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Contenidos
• Cinemática del movimiento uniformemente acelerado
• Ecuación de la trayectoria de un cuerpo• Concepto de fuerza• Interacciones fundamentales: la gravedad• Campo y potencial gravitatorios• Trabajo y energía• Conservación de la energía• Conservación del ímpetu• Transferencia de energía mediante choques
Movimiento uniformemente acelerado
• Ejemplo: Tiro parabólico
h
d
PRIMERA PARTE DEL MOVIMIENTO: CAÍDA LIBRESEGUNDA PARTE: LANZAMIENTO PARABÓLICO
Caída libre
• Movimiento uniformemente acelerado en una dimensión (a = g = constante)
h
Ecuaciones del movimiento
2
000
00
2
1,0
,0
tatvxxxxt
vdt
dx
tavvvvt
adt
dv
x0
x
ghv 2
v
v0 = 0
Lanzamiento parabólico
• Movimiento uniformemente acelerado en dos dimensiones
h
x0
xEje x
Eje y
a
0v
a
2
00
0
2
1tatvrr
tavv
Ecuaciones del movimiento
Lanzamiento parabólico
• Movimiento uniformemente acelerado en dos dimensiones
h
x0
xEje x
Eje y
a
0v
a
tgsenvv
vv
senvvvv
tavv
y
x
yx
a
a
aa
0
0
0000
0
cos
),(cos),(
Ecuaciones del movimiento
MÓDULO
DIRECCIÓN
Lanzamiento parabólico
• Movimiento uniformemente acelerado en dos dimensiones
h
Eje x
Eje y
a r a
2
0
0
2
00
2
1
cos
2
1
tgtsenvy
tvx
tatvrr
a
a
Ecuaciones del movimiento
x
y
00 r
Ecuación de la trayectoria
• Si eliminamos t de las ecuaciones de x e y:
2
22
0 cos2
1tan x
v
gxy
aa
Eje x
Eje y
a r a
x
y
Representación gráfica: y = Ax - Bx2
B
Ax
xy
BxAxy
B
Ax
dx
dy
00
20
A/BA/2B
Ecuación de la trayectoria
• Alcance del cuerpo: d = A/B
aa
aa
a
a
cossin42
cossin2
cos2
1
tan
2
0
22
0
2
0
22
0
hdhgvvvSi
g
vd
v
gd
sería el coeficiente de absorción y representa la pérdida de velocidad por el impacto
Recapitulando…
• Cinemática: nos limitamos a realizar la descripción del movimiento, sin analizar las causas
– Ecuaciones de v y r
– Ecuación de la trayectoria
• Dinámica: ahora nos falta analizar el porqué…
Fuerza e interacción gravitatoria
• Tenemos que preguntarnos: ¿por qué cae la canica?
– Según la segunda ley de Newton:
– ¿Recordáis cuál es la primera ley de Newton?
– Para que tiene que existir una INTERACCIÓN, en el caso que nos ocupa ésta es la interacción gravitatoria o gravedad que es producida por la masa de los cuerpos
amF
00 aF
CAUSA EFECTO
0F
La fuerza de la gravedad
• La interacción entre dos cuerpos a través de sus masas, de magnitudes m y M, se cuantifica mediante la fuerza de la gravedad F
• Unidad de fuerza: Newton (N)=kg·m·s-2
• La fuerza tiene dos partes: el módulo F y la dirección r/r
2
211
21067,6
kg
NmGdonde
r
r
r
mMGF
CONSTANTE DE NEWTON
• Dirección:
• Módulo:
La fuerza de la gravedad
M m
r
La fuerza la sienten los dos cuerpos (tercera ley deNewton) pero cuando m << M el efecto es sóloapreciable en el cuerpo de masa menor (F = m·a)
F
2r
MmG
re
r
rer
• Desde el punto de vista del cuerpo de masa m
• Ejemplo: calcular la aceleración que experimenta un objeto situado sobre la corteza terrestre
rer
MGmF
2
M
RT
...1013,6378
1098,51067,6
13,6378
1098,5
262
242211
2
24
m
kgkgmNg
R
MGg
kmR
kgM
T
T
La fuerza de la gravedad
Campo y potencial gravitatorios
rer
MGg
2
Desde el punto de vista del cuerpo de masa mla Tierra posee un campo gravitatorio a sualrededor de magnitud inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que vadesde su origen al cuerpo de masa m
CAMPO GRAVITATORIO GENERADO POR UN CUERPO DE MASA M A UNA DISTANCIA r DE SU ORIGEN
¡La intensidad de la interacción depende de la masa M!
• ¿Cómo se puede obtener también g ?
Campo y potencial gravitatorios
r
MGVe
dr
dVg gr
g
Vg es el potencial gravitatorio.En el potencial se encuentra el origen de la interacción
h1
h2 Vg (r2)
Vg (r1)
Vg(r2) < Vg(r1) El cuerpo cae
00),()( 12 FgrVrVSi gg
Recapitulando…
• Hemos revisado el sentido de las leyesfundamentales de la Mecánica para lainteracción gravitatoria.
• Hemos definido el campo gravitatorio a partirde la ecuación que verifica la fuerza de lagravedad.
• Hemos obtenido también el campogravitatorio a partir de una nueva magnitud:el potencial gravitatorio.
Trabajo y energía
• Si se sitúa un cuerpo en h2 se desplazará “sin ayuda”por la acción de la gravedad
• Si definimos el trabajo dW que ser realiza para desplazar un cuerpo entre dos puntos separados por un como : , el trabajo realizado por la interacción entre h2 y h1 será: DW21 = mg(h1-h2).
Pero ¡¡¡h1 < h2!!! W21 < 0 (¿?)
En el caso de que el trabajo lo realice la interacción, será negativo h1
h2 Vg (r2)
Vg (r1)
rdFdW
1
2
UNIDADES S.I.: Julio (J) = N·m
rd
Trabajo y energía
2
2
2
1
2
2
2
112
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
12
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
mvmvvvmW
vvmvdvmdt
rdvmdrd
dt
vdmrdamrdF
WdW
rdFdW
rdFdW
D
D
1
2
Trabajo y energía
• Consecuencias
– Hemos obtenido una nueva magnitud: la energía cinética
– El trabajo se convierte en energía cinética y viceversa
2
2
1mvT
21
2
2
2
1122
1TTvvmW D
mghU
UUmghmghW
D 121212
La energía potencial
• Si el trabajo se convierte en energía cinética, se puede considerar que el trabajo representa un cambio en la energía del objeto asociada a la interacción gravitatoria:
1
2
Vg (r1)-> U1
Vg (r2) -> U2
h2
h1
Tenemos: g -> F
Vg-> Ep
Conservación de la energía mecánica
.
2
1
2
1
2
1
2
1
1122
2
11
2
22
2
2
2
112
2
2
2
112
cteTUTUTU
mvmghmvmgh
vvmhhmg
vvmW
D
En resumen…
• Por definición: . En el caso de que elmovimiento se produzca a favor de la fuerza deinteracción su valor es negativo.
• Cuando tratamos con interacciones se define laenergía potencial de un cuerpo sometido a lainteracción de modo que:
• La energía potencial puede entenderse como laenergía que acumula un cuerpo al interaccionarcon otro.
• En el caso de la interacción gravitatoria se cumpleel principio de conservación de la energíamecánica
rdFdW
1212 UUW D
.1122 cteTUTUTU
Balance energético en el Tiro Parabólico
• Movimiento unidimensional: mgh = ½ mv2
• Movimiento parabólico:
– En 0, T0 = ½ mv02
– En 1, T1 = = ½ mv02cos2a y U1= = ½ mv0
2sen2a
– En 2, T2 = ½ mv02 , pero ¿sabrías sacar v2?
Eje x
Eje y
a
a
y = Ax - Bx2
A/BA/2B
0
1
2
h
0v
DETERMINAR LA ALTURA MÁXIMA QUE ALCANZA LA CANICA EN SU TRAYECTORIA PARABÓLICA EN FUNCIÓN DE LA ALTURA DEL LANZAMIENTO
Transferencia de energía mediante choques
h
x0
xEje x
Eje y
a
0v
a
¿QUÉ OCURRE EN EL CHOQUE DE LACANICA CON EL PLANO INCLINADO?
Caso simple: choque elástico
• Sistema aislado formado por las dos bolas
• Los dos cuerpos que chocan son libres para moverse
ANTES DEL CHOQUE:
A Bv0 x
0TE
DESPUÉS DEL CHOQUE:
A
B
a
b
Caso simple: choque elástico
v1
v2
x
¿Con que parte de la energía inicial se queda cada bola?
21 TTE
• Aplicamos el principio de la conservación de la energía: Ei=Ef
• Como el sistema está aislado, aplicamos también el principio de conservación del impulso o momento lineal p:
• Obtenemos tomando mB=mA:
Caso simple: choque elástico
fi pp
a
a
2
02
2
01
sin
cos
TT
TT
Choque inelástico
h
x0
xEje x
Eje y
a
0v
a
¿QUÉ OCURRE EN EL CHOQUE DE LACANICA CON EL PLANO INCLINADO?
El plano inclinado no es un cuerpo libre (v2=0)→asumimos que m2 >> m1 y definimos l= m1/m2 << 1
• Por conservación de la energía:
• Por conservación del impulso:
Choque inelástico
21
2
2
2
1
2
0
2
0
21
2
1
2
0
2
2
2
10
210
2
1
vvvvvev
vve
m
mdonde
v
vvTQ
TTTQ
ll
l
21
2
2
2
1
2
0
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
2
1221101
21
2
vvvvv
vvmmvmvmvmvmvmvm
lll
m1
v0
m1
v1
m2
v2
q
¡ATENCIÓN! v1 es la velocidad inicial de la canica en el movimiento parabólico
• Grado de inelasticidad dado por el coeficiente de restitución, e:
• Al final, de la conservación de E obtenemos:
Choque inelástico
21
2
2
2
1
2
0
2
0
212 vvvvve
v
vve
11
2
0l
l eTQ En la práctica, e2 es , coeficiente de absorción
Como l << 1, 11 0
2
0 TeTQ
• En resumen, el cálculo de nos daría Q = 0, Q = T0 -> choque totalmente inelástico
= 1, Q = 0 -> choque perfectamente elástico
Choque inelástico: caso práctico
h0
h
Eje x
Eje y
a r a
x
y
d1
2
1210cos4
1tan d
hdh
aa
…pero a tampoco los conocemos
• Reordenamos la expresión para que tenga forma de recta:
Choque inelástico: caso práctico
aa
a
aaa
aaa
aa
cossin
cos
coscossin,4
4costancos
cos4
1tan
2
0
2
01
2
1
2
11
22
0
2
1210
b
ha
hxydxh
dy
h
ddh
dh
dhyx
¿Cómo obtenemos de a y b los valores de y a?