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Álgebra IES Complutense
Matemáticas 3º de ESO
Tema 3. Potencias y raíces (II) Resumen
Raíz cuadrada: ba = , a > 0 ⇔ ab =2 . Raíz cúbica: b a =3 ⇔ ab =
3 .
Ejemplos: a) 749 = , pues 72 = 49; también 749 −= , pues igualmente (−7)2 = 49.
b) 283 = , pues 23 = 8; 283 −=− , pues (−2)3 = −8.
Raíz de índice n (raíz n-ésima). Se dice que la raíz enésima de un número a, y se escribe an ,
es b, si abn
= . Esto es, b an = , n∈ N ⇔ abn
= .
Al número a se llama radicando, a n índice y al conjunto an radical.
Ejemplos: a) 2325 = , pues 25 = 32. b) 2164 ±= , pues (±2)4 = 16.
• Las raíz de índice n puede expresarse como una potencia de exponente racional: nn aa/1
= .
Notación que resulta coherente, pues aplicando la definición se tiene que ( ) aaannnn
==//1 .
• En particular, aa =2/1 y 33/1
aa = . Ambos expresiones son consistentes, pues:
( ) ( )222/1aa = ⇔ aaaa ===
12/22·
2
1
; y ( ) ( )3333/1
aa = ⇔ aaaa ===13/3
3·3
1
• En general, si m
n es una fracción, se define m nmn
aa =/ .
Ejemplos: a) 3 23/2 55 = . b) 5/45 4 33 = . c) 222232 15/55 55 ==== Radicales equivalentes: simplificación Dos radicales son equivalentes cuando valen lo mismo.
Ejemplos: a) 9 y 4 81 son radicales equivalentes, pues 39 ±= y 3814 ±= .
b) 4 25 y 5 son radicales equivalentes o iguales, pues 555525 2/14/24 24 ==== . • En general, para obtener un radical equivalente a otro basta con multiplicar (o dividir) el
índice y el exponente del radicando por el mismo número. Así, n ma es equivalente a
pn pma ,
ya que pn pmnp
mp
m/nn m aaa = a ==·
·
. Este proceso realizado de derecha a izquierda nos permite simplificar radicales.
Ejemplo: Los siguientes radicales son iguales: 333 6 312 6== . El más simple es el último.
Operaciones con radicales En general las operaciones con radicales no pueden realizarse, salvo con calculadora.
Ejemplos: a) Las siguientes operaciones no pueden hacerse: 1) 32 + ; 2) 53 − . b) Las siguientes operaciones pueden simplificarse como sigue:
1) 272423 =+ 2) ( ) 555·52
== 3) ( ) ( ) ( ) 35:1535:315 == Para operar con radicales hay que tener en cuenta las siguientes propiedades básicas:
Producto de radicales: nnnnnn babababa ·)·(· · /1/1/1=== .
En particular, para raíces cuadradas: baba ·· = . Ejemplos:
a) 549·681·3681·36 === . La primera raíz se ha calculado con cierta facilidad.
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b) 98127·327·3 === . El producto de raíces ha podido realizarse.
b) 262·362·3672 === . En este caso se ha extraído el factor 6 de la raíz.
Potencia de un radical: ( ) n mm
n a a = . En particular: ( ) aa an n
nn == .
Ejemplos:
a) 77 2= ; ( ) 1111
2= ; ( ) 93333 22/444
==== .
b) ( ) 33 443 1622 == ; ( ) 5555 3/33 333 === .
Cociente de radicales: nn
n
b
a
b
a= . En particular, para raíces cuadradas:
b
a
b
a= .
Ejemplos: a) 510
50
10
50== . b) 525
2
50
2
50=== .
En ambos casos se ha conseguido un resultado simple. La suma y resta de radicales sólo puede “hacerse” cuando son radicales semejantes. Alguna vez los radicales pueden hacerse semejantes, extrayendo o introduciendo factores en la raíz. Para raíces cuadradas, la introducción o extracción de factores se hace como sigue:
• Introducción: baba ·· 2= . Para introducir un factor se eleva al cuadrado.
Ejemplos: a) 123·23·2 2== . b) 805·45·4 2
== .
• Extracción: Si bAN ·= , entonces babAbAN ··· === , supuesto que aA = .
Ejemplos: a) 5·105·1005·100500 === . b) 272·492·4998 === . • Para sumar o restar radicales deben ser equivalentes (los que tienen el mismo índice y el mismo radicando). Ejemplos:
a) ( ) 5·238525358 +−=+− . Ha bastado con sumar (sacando factor común).
b) La operación 9832328 −+ no puede hacerse inicialmente; pero operando dentro de los radicales pueden extraerse factores y hacer que los radicales sean semejantes, para después sumar o restar. Así:
9832328 −+ = 2·492·16328 −+ = 2·492·16·328 −+ =
= 2·72·4·328 −+ = ( ) 2132·71282721228 =−+=−+ . Operaciones combinadas Para realizar operaciones combinadas hay que tener en cuenta tanto las propiedades de los radicales como las de las operaciones ordinarias, cuidando los signos y la prioridad de las operaciones. Ejemplos:
a) 5365·32·3)52(3 −=−=− .
b) 5223·52·3·2)522)(13( −−+=+− = 5223562 −−+ .
c) ( ) ( ) 2122242122·922·23·223223 222−=+−=+−=− .
d) ( )( ) ( ) 36963636322
=−=−=+− .