tema 2: análisis de circuitos en el dominio del tiempo
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Tema 2: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo
Enrique San Andrés
Respuesta transitoria circuito digital
Tema II 2
A B C
Respuesta transitoria circuito digital
Tema II 3
Tema II 4
• Analizaremos la respuesta transitoria del condensador y la bobina– Veremos que son elementos que almacenan energía pero no disipan (ni
producen) potencia media
• Estudiaremos la respuesta de varios circuitos frente a estímulos variables en el tiempo– Circuitos de primer orden
– Sistemas de segundo orden
Objetivos del tema
Tema II 5
• Un condensador es un elemento pasivo diseñado para almacenar energía en su campo eléctrico
• Realización física– Dos placas metálicas plano-paralelas separadas por un medio aislante
(dieléctrico)
Condensador
Imágenes: Wikimedia Commons
Capacidades parásitas en un CI
Tema II 6
Capacidades parásitas en un CI
Tema II 7
Tema II 8
• Mecanismo físico
Condensador
– Al aplicar tensión v aparecen cargas en las placas: +q y –q
– La carga almacenada depende de la tensión v aplicada
q (t) = C (t) v (t)– C se denomina capacidad y su unidad
es el Faradio (F)
– 1 F = 1 C / 1 V
mF
dAC rr
120 108542.8 −×∗=== εεεεε
Tema II 9
• Relación corriente-voltaje de un condensador ideal
• Símbolo circuital
Condensador
( ) ( ) ( ) ( )
dtdvCi
dtvdC
dtCvd
dtdqtvCtq
=
==⇒=
Imágen: Wikimedia Commons
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3.0µ
-2.0µ
-1.0µ
0.0
1.0µ
2.0µ
3.0µ
i [A]
dv/dt [V/s]
C=1uF
Tema II 10
• Relación voltaje – corriente
• Condición de continuidad de la tensión
– La tensión NO puede tener discontinuidades en el tiempo
Condensador
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=⇒=⇒=∞−
t
t
tdi
Ctvtvdi
Ctv
dttdvCti
0
110 ττττ
( ) ( ) ( ) ( )0000
0
1 tvtvdiC
tvt
t=+= ∫
++ ττ
v(t)
t
( )dtdvCti =
i(t)
t
∞
Tema II 11
• Potencia y energía del condensador:– TI: la potencia instantánea de un elemento es v*i, por tanto en C:
– Cálculo de la energía total almacenada
Condensador
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt
tdvCtvtitvtp == *
( ) ( ) ( )2 2( ) ( )
2 2
t v t vw t C v dv C Cτ τ−∞
−∞= = −∫
Tema II 12
• Propiedades del condensador:– El condensador sí puede tener saltos de corriente
– Si la tensión entre terminales no cambia la corriente que circula por el condensador es nula.
• Condensador en DC equivale a un circuito abierto
– Condensador ideal no disipa energía: la almacena (en forma de campo eléctrico) según aumenta |v(t)| y la libera según disminuye.
– El condensador real se descarga con el tiempo. Modelo simple: condensador ideal en paralelo con una resistencia debida a las fugas
Condensador
( ) ( ) ACdtKdC
dttdvCti 00)(
=×===
Tema II 13
• Ej. C de 1 mF descargado en t = 0 fluye la corriente de la figura. Calcular tensión en t = 2 ms y t = 5 ms.
Condensador
Tema II 14
• Ej: determinar la corriente que fluye por un C de 200µF
Condensador
Tema II 15
• Calcular energía almacenada en cada condensador
Condensador
Tema II 16
• Asociación de condensadores en paralelo– Aplicando KCL a nodo superior
– Aplicando relación I-V del condensador
– Circuitos equivalentes si
– Con N condensadores en paralelo
Condensador
21 CCv iii +=
( )dtdvCC
dtdvC
dtdvCiv 2121 +=+=
( )21 CCCeq +=
∑=
=N
nneq CC
1
Tema II 17
• Asociación de condensadores en serie– Aplicando KVL a la malla
– Aplicando relación V-I del condensador
– Equivale al circuito de abajo si
– Con N condensadores en serie
Condensador
21 CC vvv +=
( )
( )( ) ( )0201
2102
22
011
1
0
0
0 111
1
tvtvidtCC
vtvidt
Cv
tvidtC
vt
tt
t
t
t
++
+=
+=
+=
∫∫
∫
21
111CCCequ
+=
∑=
=N
n neq CC 1
11
Tema II 18
• Elemento pasivo que almacena energía en forma de campo magnético
• La bobina más sencilla es el solenoide recto– Arrollamiento de cable en espiral sobre un núcleo
de un material magnético
– Al circular corriente se produce un campo magnético
– Inductancia: relación entre flujo magnético y corriente
– Faraday demostró que las variaciones de flujo magnético producen una fem (tensión)
Bobinas
Fotografía: wikimedia commons
( )linealesnodidL
iL φφ
== ;
dtdiL
dtdi
did
dtdv ===
φφ
Tema II 19
• Relación voltaje-corriente de una bobina ideal
• [L]=H (Henrio)• Símbolo circuital
• Si
– En DC la bobina es un cortocircuito
Bobinas
dtdiLv =
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3.0m
-2.0m
-1.0m
0.0
1.0m
2.0m
3.0m
v [V
]
di/dt [A/s]
L=1mH
00 ==⇒=dtdiLv
dtdi
+ v -
→ i
Tema II 20
• Relación i-v de la bobina
– La bobina tiene memoria de su historia pasada
– No puede haber discontinuidades de corriente
• Ej: calcular la corriente por una bobina de 5H si
Bobinas
( ) ( )00
00
1
11
tivdtL
ti
vdtL
divdtL
didtdiLv
t
t
t
t
t
t
+=
=⇒=⇒=
∫
∫∫
( )
>
<=
03000
2 tsittsi
tv
Tema II 21
• Potencia en una bobina:
– Sin variaciones de corriente no hay potencia
– Al igual que el condensador, puede ser positiva o negativa
• Energía almacenada
– Solamente depende del valor absoluto de la corriente y la inductancia
Bobinas
+ v -
→ i( ) ( ) ( )dtdiLii
dtdiLtitvtp ===
Tema II 22
• Ej. Calcular energía almacenada en C y L en DC
Bobinas
Tema II 23
• Asociación de bobinas en serie– Aplicando KVL a nodo superior
– Aplicando relación V-I de la bobina
– Equivale al circuito de abajo si
– Con N bobinas en serie
Bobinas
21 LL vvv +=
( )dtdiLLv
dtdiLv
dtdiLv
21
22
11
+=
=
=
21 LLLeq +=
∑=
=N
nneq LL
1
Tema II 24
• Asociación de bobinas en paralelo– Aplicando KCL a nodo superior
– Aplicando relación I-V de la bobina
– Equivale al circuito de abajo si
– Con N bobinas en paralelo
Bobinas
21 CCv iii +=
21
111LLLeq
+=
∑=
=N
n neq LL 1
11
( )
( )( ) ( )0201
2102
22
011
1
0
0
0 111
1
titivdtLL
itivdt
Li
tivdtL
it
tt
t
t
t
++
+=
+=
+=
∫∫
∫
Tema II 25
Resumen
Relación Resistencia Condensador Bobina
v-i
i-v
p (R) ó w (L,C)
serie
paralelo
en DC Igual Circuito abierto Cortocircuito
Variable que nopuede cambiar bruscamente
Ninguna Tensión Corriente
∑=
=N
n neq LL 1
11
Riv = ( )01 tvidtC
v += ∫
( )01 tivdtL
i += ∫vR
i 1=
dtdvCi =
dtdiLv =
RvRip
22 ==
∑=
=N
n neq RR 1
11
∑=
=N
n neq CC 1
11∑=
=N
nneq RR
1∑=
=N
nneq LL
1
∑=
=N
nneq CC
1
2
21 Cvw = 2
21 Liw =
Tema II 26
• Vamos a estudiar con combinaciones de R, L y C.– Primero circuitos simples:
• R y C• R y L
– T1: Los circuitos con resistencias y fuentes dan por resultado ecuaciones algebraicas.
– Al aparecer C y L hay que resolver ecuaciones diferenciales.
– Cuando solo aparece la primera derivada (RC o RL) se denomina ecuación (o circuito) “de primer orden”.
– Cuando aparece además un segunda derivada se denomina “de segundo orden”.
Análisis transitorio de circuitos de primer y segundo orden
Circuito RC
• ¿Cómo se podría resolver este circuito?
Tema II 27
Tema II 28
Circuito RC
Método para resolver ED simples
• 1) Encontrar una solución particular• 2) Encontrar una solución homogénea (general)• 3) La solución de la ED es la suma de 1) y 2)• 4) Imponer condiciones particulares
Tema II 29
Tema II 30
Circuito RC
vc(t)
t
Tema II 31
• Descarga de un condensador a través de una resistencia– R1 de 1Meg, 100k, 10k y 1k
Circuito RC sin fuentes
( ) ( )01
0
ttRCevtv
−−=
Tema II 32
• C cargado a v0, fuente de tensión– Ej: C de 1uF, R de 1kohm, tclose=1ms
• V(0)=0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25
Circuito RC con fuentes
Tema II 33
• Ej: condensador cargado a 15V en t=0. ¿VR3?
Circuito RC sin fuentes
Tema II 34
• Ej: ¿v(t)?
Circuito RC sin fuentes
Tema II 35
Circuito RC con fuentes
Respuesta a un tren de pulsos
Tema II 36
Tema II 37
• Vamos a realizar un ejercicio análogo con inductancias
• Bobina con inductancia L que se conecta a una fuente de tensión– Inicialmente corriente nula
– Tensión en R nula
• Toda cae en la bobina– Aumenta la corriente
– Aumenta la tensión en la resistencia
– La corriente se va estabilizando hasta que toda la tensión cae en la resistencia -> la corriente de la bobina ya no aumenta más -> estacionario
Circuito RL
Circuito RL
Tema II 38
Tema II 39
• Si la bobina tenía corriente I0 y el interruptor se cierra en t0
Circuito RL
( )0 0
00 0expS S
I t ti t V V t tI t t
R R τ
<= − + − − >
Tema II 40
• Ej: calcular la corriente en la bobina
Circuito RL
Tema II 41
• Ej: calcular la corriente en la bobina
Circuito RL
Tema II 42
Circuitos de segundo orden
Tema II 43
• Cuando hay más de un elemento que almacena energía, la ecuación diferencial aumenta el orden– Típicamente dos elementos (C y L, C y C, L y L) producen una ecuación
de segundo orden
• Siempre y cuando los elementos de segundo orden no puedan combinarse.
Circuitos de segundo orden
Tema II 44
• Para resolverlos será necesario conocer tantas condiciones de contorno como el orden del sistema
– Circuitos de segundo orden: 2 condiciones
– Cada problema concreto requerirá una estrategia diferente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 , 0 , , , , ...C L
L C L C
dv dii v i v
dt dt∞ ∞
Circuitos de segundo orden
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 45
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 46
( )
1 1 2
2 12
0
1 0t
dv v vCdt R
v v v dR L
τ τ−∞
−− − =
−− − =∫
12 1
11 1
11
21 1
12
1 0
1 0
t
dvv RC vdt
dvRC v v dvdt RC v dR L dt
d v dvR vdt L dt LC
τ−∞
= + ⇒
+ − + + = ⇒
+ + =
∫
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 47
1stv Ae=
21 1
12
1 0d v dvR vdt L dt LC
+ + =
2
12
2
2
12 21 0
12 2
st
R RsL L LCRA s s e
L LC R RsL L LC
= − + − + + = ⇒ = − − −
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 48
– Ecuación característica: si la cumple la función elegida es solución
– s puede ser real o imaginaria, y también sería solución
– Solución general de la homogénea:
– s1 y s2 lo determinan los elementos del circuito.
– A partir de ellos se calculan A1 y A2 a partir de las condiciones decontorno
2
12
2
2
12 21 0
12 2
st
R RsL L LCRA s s e
L LC R RsL L LC
= − + − + + = ⇒ = − − −
1 21 1 2
s t s tv A e A e= +
Tema II 49
– Por simplificar notación
• Frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial
• Frecuencia de resonancia
2RL
α =
LC1
0 =ω
−−−=
−+−=20
21
20
21
ωαα
ωαα
s
s
2
12
2
2
12 21 0
12 2
st
R RsL L LCRA s s e
L LC R RsL L LC
= − + − + + = ⇒ = − − −
Circuito RLC serie sin fuente
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 50
– Si α > ω0 ( ) s1 y s2 serán reales
• Además
• Por tanto, las soluciones son exponenciales decrecientes– Este caso se denomina circuito RLC paralelo sobreamortiguado
−−−=
−+−=20
21
20
21
ωαα
ωαα
s
s
020
220
220
2 <−+−<−−−⇒<− ωααωαααωα
2R L
C>
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 51
– Supongamos que en t=0 hay tensión en el condensador y corriente en el circuito
( )
( ) ( )
1 2
1 2
0 01 1 2 1 2
0 011 1 2 2 1 1 2 2
010 0
s s
s sL
v A e A e A Adv s A e s A e s A s A idt C
= + = +
−= + = + =
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 52
• Ejemplo (valores poco realistas)– R=49 ohm, L = 7 H, C= 1/42 F
– Condensador inicialmente descargado, corriente inicial bobina -5/21 A
–
– Falta por conocer constantes
•
•
– Solución:
6,1,6;5.3 210 −=−=== ssωα6
1 1 2t tv A e A e− −= +
( ) 0 6*01 1 2 1 2 1 20 0 tv A e A e A A A A− −= = + = + ⇒ = −
( )611 2 1 2 2
2 1
6 0 6 5 10
2 2
t t Ldv idvA e A e A A Adt dt C
A A
− −= − − ⇒ = − − = − = − = ⇒
⇒ = − ⇒ =
61 2 2t tv e e− −= −
• Cálculos vs PSPICE
– Sobreamortiguado: tarda en desvanecerse, sin oscilaciones.
Tema II 53
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 54
– Si α = ω0 ( ) la solución de la ecuación diferencial que hemos probado no es correcta -> amortiguamiento crítico
• Como esto desde el punto de vista práctico es imposible no lo vamos a analizar
• Cualitativamente, representa una transición entre el caso sobreamortiguado (α > ω0) y subamortiguado (α < ω0)
– Si α < ω0 ( ) -> circuito subamortiguado
• Solución
• Al valor ωd se le denomina frecuencia natural de resonancia
Circuito RLC serie sin fuente
tsts eAeAv 2121 +=
/ 2 /R L C=
/ 2 /R L C=
Recordatorio de 1erC de Cálculo
• Ecuación de Euler
• Demostración: se desarrolla en serie de Taylor la exponencial, el seno y el coseno, y se compara.
cos Recos ; 1
Im
j
j
j
ee jsen j
sen e
θ
θ
θ
θθ θ
θ
= = + = − =
Tema II 55
• Reescribiendo con ecuación de Euler
• Sinusoides amortiguadas por un factor que decae exponencialmente
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
cos cos
cos
cos
d dj t j tt
td d d d
td d
td d
v t e A e A e
e A t A jsen t A t A jsen t
e A A t A A jsen t
e B t B sen t
ω ωα
α
α
α
ω ω ω ω
ω ω
ω ω
−−
−
−
−
= + =
= + + − + − =
= + + − =
= +
cos Recos ; 1
Im
j
j
j
ee jsen j
sen e
θ
θ
θ
θθ θ
θ
= = + = − =
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 56
Tema II 57
• Ejemplo (Hayt) aumentando R– R de 49 ohm pasa a 28 ohm manteniendo L = 7 H, C= 1/42 F
– Condensador descargado, corriente inicial bobina de -5/21 A
–
– Falta por determinar constantes (proceso análogo al caso anterior)
– Solución:
2,6;2 2200 =−=== αωωωα d
Circuito RLC serie
( )21 5 2 2tv e sen t−=
Circuito RLC serie sin fuente
Tema II 58
• R = 49 ohm (sobream.), 28 ohm, 10 ohm, 5 ohm (subam.)
• El tipo de amortiguamiento cambia con R
• Los valores de R determinan el tiempo en decaer
• Para R baja aparece oscilación con la frecuencia natural de resonancia
• Sin R, la oscilación no se disiparía.
Tema II 59
• Supongamos que se conecta un condensador a una bobina– Circuito ideal Circuito real (aproximado)
– Representa un circuito típico en redes de comunicaciones, empleado para amplificar señales en una banda estrecha de frecuencia.
– Buscamos la respuesta natural, y el C ó L (ó ambos) deben tener energía almacenada inicialmente
• Si no hubiera resistencia habría una oscilación eterna
Circuito RLC paralelo
Tema II 60
– Ej: L=7H, C=1/42 F, barrido paramétrico R: 10.5, 20, 50, 100 ohm.
Circuito RLC paralelo
Tema II 61
• Hemos analizado la respuesta transitoria del condensador y la bobina
• Hemos estudiado la respuesta de varios circuitos frente a estímulos variables en el tiempo– Circuitos de primer orden
– Sistemas de segundo orden
Objetivos del tema