tema 2- sistemas de ecuaciones lineales...2( ) 2 2 0 ½½ ¾¾ xyz xyz xyz xyz si multiplicamos la...

3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2011 1.- 2.- 3.- 2012 4.- 5.- Dado el sistema de ecuaciones lineales: 1 2 1 x y z x y z x y z O ½ ° O ¾ ° O ¿ a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro O . b) Resuelve el sistema para 0 O . MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. Considera las matrices 1 1 0 2 1 1 2 1 0 3 A t t t t § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ y x X y z § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX O tiene más de una solución. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. Considera el sistema de ecuaciones: 2 2 4 4 2 3 3 3 3 x y z x z a x y z ½ ° ¾ ° ¿ a) Discútelo según los valores del parámetro a . b) Resuélvelo cuando sea posible. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. Considera el sistema de ecuaciones: 1 3 2 2 3 3 ( 1) x y z y z x y z O ½ ° O ¾ ° O O ¿ a) Resuelve el sistema para 1 O . b) Halla los valores de O para los que el sistema tiene una única solución. c) ¿Existe algún valor de O para el que el sistema admite la solución 1 1 ,0, 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ ?. MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 3.OPCIÓN B. Dado el sistema de ecuaciones: 2 3 2 1 3 7 1 kx y x kz x y z k ½ ° ¾ ° ¿ a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. b) Resuélvelo para 1 k . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

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Page 1: Tema 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...2( ) 2 2 0 ½½ ¾¾ xyz xyz xyz xyz Si multiplicamos la primera ecuación por 2, tenemos: 22 57 2 2 2 114 3 114 38€ 22 0 22 0 ½½ ¾¾

SISTEMASDEECUACIONESLINEALES20111.-

2.-

3.-

20124.-

5.-

www.emestrada.net

R E S O L U C I Ó N a ) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

µAµ = 2

1 11 1 2 2 0 0 ; 1

1 1

�OO � O � O � O O

O

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

0O 2 2 S. Compatible Indeterminado

1O 2 3 S. Incompatible 0 1O z y 3 3 S. Compatible Determinado

b) 0O � Sistema compatible indeterminado.

21

12

�­� ½ °� �¾ ®� ¿ ° ¯

x zy z

y zx z

z z

Dado el sistema de ecuaciones lineales: 121

x y zx y zx y z

�O � � ½°� O � ¾°O � � ¿

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetroO . b) Resuelve el sistema para 0O . MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

www.emestrada.net

R E S O L U C I Ó N

a) Calculamos el determinante de A.

2

1 1 02 1 1 3 2 0 1 ; 2

2 1 0 3A t t t t t t

t t � � � � � �

� � �

R(A)

1t 2

2t 2 1 2t yz 3

b) El sistema homogéneo tiene más de una solución cuando el rango de A sea 2, es decir, para 1t y 2t .

Considera las matrices 1 1 02 1 1

2 1 0 3A t t

t t

§ ·¨ ¸ � �¨ ¸¨ ¸� � �© ¹

y x

X yz

§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹

a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo A X O� tiene más de una solución. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

www.emestrada.net

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes.

µAµ = 2 2 42 0 1 6 24 12 6 03 3 3

� � � �

� �

Luego el rango de A es 2. Calculamos el determinante de la matriz ampliada del sistema.

2 2 42 0 6 24 12 6 0 33 3 3

M a a a a�

� � � � � � �

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

3a 2 2 S. Compatible Indeterminado

3a z 2 3 S. Incompatible b) 3a � Sistema compatible indeterminado.

32

2 2 4 4 2 2 4 4 1 32 3 2 3 2

zx

x y z x y z zyx z x z

z z

�­ °°� � � �½ ½ � �°� � ¾ ¾ ®� �¿ ¿ °

°°̄

Considera el sistema de ecuaciones: 2 2 4 423 3 3 3

x y zx z ax y z

� � ½°� ¾°� � � � ¿

a) Discútelo según los valores del parámetro a . b) Resuélvelo cuando sea posible. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

www.emestrada.net

R E S O L U C I Ó N b) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

µAµ = 1 1 10 3 2 3 6 9 2 2 0 13 1 1

� � � O � � O O �

A continuación, calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

1O 2 2 S. Compatible Indeterminado 1O z 3 3 S. Compatible Determinado

Luego, el sistema tiene solución única si 1O z .

a) Vamos a resolverlo para

13

2 5 213 2 5 3

tx

x y z tyy z

z t

�­ °°� � ½ �°O � � ¾ ®� ¿ °

°°̄

c) Sustituimos la solución en el sistema.

1 10 12 2 1

13 0 2 2 3 12

11 13 ( 1) 02 2

½� � � O � °

° O � ½° °§ ·� � � O � � O �¾ ¾¨ ¸

© ¹ ° °O � ¿°§ ·� � � O � � � O °¨ ¸© ¹ ¿

Luego, vemos que para 1O � , la solución del sistema es: 1 1,0 ,2 2

§ ·�¨ ¸© ¹

Considera el sistema de ecuaciones: 1

3 2 2 33 ( 1)

x y zy z

x y z

� � O � ½°� O � ¾°� O � � O ¿

a) Resuelve el sistema para 1O . b) Halla los valores de O para los que el sistema tiene una única solución.

c) ¿Existe algún valor de O para el que el sistema admite la solución 1 1,0,2 2

§ ·�¨ ¸© ¹

?.

MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 3.OPCIÓN B.

www.emestrada.net

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes.

µAµ = 2

2 01 0 2 2 12 14 0 1 ; 73 1 7

kk k k k k� � � � �

� �

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

1k 2 2 S. Compatible Indeterminado 7k � 2 3 S. Incompatible

1 7k yz � 3 3 S. Compatible Determinado b) 1k � Sistema compatible indeterminado.

1 22 3 2 3

12 1 1 2

x tx y x y

y tx z x z

z t

�­� � ½ ½ °� � �¾ ¾ ®� � � � � �¿ ¿ ° ¯

Dado el sistema de ecuaciones: 2 3

2 13 7 1

kx yx kzx y z k

� ½°� � � ¾°� � � ¿

a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. b) Resuélvelo para 1k . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

Page 2: Tema 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...2( ) 2 2 0 ½½ ¾¾ xyz xyz xyz xyz Si multiplicamos la primera ecuación por 2, tenemos: 22 57 2 2 2 114 3 114 38€ 22 0 22 0 ½½ ¾¾

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

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R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes.

µAµ = 2

1 1 21 1 2 0 0 ; 2

1 2 1

� � �

� �

kk k k k k

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

0 k 2 3 S. Incompatible

2 k 2 2 S. Compatible Indeterminado 0 2zk y 3 3 S. Compatible determinado

b) 2 �k Sistema compatible indeterminado.

75

3 2 1 3 1 2 4 32 2 2 2 5

�­ °°� � � � � �½ ½ � �°� � ¾ ¾ ®� � � �¿ ¿ °

°°̄

zx

x y z x y z zyx y z x y z

z z

Considera el sistema de ecuaciones: ( 1) 2 1

22 1

x k y zkx y zx y z k

� � � � ½°� � ¾°� � � ¿

a) Clasifícalo según los distintos valores de k. b) Resuélvelo para 2k . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

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R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes.

µAµ = 3 2

1 21 2 6 0 0 ; 2 ; 3

1 1 1 � � � �

kk k k k k k k

k

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

0 k 2 2 S. Compatible Indeterminado

2 k 2 2 S. Compatible Indeterminado 3 �k 2 2 S. Compatible Indeterminado

0, 2 3z �k y 3 3 S. Compatible determinado b) No hay ningún valor de k para el cual el sistema no tenga solución. c) 0 �k Sistema compatible indeterminado.

1 22 1 1 2

12 3 2 3

�­� �½ ½ °� � �¾ ¾ ®� � ¿ ¿ ° ¯

x zx z x z

y zx y x y

z z

Considera el sistema de ecuaciones: 2 1

2 3( 1) 2

x ky z kx y kz

k x y z k

� � � ½°� � ¾°� � � � ¿

a) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. b) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución?. c) Resuelve el sistema para 0k MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

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R E S O L U C I Ó N a ) Llamamos x Precio del libro, y Precio de la calculadora, z Precio del estuche Planteamos el sistema de ecuaciones:

57 572( ) 2 2 0

� � � � ½ ½�¾ ¾ � � � ¿ ¿

x y z x y zx y z x y z

Si multiplicamos la primera ecuación por 2, tenemos:

57 2 2 2 1143 114 38 €

2 2 0 2 2 0� � � � ½ ½

� � � ¾ ¾� � � � ¿ ¿

x y z x y zx x

x y z x y z

Luego, el precio del libro es 38 €. Vamos a ver si podemos calcular el precio de la calculadora:

38 57 1938 2 2 0 2 2 38

� � � ½ ½� �¾ ¾� � � � �¿ ¿

y z x yy z y z

No podemos, ya que es un sistema compatible

indeterminado y tiene infinitas soluciones. b) Planteamos el sistema con la nueva ecuación que nos dan y lo resolvemos:

57 572( ) 2 2 0 38 €; 15 €; 4 €

0 '5 0 '8 0 '75 34 50 80 75 3400

� � � � ½ ½° ° � � � � � ¾ ¾° °� � � � ¿ ¿

x y z x y zx y z x y z x y z

x y z x y z

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro?. ¿Y el de la calculadora?. Razona las respuestas. b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

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R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes.

µAµ = 1 12 0 2 2 4 0 10 1 2

� � � k

k k k k

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M)

1 k 2 2 S. Compatible Indeterminado

1zk 3 3 S. Compatible determinado b) 1 �k Sistema compatible indeterminado.

1 11 2

2 1 2 1

­� � � �½ ½ °� � �¾ ¾ ®� � ¿ ¿ ° ¯

x zx y z x y z

y zx y x y

z z

c) 1 � �k Sistema compatible determinado.

11 12 1 ; 0 ;2 2

2 1

� � ½°� � �¾°� � ¿

x y zx y x y z

y z

Considera el sistema de ecuaciones: 1

2 12

x y kzx ky

y z k

� � ½°� ¾°� ¿

a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k. b) Resuélvelo para 1k . c) Resuélvelo para 1k � . MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

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R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz ampliada del sistema

µMµ = 2 2

2 22 2 4 2 4 01 1 1

kk k k k k k � � � � � �

� �

Luego, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada y el sistema siempre es compatible para cualquier valor del parámetro k. b) Calculamos el determinante

µAµ = 224 0 2

2k

k kk

� � r

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión del sistema.

R(A) R(M)

2k 2 2 S. Compatible Determinado 2k � 1 1 S. Compatible Indeterminado

2 2k yz � 2 2 S. Compatible Determinado Resolvemos el sistema para 2k � .

`2 2 2 2 2 12

x xx y xy x

­°� � � ® �

�°̄

Resolvemos el sistema para 2k z � .

2

2

2

2 20 0

2 422 2

2 22 4 1

2 42

k kx

k kkkx y

x ky k kk ky

k kk

­°° ° �°

� ½ °�¾ ®� ¿ °° �

°�°

°̄

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas 2 2

21

kx yx ky kx y

� ½°� ¾°� � ¿

a) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k. b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. c) Halla las soluciones en cada caso. MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

Page 3: Tema 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...2( ) 2 2 0 ½½ ¾¾ xyz xyz xyz xyz Si multiplicamos la primera ecuación por 2, tenemos: 22 57 2 2 2 114 3 114 38€ 22 0 22 0 ½½ ¾¾

11.-

201312.-

13.-

14.-

15.-

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R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

µAµ = 2

1 1 00 2 2 2 0 0 ; 11 1

�O O O � O � O O �

� � O

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión del sistema.

R(A) R(M)

0O 2 2 S. Compatible Determinado 1O � 2 2 S. Compatible Indeterminado

0 1yO z � 3 3 S. Compatible Determinado b) Resolvemos el sistema para 0O .

0 00 0

x y xx y y� ½ ­

�¾ ®� � ¿ ¯

Resolvemos el sistema para 1O � .

11

2 11 2

x yx y

y yy z

z y

� �­� � ½ °� ¾ ®� � � ¿ ° �¯

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas 20

x yy z

x y z

� O½°O � O O¾°� � � O ¿

a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetroO . b) Resuélvelo para 0O y 1O � . MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B

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R E S O L U C I Ó N a) El sistema que nos dan es un sistema compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones, para que tenga las mismas soluciones al añadirle la nueva ecuación el rango de la matriz de los coeficientes tiene que valer 2, luego, el determinante tiene que valer 0. Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

µAµ = 1 1 12 3 1 12 1 2 3 8 0 3 18 0 61 4

m m m mm

�� � � � � � � � � �

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada del sistema y hacemos la discusión:

R(A) R(M) 6m � 2 2 S. Compatible Indeterminado

Luego, para 6m � , los dos sistemas tienen las mismas soluciones.

b) Nos están pidiendo que 6x y z� � , luego, resolvemos el sistema: 0

2 3 36

x y zx y zx y z

� � ½°� � ¾°� � ¿

Lo resolvemos por Cramer:

0 1 13 3 16 1 1 6 11 1 1 62 3 11 1 1

x

��

� �

��

;

1 0 12 3 11 6 1 18 3

1 1 1 62 3 11 1 1

y

;

1 1 02 3 31 1 6 24 4

1 1 1 62 3 11 1 1

z

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 0

2 3 3x y zx y z� � ½

¾� � ¿

a) Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación 4 3x my z� � � al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones. b) Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6. MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

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R E S O L U C I Ó N a y b) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

µAµ = 2 2 2

2 1 311 2 4 2 3 2 4 6 2 0 1 ;2

0 2m m m m m m m m m m

m

� �� � � � � � � � � �

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión del sistema.

R(A) R(M)

1m 2 2 S. Compatible indeterminado 12

m 2 3 S. Incompatible

112

m yz 3 3 S. Compatible Determinado

b) Resolvemos el sistema para 1m .

22 1 3

11

x zx y z

y zx y z

z z

�­� � � ½ °� �¾ ®� � � ¿ ° ¯

Sean 2 1 31 2

0 2A m m

m

� �§ ·¨ ¸ � �¨ ¸¨ ¸© ¹

, 110

B§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹

y x

X yz

§ ·¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹

a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m. b) Discute el sistema AX B según los valores del parámetro m. c) Resuelve el sistema AX B para 1m . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

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R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

µAµ = 2

1 2 11 1 2 8 0 2 ; 2

1 3m m m m

m� � � �

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión del sistema.

R(A) R(M)

2m 2 2 S. Compatible Indeterminado 2m � 2 3 S. Incompatible

2 2m yz � 3 3 S. Compatible Determinado b) Resolvemos el sistema para 2m .

53

22 3

zx

x y z zyx y z

z z

�­ °°� � ½ °� ¾ ®� � ¿ °

°°̄

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2 0

23 2

x y zx y mz m

mx y z m

� � ½°� � � ¾°� � � ¿

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo, si es posible, para 2m . MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A

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R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero

µAµ = 2

2 4 60 2 6 18 0 0 ; 33 6 3

m m m m mm

� � � �

� �

Calculamos los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada y hacemos la discusión del sistema.

R(A) R(M)

0m 2 3 S. Incompatible

3m 2 2 S. Compatible indeterminado 0 3m yz 3 3 S. Compatible Determinado

b) Resolvemos el sistema para 3m .

6 1322 4 6 6

3 2 44 3

2

yxx y z

y yy z

yz

� �­ °� � °½

� ¾ ®� ¿ ° �° ¯

Nos piden una solución para 0 3 ; 0 ; 2y x y z � � .

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2 4 6 6

2 13 6 3 9

x y zmy z m

x y mz

� � ½°� � ¾°� � � � ¿

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo para 3m . Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que

0y . MATEMÁTICAS II. 2013. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B