tema 2. polinomios y fracciones...

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

4º ESO. Matemáticas B Tema 2. Polinomios y fracciones algebraicas

TEMA 2. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

2.1. Repaso de polinomios

- Expresión algebraica. Valor numérico

- Polinomios. Operaciones con polinomios

2.2. Identidades notables

- Cuadrado de una suma y de una diferencia

- Cubo de una suma y de una diferencia

- Diferencia de cuadrados

2.3. Factorización de polinomios

- Regla de Ruffini

- Teorema del resto

- Raíces de un polinomio. Factorización

2.4 Fracciones algebraicas

- Definición de fracción algebraica

- Simplificación

- Operaciones con fracciones algebraicas.



2.1. Repaso de polinomios.

Recordemos que una expresión algebraica es un conjunto de números y letras

relacionados entre sí por las operaciones matemáticas. Los números que aparecen son

los coeficientes y a las letras se les llama variables.

Por ejemplo, son expresiones algebraicas 3x²y, 45ab³, 2m+3, 4(x-1)+7x²,…

Si una expresión algebraica está formada solo por el producto de un número por una o

varias letras se llama monomio. En este caso el coeficiente es el número que aparece y

la parte literal está formada por las variables.

Por ejemplo, las expresiones algebraicas 3x²y, 45ab³ son monomios, pero las

expresiones 2m+3, 4(x-1)+7x² no lo son.

En 3x²y, el coeficiente es 3 y la parte literal es x²y. Es un monomio de grado 3 (suma

de exponentes de la parte literal) y 45ab³ será por tanto de grado 4.

Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal. Los monomios 2x²z y 4x²z son semejantes, pero no lo son 2x²z y 4xz². Para sumar dos monomios semejantes se deja la misma parte literal y se suman las partes numéricas. Si no son semejantes no se pueden sumar. 2x²z³ + 4x²z³ = 6x²z³.

2x²y+5xy³ no se pueden sumar. El resultado de multiplicar dos monomios es otro monomio obtenido multiplicando sus coeficientes y sus partes literales, respectivamente. 2x²z³ · 4xz² = 8x³z5. 3x·2x²·4x² = 24x5.

1. Completa la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado Valor numérico para:

a = -1, b = 3, c= -2

x = 1/2, y = -2

x = 1/2, y = -2

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios monomios.

Cada uno de los monomios que aparecen se llama término del polinomio, el grado del



polinomio es el mayor de los grados de los monomios y el coeficiente que aparece

aislado (sin estar multiplicado por ninguna variable) se llama término independiente.

Ej. El polinomio 3x³ + 4x² - 5x + 7 está formado por 4 términos y su grado es 3. Su término independiente es 7 y su término principal es 3x³

2. Completa la siguiente tabla:

Polinomio Coeficiente

Principal

Término

independiente

Coeficiente de

grado 3

Grado Valor numérico del

polinomio para:

1252 236 xxxx X = -1

416x xxx 223 X = 2

8225 xxx X = -2

X = 3

X = -2

Para sumar ( restar) dos polinomios se suman (o se restan) sus términos semejantes. Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los términos del otro y luego se agrupan los monomios semejantes obtenidos.

3. Considera los polinomios A = 5x2 + 2x - 9, B = - 3x3 + 4x2 + 6x - 7 y

C = 6x3 + 4x2 – x + 7.

a) Indica el grado, el coeficiente principal y término independiente de A.

b) Calcula el valor numérico del polinomio B para x=0, x=1, x=-1

c) Calcula A + B, 2B - C, A – B - C y C – A + B.

4. Dados los polinomios A = 5x2 - 2x + 4, B = 3x4 + 5x3 - 4x2 + 2x - 2 y C = x3 - 2x2 - x.

a) Indica el grado, el coeficiente principal y término independiente de C.

b) Calcula el valor numérico del polinomio C para x=0, x=1 x=2, x=-2 x=-10.

c) Calcula A - B+C, B -2 A y C – A - B.



5. Calcula:

a) x2 5 · x

3 2x 3 d (5x³+x²-2x-1) · x

2 5x

b) (x 4 · 2x3 3x

2 2x 6 e) x

2 3 · x

3 2x

2 3x 5

c) x2 x · x

3 2x

2 3x 5 f) x

2- x 3 · 3x

3 2x 6

6. Dados los polinomios P(x) = 5x4 + 2x

2 – 6 , Q(x) = x

2 – 2x – 8 y R(x) = 3x + 2 calcula:

a) P(x) +Q(x)·R(x) b) P(x) – [Q(x) − R2(x)]

Para dividir dos polinomios debemos tener en cuenta: a) En el dividendo se dejan huecos por los términos que faltan. b) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor

grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor. c) Se multiplica el término obtenido en el apartado anterior por el divisor y se le resta al dividendo. d) Se repiten los pasos anteriores mientras el resto parcial sea de grado mayor o igual que el divisor.

Ej: Veamos cómo se hace la división de 6x4+9x²+7x+40 entre 2x²-4x+5:

6x4 +9x² + 7x 40 2x² - 4x + 5

-6x4 + 12x3 -15x2 3x2 + 6x + 9

12x3 - 6x2 + 7x + 40

-12x3 + 24x2 -30x

18x2 -23x + 40

-18x2 +36x - 45

13x - 5

7. Divide los siguientes polinomios, e indica el cociente y el resto:

a) 43:12624 223 xxxxx

b) 3:1053 23 xxxx

c) 236:62781812 2234 xxxxxx

d) 2323456 35:15338155 xxxxxxx

e) 3:5323 2234 xxxxx



f)

g)

h)

8. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones y realiza la prueba de la

división para comprobar el resultado obtenido.

a) 13:7673 234 xxxxx

b) 2:522 2234 xxxxx .

9. Saca factor común en las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

d)

e)



2.2. Identidades notables

Cuadrado de una suma

Cuadrado de una resta

Suma por diferencia

Cubo de una suma

Cubo de una resta

1. Desarrolla:

a) h) o)

b) i) p)

c) j) q)

d) k) r)

e) l)

s)

f)

m) t)

g)

n) u)

2. Escribe como cuadrado de un binomio o como suma por diferencia:

a)

x2 4x4 g) 122 xx m) 2169 x

b) 21625 x h) 144 24 xx n) 144 24 xx

c) 122 xx i) 4

936 2 x ñ) 169 2 xx

d) 962 xx j) 42 4129 xx o) 94 4 x

e) k) p)

f) l) q)



3. Completa las siguientes expresiones para conseguir cuadrados de binomios:

a) d)

b) e)

c) f)

4. Completa las siguientes igualdades: a) (x + ___ )² = x² + ___ + 9

b) ( ___ - ___ )² = ___ + x² - 4x

c) ( 2x - ___ )2 = ____+ 16 - ______

d) ( 3 + __ )3 = ____ + 27x + _____ + ____

e) (x - ___ )3 = _____ - 12x2 + ______ -____



2.3. Factorización de polinomios.

Recordemos con un ejemplo cómo se usa la regla de Ruffini. Para dividir se hace lo siguiente:

7 -11 0 -94 7

3 21 30 90 -12

7 10 30 -4 -5

Con lo que el cociente es: y el resto es -5

1. Calcula, el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de

Ruffini:

a) 2:352 23 xxxx

b) 2:65 234 xxxxx

c) 5:652 2 xxx

d) 1:12233353 234 xxxxx

e) 4:12233353 234 xxxxx

f) 3:794117 34 xxxx

g) 1:22 45 xxxx

h) 1:123 24 xxxx

i) 2:23 24 xxxx

j) 2:794117 34 xxxx

Teorema del resto.

El resto de dividir un polinomio P(x) entre x-a, es el valor numérico de P(x) para x = a,

es decir, R=P(a)

2. Comprueba el teorema del resto con 352)( 23 xxxxP y 2x

3. Calcula razonadamente y sin hacer la división, el resto de las divisiones:

a) 6:423182 23 xxxx

b) 1:383 23 xxxx



c) 1:22 45 xxxx

d) 2:23 24 xxxx

4. Indica razonadamente y sin hacer la división, si las divisiones siguientes son

exactas:

a) 2:2 2345 xxxxx

b) 1:123 24 xxxx

5. Halla en cada caso el valor que debe tomar m para que se cumplan las condiciones

que se especifican:

a) La división de 152 2 mxx entre x+5 sea exacta.

b) La división 2:64 23 xmxx tenga por resto -2

c) La división 3:7117 34 xmxxx tenga por resto -5

d) La división de 1224 xmxx entre x+3 sea exacta.

e) El polinomio sea divisible por

6. Aplica el teorema del resto para resolver las siguientes cuestiones:

a) El resto de dividir 1)( 23 kxxxxP por 1x es 2. Halla el valor de k.

b) Halla K para que 310)( 234 xkxxxxQ sea divisible por x+3.

c) Averigua los valores de a y b sabiendo que el polinomio baxx 24 es

divisible por 1x y que el resto de dividirlo entre 2x es 6.

Un número “a” se dice que es una raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0.

Si x = a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible entre x-a, o lo que es lo

mismo el resto de la división P(x) : (x-a) es cero.

Un polinomio de grano n puede tener a lo sumo n raíces reales. Además sus raíces

enteras del polinomio son siempre divisores de su término independiente.



7. Dado el polinomio 153)( 23 xxxxP

a) ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo?

b) ¿Cuántas raíces enteras puede tener como máximo?

c) ¿Quiénes son las posibles raíces enteras?

d) ¿Cuáles son sus raíces enteras?

8. Dado el polinomio )(xP 42 24 xx

a) Indica sus posibles raíces enteras.

b) Calcula sus raíces enteras.

9. Justifica, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Todo polinomio de grado 6 tiene 6 raíces reales.

b) 1 es raíz entera del polinomio 3)( 2 xxP porque es divisor del término

independiente.

c) 5 raíz del polinomio )(xP 412 24 xx

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del

menor grado posible.

15. Factoriza los polinomios ,

y

16. Factoriza los polinomios:

a) 48642)( 234 xxxxxP

b) 2345 2)( xxxxxP .

c) xxxxP 2)( 23 .

d) xxxxP 23)( 24

e) xxxxxxP 3992)( 2345

f) 1222)( 234 xxxxxQ

g) 20204)( 234 xxxxxP

h) 1553)( 23 xxxxQ

i) xxxxR 23)( 24

j) 2345 652)( xxxxxS



17. Saca factor común y usa las identidades notables para factorizar los siguientes

polinomios:

a) d)

b) e)

c) f)

18. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

a) P(x) = 122 xx y Q(x) = 92 x

b) P(x) = 45xx2 y Q(x) = 4x5xx 23

c) P(x) = 122 xx , Q(x) = 12 x y R(x) = 13 x

d) P(x) = 13 x , Q(x) = 12 x y R(x) = xx 2

e) P(x)= y Q(x) =

f) P(x) = , Q(x) =



2.4. Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios

Son ejemplos de fracciones algebraicas: 1x

32

; 1x

2x

y

12xx

12x2

Igual que con las fracciones numéricas, éstas también se pueden simplificas hasta obtener una fracción irreducible. 1. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 158xx

65xx2

2

b)

9

12xx2

2

x c)

12-x53x

3172x2

3

x

d) 12-xx

4x2

e)

152

52x2

xx f)

2510x

25x2

2

x

g) 1x

1x4

2

h)

23

49x2

x c)

6x5x

2x2

2

x

2. Averigua si los siguientes pares de fracciones algebraicas son equivalentes:

a)

3x

2x

y

x

x

3x

2x2

2

c)

x2x

2x2

y

x

1

b)

5x

x2

y x

x

5x

x3

2

d)

5x

2x

y

2550x

152x2

2

x

x

3. Calcula:

a) 2

2

x +

1

2

x

x g)

2

9

xx +

2

2

x

b) x

2 +

2

2

x

x h)

4x

x2

+ 2x

1

-

23xx

22

c) 2

12

x

x -

3

2

x i)

1x

32

+ 1x

2x

+

12xx

12x2

d) 2

2

x :

1

2

x

x j) .

33

9

x

x·

2

2

3

1

x

x

e) x

2 ·

2

2

x

x k)

x

3x ·

9x

3x2

2

x

f) 2

12

x

x :

3

2

x l)

x2x

1-2x2

: 23 2xx

4x



4. Opera y simplifica:

a) 2

1:

2

3

2

32

xxx

x c) 1·

1:

1

x

xx

xx

b)

3

11:

3

3

x

x

x d)

1

1:

1·

2

xxx


a) 1

2

1

3

1

12

x

x

xx

x c) 1

3·

11

2

x

x

x

x

b) 3

2

3

1

9

322

x

x

x

x

x

x d)

2

3:

3

11

xxx

6. Simplifica:

a) yx

xyyx

510

2 22

b)

223

322

63

63

baba

abba


a) xy

yx

yx

yx

yx

yx

2·

22

b)

yx

yx

yx

yx

yx

yx:1

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