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Page 1: Tema 3. Potencias y raíces (II) Resumen · Tema 3. Potencias y raíces (II) Resumen Raíz cuadrada : a = b, a > 0 ⇔ 3b2 = a. Raíz cúbica : 3 a = b ⇔ b = a. Ejemplos: a) 49

Álgebra IES Complutense

Matemáticas 3º de ESO

Tema 3. Potencias y raíces (II) Resumen

Raíz cuadrada: ba = , a > 0 ⇔ ab =2 . Raíz cúbica: b a =3 ⇔ ab =

3 .

Ejemplos: a) 749 = , pues 72 = 49; también 749 −= , pues igualmente (−7)2 = 49.

b) 283 = , pues 23 = 8; 283 −=− , pues (−2)3 = −8.

Raíz de índice n (raíz n-ésima). Se dice que la raíz enésima de un número a, y se escribe an ,

es b, si abn

= . Esto es, b an = , n∈ N ⇔ abn

= .

Al número a se llama radicando, a n índice y al conjunto an radical.

Ejemplos: a) 2325 = , pues 25 = 32. b) 2164 ±= , pues (±2)4 = 16.

• Las raíz de índice n puede expresarse como una potencia de exponente racional: nn aa/1

= .

Notación que resulta coherente, pues aplicando la definición se tiene que ( ) aaannnn

==//1 .

• En particular, aa =2/1 y 33/1

aa = . Ambos expresiones son consistentes, pues:

( ) ( )222/1aa = ⇔ aaaa ===

12/22·

2

1

; y ( ) ( )3333/1

aa = ⇔ aaaa ===13/3

3·3

1

• En general, si m

n es una fracción, se define m nmn

aa =/ .

Ejemplos: a) 3 23/2 55 = . b) 5/45 4 33 = . c) 222232 15/55 55 ==== Radicales equivalentes: simplificación Dos radicales son equivalentes cuando valen lo mismo.

Ejemplos: a) 9 y 4 81 son radicales equivalentes, pues 39 ±= y 3814 ±= .

b) 4 25 y 5 son radicales equivalentes o iguales, pues 555525 2/14/24 24 ==== . • En general, para obtener un radical equivalente a otro basta con multiplicar (o dividir) el

índice y el exponente del radicando por el mismo número. Así, n ma es equivalente a

pn pma ,

ya que pn pmnp

mp

m/nn m aaa = a ==·

·

. Este proceso realizado de derecha a izquierda nos permite simplificar radicales.

Ejemplo: Los siguientes radicales son iguales: 333 6 312 6== . El más simple es el último.

Operaciones con radicales En general las operaciones con radicales no pueden realizarse, salvo con calculadora.

Ejemplos: a) Las siguientes operaciones no pueden hacerse: 1) 32 + ; 2) 53 − . b) Las siguientes operaciones pueden simplificarse como sigue:

1) 272423 =+ 2) ( ) 555·52

== 3) ( ) ( ) ( ) 35:1535:315 == Para operar con radicales hay que tener en cuenta las siguientes propiedades básicas:

Producto de radicales: nnnnnn babababa ·)·(· · /1/1/1=== .

En particular, para raíces cuadradas: baba ·· = . Ejemplos:

a) 549·681·3681·36 === . La primera raíz se ha calculado con cierta facilidad.

Page 2: Tema 3. Potencias y raíces (II) Resumen · Tema 3. Potencias y raíces (II) Resumen Raíz cuadrada : a = b, a > 0 ⇔ 3b2 = a. Raíz cúbica : 3 a = b ⇔ b = a. Ejemplos: a) 49

Álgebra IES Complutense

Matemáticas 3º de ESO

b) 98127·327·3 === . El producto de raíces ha podido realizarse.

b) 262·362·3672 === . En este caso se ha extraído el factor 6 de la raíz.

Potencia de un radical: ( ) n mm

n a a = . En particular: ( ) aa an n

nn == .

Ejemplos:

a) 77 2= ; ( ) 1111

2= ; ( ) 93333 22/444

==== .

b) ( ) 33 443 1622 == ; ( ) 5555 3/33 333 === .

Cociente de radicales: nn

n

b

a

b

a= . En particular, para raíces cuadradas:

b

a

b

a= .

Ejemplos: a) 510

50

10

50== . b) 525

2

50

2

50=== .

En ambos casos se ha conseguido un resultado simple. La suma y resta de radicales sólo puede “hacerse” cuando son radicales semejantes. Alguna vez los radicales pueden hacerse semejantes, extrayendo o introduciendo factores en la raíz. Para raíces cuadradas, la introducción o extracción de factores se hace como sigue:

• Introducción: baba ·· 2= . Para introducir un factor se eleva al cuadrado.

Ejemplos: a) 123·23·2 2== . b) 805·45·4 2

== .

• Extracción: Si bAN ·= , entonces babAbAN ··· === , supuesto que aA = .

Ejemplos: a) 5·105·1005·100500 === . b) 272·492·4998 === . • Para sumar o restar radicales deben ser equivalentes (los que tienen el mismo índice y el mismo radicando). Ejemplos:

a) ( ) 5·238525358 +−=+− . Ha bastado con sumar (sacando factor común).

b) La operación 9832328 −+ no puede hacerse inicialmente; pero operando dentro de los radicales pueden extraerse factores y hacer que los radicales sean semejantes, para después sumar o restar. Así:

9832328 −+ = 2·492·16328 −+ = 2·492·16·328 −+ =

= 2·72·4·328 −+ = ( ) 2132·71282721228 =−+=−+ . Operaciones combinadas Para realizar operaciones combinadas hay que tener en cuenta tanto las propiedades de los radicales como las de las operaciones ordinarias, cuidando los signos y la prioridad de las operaciones. Ejemplos:

a) 5365·32·3)52(3 −=−=− .

b) 5223·52·3·2)522)(13( −−+=+− = 5223562 −−+ .

c) ( ) ( ) 2122242122·922·23·223223 222−=+−=+−=− .

d) ( )( ) ( ) 36963636322

=−=−=+− .