tema 1. revisión de los conceptos básicos de probabilidad exámenes 130% probabilidad,...
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ExámenesExámenes
11 30%30% Probabilidad, distribuciones discretas y Probabilidad, distribuciones discretas y continuascontinuas
22 35%35% Muestreo, estimación de intervalos, prueba de Muestreo, estimación de intervalos, prueba de hipótesishipótesis
33 20%20% Regresión, componentes principales, clustersRegresión, componentes principales, clusters
TareasTareas
11 15%15% Regresión – Componentes Principales - Regresión – Componentes Principales - ClustersClusters
Contenido General - EvaluaciónContenido General - Evaluación
Revisión de los Conceptos Revisión de los Conceptos Básicos de ProbabilidadBásicos de Probabilidad
Tema 1Tema 1
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Contenido programáticoContenido programático Espacio muestral y axiomas de Espacio muestral y axiomas de
probabilidadprobabilidad Probabilidad condicional e independenciaProbabilidad condicional e independencia Variables aleatorias discretas y continuasVariables aleatorias discretas y continuas Medidas de tendencia central y dispersiónMedidas de tendencia central y dispersión Principales distribuciones discretas y Principales distribuciones discretas y
continuascontinuas Variables aleatorias bidimensionalesVariables aleatorias bidimensionales
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Términos básicosTérminos básicos Experimento: Experimento: es el proceso de obtener una
observación Eventos SimplesEventos Simples:: Cualquier resultado básico Cualquier resultado básico
de un experimento. Un evento simple no se de un experimento. Un evento simple no se puede descomponer en resultados más puede descomponer en resultados más simples.simples.
Ej.: ¿Cuáles son los eventos simples asociados al Ej.: ¿Cuáles son los eventos simples asociados al lanzamiento de un dado?lanzamiento de un dado?
Espacio Muestral (S):Espacio Muestral (S): Es la colección de Es la colección de todos los eventos simples de un todos los eventos simples de un experimento.experimento.Ej.: ¿Cuál sería el espacio muestral asociado al Ej.: ¿Cuál sería el espacio muestral asociado al
lanzamiento de un dado?lanzamiento de un dado?
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Términos básicosTérminos básicos
EventosEventos: Colección de elementos : Colección de elementos simples. Subconjunto del espacio S.simples. Subconjunto del espacio S.
Ej.: Un evento de lanzar un dado puede ser:Ej.: Un evento de lanzar un dado puede ser:
A : {1,3,5}A : {1,3,5}
Donde A sería el evento en el cual el Donde A sería el evento en el cual el resultado obtenido es un número impar.resultado obtenido es un número impar.
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Diagramas de VennDiagramas de Venn Los diagramas de Venn son útiles para Los diagramas de Venn son útiles para
representar probabilidades. representar probabilidades. Ej.: Probabilidad de pertenecer a uno Ej.: Probabilidad de pertenecer a uno
cualquiera de tres conjuntos. cualquiera de tres conjuntos.
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Operaciones elementalesOperaciones elementales UniónUnión
El evento El evento UniónUnión ( (A A B) B) consiste de todos consiste de todos los eventos simples que estan contenidos en los eventos simples que estan contenidos en A o B y en ambos.A o B y en ambos.
A A B B puede ser descrito como que ocurre puede ser descrito como que ocurre por lo menos uno de los dos eventos A o B.por lo menos uno de los dos eventos A o B.
A A B B
A B
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Operaciones elementalesOperaciones elementales IntersecciónIntersección
El evento Intersección (El evento Intersección (A ∩ B)A ∩ B) consiste de consiste de todos los eventos simples comunes de A y B.todos los eventos simples comunes de A y B.
A ∩ BA ∩ B puede ser descrito como que ocurren puede ser descrito como que ocurren ambos eventos A y B.ambos eventos A y B.
A ∩ B
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Operaciones elementalesOperaciones elementales ComplementoComplemento
El evento A’, llamado El evento A’, llamado complementocomplemento de A, de A, consiste de todos los eventos simples que no consiste de todos los eventos simples que no están en A.están en A.
A’A’ significa que el evento A no ocurra.significa que el evento A no ocurra.
AA’
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Eventos DisjuntosEventos Disjuntos Eventos disjuntos: Dos eventos son disjuntos si no Eventos disjuntos: Dos eventos son disjuntos si no
pueden ocurrir al mismo tiempo, en otras palabras, pueden ocurrir al mismo tiempo, en otras palabras, ellos no tienen eventos simples en común.ellos no tienen eventos simples en común. A y B son disjuntos si A y B son disjuntos si A ∩ BA ∩ B = = ǾǾ
En el siguiente diagrama de Venn A y B son disjuntos En el siguiente diagrama de Venn A y B son disjuntos porque su intersección es el conjunto vacío. B y C no son porque su intersección es el conjunto vacío. B y C no son disjuntos.disjuntos.
AB
C
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Interpretación frecuentista de Interpretación frecuentista de ProbabilidadProbabilidad
Generalmente, la probabilidad de un evento puede Generalmente, la probabilidad de un evento puede pensarse como la proporción de veces que se espera pensarse como la proporción de veces que se espera que el evento ocurra.que el evento ocurra.
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Axiomas de la probabilidadAxiomas de la probabilidad Para cada evento, A, se asigna la probabilidad del Para cada evento, A, se asigna la probabilidad del
evento, tal que:evento, tal que: Axioma 1: Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 10 ≤ P(A) ≤ 1
Axioma 2: Axioma 2: P(S ) = 1P(S ) = 1
Axioma 3: Si AAxioma 3: Si A11, A, A22, A, A33, ..., A, ..., Ann son disjuntos son disjuntos dos a dosdos a dos: : P(AP(A11 A A2 2 A A3 3 ...A...Ann) = ) = P(A P(A11) + P(A) + P(A22) + P(A) + P(A33) + … P(A) + … P(Ann))
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Eventos complementariosEventos complementarios
Si el evento A no ocurre, decimos que su Si el evento A no ocurre, decimos que su complemento A’ ha ocurrido y viceversa. complemento A’ ha ocurrido y viceversa. Las probabilidades de A y A’ estan Las probabilidades de A y A’ estan relacionadas por la fórmula:relacionadas por la fórmula:
P(A’) = 1 – P(A)P(A’) = 1 – P(A)
AA’
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Regla general de la sumaRegla general de la suma Cuando un evento se expresa de la forma A ∪ B, su probabilidad puede Cuando un evento se expresa de la forma A ∪ B, su probabilidad puede
calcularse a través de la siguiente fórmula:calcularse a través de la siguiente fórmula: P(A P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Para 3 conjuntos:Para 3 conjuntos:P(A P(A B B C) = C) =P(A) + P(B) + P(C)P(A) + P(B) + P(C)-P(A ∩ B) -P(A ∩ C) - P(B ∩ C) -P(A ∩ B) -P(A ∩ C) - P(B ∩ C) +P(A ∩ B ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)
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Operaciones elementalesOperaciones elementalesEjercicioEjercicio
De los voluntarios que llegan a un banco de sangre, 1 de 3 tiene sangre tipo O+; 1 de 15, tipo O-; 1 de 3, tipo A+; y 1 de 16, tipo A-. Se selecciona al azar el nombre de un donante de los registros del banco. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga
Sangre tipo O+?
Sangre tipo O?
Sangre tipo A?
Sangre que no es del tipo A, ni O?
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ad EjercicioEjercicio
La siguiente tabla muestra un resumen de una encuesta realizada a 500 personas en referencia a su posición frente al aborto:
Si aleatoriamente se selecciona una persona de entre las 500, ¿cuál es la probabilidad de que:
El encuestado esté a favor de la legalización del aborto?
El encuestado sea hombre y esté en contra de la
legalización del aborto?
A favorA favor En contraEn contra TotalTotal
MujeresMujeres 200200 100100 300300
HombresHombres 5050 150150 200200
TotalTotal 250250 250250 500500
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bilid
ad EjercicioEjercicioLa siguiente tabla muestra un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos:
Si se toma una flecha al azar ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial?
¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado o con los de curvatura?
¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura?
¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado y curvatura?
El acabado superficial cumple con los requerimientos
La curvatura cumple con los requerimientos
SíSí NoNo
SíSí 345345 55
NoNo 1212 88
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Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional Sean A y B dos eventos con P(B) > 0. La probabilidad Sean A y B dos eventos con P(B) > 0. La probabilidad
condicional de A con respecto a B es la probabilidad condicional de A con respecto a B es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre B:de que ocurra A sabiendo que ocurre B:
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ad EjercicioEjercicioLa siguiente tabla muestra un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos:
Se escoge una flecha y se observa que cumple con los requisitos de curvatura. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado?
El acabado superficial cumple con los requerimientos
La curvatura cumple con los requerimientos
SíSí NoNo
SíSí 345345 55
NoNo 1212 88
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Eventos independientesEventos independientes Dos eventos A y B son independientes si la Dos eventos A y B son independientes si la
probabilidad de que ocurra uno no afecta la probabilidad de que ocurra uno no afecta la ocurrencia del otroocurrencia del otro
Luego:Luego:
)(
)()()|(
BP
BAPAPBAP
)()()( BPAPBAP
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En un grupo de estudiantes de bachillerato que consta de 60 mujeres y En un grupo de estudiantes de bachillerato que consta de 60 mujeres y 40 varones, se observa que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. 40 varones, se observa que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. Además, se sabe que si un estudiante es elegido aleatoriamente la Además, se sabe que si un estudiante es elegido aleatoriamente la probabilidad de que el estudiante use lentes es 40%=0.4probabilidad de que el estudiante use lentes es 40%=0.4
Considerando esto,Considerando esto,Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente use lentes dado que es un estudiante varónuse lentes dado que es un estudiante varón¿Puede usted afirmar que ambos eventos son independientes en ¿Puede usted afirmar que ambos eventos son independientes en este grupo?este grupo?
Eventos independientesEventos independientes
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Eventos independientesEventos independientes
¿Que los eventos sean ¿Que los eventos sean independientes significa que independientes significa que los eventos son excluyentes?los eventos son excluyentes?
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Encuesta encubiertaEncuesta encubierta Se desea determinar el porcentaje de homosexuales en Se desea determinar el porcentaje de homosexuales en
el Zulia, dado que el ser homosexual no es ampliamente el Zulia, dado que el ser homosexual no es ampliamente aceptado en la sociedad no podemos hacer preguntas aceptado en la sociedad no podemos hacer preguntas directas, para ello utilizamos ítems del tipo: Es directas, para ello utilizamos ítems del tipo: Es homosexual o es fumador, de manera que la persona homosexual o es fumador, de manera que la persona conteste con honestidad. Por ejemplo: conteste con honestidad. Por ejemplo:
Si Ud. fuma o es homosexual responda la siguiente Si Ud. fuma o es homosexual responda la siguiente pregunta …pregunta …
Es importante que el evento de interés en este caso ser Es importante que el evento de interés en este caso ser homosexual sea relacionado con eventos independientes homosexual sea relacionado con eventos independientes a él, tales como ser fumador, hacer deporte, etc.a él, tales como ser fumador, hacer deporte, etc.
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)(1
)()()(
FP
FPHFPHP
Encuesta encubiertaEncuesta encubierta
P(F) P(F) Probabilidad de ser fumador (Conocida)Probabilidad de ser fumador (Conocida) P(H)P(H) Probabilidad de ser homosexual (Buscada)Probabilidad de ser homosexual (Buscada) F y H son eventos independientesF y H son eventos independientes
P(F P(F H) = P(F) + P(H) – P(F H) = P(F) + P(H) – P(F ∩ H) ∩ H) [Unión][Unión]
P(F P(F H) = P(F) + P(H) – P(F)*P(H) H) = P(F) + P(H) – P(F)*P(H) [F y H Independientes][F y H Independientes]
Despejamos P(H) y resulta:Despejamos P(H) y resulta:
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Número de Número de hijoshijos CasadasCasadas SolterasSolteras TotalesTotales
00 0.300.30 0.100.10 0.400.40
11 0.150.15 0.050.05 0.200.20
22 0.100.10 0.050.05 0.150.15
33 0.060.06 0.040.04 0.100.10
44 0.040.04 0.010.01 0.050.05
5 ó más5 ó más 0.070.07 0.030.03 0.100.10
TotalTotal 0.720.72 0.280.28 1.001.00
La siguiente tabla muestra porcentaje de mujeres adultas desglosadas por estado civil y número de hijos en el pueblo de Macondo :
Suponga que de este conjunto se toma al azar una mujer. Sean A: el evento la mujer tiene cuatro o más hijos y B: el evento estar casada. Hallar:
a.- P(A) b.- P(B\A) c.- P(B) d.- P(A\B)
e.- P(A U B)
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La probabilidad de infarto para hipertensos es La probabilidad de infarto para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la del 0,3% y para no hipertensos del 0,1%. Si la probabilidad de hipertensión en una cierta probabilidad de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la probabilidad población es del 25% ¿Cuál es la probabilidad del infarto en esa población? del infarto en esa población?
Teorema de Probabilidad Teorema de Probabilidad TotalTotal
A2A2
A1A1
)( 1AB)( 2AB
A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} (estos sucesos constituyen una partición) B = {padecer infarto} P(B) = ?P(B) = ?
BB
Recordemos que:
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Teorema de Probabilidad Teorema de Probabilidad TotalTotal
AA11, A, A22,…, A,…, A66, forman , forman una partición del una partición del espacio muestral.espacio muestral.
AA11
AA33
AA44
AA66
AA55
AA22
BB
jiAA ji
i
ii APABPBP )()|()(
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Teorema de BayesTeorema de Bayes
Por definición de Por definición de probabilidad probabilidad condicional se condicional se tiene:tiene:
)()|()()|(
)(
BPBAPAPABP
BAP
iii APABP
APABPBAP
)()|(
)()|()|( 11
1
AA11
AA33
AA44
AA66
AA55
AA22
BB
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Teorema de BayesTeorema de Bayes Para el caso de una partición en dos Para el caso de una partición en dos
conjuntos A y Aconjuntos A y ACC::
)()|()()|(
)()|()|( CC APABPAPABP
APABPBAP
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Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor escoge los que deben pasar por una inspección completa; 10% de todos los artículos producidos son defectuosos; 60% de todos los artículos defectuosos y 20% de todos los artículos buenos pasan por una inspección completa. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso, dado que pasó por una inspección completa?
Teorema de Bayes. EjercicioTeorema de Bayes. Ejercicio
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El departamento de meteorología ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%Según estos posibles estados meteorológicos, la
posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:a) Si llueve: 20%b) Si nieva: 10%c) Si hay niebla: 5%Resulta que Ud, que estaba de viaje, escuchó en la radio que ocurrió un accidente el fin de semana ¿cuál es la probabilidad de que estuviera nevando?
Teorema de Bayes. EjercicioTeorema de Bayes. Ejercicio
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Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En el pasado, el 95% de los productos con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los productos con éxito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10% de productos de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación.a.- Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación?
b.- Si un nuevo diseño recibe una buen evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?
c.- Si un producto no obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?
Teorema de Bayes. EjercicioTeorema de Bayes. Ejercicio
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A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en un 90% cuando la persona es culpable y en un 99% si la persona es inocente. Es decir, un 10% de los culpables son detectados como inocentes y un 1% de los inocentes son juzgados culpables. Si se administra el suero a un sospechoso escogido de un grupo donde solo el 5% han cometido un crimen y el suero indica que es culpable, ¿Cuál es la probabilidad de que sea inocente?
Teorema de Bayes. EjercicioTeorema de Bayes. Ejercicio
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Experimento: lanzar tres monedas
S = {ccc,ccx,cxc,xcc,cxx,xcx,xxc,xxx}
xxx
ccc
ccxcxcxcc
cxxxcxxxc
0
3
2
1
S R
Variable aleatoria: Función del espacio muestral S en el conjunto de los reales R
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
(Número de caras)
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Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.
Definición
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
Ejemplos de variables aleatorias son:Ejemplos de variables aleatorias son: Número de años que un recién nacido va a vivirNúmero de años que un recién nacido va a vivir Número de hembras en familias de 3 hijosNúmero de hembras en familias de 3 hijos
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Las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula (por ejemplo X) y con una letra minúscula (x) el valor posible de la variable.
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
Las variables aleatorias tienen asociada una estructura de probabilidad que se caracteriza por la distribución de probabilidad
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(X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", yp(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.
(X<x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x", yp(X<x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x.
Variables AleatoriasVariables Aleatorias
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Variables Aleatorias Variables Aleatorias DiscretasDiscretas
Una Una Variable Aleatoria X es DiscretaVariable Aleatoria X es Discreta si el si el conjunto de valores que toma es finito o, si conjunto de valores que toma es finito o, si es infinito, puede ordenarse en una es infinito, puede ordenarse en una secuencia que se corresponda con los secuencia que se corresponda con los números naturales.números naturales. Ejemplo:Ejemplo:
El número de artículos defectuosos en una El número de artículos defectuosos en una selección de 4 artículos de entre 240selección de 4 artículos de entre 240
El número de trabajos recibidos por un El número de trabajos recibidos por un centro de cómputo en un díacentro de cómputo en un día
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Variables Aleatorias Variables Aleatorias DiscretasDiscretas
Ejemplo: Una pareja decide tener hijos hasta Ejemplo: Una pareja decide tener hijos hasta que nazca un varón o 5 hembras. Sea la que nazca un varón o 5 hembras. Sea la variable aleatoria número de hembrasvariable aleatoria número de hembras
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ad Variable aleatoria número de Variable aleatoria número de
hembrashembras
EventoEvento probabilidadprobabilidadVariableVariablealeatorialeatori
aa
vv 1/21/2 00
hvhv 1/41/4 11
hhvhhv 1/81/8 22
hhhvhhhv 1/161/16 33
hhhhvhhhhv 1/321/32 44
hhhhhhhhhh 1/321/32 55Para cada valor que toma la variable es necesario conocer su probabilidad
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La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta y, es una tabla , gráfica o fórmula que da la probabilidad p(y) asociada a cada posible valor de y.
y toda
1p(y)
CaracterísticasCaracterísticas
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Se lanza dos veces una moneda balanceada Se lanza dos veces una moneda balanceada
y se observa el número X de caras. Calcule la y se observa el número X de caras. Calcule la
distribución de probabilidad para X.distribución de probabilidad para X.
Ejemplo:Ejemplo:
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El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a, b, c, d, e, El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a, b, c, d, e, f} y cada resultado es igualmente probable. Se define una f} y cada resultado es igualmente probable. Se define una variable aleatoria de la siguiente manera:variable aleatoria de la siguiente manera:
resultadoresultado aa bb cc dd ee ff
xx 00 00 1.51.5 1.51.5 22 33
Determine la función de probabilidad de X.Determine la función de probabilidad de X.
Determine las siguientes probabilidades:Determine las siguientes probabilidades:
P(X=1.5)P(X=1.5)
P(0.5 < X < 2.7)P(0.5 < X < 2.7)
P(0 <= X < 2)P(0 <= X < 2)
P(X=0 o X=2)P(X=0 o X=2)
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n de
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Con
cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras no acumulativo.
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cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad Distribución de Probabilidad Acumulada
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cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las probabilidades pi correspondientes a los valores xi de la variable X.
Distribución de Probabilidad Acumulada
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cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
Variables Aleatorias Variables Aleatorias ContinuasContinuas
Una Variable aleatoria X es Continua si el Una Variable aleatoria X es Continua si el conjunto de valores que toma es uno o conjunto de valores que toma es uno o más intervalos de la recta real.más intervalos de la recta real.
Su distribución de probabilidad está Su distribución de probabilidad está caracterizada por la función de densidad fcaracterizada por la función de densidad f::
a b
La probabilidad es el área bajo la La probabilidad es el área bajo la curvacurva
b
adxxfbXaprob )()(
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cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
Ejemplos:
Supongamos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La función que asocia a cada persona su estatura es una variable aleatoria continua.
Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 patillas de una plantación y pesarlas. La función que asocia a cada patilla su peso es una variable aleatoria continua.
Pero ¿serán esas las variables asociadas a esos experimentos?
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ásic
os d
e P
roba
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ad
Distribución de ProbabilidadDistribución de Probabilidad
Con el propósito de calcular probabilidades, se Con el propósito de calcular probabilidades, se tabula esta Función de Distribución Acumulada. tabula esta Función de Distribución Acumulada.
Función de distribuciónacumulada
Función de Densidad
f
F
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roba
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ad
Propiedades de una función de densidad
b
a
f
constantes son ba y donde f(x)dx,b)x P(a.3
1f(x)dx .2
0(x) .1
-
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e P
roba
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ad
)x(x)x(x
)x(x)x(x
2121
2121
XPXP
XPXP
Para cualquier x1 y x2,
P(X=x)=0
Si X es una variable aleatoria continua, entonces,
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cept
os B
ásic
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e P
roba
bilid
ad
Función de Distribución Función de Distribución AcumuladaAcumulada
Si f(x) es la función de densidad su Si f(x) es la función de densidad su distribución acumulada está dada por:distribución acumulada está dada por:
Por ser una probabilidad siempre se Por ser una probabilidad siempre se cumple que: cumple que: 0 ≤ 0 ≤ FF((xx) ≤ 1) ≤ 1. .
xdxxfxXprobxF )()()(
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os B
ásic
os d
e P
roba
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ad
cycy si 0<= y <= 1si 0<= y <= 100 en cualquier otro puntoen cualquier otro punto
f(y)f(y)
Calcule el valor de cCalcule el valor de c
Calcule P(0.2 < y <0.5)Calcule P(0.2 < y <0.5)
Obtenga la función de distribución acumulativa para la variable Obtenga la función de distribución acumulativa para la variable aleatoria yaleatoria y
Calcule F(0.2) y F(0.7)Calcule F(0.2) y F(0.7)
Sea c una constante y consideremos la función de densidadSea c una constante y consideremos la función de densidad
Ejemplo:Ejemplo:
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roba
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ad
Medidas de Tendencia Medidas de Tendencia CentralCentral
Para una Variable Aleatoria X es Para una Variable Aleatoria X es
necesario establecer su valor medio, necesario establecer su valor medio,
((Valor EsperadoValor Esperado), y cómo se dispersa ), y cómo se dispersa
respecto de su valor medio respecto de su valor medio
((VarianzaVarianza).).
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ad
Valor esperadoValor esperado Si X es discreta se define el Si X es discreta se define el Valor Valor
EsperadoEsperado E(X): E(X):
Si X es continua se define el Si X es continua se define el Valor Valor EsperadoEsperado E(X): E(X):
)()( xPxXE
dxxxfXE )()(
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roba
bilid
ad
Suponga la siguiente distribución para una variable aleatoria X y Suponga la siguiente distribución para una variable aleatoria X y para una variable Y:para una variable Y:
Determine el valor esperado de X y de YDetermine el valor esperado de X y de Y
xx 1818 2020 2222
f(x)f(x) 0.20.2 0.60.6 0.20.2
yy 00 1515 2525 4040
f(y)f(y) 0.20.2 0.30.3 0.30.3 0.20.2
)()( xPxXE
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roba
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ad
xx22/3/3 si -1<= x <= 2si -1<= x <= 200 en cualquier otro puntoen cualquier otro punto
f(x)f(x)
Calcule la media o valor esperado de xCalcule la media o valor esperado de x
Sea X una variable aleatoria continua cuya función de Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está dada por:densidad de probabilidad está dada por:
Ejemplo:Ejemplo:
dxxxfXE )()(
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roba
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ad
MedianaMediana La La medianamediana es el número donde la es el número donde la
distribución acumulada vale ½.distribución acumulada vale ½.
F(mediana)=1/2F(mediana)=1/2
Si la distribución es simétrica la media y la Si la distribución es simétrica la media y la
mediana coinciden.mediana coinciden.
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Medidas de DispersiónMedidas de Dispersión Si Si XX es discreta se define la es discreta se define la varianzavarianza VV((XX):):
222 )()()()( xPxxPxXV
Si Si XX es continua se define la es continua se define la varianzavarianza VV((XX))::
)()( 2 - X E = X V
) X V( = y la y la Desviación EstandarDesviación Estandar::
22 )()(
dxxfxXV
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Distribuciones continuas de Distribuciones continuas de distinta Varianzadistinta Varianza
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
σ = 8
σ = 3
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ad
Suponga la siguiente distribución para una variable aleatoria X y Suponga la siguiente distribución para una variable aleatoria X y para una variable Y:para una variable Y:
Determine la varianza de X y de YDetermine la varianza de X y de Y
xx 1818 2020 2222
f(x)f(x) 0.20.2 0.60.6 0.20.2
yy 00 1515 2525 4040
f(y)f(y) 0.20.2 0.30.3 0.30.3 0.20.2
222 )()()()( xPxxPxXV
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xx22/3/3 si -1<= x <= 2si -1<= x <= 200 en cualquier otro puntoen cualquier otro punto
f(x)f(x)
Calcule la varianza de xCalcule la varianza de x
Sea X una variable aleatoria continua cuya función de Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad está dada por:densidad de probabilidad está dada por:
Ejemplo:Ejemplo:
22 )()(
dxxfxXV
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ad
•Si un conjunto de datos tiene una distribución simétrica con forma aproximada de “joroba”, pueden utilizar las siguientes reglas prácticas para describir el conjunto de datos:•Aproximadamente el 68% de las observaciones quedan a 1 desviación estándar de su media (esto es, dentro del intervalo μ ± σ para poblaciones)•Aproximadamente el 95% quedan a 2 desviaciones estándar de su media (esto es, dentro del intervalo μ ± 2σ para poblaciones)• Casi todas quedan a menos de 3 desviaciones estándar de su media (esto es, dentro del intervalo μ ± 3σ para poblaciones)
Regla Empírica
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ProbabilidadesProbabilidades
Si la Variable es X continua:Si la Variable es X continua:
Prob( X Prob( X ≤≤ a ) = F(a) a ) = F(a)
Prob( a Prob( a << X X ≤≤ b )= F(b) - F(a) b )= F(b) - F(a)
Prob( X > a ) = 1 - F(a)Prob( X > a ) = 1 - F(a)
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ProbabilidadesProbabilidades
Si la Variable es X discreta y toma valores Si la Variable es X discreta y toma valores
ordenados 0,1,2 ... etc.. entonces : ordenados 0,1,2 ... etc.. entonces :
Prob( X Prob( X ≤≤ k ) = F(k) k ) = F(k)
Prob( h Prob( h ≤≤ X <= k )= F(k) - F(h-1) X <= k )= F(k) - F(h-1)
Prob( X > k ) = 1 - F(k)Prob( X > k ) = 1 - F(k)
Prob( X = k )= F(k) - F(k-1)Prob( X = k )= F(k) - F(k-1)
Prob( X < k ) = F(k-1)Prob( X < k ) = F(k-1)
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Ejemplo de Distribuciones Ejemplo de Distribuciones DiscretasDiscretas
Una pareja decide tener hijos hasta Una pareja decide tener hijos hasta que nazca un varón o 5 hembras. Si que nazca un varón o 5 hembras. Si esta conducta es adoptada por todos esta conducta es adoptada por todos los marabinos los marabinos ¿Se altera el orden ¿Se altera el orden natural acerca del equilibrio entre natural acerca del equilibrio entre hombres mujeres?hombres mujeres? ¿Cómo sería la tabla del número de ¿Cómo sería la tabla del número de
hembras y varones?hembras y varones? Compárese los valores esperadosCompárese los valores esperados
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Solución del EjemploSolución del Ejemplo
31/3231/3211totaltotal
5/325/32551/321/32hhhhhhhhhh
1/81/8441/321/32hhhhvhhhhv
3/163/16331/161/16hhhvhhhv
1/41/4221/81/8hhvhhv
1/41/4111/41/4hvhv
00001/21/2vv
x P(x)x P(x)HembrasHembrasP(x)P(x)EventoEvento
Valor esperado de hembras = 31/32
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Solución del EjemploSolución del Ejemplo
11totaltotal
001/321/32hhhhhhhhhh
111/321/32hhhhvhhhhv
111/161/16hhhvhhhv
111/81/8hhvhhv
111/41/4hvhv
111/21/2vv
x P(x)x P(x)VaronesVaronesP(x)P(x)EventoEvento
31/3231/32
00
1/321/32
1/161/16
1/81/8
1/41/4
1/21/2
Valor esperado de varones = 31/32
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Distribuciones Distribuciones DiscretasDiscretas
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Distribución BinomialDistribución Binomial
Características: Características: Hay n ensayos independientes.Hay n ensayos independientes. El resultado del ensayo es éxito (E) o El resultado del ensayo es éxito (E) o
fracaso (F).fracaso (F). La probabilidad p de éxito es constante La probabilidad p de éxito es constante
en los ensayos.en los ensayos. Distribución asociada al muestreo con Distribución asociada al muestreo con
reemplazo.reemplazo.
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ad
Distribución BinomialDistribución Binomial
Parámetros: Parámetros:
n, p. n, p.
Variable aleatoria: Variable aleatoria:
Número x de éxitos en los Número x de éxitos en los
n ensayos.n ensayos.
Valor esperado: Valor esperado:
E(X)= n p E(X)= n p
Varianza:Varianza:
V(X)= n p (1-p)V(X)= n p (1-p)
x
i
xnx
xPxF
ppx
nxP
0
)()(
)1()(
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Gráfica de Distribución Gráfica de Distribución BinomialBinomial
0 2 4 6 8 10 120
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
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ad
E = PositivoE = Positivo1-binocdf(3, 5, 0.9)1-binocdf(3, 5, 0.9)
E F E E E
X = 4
n = 5
Ejemplo de Distribución Ejemplo de Distribución BinomialBinomial
5 pruebas de embarazo5 pruebas de embarazo Si estando embarazada la probabilidad de Si estando embarazada la probabilidad de
que el test de positivo es 0.9 ¿Cuál es la que el test de positivo es 0.9 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 o más positivos probabilidad de obtener 4 o más positivos en 5 ensayos? en 5 ensayos?
5 0.95 0.944 x 0.1 + 5 0.9 x 0.1 + 5 0.955 x 0.1 x 0.100 = 0.32805 + 0.5905 = 0.91854 = 0.32805 + 0.5905 = 0.918544 4 5 5
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ásic
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e P
roba
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ad
Distribución Binomial. EjercicioDistribución Binomial. Ejercicio
De acuerdo a un estudio realizado, el 26% de De acuerdo a un estudio realizado, el 26% de las personas adultas de Barinas tiene las personas adultas de Barinas tiene sobrepeso. Si se extrae una muestra sobrepeso. Si se extrae una muestra aleatoria simple de 10 adultos, encuentre la aleatoria simple de 10 adultos, encuentre la probabilidad de que el número de personas probabilidad de que el número de personas con sobrepeso, dentro de la muestra, sean:con sobrepeso, dentro de la muestra, sean:
a)a) Exactamente tres personasExactamente tres personas
b)b)Menos de 2Menos de 2
c)c) Dos o más personasDos o más personas
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e P
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ad
Distribución Binomial. EjercicioDistribución Binomial. Ejercicio
La probabilidad de que una persona que sufre La probabilidad de que una persona que sufre de migraña tenga alivio con una fármaco de migraña tenga alivio con una fármaco específico es de 0.9. Se seleccionan específico es de 0.9. Se seleccionan aleatoriamente a tres personas con migraña a aleatoriamente a tres personas con migraña a las que se les administra el fármaco. las que se les administra el fármaco. Encuentre la probabilidad de que el número Encuentre la probabilidad de que el número de personas que logran alivio sean.de personas que logran alivio sean.
a)a) Exactamente 0Exactamente 0
b)b)Exactamente unoExactamente uno
c)c) Dos o menosDos o menos
d)d)Dos o tresDos o tres
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ad
Distribución Binomial. EjercicioDistribución Binomial. Ejercicio
En un estudio se encontró un gran número de casos de En un estudio se encontró un gran número de casos de contaminación en peces en supermercados de las ciudades contaminación en peces en supermercados de las ciudades de Nueva York y Chicago. El estudio reveló que el 40% de los de Nueva York y Chicago. El estudio reveló que el 40% de los trozos de pez espada disponibles para la venta tenía un nivel trozos de pez espada disponibles para la venta tenía un nivel de mercurio superior al limite establecido por la de mercurio superior al limite establecido por la Administración de Alimentos y Medicinas de Estados Unidos Administración de Alimentos y Medicinas de Estados Unidos (FDA). Para una muestra aleatoria de tres trozos de pez (FDA). Para una muestra aleatoria de tres trozos de pez espada, calcule la probabilidad de que:espada, calcule la probabilidad de que:
Los tres trozos tengan niveles de mercurio por encima del Los tres trozos tengan niveles de mercurio por encima del límite establecido por la FDA.límite establecido por la FDA.
Exactamente un trozo de pez espada tenga un nivel de Exactamente un trozo de pez espada tenga un nivel de mercurio por encima del límitemercurio por encima del límite
Cuando mas, un trozo de pez espada tenga un nivel de Cuando mas, un trozo de pez espada tenga un nivel de mercurio por encima límite establecido por la FDA.mercurio por encima límite establecido por la FDA.
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ad
Distribución geométricaDistribución geométrica Características: Características:
Pruebas idénticas e independientes.Pruebas idénticas e independientes. Dos posibles resultados: éxito o fracasoDos posibles resultados: éxito o fracaso Probabilidad de éxito p (constante para Probabilidad de éxito p (constante para
cada prueba)cada prueba) Variable aleatoria geométrica Y es el Variable aleatoria geométrica Y es el
número de la prueba en la cual ocurre el número de la prueba en la cual ocurre el primer éxito (en lugar del número de primer éxito (en lugar del número de éxitos que ocurren en n pruebas)éxitos que ocurren en n pruebas)
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ad
F F E Éxito en la tercera prueba
P(x) = P(F F F … F E)P(x) = P(F F F … F E)
X - 1X - 1
P(x) = (1-p) P(x) = (1-p) x – 1x – 1 p p
Distribución geométricaDistribución geométrica
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ad
22 )1(
)(
1)(
p
pXV
pXE
Distribución geométricaDistribución geométrica
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ad
Se supone que el 5% de las enfermeras que se Se supone que el 5% de las enfermeras que se presentan en el Hospital General del Sur presentan en el Hospital General del Sur aspirando al cargo de asistente de cirugía, aspirando al cargo de asistente de cirugía, tienen entrenamiento en Instrumentación tienen entrenamiento en Instrumentación Quirúrgica. Quirúrgica.
Determine la probabilidad de que se encuentre Determine la probabilidad de que se encuentre la primera enfermera con entrenamiento en la primera enfermera con entrenamiento en instrumentación quirúrgica en la quinta instrumentación quirúrgica en la quinta entrevista.entrevista.
¿Cuál es el número esperado de aspirantes ¿Cuál es el número esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar que hay que entrevistar para encontrar la primera enfermera con entrenamiento la primera enfermera con entrenamiento en instrumentación quirúrgica?en instrumentación quirúrgica?
Distribución geométricaDistribución geométrica
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ad
Distribución Distribución HipergeométricaHipergeométrica
Características: Características: Población de tamaño NP, K de ellos son Población de tamaño NP, K de ellos son
del tipo A.del tipo A. Si se selecciona una muestra aleatoria Si se selecciona una muestra aleatoria
de de nn elementos ¿ elementos ¿Cuál es la Cuál es la probabilidad de que en ésta se hallen probabilidad de que en ésta se hallen xx elementos del tipo A?elementos del tipo A?
Muestreo sin reemplazo.Muestreo sin reemplazo.
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Distribución Distribución HipergeométricaHipergeométrica
n
NP
xn
KNP
x
K
xP )(
NP=número total de elementosK=número de elementos que hay de un determinado tipo An= número total de elementos que se seleccionarán (tamaño de la muestra)X = número de elementos A en la muestra
Parámetros: NP, K, n.
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Distribución Distribución HipergeométricaHipergeométrica
Sea p= K/NP la proporción de elementos del tipo A en la Sea p= K/NP la proporción de elementos del tipo A en la población:población:
Valor esperado: Valor esperado:
E(X)= n pE(X)= n p
Varianza:Varianza:
Cuando la fracción de muestreo Cuando la fracción de muestreo n/NPn/NP es “pequeña”, la es “pequeña”, la hipergeométrica se puede aproximar por la binomial hipergeométrica se puede aproximar por la binomial con parámetros p y n.con parámetros p y n.
)1(
))(1(
NP
nNPpnp
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Ejemplo de HipergeométricaEjemplo de Hipergeométrica
¡El KINO!¡El KINO! NP = 25NP = 25 Favorables = K = 15Favorables = K = 15 Se elige una muestra Se elige una muestra
de 15de 15
¿Cuál es la ¿Cuál es la probabilidad de que probabilidad de que x sea 12, 13, 14, x sea 12, 13, 14, 15?15?
A A’
X N
NP
xx P (X = x)P (X = x) P (X < x)P (X < x) P (X P (X ≥≥ x) x)
1212 0.016703580.01670358 0.981804720.98180472 0.018195280.01819528
1313 0.001445500.00144550 0.998508300.99850830 0.001491700.00149170
1414 0.000045890.00004589 0.999953810.99995381 0.000046190.00004619
1515 0.000000310.00000031 0.999999690.99999969 0.000000310.00000031
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cept
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ad
P(12) = 0.0167
P(13) = 0.0014
P(14) = 0.000046
P(15)= 0.0000003
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ad
Ejemplo de HipergeométricaEjemplo de Hipergeométrica
Para evitar que lo descubran en la aduana, un Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.arrestado por posesión de narcóticos?.
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Ejemplo de HipergeométricaEjemplo de Hipergeométrica
¿Cuál es la probabilidad de que una ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tiene la estudiantes, de los cuales 4 no tiene la edad suficiente? ¿Cuál es la edad suficiente? ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a las identificaciones pertenezcan a menores de edad?.menores de edad?.
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Distribución de PoissonDistribución de Poisson
Eventos que ocurren con velocidad constante en Eventos que ocurren con velocidad constante en el tiempo (número de casos semanales de Dengue el tiempo (número de casos semanales de Dengue en el hospital del sur), o en el espacio (número de en el hospital del sur), o en el espacio (número de camarones por mcamarones por m33 en el Lago de Maracaibo). en el Lago de Maracaibo).
CaracterísticasCaracterísticas
El número de eventos que ocurre en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades
El número medio (o esperado) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega lambda λ
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Distribución de PoissonDistribución de Poisson Características: Características:
Se utiliza como aproximación al modelo Se utiliza como aproximación al modelo binomial cuando n es grande y p binomial cuando n es grande y p pequeño (ley de los sucesos raros). p < pequeño (ley de los sucesos raros). p < 0.1 np < 5, tomando como parámetro λ 0.1 np < 5, tomando como parámetro λ = np= np
También se conoce como “la También se conoce como “la distribución de los sucesos raros”distribución de los sucesos raros”
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Distribución de PoissonDistribución de Poisson
Parámetros:Parámetros: λ promedio de λ promedio de
ocurrencias del suceso ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o por unidad de tiempo o espacio.espacio.
Variable aleatoria:Variable aleatoria: Número x de Número x de
ocurrencias del suceso ocurrencias del suceso por unidad de tiempo o por unidad de tiempo o espacio (x = 0, 1, 2, ...).espacio (x = 0, 1, 2, ...).
Valor esperadoValor esperado::E(X)= λE(X)= λ
VarianzaVarianza::V(X)= λV(X)= λ
x
i
x
xPxF
x
exP
0
)()(
!)(
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ad Ejemplo de Distribución de Ejemplo de Distribución de PoissonPoisson
Si la media del número de casos semanales de Si la media del número de casos semanales de Dengue en un hospital es 1.3, ¿Cuál es la Dengue en un hospital es 1.3, ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana se probabilidad de que en una semana se presenten 5 o más casos de Dengue?presenten 5 o más casos de Dengue?
λ=1.3 x=4=5-1λ=1.3 x=4=5-1
Resultado = 1 - poisscdf(4, 1.3);Resultado = 1 - poisscdf(4, 1.3);
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A menudo, el número de llamadas telefónicas A menudo, el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga una variable aleatoria de Poisson. Suponga que, en promedio, se reciben 10 llamadas por que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora.hora.¿Cuál es la probabilidad de que lleguen ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora?exactamente cinco llamadas en una hora?¿Cuál es la probabilidad de que se reciban ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas?exactamente 15 llamadas en dos horas?¿Cuál es la probabilidad de que lleguen ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en 30 minutos?exactamente cinco llamadas en 30 minutos?
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Distribución de PoissonDistribución de Poisson
0 5 10 15 20 250
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
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Si X e Y son variable aleatorias y k es una constante
entonces:
E(k) = k
E(k X)= k E(X)
E(X+Y)= E(X) + E(Y)
V(X) = E[(X - µ)2] = E(X2) - µ2
Algunos resultados sobreAlgunos resultados sobrevalores esperados y varianzasvalores esperados y varianzas
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Distribuciones Distribuciones ContinuasContinuas
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Distribución NormalDistribución Normal ImportanciaImportancia
La distribución Normal es indudablemente la La distribución Normal es indudablemente la distribución continua fundamental, tanto por sus distribución continua fundamental, tanto por sus aplicaciones como por el rol que juega dentro aplicaciones como por el rol que juega dentro de la Teoría Estadística. Es la piedra angular de de la Teoría Estadística. Es la piedra angular de la Inferencia ya que muchas estadísticas la Inferencia ya que muchas estadísticas muestrales tienden hacia la distribución Normal muestrales tienden hacia la distribución Normal cuando el tamaño de la muestra crece.cuando el tamaño de la muestra crece.
Enfoque original:Enfoque original: Moivre, 1971 Moivre, 1971 Posteriormente:Posteriormente: Karl Gauss, 1855 Karl Gauss, 1855 También es conocida como También es conocida como distribución Gaussianadistribución Gaussiana
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Distribución NormalDistribución Normal Características Características
Tiene forma de campanaTiene forma de campana Es simétrica con respecto a la mediaEs simétrica con respecto a la media Es ContinuaEs Continua Las dos colas (extremos) de una distribución Las dos colas (extremos) de una distribución
normal de probabilidad se extienden de normal de probabilidad se extienden de manera indefinida y nunca tocan el eje manera indefinida y nunca tocan el eje horizontal. horizontal.
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Distribución NormalDistribución Normal
Función de Densidad Función de Densidad Se afirma que una variable aleatoria X esSe afirma que una variable aleatoria X es Normal Normal
N(μ,σN(μ,σ22) si su función de densidad está dada por:) si su función de densidad está dada por:
Parámetros Parámetros μμ y y σσ
Valor Esperado Valor Esperado μμ
VarianzaVarianzaσσ22
xexf
x
,2
1)(
2
2
1
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Normal EstándarNormal Estándar
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Gráfica de Distribución Gráfica de Distribución NormalNormal
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ad Gráfica de Distribuciones NormalesGráfica de Distribuciones Normalescon diferentes medias e igual con diferentes medias e igual
dispersióndispersión
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Normal EstándarNormal Estándar Función de distribución acumulada:Función de distribución acumulada:
Si X es N(μ,σSi X es N(μ,σ22) (una variable aleatoria ) (una variable aleatoria normal con media μ y varianza σnormal con media μ y varianza σ22) ) entonces, Z = (X-μ)/σ, es N(0,1) y se le entonces, Z = (X-μ)/σ, es N(0,1) y se le designa como Normal Standard. Esta designa como Normal Standard. Esta propiedad permite relacionar la función de propiedad permite relacionar la función de distribución acumulada de X con la de Z, distribución acumulada de X con la de Z, ya que:ya que:
Prob( X ≤ w ) = Prob ( Z ≤ (w-Prob( X ≤ w ) = Prob ( Z ≤ (w-μμ)/)/σσ ). ).
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EstándarEstándar
0 1.25
1056.0
0.8944-1
)25.1(1 25.1(
zpzp
3944.05000.08944.0
)0()25.1()25.10(
zpzpzp
0 1.25
Normal estándarNormal estándar
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Consideremos que el peso de los niños varones en el momento Consideremos que el peso de los niños varones en el momento del nacimiento se distribuye normalmente. Si sabemos que el del nacimiento se distribuye normalmente. Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son peso medio en el momento de nacer son 3,25 kgs3,25 kgs y la y la desviación típica es de desviación típica es de 0,82 kgs0,82 kgs, ¿cuál es la probabilidad de , ¿cuál es la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs?que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs?
Tipificamos la variable aleatoria X, peso de los niños al nacer. En el proceso de tipificación, al valor de X=4, le corresponde el valor, t=0,9146 :
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Si el nivel de colesterol de los habitantes de Si el nivel de colesterol de los habitantes de Maracaibo tiene una distribución Maracaibo tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 200 aproximadamente normal, con una media de 200 mg/100 ml y una desviación estándar de 20 mg/100 ml y una desviación estándar de 20 mg/100 ml, calcule la probabilidad de que una mg/100 ml, calcule la probabilidad de que una persona de Maracaibo, elegida al azar, tenga un persona de Maracaibo, elegida al azar, tenga un nivel de colesterol: nivel de colesterol:
a.- Entre 180 y 200 mg/100 mla.- Entre 180 y 200 mg/100 ml
b.- Mayor que 225 mg/100 mlb.- Mayor que 225 mg/100 ml
c.- Menor que 150 mg/100 mlc.- Menor que 150 mg/100 ml
d.- Entre 190 y 210 mg/100 mld.- Entre 190 y 210 mg/100 ml
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El tiempo de incapacidad por enfermedad de los El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un mes tiene empleados de una compañía en un mes tiene una distribución normal con media de 100 horas una distribución normal con media de 100 horas y desviación estándar de 20 horas.y desviación estándar de 20 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad del siguiente mes se encuentre incapacidad del siguiente mes se encuentre entre 50 y 80 horas?entre 50 y 80 horas?
¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse para que la probabilidad de excederlo planearse para que la probabilidad de excederlo sea solo del 10%?sea solo del 10%?
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Distribución GammaDistribución Gamma
CaracterísticasCaracterísticas Valores positivosValores positivos Asimetría hacia la derechaAsimetría hacia la derecha Muy versátil, dependiendo del valor de Muy versátil, dependiendo del valor de
los parámetros adopta formas muy los parámetros adopta formas muy distintasdistintas
Dos distribuciones fundamentales:Dos distribuciones fundamentales: Exponencial y Chi-cuadrado son casos Exponencial y Chi-cuadrado son casos
particulares de ésta.particulares de ésta.
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Distribución GammaDistribución Gamma
ParámetrosParámetros θθ: Parámetro de escala: Parámetro de escala
αα: Parámetro de forma: Parámetro de forma Función de DensidadFunción de Densidad::
) (
x = xf)
x-(1-
exp
)(Aprox (Aprox (αα--
1)!1)!
Valor Valor esperadoesperado
θθ * * αα VarianzaVarianza
θθ22 * * αα
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0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
α = 1
α = 3
α = 5
θ = 1
Distribución GammaDistribución Gamma
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0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Distribución GammaDistribución Gamma
α = 1
θ = 5
θ = 1
θ = 3
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Esta relacionada con la distribución de Poisson.
Diferencia: a la distribución de Poisson le interesa el numero de ocurrencias, mientras que a la exponencial le interesa el tiempo transcurrido entre las ocurrencias.
Ejemplo:
Poisson: el número de personas en la cola del banco
Exponencial: el tiempo entre llegadas a la taquilla
Distribución ExponencialDistribución Exponencial
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Distribución ExponencialDistribución Exponencial
Función de Densidad:Función de Densidad:
0,;)( xe = xf x
La media del proceso de Poisson.
Número medio de sucesos por unidad
de medida.
La variable aleatoria X indica el tiempo desde que empieza el proceso de observación hasta que ocurre un proceso de Poisson.
Ejemplo: El tiempo que puede transcurrir, en la emergencia de un hospital, para la llegada de un paciente con una determinada enfermedad. El tiempo transcurrido hasta la falla de un dispositivo.
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ad Distribución ExponencialDistribución Exponencial
Función de Probabilidad:Función de Probabilidad:
xexXPxF 1)()(
Valor esperado Valor esperado
1
Varianza Varianza
2
1
La probabilidad de que no ocurra un proceso de Poisson en el tiempo x es equivalente a la probabilidad de que el tiempo de observación requerido para que suceda el evento es mayor
que x.
xexXP )(
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ad
Los clientes de un supermercado llegan en promedio de 1 por minuto. Halle la probabilidad de que transcurran:
A lo sumo 2 minutos antes de la llegada del próximo cliente
Por lo menos 3 minutos
Distribución ExponencialDistribución Exponencial
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ad
La duración de un cierto tipo de bombillo es una variable aleatoria exponencial de media 5000 horas.
¿Cuál es la probabilidad de dure más de 6000 horas
¿Cuál es la probabilidad de que dure más de 6000 horas si lleva funcionando 1000 horas? (6000 horas adicionales a las 1000 que lleva funcionando)
Distribución ExponencialDistribución Exponencial
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ad
Para una variable aleatoria exponencial X,
P(X < t1 + t2 / X > t1) = P(X < t2)
Propiedad de la carencia de memoria
En la duración que se espera que tenga el objeto, no influye para nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando El dispositivo no se desgasta.
Distribución ExponencialDistribución Exponencial
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ad
Distribución BetaDistribución Beta
Características: Características: Se la utiliza para representar variables Se la utiliza para representar variables
aleatorias cuyos valores se encuentran aleatorias cuyos valores se encuentran restringidos a intervalos de longitud restringidos a intervalos de longitud finita. finita.
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Distribución BetaDistribución Beta
Parámetros : Parámetros : αα y y ββ ambos parámetros de formaambos parámetros de forma..
Función de densidad :Función de densidad : Es 0 en todas partes salvo en el Es 0 en todas partes salvo en el
intervalo [0,1] donde está definida por:intervalo [0,1] donde está definida por:
0 > 0 > 1 < x < 0
)( ) (
x x ) + ( =) x , , ( f
1-1-
)1(
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Distribución BetaDistribución Beta Valor esperado: Valor esperado:
αα/(/(αα + β) + β)
Varianza :Varianza : αα β/( β/(αα + β) + β)22((αα + β + 1) + β + 1)
Función de distribución acumulada en el MATLAB: Función de distribución acumulada en el MATLAB: betacdf(x, betacdf(x, αα, β) , β) Es la función de distribución acumulada definida para Es la función de distribución acumulada definida para
todo x en (0,1). todo x en (0,1).
Inversa :Inversa : BETAINV(p, BETAINV(p, αα, β)., β).
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Gráfica de Distribución BetaGráfica de Distribución Beta
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Distribución Uniforme ContinuaDistribución Uniforme Continua
Características:Características: La distribución La distribución uniforme o rectangularuniforme o rectangular tiene densidad tiene densidad
constante en un intervalo [a, b] y vale 0 fuera del mismo.constante en un intervalo [a, b] y vale 0 fuera del mismo.
a b
f(x)
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Parámetros:Parámetros:a y ba y b
Función de Función de densidad:densidad: f(x)= 1/(b-a) en [a, f(x)= 1/(b-a) en [a,
b]b] 0 en el resto0 en el resto
Valor esperado:Valor esperado:(a + b)/2(a + b)/2
Varianza:Varianza:(b – a)(b – a)22/12/12
Distribución Uniforme Distribución Uniforme ContinuaContinua
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ad
Suponga que el departamento de investigación de un fabricante de acero cree que una de las máquinas de la compañía está produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor es un variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros de espesor debe desecharse, pues resulta inaceptable para los compradores.
Distribución Uniforme Distribución Uniforme ContinuaContinua
Grafique la distribución de probabilidad de las láminas de acero producidas por esta máquina
Calcule la fracción de las láminas de acero producidas por esta máquina que se desechan
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ad
Investigadores de la Universidad de los Andes han Investigadores de la Universidad de los Andes han diseñado, construido y probado un circuito de diseñado, construido y probado un circuito de condensador conmutado para generar señales condensador conmutado para generar señales aleatorias. Se demostró que la trayectoria del aleatorias. Se demostró que la trayectoria del circuito estaba distribuida uniformemente en el circuito estaba distribuida uniformemente en el intervalo (0,1).intervalo (0,1).
Distribución Uniforme Distribución Uniforme ContinuaContinua
Indique la media y la varianza de la Indique la media y la varianza de la trayectoria del circuitotrayectoria del circuito
Calcule la probabilidad de que la Calcule la probabilidad de que la trayectoria esté entre 0.2 y 0.4trayectoria esté entre 0.2 y 0.4
¿Esperaría usted observar una ¿Esperaría usted observar una trayectoria que excediera 0.995?trayectoria que excediera 0.995?
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bilid
ad Distribución de probabilidad Distribución de probabilidad conjuntaconjunta
Si X y Y son variables aleatorias discretas, la distribución Si X y Y son variables aleatorias discretas, la distribución de probabilidad conjunta de X y Y, es una descripción del de probabilidad conjunta de X y Y, es una descripción del conjunto de puntos (x,y) en el rango de (X,Y) junto con la conjunto de puntos (x,y) en el rango de (X,Y) junto con la probabilidad asociada con cada uno de ellos.probabilidad asociada con cada uno de ellos.
Es conocida como distribución bivariada o distribución Es conocida como distribución bivariada o distribución bivariablebivariable
Satisface las siguientes condiciones:Satisface las siguientes condiciones:
),(),(
1),(
1),(0
yYxXPyxf
yxp
yxp
xy
x y
para todos los valores de x y y(1)
(2)
(3)
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ad
DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNCONJUNTACONJUNTA
YY
11 22 33
XX 00 .1.1 .2.2 .3.3
11 .2.2 .2.2 00
Distribución Bidimensional DiscretaDistribución Bidimensional Discreta
Suponga dos variables aleatorias:Suponga dos variables aleatorias:
X:X: Posición frente al aborto (0: en contra, 1: a favor) Posición frente al aborto (0: en contra, 1: a favor)
Y:Y: Nivel de educación de la persona (1: primaria, 2: Nivel de educación de la persona (1: primaria, 2: bachiller, 3: universitaria)bachiller, 3: universitaria)
Distribución de probabilidad Distribución de probabilidad conjuntaconjunta
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DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNCONJUNTACONJUNTA
YY Marginal Marginal de Xde X11 22 33
XX 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6
11 .2.2 .2.2 00 .4.4
Marginal de YMarginal de Y .3.3 .4.4 .3.3 11
Distribución de probabilidad Distribución de probabilidad conjuntaconjunta
x
yxpyp ),()(1 y
yxpxp ),()(2
Distribuciones de probabilidad marginales (incondicionales)Distribuciones de probabilidad marginales (incondicionales)
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ad Distribución de probabilidad Distribución de probabilidad conjuntaconjunta
Obtenga la distribución de probabilidad Obtenga la distribución de probabilidad condicional de x dado y=1condicional de x dado y=1
DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNCONJUNTACONJUNTA
YY Marginal Marginal de Xde X11 22 33
XX 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6
11 .2.2 .2.2 00 .4.4
Marginal de YMarginal de Y .3.3 .4.4 .3.3 11
)(
),()/(
yp
yxpyxp
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ad Distribución de probabilidad Distribución de probabilidad conjuntaconjunta
y x
yxxypXYE ),()(
Valor esperadoValor esperado
En el ejemplo,En el ejemplo,
¿Cuál sería el valor esperado de X? ¿y el de Y? ¿el de XY?¿Cuál sería el valor esperado de X? ¿y el de Y? ¿el de XY?
DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNCONJUNTACONJUNTA
YY Marginal Marginal de Xde X11 22 33
XX 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6
11 .2.2 .2.2 00 .4.4
Marginal de YMarginal de Y .3.3 .4.4 .3.3 11
Tem
a 1.
Rev
isió
n de
los
Con
cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad Distribución de probabilidad Distribución de probabilidad conjuntaconjunta
Teorema
Si x y y son variables aleatorias independientes, entonces
E(xy) = E(x)E(y)
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los
Con
cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
CovarianzaCovarianza
La covarianza(X,Y) es una medida de La covarianza(X,Y) es una medida de asociación lineal entre las variables X e Yasociación lineal entre las variables X e Y
Producto cruzado de las desviaciones (x-Producto cruzado de las desviaciones (x-μμxx) )
(y-(y-μμyy) para cada punto de datos) para cada punto de datos
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cept
os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
(x,y)
(y-μy)
(μx , μy)
(x-μx)
-- ++
++ --
Signos de los productos cruzados (x-Signos de los productos cruzados (x-μμxx)(y-)(y-μμyy))
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os B
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os d
e P
roba
bilid
ad
Signos de los productos cruzados (x-Signos de los productos cruzados (x-μμxx)(y-)(y-μμyy))
Relación lineal débil (valor medio cercano a 0)
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ad
CovarianzaCovarianza
Si Si
.-)E(=)COV(
))((E),COV(
)V( ; )V( ; E ; E
Y
22
x
YX
YXYX
XYX,Y
YXYX
YXYX
DefiniciónDefinición
TeoremaTeorema
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cept
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bilid
ad
Y=Abs(X)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Covarianza: 0
La covarianza(X,Y) es una medida de La covarianza(X,Y) es una medida de
asociación asociación lineal lineal entre las variables X e Yentre las variables X e Y
Si la relación entre las variables aleatorias no es lineal, puede que la covarianza no sea sensible a dicha relación.
Ejemplo:
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bilid
ad
DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNCONJUNTACONJUNTA
YY Marginal Marginal de Xde X11 22 33
XX 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6
11 .2.2 .2.2 00 .4.4
Marginal de YMarginal de Y .3.3 .4.4 .3.3 11
E(x) = 0.4E(y) = 2E(xy) = 0.6
Calcule la covarianza de las variables aleatorias
En el ejemplo,En el ejemplo,
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ad
Teorema
Si X y Y son dos variables aleatorias independientes, entonces:
Cov(X,Y)=0
¿Será lo contrario cierto también? Es decir:
¿si la covarianza es cero entonces puede concluirse que las variables son
independientes?
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ad
Supongamos YSupongamos Y1 y Y y Y2 dos variables dos variables aleatorias discretas con la siguiente aleatorias discretas con la siguiente distribución de probabilidad conjunta:distribución de probabilidad conjunta:
DISTRIBUCIÓDISTRIBUCIÓNN
CONJUNTACONJUNTA
YY11
-1-1 00 11
YY22
-1-1 1/161/16 3/163/16 1/161/16
00 3/163/16 00 3/163/16
11 1/161/16 3/163/16 1/161/16
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ad
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
Var (aX + b) = a2Var(X)
Var(aX+bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X,Y)
Sean X y Y dos variables aleatorias continuas y a y b dos constantes:
Valor esperado y varianza de Valor esperado y varianza de funciones lineales de variables funciones lineales de variables
aleatoriasaleatorias
Si X y Y son independientes, entonces:
Var(aX+bY) = a2Var(X) + b2Var(Y)
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ad
Un vendedor obtiene sus ingresos mediante la venta Un vendedor obtiene sus ingresos mediante la venta de dos productos distintos. Por experiencia sabe que de dos productos distintos. Por experiencia sabe que el volumen de ventas de A no tiene influencia alguna el volumen de ventas de A no tiene influencia alguna sobre el de B. Su ingreso mensual es el 10% del sobre el de B. Su ingreso mensual es el 10% del volumen, en dólares, del producto A y el 15% del volumen, en dólares, del producto A y el 15% del volumen de B. volumen de B.
Si en promedio las ventas del producto A Si en promedio las ventas del producto A ascienden a $10.000 con una desviación ascienden a $10.000 con una desviación estándar de $2.000 y las de B a $8.000 con una estándar de $2.000 y las de B a $8.000 con una desviación estándar de $1.000, obténgase el desviación estándar de $1.000, obténgase el valor esperado y la desviación estándar del valor esperado y la desviación estándar del ingreso mensual del vendedor.ingreso mensual del vendedor.
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CorrelaciónCorrelación
La correlación entre dos variables (x, y) es La correlación entre dos variables (x, y) es una medida de asociación que expresa el una medida de asociación que expresa el grado de dependencia lineal entre ambas, grado de dependencia lineal entre ambas, formalmente: formalmente:
Si las variables aleatorias son independientes Si las variables aleatorias son independientes entonces la correlación entre ambas es 0entonces la correlación entre ambas es 0
-1 ≤ ρ ≤ 1yx
YXYX
),cov(
),(
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ad
Correlación PositivaCorrelación Positiva Si la correlación es 1, todas las observaciones se Si la correlación es 1, todas las observaciones se
encuentran alineadas en una recta.encuentran alineadas en una recta.
-1 ≤ ρ ≤ 1 Si ρ = 0 X, Y independientes
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ad
X1
X2
X2
X2
r = 0.9
r = 0.5
r = 0
r = -0.5
r = -0.9 Distintos grados de Distintos grados de asociación lineal entre asociación lineal entre dos variablesdos variables
Nótese la orientación Nótese la orientación de la nube en función de la nube en función del signo de la del signo de la correlacióncorrelación
Coeficiente de Coeficiente de Correlación rCorrelación r
Independencia
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ad Algunos resultados sobreAlgunos resultados sobrevalores esperados y valores esperados y
varianzasvarianzas Si X e Y son variable aleatorias y k es una Si X e Y son variable aleatorias y k es una
constante entonces:constante entonces: E(k X)= k E(X) E(k X)= k E(X) V(k X)= kV(k X)= k2 2 V(X) V(X) E(X+Y)= E(X) + E(Y)E(X+Y)= E(X) + E(Y)
Además si X e Y son independientes:Además si X e Y son independientes:
V(X + Y) = V(X - Y) = V(X) + V(Y) V(X + Y) = V(X - Y) = V(X) + V(Y)
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os B
ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
Cuidado con la confusión entre correlación y causalidad
Que dos fenómenos estén correlacionados no implica que uno sea causa del otro. Es frecuente que una correlación fuerte indica que las dos variables dependen de una tercera que no ha sido considerada. Este tercer elemento se llama “factor de confusión”. Por ejemplo, puede ser que una fuerte correlación exprese una verdadera causalidad, como en el número de cigarrillos que se fuma al día y la aparición de cáncer de pulmón. Pero no es la estadística la que demuestra la causalidad, ella solo permite detectarla.
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bilid
ad
Cantidad de prostitutas y cajas de chicles consumidas en Maracaibo
Periodo: 1990 - 2004
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ad
Tem
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ásic
os d
e P
roba
bilid
ad
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Con
cept
os B
ásic
os d
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roba
bilid
ad
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
P(0.2 < y < 0.5)
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0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
F(0.7)