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MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (1)
TEMA 2MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (2)
INDICE TEMA 2
2. MAGNITUDES DEL ANÁLISIS DE FLUJOS DE FLUIDOS
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental
2.2 Magnitudes Cinemáticas
2.2.1 Campo de Velocidades
2.2.2 Velocidades de Deformación y Giro
2.3 Magnitudes Integrales
2.3.1 Flujos Convectivos a través de la Superficie de Control
2.3.2 Magnitudes Promedio
2.4 Teorema del Transporte de Reynolds y Derivada Material
2.4.1 Teorema del Transporte de Reynolds
2.4.2 Derivada Material
2.5 Magnitudes Dinámicas
2.5.1 Fuerzas Volumétricas
2.5.2 Fuerzas de Superficie
2.5.3 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano
2.6 Magnitudes Termodinámicas
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (3)
2.1 MÉTODOS DIFERENCIAL, INTEGRAL Y EXPERIMENTAL
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (4)
1er MÉTODO:
Fijado el V.C.
Adoptar como variables las magnitudes de las partículas que están ocupando en cada instante el V.C.:
Flujo Compresible (+ general): v(x,t), p(x,t), ρ(x,t) y T(x,t).
Flujo Incompresible (ρ=cte): v(x,t) y p(x,t).
Obtener ecuaciones que relacionen estas magnitudes. Formulación de las leyes fundamentales (Flujos incompresibles: Conservación de la masa y 2ª Ley de Newton).
Se resuelven las ecuaciones (EDDP) con unas condiciones de contorno e iniciales obteniéndose (v(x,t) y p(x,t) incompresible).
PREGUNTA: Adoptado el Enfoque Euleriano. ¿cómo se formula y resuelve el análisis de un flujo?.
METODO DIFERENCIAL
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (5)
VARIABLES: v(x) y p(x)
RESULTADO: v(x) y p(x)
+CONDICIONES DE CONTORNO
( )
Vp
div
fvvrv
v
+∇⋅+−∇=
⋅
∂
∂⋅
=
2
0
µρ
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (II)
METODO DIFERENCIAL
Ejemplo: Flujo de un líquido en una boquilla
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (6)
Matemáticas: Resolución de EDDP no lineales en geometrías normalmente complejas. Necesidad de Métodos Numéricos (C.F.D)
Fenómenos físicos: En el movimiento de los fluidos existe un fenómeno denominado turbulencia que complica aún más la resolución de las ecuaciones diferenciales (de por si matemáticamente muy complejas).
Prácticas: El método diferencial proporciona una información del flujo detallada (toda-¿demasiada?).
¿Está interesado el ingeniero directamente en esta información tan detallada?
¿Se centra su interés más en magnitudes integrales del flujo? (Fuerzas, Caudales, Flujos y Potencias).
AFIRMACIÓN: El Método Diferencial se encuentra con dificultades:
CONCLUSIÓN: Adoptar un método de análisis donde las incógnitas fueran magnitudes integrales en las que el ingeniero está interesado y matemáticamente más simple.
Los únicos flujos que se analizarán por el método diferencial serán flujos en Régimen Laminar (no turbulencia) y en Geometría muy simples (unidireccionales-unidimensionales)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (7)
2o MÉTODO:
• Fijado el V.C.
• Adoptar como variables las Magnitudes Integrales.
• Obtener ecuaciones que relacionen estas incógnitas. Formulación de las leyes fundamentales para el sistema de fluido que en el instante t estáocupando el V.C. (Flujos incompresibles: Conservación de la masa, 2ª Ley de Newton y Ec. de la energía mecánica).
• Se resuelven las ecuaciones (EDO o Algebraicas)
A este método se le denomina INTEGRAL
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (IV)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (8)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (V)
VARIABLES: pe, ps, q y FW
RESULTADO: Ejemplo (q y FW)
+CONDICIONES PROBLEMA (Ejemplo pe y ps)
METODO INTEGRAL
Ejemplo: Flujo de un líquido en una boquilla
−⋅⋅+⋅−⋅=
⋅+=⋅−
⋅+
==
eseessW
s
sQ
e
e
se
AAqApApF
A
q
g
pqK
A
q
g
p
qqq
11
2
1
2
1
2
2
2
2
ρ
γγ
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (9)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VI)
−⋅⋅+⋅−⋅=
⋅+=⋅−
⋅+
==
eseessW
s
sQ
e
e
se
AAqApApF
A
q
g
pqK
A
q
g
p
qqq
11
2
1
2
1
2
2
2
2
ρ
γγ
PREGUNTA: ¿Qué método parece más sencillo en su formulación y proporciona respuestas prácticas de forma más inmediata en su resolución?
( )
Vp
div
fvvrv
v
+∇⋅+−∇=
⋅
∂
∂⋅
=
2
0
µρ
+CONDICIONES DE CONTORNO
METODO DIFERENCIAL METODO INTEGRAL
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (10)
2.1 Métodos Diferencial, Integral y Experimental (VII)
ANÁLISIS INTEGRAL
ANÁLISIS DIFERENCIAL EXPERIMENTACIÓN
CONCLUSIÓN: Se utilizará el Método Integral para analizar flujos completandolo cuando sea necesario con resultados obtenidos mediante Análisis Diferencial o Experimentación
−⋅⋅+⋅−⋅=
⋅+=⋅−
⋅+
==
eseessW
s
sQ
e
e
se
AAqApApF
A
q
g
pqK
A
q
g
p
qqq
11
2
1
2
1
2
2
2
2
ρ
γγ
Experimentación o Análisis Diferencial (C.F.D)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (11)
2.2 MAGNITUDES CINEMÁTICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (12)
2.2 Magnitudes Cinemáticas
E (e)O (o)
N (n)
S (s)
EO
N
S
Y
X
Particula P enel instante t
Particula P enel instante t+ t
r=v· t
X
Y
Sirven para cuantificar el movimiento de una partícula de fluido:
Desplazamiento (Velocidad)Deformación (Velocidades de deformación)Giro (Velocidad angular)
Flujo bidimensional-bidireccional
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (13)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (I)
Velocidad: Rapidez del cambio en el tiempo de la posición (desplazamiento) de una partícula de fluido respecto de un sistema de referencia fijado.
δr=vP·δt= v(x,t)·δt
•Es la propiedad más importante en el análisis de los flujos:
Es la principal magnitud cinemática. Todas las demás mag. cinemáticas se definen a partir de ella.
En flujos incompresible si se conoce v(x,t) el flujo esta resuelto.
Matemáticamente v(x,t) (Campo de velocidades). Magnitud vectorial (3 componentes escalares)
v(x,t)=u(x,y,z,t)·i+ v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k(Coordenadas Cartesianas)
v(x,t)=ur(r,θ,z,t)·ir+uθ(r,θ,z,t)·iθ+w(r,θ,z,t)·k(Coordenadas Cilíndricas)
v(x,t)=ur(r,θ,ϕ,t)·ir+uθ(r,θ,ϕ,t)·iθ+uϕ(r,θ,ϕ,t)·i(Coordenadas Esféricas)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (14)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (II)
El campo de velocidades suele utilizarse para clasificar los flujos
Direccionalidad
-Min.:1= unidireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i
-Max.:3= tridireccional. Ejemplo: v=u(x,t)·i+v(x,t)·j+w(x,t)·k
Dimensionalidad
-Min.:0= Flujo Uniforme. Ejemplo: v=u(t)·i
-Max.:3= Flujo Tridimensional. Ejemplo: v=u(x,y,z,t)·i+v(x,y,z,t)·j+w(x,y,z,t)·k
Estacionalidad
-Estacionario. v(x)
-No Estacionario. v(x,t)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (15)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (III)
Flujo en un conducto recto de longitud L y sección circular de radio R. Incompresible, Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.
( ) ( ) kkv ⋅
−⋅=⋅=
2
0 1RrUrur z
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (16)
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.1 Campo de velocidades (IV)
Flujo en un conducto recto de longitud L y sección triangular equilátera de lado a. Incompresible, Completamente Desarrollado y en Régimen Laminar.
A B
0
.
( ) iiv ⋅
−
⋅⋅
−⋅⋅⋅=⋅=
22
32336,),(
az
ay
azUzyuzy m
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (17)
Además de desplazarse la partícula de fluido en su movimiento se deforma y gira.
Velocidad de Deformación Longitudinal según X (dXX). Rapidez específica (por unidad de longitud) del cambio en el tiempo de la dimensión longitudinal en la dirección X de la partícula de fluido.
( )
δXDtδXD
d XX =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutuδt
tδXδttδXDtδXD
OEδt−=
−+=
→0lim
( ) ( ) ( )2δX
xu,tu,tutu eE ⋅∂∂
+== xx
( ) ( ) ( )2δX
xu,tu,tutu oO ⋅∂∂
−== xx
xud XX ∂∂
=
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (18)
Velocidad de Deformación Longitudinal según Y (dYY). Rapidez específica del cambio en el tiempo de la dimensión longitudinal en la dirección Y de la partícula de fluido.
( )
δYDtδYD
dYY =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvtvδt
tδYδttδYDtδYD
SNδt−=
−+=
→0lim
( ) ( ) ( )2δY
yv,tv,tvtv nN ⋅∂∂
+== xx
( ) ( ) ( )2δY
yv,tv,tvtv sS ⋅∂∂
−== xx
yvdYY ∂∂
=
vN. t
vS. t
Y t
Y t t
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (19)
Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las velocidades de deformación longitudinal son tres (dXX, dYY y dZZ):
( ) ( ) ( )zwtd
yvtd
xutd ZZYYXX ∂
∂=
∂∂
=∂∂
= , ; , ; , xxx
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
zu ; d
ru
θu
r ; d
rud z
zzrθ
θθr
rr ∂∂
=+∂∂⋅=
∂∂
=1
θϕθ
θϕϕϕ cot1 ; 1 ; ⋅++
∂
∂⋅
⋅=+
∂∂⋅=
∂∂
=r
ur
uusenr
dr
uθu
rd
rud rrθ
θθr
rr
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (20)
Velocidad de deformación angular y giro.
( )δX
δtvvδA OE ⋅−=
( )δY
δtuuδB SN ⋅−=
( )xv
δXvv
δtδA OE
EO ∂∂
=−
==Ω
( )yu
δYuu
δtδB SN
SN ∂∂
−=−
−=−=Ω
Definiciones previas
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IV)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (21)
D
D
R
R
( )δBδAδ R −⋅=21φ
( )δBδAδ D +⋅=21φ
( )
∂∂
−∂∂
⋅=+⋅=
−⋅==
yu
xv
δtδB
δtδA
δtδ
SNOER
Z 21
21
21 ΩΩφΩ
( )
∂∂
+∂∂
⋅=−⋅=
+⋅===
yu
xv
δtδB
δtδA
δtδdd SNOE
DYXXY 2
121
21 ΩΩφ
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (V)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (22)
Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las velocidades de deformación angular (dXY=dYX, dXZ=dZX y dYZ=dZY) son:
∂∂
+∂∂
⋅==
∂∂
+∂∂
⋅==
∂∂
+∂∂
⋅==zv
ywdd
zu
xwdd
yu
xvdd ZYYZZXXZYXXY 2
1 ; 21 ;
21
Todas las velocidades de deformación se agrupan en una sola magnitud (tensor o matriz)denominada matriz de velocidad de deformación. Para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas:
∂∂
∂∂
+∂∂
⋅∂∂
∂∂
+∂∂
⋅
∂∂
+∂∂
⋅∂∂
≡
zwSIM
yw
zv
yv
xw
zu
xv
yu
xu
21
21
21
D
dXX dXYdXZ
dYY
dZZ
dZY
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VI)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (23)
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
∂∂
∂∂
+∂∂⋅⋅+
∂∂⋅
∂∂
+∂∂
⋅
∂∂⋅+
∂∂
⋅⋅∂∂
≡
zuSIM
zu
θu
rru
θu
r
ru
zu
θu
rru
rr
ru
z
θzrθ
zrrθr
1211
211
21
D
⋅++∂
∂⋅
⋅
∂∂⋅
⋅+
∂∂
⋅⋅+∂∂⋅
∂∂
⋅+∂∂⋅
⋅⋅
∂∂⋅+
∂∂
⋅⋅∂∂
≡
cotθr
uruu
senθr1SIM
usenθr1
senθu
θrsenθ
21
ru
θu
r1
ru
rru
senθr1
21
θu
r1
ru
rr
21
ru
θr
θrθ
rrθr
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
D
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VII)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (24)
Generalizando para un flujo tridimensional y tridireccional en coordenadas cartesianas las componentes del vector velocidad de rotación (Ω):
∂∂
−∂∂
⋅=
∂∂
−∂∂
⋅=
∂∂
−∂∂
⋅=yu
xv ;
xw
zu ;
zv
yw
ZYX 21
21
21 ΩΩΩ
La velocidad de rotación se puede expresar de forma independiente al sistema de coordenadascomo:
( )[ ] ( ),t,trot xvxvΩ ∧∇⋅≡⋅=21
21
En Mecánica de Fluidos, en lugar de la velocidad de rotación, suele utilizarse el vector vorticidad(ω) definido como:
( )[ ] ( ),t,trot xvxvΩω ∧∇≡=⋅= 2
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (VIII)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (25)
Una vez definidas las velocidades de deformación se desea obtener la expresión de la Velocidad de Deformación Volumétrica.
Velocidad de deformación Volumétrica: Rapidez del cambio en el tiempo del volumen de una partícula de fluido expresada por unidad de volumen.
( )DtδVD
δVV 1=&
En coordenadas cartesianas
rP(X0P,t)
Z
X
Y
V.C.
r(x)Partícula P
Sistema
Y
Z
X
S.C.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) δZδYδXdddDtδVD
DtδZDδYδXδZ
DtδYDδXδZδY
DtδXD
DtδZδYδXD
DtδVD
δZδYδXδV
ZZYYxx ⋅⋅⋅++=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=⋅⋅
=
⋅⋅=
( ) ( )DTrdddDtδVD
δVV ZZYYxx ≡++=⋅=
1&
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (IX)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (26)
La velocidad de deformación volumétrica de una partícula de fluido es la traza de su matriz de velocidad de deformación, cumpliéndose que:
( ) ( )[ ] ( )[ ],tdiv,tTr,tV xvxDx ≡=&
En coordenadas cartesianas:
( )zw
yv
xutV
∂∂
+∂∂
+∂∂
=,x&
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
( ) ( )zuu
rrur
rtV zr
∂∂
+∂∂⋅+
∂⋅∂
⋅=θθ1 1,x&
( ) ( ) ( )ϕϕ
∂
∂⋅
⋅+
∂⋅∂
⋅⋅
+∂⋅∂
⋅=u
senθrθsenθu
senθr
rur
r,tV θr 111 2
2x&
2.2 Magnitudes Cinemáticas-2.2.2 Velocidades de deformación y giro (X)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (27)
2.3 MAGNITUDES INTEGRALES
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (28)
Las Magnitudes Integrales son las variables utilizadas en el Análisis Integral de un flujo.
• Están relacionadas con magnitudes del sistema de fluido que en el instante t estáocupando el V.C. (Masa, Cant. Mov. y Energía almacenados en el V.C y Flujos que atraviesan la S.C.)
• Se definen como integrales (volumen en V.C. o de superficie en la S.C.) de las magnitudes de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. Y por tanto forman parte de dicho sistema de fluido.
( ) ( ) ( ) ( )tmdVtdVttm VCVCV
P ≡⋅=⋅= ∫∫ ,xρρΠ
Π
Pregunta: ¿cuál es la masa del sistema Πque el instante t está ocupando el V.C.:
Respuesta: A partir del campo ρ(x,t) como VΠ(t)=VVC(t) la magnitud buscada mΠ(t) vale:
mVC(t) se denomina masa contenida en el V.C.
2.3. Magnitudes Integrales (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (29)
Cualquier propiedad extensiva B (masa, cantidad de movimiento o energía) del sistema de fluido que en el instante t está ocupando el V.C. es igual en ese instante a la cantidad de esa propiedad contenida en el V.C.
Siendo β(x,t) y ρ(x,t) una propiedad extensiva (masa 1, cantidad de movimiento v o energía e) y la densidad respectivamente de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C. como VΠ(t)=VVC(t):
( ) ( ) ( ) ( )tBdVtttB VCVC
≡⋅⋅= ∫ ,, xx βρΠ
Particularizando para las propiedades masa (m), cantidad de movimiento (M) y energía (E) se tiene que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tEdVtettE
tdVttt
tmdVttm
VCVC
VCVC
VCVC
≡⋅⋅=
≡⋅⋅=
≡⋅=
∫
∫
∫
,,
,,
,
xx
MxvxM
x
ρ
ρ
ρ
Π
Π
Π
2.3. Magnitudes Integrales (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (30)
Se considera una porción S de la S.C. que es atravesada por el fluido (entra o sale del V.C.). Este fluido posee unas propiedades extensivas (masa, cantidad de movimiento y energía) por lo que existe un flujo (convectivo) de estas propiedades a través de S.
PREGUNTA: ¿cómo se definen estos flujos?
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (31)
Flujo volumétrico, caudal o gasto de fluido en S: Volumen de fluido que atraviesa S en la unidad de tiempo
Tomando un δS de S orientado por su vector unitario normal n.
El volumen de fluido δV que atraviesa δS en el intervalo de tiempo δt es:
θδSδtvδV cos⋅⋅⋅=
Por lo que el caudal volumétrico δq en δS es:
θδSδtδVδq cos⋅⋅== v
El signo δq (definido por cosθ) indica si el volumen de fluido está entrando (-) ó saliendo (+) del V.C.Ambas posibilidades se contemplan utilizando:
Svnv δδSδtδVδq ⋅=⋅⋅==
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (32)
El caudal qS que atraviesa la superficie S es la integral de todos los δq:
∫∫∫ ⋅=⋅⋅==SS vS
s ddSdqqn
Svnv
Si la integral se realiza para toda la S.C. se obtiene el caudal neto que atraviesa S.C.
( )∫∫∫ ⋅=⋅⋅==SCSCSC
SC d,tdSdqq Sxvnv
Considerando únicamente las zonas de la S.C. donde el fluido está entrando (e) o saliendo (s) la expresión de qSC puede escribirse como:
∑∑∑ ∫∑ ∫ −=⋅+⋅=e
es
se SCs SC
SC qqddqes
SvSv
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (33)
Analogamente al caudal que atraviesa una superficie S es posible definir el flujo de una propiedad extensiva B (m, M ó E) a través de la superficie S.
Tomando un δS de S que está orientado por su vector unitario normal n.
La cantidad de propiedad B que atraviesa δS en el intervalo de tiempo δt es:
θδSδtβρδB cos⋅⋅⋅⋅⋅= v
Siendo β la propiedad extensiva expresada por unidad de masa (m~1, M~v y E~e).El flujo a través de δS se define como la cantidad de propiedad B que atraviesa δS en la unidad de tiempo por lo tanto:
Sv δβρδtδBBδ ⋅⋅⋅==&
( )( )( )( )
<⋅>>⋅<
<
<⋅<>⋅>
>
Salida
Entrada
Salida
Entrada
δβδβδβδβ
Bδ
0000
0
0000
0
SvSvSvSv
&
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (IV)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (34)
El flujo convectivo de propiedad B que atraviesa la superficie S es:
∫∫ ⋅⋅⋅==SS
S dBdB Svβρ&&
El flujo neto de propiedad B que atraviesa la S.C. es:
∫ ⋅⋅⋅=SC
SC dB Svβρ&
( )∫ ⋅⋅=SC
SC dm Svρ&
( )∫ ⋅⋅⋅=SC
SC dρ SvvM&
( )∫ ⋅⋅⋅=SC
SC deE Svρ&
Particularizando B:
• masa (B=m y β=1):
• Cant. de Movimiento (B=M y β=v):
•Flujo de Energía (B=E y β=e):
rP(X0P,t)
Z
X YV.C.
e1
s1
w wm
s2
S.C.
1eB&
121 sseSC BBBB &&&& ++=
1sB&
2sB&
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (V)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (35)
PREGUNTA: Si el V.C. se mueve o se deforma ¿Las expresiones que proporcionan los flujos varían?.RESPUESTA: SI. Supóngase que cada elemento δS de la S.C. posee una velocidad vSUP(x,t) las expresiones de los flujos se modifican de la siguiente manera:
( ) ∫∫∫ ⋅=⋅−==SC
RSSC
SUPSC
SC dddqq SvSvv
( )[ ] ( )∫∫ ⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅=SC
RSSC
SUPSC ddB SvSvv βρβρ&
En las expresiones de los flujos en lugar de la velocidad del fluido v(x,t) aparece la velocidad del fluido relativa a la superficie.
Si vSUP(x,t)=0 el V.C. Es fijo e indeformable y se obtienen las expresiones anteriores
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.1 Flujos Convectivos a través de la S.C. (VI)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (36)
Partiendo del flujo de una propiedad que atraviesa una porción S de la S.C. Se pueden definir Magnitudes Promedio en la superficie. Son de gran utilidad a la hora de analizar con el método integral un flujo (Tema 3).
• A partir del caudal qS que atraviesa la superficie S se define la Velocidad Media (escalar) en esa superficie vS , como:
S
SS A
qv =
El caudal neto que atraviesa la S.C. puede escribirse en función de las velocidades medias como:
( ) ( )∑∑ ⋅−⋅=e
es
sSC AvAvq
• A partir del flujo másico y del caudal es posible definir en una superficie la Densidad Promedio como:
S
SS q
m&=ρ
De esta forma el flujo másico neto a través de la S.C. Es:
( ) ( )∑∑ ⋅−⋅=e
es
sSC qqm ρρ ˆˆ&
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (37)
Análogamente con las otras propiedades extensivas
• Flujo de Cant. de Mov.: Cantidad de Movimiento por unidad de masa promedio
S
SS m&
&Mv =ˆ
( ) ( )∑∑ ⋅⋅−⋅⋅=e
es
sSC qq ρρ ˆˆˆˆ vvM& ( ) ( )
⋅−⋅⋅= ∑∑
ee
ssSC qq vvM ˆˆρ&
• Flujo de Energía: Energía promedio por unidad de masa
S
SS m
Ee&
&=ˆ
Flujo Incompresible
( ) ( )∑∑ ⋅⋅−⋅⋅=e
es
sSC qeqeE ρρ ˆˆˆˆ& ( ) ( )
⋅−⋅⋅= ∑∑
ee
seSC qeqeE ˆˆρ&
Flujo Incompresible
En el caso que el flujo sea incompresible (ρ=cte) se puede escribir:
SCe
Is
OSC qqqm ⋅≡
−⋅= ∑∑ ρρ&
2.3. Magnitudes Integrales-2.3.2 Magnitudes Promedio (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (38)
2.4 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS Y DERIVADA MATERIAL
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (39)
AFIRMACIÓN: En un flujo el valor de cualquier propiedad extensiva B del sistema que en el instante t está ocupando el V.C. es igual a la cantidad de propiedad que hay en ese instante almacenada en el V.C.
( ) ( ) ( ) ( )tBdVtttB VCVC
≡⋅⋅= ∫ ,, xx βρΠ
PREGUNTA: ¿Qué expresión proporcionará en función de propiedades integrales la rapidez del cambio en el tiempo de la propiedad B del sistema?
RESPUESTA: La rapidez del cambio en el tiempo de la propiedad B de un sistema se define como:
( ) ( ) ( )δt
tBttBDt
tDBδt
ΠΠΠ δ −+=
→0lim
TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (40)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δttBttBBBttBttB
tBtB
SCVCentrasaleVC
VC
⋅++=−++=+
=&δδδΠ
Π
Sustituyendo y haciendo el límite se obtiene la expresión del TTR para la propiedad B:
SCVCΠ B
dtdB
DtDB &+=
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (II)
Y
X S.C.
Sistema en tV (t)=VVC(t)
V.C.
1
2
1
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (41)
Para una propiedad extensiva genérica B (m, M o E) el Teorema del Transporte de Reynoldsexpresa que:
( ) ( ) ( )tBdt
tdBDt
tDBSC
VC &+=Π
Particularizando para:
Masa:SC
VC mdt
dmDt
Dm &+=Π
SCVC
dt
d
Dt
D MMM &+=Π
SCVC E
dtdE
DtDE &+=Π
Cantidad de movimiento:
Energía:
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.1 T. T. de Reynolds (III)
[ ] [ ] ( )SCzyxVCzyxzyx MMMMMM
dt
dMMMDt
D kjikjikji ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅Π
&&&
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (42)
DERIVADA MATERIAL
AFIRMACIÓN: En un flujo v(x,t) expresa matemáticamente las velocidades de las partículas de fluido que en el instante t están ocupando el V.C.
PREGUNTA: ¿Como se opera con v(x,t) para obtener la expresión de la rapidez del cambio en el tiempo de la velocidad (aceleración) de las partículas que en el instante t están ocupando el V.C., a(x,t)?
RESPUESTA: En el instante t nos fijaremos en una posición x del V.C. Que esta ocupada por una partícula P.
( ) ( )δt
tδttDt
D PPδt
PP
vvva −+==
→0lim
En general la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula de fluido se expresa como:
( ) ( )δt
tδttDt
D PPδt
P ααα −+=
→0lim
A la rapidez del cambio en el tiempo de una propiedad α de una partícula se le denomina Derivada material de la propiedad α.
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (43)
2.4 Derivada Material y T.T. de Reynolds/2.4.1 Derivada Material (II)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) δt,tδ
δδt,tδtt
δδt,tδtt,tt
δt,tP
P
P
⋅=
⋅∂∂
++=+
++=+
=
+
xvr
rrvxvv
vxvvxvv
x
Sustituyendo en el límite:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),t,tδt
,tδt,tDtD,t
δtxv
rxvxvxvvxa ⋅∂
∂+
−+
==→0
lim
( ) ( ) ( ) ( )44 344 2143421
CONVECTIVANACELERACIÓ
LOCALNACELERACIÓ
,t,tt,t
DtD,t xv
rxvxvvxa ⋅∂
∂+
∂∂
==
Aceleración=Derivada Material de la Velocidad
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (44)
Para cualquier propiedad (extensiva o intensiva) expresada en forma euleriana, α(x,t), la expresión euleriana de la rapidez del cambio en el tiempo de α es:
321
CONVECTIVADERIVADA
LOCALDERIVADA
tDtD v
r⋅
∂∂
+∂∂
=ααα
αα∇≡
∂∂
r
Magnitud escalar (temperatura, densidad o presión) ∂α/∂r es el gradiente de α(x,t).
Magnitud vectorial (velocidad) ∂α/∂r es una matriz.
Si el flujo es estacionario y los campos de propiedades no dependen del tiempo, α(x), la parte local de la derivada material es nula y sólo existe parte convectiva:
( ) ( )xvrx⋅
∂∂
=αα
DtD
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (45)
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
rv
∂
∂
∂
∂⋅
∂
∂∂
∂
+
∂
∂⋅
∂
∂∂
∂
−
∂
∂⋅
∂
∂
=∂
∂
zuu
rr
zu
ruu
rru
zu
ruu
rru
ZZ
r
rrr
θ
θ
θθθθ
θ
1
1
1
rv
⋅++
∂
∂⋅
⋅∂
∂⋅
∂
∂
⋅−
∂
∂⋅
⋅
+
∂
∂⋅
∂
∂
−
∂
∂⋅
⋅
−
∂
∂⋅
∂
∂
=∂
∂
θϕθθ
θϕθθ
ϕθθ
θϕϕϕ
ϕθθθ
ϕθ
cot11
cot11
11
ru
ruu
senru
rru
ruu
senrruu
rru
ruu
senrruu
rru
r
r
rrr
rv
Coordenadas Cartesianas:
Coordenadas Cilíndricas (Tablas Apuntes):
Coordenadas Esféricas (Tablas Apuntes):
2.4 T.T. de Reynolds y Derivada Material-2.4.2 Derivada Material (IV)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (46)
2.5 MAGNITUDES DINÁMICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (47)
2.5 Magnitudes Dinámicas.2.5.1 Motivación
2ª Ley de Newton
extDtD FM
Σ=ΠextSC
VC
dtd FMM
Σ=+ &
Si Π está ocupando el VC en t
extpp m
DtD
Fv
δδ Σ=⋅Si p está ocupando la
posición x en t
( ) ( ) extVtxtx Fa δδ,, Σ=⋅⋅ ρ
( ) ( ) ( ) ( )txtxt
txtx ,,,, vr
vva ⋅∂
∂+
∂∂
=
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (48)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (I)
+ Fuerzas de Π sobre Entorno
+ Fuerzas de Entorno sobre Π
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (49)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.2 Fuerzas que actúan sobre un fluido (II)
Fuerzas sobre el fluido:
• Fuerzas VolumétricasDistribuidas en todo el volumen.Depende del volumen.No es necesario el contacto entre el sistema y el entorno.
• Fuerzas de SuperficieDistribuidas en la superficie.Dependen de la superficie. No del volumen.Son debidas al contacto entre el sistema y el entorno.
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (50)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (I)
( ) ( ) ppVpV Vδ δ⋅= fF
Siendo fV la fuerza volumétrica por unidad de volumen que actúa sobre una partícula del sistema.
dVdV
VV
VV ⋅== ∫∫ΠΠ
fFF
Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema de fluido.
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (51)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (II)
( ) ( ) ( ) VtVδ VpVpV δ,δ ⋅=⋅= xffF
( )∫ ⋅≡VC
VV dVt,xfF
Considerando el sistema Π que en el instante testá ocupando el V.C. En el instante t VΠ(t)=VVC(t).
Sobre una de sus partículas situada en x estáactuando una fuerza de volumen:
fV será función de (x,t) expresa la fuerza volumétrica por unidad de volumen que actúa sobre las partículas que en el instante testán ocupando el V.C.
Resultante de las fuerzas de volumen que actúan sobre el sistema que en el instante t estáocupando el Volumen de Control.
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (52)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.3 Fuerzas Volumétricas (III)
( ) ( ) ggVG gtt eegxxf ⋅=⋅⋅=⋅= γρρ ,,
Las fuerzas de volumen son normalmente conocidas siendo la más habitual la debida a un campo gravitatorio:
γ=ρ·g es el peso específico del fluido. [γ]=F·L-3=M·L-2·T-2
Otras fuerzas que pueden aparecer también son:Fuerzas de inercia (Sistema de Referencia No Inercial):
( )carrVI aaf +⋅−= ρ
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (53)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (I)
( ) ( ) ( )ΠΠΠ→⋅= Sδ SEδsup tF ( ) ( ) ( )EESE
Sδ δsup ⋅=→Π
tF
( ) ( )Π→→Π
−=EE
δδ supsup FF
( ) ( )ESS tt −=Πt es el vector tensión que expresa la fuerza por unidad de superficie.
ESS ≡Π
Z
X Y
( )S( )
sup E
S( )
( )
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (54)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (II)
),( nft punto=
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (55)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (III)
),( nft punto=
Hipótesis de Cauchy nTt ⋅=
( ) ( ) ( )ΠΠΠ→⋅⋅= Sδ SSEδsup nTF
( ) ( ) ( )EESSESδ δsup ⋅⋅=
→ΠnTF
( ) ( )Π→→Π
−=EE
δδ supsup FFComo nS(Π)=-nS(E)
( ) ( )( )∫Π
ΠΠ→ ⋅⋅=S
SSES dSnTF
( ) ( )( )
( )( )∫∫Π
Π→Π ⋅⋅−=⋅⋅=S
SSES
ESSES dSdS nTnTF
Resultantes de las fuerzas de superficie que actúan sobre el sistema y sobre su entorno.
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (56)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (IV)
Considerando el sistema Π que en el instante t estáocupando el V.C.VP(t)=VVC(t) y SΠ(t)= SE(t)=SSC(t).La matriz de tensiones T será función de x y de t
( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠ→⋅⋅= scSCSCE
Stδ δ,sup nxTF
( ) ( ) ( ) ( )EscESCSCEStδ δ,sup ⋅⋅=
→ΠnxTF
( ) ( )∫ ⋅⋅≡Π→SC
ES dSt nxTF ,
( ) ( )∫ ⋅⋅−≡→ΠSC
ES dSt nxTF ,
Resultantes de las fuerzas de superficie que el Entorno ejerce sobre el sistema que en el instante t está ocupando el Volumen de Control y la que este sistema ejerce sobre el Entorno.
Como nSC(Π)=n=-nSC(E)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (57)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (V)
( ) ( )∫ ⋅⋅≡Π→SC
ES dSt nxTF ,
( ) ( )
( )
( ) ( ) Π→→Π
Π→Π→
++Σ+ΣΠ→
−=
+++=
⋅⋅=⋅⋅≡
∑∑
∫∫
ESES
Eww
ee
ssES
wwSCES
m
mes
dSdSt
FF
FFFFF
nTnxTF ,
Resultante de las fuerzas de superficie que el Entorno ejerce sobre el Sistema que en el instante t está ocupando el Volumen de Control
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (58)
SSNNOOEES δSδSδSδSδ ⋅+⋅+⋅+⋅= ttttF
; ; ; SSSNNNOOOEE nTtnTtnTtnTt E ⋅=⋅=⋅=⋅=
; ; - ; jnjninin −==== SNOEδZδXδSδZ ; δSδYδSδS SNOE ⋅==⋅==
( ) ( ) δZδXδZδYδ SNOES ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−= jTTiTTF
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VI)
Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula de fluido que en el instante t se encuentra en x.
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (59)
( ) ( ) δZδXδZδYδ SNOES ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−= jTTiTTF
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2
2
2
2,,
δYy
,t,t
δYy
,t,t
δXx
,t,t
Xx
tt
sS
nN
oO
e
⋅∂∂
−==
⋅∂∂
+==
⋅∂∂
−==
⋅∂∂
+==
TxTxTT
TxTxTT
TxTxTT
TxTxTTEδ
δVjy
tx
ty
tx
tδZδYδXy
ty
tx
tx
tδ yyyxxyxxyyxyyxxxS ⋅
⋅
∂
∂+
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂∂
=⋅⋅⋅
⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
⋅
∂
∂+⋅
∂∂
= ijijiF
( )[ ] δVtdivδ S ⋅= ,xTF
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VII)
Resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula de fluido que en el instante t se encuentra en x.
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (60)
( )[ ]
( )
( )
( )
∂∂
+∂∂⋅+
∂⋅∂
⋅
∂∂
+∂∂⋅+
∂⋅∂
⋅
−∂∂
+∂∂⋅+
∂⋅∂
⋅
=
ztt
rrtr
r
ztt
rrtr
r
rt
ztt
rrtr
r
tdiv
zzzzr
zr
rzrrr
θ
θ
θ
θ
θθθθ
θθθ
11
11
11
,2
2xT
( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅+
∂
∂⋅
⋅+
∂
⋅∂⋅
⋅+
∂
⋅∂⋅
⋅−
∂
∂⋅
⋅+
∂⋅∂
⋅⋅
+∂⋅∂
⋅
+−
∂
∂⋅
⋅+
∂⋅∂
⋅⋅
+∂⋅∂
⋅
=
rtt
senrsent
senrrtr
r
rtt
senrsent
senrrtr
r
rttt
senrsent
senrrtr
r
tdiv
r
r
rrrr
θϕθθ
θθ
θϕθθ
θθ
ϕθθθ
θ
ϕθϕϕϕθϕ
ϕϕθϕθθθ
ϕϕθθϕθ
cot111
cot111
111
,
3
3
3
3
2
2
xT
En coordenadas cilíndricas y esféricas respectivamente (Tablas Apuntes):
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.4 Fuerzas de Superficie (VIII)
( )[ ] kjixT ⋅
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+⋅
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+⋅
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=z
tyt
xt
zt
yt
xt
zt
yt
xt,tdiv zzzyzxyzyyyxxzxyxx
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (61)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (I)
2ª Ley de Newton
extDtD FM
Σ=ΠextSC
VC
dtd FMM
Σ=+ &
Si Π está ocupando el VC en t
extpp m
DtD
Fv
δδ Σ=⋅Si p está ocupando la
posición x en t
extV Fa δδ Σ=⋅⋅ ρ
( ) ∫ ∫∑ ⋅⋅+⋅≡+= Π→VC SC
VESVext dSdV nTfFFF
( )[ ] VdivVSVext δδδδ ⋅+=+=∑ TfFFF
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (62)
AFIRMACIÓN: La fuerza total sobre una partícula de fluido es:
( )[ ] δVdivδ V ⋅+= TfF
Este término aparecerá en la ecuación de la 2ª ley de Newton.
( )[ ] δVdivδVDtD
V ⋅+=⋅⋅ Tfvρ
PREGUNTA: En un flujo incompresible las incógnitas eran p(x,t) y v(x,t)
• ¿Dónde aparece la presión?.
• Como se eliminan las tensiones (T)
RESPUESTA: Es necesario introducir una RELACIÓN CONSTITUTIVARESPUESTA: Es necesario introducir una RELACIÓN CONSTITUTIVA
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (63)
2.5 Propiedades Dinámicas/2.5.3 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (II)
En general las relaciones constitutivas son expresiones entre las variables de un problema que permiten modelar el comportamiento del sistema estudiado. Se deducen de la experiencia no de las leyes fundamentales (sin violarlas).
0=−⋅ NAσ E⋅=εσ
AE
N⋅
=δ
Ejemplo: Viga sometida a esfuerzo axial se desea relacionar la deformación δ con la solicitación N:
Relación Constitutiva
Lδε =
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (64)
La ecuación constitutiva de un fluido relaciona su matriz de tensiones (T) con :
Presión (p)
Velocidad de deformación (D):
La matriz de tensiones se descompone en una Parte Hidrostática (TH) y en otra ParteDesviadora (TD). Cumpliéndose que tr(TD)=0.
DH TTT += ( )
ITTTT
ITT
⋅−=−=
⋅⋅=
ββ
HD
H tr434213
1
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (IV)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (65)
AFIRMACIÓN: Un sistema de fluido que en todos sus puntos tenga una matriz de tensiones hidrostática no está sometido a ninguna fuerza de cizalladura:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΠΠΠΠΠΠΠ→ ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= δSδSδSδ HESUP nnInTF ββ
1. En un fluido en reposo sólo existe parte hidrostática de la matriz de tensiones.
2. La parte desviadora estará asociada al movimiento y por tanto a la velocidad.
Evidencias experimentales establecen que:
• El valor β coincide con la presión termodinámica (β=-p).
• TD se relaciona con la matriz de velocidades de deformación D. La relación más sencilla es:
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (V)
( ) ( )
⋅⋅−⋅+⋅−= IDDIxT Trpt
312, µ
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (66)
Al coeficiente µ se le denomina viscosidad dinámica del fluido o simplemente viscosidad y es una propiedad termodinámica (depende de la presión y la temperatura).
Los fluidos que poseen la relación constitutiva se les denomina FLUIDOS NEWTONIANOS. Los fluidos más comunes son newtonianos (ejemplos: agua, aire, mercurio, aceites)
En ocasiones se trabaja con la denominada viscosidad cinemática ν=µ/ρ.
[µ]=M·L-1.T-1 en el S.I. sus unidades son kg/(m·s) ó N·s/m2.[ν]=L2·T-1 en el S.I. sus unidades son m2/s.
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VI)
( ) ( )
⋅⋅−⋅+⋅−= IDDIxT Trpt
312, µ
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (67)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)
En el caso de un flujo incompresible (µ=cte) y tr(D)=div(v)=0. La relación constitutiva se reduce a:
( ) ( ) ( )ttpt ,2,, xDIxxT ⋅+⋅−= µ
Quedando la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre una partícula como:
( )[ ] ( ) VpVdivp δδ2δ 2S ⋅⋅∇⋅+∇−=⋅⋅+∇−= vDF µµ
Siendo:
kjiv ⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
+⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
+⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇ 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
( ) Vp Vext δδ 2 ⋅+⋅∇⋅+∇−=∑ fvF µ
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (68)
2.5 Magnitudes Dinámicas-2.5.5 Relación Constitutiva de un Fluido Newtoniano (VII)
En un sistema de coordenadas cartesiano:
En los sistemas de coordenadas cilíndrico y esférico (Tablas Apuntes):
( )
∂∂⋅+−
∂∂
+∂∂⋅⋅
+∂∂⋅⋅+−
∂∂
+∂∂
⋅
∂∂⋅+
∂∂
⋅⋅∂∂⋅+−
≡
zupSIM
zuu
rruu
rp
ru
zuu
rru
rr
rup
tzr
z
zr
zrrr
µ
θµ
θµ
µθ
µµ
θ θθ
θ
2
112
12
,,,T
( )
⋅++
∂
∂⋅
⋅⋅+−
∂∂⋅
⋅+
∂∂
⋅
+∂∂⋅⋅+−
∂∂
⋅+∂∂⋅
⋅⋅
∂∂⋅+
∂∂
⋅⋅∂∂⋅+−
≡
θϕθ
µ
ϕθθθθµ
θµ
ϕθµ
θµµ
ϕθ
θϕ
θϕθ
ϕθ
cot12
112
112
,,,
ru
ruu
senrpSIM
usenrsen
ur
senr
uur
p
ru
rru
senru
rru
rr
rup
tr
r
r
rrr
T
( )
∂∂⋅+−
∂∂
+∂∂
⋅∂∂⋅+−
∂∂
+∂∂
⋅
∂∂
+∂∂
⋅∂∂⋅+−
≡
zwpSIM
zv
yw
yvp
xw
zu
xv
yu
xup
tzyx
µ
µµ
µµµ
2
2
2
,,,T
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (69)
2.6 MAGNITUDES TERMODINÁMICAS
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (70)
Densidad (ρ) y Presión (p).
Densidad: [ρ]=M.L-3.En el S.I. sus unidades son kg/m3.
• En ciertas ocasiones la densidad de un fluido (a) (ρa) se expresa como un valor relativo(sa) a la de otro fluido de referencia (ρb).
babas ρρ=
• En Mecánica de Fluidos, sobre todo en Estática de Fluidos, suele emplearse mucho, el Peso Específico de un fluido (γ)
g⋅= ργ
[γ]=M.L-2.T-2=F.L-3 y sus unidades en el S.I. son kg/(m2.s2) ó N/m3
Así por ejemplo el mercurio (Hg) tiene una densidad relativa al agua swHg=13.6.
Los fluidos de referencia suelen ser fluidos comunes cuya densidad es bien conocida, como por ejemplo el agua en el caso de líquidos y el aire en el de gases.
2.6 Magnitudes Termodinámicas (I)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (71)
• Presión absoluta (pabs). Valor siempre (+). Rango: 0<pabs<∞
• Presión Manométrica (pman=pabs-patm). Valor (+) ó (-). Rango: -patm<pman<∞
El valor de diseño de la presión atmosférica local es de 101.3 kPa=1003 mBar
¡OJO! EN RELACIONES TERMODINÁMICAS NO PUEDEN UTILIZARSE PRESIONES MANOMÉTRICAS
2.6 Magnitudes Termodinámicas (II)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (72)
Presión: Diferentes formas de expresar una presión (manométrica o absoluta).
[p]=F.L-2=M.L-1.T-2.
En el S.I. Sus unidades son el Pascal 1 Pa=1 N/m2. También es muy frecuente utilizar el Bar, 1 Bar=105 Pa.
Es posible expresar una presión como una altura de columna de un fluido. Si se elige un determinado fluido (a) que se encuentra a una presión p, dicha presión se puede expresar como una altura de ese mismo fluido ha así como de otro fluido (b), hb, cumpliéndose que:
bbaa hhp γγ ⋅=⋅=
Si se elige otro fluido (c) para expresar como una altura la presión p, las diferentes alturas que expresan la misma presión se relacionan mediante:
ccbbaa hhhp γγγ ⋅=⋅=⋅=
ac
ab s
a
cc
s
a
bba hhh
ρ
ρ
ρ
ρ⋅=⋅=
[ha]=L de a.
En el S.I. metros de columna de a.
2.6 Magnitudes Termodinámicas (III)
MECÁNICA DE FLUIDOS CURSO 2006-2007 (73)
aa hpp ⋅+= γ0
• pa>p0 ya que ha>0 Þ (ph)a>0• pb<p0 ya que hb<0 Þ (ph)b<0
( ) aaha hppp ⋅==− γ0
Fluido en reposo bajo la acción de la gravedad. Sólo existe presión y ésta varía únicamente en la dirección de la gravedad y de forma lineal.
2.6 Magnitudes Termodinámicas (IV)