tema 2 juegos: marco teórico general · tema 2 juegos: marco teórico general microeconomía...

1. Introducción y ejemplos 2. Forma extensiva 3. Forma estratégica 4. Estrategias mixtas

Tema 2 Juegos: marco teórico generalMicroeconomía Avanzada II

Iñigo Iturbe-Ormaeche

U. de Alicante

2008-09


1. Introducción y ejemplos

2. Forma extensiva

3. Forma estratégica

4. Estrategias mixtas


El dilema del prisionero

� La Teoría de Juegos estudia la interdependencia estratégicaque surge cuando varios individuos, con intereses en con�icto,interactúan tomando decisiones.

� Un juego es un modelo de dicha interacción� El dilema del prisionero: Dos jugadores: Epi y Blas� Dos estrategias: D (delatar al otro), N (no delatar al otro)� Pagos: Negativo de los años de cárcel


El dilema del prisionero 2

� Matriz de pagos

1n2 D ND �10,�10 0,�12N �12, 0 �1,�1

� Los dos individuos deciden simultáneamente (otrainterpretación: deciden sin conocer la decisión del otro)

� Predicción: (D,D). Haga lo que haga el otro, D es mejorque NEn el tema siguiente veremos que D es una estrategiadominante

� Problema: Con (N,N) ambos están mejor


El juego del bien público

� Dos jugadores cada uno con 100 euros� Tienen que decidir cómo dividen los 100 euros entre unacuenta privada y una cuenta común. Cada euro puesto en lacuenta común produce 0,75 euros para ambos

� Si ambos ponen todo en la cuenta privada, cada uno acabacon 100

� Si ambos ponen 50 en la cuenta común, acaban con50+ 75 = 125

� Si ambos ponen 100 en la cuenta común, acaban con200 � 0,75 = 150


La batalla de los sexos

� Dos jugadores: Un chico y una chica� Dos estrategias: C (ir de compras), F (ir al fútbol)� Pagos: Ambos pre�eren estar juntos, pero la chica pre�ere C yel chico pre�ere F

AnO C FC 3, 2 1, 1F 0, 0 2, 3

� Predicción: No hay una única predicción: (C ,C ) y (F ,F )


La batalla de los sexos 2

� Igual que antes pero ahora la chica decide primero ir a uno delos dos lugares. Desde allí telefonea al chico

� Ahora es un juego secuencial y se representa mediante unárbol:

� Predicción: (C ,C )


Representación


El juego de demandas de Nash

� Dos jugadores. Hay z euros para repartir entre ambos� Cada uno pide una cantidad (lo hacen simultáneamente)Llamamos x a lo que pide el 1, y a lo que pide el 2

� Si x + y � z , cada uno recibe lo que ha pedidoSi x + y > z , no reciben nada

� PREDICCIÓN: ??


Forma extensiva

� La forma extensiva trata de re�ejar la estructura secuencial deun juego. Podemos distinguir entre juegos con informaciónperfecta y juegos con información imperfecta

1. Juegos con información perfecta: cuando un jugador debedecidir, conoce perfectamente todo lo que ha ocurridoanteriormente

2. Juegos con información imperfecta: cuando un jugadordebe decidir, puede que no conozca perfectamente todo lo queha ocurrido antes

� Para representar un juego en forma extensiva necesitamosconocer: 1) el conjunto de jugadores; 2) el orden de lossucesos; 3) el orden de movimiento; 4) las acciones posibles;5) los conjuntos de información; 6) los pagos.


Conjunto de jugadores y orden de sucesos

� 1. Conjunto de jugadores

N = f0, 1, 2, ..,ng

El 0 representa la naturaleza (si interviene) y sirve pararesolver la incertidumbre. Por ejemplo, cuando tiramos unamoneda al aire para ver quién empieza a jugar

� 2. Orden de los sucesosSe representa mediante un conjunto de nodos K sobre el quese de�ne una relación de precedencia R


Nodos y relación de precedencia

� Aquí los nodos son K = fx0, x1, x2, z1, z2, z3, z4, z5g� Aquí x0Rx2 se lee como �x0 precede o va antes de x2�� R es: i) IRREFLEXIVA, ii) TRANSITIVA


Precedencia inmediata� De�nimos la relación de precedencia inmediata P. Ahorax0Px1 se lee como �x0 va inmediatamente antes de x1�

� Predecesores inmediatos de x :

P(x) = fx0 2 K : x0 Pxg

� Sucesores inmediatos de x :

P�1(x) = fx0 2 K : xPx0 g

� Dos propiedades:a) Existe un único nodo inicial (o raíz) x0b) Para todo nodo x ( 6= x0) existe un único camino depredecesores que une a x con x0 (entonces P(x) tiene unúnico elemento)

� El conjunto de nodos �nales es Z = fz 2 K : P�1(z) = ?g.Cada nodo �nal se interpreta como una posible jugada ohistoria del juego


Orden de movimiento y acciones

� 3. Orden de movimientoSe representa mediante una partición de K � Z ensubconjuntos K0,K1, ..,KnKi contiene los nodos en los que le corresponde al jugador ielegir una acción

� 4. Acciones posiblesA(x) : conjunto de acciones disponibles para el jugador quedecide en xSabemos que A(x) = P�1(x)Es decir, las acciones son los nodos que siguen a x


Conjuntos de información

� 5. Conjuntos de informaciónTratamos de representar la información de que dispone unjugador cada vez que tiene que tomar una decisión

� Para ello hacemos una partición de Ki a la que llamamos HiLos elementos de Hi se llaman conjuntos de información

� Cada conjunto de información h 2 Hi está formado por nodosque el jugador no puede distinguir cuándo debe tomar unaacción. Es decir, si x , x 0 2 h, entonces A(x) = A(x 0)


Ejemplo

� Aquí tenemos K1 = fag,K2= fb, e, fg,K3= fc,dg� El individuo 2 tiene dos conjuntos de información:

K2 = ffbg,fe, fgg


Pagos

� 6. PagosCada nodo �nal zj 2 Z tiene asociado un vector de pagosπj 2 Rn (n jugadores)πji es el pago del jugador i en el resultado zj

� Ejemplo: Pares o nonesDos jugadores eligen simultáneamente �pares�o �nones�Si los dos eligen lo mismo, el jugador 1 le paga 6 euros aljugador 2Si eligen diferente, es el 2 el que paga 6 euros al jugador 1


Representación

� Tenemos N = f1, 2g; K1 = fag, K2 = fb, cg� A(a) = fP,Ng, A(b) = A(c) = fP,Ng� H1 = ffagg,H2 = ffb, cgg� A(fb, cg) = fP,Ng


Concepto de estrategia

� Para un jugador una estrategia (pura) en un juego es unconjunto de reglas contingentes que prescriben qué accióndebe tomar en cada uno de sus conjuntos de información

� Formalmente, una estrategia si del jugador i se de�ne como:

si : Hi �! Ai ,

donde Ai = [h2HiA(h)


Estrategias de los jugadores

� El 1 tiene 2 estrategias: fA,Bg� El 2 tiene dos conjuntos de información: fbg y fe, fg. En elprimero elige entre C y D. En el segundo entre I y J. Por lotanto tiene cuatro estrategias: fCI,CJ,DI,DJg

� El 3 tiene 4 estrategias: fGE,GF,HE,HFg


Forma estratégica o normal

� Un juego se puede representar en forma estratégica como:

fN,fSigni=0,fπ ig

ni=1g

� Aquí Si es el espacio de estrategias de iS = S0�S1�....� Sn

� π i : S �! R es la función de pagos de iπ(s0, s1, .., sn) es el pago de i con la combinación deestrategias (s0, s1, .., sn)

� En el ejemplo anterior, ¿Cuántas estrategias hay en S1,S2 yS3?

� Además vemos que S tiene 32 elementos. Es decir, hay 32combinaciones posibles de estrategias

� ¿Cuáles son los pagos con la combinación (A,DI,GF)?


Estrategias mixtas

� En ocasiones nos encontraremos con situaciones en las que losjugadores eligen estrategia mediante un procedimientoaleatorio

� Por ejemplo, si mi espacio de estrategias es S = fA,Bgpuedo hacer lo siguiente. Lanzo una moneda al aire. Si salecara, elijo A. Si sale cruz, elijo B

� En general, dado el conjunto Si de estrategias puras de i, unaestrategia mixta σ i : Si�! [0, 1] es una distribución deprobabilidad sobre las estrategias puras

� La estrategia mixta σ i asigna a cada estrategia pura si 2 Siuna probabilidad σ i (si ) � 0 con la que será jugada. Portanto:

∑si2Siσ i (si ) = 1


Función de pagos con estrategias mixtas

� Llamamos Σi al conjunto de estrategias mixtas de i� Extendemos la función de pagos al conjunto de combinacionesde estrategias mixtas Σ = Σ1�..� Σn . Para cada σ 2 Σ :

π i (σ) = ∑s2S σ0(s0)σ1(s1)...σn(sn)| {z }Probabilidad de jugar (s1,..,sn)

π i (s),

es el pago del jugador i


Penalties (Ignacio Palacios-Huerta)

� Dos jugadores: el jugador que lanza el penalty y el portero quetrata de pararlo

� El jugador puede lanzar al balón a la izquierda o a la derecha.El portero se puede tirar a la izquierda o a la derecha

� Ambos tienen el mismo conjunto de estrategias fI,Dg� Pagos:

JnP I DI 60, 40 95, 5D 90, 10 70, 30

� El primer número lo podemos interpretar como la probabilidadde acierto (y el segundo la de fallo)


Cómputo de los pagos

� Con sólo estrategias puras la función de pagos es:πJ(I, I) = 60, πJ(I,D) = 95, πJ(D, I) = 90,πJ(D,D) = 70; πP (I, I) = 40, πP (I,D) = 5,πP (D, I) = 10, πP (D,D) = 30

� Llamamos (σ, 1� σ) a la estrategia mixta de J y (µ, 1� µ)a la estrategia mixta de P

� El pago esperado de J si tira a la izquierda (si elige I) es:

60µ+ 95(1� µ) = 95� 35µ

� El pago esperado de J si tira a la derecha (si elige D) es:

90µ+ 70(1� µ) = 70+ 20µ


Cómputo de los pagos 2

� Por lo tanto, el pago esperado de J jugando la estrategiamixta (σ, 1� σ) es:

σ(95� 35µ) + (1� σ)(70+ 20µ)

= 70+ 25σ + 20µ� 55σµ

� Por ejemplo, si σ = µ = 1/2, el pago esperado para J es78.75


Cómputo de los pagos 3

� También podemos calcular que el pago esperado de P si setira a la izquierda es 40σ + 10(1� σ) = 30σ + 10 y si setira a la derecha es 5σ + 30(1� σ) = �25σ + 30

� Por lo tanto, jugando la estrategia mixta (µ, 1� µ) el pagoesperado del portero es:

µ(30σ + 10) + (1� µ)(�25σ + 30)= 30� 25σ � 20µ+ 55σµ

� Si σ = µ = 1/2, el pago esperado para el portero P es 21.25(100-78.75)

tema 2 juegos: marco teórico general · tema 2 juegos: marco teórico general microeconomía...

Documents