tema 3

Tema 3“Vectores, Matrices y Álgebra Lineal "

Lic. Ana Laksmy Gamarra Carrasco

Universidad Privada Antenor Orrego

Febrero del 2013

Vectores, Matrices y Álgebra Lineal

Los paquetes: LinearAlgebra y linalgEl Maple posee dos grandes paquetes de comandos para eluso en Álgebra Lineal: uno mas antiguo, llamado linalg, y otromas reciente, llamado LinearAlgebra. Ambos tienen mas de100 funciones, son independientes y ejecutan las mismastareas.

Los paquetes: LinearAlgebra y linalgPodemos usar el comando with para ver los comandos deLinearAlgebra y linalg:

> with(LinearAlgebra)> with(LinearAlgebra)> with(LinearAlgebra);

> with(linalg)> with(linalg)> with(linalg);


Figure: Ejemplo


VectorEn el paquete linalg, un vector puede ser definido con elcomando

vector([v1, v2, ..., vn])

.

VectorEn el paquete LinearAlgebra, un vector puede ser definidocon el comando

Vector([v1, v2, ..., vn]) o < v1, v2, ..., vn > .

La enésima coordenada de un vector v puede ser referenciadacomo v [n].


Ejemplo1 Definir un vector (4,5,−7) y calcular la suma de sus

coordendas.2 Definir un vector (−3,8,1) y calcular el producto de sus

coordendas.


Figure: Ejemplo


Operaciones con vectoresEn el paquete linalg, las operaciones básicas con vectoresson:

1 evalm(k*v): Producto escalar de k por el vector v .2 crossprod(v,w): Producto vectorial de v por w .3 dotprod(v,w): Producto interno de v por w .4 evalm(v+w): Suma de vectores v y w .5 angle(v,w): Ángulo entre los vectores v y w (en radianes).6 norm(v,2): Norma del vector v .


Ejemplo

Siendo ~u = (1,2,3), ~v = (0,1,5) y ~w = (5,0,2), Calcular :1 ~u + ~v2 2~v3 ~v − ~w4 ~v ∗ ~w5 ~t = ~v × ~w6 El ángulo entre ~u y ~w .


Figure: Ejemplo


Operaciones con vectoresLas operaciones básicas con vectores en el paqueteLinearAlgebra son definidos de la siguiente manera:

1 VectorScalarMultiply(v,k): Producto escalar de k por elvector v . Puede ser usado en la forma k ∗ v .

2 CrossProduct(v,w): Producto vectorial de v por w .3 DotProduct(v,w): Producto interno de v por w . Puede ser

usado en la forma v .w4 v+w: Suma de vectores v y w .5 VectorAngle(v,w): Ángulo entre los vectores v y w (en

radianes).6 VectorNorm(v,2): Norma euclidiana del vector v .


Ejemplo

Siendo ~u = (1,1,−1), ~v = (5,0,−3) y ~w = (−3,−2,−5),Calcular :

1 ~u + ~v2 3~v3 ~v − ~w4 ~v ∗ ~w5 ~t = ~v × ~w6 El ángulo entre ~u y ~w .


Figure: Ejemplo


MatricesEn el paquete linalg, una matriz:

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...

am1 am2 ... amn

puede ser definida por el comando:

matrix([[a11,a12, ...,a1n], [a21,a22, ...,a2n], ..., [am1,am2, ...,amn]])matrix([[a11,a12, ...,a1n], [a21,a22, ...,a2n], ..., [am1,am2, ...,amn]])matrix([[a11,a12, ...,a1n], [a21,a22, ...,a2n], ..., [am1,am2, ...,amn]])

Después de definida, podemos hacer referencia, los elementosde la matriz. El elemento Aij en la i-ésima fila y la j-ésimacolumna de la matriz A puede ser referenciado como A[i , j].


Ejemplo1 Definir la matriz:

X =

(1 2 34 5 6

)2 Modificar los elementos X13 y X22 y enunciar la matriz

modificada.


Figure: Ejemplo


Operaciones básicas con matrices1 A + B: Suma de matrices2 A − B: Diferencia de matrices3 A& ∗ B: Producto de matrices4 A ∗ B: Producto escalar por una matriz

IMPORTANTE: EMPLEAR SIEMPRE evalm AL EVALUAREXPRESIONES MATRICIALES.


EjemploConsiderando las matrices:

A =

2 −1 40 1 −11 3 2

B =

3 −1 00 −1 11 1 2

Calcular: A + B, 3A − 2B, A ∗ B y B ∗ A.


Figure: Ejemplo


EjercicioConsiderando las matrices:

A =

3 −1 41 6 −11 4 1

B =

2 −2 17 8 11 6 3

Calcular: A + B,A − B, 5A − 2B, A ∗ B y B ∗ A.


Matriz inversaEn el paquete linalg, una matriz inversa M es calculada con elcomando inverse(M).

Matriz inversaEn el paquete LinearAlgebra, una matriz inversa M escalculada con el comando MatrixInverse(M).


EjemploCalcular la inversa de la matriz A, usando el paquete linalg.

A =

(3 1−5 2

)

EjemploCalcular la inversa de la matriz A, usando el paqueteLinearAlgebra.

A =

(3 1−5 2

)


Figure: Ejemplo


EjercicioHallar la inversa de cada una de las matrices:

1 A =

1 3 −22 8 −31 7 1

2 A =

2 1 −15 2 −30 2 1


Ejercicio

Si A =

5 4 −24 5 −2−2 −2 2

. Demuestre que: A2 − 11A + 10I = 0


Determinante, traza y transpuestaEn el paquete linalg, el determinante, la traza y la transpuestade una matriz A son calculados con los comandos:

1 det(A)2 trace(A)3 transpose(A)


Determinante, traza y transpuestaEn el paquete LinearAlgebra, el determinante, la traza y latranspuesta de una matriz A son calculados con los comandos:

1 Determinant(A)2 trace(A)3 transpose(A)


EjemploCalcular el determinante, la traza y la transpuesta de la matrizA, usando ambos paquetes.

A =

2 3 −14 −5 63 9 3


Figure: Ejemplo


EjercicioCalcular el determinante, traza y transpuesta de las siguientesmatrices:

1 A =

1 2 22 1 22 2 1

2 A =

1 2 −30 −2 41 −3 1

3 A =

2 −1 44 −3 11 2 1


Ejercicio

Si A =

3 0 01 2 05 −3 5

y B =

2 −4 −10 5 50 0 −2

. Hallar la suma

de los elementos de la diagonal principal de la matrizM = 3A−1 − 2B−1.


Sistemas LinealesLos Sistemas Lineales aparecen en muchos problemas delÁlgebra Lineal. Esos problemas pueden ser resueltos de variasmaneras:

1 Con el comando linsolve(A,B) del paquete linalg, dondeA es la matriz de coeficientes y B es la matriz de términosconstantes.

2 Con el comando LinearSolve(A,opciones) del paqueteLinearAlgebra, donde A es la matriz completa de loscoeficientes de las ecuaciones del sistema.

3 Con el comando solve(ecuaciones). (Ver Tema 2).


EjemploResolver el sistema:

x + y + z = 6

x − y − z = 0

2x + 3y + 6z = 18

Usando ambos paquetes.


Figure: Ejemplo


EjercicioResolver los sistemas:

1

x + 2y − z = −3

3y + 4z = 5

2x − y + 3z = 9

2

4x1 − 9x2 + 2x3 = 5

2x1 − 4x2 + 6x3 = 3

x1 − x2 + 3x3 = 4

Usando ambos paquetes.


EjercicioDetermine la solución general del sistema lineal:

38x − 74y + 46z + 84t = 90

−95x + 185y − 115z − 210t = −225

57x − 111y + 69z + 126t = 135.

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