tema 3. teoría cinética de gases - uv · 2008. 12. 26. · desarrollo: 1858-1868 2. se...

Tema 3. Teoría Cinética de Gases

1. Introducción

2. Funciones de distribución de la velocidad

2.1. Función de distribución

2.2. Funciones de distribución de la velocidad

3. Velocidades Características

4. Distribución de Energías

5. Colisiones con las Paredes. Efusión

6. Colisiones Intermoleculares y recorrido libre medio

7. Bibliografía

Bibliografía

Tema 3. Teoría Cinética de Gases

I. Tuñón y E. Silla Química Molecular Estadística

Síntesis, Madrid, 2008

J. Bertrán y J. Núñez (coords)Química Física

Ariel, Barcelona 2002

I. Levine Fisicoquímica (4ª ed.)

McGraw-Hill, Madrid 1999

T. Engel, P. Reid Química Física

Pearson, Madrid, 2006

1. Introducción

Formulación Original:

1. Se consideraba que una muestra macroscópica de gas estaba constituida

por un número enorme de átomos o moléculas, requisito necesario para

poder tomar promedios estadísticos.

Desarrollo: 1858-1868

2. Se consideraba que las partículas constituyentes del gas se movían de

acuerdo con las ecuaciones de Newton.

3. En su formulación original la TCG consideraba únicamente gases diluidos

formados por moléculas cuyo tamaño era despreciable frente al volumen total

del sistema.

4. Los choques entre partículas y con las paredes del recipiente se consideran

perfectamente elásticos, conservándose la energía cinética traslacional e

ignorándose la estructura interna de las moléculas.

2. Funciones de Distribución

● Función de distribución de las componentes vx; vy; vz

xxx

vdv)v(g)v(dp

N

dNx

yyy

vdv)v(g)v(dp

N

dNy

zzz

vdv)v(g)v(dp

N

dNz

Fracción de moléculas con la componente x de la velocidad comprendida entre

vx y vx+dvx

Fracción de moléculas con la componente y de la velocidad comprendida entre

vy y vy+dvy

Fracción de moléculas con la componente z de la velocidad comprendida entre

vz y vz+dvz

vx

vy

vzdvy

)v(g)v(g)v(g zyx

Si las direcciones son equivalentes


● Función de distribución del vector velocidad

Fracción de moléculas con vector velocidad comprendido entre v

y vdv

zyxv dvdvdv)v(vd)v()v(dp

N

dN

vx

vy

vz

dvx

dvy

dvz

Si las componentes de la velocidad vx vy vz son independientes

N

dN

N

dN

N

dN

N

dNzyx vvvv

)v(g)v(g)v(g)v( zyx

zzyyxxzyx dv)v(gdv)v(gdv)v(gdvdvdv)v(


● Función de distribución del módulo de la velocidad

Fracción de moléculas con módulo velocidad comprendido entre v y v+dv

dv)v(G)v(dpN

dNv

vy

vz

vx


Obtención funciones distribución: g(vi)

Tratamiento cuántico: Probabilidad de encontrar una molécula (o fracción de

moléculas) en un estado traslacional nx

1n

kT

kTn

n

x

xn

xn

x

x

e

e

N

Np

xkT2

mv

kT2

mv

x

xx

dve

e

dv

)v(dp)v(g 2

x

2x

Tratamiento clásico: Densidad de Probabilidad de encontrar una molécula (o

fracción de moléculas) con componente x de la velocidad comprendida entre vx y

vx+dvx

2/1

kT2

mv

m

kT2

e

2x

kT2

mvexp

kT2

m)v(g

2

x

2/1

x


kT2

mvexp

kT2

m)v(g

2

x

2/1

x

)v(g)v(g)v(g zyx

kT2

mvexp

kT2

m)v(g

2

y

2/1

y

kT2

mvexp

kT2

m)v(g

2

z

2/1

z

He: función g(vx)

0,0E+00

1,0E-04

2,0E-04

3,0E-04

4,0E-04

5,0E-04

6,0E-04

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000

vx (m/s)

g(v

x)

(s/m

) 300 K

1000 K

función g(vx) a 300K

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

3,0E-03

3,5E-03

4,0E-03

-5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000

vx (m/s)

g(v

x)

(s/m

) He

Rn

Obtención funciones distribución: g(vi)


Obtención funciones distribución (v)

)v(g)v(g)v(g)v( zyx

kT2

mvexp

kT2

m)v(

22/3

kT2

mvexp

kT2

m

kT2

mvexp

kT2

m

kT2

mvexp

kT2

m)v(

2

z

2/12

y

2/12

x

2/1

vx

vy

vz

kT2

mv

kT2

mv

kT2

mvexp

kT2

m)v(

2

z

2

y2

x

2/3

2

z

2

y

2

x

2/3

vvvkT2

mexp

kT2

m

v

)v(

vy

vz

vx

Vectores

igualmente

probables


Obtención funciones distribución G(v)

vy

vz

vx

norientació

zyx

norientació

vv dvdvdv)v(N

dN

N

dN

vx

vy

vz

v

dvddsenvdvdvdv 2

zyx

2

0 0

2v dvddsenv)v(N

dN

dvkT2

mvexp

kT2

mv4

N

dN 22/3

2v

dv)v(GN

dNv

kT2

mvexp

kT2

mv4)v(G

22/3

2

2

0 0

222/3

dsenddvvkT2

mvexp

kT2

m

2

0 0

222/3

dvddsenvkT2

mvexp

kT2

m


Obtención funciones distribución G(v)

He: función G(v)

0,0E+00

1,0E-04

2,0E-04

3,0E-04

4,0E-04

5,0E-04

6,0E-04

7,0E-04

8,0E-04

0 1000 2000 3000 4000 5000

v (m/s)

G(v

) (s

/m) 300 K

1000 K

función G(v) a 300 K

0,0E+00

1,0E-03

2,0E-03

3,0E-03

4,0E-03

5,0E-03

6,0E-03

0 1000 2000 3000 4000 5000

v (m/s)

G(v

) (s

/m) He

Rn

vy

vz

vx

Vector con módulo 0 (0, 0, 0)

Vectores con módulo 100 (100, 0, 0); (0, 100,0), …(70, 40, 59.2) …

kT2

mvexp

kT2

mv4)v(G

22/3

2

Prob módulo v = prob de tener 1 vector con ese módulo x nº de vectores con ese módulo

kT2

mvexp

kT2

m)v(

22/3


00

dv)v(vG)v(vdpv

dvkT2

mvexpv

kT2

m4dv

kT2

mvexp

kT2

mv4vv

2

0

3

2/3

0

22/3

2

0vvv zyx

2/1

2

2/3

m

kT8

kT2

m2

1

kT2

m4v

0

2

0

22 dv)v(Gv)v(dpvv

dvkT2

mvexpv

kT2

m4dv

kT2

mvexp

kT2

mv4vv

2

0

4

2/3

0

22/3

222

m

kT3

kT2

m!22

!4

kT2

m4v

2/5

5

2/12/3

2

2/12/1

2

rmsm

kT3vv

2/1

m

kT8v

Velocidad media (módulo)

Velocidad cuadrática media (módulo)


Velocidad más probable

0v

)v(G

kT2

mvexp

kT2

mv4

vv

)v(G22/3

2

kT

mv2

kT2

mvexpv

kT2

m4

kT2

mvexp

kT

mv

kT2

mvexpv2

kT2

m4

v

)v(G 222/32322/3

2/1

pm

kT2v

2/12/1

2

rmsm

kT3vv

2/1

m

kT8v

0,0E+00

1,0E-04

2,0E-04

3,0E-04

4,0E-04

5,0E-04

6,0E-04

7,0E-04

8,0E-04

9,0E-04

1,0E-03

0 1000 2000 3000 4000

v (m/s)

G(v

) (s

/m)

pv<v>

vrms 3:8:2v:v:v rmsp

2/12

kT2

mv

m

kT2v0

kT

mv2

v0e

0v

0v

)v(G2

función G( )

0,0E+00

2,0E+19

4,0E+19

6,0E+19

8,0E+19

1,0E+20

1,2E+20

1,4E+20

0 2E-20 4E-20 6E-20 8E-20 1E-19

J

G(

) (1

/J)

300 K

1000 K

4. Distribución de Energías

00

trastrastras0tras d)(G)(dp

N

)(N

tras

2/1

tras

2/1

tras2

tras dm2

1dv

m

2v

2

mv

dvkT2

mvexp

kT2

mv4dv)v(G

N

dN 22/3

2v

trastras2/1

tras

2/3

trastras dkT

expkT

12d)(G

N

dN

kTexp

kT

12)(G tras2/1

tras

2/3

tras

5. Colisiones con la Pared

N, V

A

¿Cuántas colisiones se producen por unidad de tiempo y de área?

1º Consideremos las moléculas con componente y de la velocidad entre vy y vy+dvy

yy

vdv)v(g

N

dNy

x

y

z vydt

2º ¿Cuántas de éstas colisionan con la pared en un dt?

yy

y

vv,P dv)v(NgV

dtAvdN

V

'VdN

yy

yyv dv)v(NgdNy

(si vy > 0)

V’


N, V

A

3º Cuántas colisionan con la pared en total (cualquier valor de vy)

x

y

z vydt

4º ¿Cuántas colisiones se producen por unidad de área y de tiempo?

0

yy

y

0

yv,PP dv)v(NgV

dtAv)v(dNdN

y

0

y

2

y

y

2/1

P dvkT2

mvexpv

kT2

m

V

NAdtdN

V

N

m2

kT

dt

dN

A

12/1

P

V

Nv

4

1

V

N

m

kT8

4

1

dt

dN

A

1Z

2/1

PP

¿Cuántas colisiones se producen por unidad de tiempo y de área?

2/12/1

m2

kT

V

NAdt

m

kT

kT2

m

V

NAdt

2/1P

PmkT2

P

dt

dN

A

1Z

kT

P

V

N

4

4


P

P=0

Efusión

¿Cómo disminuye el nº de moléculas en el interior?

2/1

PP

mkT2

P

V

Nv

4

1

dt

dN

A

1Z

2/1or

PormkT2

PAZA

dt

dN

2- Método de Knudsen: determinación de presiones de vapor de sólidos y líquidos

Pv

P=0En el interior se produce una pérdida de peso (w)

2/1

orv2/1vor

kT2

mAP

mkT2

mPA

dt

dNm

dt

dw

tkT2

mAPw

2/1

orv

1- Separación de isótopos por formación compuestos volátiles (ej. UF6)

Aplicaciones:

6. Colisiones Intermoleculares

Mezcla de dos gases en un volumen V a temperatura TTipo 1

No. moléculas

diámetro

velocidad

Tipo 2

N1

d1

<v1>

N2

d2

<v2>

<v12>1

2

•

2

•

d1+d2

d2

<v12>dt

<v1>

<v2>

•

2

•

d1

d21

¿Con cuántas moléculas de tipo 2 puede chocar la de tipo 1 en dt?

V

NV 2

cil V

Ndtvd

V

Ndtv

2

dd 212

2

122

12

2

21

diámetro de

colisión


¿Cuántas colisiones con moléculas de tipo 2 sufre una de tipo 1 por u. de t.?

V

Nv

V

Nvdz 2

12122

12

2

1212 (frecuencia de colisión o colisiones por u. de t.)

vx

vy

vz

v2

v12

v1

0º 180º 90º• Módulos: <v1> y <v2>

• Angulo medio de colisión

kT8

m

1

m

1kT8

m

kT8

m

kT8v

2121

2

12

2

2

2

1

2

12 vvv

¿Cómo calculamos la velocidad relativa media?

V

NkT8dz 2

2/1

2

1212

sección eficaz

v2

v1 v12

<v2>

90º

2/1

12

kT8v


Frecuencia de colisión de una molécula tipo 1 con las de tipo 2

V

NkT8dz 2

2/1

2

1212

Frecuencia de colisión TOTAL 1-2

12

2/1

2

12121 NV

NkT8dzN

V

N

V

NkT8d

V

zNZ 12

2/1

2

12121

12

Frecuencia de colisión TOTAL 1-2 por unidad de volumen

2112 zz

2112 ZZ

OJO!


Frecuencia de colisión de una molécula tipo 1 con las de tipo 1

V

Nvdz 2

12

2

1212

Frecuencia de colisión TOTAL 1-1 por unidad de volumen

V

Nvdz 1

11

2

1111

m

kT82vvv

2

1

2

1

2

11

V

N

m

kT8d2z 1

2/1

2

111

2

1

2/1

2

1111

11V

N

m

kT8d

2

1z

V

N

2

1Z

Para no contar dos veces la misma colisión

11111 ddd2

1d


Recorrido Libre Medio

realizadascolisiones

recorridaciatandis

P

kT

d2

1

N

V

d2

1

V

N

m

kT8d2

m

kT8

2

112

11

2/1

2

1

2/1

t/colisiones

t/ciatandis

Gas puro

Mezcla 2 gases

2221

2

2zz

v

1211

1

1zz

v

11

1

1z

v

tema 3. teoría cinética de gases - uv · 2008. 12. 26. · desarrollo: 1858-1868 2. se...

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