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Tema 1:Preliminares

Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla

Teorıa de la ComputabilidadCurso 2005–06

TC0, 2005–06 Preliminares 1.1

Conjuntos

I Escribimos x ∈ C para expresar que x es un elemento de C .I Ademas, x 6∈ C expresa que x NO es un elemento de C .I Dada una propiedad Θ, denotamos por {t : Θ(t)} al conjunto

formado por aquellos elementos que verifican la propiedad Θ.I El conjunto vacıo de denota por ∅.

Igualdad entre conjuntos

I Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismoselementos, es decir, si

Para todo x , x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B

I Por tanto, dada una propiedad, Θ, si A = {x : Θ(x)}entonces, para todo x ,

x ∈ A ⇐⇒ Θ(x)


Subconjuntos

I A es un subconjunto de B, y lo expresamos, A ⊆ B, si todoelemento de A es elemento de B, es decir,

Para todo x , x ∈ A =⇒ x ∈ B

I En consecuencia,

A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A

Ası, podemos probar que dos conjuntos A y B son igualespor doble inclusion, es decir, probando que A ⊆ B y B ⊆ A.


Operaciones con conjuntos

I Union: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}I Interseccion: A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}I Diferencia: A− B = {x : x ∈ A y x /∈ B}I Complementario: Fijado un conjunto C , para cada A ⊆ C el

complementario de A (en C ) se define como

A = C − A = {x ∈ C : x /∈ A}

I Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, el conjuntopotencia de A (o conjunto de las partes de A) es

P(A) = {C : C ⊆ A}


Producto cartesiano

I Producto cartesiano: A× B = {(u, v) : u ∈ A y v ∈ B},donde (u, v) denota al par ordenado formado por u y v .

I La propiedad caracterıstica de los pares ordenados es

(a, b) = (c , d) ⇐⇒ a = c y b = d

I En general, para cada n ≥ 3, podemos considerar n-tuplas,(a1, a2, ..., an), cuya propiedad caracterıstica es:

(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn) ⇐⇒ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn

I A1 × ...× An = {(x1, ..., xn) : x1 ∈ A1 ∧ ... ∧ xn ∈ An}.I Si A1 = ... = An = A, escribiremos An = A× A× (n... ×A.

Ademas, la n–tupla (x1, . . . , xn) se denotara por ~x .


Funciones

I Una funcion f es un conjunto de pares ordenados, tal que

(a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f =⇒ b = c

I El dominio de una funcion f es el conjunto:

dom(f ) = {x : ∃y ((x , y) ∈ f )}

I El rango de f es el conjunto:

rang(f ) = {y : ∃x ((x , y) ∈ f )}

I Si f es una funcion, para cada a ∈ dom(f ) existe un unicob ∈ rang(f ) tal que (a, b) ∈ f . Por ello usaremos la notacionhabitual, f (a) = b para expresar que (a, b) ∈ f .


Igualdad entre funciones

Notacion: Escribiremos f (x) ↓ para expresar que x ∈ dom(f ) yutilizaremos la notacion f (x) ↑ para expresar que x /∈ dom(f ).(En este ultimo caso se dice que f no esta definida en x).

I Si f y g son funciones, entonces f = g si y solo si tienen losmismos elementos (pares ordenados). Por tanto,

f = g ⇐⇒

dom(f ) = dom(g)ypara todo x ∈ dom(f ), f (x) = g(x)

⇐⇒ Para todo x ,

f (x) ↓ ⇐⇒ g(x) ↓yf (x) = g(x)


Tipos de funciones

Sean A y B dos conjuntos y f una funcion.

I f es una aplicacion de A en B (o funcion total de A en B) yescribiremos f : A −→ B, si

dom(f ) = A y rang(f ) ⊆ B

I f es una funcion parcial de A en B, f : A − → B, si

dom(f ) ⊆ A y rang(f ) ⊆ B

I Una funcion f : A − → B es:I inyectiva si para todo x1, x2 ∈ dom(f ),

f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2

I sobreyectiva (o suprayectiva o exhaustiva) si rang(f ) = B, esdecir,

∀y ∈ B∃x ∈ A(f (x) = y)

I biyectiva si es total, inyectiva y sobreyectiva.


Composicion de funciones

Sean f : A − → B y g : B − → C . Se define la composicion de fy g como la funcion (parcial) h : A − → C dada por

h = {(x , y) ∈ A× C : Existe z ∈ B tal que f (x) = z y g(z) = y}

Graficamente,

Af−→ B

g−→ Cx 7→ f (x) 7→ g(f (x)) (= h(x))

Notacion: h = g ◦ f .

I Sea A un conjunto. La funcion identidad de A es la funcionIdA : A → A, dada por IdA(x) = x .


Funcion inversa

I Dada una funcion f decimos que una funcion g es la inversade f si, para todo x y todo y se tiene,

f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x

I Si existe, la inversa de f es unica y se denota por f −1.

I Sea f una funcion. Entonces,

f tiene inversa ⇐⇒ f es inyectiva.

Proposicion: Sea f : A −→ B una aplicacion. Entonces,

1. f −1 es aplicacion de B en A ⇐⇒ f es biyectiva(en cuyo caso, f −1 tambien sera biyectiva)

2. Si f es biyectiva, f ◦ f −1 = IdB y f −1 ◦ f = IdA.Si, ademas, A = B entonces, f ◦ f −1 = f −1 ◦ f


Imagen e imagen inversa.

Sea f : A − → B.

I Si C ⊆ A, la imagen de C por f es el conjunto

f [C ] = {y ∈ B : Existe x ∈ dom(f ) ∩ C tal que f (x) = y}

I Si D ⊆ B, la imagen inversa (o antiimagen) de D por f esel conjunto

f −1[D] = {x ∈ A : x ∈ dom(f ) y f (x) ∈ D}

Observaciones:

1. Para cada C ⊆ A, f [C ] ⊆ B.

2. Para cada D ⊆ B, f −1[D] ⊆ A.

3. f −1[D] existe siempre, aunque no exista la inversa de f .


Conjuntos numerables

Definicion: Un conjunto A es numerable si existe una aplicacionbiyectiva de N en A.

I Si un conjunto, A, es numerable, entonces los elementos de Apueden ordenarse en una lista infinita sin repeticiones:

a0, a1, . . . , an, . . .

I N2 es numerable.Para probarlo, basta demostrar que la siguiente funcionJ : N2 → N es biyectiva:

J(x , y) =(x + y)(x + y + 1)

2+ x

I En general, para cada k ≥ 2, el conjunto Nk es numerable.

I El conjunto de los numeros racionales Q es numerable.


Conjuntos no numerables

No todo conjunto infinito es numerable.

I Ejemplos:I El conjunto de los numeros reales, R.I El intervalo [0, 1) ⊆ R.I P(N).

Estos resultados fueron probados por G. Cantor utilizando lamisma idea basica: El metodo diagonal de Cantor.


El metodo diagonal de Cantor (I)

Veamos que P(N) no es numerable.

I Por reduccion al absurdo. Si P(N) fuese numerabletendrıamos

P(N) = {A0,A1,A2, ...,An, ...}.

I Cada subconjunto A ⊆ N puede identificarse con una sucesion

0 1 2 . . . n . . .

A SI NO NO . . . SI . . .

donde en la posicion j–esima figura un SI cuando j ∈ A y unNO en caso contrario.


El metodo diagonal de Cantor (II)

I Formemos una tabla infinita con la informacion de los Aj .0 1 2 .. n ..

A0 SI no no .. no ..A1 no NO si .. si ..A2 si si NO .. no ..

.

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. ..An no si no .. SI ..

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. ..

I El conjunto D ⊆ N definido usando la diagonal de la tabla

D

0 1 2 ... n ...NO – – ... – ...– SI – ... – ...– – SI ... – ...– – – ... – ...– – – ... NO ...– – – ... – ...

es, por construccion, un subconjunto de N distinto deA0,A1,A2, ...,An, ..., en contradiccion con la suposicion deque P(N) es numerable.

Por tanto, P(N) es no numerable.TC0, 2005–06 Preliminares 1.15

El metodo diagonal de Cantor (III)

Veamos ahora que el intervalo [0, 1) no es numerable:

I Cada numero real x ∈ [0, 1) puede escribirse en base 10 como:

0′a0 a1 a2 . . .

Donde cada ak ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Por tanto podemosidentificar x con la sucesion a0, a1, a2, . . . , an, . . . .

I Supongamos por reduccion al absurdo que [0, 1) esnumerable. Entonces

[0, 1) = {x0, x1, x2, . . . }

y cada xj tiene una expresion decimal: 0′aj ,0 aj ,1 aj ,2 . . . .


El metodo diagonal de Cantor (IV)

I Formemos una tabla infinita con las expresiones decimales delos xj :

x0 a0,0 a0,1 a0,2 .. a0,n ..x1 a1,0 a1,1 a1,2 .. a1,n ..x2 a2,0 a2,1 a2,2 .. a2,n .....

......

... ..... ..

xn an,0 an,1 an,2 .. an,n .....

......

... ..... ..

I Definamos ahora el siguiente numero real d ∈ [0, 1):

d = 0′d0 d1 d2 . . . , dn . . .

donde dj =

{0 si aj ,j 6= 01 si aj ,j = 0

I Entonces, para todo j ∈ N, xj 6= d . En contradiccion cond ∈ [0, 1) = {x0, x1, x2, . . . }.


Predicados

Definicion: (n ≥ 1) Un predicado n–ario sobre A es una aplicacionθ : An → {0, 1}.

I Los predicados nos permiten identificar con funciones lossubconjuntos de A y, en general, las relaciones entreelementos de A.

I Dado (x1, . . . , xn) ∈ An, si θ(x1, ..., xn) = 1 diremos que elpredicado θ se verifica (o que es cierto) para (x1, ..., xn).Escribiremos θ(~x) en vez de θ(~x) = 1.

I Si θ(x1, ..., xn) = 0 diremos que el predicado no se verifica (oque es falso) para (x1, ..., xn).

I Podemos identificar un predicado n–ario sobre A,θ : An → {0, 1}, con un subconjunto de An:

Sθ = {~x ∈ An : θ(~x) = 1}


Predicados y conjuntos

Definicion: Sea B ⊆ An. Llamaremos funcion caracterıstica delsubconjunto B, al predicado CB definido sobre An como sigue:

CB(~x) =

{1 si ~x ∈ B0 si ~x /∈ B

I La funcion caracterıstica de B ⊆ An, nos permite identificar elconjunto B con un predicado (precisamente, CB).

I Si θ es un predicado n–ario sobre A y B = Sθ entoncesCB = θ.


Operaciones con predicados

Definicion: Dados los predicados θ y θ′, definimos los predicados¬θ, θ ∨ θ′, θ ∧ θ′, θ → θ′ y θ ↔ θ′, ası:

I (¬θ)(~x) ≡ ¬θ(~x) = 1− θ(~x).

I (θ ∨ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∨ θ′(~x) = max(θ(~x), θ′(~x))

I (θ ∧ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∧ θ′(~x) = min(θ(~x), θ′(~x)).

I θ → θ′ = (¬θ) ∨ θ′.

I θ ↔ θ′ = (θ → θ′) ∧ (θ′ → θ).

Estas operaciones reflejan las operaciones entre conjuntos delsiguiente modo. Sean θ1 y θ2 predicados n–arios sobre An.Entonces

I Sθ1∨θ2 = Sθ1 ∪ Sθ2 .

I Sθ1∧θ2 = Sθ1 ∩ Sθ2 .

I S¬θ1 = An − Sθ1 .


Cuantificacion acotada

Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existencialacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∃z)≤yθ y se define mediante:

(∃z)≤yθ(~x , z) =

{1 si existe z0 ≤ y tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario

El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universalacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∀z)≤yθ y se define mediante:

(∀z)≤yθ(~x , z) =

{1 si para todo z0 ≤ y se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario

I (∃z)≤yθ(~x , z) = θ(~x , 0) ∨ θ(~x , 1) ∨ ... ∨ θ(~x , y)

I (∀z)≤y θ(~x , z) = θ(~x , 0) ∧ θ(~x , 1) ∧ ... ∧ θ(~x , y)


Cuantificacion no acotada

Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existenciales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∃z) θ y sedefine mediante:

(∃z) θ(~x , z) =

{1 si existe z0 tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario.

El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∀z) θ y sedefine mediante:

(∀z) θ(~x , z) =

{1 si para todo z0 se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario.


El principio de minimizacion

I Expresion sobre predicados. Sea θ un predicado 1–ariosobre N. Si ∃x θ(x) entonces ∃m (θ(m) ∧ ∀y < m ¬θ(y))

I Notacion: indicaremos que m es mınimo escribiendo:

m = µx(θ(x))

I Expresion conjuntista. Sea A ⊆ N. Si A 6= ∅ entonces∃m (m ∈ A ∧ ∀y < m(y /∈ A))

I Notacion: indicaremos que m es el mınimo escribiendo:

m = min(A)

Ejemplo.

I “Todo numero natural n ≥ 2 es divisible por un numeroprimo”.


El principio de Induccion

• Induccion debil.

Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:

1. Caso base: θ(0), y

2. Paso inductivo: ∀n(θ(n) −→ θ(n + 1))

Entonces, ∀n θ(n).

Ejemplos.

I

n∑i=0

i =n(n + 1)

2

I

n∑i=0

(2i + 1) = (n + 1)2


El Principio de Induccion (II)

• Induccion fuerte

Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:

1. Caso base: θ(0), y

2. Paso inductivo: ∀n([∀p ≤ n θ(p)] −→ θ(n + 1)).

Entonces, ∀n φ(n).

Ejemplo.

I “Todo numero natural n ≥ 2 puede descomponerse en unproducto de numeros primos”.


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