CAPÍTULO IICÁLCULO VECTORIAL *.

SISTEMAS DE REFERENCIA

A) ALGEBRA VECTORIAL

FORMULARIO

Diversas formas de expresar un vector en función de sus componentes coordenadas:

v=X+Y+Z v (x, y, z) v = xi + yj + zk

Módulo y cosenos directores:

xcosa=-

vcosfJ=l!..v

1\ COS2 a + COS2 fJ + COS2 y = 1z

cosy=-v

Suma de vectores:n

S = VI + V2 + v3 + oo. + vn= I. V,1=1

siendo:

VI =Xl + Yl + Zl

V2 =X2 + Y2+ Z2s=X+Y+Z

x = Xl + X2 + oo. + xn = I.XI

Y=Yl+Y2+"'+Yn =I.YI

z = zl + z2 + oo.+ zn = I. Zl

.....................

.....................

Producto de un escalar por un vector: es un vector: ab=a a=ab

Vectores unitarios: Son los que tienen de módulo uno:V xi+yj+zku=-=

v ~X2+y2+z2

Producto escalar de dos vectores: Es un escalar:

v(x,y,z)

Iv' (x', y', Z/)=> V' v' = vv' cos I{J= v proyv V'

en función de las componentes de los vectores: V . v' = xx' + yy' + zz'

Propiedades:

a) Goza de las propiedades conmutativa y distributiva.b) Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero.c) Si dos vectores tienen la misma dirección y sentido su producto escalar es igual al

producto de sus módulos.

Producto vectorial de dos vectores: Es un vector: A =V X V' A = VV'sen I{J = vh

lo que nos indica que el módulo es el área del paralelogramo que tiene V y V' como lados.

En función de las componentes de los vectores:

z

y

Componentes coordenadas de unvector. Vectoresunitarios en los ejescoordenadas.

-+V

3v

-3v..

.Multiplicacióndel vector v por los

escales3 y-3.

Producto escalar de dos vectores.

A

Propiedades:

a) Goza de las propiedades anticonmutativa y distributiva.b) Si dos vectores son paralelos su producto vectorial es nulo. Productovectoría!.

Producto mixto: Es un escalar cuyo valor es el volumen del paralelepípedo que tiene los tres vectores como lados.

Propiedad:

V=a'~x~

V=a.~x~=c.~x~=b.~x~

. Los problemas referentes a operadores (grad, rot, div, etc.) severán en Teoríade Campos (~pítulo VII).

j k

V X v' = I x y z

x' y' Z'

r28 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

En función de las componentes coordenadas de los vectores:

ax

a . (b x e) =Ibx

ay

by

Cy

az

bz

Propiedad:

Doble producto vectorial: Es un vector: p =a x (b x e)

a x (b x e) =(a . e) b - (a . b) e

z

->z

a=4

Problema 11-1.

y

o

Problema 11-2.

->A

-> -> ->A=bxc

-> ->V=a'A

h

¡;

Producto mixto.

Problema 11-1. Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4 unida-des. Calcular:

1. Sus componentes coordenadas.2. Ángulo que forma con el eje Z.

SoluciónLe, MÉTODO

1) Sea a (x, y, z) el vector que nos piden, entonces:

I x=acosa=4~ =2/

ycomo:

2) cosy=~=..[2a 22.0 MÉTODO:

1 1 2-+-+cos y=l4 4

COMPROBACfON:

cos y =R =if ~ I y =45° I

I z=acosY=4if =2..[2/

~ = 4 + 4 + 4 x 2 = 16 a=4

Problema 11-2. Se tienen dos fuenas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F¡ =5 kp yF2 = 7 kp, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60° y -30°. Calcular:1. La fuerzaresultante.2. Su módulo.3. Ánguloque forma con el eje Ox.

Solución

IFx :F¡x + F2xFy - F¡y + F2y

x

SF¡x =F¡ cOS'P¡=-kp2

sJ3F¡y=F¡ sen'P¡ =-kp2

7J3F2x= F2 COS'P2= --y kp

7F2y= F2 sen 'P2= - - kp2

'P2= -300

S+7J3k2 P

Fy=SJ3-72 kp

Problema 11-3. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F¡ = 6 kp, F2= 3 kp,F3= 4 kp, que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45°, 30° Y-60°. Lastres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo

que forma con el eje Ox.Solución

Fx

cos cp= F

./2F¡x =F¡ coscp¡ =62=3./2kp

./2F¡y=F¡ sencp¡=62=3./2kp

J3F2x=F2 COScp2=3-kp2

1F2y= F2sen '1'2= 3 - kp2

1F3x= F3COS'1'3 = 4 - = 2 kp2

F3y= F3 sencp3= 4 (- "7) = -2 J3kp

=>Fx = 3./2 + 3 J3 + 2 = 8,84 kp2

Fy = 3 ./2 + 3 .!..- 2 J3 = 2,28 kp2

F=8,84i+2,28 jkpI F = ~8,842 + 2,282 = 9,1kp I

coscp= 8,84 = 0,979,1

=>

Problema 11-4. Teniendo en cuenta que la fuerza de interacción Newtoniana entre dos partículasde masa m y m' que distan entre sí r, es:

F=-G mm'yr

resolverel siguiente problema: supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda influen-cia de cuerpos celestes) definimos un sistema de ejes rectangulares. Tres partículas de masa 4 kglas colocamos en (O,O), (2,2), (2, -2) medidas estas coordenadas en metros. Calcular la fuerzaque ejercerán sobre una partícula de masa 1 kg colocada en (4, O)m.

Solución

1\ r¡ =4m

Los módulos de las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m = 1 kg son:

F = G mm¡ = 6 67 X 10-11 1 x 4 = 1667 X 10-11N¡ r/' 16'

F2 = G m~2 = 6,67 x 10-11 1 X84 = 3,335 X 10-11 N

r2

F3 = G m~3 = 6,67 x 10-11 1 X84 = 3,335 X 10-11 N

r3

siendo:

obtenemos:I

F¡x = F¡ cos 'P¡= -F1 = -1,667 x 10-11 N

F1y = F1 sen cp1 = O

F2x = F2 COScp2 = -3,335 X 10-11 f2 = -2,358 X 10-11 N2

F2y= F2 sencp2= 2,358 X 1O-¡1N

I

F3x = F3 COScp3= -2,358 X 10-11 N

F3y = F3 sen '1'3 = -2,358 X 10-11 N

ÁLGEBRA VECTORIAL 29

y Fl

FlY tm mmm__m__Ji¡

¡

!i

::

i,i! X

....

F2y

o -+ 1-+- -+

F3x iF2x F¡xII

iI

!I

i'....

n_': F3

....

F3y

Problema 11-3.

y

x

Problema 11-4.

r30 CÁLCUW VECfORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

y

q¡--;D

r¡

Problema U-5.

Problema U-6.

Problema U-6-1a.

B

Fx : F¡x + Fzx + F3x ~-6,384 X 10-¡¡ NIFy - F¡y + Fzy + F3y - O

=>I F =- 6384 X 1O-¡¡ i N I

La fuerza resultante está en el eje X y su sentido es hacia el origen.

Problema 11-5. Si la expresión de la ley de Coulomb es:

F =K qq'o-rr3

Calcular la fuerza que actúa sobre una carga de 1 ¡LCcolocada en el punto (6, O)m debida a la si-guiente distribución: En el origen de coordenadas una carga q¡ =2 ¡LC,en el punto (0,3) m unacarga q2 = 3 ¡LC y en el punto (O,-3) m una carga q3= -3 ¡LC (suponemos las cargas en elvacío).

r¡ =6m

X

Siendo: 'P¡= 0°

Solución

y los módulos de las fuerzas que actúan sobre q son:

Fz =Ko q~z =9 X 109 10-6 X 3 x 10-6~ 45

F3 = Ko q~3 = 9 X 109 10-6 X 3 X 10-6~ 45

6 2cos '1'2 = .[45 =J5

3 1sen '1'2 =- .[45=- J5

6 2cos '1'3 = - .[45 = - J5

3 1sen'P3 =- .[45=- J5

Fx = F¡x + Fzx + F3x = 5 x 10-4 N

12 -4Fy = F¡y + Fzy + F3y= - J5 ION

Problema 11-6. Descomponer la fuerza de módulo F = 20,0 N en las direccionesa y b indicadasen la figura.

Solución

a En el triángulo DAB de la Fig. P conocemos los tres ángulos y el lado DA =20 N, aplicándole el teore-ma de lossenos, obtenemos:

~-~-~sen 60° - sen 75° - sen 45°

16,3 N

F¡ = 20 sen 75°sen 60°22,3 N

=>

Fz = 20 sen 45°sen 60°

Problema 11-7. Si tienen tres vectores no coplanarios OA = a, 08 = b Y OC = c. Designa-mos por M el punto medio del segmento rectilíneo AB y por G el baricentro del tríangulo ABC; sepide obtener razonada y sucesivamente:

1. Expresión de OM en función de a y b.

2. Expresión de MC en función de OM y C, así como la de GC en función de MC.

3. Expresión de OG en función de a,b y c.

a

Solución

1) a=OM+MAb=OM+MBMA=-MB

2) IMC=C-OM=C-T I

3) I OG=c-GC=c-j[c-T] = a+~+c I

(coordenadas del centro de gravedad de un triángulo).

Problema 11-8. Dados los vectores: a =31 - 2j y b =-41 +j, calcular:1. Elvectorsuma y su módulo.2. Elvectordiferenciay el ángulo que forma con el eje Ox.3. El vector e =2a - 3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.

Solución

1) I s =a + b =- i - j I

2) Id=a-b=7i-3)13

tgtp=-y I tp= -230 11' 55" I

3) 2a= 6i-4)

I-3b =12i - 3) I e =18i - 7j I

e 18 7

~ = .J373 i - .J373j

Problema 11-9. Dadoslosvectores:ademóduI03ycosenosdirectoresproporcionalesa2,ly-2, b que tiene de origen respecto de cierto sistema el punto 0(-1, -2,1) y de extremo el puntoP (3, 0,2) y el vector e (2, O,-3). Calcular:1. 2a - 3b + e

2. 13a-2b+2clSolución

Calculamos primero las componentes coordenadas de a y b: si a (Xl' Y¡,2¡), como:

~= cosf3= cosy =K2 1 -2

cosa = 2KcosfJ=Kcosy=-2K

A COS2 a + COS2 f3 + COS2 y =1

nosqueda:

K=!.. ~3

2cosa=3

1cosfJ=3

2cosY=-3

~ a (2, 1,-2)

x¡=acosa= 2Y¡= a cos fJ = 12¡ =acosy=-2

Si b (X2' Y2' 22) entonces:

X2=3-(-1)=4Y2=O-(-2)=222=2-1=1

b(4,2,l)

1) 2a= 4i+2)-4k-3b = -12i - 6) - 3k

e = 2i - 3k12a-3b +c=-6i-4)-lOk 1

2) 3a= 6i+3)-6k-2b= -8i-4)-2k2c= 4i -6k

3a - 2b + 2c = 2i -) -14k

113a-2b-2cl=.J4+1+196 =.J2Oi I

Problema 11-10. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el puntoO (-1,2, O) y de extr~mo P (3, -1,2). Calcular:

ÁLGEBRAVECTORIAL 31

A

o

e

Problema 11-7.,

32 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

1. Componentes del vector OP.2. Móduloy cosenos directores.3. Un vector unitario en la direcciónde él pero de sentido contrario.

Solución

1) OP(x, y, z) x=3-(-1)= 4y=-1-2 =-3z=2-0 = 2

=> IOp =4i-3j+2k I

Problema 11-11. Dados los vectores a (2,4,6) y b (1, -2, 3). Calcular:1. Elvector suma a + b, su módulo y cosenos directores.2. El vector diferencia a - b Y el vector unitario que define su dirección y sentido.

Solución

1) I a + b =s (2 + 1, 4 - 2, 6 + 3) = s (3,2,9) I

=>I s = .J9 + 4 + 81 =./941

2) I a - b =d (2 -1, 4 + 2, 6 - 3) = d = (1,6, 3) I

=> d =.J1 + 36 + 9 = .J7[6

Problema 11-12. Dados los vectores: a (1, -1, 2)1. El producto escalar de ambos vectores.2. El ángulo que forman.3. La proyecciónde b sobre a.

y b (-1,3,4). Calcular:

Solución

1)I a'b=l(-l)+(-l) 3+2x4=41

2) a' b = ab cos <p

a =.J1 + 1 + 4 = J6b =.J1+9+16 =.J26

a.b 4

cos<p=~= J6.J26=>

I <p=71° 19' 18" I

=>

3) a.b=aproy.b proy. b = a' ba=> =>

.

Problema 11-13. Demostrar que el vector unitario a, cuyos cosenos directoresson: cosa =1/3,cos{3=2/3 Y cosy> 0, es perpendicular al vector b (6, -9, 6).

Solución

"Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar tiene que ser cero.»

Siendo: COS2 a + COS2 fJ + cos2 i' = 1

Icos i' > O=>=>

y como:la. b = ~ 6 + J (-9) + J 6 = 2 - 6 + 4 = O I

a y b son perpendiculares.

=>

..

~

Problema 11-14. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo mó-dulo entonces son perpendiculares.

, Solución

Sean: v¡=X¡;+y¡)

Ivz=xzI+yz) I

V¡ +Vz =(x¡ +xz)~+(y¡ + Yz)~V¡ - Vz =(x¡ - xz) I + (y¡ - yz) J

v¡ y Vz son perpendiculares.

Problema 11-15. Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ, y perpendicular al vectorv =21 + j - 3k.

SoluciónSea: u = ux' +Uy}+ uzk el vector buscado.

Por ser paralelo a OYZ, se tiene Ux= O, es decir:

y por ser perpendicular a v:

El vedar u es unitario, luego:

u' v=O ~ Uy- 3uz=O

u; + u;=1

(a)

(b)

Resolviendo (a) y (b) se obtienen como solución los vectores:

- .J1O (3) + k)u¡- 10

Problema 11-16. Dado el vector v =41 - j + 2k, calcular su proyección sobre la recta que pasapor los puntos A (O,1,2) y B (2,2,1).

Solución

Si llamamos u a un vector unitario en la dirección determinada por AB, la proyección pedida será el valorabsoluto del producto v. u. Calculamos u:

AB - 2; + j - k =-.!.. (21 + ) - k)u = AB - .J4+ 1 + 1 .J6

y la proyección buscada es: v.u - 1 I-.J6 4x2+(-1)1+2(-1)I= 5.J66

Problema 11-17. Se tienen los vectores v¡ =21 - 2j + k y Vz=1- 2j. Calcularlas componentesdel vedar unitario u, perteneciente al plano determinado por v¡ y Vz y perpendicular al vectorv =v¡ -2vz.

Solución

El vedar buscado tiene por componentes: ux. Uy. uzo Por pertenecer al plano de v¡ y Vz verifica:

u = (2a + {J) 1- (2a + 2{J)j + ak (a)

(b)por ser perpendicular a v = v¡ - 2vz =2) + k: u' v=O

y por ser unitario: (e)

Sustituyendo (a) en (b) y (e): 2(-2a-2{J)+a=0

I(2a + {J)z + (-2a - 2{J)z + aZ =1

que corresponden a dos soluciones para u:)- 1

U¡- 3./5 (51-2)+4k)

Problema 11-18. Demostrar que las alturas de un triángulo se cortan en un punto.

Solución1.er MÉTODO:

Hay que demostrarque oe es perpendiculara ABo sea que OC' AB =O. Teniendo en cuenta quedos de las alturas se cortan en O.

CA=OA-OC

AB=OB-OA

BC=OC-OB

(1)

(2)

(3)

..

ÁLGEBRA VECTORIAL 33

..

de (3):

de (1):

34 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

C

Q

Problema II-18-1a.

y

A (0,0)

x-P (X3' O) B (X2' O)

Problema Il-18-2a.

de (2):

BC . OA =O=OC .OA - OB .OA

CA. OB=O=OA. OB-OC. OB

OC . OA - OB . OA + OA . OB - OC . OB = O =:}

OA-OB=-AB

OC. (OA-OB)=O

OC. (-AB) =0 OC.AB=O c.q.d.2.° MÉTODO:

Tomamos como hipótesis que la alturas AP y CQ (figura P) se cortan en O. Si demostramos queOB .AC =O tendremos demostrado lo que queremos; en efecto:

y como:

OB .AC= (AB-AO). (AO + OC) =AB .AO+AB. OC-A02-AO. OC

AB. AO =AO proYAOAB=AO xAP=AO (AO + OP)

AB . OC =O (por hipótesis)

Sustituyendo:

AO. OC =AO proYAOOC =AO x OP

OB. AC=AO (AO+OP) -A02 -AOxOP=O c.q.d.

3.er MÉTODO:

Supongamos que las alturas que parten de B y C se cortan en O (x, y); tendremos que demostrar queBC es perpendicular a AO, o lo que es lo mismo BC. AO =O; en efecto:

En la figura 2a se ve que: y

y también:

BC=(X3-X2)I+Y31

X3AO=x3'+(x2 -x3)-1

Y3

luego: c.q.d.

Problema 11-19. Dados dos vectores a (2, 1, -3) Y b (1, O,-2) hállese un vedar unitario quesea perpendicular a ambos.

Solución

Al ser a x b un vector perpendicular a ambos, el vector que nos piden tendrá la misma dirección queaxb:

1

axb=121

k

-31 = - 21+ 1 - k-2

11O

el vector unitario es: u - ax b - -21+1- k - - ~ 1+ .l.- - .l.- k¡-Iaxb'- .J4+1+1 -..[6 ..[61..[6

o su opuesto:

Problema 11-20. Dados los siguientes vectores:

1a =-(21 +3) + 6k)

7e =.!(61 + 2} -3k)

7

demuéstrese:1. Que sus respectivosmódulosvalen la unidad.2. Que son perpendicularesentre sí.3. Que e es el producto vedarial de a por b.

Solución

I(f)\(~)\(~r=1

(~)\(f)\(-~r=1

2) Será verdad si:

En efecto:

a. b=O c. a=Ob. c=O

Problema 11-21. Dados los vectores a (1,3, -2) Y b (1, -1, O). Calcular:

1. Su producto vedoria!.2. El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.3. Un vedar e, de módulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b.

Solución

1)

2) IA=laxbl=.J4+4+16 =.JN = 2../6 I

a x b -21 - 2} - 4k 17 I

(17 17 17

)I3) c=6Iaxb,=6 2../6 ",,6(-I-}-2k) ::} c= -",,6, -",,6, -2,,6

o su opuesto.

Problema 11-22. Los tres vértices de un triángulo son:Calcular:

1. Área del triángulo.

2. ÁnguloA.

A (2, 1,3), B (2, -1,1) Y C (O,-2,1).

Solución

AB=B-A= -2}-2k

IAC=C-A =-21-3} -2k

1

ABxAC=1 O-2

k

-21=-21+4}-4k-2

}-2-3

IAB x ACI = .J4 + 16 + 16 = J36 = 6 s =.! IABx ACI =3 unidades cuadradas2

AB.AC2) AB. AC =IABIIACIcos A ::} cos A = IABIIACI

AB. AC = O(-2) + (-2) (-3) + (-2) (-2) =10 IIABI = .J4+4 =2 J2

IACI=.J4+9+4=m

10cos A = 2.J34 I A=30° 57' 49" I

Problema 11-23. Tresvérticesde un paralelográmoABCD tienen por coordenadas: A (2, 0,2),B(3,2, O) Y D (1,2, -1). Calcular:1. las coordenadasdel vérticeC.2. Áreadelparalelogramo.3. Ánguloen B.

Solución1) AB =B - A = 1 + 2} - 2k

AD =D - A =- 1 + 2} - 3k

AC =C - A =AB + AD = 4 j - 5k

x-2=0 ::} x=2

y-0=4 ::} y=4z - 2 = -5 ::} z =-3

le (2,4,-3) I

1

2) ABXAD=ll

-1

k

-21 = -21 + 5} + 4k-3

}22

s = IAB x AD I= .J4 + 25 + 16 =.J45 = 3 -15 unidades cuadradas

3) AB'AD= 1(-1)+ 2 x 2+(-2)(-3)= 9

ÁLGEBRAVECTORIAL 35

e (O,-2, 1)

".4(2,1,3)

Problema 11-22.

A(2,0,2)

Problema 11-23.

/

I

1 } k

axb= 1 3 -2 =-21- 2} - 4k1 -1 O

36

AB.AD 3

cosA IABIIADI =.JI4

CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

-+e

Problema 11-25-1a.

D

E

Problema 11-25-2a.

y

o U2x

Problema 11-26.

A =36° 41' 57" =>=>

.Problema 11-24. Si el producto vectorial de dos vectores es a x b =31 - 6j + 2k y sus módulos

son 4 y .fj , respectivamente, calcular su producto escalar.

Solución

laxbllaxbl=absen<p => sen<p=- ab

laxbl=J49=7 ab=4.fj

=>

Problema 11-25. 1. Deducir el teorema del coseno para un triángulo utilizando el productoescalar.

2. Dedudir el teorema de los senos para un triángulo utilizandoel producto vectorial.

Solución

1) En la figura1a: a =b + e, multiplicándola escalarmente por sí misma:

a . a = (b + e) . (b + e) =>

y como: b. e = be cos (.n - a) = -be cos a =>

NOTA.- Si a = 90° (triángulo rectángulo): (TEOREMA DE PITÁGORAS)

2) 1.e, MÉTODO:

El módulo del producto vectorial de los vectores v y v' es el área del paralelogramo que tiene v yv' como lados. Las áreas de los paralelogramos ACBE y ABFC son iguales (igual base y altura)con lo que:

laxbl=lbxcla e---

sen Asen C (1)ab sen C =be sen A=> =>

también las áreas de los paralelogramos ABCD y ABFC son iguales, luego:

a b--sen Asen B

laxcl=lbxcl ae sen B = be sen A (2)=> =>

igualando (1) y (2) nos queda:a b e

sen A = sen B = sen C

2° MÉTODO:

Los módulos de los productos vectoriales de dos cualesquiera de los lados son iguales, pues repre-sentan el doble del área del triángulo:

laxbl =Ibxcl =Icxal => ab sen C = bc sen A = ea sen B

dividiendo por abc:ab sen C-

abe=> a b e

sen A = sen B = sen ebc sen A

abcea sen B--

abc

Problema 11-26. Definido un sistema de referencia cartesiano en el plano: OXY; y en él dos vec-tores unitarios cualesquiera u¡ y U2que forman los ángulos a y 13respectivamente con la dirección

positiva del eje Ox. /1. Demostrar que: u¡ =cos a 1+ sen a j t\ U2 =cos 13 i + sen 13 j

2. Calcular, por aplicación del producto escalar de u¡ y U2,la expresión de cos (a -13).3. Calcular, por aplicación del producto vectorial de U¡y U2,la expresión de sen (a -13).

Solución

1) "1 =Ul cos a i + Ul sen a j =cos a i + sen a j

"2 = U2 cos {3 i + U2 sen {3 j = cos {3 i + sen {3j

x 2) "1'"2 =UIU2 cos(a - 13)= cos (a - {3)

I"¡'"2 =cos a cos {3+sen asen {3=>

I cos (a - {3)=cos a cos 13 + sen asen {3 I

3) I"z x "11 =UIUZsen (a - 13)= sen (a - 13)

,

1

U2XU¡=lcosf3cosa

j

sen f3sena

k

O I =(sena cos f3- cosasen f3)kO

',-

luego:I sen (a - f3) =sen a cos f3 - cos asen f31

NOTA.- Para calcular el cos (a + f3) y sen (a + f3), sustituir f3 por -{J; es decir:

cos (a + f3) = cos la - (-{J)] = cos a cos (-{J) + sen asen (-{J) = cos a cos f3 - sen asen f3

sen (a + f3) =sen [a - (-{J)]= sen a cos (-{J) - cos asen (-{J) =sen a cos f3 + cos asen f3

Problema 11-27.Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo que O (1, 0,2),A (3,2,4), B (2, 6, 8) Y e (2, -3,1), expresadasen metros.

Solución

a =OA =A - O =21 + 2j + 2k

b =OB =B - O = 1 + 6j + 6k

e =oe =e - O = 1 - 3j - k

Problema 11-28. Dados dos vectores1. (a+ b) . e3. (a x b) . e (productomixto)=abe5. (ax b) x e (doble producto vectorial).

a (2, -1, O), b (3, -2,1) Y e (O,-2,1). Calcular:2. (a-b) x e4. (a' b) e

Solución

1) a + b =51 - 3j + k1 (a + b). e =5 x O + (-3) (-2) + 1 x 1 =71

2) a - b =-1 + j - k

3) (axb)=123

j-1

-2

k

O 1=-1-2j-k1

I (axb)'e=(-1)O+(-2)(-2) +(-1)1=31

o también:

4) a'b=2x3+(-1)(-2)+Oxl=8I (a.b) e=8e=-16j+8k I

5) Teniendo en cuenta 3):

Problema 11-29.cular:

1. (a. b) (e . d)3. (a. b) (e x d)

Dados dos vectores a (1, O,-1), b (1,3, O), e (2, -1,1) Y d (O,-2, -1). Cal-

2. (a x b) . (e x d)4. (a x b) x (e x d)

Solución1) a. b =1 x 1 + Ox 3 + (-1) 0=1

Ie. d =2 x O + (-1)(-2) + 1 (-1) =1 I (a. b) (e. d) =11

1

2) (axb)=111

1

(exd)=12O

k

-1 1=31- j + 3kO

k

11=31+2j-4k-1

jO

3

j-1

-2

I (a x b). (e x d) =3x 3+(-1)2+3(-4)=-51

ÁLGEBRA VECTORIAL 37

....a

....b

Problema 11-27.

ax ay az 2 2 2

V = a . (b x e) = bx by bz = 1 6 6 =20m3

Cx Cy Cz 1 -3 -1

1 j k

(a-b)xe= -1 1 -1 =-1+ j+ 2kO -2 1

2 -1 O(a x b). e = 3 -2 1 =3

O -2 1

1 J k

(a x b) x e = -1 -2 -1 =-41 + j + 2k1 3 O

r

38

3) a. b =1Ie x d =31 + 2} - 4k

CÁLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

I (a. b)(e x d) =31 + 2} - 4k I

4)

Problema 11-30. Demuéstrese que si 0+ b + e = O, se verificaque o x b = b x e = e x a.

Solución

a+b+e=Ol

b x e =b x [- (a + b)] =(a + b) x b =a x b + b x b =a x b

c x a =[-(a +b)]x a =a x(a +b)=a xa+ a xb =a x b

Problema 11-31. Demostrar la identidad de Lagrange: (a x b)2 + (o . b¡2 = a2b2, siendo:(o x b)2= (o x b) . (a x b) y (o. b)2 =(o . b) (a. b).

Solución1.er MÉTODO:

Calculemos: (a x b) . (e x d) (Producto escalar de cuatro vectores)Uamando m =e x d y empleando las propiedades del producto mixto y del doble producto vedo-rial:

(a xb). (e x d)=m.(a x b)= a. (b x m)= a .[b x (e x d)]=

= a. [(b. d) c - (b . e) d] = (a . e) (b. d) - (a. d) (b. c)

Si se hace e =a y d =b se obtiene:

2.° MÉTODO:

a .b =ab cos tp

y como: (a x b)2 = (a x b) . (a x b) =(la x bi)2

ya que el producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo; obtenemos:

3.er MÉTODO:

(a x b)2 = (a x b) . (a x b) = (ab sen rp)2=a2b2 sen2 rp

(a. b)2 = (a . b) (a. b) = (ab cos rp)2 = a2b2 co~ rp

sumando:

Problema 11-32. Demostrar que el producto vectorial de cuatro vectores verifica:

(a x b) x (e x d) =(abd) e - (abe) d

SoluciónUamand~: m =a x b, tendremos:

(a x b) x (e x d) =m x (e x d)= (m. d)c - (m. e) d = [(ax b). d] e -[(a x b). c] d =(abd) e -(abe)d

B) TEORíA DE MOMENTOS

FORMULARIO

.

..

..

..~~(8

\,\

Momento de un vector con respecto a un punto: Es un vector:

v(vx, Vy, vz)P(x, y, z)

O(xo,Yo,zo)

N = r x v = OP x v = (P - O) x v

Momento de un vector con respecto a un eje: Es un escalar

Ne = prOYe(r x v) Momento de un vector respecto deun punto.

1 } k

(a x b) x (e x d) = 3 -1 3 =-21 + 21} + 9k

3 2 -4

j k

=} N = r x v = Ix - Xo y- Yo z - Zo

Vx Vy Vz

(, vector de posición de v respecto a cualquier punto del eje).

Si cos a, cos p, cos y son los cosenos directores del eje, entonces:

Resultante de un sistema de vectores deslizantes. Momento resultante del sis-tema:

R= f VI1= 1

n

N = L 'i x VI1=1

Cambio de centro de reducción (de O a O'): N'=N+O'OxR

Eje central: «Es el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales el momentodel sistema es mínimo, o lo que es lo mismo, el momento del sistema tiene la misma direc-ción que R».

TEORÍA DE MOMENTOS 39

Ne = proYe(1 x v)

-+ -+r, v e1C

Momento de un vector respecto deun eje.

Nx + Ryz - RzY - Ny + Rzx - Rxz = Nz + RxY - RyxRx Ry Rz

Torsor: Se define así al conjunto de vectores (R, NR) en el que R es la resultante del sistema de vectores y NR el momento mí-nimo (que como ya hemos dicho tiene la dirección de R) cuyo valor es:

Su ecuación es:

Sistemas de vectores ligados y paralelos: Supongamos n vectores aplicados VI' V2, .oo,Vn, todos ellos paralelos y cuyospuntos de aplicación vienen definidos por '1 (Xl' Yl' Zl)' r2(x2' Y2,Z2), ..., 'n (Xn,Yn,Zn). Si R es la resultante de todos ellos y Nel momento resultante, éstos serán siempre perpendiculares, y su torsor se reducirá a R.

Si llamamosu al vector unitario que tiene la direcciónde los vectores, tendremos: VI= vlu, siendo VIun número real, cuyovalor absoluto es igual al módulo del vedar VI' con signo positivo o negativo, según que el sentido del vedar VI sea el mismo oel contrario al del vedar unitario u. Obsérvese que en estas condiciones el módulo del vector resultante R será: R = k VI.

Si consideramos al sistema de vectores paralelos al eje 02, la ecuación del eje central es:

Coordenadas del centro del sistema de vectores ligados y paralelos:

LVIYi1] =--¡¡-

Problema 11.33. El origen de un vector es el punto A (3, -1,2) Ysu extremo B (1,2, 1); cal-cularsu momentorespectoa e (1,l, 2).

Solución

v=AB=B-A=-2i+3j-kIr=CA=A-C= 2i-2j

=>

Problema 11.34. Dados los vectores VI (-2,3,1) Y V2(-1, 3,2) ambos aplicados en el puntop (2, 3, 2), calcular el momento del sistema respecto del punto A (-1, 0,2) Y compruébese quela SUmade los dos momentos es igual al momento de la resultante respecto de A aplicada en P.

Solución

r=AP=P-A=3i+3j

Problema 11-33.

¡'tt<-..",

i'r...

~

E.U. POUTÉCI'JIC,!\

cosa cos p cosy

Ne =1 x-xo Y- Yo z -Zo

Vx Vy Vz

i j kN=rxv= 2 -2 O =2i + 2j + 2k

-2 3 -1

i J k i J k

N =N ¡ + N 2 =r x v¡ + r x v2 = 3 3 O + 3 3 O =9i-9J+27k-2 3 1 -1 3 2

40 CÁLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REfERENCIA

-

Siendo la resultante: R = v¡ + V2 =-3; + 6J + 3k

Problema 11-35. Hallar el valor de la expresión: a x Nc siendo: a (2, -1, 2), b (1, -2, 1) YNcel momento del vector b aplicando en el punto B (2,3,1) con respecto al punto e (1, 1, 1).

Soluciónle'. MÉTODO: r = CB = B - C = i + 2J

Nc=rxb=111

J2

-2

k

O 1=2i - ) - 4k1

2.° MÉTODO:

Por la propiedad del doble producto vedorial:

a x Nc =a x (r x b) =r (a " b) - b (a . r)

a (2, -1,2)

b (1, -2, 1)

r(l,2, O) l

a' b =2 xl + (-1)(-2) +2 x 1=6a"r =2x 1+(-1)2+ 2x 0= O

Sustituyendo: IaxNc =(;+2)) 6-(i-2J+k)0=6i+12) I

Problema 11-36. Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionales a 1, 5 y a, ysus componentes lo son al, a y p. Además, sus momentos respecto de los ejes de coordenadas,son proporcionalesa 1, 2 Y3. Calcularlos valores de a y p.

Solución

Sea v = (x, y, z) el vedor y A (a, b, c) su origen. Las coordenadas del origen verifican:

I

b= 5ac=aa (a)=>

Por otro lado, sus componentes cumplen: ~-~-~1-a-{3 I

y=ax

z = {3x (b)=>

Calculamos el momento del vedor v respecto del origen de coordenadas:

N=I aJb

Y

k

e 1= (bz - cy); + (ex - az)) + (ay - bx) kx z

con lo que: bz - cy - ex - az - ay - bx--y- - z- --:3 (c)

1

2bz - 2cy = ex - az

3bz - 3cy =ay - bx=>

sustituyendo (a) y (b) en (c), obtenemos:

10a{3x - 2a2ax =aax - a{3x

I15af3x - 3a2ax =aax - 5ax /

1l{3 - 2a2 - a =O

15{3 - 3a2 - a + 5 = O

que resuelto da las dos parejas de valores:

y

Problema 11-37. Dado el vector v (3, -6, 8) cuyo origen es el punto P (2, 1, -2); calcular sumomento respecto al eje:

fI

~:.i

i J kN=rxR= 3 3 O = 9; - 9J + 27k

-3 6 3

; J k

a x Nc = 2 -1 2 =6;+12)2 -1 -4

Solución

La dirección de una recta en el espacio viene determinada por sus cosenos directores (cos a, cos 13,cos y)que son las componentes coordenadas del vector unitario e que perteneciendo al eje nos define su direc-ción. Si el eje pasa por un punto O (xo, Yo,zo) Ysu dirección viene definida por e su ecuación será:

x - Xo- y - Yo- z - Zocosa - cosf3 - cosy

La ecuación de la recta dada es de la forma:x - Xo - y - Yo- z - Zo~ ¡;--~

cos a C-:JSf3 COSy JcOS2 a + COS213+ COS2y 1

---;¡-=---¡;-=~ = ~a2 + b2 + C2 =~a2 + b2 + C2

luego en nuestro problema:2

cosa=-:¡3

cosf3=-:¡

Como el punto 0(2,5,3) pertenece al eje, entonces:

Problema 11-38. Calcular el momento del vedar v (1, -3, 2) de origen P (1, 1, O) respecto aleje que pasa por los puntos A (1, O, -1), y B (2, 1, 1).

Solución

La ecuación del eje es:x-1 y-O z+l

e: 2-1 = 1-0 = 1+1luego:

cosa cosf3- cosy - 11=-¡---Y- J6

1cosa =J6

1cos 13=J6

2cosy= J6

Problema 11-39. De un sistema de vectores sabemos que su resultante es RI =21+ j + 3k y queelmomentorespectodel origen tiene por módulo 2..f6 y es paralelo al vedar d =21+J - k. Alañadir un nuevo vedar v, el sistema se reduce a su resultante que tiene como recta soporte el ejeOl. Obtener las componentes de v y su recta soporte.

SoluciónEl momento del sistema original es:

(d d d

) 17

(2. 1 1

)NI =N¡ d l+iJ+ dk =2'16 J6 r+ J6 J- J6 k =41+2J-2k

La nueva resultante será de la forma: R = ak, por tener como recta soporte al eje OZ, y verificará:

R = R¡ + v =} v = ak - 21- J - 3k = -21 - j + (a - 3) k

Si llamamos (x, y, z) a las coordenadas de un punto de la recta soporte de 11,por ser el momento totalnulo, tendremos:

N=N¡+Nu=41+2J-2k+1 x-2

j

y-1

k y(a - 3)+z + 4=0-2z + x (3 - a)+ 2 = O2y- x - 2 =O

za- 3

=0

despejando x en la tercera y sustituyendo en las otras dos, se obtiene:

y (a - 3) + z + 4 = O

I-2z + (3- a)(2y- 2)+ 2= O

ay - 3y + z + 4 = O

I2ay - 6y + 2z + 4 - 2a =Oa=-2

TEORÍA DE MOMENTOS 41

2 3 6cosa cos 13 cosy 7 7 7 97N = x-xo y- Yo Z-Zo = O -4 -5 - 7e

IIx IIv IIz 3 -6 8

1 1 2J6 J6 J6 4N = 1-1 1-0 0-(-1) =J6e

1 -3 2

I v =-2' - j - 5k I

~~~~titi.~~(!

f!!

..

..

..e"(!!!f!I!!..~;1.......f!...;!!!.;!!!ti!....fJ!f!~"....~e"

.-

..f#fIJf#f#e-...'"tif'f1

'

L~I .

¡ ~

42 CÁLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

P (3, -6, 2)

Problema 11-40.

..

Con este valor de a el sistema se soluciona para cualquier y, en particular para y = O, resultando x = -2,z = -4. Con todo ello, la recta soporte de v, paralela a v y que pasa por el punto (-2, O,-4), es:

I~=L=~I-2 -1 -5

Problema 11-40. El punto de aplicacióndel vector v (6, -3, 4)sistema OXYZ. Calcúlese:

1. Momentodel vector respecto al origen O.2. Momento del vector respectoal punto O' (2,3,1).

es el P (3, -6, 2) referidosa un

Solución

1) r=OP=3.-6j+2k

2) 1"'. MÉTODO: N'=N+O'OxR

0'0=0-0'=-2'- 3)-k

IR=v

.

0'OxR=I-26

k

-11=-lSI+2)+24k4

)-3-3

luego:I N'=-33'+2) +Slk I

2. o MÉTODO:

r'=r-OO' r' = . - 9) + k

Problema 11-41. Dados los vectores deslizantes: VI (3,2, -3) Y V2 (6, -3, 2)puntos P1(2, -6, 4) Y P2(4, -1, -1), respectivamente,calcúlese:1. La resultantedel sistema de los dos vectores.

2. El momento resultantecon respecto al origen.3. Elmomento resultantereferidoal punto O' (2,-1, 5).

que pasan por los

Solución

1) IR =VI + V2 =9. -) - k I

2) r¡ =2. - 6) + 4k

I

. =>r2= 4, - ) - k

3) N'=N+O'OxR0'0= O -O' =-21 +) - Sk

1 J k

0'OxR=I-2 1 -SI=-61-47)-7k9 -1 -1

I N'=-I-43) +9k I

Problema 11-42. Dado el sistemade vectores: V¡ (3, -6, 2) de origen P1 (1,3, -2), V2(2,4, -6)de origen P2 (3, -2,1) y V3(1, -1,1) de origen P3 (1, 3, O), encontrar la ecuación el eje centraly el momento mínimo.

Solución

El vector resultante será:

El momento resultante respecto del origen de coordenadas será:

. j kN=rxv= 3 -6 2 = -18' + 27k

6 -3 4

. ) kN' = r' x v = 1 -9 1 = -33' + 2) +Slk

6 -3 4

. ) k . ) k

N =rl x vI + r2 x V2 = 2 -6 4 + 4 -1 -1 =S. + 4) + 16k

3 2 -3 6 -3 2

sustituyendo en la ecuación del eje central nos quedará:

15 - 3~ + 3y - 11- :;- 6z -3 +~ + 3x I

N.R RNR= R2 I

N, R =5 x 6 + 11 (-3)+(-3)(-3)= 6

1R2 =36+9+9=54

Problema 11-43. Dado el sistema de vectores deslizantes:

v¡ (1,2, O) que pasa por el punto p¡ (1,1,1)

V2(-1, -1, 1) que pasa por el punto P2 (2,2,2)

V3(O,1, 1) que pasa por el punto P3 (O,1,2)

V4 (2,2,2) que pasa por el punto P4 (1, O, 1)

calcular el torsor del sistema.Solución

El vedor resultante del sistema es:

Calculemos el momento resultante del sistema respecto del origen de coordenadas:

corno:

N. R= 2(-1)+4(-3)+ 4 x 3= -2

1R2 = 4 + 16 + 16 = 36

I NR = N.R R=-J R=-l:.,-~)-~k IR2 18 9 9 9

Problema 11-44. Sobre tres aristas de un cubo de lado a se consideran los tres vectores de la fi-gura. Calcular:

1. La resultante general.2. El momento del sistema respecto al origen.3. La ecuación del eje central.

Los tres vectores considerados son:

Solución

v¡ (a, O, O) de origen: p¡ (O, 0, a)

V2 (O, a, O) de origen: P2 (a, O, O)

V3 (O, O, a) de origen: P3 (O, a, O)

1) La resultante general es: R = v¡ + V2 + V3

2) Momento resultante respecto a O:

IR = a (i + j + k) I

N=N¡+N2+N3=10a

)O

O

k )a

~H~

kO

jO

I N =a2 (i + j + k) I

al+la

O o Oa a

TEORÍA DE MOMENTOS 43

)

z

o

¡II

9L-----------.......

ay

x

Problema 11-44.

1 j k

r¡ x V¡ = 11 3 -21=-61- 8j-15k

3 -6 2

1 j k

r2 x V2 = I3 -2 11= 81+20)+16k I=> N =51+11) - 3k

2 4 -6

1 j k

r3 x V3= /13 O I= 31- )- 4k

1 -1 1

1 j k 1 j k

N¡ =11 1 1 = -21 + ) + k N2= 2 2 21 = 41- 4)1 2 O -1 -1 1

1 )

; 1=-; N4 =1

) k

N3=10 1 O 11=-2i+2kO 1 2 2

44 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

3) Calculemos el momento respecto de un punto P (x, y, z):

1 k

a 1=a [(a+ z - y)i + (a + x - z)J + (a+ y - x)k]z

N' = N + R x OP = a2 (i + 1 + k) + I a ax y

Si P pertenece al eje central se verifica que N' es palelo a R; la condición de paralelismo nos da laecuación del eje central:

a+z-y=a+x-z=a+y-x IZ-y=x-z=y-Xl=>

Problema 11-45. Dos sistemas de vectores tienen resultantes generales Rj =10; y R2 =6; + 8);

los respectivos momentos mínimos tienen por módulos 15 y 25. Calcular:1. El eje central del sistema total.2. El momento mínimo resultante.

1) La resultantegenerales:

Solución

R =R¡ + R2 = 16i + 81

Si N¡ es paralelo a R¡, entonces NJ = 15i

Si N2 es paralelo a Rz' cuyos cosenos directores son:

6 -~cos a =162 + 82 - 5

8 4cosp= 10=5

=> N2 =~25i + i251= 15i + 20j2 5

Con todo ello: N=N¡ +Nz=30i+20j

Sustituyendo en la expresión del eje central:

N x + Ryz - Rzy

Rx

Ny -Rzx-Rxz = Nz +Rxy-RyxRy Rz

Ix =2y I14z =11

=>

2) El momento mínimo es:

N. R (30i + 20j). (16i + 8]) (16i + 8])NR=¡:¡rR 162+82

=>I N R =32i + 16] 1

Problema 11-46. Dados los vectores deslizantes Vj (a, 1, O), V2(1, 1, 1) Y V3(O,-1, 2), cuyas

rectas soporte pasan, respectivamente, por los puntos Pj (1,2,1), P2 (1, 1, 2) y P3 (1, 1, 1); cal-cular el valor de a tal que el sistema se reduzca solamente a su resultante, y encontrar la ecuacióndel eje central.

La resultante general es:

Solución

R =V¡ + Vz + V3=(a + 1) i +j + 3k

y el momento resultante respecto del origen:

N=11121 ~H:

k

~I+I~

k

1 I =i + (a - 1)J - 2ak2

j1

1

11

-1a

Si el sistema ha de ser reducible a un vector, el momento resultante será perpendicular a R, y el momentomínimo será nulo, es decir:

N.R=O (a + 1)+ 1(a -1)+3(-2a)= O =>=>

Para obtener la ecuación del eje central, supongamos que P (x, y, z) es uno de sus puntos. El momentoN' respecto de P es nulo: N' = N + R x OP, y como: N = i - j y R = i + j + 3k, obtenemos:

N' = i - j + 11x

j1

Y

k

31 = (1 + z - 3y) i + (-1 + 3x - z) j + (y - x) k = O

z

de donde: 1 + z - 3y = O

-1+3x-z=O

y-x=O

=> que es la ecuación del eje central.

Problema 11-47. Se tiene un sistema de tres vectores paralelos, Vj (2,1, -1), V2(8,4, -4) y

V3(-4, -2, 2), aplicados en los puntos Pj (0,1,2), P2 (1, -1, O) y P3 (2,2, O), respectivamente.

r:;e

..~f5'-~f5!!.,..~f5!(I;!~~11f1rJt!J.,~e-.,"~f!1~e!~

1. HaUarsu centro.2. Obtenerla ecuacióndel eje central del sistema.

Solución

1) Las coordenadas del centro (C) se obtienen de:LV,y,

1]= ¡¡--

(.CÁLCUW INFINITESIMAL VECTORIAL 45

{;=LV,Z,R

2) Si los vectores son paralelos el eje central pasa por el centro y es paralelo a la resultante, luego suecuación es:

dv

dt

siendo:

R=LV,=61+3j-3k => R=..j36+9+9=3.../6 V¡= .../6

dvzdt

Consecuencia: La condición que cumple un vector de dirección constante es también que:dvvx-=Odt

En efecto:si v = vu tendremos que:dv dv-=-udt dt

=> dv dv dvvx-=vu x-u=v-(u xu)=O

dt dt dt c.q.d.

Integración: 1=fbV(t)dt= lím L v(t) ~ta M~O i

obtenemos 5=.../6xO+4.../6 xl-2.../6 x2 -o3.../6

.../6x 1+ 4.../6(-l)- 2.../6x 2 71]= 3.../6 --3

{; /6 x2+4.../6 x 0-2.../6 xO -~- 3.../6 3

=> C(O,_?.. ~)3' 3

en función de sus componentes coordenadas:

=>

C) CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL

FORMUlARIO

Derivada de un vector respecto a un escalar: 1, ~v 1, v(t + M) - v(t)1m -= 1ml>I->OM ó/->O M

las componentes coordenadas de dv/dt serán:

Propiedades:

a) Si v =v (s) y s =s (t) obtenemos que:dv dv dsdi= ds di

b) Si v (t) =a (t)+ b (t) tendremos:dv da db-=-+-dt dt dt

c) Si a (t)=f(t) b (t) tendremos:

d) Derivada del producto escalar:d(aob)

dt

db daa.-+-ob

dt dt

e) Derivada del producto vedor:d(axb)

dtdb da

ax-+-xbdt dt

¡~,

46 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

Problema 11.48. Demostrar aplicando el concepto de límite de un vector las fórmulas:

d(a.b)dt

db dba.-+-.bdt dt

d(axb)dt

db daax-+-xb

dt dt

Solución

Tendremos en cuenta que la derivada de una función y=f (x) con respecto a la variable es por defi.nición:

dy = lím Lly = lím f(x+ Llx)- f(x)dx ""-+OLlx ""-+0 Llx

y que la derivada de un vector v =v (t) con respecto a la variable escalar t es por definición:

dv = lím Llv = lím v(t + Llt)- v(t)dt i>t-+OM i>t-+O Llt

Supongamos que a = a (t) y b = b (t). Si llamamosp al escalar a' b:

dp =d (a. b) = lím Llp = lím a(t + Llt). b(t + Llt)- a(t). b(t)dt dt dI -+o Llt i>t-+o Llt

Sumando y restando al numerador a (t + Llt) .b (t) nos queda:

1, a(t + Llt). b(t + Llt)- a(t + M' b(t) + a(t + M' b(t) - a(t). b(t)1mi>t-+o Llt

= lím a(t+M).b(t+M-b(t)+ lím a(t+M)-a(t).b(t)i>t-+O Llt i>t-+O Llt

Al tender M ~ O la función a(t + M) tenderá a a(t) luego: d (a .b) =a . db + da . bdt dt dt

El cálculo para el producto vectorial es el mismo sin más que sustituir el . por x.

Problema 11-49. Dado el vector: a =A (cosmt 1+ sen mtj)variable escalar independiente, se pide:1. Hallar su módulo y la derivada de éste.2. da/dt y Ida/dt I3. Demostrar que a y da/dt son perpendiculares.

Solución

donde A Ym son constantes y t es la

Siendo el módulo del vedor a constante, la derivada del módulo será nula.

2) da =A (-w sen wt i + w cos wt J) =Aw (-sen wt i + cos wt J)dt

I ~: I =~A2w2 sen2 wt + A2w2 COS2wt =Aw

a .da = Odt3) Serán perpendiculares si:

en efecto: a' da =_A2W sen wt cos wt + A2w sen wt cos wt =Odt

lo cual tenía que ocurrir, puesto que «todo vedor de módulo constante es siempre perpendicular a suvedor derivada».

Problema 11-50. Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que:1. Si v es constante en dirección,entonces v x dv/dt = O.2. Si v es constante en módulo, entonces v' dv/dt = O.

Solución

En general: v=vudv d (vu) du dv-=-=v-+-udt dt dt dtv

u=-v

=>

1) Si v es constante en dirección u no varía:dv dv-=-udt dt

=>

luego la derivada del vedor v es un vedor en la dirección de v en consecuencia:

cÁLcuLO INFINITESIMAL VECTORIAL 47

2) Si v constanteen módulo ,/ también lo será, luego:

0= d (U2) = d (v . v) = v' dv + dv . v =2v . dvdt dt dt dt dt

=>

Problema 11-51. Dados los vectores: a (2t, sen t, O), b (0,2 cos t, t2). Calcular:

1. d(a+b)dt

4. dlaxbldt

2 d(a.b). dt

5. !!...(

da. b)dt dt

3. d(axb)dt

6. !!...(

a X'b

)dt a.b

Solución

1) a + b =2tl + (sen t + 2 cos t) j + t2k d(a+b) =2i+(cost-2sent)j+2tkdt=>

2) a' b = 2 sen t cos t = sen 2t d(a.b) =2cos2tdt

=>

i

3) axb=12tO

k

O I =t2 sen t i - 2t3j + 4t cos t kt2

jsen t

2cost

d (a x b) =(2t sen t + t2 cos t) i - 6t2 j + (4 cos t - 4t sen t) kdt

dlaxbldt

4t3 sen2t + 2t4 sen t cos t + 24tS +32t cos2t - 32t2 cos t sen t

2 ~t4 sen2t + 4t6 + 16t2 cos2t

12t4 + 2e sen2t + 16 cos2t + t (~t2 - 8)sen 2t

~t2 sen2t+4t4 +16cos2t

da5) -=2i+costjdt

da. b = 2 COS2tdt

=> d

(da

)- -.b =-4costsent=-2sen2tdt dt

6) axb = t2 sent i-~j+ 4tcost k=~i-~j+~ka .b sen 2t sen 2t sen 2t 2 cos t sen 2t sen t

d

(a x b

)dt a.b 4t cos t + 2t2 sen t i - 6t2 sen 2t - 4t3 cos2t j + 2 sen t - 2t cos t k4 cos2t sen22t sen2t

Problema 11-52. Dados los vectores: a (t2,t, 1), Y b (1, t, t + 1). Calcular:

1. f(a+b)dt 2. f(a'b)dt 3. f(aXb)dt

Solución

1) a + b =(t2 + 1) f + 2t} + (t + 2) k

=>

i

3) a x b = It2

1

k

1

t+1

jt

t

-

48 CÁLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

Problema 11-53. Dado el escalar (función de punto): a =X2yZ + 3X2Z - y; calcular la integralde línea:

fcadr

a lo largo de la curva y = X2, Z= 2, cuando se pasa desde el punto A (1, 1,2) al B (2,4,2).

(dr = dx i + dy j + dz k)

Solución

como:

i 14

1

4'

1

2

[

2 3 5 2

]

4 159ady = (X2yz+ 3X2z - y)dy = (2y2 + 6y - y)dy = (2y2 + 5y)dy = ...L..+...L.. =-

c 1 1 1 3 2 1 2

r d =361 i159

jJca r 15 + 2por tanto:

Problema 11-54. Dado el vector (Vector campo): v =(x + y)2 i + xyj; calcular la integral (circu-lación):

(dr =dx i + dy j)

a lo largo de la recta y =x + 1 desde el punto A (0,1) al B (1,2).

Solución

como:

1 1

1

1

1

1

1

[

4X3

]

1 13vxdx= (x+y)2dx= (2x+1)2dx= (4X2 +4x+1)dx= _+2X2 +x =-

e o o o 3 03

1 1

2

1

2

[

3 2

]

2 5vydy= xydy= (y2 -y)dy= L_L =-

e 1 1 3 2 1 6

Problema 11-55. Dado el vector: v =(x - Z)2i + xj + (y - Z)2k; calcular la integral de línea:

(dr =dx i + dy j + dz k)

a lo largo de la curva x =i, z = O, cuando se pasa desde el punto A (1, 1, O) al B (4,2, O).

Solución

como:

i 14

1

4

[X2 ]4 15lJ.dx= (y-z)2dx= xdx= - =-

e 1 1 212

..

..elf!!......t!!!f!f!~..~e-..""f!5!f1~..~~e-.."(JttJfJfJfJ","e'(J

\ ~

por tanto:I rvxdr=_Z-i+1S 1_13klJc 3 2 10

D) COORDENADAS POLARES PLANAS

FORMULARIO

y

Ur = cos cpi + sen cpj

u", = -sen cpi + cos cpj

r =~Xz + yZ

i = cos cp Ur - sen cpu",

j = sen cpUr + cos cpu",

x = reos cp

cp= arctg ~xy = r sen cpX

EJE POlAR .

Coordenadas polares planas. Vecto-res unitarios perPendiculares.

Problema 11-56. Una recta dista del origen de coordenadas una longitud p, y forma con el se-miejeOX positivo un ángulo a. Tomando el origen como polo y el eje OX como eje polar, obtenerla ecuación de la recta en coordenadas polares.

Solución

La ecuación cartesiana de la recta es: y =x tg a + OB

el segmento OB mide: OB = P P PA. --cosQOB cos(n - a) cosa

con lo que sustituyendo x e y por sus expresiones: x =r cos '{I, y = r sen 'P, obtenemos:

sen a prsen '{I=rcos'{l---cosa cos a p = r (cos 'Psen a - sen 'Pcos a) => Ip =r sen (a - '{I)I=>

Problema 11-57. Dos puntos están definidos por sus coordenadas polares (rl' CPI)y (rz, !{Jz).Obtener la expresión de la distancia entre ambos.

Solución

De la figura, y aplicando el teorma del coseno, tenemos directamente:

Id -= ~rl +rf - 2r¡rZ cos ('{Iz- 'PI) I

Se puede obtener la ~isma expresión partiendo de la distancia en cartesianas y pasando éstas a polares;es decir, si las coordenadas cartesianas de ambos puntos son p¡ (x¡, VI) y Pz (xz, yz), obtendremos lamisma expresión anterior operando con las siguientes igualdades: .

I

XI =rl cos 'P¡

YI=rl sen 'PI I

Xz =rz cos 'Pz

Yz = rz sen 'Pz

Problema 11-58. Obtener la ecuación en polares de una elipse, considerando un foco como poloy el eje mayor como eje polar. S l . ,o uClon

La elipsees el lugar qeométricode lospuntos cuya suma de distanciasa dos fijoses constante:

PF + PF' = 2a

En polares, las coordenadas de los focos son: para F; r = O, 'P= O, Ypara F'; r = 2c, '{I= n. .

Utilizando la expresión obtenida en el problema anterior para la distancia entre dos puntos, tenemos:

r + ~rz + (2c)z - 2r2c cos (n - '1') =2a ~rz + 4cz + 4cr cos '{I=2a - r =>

COORDENADAS POLARES PlANAS 49

y

x

Relac~n entre (ur' iZ,,) y los cartesia-nos (i, j).

y

B

x

Problema 11-56.

EJE POLAR

Problema 11-57.

50

C2 + cr cos 'P=a2 - ar

CÁLCUW VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

Problema 11-58.

d

P'

Problema 11-59.

11

r (a + ecos 'P)=a2 - C2

teniendo en cuenta que a2 - c2 =b2 y haciendo da =e (excentricidad) y b2/a=p se obtiene:

r= pl+ecos'P

Si hubiésemos considerado el foco F' como polo, las coordenadas de F serían r =2c, tp =O y la ecua.ción resultante tendría en el denominador una diferencia en lugar de una suma. Así pues, la ecuación sepuede poner en la forma general siguiente:

I r= H~ostp I

según que el corte más próximo al foco,de la curva con el eje polar, corresponda a tp= O o a tp= n.

Problema 11-59. Obtener la ecuación de una parábola en coordenadas polares, considerando elfoco como polo y el eje polar perpendicular a la directriz.

Solución

En la parábola las distancias de un punto al foco y a la directriz son iguales: PF =PP'.

PF=r

IPP' = p - r cos tpr=p-rcostp pr=-

l+costp

que coincide con la ecuación de la elipse (y se puede demostrar que también con la de la hipérbola), yaque en la parábola es e =1.Si el punto de corte de la curva en el eje es en tp=7C, el signo del denominador es menos en lugar demás. En general:

Problema 11-60. Cambiar a cartesianas o polares, según corresponda, las expresiones de las cur-vas siguientes:1. (X2 + y2)2 =4 (X2 - y2). 2. r =sen cp/(l + tg cp)

Solución

1) Con el cambio x =r cos tp, y = r sen tp. obtenemos:

I r2 =4 cos 2'P I ......f!!I..-....'"f!!!.-.-C!!I~IJ!!!

..

.-

..-

..

..'"tif#f1t

'\ ¡

2) Teniendo en cuenta que: sen 'P=fr' ytgtp=.f x

y

~l+f

x