Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 1

TEMA 3. FORCES EN FLUIDS. HIDROSTÀTICA 1. Concepte de pressió. 2. Forces en l’interior d’un fluid.

2.1 Pressió hidrostàtica. 2.2 Principi fonamental de la hidrostàtica. 2.3 Conseqüències de la pressió hidrostàtica.

3. Pressió atmosfèrica. Experiència de Torricelli. 4. Transmissió de pressions en un líquid. Principi de Pascal. 5. Equilibri de cossos submergits. Principi d’Arquímedes. 1. CONCEPTE DE PRESSIÓ.

Les forces per contacte entre cossos, en general, no estan aplicades en un punt, sinó sobre una superfície del cos.

Podem observar que si fem una determinada força amb la mà sobre la sorra de la platja, deixem una empremta determinada. Si fem la mateixa força amb el polze –que té menys superfície que la mà–, observarem que l’empremta és més profunda. Igualment, si fem més força amb el mateix polze, l’empremta serà més profunda.

Quan una força actua sobre un cos que es pot deformar, l'efecte que produeix depèn de la intensitat de la força i de la superfície sobre la qual actua. Una persona amb botes s'enfonsa més en la neu que si porta esquís. Aquesta relació entre força i superfície ha portat a la idea de pressió.

Així, si es prem un dit sobre un tros de fusta, la força que s'exerceix es reparteix sobre tota la superfície de la punta del dit i, excepte en el cas que el material sigui molt tou, no s'observa cap efecte sobre la fusta. La pressió exercida és molt petita. Però si es clava una xinxeta, la força sobre la fusta es concentra en una superfície molt petita, la punta de la xinxeta, i la xinxeta penetra a la fusta. Aleshores, la pressió exercida és molt gran.

D’aquestes observacions i d’altres similars, surt una nova magnitud física: la pressió. La pressió (símbol P o p) és la magnitud física que mesura la força per unitat de superfície,

aplicada en direcció perpendicular a aquesta. És una magnitud escalar, ja que, d’una banda, la força és una magnitud vectorial i la superfície, en realitat, es refereix al vector superfície, que és un vector perpendicular a la superfície i d’intensitat (o mòdul) el valor de la superfície considerada.

La seva unitat en el SI és el pascal, Pa, que equival a una força d'1 newton que actua uniformement sobre 1 metre quadrat; de totes maneres, encara es fan servir d'altres unitats, com el mil·límetre de mercuri, el bar o l'atmosfera.

Com que considerarem només forces aplicades perpendicularment a les superfícies, i aquestes serien representades per un vector perpendicular a elles, els dos vectors tindran la mateixa direcció i podem simplificar, per obtenir una expressió en què només tindrem en compte els valors escalars d’aquestes magnituds:

En l’equació anterior es mostra entre claudàtors el símbol de la unitat de la pressió, el pascal, en el SI, quan la força –el símbol de la seva unitat és – i la superfície –el símbol de la seva unitat és – s’expressen en newtons i en metres quadrats, en el SI, respectivament.

Així, abans de calcular la pressió en qualsevol problema, ens hem d’assabentar en quines unitats ens donen les dades i, si cal, expressar-les en les unitats correctes (SI), mitjançant factors de conversió. És a dir, no podem dividir newtons entre centímetres quadrats, sinó entre metres

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 2

quadrats, per la qual cosa, abans de calcular la pressió, hem de canviar d’unitat de superfície de centímetres quadrats a metres quadrats, mitjançant factors de conversió. 2. FORCES EN L’INTERIOR D’UN FLUID

Qualsevol superfície de paret en contacte amb un fluid, líquid o gas, experimenta forces de pressió dirigides cap a l'exterior degudes al fluid tancat al seu interior.

Aquestes forces de pressió damunt les parets del recipient que conté el fluid són sempre perpendiculars a les parets.

Quan se submergeix un sòlid en un fluid, aquest exerceix una força perpendicular a la superfície del cos i en cada punt. És a dir, la força per unitat de superfície exercida pel fluid, és la mateixa en qualsevol punt del sòlid.

L'estàtica de fluids, hidrostàtica, és la part de la física que estudia els fluids en repòs. Tots els fluids exerceixen pressió sobre la base, sobre les parets i sobre els objectes que hi ha submergits a dins. Si el fluid està en equilibri les forces sobre les parets són perpendiculars a cada porció de superfície del recipient. L'orientació de la superfície determina la direcció de la força de pressió, pel que el quocient d'ambdues, que és precisament la pressió, resulta independent de la direcció; es tracta llavors d'una magnitud escalar.

En els líquids (tot això queda demostrat amb la fórmula general de la hidrostàtica):

Com més gran és la densitat un líquid, més gran és la pressió que exerceix.

La pressió d'un líquid és causada pel seu pes, anomenada pressió hidrostàtica. Amb això podem deduir que la pressió d'un líquid augmenta amb la profunditat i no depèn de la quantitat de líquid.

En els gasos les partícules es mouen en totes les direccions i les forces interatòmiques o intermoleculars entre els diferents àtoms o molècules d'una substància són tan petites que la substància no adopta ni forma ni volum fix, tendint a expandir-se tant com sigui possible per

Presa de gravetat. La base és més ampla perquè la pressió és molt més gran en aquest punt

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 3

ocupar el recipient que el conté. Aquesta tendència a expandir-se produeix una empenta sobre el recipient que els conté. A nivell microscòpic un gas es caracteritza perquè les seues partícules estan molt separades i la interacció entre elles és molt baixa.

Sobre un cos immers en un gas hi actua una força vertical cap amunt, com passa amb un cos submergit en un líquid, però, a causa de la baixa densitat dels gasos, aquesta força és molt més petita que en el líquids.

Hidrostàtica és una de les branques de la física, que estudia els fluids en repòs o equilibri. Es fa referència a un estat d'equilibri, perquè els líquids en aparent estat de repòs en realitat estan subjectes a l'acció de forces oposades que es compensen.

Es consideren fluids tant als líquids com als gasos , ja que un fluid és qualsevol substància capaç de fluir.

La seva forma pot canviar amb facilitat per escorriment, degut a l'acció de forces petites. Una de les principals diferències que existeixen entre els diferents fluids (líquids i gasos) és el

seu coeficient de compressibilitat, és a dir, mentre que els líquids són gairebé incompressibles, els gasosos són molt fàcils de comprimir. 2.1. PRESSIÓ HIDROSTÀTICA

Tots els líquids pesen, per això quan estan continguts en un recipient les capes superiors oprimeixen a les inferiors, generant-se una pressió deguda al pes. La pressió hidrostàtica en un punt de l'interior d'un fluid en repòs és directament proporcional a la densitat del fluid, d, i a la profunditat, h.

Considerem un punt qualsevol del líquid que diste a una altura h de la superfície lliure d'aquest líquid. La força del pes a causa de una columna cilíndrica de líquid de base S situada sobre ell pot expressar-se de la forma següent, ja que el pes del líquid és mg:

El pes del líquid contingut en un recipient és: P = m·g La pressió que exerceix el líquid sobre la base és: p = (m·g)/S Com que la massa és: m = ρ·V , podem substituir i obtenim: p = (d·V·g)/S , com que sabem que el volum del recipient és: V = S·h , finalment obtenim:

p = (d·g·S·h)/S = d·h·g Concloem que la pressió hidrostàtica a certa profunditat sota la superfície lliure d'un líquid en

repòs és igual al producte de la densitat del líquid per l'acceleració de la gravetat i per la profunditat del punt considerat P= d·h·g

La força deguda a la pressió és F = P·S = d·S·h·g p: pressió hidrostàtica del líquid; g: acceleració de la gravetat; ρ: densitat del líquid; h: profunditat; S: àrea de la base del recipient La pressió hidrostàtica sobre el fons d'un recipient no depèn en absolut de la seva forma ni

del pes total del líquid que el conté. Tan sols depèn de la gravetat del lloc, de la densitat i de l'altura del líquid. 2.2. PRINCIPI FONAMENTAL DE LA HIDROSTÀTICA

Imaginem dos punts, A i B, en l’interior d’un líquid, situats a una profunditat hA i hB. Anomenem increment d'altura (∆h) a la diferència de profunditat entre dos punts A i B,

∆h=(hA–hB)

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 4

En A la pressió és PA = d·g·hA, i en B, PB = d·g·hB. Si restem aquestes igualtats obtenim la diferència de pressió entre els dos punts:

PA – PB = d·g·hA - d·g·hB = d·g·(hA – hB) = d·g·∆h

Aquesta és l’expressió matemàtica del principi fonamental de

la hidrostàtica, que podem enunciar de la manera següent: La diferència de pressió entre dos punts d’un líquid homogeni

en equilibri és igual al producte de la densitat per la gravetat i per la diferència d’altura entre els punts (Si estem dins d’un líquid aquesta altura és la profunditat). 2.3. CONSEQÜÈNCIES DE LA PRESSIÓ HIDROSTÀTICA

A) VASOS COMUNICANTS (PARADOXA HIDROSTÀTICA) Galileu va establir els dos principis que defineixen la teoria dels vasos comunicants. Quan omplim d'un mateix líquid diversos recipients connectats entre si (inclús si tenen

diferent forma i mida) i dintre d'ells el nivell del fluid es troba per sobre la zona de comunicació entre els vasos, arriba a la mateixa altura en qualsevol lloc d'ells; el nivell dels dos dipòsits

s'igualen. Això és a causa de la pressió atmosfèrica que suporten, és a dir, aquest efecte es causat pel fet que existeix la mateixa pressió hidrostàtica en tots els punts situats en una mateixa zona horitzontal i, per tant, sobre aquests punts el líquid es troba a la mateixa altura.

Els romans per dur l'aigua d'un punt a un altre situat al mateix nivell però separats per una vall varen construir aquest aqüeducte, desconeixent que l'aigua, pel principi dels vasos comunicants, arribaria al mateix nivell que el primer punt, és a dir l'aigua estaria al mateix nivell als dos punts. Els conductors es comporten de manera anàloga, quan dos conductors que estan a diferent potencial es connecten entre si. La càrrega passa d'un a l'altre conductor fins que els potencials en ambdós conductors s'igualin.

La teoria que explica aquest principi cerca establir les condicions d'equilibri que ho regulen i a partir d'ella s'aconsegueixen dur a la pràctica diverses aplicacions dels vasos comunicants. Així, es van trobar diferents exemples en el funcionament del Canal de Panamà o de les canalitzacions de l'aigua

B) LÍQUIDS IMMISCIBLES SUPERPOSATS Què ocorre quan els recipients dels vasos comunicants contenen

líquids diferents no miscibles entre si i de densitat diferent? Quan els vasos comunicants contenen fluids diferents que no es

barregen homogèniament (que no són miscibles entre si) es produeix que: com que els líquids tenen densitats diferents, per tal que en tots els punts del mateix pla horitzontal actue la mateixa pressió, cal que les superfícies lliures dels líquids estiguin a diferents nivells. El líquid més dens omple el tub de comunicació i les altures de la resta dels

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 5

recipients resulten inversament proporcionals a les densitats dels líquids. P1=d1·g·h1 P2=d2·g·h2

i com les pressions han de ser iguals, aleshores:

Per tant tindrà més altura el líquid de menor densitat. 3. PRESSIÓ ATMOSFÈRICA. EXPERIÈNCIA DE TORRICELLI.

La pressió atmosfèrica és la que exerceix l'atmosfera sobre la superfície terrestre i sobre tots els éssers que hi viuen, és a dir, el pes que exerceix l'aire sobre una superfície. La pressió atmosfèrica afecta a totes les superfícies que estan en contacte amb l'aire, independentment de la seva posició. Els éssers humans no notem la pressió atmosfèrica perquè la nostra pressió interna és gairebé igual que l'exterior.

Les zones situades a l'altura del nivell del mar tenen més pressió atmosfèrica que les que estan més elevades. Com més amunt del nivell del mar ens situem, més petita és la pressió atmosfèrica, ja que hi ha menys gruix d'aire a sobre. Això també fa que l'aire sigui més atapeït al nivell del mar que al cim d'una muntanya. Així, per exemple, al cim de l'Everest – la muntanya més alta del món, situada a la serralada de l’Himàlaia- la pressió atmosfèrica és més baixa (aproximadament d'uns 300 mm de mercuri) que a qualsevol punt de les platges mediterrànies (d'uns 760 mm de mercuri)

Allà on hi ha menys aire, també hi ha menys oxigen disponible. Vet aquí per què els alpinistes, quan han d'escalar els cims més alts del planeta, han d'equipar-se amb bombones d'aire comprimit. Aquestes bombones els permeten respirar en indrets on l'aire és més aviat escàs. La pressió disminueix ràpidament amb l'alçada, però a més hi ha diferències de pressió entre unes zones de la troposfera i les altres que tenen gran interès des del punt de vista climatològic. Són denominades zones d'altes pressions, quan la pressió, reduïda al nivell del mar i a 0 , és major de 1.013 mil·libars o zones de baixes pressions si el valor és menor que aquest número.

L'aire es desplaça des de les àrees de més pressió a les de menys, formant-se així els vents. S'anomenen isòbares a les línies que uneixen punts d'igual pressió. Els mapes isobàrics són utilitzats pels meteoròlegs per a les prediccions del temps.

Podem mesurar la pressió atmosfèrica amb un baròmetre. Aquests aparells mesuren la pressió en mil·límetres de mercuri (mmHg), o en mil·libars (mb). La pressió normal al nivell del mar equival a 760 mmHg o 1013 Mb. Un augment de la pressió atmosfèrica per sobre de la normal, indica la presència d'un anticicló, una disminució ens indicarà una depressió. Es fan mapes de pressió atmosfèrica, on es marquen les línies isòbares, que ajuden als meteoròlegs a fer prediccions meteorològiques.

Experiència de Torricelli Evangelista Torricelli (1608-1647) fou el primer (en 1643) que aconseguí

mesurar la pressió atmosfèrica mitjançant un curiós experiment. Torricelli va omplir de mercuri un tub d’1 m de llarg, (tancat per un dels

extrems) i el va girar sobre una cubeta plena de mercuri. Sorprenentment la columna de mercuri baixà uns quans centímetres, i va romandre estàtica als 76 cm (760 mm) d’altura.

Torricelli va raonar que la columna de mercuri no queia a causa de què la pressió atmosfèrica exercida sobre la superfície del mercuri (i transmesa a tot el líquid i en totes direccions) era capaç d’equilibrar la pressió que feia el seu pes.

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 6

Com segons s’observa la pressió era directament proporcional a l’altura de la columna de mercuri (h), es va adoptar com a mesura de la pressió el mm de mercuri també conegut com torr. Així la pressió considerada com “normal” es correspon amb una columna de mercuri de 760 mm.

La pressió atmosfèrica es pot mesurar també en atmosferes (atm): 1 atm=760 mm=101.325 Pa =1,0 “kilo” (kgf/cm2)

Baròmetre Podem mesurar la pressió atmosfèrica amb un baròmetre. Aquests aparells mesuren la

pressió en mil·límetres de mercuri (mmHg), o en mil·libars (Mb). La pressió normal al nivell del mar equival a 760 mmHg o 1013 Mb. Un augment de la pressió atmosfèrica per sobre de la normal, indica la presència d'un anticicló, una disminució ens indicarà una depressió.

Principalment hi ha quatre tipus de baròmetres segons els mecanismes que fan servir per a detectar els canvis de pressió:

I. El baròmetre de mercuri: on la pressió atmosfèrica és equilibrada per una columna de mercuri superada per un espai tancat i buit (anomenat càmera baromètrica o buit de Torricelli). Aquest baròmetre ha estat inventat per Evangelista Torricelli l'any 1643.

De fet, és l’aparell que va utilitzar per demostrar l’existència de la pressió del aire (i, en conseqüència, que l’aire tenia un pes i, per tant, tenia la seva corresponent massa, per la qual cosa, es podia deduir que l’aire –aquest gas que no veiem–, estava constituït per partícules). En el seu experiment, Torricelli va omplir un tub, tancat per un extrem, amb un metall líquid molt dens: mercuri, Hg. Va omplir també un recipient poc profund amb mercuri. Seguidament, va girar verticalment el tub amb mercuri –tapant amb el polze l’extrem obert, òbviament– i el va submergir, verticalment, en el recipient que contenia mercuri. Va observar que el nivell de líquid dins del tub va descendir una mica, però aquest moviment es va aturar, quan el nivell del mercuri es trobava a uns 600 mm de la superfície del mercuri del recipient. Així, en l’extrem tancat del tub es va crear un buit (no hi havia res, ni aire), anomenat buit de Torricelli. L’explicació de per què no vesava el mercuri del tub és que la pressió exercida per l’aire sobre la superfície del mercuri del recipient –és a dir, la pressió atmosfèrica– quedava compensada per la pressió de la columna de mercuri dins del tub tancat per un extrem. D’aquesta manera, demostrà que l’aire pesa i que, en conseqüència, exerceix pressió –la pressió atmosfèrica– i, també, dóna un mètode per mesurar i, en conseqüència, determinar el seu valor.

La pressió exercida per una columna de 760 mm de mercuri equival a la pressió atmosfèrica normal a nivell del mar i rep el nom d’atmosfera (simbolitzada per atm).

II. El baròmetre de gas: utilitzen la variació de volum d'un cert volum de gas sota l'efecte de les variacions de la pressió atmosfèrica.

III. El baròmetre aneroide: la pressió atmosfèrica s'exercita sobre un recinte circular, pla i metàl·lic, hermèticament tancat i buit d'aire, anomenat càpsula. Una cara de la càpsula és solidària del suport de l'aparell, mentre que l'altra cara resta sotmesa a la tensió mecànica d'una forta molla, la qual es deforma de manera elàstica segons la força que la pressió atmosfèrica efectua sobre les cares de la càpsula. Un sistema mecànic permet exagerar els moviments que hi resulten de les variacions de pressió, per a fer-los visibles sobre una esfera o gravar-los en una banda de paper mil·limetrat.

IV. Els baròmetres electrònics: tradueixen en valors numèrics les deformacions d'una càpsula buida, evitant la utilització de les peces mòbils d'un baròmetre aneroide clàssic.

Mesura de la pressió d'un fluid: manòmetre Els manòmetres mesuren una pressió relativa, diferencial, o pressió manomètrica,

generalment una sobrepressió (o depressió) respecte de la pressió atmosfèrica. La pressió absoluta és la suma de la pressió atmosfèrica i de la pressió relativa.

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 7

Els manòmetres, mesuren la diferència entre la pressió d'un fluid i la pressió atmosfèrica local. Per a petites diferències de pressió s'empra un manòmetre que consisteix en un tub en forma d'U amb un extrem connectat al recipient que conté el fluid i l'altre extrem obert a l'atmosfera. El tub conté un líquid, com aigua, oli o mercuri, i la diferència entre els nivells del líquid en ambdues branques indica la diferència entre la pressió del recipient i la pressió atmosfèrica local.

Com que la pressió varia amb l’altitud –o la profunditat, segons on ens trobem–, mesures de pressió ens poden servir per conèixer, de manera aproximada, l’altitud on es trobem, mitjançant

uns aparells anomenats altímetres. Normalment són un afegit als baròmetres (és a dir, són baròmetres amb altímetres). 4. TRANSMISSIÓ DE PRESSIONS EN UN LÍQUID. PRINCIPI DE PASCAL.

Quan s'exerceix un increment de pressió en algun punt d'un líquid en equilibri, aquesta pressió es transmet per tot el fluid simultàniament en totes les direccions, amb la mateixa intensitat. Per exemple, es perfora una bola de plàstic amb un clau. Després l'omplim d'aigua amb una xeringa pressionant l'èmbol. L'aigua eixirà amb la mateixa velocitat i distància per tots els orificis. S'ha transmès per tot el líquid la pressió exercida per l'èmbol amb la mateixa intensitat.

Qualsevol pressió exterior exercida sobre un líquid tancat i en repòs, que omple totalment el recipient que el conté, es transmet íntegrament a tots els punts del líquid i actua en totes les direccions.

Això significa que si s'exerceix una pressió exterior sobre un líquid en repòs, aquest exercirà una pressió de la mateixa intensitat sobre qualsevol cos que hi estigui en contacte. Aquesta pressió sempre actua perpendicularment a la superfície del cos sigui quina sigui la seva posició. És per això que diu que la pressió es transmet en totes direccions.

El principi de Pascal pot comprovar-se utilitzant una esfera buida, perforada en diferents llocs i proveïda d'un èmbol. En omplir l'esfera amb aigua i exercir pressió sobre ella mitjançant l'èmbol, s'observa que l'aigua surt per tots els forats amb la mateixa pressió.

Una de les aplicacions més importants del principi de Pascal és la premsa hidràulica. Consta de dos cilindres comunicats per un conducte inferior i tancats ambdós per dos èmbols.

Quan s'aplica un força petita sobre l'èmbol del cilindre de menor secció (SA1), es poden elevar grans masses col·locades a sobre el cilindre de major secció (SA2). Pel principi de Pascal, les pressions en a i b són iguals: Pa = Pb. O el que és el mateix:

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 8

La força obtinguda en A2 es igual a la força aplicada en A1 multiplicada pel quocient de les superfícies dels dos recipients. Quan major sia la relació entre al superfície dels èmbols, més es multiplica l'efecte de la força aplicada en A1.

Altres aplicacions del principi de Pascal són els frens hidràulics i els elevadors hidràulics. 5. EQUILIBRI DE COSSOS SUBMERGITS. PRINCIPI D’ARQUÍMEDES.

El principi d’Arquímedes diu: Tot cos sòlid introduït en un fluid, total o parcialment, experimenta una empenta vertical cap a munt (anomenada empenyiment o en el cas dels gasos, força ascensional) igual al pes del fluid desallotjat pel cos.

En la pràctica, això significa que tot allò que sura és perquè desallotja un pes de líquid superior al seu propi pes; així, l'empenta és superior al pes i l'objecte sura. Per exemple, cal molta força per a submergir una pilota a l'aigua, perquè desallotja molta aigua però en canvi pesa poc en estar plena d'aire. Si s'omple la pilota de sorra, la densitat augmentarà i la pilota s'enfonsarà.

A la força ascendent que experimenta el cos li diem empenyiment. L'empenyiment és igual a:

E = mf·g = Vf· df·g El volum del fluid desplaçat sempre és el mateix que el

volum de sòlid submergit. En el cas d’un cos completament submergit, aleshores el volum del cos i el del fluid desplaçat serà

el mateix (Vf=Vs) i, per tant: E = Vs·df·g

Per comprovar el principi d’Arquímedes basta suspendre un pes d'un dinamòmetre. Un pic hem pres la seva mesura introduïm el pes dins un líquid i podem comprovar com aquesta davalla en una quantitat que iguala el pes del líquid desallotjat.

Per saber el que farà un cos submergit en un fluid, cal saber que sobre aquest cos hi actuen dues forces: la força del pes del cos (produïda per la gravetat) i la força de l'empenyiment, que hem explicat anteriorment en el Principi d'Arquímedes . Segons quina de les dues forces és més gran, o si són iguals, tindran lloc els següents esdeveniments:

Si el pes (P) és més gran que l'empenyiment (E), el cos submergit s'enfonsarà. Si l'empenyiment és igual al pes, el cos quedarà en equilibri sense moure's. Si l'empenyiment és més gran que el pes del cos, aquesta puja fins a la superfícies i

sobresurt fins a arribar a una posició en la qual la força de l'empenyiment exercida pel líquid sigui igual a la força exercida pel pes del cos. El cos es quedarà en equilibri.

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 9

Per saber si és més gran el pes o l'empenyiment haurem de saber la densitat del cos i la del líquid.

Si la densitat del cos és més gran que la del líquid, el seu pes serà major que l'empenyiment.

Si la densitat del cos és més petita que la del fluid, el seu pes serà menor que l'empenyiment.

Si les densitats del cos i del líquid són iguals, també ho són el pes i l'empenyiment.

El pes que té un cos dins d’un fluid s’anomena pes aparent (Pa) i òbviament és la diferència entre el pes del cos i l’empenyiment.

Pa = P – E = ms·g – mf·g = ds·Vs·g – df·Vf·g Si el cos està totalment submergit:

Pa = Vs·g·(ds – df) = Vf·g (ds – df)

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 10

ANNEX

(230 a.C -220 a.C.)

El capítol que narra com Arquímedes va descobrir el seu principi és apassionant i, potser, es tracta d'una de les millors històries, entre les moltes que té, de la seva vida. Quan Hieró va arribar al tron, va voler oferir als déus una corona d'or com a mostra de gratitud. Va encarregar el treball a un important orfebre de la cort, a qui va donar una quantitat determinada d'or per a la seva realització. Un cop finalitzada la corona, l'orfebre la va entregar al rei i un cop pesada es va aprovar el treball, el qual va ser instal·lat en un temple. Malgrat això, i no se sap si per una denúncia o per una simple sospita, al cap d'un temps va començar a córrer el rumor que la corona no era tota d'or. Es deia que l'orfebre s'havia quedat una part de l'or i hi havia afegit la quantitat necessària d'un altre metall per obtenir el pes. El rei, molt irritat, va encomanar la difícil tasca a Arquímedes de descobrir si s'havia comès una estafa, amb la sola condició que no fes malbé la corona, ja que es tractava d'una ofrena als déus. Preocupat per la solució d'aquest problema, Arquímedes pensava contínuament en la solució, fins que un dia, en entrar en un bany, va observar que quant més se submergia el seu cos, major quantitat d'aigua sortia de la tina. Va ser llavors quan es va adonar que per aquest camí podria trobar els elements necessaris per a trobar la solució. Eufòric, va tornar a casa corrent i completament nu, tot cridant pels carrers: "Eureka, Eureka" (que en grec significa: "ho he trobat, ho he trobat").

Tema 3. Forces en fluids. Hidrostàtica / 11

A Arquímedes només li va caldre aplicar la intuïció que havia tingut als banys per descobrir el frau de la corona. Hi ha diverses versions de com ho va descobrir, d' entre les quals n'exposaré dues. La primera és de Vitrub: Arquímedes va fer dues piles, una d'or i una altra d'argent; totes dues amb el mateix pes que la corona. Posteriorment va omplir amb aigua un recipient fins que no hi cabés ni una gota més i va submergir l'argent. D'aquesta manera va sortir del recipient tanta aigua com massa hi havia d'argent. Va fer el mateix amb l'or i va trobar

que havia sortit menys quantitat d'aigua que abans. Finalment va ficar-hi la corona i va observar que sortia més aigua que en el cas de l'or i menys que en el cas de l'argent. Amb aquest experiment Arquímedes va demostrar que l'orfebre havia posat a la corona una determinada quantitat d'argent, demostrant així el frau. Molts autors no van estar conformes amb aquest relat ja que consideraven que no era digne del geni d’Arquímedes el que s'hagués limitat a descobrir el frau sense determinar la quantitat d'or que s'havia quedat l'orfebre. Segons Prisció, a la traducció de Mazzuchelli, Arquímedes va arribar a determinar aquesta quantitat de la següent manera: va agafar una lliura d'or i una altra d'argent i, posant-les en una balança, va submergir el conjunt a l'aigua; però com que no conservaven l'equilibri, i essent més gran el pes de l'or, i amb la finalitat de conservar-lo, va afegir a la plata tres dracmes; amb això va determinar que una lliura i tres dracmes d'argent corresponien a una lliura d'or a l'aigua. Fet això, va pesar la corona, que havia de ser totalment d'or, i després de verificar el seu pes (sis lliures), va agafar sis lliures d'argent,

i posant-ho tot en una balança, ho va introduir a l'aigua. Si la corona hagués estat totalment d'or, en afegir-hi divuit dracmes d'or s'haurien equilibrat els dos pesos. Però com que van ser necessaris menys de divuit dracmes per equilibrar-los, cada dracma de menys va significar un terç de lliura d'or de menys (substituït per un terç de lliura d'argent) a la corona. El més important, però, va ser el descobriment del seu principi segons el qual, tot cos submergit en un fluid rep una força ascensional equivalent al pes del volum del fluid que desplaça. Gràcies a aquest principi es van poder realitzar invents com el globus o el submarí i entendre com els peixos poden quedar-se entre dues aigües a qualsevol profunditat. Fos com fos, es diu que el rei Hieró es va mostrar tan sorprès per la manera com havia descobert el frau, que va proclamar que, d'ençà d'aquell dia, creuria qualsevol cosa que li digués Arquímedes, i que en ell dipositava tota la seva confiança.