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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1

Aplicaciones de la Transformada de Fourier (Eléctricos)

Modulación

Modulación en Amplitud (AM)

Modulación en Amplitud DSB-SC

Multiplexación

Teorema de Muestreo

Modulación Amplitud de Pulso (PAM)

Dónde se aplica el análisis de Fourier

Indice:

Tema 4. Aplicaciones de La Transformada de Fourier.


1. Aplicaciones de la Transformada de Fourier a Sistemas Lineales (Eléctricos)

Ejemplo: Hallar la corriente i0(t) del circuito mostrado.

Aplicando Transformada de Fourier

Aplicando la ley de Kirchhoff, divisor de corriente hallamos la función de transferencia:

iG(t) = Ig cos(w0t),



1. Aplicaciones de la Transformada de Fourier a Sistemas Lineales (Eléctricos)

Ejemplo:



Transmisión de una señal a una frecuencia dada, variando alguna de sus

características de forma proporcional al mensaje o señal que queremos transmitir.

En la modulación intervienen los siguientes elementos:

Señal portadora: Señal periódica encargada de ”transportar” la información a

transmitir, y cuya frecuencia es la frecuencia de transmisión deseada.

Señal moduladora: Señal que representa el mensaje que deseamos

transmitir, y cuya frecuencia en general no sería la frecuencia de transmisión

deseada. Esta señal modificaría algún parámetro de la portadora.

Señal modulada: Señal resultante de la modulación de una señal portadora

por una señal moduladora.

2. Modulación



2. Modulación

Criterios para clasificar los tipos de modulación:

Tipo de portadora y moduladora: analógica o digital.

Parámetro de la señal portadora que puede modificar la moduladora:

amplitud, frecuencia y fase.

Ejemplo de Modulación

Portadora: Frecuencia Deseada Moduladora: Información

Modulada: Resultante



3. Modulación en Amplitud (AM)

Esquemas de modulación de amplitud:

AM con portadora completa y dos bandas laterales o AM completa.

AM con dos bandas laterales y portadora suprimida (AM-DSB-SC5).

AM con dos bandas laterales y vestigio o piloto de portadora.

Banda lateral única (BLU o SSB6) sin portadora.

Banda lateral única con piloto de portadora.

AM con vestigio de banda lateral o AM con banda lateral vestigial (AMVSB7).




En este tipo de modulación, la amplitud de la portadora varía según la señal de

información, de modo que la información de amplitud y frecuencia de ésta se

“montan” sobre la portadora haciendo que su envolvente varíe de acuerdo a la

señal moduladora o de información.

Portadora

Moduladora

Modulada




B

A

B

B

A

A

m(t) = A sen (wct)

f(t) = B sen (wat)

y(t) = (A + B sen (wat)) sen (wct)

y(t) = A 1 + B sen (wat) sen (wct)

A

Análisis matemático




Factor de Modulación

B

A m =

El Factor de modulación, está dado por m = B/A, donde B es el voltaje

instantáneo pico de la señal moduladora. Cuando se expresa como

porcentaje se conoce como índice de modulación, M, y puede tomar valores

entre 0% y 100%. El primero corresponde a la ausencia de modulación,

M=100% corresponde al máximo nivel permisible de modulación sin

distorsión. B

A M = x 100%

La forma de onda se puede ver fácilmente en un osciloscopio, con lo que los

voltajes máximo y mínimo pueden medirse y determinar, así, el índice de

modulación como:

(A + B) – (A – B)

(A + B) + (A - B) M = x 100%



Un método comúnmente utilizado es el basado en el Teorema de Translación de

Frecuencia.


Teorema de Translación en Frecuencia, establece que la multiplicación de una

señal f(t) por una señal sinusoidal de frecuencia c, traslada su espectro de

frecuencia en c radianes.

Sea F [f(t)] = F(), la transformada de Fourier de la función f(t). Si aplicamos

la transformada de Fourier a la entrada portadora considerando una función

seno o coseno, tenemos:




De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, se tiene el siguiente

resultado:




wc -wc

F [cos wct] πδ(w+wc ) πδ(w-wc )

w

wc -wc w

F [f(t)cos wct]

w wM -wM

F(w)

cos wct

t

f(t)

t

f(t) coswct

t

Señal Portadora

Señal Moduladora

Señal Modulada



Esta modulación analógica, tiene como característica que la amplitud (A) de la

portadora no modulada y denotada por la ecuación: A cos (ct + c), se varía en

proporción a la señal moduladora manteniendo constantes c y c. El espectro de

frecuencia de la señal modulante se desplaza hasta el valor de c.

La señal f(t) se denomina Modulante y contiene la información que se desea

transmitir.

La señal Cos(ct) es la Portadora, la cual determina la frecuencia a la cual va a ser

trasladado el espectro de frecuencia.

Observaciones:

4. Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB-SC)



El espectro de f(t).cos(ct) no contiene portadora.

El espectro de la moduladora es simétrico respecto al eje “y.

El espectro de f(t).cos(c t) contiene dos bandas laterales para c. La banda a la

derecha de +c se denomina banda lateral superior (B.L.S.) y la de la izquierda

banda lateral inferior (B.L.I.). Para la frecuencia -c, la banda a la derecha de -c

se denomina banda lateral inferior (B.L.I.) y la de la izquierda banda lateral

superior (B.L.S.).

El ancho de banda de la señal modulada es el doble del ancho de banda de la

señal moduladora.

Observaciones:





Demodulación: Es el proceso de separar la señal moduladora de la señal

modulada.

El espectro de la señal modulada puede ser trasladado a su posición original

multiplicando la señal modulada por coswct en el extremo receptor luego de la

transmisión, es decir, la señal original puede recuperarse con un filtro para bajas

frecuencias.




Sea AM(t) = f(t)cos(wct). (Señal modulada)

Si AM(t) se multiplica por cos(wct) tenemos:

Utilizando la identidad de cos2 wct tenemos:



5. Multiplexación

Multiplexación por división de Frecuencia: Consiste en asignar a cada señal

una parte de la banda final de frecuencia que se vaya a utilizar para que sea

transmitida, este proceso es similar a AM. Si se desea transmitir varias señales

simultáneamente, solo hace falta desplazar los espectros de cada una de las

señales hasta valores de frecuencia tales que, no se traslapen unos con otros,

evitando así la posible interferencia entre ellos.

Es el proceso que permite la transmisión simultánea de varias señales de información

por un mismo canal. Pueden ser:

Multiplexación por División de Frecuencia.

Multiplexación por División de Tiempo.



5. Multiplexación

Procedimiento: Consideremos tres señales de banda limitadas f1(t), f2(t), y f3(t)



5. Multiplexación

Procedimiento:

Se escoger una frecuencia portadora para cada una de las señales que permita

ubicarlas dentro del espectro de frecuencia del canal, de manera tal, que no se

traslapen unas con otras; donde se han escogido frecuencias wc1 , wc2 y wc3 para

ubicar cada uno de los espectros sin que exista interferencia de unos a otros.

Si tenemos un canal de ancho de banda B, podemos dividir este canal en n canales de

ancho de banda B/n, y enviar simultáneamente n señales, cada una por un subcanal.



Sea x(t) una señal limitada en banda, (X(f) = 0 si |f| > B). Entonces, es posible

recuperar x(t) a partir de sus muestras si estas se toman a una frecuencia fm > 2B.

Este teorema nos indica que podemos reconstruir completamente una señal a partir

de sus muestras si se cumple el Teorema de Muestreo.

6. Teorema de Muestreo

Ancho de banda (B) de la señal: expresa el rango de frecuencias en el cual se

encuentra concentrado un alto porcentaje del espectro de la señal. Por ejemplo, si

una señal continua tiene el 95% de su espectro concentrado en el rango f1 ≤ f ≤ f2,

entonces se dice que el ancho de banda del 95% de la señal es f2 – f1 .

Una señal se dice de banda estrecha si su ancho de banda (f2 – f1) es mucho

menor que su frecuencia media (f2 + f1 )/2, de lo contrario se dice que es una

señal de banda ancha.

Una señal continua se dice de banda limitada si su espectro es cero para

frecuencias f fuera del rango │f│≤ B.



La modulación de amplitud de pulso se denota como PAM (Pulse Amplitude

Modulation) y se produce al multiplicar una señal f(t) que contiene la

información por un tren de pulsos periódicos pT(t).

Al realizar el producto, la amplitud de los pulsos será escalada en magnitud por la

amplitud de la señal f(t).

De esta manera el resultado final es un tren de pulsos cuyas amplitudes son

función del valor de la señal f(t) en cada uno de ellos.

7. Modulación Amplitud de Pulso (PAM)



7. Modulación Amplitud de Pulso (PAM)



8. Dónde se aplica el análisis de Fourier

Se utiliza en muchas áreas de ingeniería donde se analizan y diseñan sistemas

dinámicos.

En comunicaciones

Para analizar contenido de frecuencia de las señales.

Diseñar los sistemas de transmisión de señales para transmitir

información.

Analizar los cambios que ocurren cuando las señales viajan a través de un

medio de transmisión.

Diseñar sistemas para compensar la distorsión de las señales en los

sistemas de transmisión.

Para diseñar supresores y canceladores de eco en líneas telefónicas.



En ingeniería de control

Para estudiar la estabilidad de los sistemas de control utilizados en

diversos equipos.

Para análisis y diseño de sistemas de control que satisfagan los

requerimientos establecidos.

Para compensar sistemas de control que tienen problemas de estabilidad.

8. Dónde se aplica el análisis de Fourier


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