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Prof. Raquel Frías Análisis de Señales 1

1. Clasificación de Sistemas en tiempo continuo

Lineales y no Lineales

Invariante y Variantes en el tiempo

Causal y no Causal

Estable e Inestables

Con y sin Memoria

2. La Convolución

La Integral de Convolución

Propiedades de la Integral de Convolución

Indice:

Tema 2. Análisis de Sistemas en Tiempo Continuo



Los sistemas se clasifican en:

Lineales y no Lineales.

Se dice que un sistema es lineal si cumple con el principio de superposición, el cual

a su vez debe cumplir lo siguiente:

Homogeneidad Aditividad

Si

y Si

Superposición




Invariante y Variantes en el tiempo.

Es invariante en el tiempo, si la respuesta del mismo no depende del momento en

que es excitado, es decir, el comportamiento del sistema no cambia con el tiempo.

Si

Por su importancia en nuestro caso solo estudiaremos los sistema Lineales e

Invariantes en el tiempo (LTI).

Causal y no Causal.

Es causal si la salida no comienza antes de aplicar la excitación de entrada, es decir

si no es anticipativo. La salida para t= t0, solo depende de los valores de entrada

para t menor que t0 y de los valores de la salida para t menor que t0.




Es estable si para entradas limitadas en amplitud, la salida también es limitada.

Estable e Inestables.

Con y sin Memoria.

Un sistema no tiene memoria si la salida para cada valor de t solo depende de la

entrada en ese instante.

Observaciones:

Un sistema LTI, es más manejable para su análisis, ya que, es posible descomponer

a una señal arbitraria en componentes más simples, hallar las respuestas del

sistema a cada una de ellas, y luego, por el principio de superposición, sumar

dichas respuestas para obtener la respuesta total a la entrada arbitraria

(compuesta).



Observaciones:

Esto sirve de base para varios métodos de análisis de sistemas LTI, como son:


La interpretación de una señal arbitraria como una suma de impulsos

ponderados, es la base del método de convolución, que caracteriza al sistema

en función de su respuesta impulsiva.

La representación de la señal de entrada como una suma de sinusoides

armónicas ponderadas, conduce a las Series de Fourier.

La descomposición de una señal arbitraria en una suma de exponenciales

complejas ponderadas, es una serie de Fourier de tipo exponencial y es la base

para el estudio por medio de las transformadas de Fourier y de Laplace.



2. La Convolución

La convolución de dos funciones de la misma variable, digamos f(t) y g(t), se define por:

; donde f(t)*g(t) denota la operación de convolución.

Si las dos funciones son continuas en el tiempo, el cálculo de f(t)*g(t) o de la integral se

puede realizar de dos maneras, analíticamente (resolviendo las integrales planteadas) o

gráficamente.

Ejemplo:

Hallar la convolución entre las funciones: y

Aplicando la definición tenemos:

Sustituyendo “t” por “x” en f(t) se obtiene f(x) y hallando g(x) reflejada y desplazada en “t”



2. La Convolución

Ejemplo:

sacando e-at tenemos: para

Analíticamente encontramos los limites de la integral

La integral queda:



La Integral de Convolución Un sistema LTI continuo está completamente caracterizado por su respuesta al impulso.

Con la integral de convolución se puede hallar la respuesta del sistema a una entrada

arbitraria, conociendo previamente la respuesta impulsiva h(t) del mismo, la cual es la

respuesta del sistema cuando es excitado con la señal delta de Dirac o impulso δ(t).

La integral de convolución, la, podemos interpretar como el área bajo la curva resultante del producto entre x(τ) y h( t - τ ).

Impulso Respuesta al Impulso




Para esta integral, se han realizado los siguientes cambios de variable:

Para x(t) se hace el cambio de variable independiente, t =τ .

Para h(t) se hace el cambio de variable independiente, t = τ , además se refleja

y se desplaza la señal t unidades.

La convolución con δ(t) se calcula valiéndose de la propiedad de separación de la

función δ (t), que permite escribir la función x(t) como la suma de infinitos pulso

pesados:

Propiedades de la Integral de Convolución

Conmutativa x(t) * h(t) = h(t) * x(t)

Asociativa [x(t) * h1(t)] * h2(t) = x(t) * [ h1(t) * h2(t)]

Distributiva x(t) *[ h1(t)] + h2(t)] = x(t) * h1(t) + x(t) * h2(t)]




Para efectos de análisis se puede comprobar que:

f ( t ) * δ( t - T ) = f ( t - T )

f ( t - T1 ) * δ( t - T2 ) = f ( t - T1 - T2 )

δ( t - T1 ) * δ( t - T2 ) = δ( t - T1 - T2 )

f ( t ) * [ δ( t + T ) +δ ( t - T ) ] = f ( t + T ) + f ( t - T )

Propiedad de muestreo de la función impulso

Definición de convolución

Se puede verificar igualmente




Ejemplo:

Dada la entrada x(t) y la respuesta al impulso h(t) de un sistema LTI de tiempo continuo , calcule la salida y(t).

x(t) = u(t) h(t) = e-αtu(t), α>0

Solución: Analíticamente tenemos




Ejemplo: Evalúe la convolución para x(t) y h(t) mostradas en las gráficas:

Solución: Analíticamente obtenemos las ecuaciones matemáticas de las gráficas en

función de u(t) y resolvemos los intervalos.




Ejemplo:


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