociendo el centro O O, , el ejeel eje ee yy un par de puntos un par de puntos homólogoshomólogos A A y y A'A' alineados conalineados con BB..

•1 Se elige un punto C, arbitrario, y se une con A mediante la recta r que corta al eje en R.•2 Se une R con A' mediante la recta r' (homóloga de r).•3 Se traza la recta que une el centro O con el punto C hasta cortar a r' en C´.

•4 Se une C con B hasta cortar al eje en S.•5 Se traza la recta s' (homóloga de s) uniendo S y C'. •6 Donde la recta s' corta a la recta OB se obtiene el punto B' buscado

Cónicas homológicas de una circunferenciaCónicas homológicas de una circunferencia

•La recta límite es secante: la figura es una hipérbola.

•La figura homológica de una circunferencia es una cónica que depende de la posición relativa de la circunferencia y su recta límite:

•La recta límite es exterior: la figura es una elipse.

La recta límite es tangente: la figura es una parábola.

Propiedades•- La tangente común a una cónica y a su homóloga pasa por el vértice de homología.•- Si dos cónicas homológicas se cortan, la recta que une los puntos de intersección es el eje de homología y si son tangentes, la tangente común es el eje.•- El centro de una cónica se transforma en el polo de la recta límite respecto de la figura homológica.

Cónicas homológicas de una circunferenciaCónicas homológicas de una circunferencia

ELIPSE HOMOLÓGICA DE LA CIRCUNFERENCIAELIPSE HOMOLÓGICA DE LA CIRCUNFERENCIA Sea la circunferencia de centro O, un eje e, la recta límite I y el vértice V :

V

I

Oe

V

I

O

M

C

De

V

I

O

M

A

B

C

D

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

C´A´

D´

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

Hr

C´A´

D´

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

H

G

r

C´A´

D´

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

H

G

rr´

C´A´

D´

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

H

G

rr´

H´

C´A´

G´

D´

N

e

V

I

O

M

A

B

C

D

P

P´

H

G

rr´

H´

C´A´

G´

D´

N

E-E`

e

•2 Se unen los puntos C y D hasta cortar a la recta límite en N y desde este punto se trazan dos tangentes cuyos puntos de tangencia son A y B.•3 Se unen los puntos A y B. La intersección P de las rectas AB y CD es el polo P

+ DETALLE

Determinación del polo1 Se elige un punto arbitrario M de la

recta límite I y se trazan las tangentes a la circunferencia, cuyos puntos de tangencia son C y D.

DETALLEDETALLE

VOLV

ER

Transformaciones geométricasElipse homológica de una circunferencia

1. Desde un punto M de la recta límite hallamos los puntos de tangencia C y D que unidos cortan a l en el punto N

2. Desde N se trazan tangentes, obteniendo A y B. El punto donde se cortan AB y CD es el polo P de la recta límite3. Se hallan los homólogos de dichos segmentos, que son los diámetros conjugados de la elipse homóloga

Datos: Circunferencia, eje e, recta límite L y vértice V

A'

b'

H'a'

F-F'E-E'

B'

r'D'

C'G'

P'

a

br

H

G

B

A

P

M

D

C

e

V

lN

Repetimos el ejercicio con menos texto y mejor imagen

Transformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadradoTransformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado

AD

BC

AD

BC da RL

AD

BC da RL

AD

BC da RL

AD

BC db a c

RL

AD

BC db a c

RL

AD

BC db a c

O

RL

AD

BC db a c

O E

RL

AD

BC db a c

O E

RL

AD

BC db a c

O E

Sea cuadrilátero ABCD.

Hemos de determinar la posición del centro de homología y de la recta límite del polígono dado, situados de modo que en la transformación nos resulte un cuadrado.

Recordemos q los lados opuestos un cuadrado son paralelos, luego se cortan en un punto impropio.;. de aquí que los lados opuesto del polígono dado han de cortarse en la recta límite.. Para obtener la recta límite basta, por tanto, obtener las intersecciones de A D con B C y de A B con DC, las cuales determinan loS puntos a y d, que definen a RL

EL centro de homología ha de ser un punto desde el cual se vean los lados y las diagonales-formando respectivamente ángulos rectos, puesto que en el cuadrado así se verifica, luego tomando como diámetro el segmento ad tracemos una semicircunferencia, lugar geométrico del ángulo de 90º, y con los puntos b y c, donde es cortada RL por las diagonales, procedamos de igual modo, tomando el segmento BC como diámetro también. EL punto O, común a ambas, es el punto buscado, centro de la homología. Los segmentos Oa y Od nos marcan las direcciones de los lados del cuadrado y los segmentos O c y O b de las diagonales.

Tracemos en cualquier posición paralelamente a R L el eje de homología y obtengamos los vértices A', B', C' y D', homólogos de A, B, C y D según los procedimientos conocidos. La posición del eje interviene solamente en la magnitud del cuadrado obtenido, mayor cuanto más alejado se tome del centro de homología

AFINIDADAFINIDADLa afinidad es una homología de centro impropio, es decir, que está en el infinito.

DIFERENCIA TRIDIMENSIONAL

ENTRE LA HOMOLOGÍA Y LA

AFINIDAD

Transformaciones geométricasAfinidad

Definición

Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes:- Dos puntos afines están en una paralela a la dirección de afinidad- Dos rectas afines siempre se cortan en una recta fija (eje de afinidad)

En la afinidad no existen rectas límite.

Si el coeficiente de afinidad es positivo, los dos puntos A y A' están al mismo lado del eje, y si es negativo están a distinto lado.

Transformaciones geométricas

Ejercicio Hallar B’

1. Se une A y B mediante la recta r2. Se une C-C’ con A’ mediante r’3. Por B se traza la paralela a d

Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos afines A y A‘:

CONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINESCONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINES

Una afinidad queda determinada conociendo los siguientes datos:

a) El eje y dos puntos afines.b) La dirección de afinidad y el coeficiente.c) Dos figuras afines.

No es necesario dibujarlo de momento

Transformaciones geométricasFiguras afines

Ejercicio Hallar B’

1. Se traza una recta r por el punto A2. Se une R con A’ mediante r’3. Por un punto C se traza la paralela a d

Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’

1. Se une A y B hasta cortar al eje2. Se une M con A’3. Por B se traza la paralela a d4. Se repite la operación con el resto de puntos

4. Se une B con C hasta cortar al eje5. Se une S con C’ mediante s’

Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo la dirección d de afinidad, el eje e y un punto afín A'.

Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos afines A y A' alineados con B.

Circunferencia y elipse de diámetro común.Circunferencia y elipse de diámetro común.Dada la circunferencia de diámetro Dada la circunferencia de diámetro AB-A'B' AB-A'B' y un par de puntos afines y un par de puntos afines C-C´ C-C´ ::

C

C´

A-A´ B-B´

C

C´

A-A´ B-B´

C

C´

A-A´ B-B´M

C

C´

A-A´ B-B´MN

E´

E

C

C´

A-A´ B-B´MN

E´

E

C

C´

A-A´ B-B´MN

E´

E

1 Eje de afinidad. Es el diámetro común AB-A'B' de ambas cónicas.2 Dirección de afinidad. Es la recta C-C´.

Transformaciones geométricasHomotecia

Definición

Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes:- Dos puntos homotéticos están alineados con un punto fijo (centro de homotecia)

- Dos rectas homotéticas son paralelas

Transformaciones geométricasSimetría central

Definición

Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes:

- Dos puntos simétricos están alineados con un punto fijo (centro de simetría)

Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’

1. Se une A con O y se lleva OA’ = OA2. Se repite la operación con el resto de

puntos

- Los puntos simétricos están a distinto lado del centro y a la misma distancia

Transformaciones geométricasSimetría axial

Definición

Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes:

- La recta que une dos puntos simétricos es perpendicular a una recta fija (eje de

simetría)

Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’

1. Por A se traza la perpendicular al eje y se lleva AA0 = A0A’

2. Se repite la operación con el resto de puntos

- Los puntos simétricos están a distinto lado del eje y a la misma distancia

Transformaciones geométricasTraslación

Definición

Leyes de la transformación geométrica Traslación :

- La recta que une dos puntos homólogos es paralela a una dirección

- Dos rectas homólogas son paralelas

Ejercicio

Trazar el triángulo ABC situando un vértice en cada una de las rectas dadas

1. Desde un punto cualquiera A se traza un arco de radio AB que corta a s en el

punto B2. Hallar C en la intersección de dos arcos.

Uno de centro A y radio AC y el otro de centro B y radio BC

B

A C

A A'

C

B'

C'

r

s

t

A B

B C

3. Trasladar el triángulo ABC en dirección r-s hasta que C coincida en la recta t

Transformaciones geométricasGiro

Definición

Es una transformación geométrica que cumple las siguientes leyes:

- La distancia de dos puntos homólogos a un punto fijo es constante

- El ángulo que forman las rectas que unen dos puntos homólogos con el centro

es constante

Ejercicio

Girar la recta r un ángulo f respecto a O

1. Trazar una perpendicular a r por el punto O obteniendo A como intersección2. Con centro O giramos el punto A un

ángulo f hasta A’O B'

A

A'

r'

r B

3. Se traza por A’ la recta girada r’ que es perpendicular a OA. Comprobamos con B