tema 1 posicion relativa de dos (2) rectas en el plano

INSTITUCIÓN EDUCATIVA AGROPECUARIO LA FORTUNA

SEGUNDA GUIA PARA EL APRENDIZAJE EN CASA

Asignatura: MATEMATICAS GRUPOS

9A-9B Periodo: TERCERO y CUARTO

AÑO 2020

Docente: LEOMAR TORRES VEGA

Tema 1 POSICION RELATIVA DE DOS (2) RECTAS EN EL PLANO

Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. (Sistema 2x2) método gráfico, por sustitución, método de igualación, método de reducción, por determinantes, sistema 3x3)

Tema 3 FUNCIÓN CUADRÁTICA( SU GRÁFICA Y CARACTERÍSTICA

Tema 4 (IV periodo)

GEOMETRÍA PLANA. (Ángulos, triángulos, polígonos, )

Tema 5 (IV periodo)

RAZONES TRIGONOMÉTRICA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

LOGROS: III y IV PERIODO

Nivel Superior

Resuelve satisfactoriamente, ejercicios y problemas de posición relativa de dos (2) rectas en el plano, sistemas de ecuaciones lineales, función cuadrática, geometría plana. (ángulos, triángulos, polígonos, ) y razones trigonométrica en triángulos rectángulos

Nivel Alto

Desarrolla operaciones básicas al resolver ejercicios y problemas de posición relativa de dos (2) rectas en el plano, sistemas de ecuaciones lineales, función cuadrática, geometría plana. (ángulos, triángulos, polígonos, ) y razones trigonométrica en triángulos rectángulos

Nivel Básico

Presenta algunas dificultades al resolver ejercicios y problemas de posición relativa de dos (2) rectas en el plano, sistemas de ecuaciones lineales, función cuadrática, geometría plana. (ángulos, triángulos, polígonos, ) y razones trigonométrica en triángulos rectángulos

Nivel Bajo

Demuestra grandes dificultades al resolver ejercicios y problemas de posición relativa de dos (2) rectas en el plano, sistemas de ecuaciones lineales, función cuadrática, geometría plana. (ángulos, triángulos, polígonos, ) y razones trigonométrica en triángulos rectángulos

N° CRITERIOS NIVEL

SIEMPRE CASI

SIEMPRE

POCAS

VECES

1 En esta guía de aprendizaje comprendí cómo realizar las actividades.

2 Tengo en cuenta las indicaciones dadas para el desarrollo de las actividades.

3 He realizado con honestidad las actividades propuestas por mi docente.

4 Desarrollo todas las actividades que se han programado.

5 Respeto y valoro mi trabajo realizado en la guía de aprendizaje.

6 Respeto y cumplo las instrucciones impartidas por mi docente.

7 Soy responsable con las actividades que me son asignadas por mi docente.

8 Puedo hablar con seguridad al profesor sobre mis actividades realizadas.

9 Para el desarrollo de mis actividades propuestas en la guía cuento con el apoyo de mis padres o cuidador.

10

Considero que soy un estudiante con todas las capacidades intelectuales para alcanzar la meta de aprendizaje del área.

Rejilla de autoevaluación del estudiante: Debes diligenciar la siguiente encuesta, le escribes tu nombre y grado y le tomas la foto y se la envías al what sApp 3012104157 del docente junto con las actividades resueltas propuestas en este módulo.





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ACTIVIDAD # 1: COPIA EN TU CUADERNO LOS TEMAS A TRATAR EN EL TERCER Y CUARTO PERIODO. TEMA # 1: POSICION RELATIVA DE DOS (2) RECTAS EN EL PLANO

Dadas dos rectas diferentes en el plano cartesiano, se pueden presentar 3 situaciones: Las rectas son paralelas, las rectas son perpendiculares o las rectas son secantes.

RECTAS PARALELAS:

Dos rectas no verticales son paralelas si y soló si sus pendientes son iguales. Ejemplo:

Las rectas son paralelas porque al relacionar sus pendientes podemos mirar que son

iguales, es decir m= por que el término que acompaña a x es la pendiente. Ejemplo 2. Determinar si las rectas (7x + 3y + 5 = 0) y (– 7x + 3y – 8 = 0) son paralelas o no Primero determinamos la pendiente de cada una de las rectas dadas. 7x + 3y + 5 = 0 En este caso debemos despejar y.

Por lo tanto la pendiente es m=

En este caso debemos despejar y: – 7x + 3y – 8 = 0

Por lo tanto la pendiente es m=

Nos damos cuenta que las pendientes son diferentes por lo tanto las rectas no son paralelas.





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ACTIVIDAD # 1 (SEMANAS DEL 7 AL 18 SEPTIEMBRE 2020)

TALLER TEMA: POSICION RELATIVA DE DOS (2) RECTAS EN EL PLANO

1. Determinar si cada par de rectas son paralelas, perpendiculares o secantes a. −4x + 5y −10 = 0 y 5x + 4y −4 = 0 b. 3x + 6y −1 = 0 y x + 2y +5 = 0 c. 4x + 5y = 20 y 5x − 4y = 20

2. Hallar la ecuación explicita de la recta que cumple las condiciones dadas en

cada caso: a. Pasa por el punto (10, −5) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 4x − 9y

= − 13 b. Pasa por el punto (10, −5) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 4x − 9y

= − 13 c. Pasa por el punto (−9, 11) y es paralela a la recta que pasa por los puntos(9, 17)

y (14, −2) d. Pasa por el punto (8, -3) y es paralela a la recta 2x + 5y − 5 = 0 e. Pasa por el punto (2, −3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos(

−2, 9) y (2 , −4) f.

Nota: Debe resolver la actividad y enviar por los medios descritos fecha límite de

envió viernes 18 de septiembre hasta la media noche.

A los contactos del docente. what sapp: 3012104157 o correo [email protected]

TEMA # 2: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es lineal. Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones.

Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema. Veamos a continuación un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una

ecuación de la forma ax + by = c

La gráfica de una ecuación lineal es una recta.

mailto:[email protected]





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Podemos comprobar que X =3 y que y = 1 es una ecuación de este sistema. Se evalúa las ecuaciones para encontrar la igualdad.

La solución también se puede escribir como el par ordenado (3, 1)

Observe que la gráfica de las Ecuaciones 1 y 2 son rectas (vea Figura 1). Como la solución (3, 1) satisface cada una de las ecuaciones, el punto (3, 1) se encuentra en cada recta. Por lo tanto, es el punto de intersección de las dos rectas

Sistema de ecuaciones. Solucionar un sistema de ecuación es encontrar un punto, que es a la vez, solución de cada aun de las ecuaciones que intervienen.

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas recibe el nombre de sistema 2 x 2 Para solucionar una ecuación 2 x 2 existen diferentes métodos los cuales son.

1. Método gráfico. 2. Método por sustitución. 3. Método de igualación. 4. Método de reducción.

MÉTODO GRÁFICO. Para resolver ecuaciones por el método grafico se ubican rectas en el plano correspondiente; el punto de corte entre las dos rectas determina la solución del sistema.

Ejemplo resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico.

Para poder graficar se debe hacer la tabla de valores, asignándole valores a x remplazando en cada ecuación graficar





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1. MÉTODO POR SUSTITUCIÓN.

Método de Sustitución: Se basa en la tercera regla de los sistemas equivalentes. Es el método indicado cuando es fácil despejar una incógnita en la ecuación. Para dar solución al sistema de ecuaciones por este método es necesario seguir Los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una

ecuación con una sola incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita

despejada. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Observemos como se soluciona paso a paso el sistema de ecuaciones.

1.) 3x - 4y = -6 2.) 2x + 4y = 16

Paso 1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones, para esto escogemos la segunda ecuación para despejar la variable x.

En la ecuación 2 despejamos x:

2x + 4y = 16 2x = 16 - 4y

x =

x = 8 - 2y

Reemplazamos x en la ecuación número 1 3x - 4y = -6

3(8 - 2y) - 4y = -6 24 - 6y - 4y = -6

24 - 10y = -6 -10y = -6 -24

-10y = -30

y =

y = 3

Paso 2-3 y 4. Sustituimos en la ecuación 1 la variable Y, por el valor que se halló





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en la anterior, entonces: 3x - 4y = -6 3x - 4(3) = -6 3x - 12 = -6 3x = -6 + 12

3x = 6

x=

Paso 5. La solución del sistema es x = 2 y y = 3 RTA.(2,3) MÉTODO DE IGUALACIÓN Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. Para dar solución al sistema de ecuaciones por este método es necesario seguir los siguientes pasos: 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Observemos cómo se soluciona paso a paso. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

3x - 4y = -6 2x + 4y = 16

Paso 1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y de la segunda ecuación:

3x - 4y = - 6 3x - 4y + 4y = - 6 + 4y

3x = - 6 + 4y 3x = -6 + 4y

x =

2x + 4y = 16 2x + 4y - 4y = 16 - 4y

2x = 16 - 4y

X=

Paso 2. Igualamos ambas expresiones:

=

2. Resolvemos la ecuación: 2(-6 + 4y) = 3(16 - 4y) prop. distributiva

-12 + 8y = 48 - 12y -12 + 12 + 8y = 48 - 12y + 12

8y = -12y +60 8y + 12y = +60

20y = 60 y = 60/ 20 = y = 3

Paso 4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la

=

= 2

Paso 5. Soluciones del sistema de ecuaciones: x = 2 y y = 3 RTA.(2,3)

MÉTODO DE REDUCCIÓN. (Eliminación). Consiste en obtener una ecuación con una sola incógnita, haciendo operaciones con las dos ecuaciones dadas. Es necesario amplificar convenientemente una de las dos, de modo que los coeficientes de algunas de las dos variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimina y es posible despejar la otra.





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Para dar solución al sistema de ecuaciones por este método es necesario seguir Los siguientes pasos: 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. Las sumamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Observemos como se soluciona paso a paso el siguiente sistema de ecuaciones

3x - 4y = -6 2x + 4y = 16

1. Se igualan los coeficientes de una incógnita, para que los coeficientes en ella sean Opuestos

. 3. Se suman las dos ecuaciones y se despejan.

4. Se resuelve la ecuación resultante y así

obtendremos el valor de una incógnita. Recuerda que debes multiplicar por -1 la expresión -y= -60/20 5. Reemplazamos el valor de la incógnita que encontramos en la ecuación más sencilla del sistema

inicial y así obtendremos el valor de la otra incógnita.

x = 2 y y = 3 RTA.(2,3)





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ACTIVIDAD # 2 (SEMANA DEL 21 AL 25 SEPTIEMBRE 2020) TALLER TEMA: SISTEMA DE ECUACIONES.

1. Siguiendo los pasos anteriores resuelve los siguientes ejercicios por los

métodos vistos anteriormente. (Grafico, Igualación, sustitución, reducción) (Es decir cada sistema de ecuación se debe realizar por cada método y comprobar que corresponde al mismo resultado).

a.

b.

c.

2. Determina el valor de cada determinante.

3. Encontrar la solución del siguiente sistema de ecuación 3x3.

Nota: Debe resolver la actividad y enviar por los medios descritos fecha límite de envió viernes 25 de septiembre hasta la media noche. A los contactos del docente. what sapp: 3012104157 o correo [email protected]






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TEMA # 2. FUNCION CUADRATICA DEFINICIÓN Y GRÁFICO Si se consideran tres números reales a, b y c, con a 0 , se llama función cuadrática o de segundo grado a la función:

En general, en una función y f x , x es la variable independiente e y es la variable dependiente. La

función cuadrática se suele escribir en forma abreviada: f x ax2 bx c o Y ax2 bx c El dominio de la función es el conjunto de los números reales Las siguientes funciones son cuadráticas o de segundo grado: ejemplos

GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA La construcción del gráfico de la función cuadrática en el plano cartesiano es una parábola que se caracteriza por tener los siguientes elementos:

Vértices (V) Corte de la

parábola con los ejes coordenados

Eje de simetría concavidad

El vértice es un punto de la

parábola máximo o mínimo

en la función. Diremos que el

vértice es máximo si la

parábola tiene concavidad

hacia abajo y diremos que el

vértice es mínimo siempre y

cuando la parábola tenga

concavidad hacia arriba.

El corte con el

eje y está

determinado por

el coeficiente

“c”, el punto de

intersección será

el punto (0, c).

El eje de simetría es una

recta paralela al eje y que

pasa por el vértice de la

parábola, por tanto es única

y dividirá en dos partes

iguales a la parábola como

una simetría axial. El eje de

simetría se representa por la

recta x = -b/2a.

La concavidad

nos indica si la

parábola abre

hacia arriba o

hacia abajo sus

ramas,

Se realiza en la misma forma que la función de primer grado: se elabora una tabla de valores, determinando así algunos puntos del gráfico, que permitan hacer un trazado de la curva. Ejemplo 1: graficar la función

El gráfico de una función cuadrática es una curva abierta llamada parábola. Se caracteriza, a simple vista, por presentar dos ramas simétricas que se abren. La concavidad de la curva puede estar hacia arriba o hacia abajo. Ejemplo 2: Construir el grafico de: se logra ver que ahora los miembros de la ecuacion son todos positivos.





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Se eligen los valores de x y se calculan los respectivos valores de la función, o sea, los valores de y

El ejemplo anterior muestra una parábola que presenta la concavidad hacia abajo, es decir, que sus ramas hacia abajo. Si observas detenidamente los ejemplos 1 y 2, podrás concluir que esto depende del signo del coeficiente a.

Ceros de la función.

Para determinar los ceros de una función y ax2 bx c se hace y 0 , con lo cual se

plantea la ecuación ax2 bx c 0 . Las raíces de la ecuación son los ceros de la función. Se plantean en la siguiente formula:

Ejemplo: determina los ceros de la siguiente función

.

ACTIVIDAD # 3 (SEMANA DEL 12 AL 16 DE OCTUBRE 2020) TALLER TEMA: FUNCIÓN CUADRÁTICA. EJERCICIOS: 1. Determina en cada una de las siguientes funciones

a) La concavidad b) los ceros o puntos de corte con el eje x (si los hay)





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c) punto de intersección con el eje y, d) grafica cada una de ellas.

Nota: Debe resolver la actividad y enviar por los medios descritos fecha límite de

envió viernes 16 de octubre hasta la media noche.

A los contactos del docente. what sapp: 3012104157 o correo [email protected]

TEMA # 4. GEOMETRÍA PLANA. (Ángulos, triángulos, polígonos, ) Concepto de geometría: La Geometría Históricamente la Geometría es una de las más antiguas ciencias. Originariamente, formaba un conjunto de conocimientos prácticos relacionados longitudes, áreas y volúmenes, La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. EL ÁNGULO: Es el espacio que existe por la formación de dos semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice. Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:

Para medir los ángulos se emplean varios sistemas, entre ellos el Sistema sexagesimal

que divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes

Constituyen un grado sexagesimal. El instrumento que se usa para medir ángulos

es el transportador.

Clasificación DE LOS ÁNGULOS

Según la medida de sus

ángulos.






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Según su suma

Según su posición.

TEMA: LOS POLÍGONOS, son figuras planas cerradas, definidas por segmentos; y los círculos que son figuras planas cerradas demarcadas por una sola línea llamada circunferencia. En estas figuras se determina el Perímetro (P) que es la longitud de la línea que rodea a la figura plana correspondiente a la suma de las longitudes de los lados; y el Área (A) que es la porción de plano ocupada por la figura. Polígonos Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos rectilíneos y sus elementos son:

Lado (cada segmento que forma la línea poligonal)

Vértice (cada extremo de los lados del polígono)

Ángulo (es el formado por dos lados consecutivos en el interior del polígono

Diagonal (es el segmento que une dos vértices no consecutivos)

Perímetro (correspondiente a la suma de las longitudes de los lados)





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CÍRCULOS: El círculo es una figura plana que consiste de todos los puntos que están sobre una curva cerrada y de los puntos interiores de ella, en la cual cada punto sobre la curva tiene la misma distancia al centro del círculo. El radio de un círculo es la distancia entre el centro y cualquier punto de la curva y tiene longitud r. El diámetro de un círculo es la distancia entre dos puntos cualesquiera de la curva cerrada y que pasa por el centro y tiene longitud d = 2r y divide a un círculo en dos partes iguales. La Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). El centro no es parte de la circunferencia. El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia del círculo dado. TEMA TRIANGULOS: Un triángulo es la región de plano limitada por tres rectas que se

cortan dos a dos. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices del triángulo.

Los segmentos determinados por dos vértices son los lados, los cuales se nombran con

las mismas letras del ángulo opuesto, pero en minúscula.

Propiedades e los Triángulos





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CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: Los triángulos se clasifican según la medida

de sus lados y según la medida de sus ángulos.

ACTIVIDAD # 4 (SEMANA DEL 19 AL 23 DE OCTUBRE 2020) TALLER TEMA: GEOMETRÍA PLANA. (Ángulos, triángulos, polígonos, teorema de Pitágoras) 1. Realiza los siguientes polígonos.(colocarle las características de polígonos)

Pentágono: Polígono de 5 lados.

Hexágono: polígono de 6 lados.

Heptágono: polígono de 7 lados.

Octágono: polígono de 8 lados

Nonágono: polígono de 9 lados

Decágono: polígono de 10 lados

2. Construir con trasportador cada uno de los siguientes ángulos. Luego,

clasificaros según su medida y colocarles las partes correspondiente.

a. 50° b. 120° c. 192°

d. 75 e. 218° f. 17°

g. 350 h. 172 i. 80°





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3. Halla las medidas de los ángulos interiores desconocidos y la de los tres ángulos exteriores, según los siguientes figuras.

a.

b.

c.

d.

4. Determina si los siguientes triángulos tienen las medidas correctas. Justificar la respuesta a partir de las propiedades vistas.

Nota: Debe resolver la actividad y enviar por los medios descritos fecha límite de envió viernes 23 de octubre hasta la media noche. A los contactos del docente. what sapp: 3012104157 o correo [email protected]

TEMA # 5 RAZONES O RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

RECTÁNGULO.

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura. Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.






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Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos. Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo. Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia. Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Para entender las razones trigonometricas Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BAC de medida α (siempre menor de 90º) en el

triángulo rectángulo ABC. Los lados BC y BA son los catetos

y AC, la hipotenusa.

Ejemplo 1: Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende

desde 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El

alambre mide 24 pies de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene

el árbol?

La longitud de la hipotenusa está dada, y la distancia desconocida es la longitud del lado opuesto al ángulo de 58°. Establece la razón seno. Por qué se encontrara el opuesto.

Sin 58° =

despejamos

24(sin 58°) = x resolvemos. X= 20.4 pies La distancia desde el suelo hasta el punto donde el alambre se sujeta al árbol es aproximadamente 20.4 pies. Como el alambre se sujeta a 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol, la altura es aproximadamente 20.4 + 1.5, ó 21.9 pies.

Ejemplo 2: Calcular la Solución





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altura de la torre de refrigeración de una central nuclear si se sabe que su sombra mide 271 metros cuando los rayos solares forman un ángulo de 30º.

Llamamos a la altura y h a la hipotenusa. Utilizamos la ley del seno :

Despejamos la altura Necesitamos calcular la hipotenusa. Por el coseno tenemos.

Despejamos la hipotenusa:

Sustituimos la hipotenusa:

Por tanto, la altura de la torre es de unos 156,46 metros.

ACTIVIDAD # 5 (SEMANAS DEL 26 DE OCTUBRE AL 09 DE NOVIEMBRE) TALLER: TEMA. Razones trigonométricas.

Nota: Debe resolver la actividad y enviar por los medios descritos fecha límite de envió viernes 23 de octubre hasta la media noche. A los contactos del docente. what sapp: 3012104157 o correo [email protected]






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tema 1 posicion relativa de dos (2) rectas en el plano

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