tema 1: introducción a la transmisión de calorjfc/descargas/tc/transparencias_tc.pdf · agua (300...
TRANSCRIPT
![Page 1: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/1.jpg)
1
1
TEMA 1:Introducción a la transmisión de
calor
1. Termodinámica y Transmisión de Calor
2. ¿Qué y Cómo?
3. Mecanismos de transmisión de calor3.1. Conducción3.2. Convección3.3. Radiación Térmica
4. Primer principio de la termodinámica4.1. Aplicación a un volumen de control4.2. Aplicación a una superficie de control
![Page 2: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/2.jpg)
2
2
¿Qué y Cómo?
q ′′
Conducción
Fluido en Movimiento, ∞T∞> TTs
q ′′
Convección
1q ′′
Radiación térmica
21 TT >
1T 2T
sT
1T
2T
2q ′′
TEMA 1: Introducción a la transmisión de calor
![Page 3: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/3.jpg)
3
3
Mecanismos de transmisión de calor Conducción
dxdT
kq −=′′
LTT
dxdT 12 −
=
LT
kL
TTk
dxdT
kq 21 ∆=
−=−=′′
Ley de Fourier
q ′′
1T
2T
T
xL
[ ]
[ ] tdxdT
kAtqAtqJQ
;qAWq
∆−=∆′′=∆=
′′=
TEMA 1: Introducción a la transmisión de calor
![Page 4: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/4.jpg)
4
4
Mecanismos de transmisión de calor Convección
( )∞−=′′ TThq s
q ′′
∞u
Ley de Enfriamiento de Newton
Proceso
h (W/m²·k)
Convección libre Gases 2-25 Líquidos 50-1000 Convección Forzada Gases 25-250 Líquidos 50-20000 Convección con cambio de fase Ebullición y condensación 2500- 100000
y∞Ty
( )yu ( )yT
sT
TEMA 1: Introducción a la transmisión de calor
![Page 5: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/5.jpg)
5
5
Mecanismos de transmisión de calor Radiación Térmica
4emitido Tq σε=′′
iq ′′
( )∑=
−=′′n
1j
4j
4iiji TTDq
absorbidoemitidoi qqq ′′−′′=′′
iT
ρ
τα
TEMA 1: Introducción a la transmisión de calor
![Page 6: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/6.jpg)
6
6
Principio de conservación de la energía
dtdE
EEEEE acusalacusalgenent +=+=+ &&&&&
entE&
acusalgenent EEEE +=+
Para un instante dado (t)
Para un intervalo de tiempo (∆t)
condq ′′radq ′′
convq ′′
∞T
salent EE && =
radconvcond qqq ′′+′′=′′
Volumen de control
Superficie de control
salE&genE&
acuE&
1T
2TT
x
TEMA 1: Introducción a la transmisión de calor
![Page 7: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/7.jpg)
7
7
TEMA 2:Fundamentos de transmisión de
calor por conducción
1. Definiciones y Ley de Fourier
2. Las propiedades térmicas de la materia2.1. La conductividad térmica2.2. Otras propiedades importantes
3. La ecuación general de transmisión de calor por conducción3.1. Casos particulares
4. Condiciones iniciales y de contorno
![Page 8: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/8.jpg)
8
8
Definiciones y Ley de Fourier
xq
x∆
xq ′′
xT
Aqx ∆∆
∝
dxdT
Akqx −=
dxdT
kAq
q xx −==′′
x
2T1T,A
x
2T
1T
( )xT
TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción
![Page 9: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/9.jpg)
9
9
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∇−=′′zT
kyT
jxT
ikTkqrrrrr
∂∂
−
∂∂
−
∂∂
−
=
′′′′′′
=′′
zT
k
yT
k
xT
k
qqq
q
z
y
xr
[ ]C)t,z,y,x(T °
C0T °=
C10T °=
[ ]2m/W)t,z,y,x(qr
′′
qr
′′
nr
A
α∫∫ α′′=′′=AA
dAcosqAd·qqrr
TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción
![Page 10: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/10.jpg)
10
10
0.01 0.1 1 10 100 1000Conductividad térmica (W/m·K)
Gas
Líquido
Aislamiento
Sól. No-metálico
Aleación
Metal
CO2 H2
HgH2OAceites
Espumas Fibras
Plásticos Hielo Oxidos
Ni Al
Zn Ag
420Plata
390Cobre
200Aluminio
16Acero inoxidable
0.80Hormigón
0.04Aislante (Poliestireno)
Sólidos:
0.613Agua (300 K, sat.)
0.242Etilenglicol (300 K)
0.145Aceite Motor (300 K)
Líquidos:
0.248Vapor de agua (100°C, 1 atm)
0.0247Amoniaco(300 K, 1 atm)
0.0263Aire (300 K, 1 atm)
Gases:
Conductividad Térmica(W/m·K)
Material
TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción
![Page 11: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/11.jpg)
11
11
Las propiedades térmicas de la materiaConductividad
SólidosLíquidos
Gases
TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción
![Page 12: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/12.jpg)
12
12
La ecuación general de transmisión de calor
xqyqE yxent ∆′′+∆′′=&
xq′′ xxq ∆+′′
yq ′′
yyq ∆+′′
almsalgenent EEEE &&&& +=+
xqyqE yyxxsal ∆′′+∆′′= ∆+∆+&
yxqEgen ∆∆= &&tT
yxcE palm ∂∂
∆∆ρ=&
xT
kqx ∂∂
−=′′
yT
kqy ∂∂
−=′′
...xx
qqq x
xxx +∆∂
′′∂+′′=′′ ∆+
...yy
qqq y
yyy +∆∂
′′∂+′′=′′ ∆+
Ley de Fourier:
tT
cqyT
kyx
Tk
x p ∂∂
ρ=+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ &
y
y∆
x∆
x
TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción
![Page 13: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/13.jpg)
13
13
tT
cq
zT
kz
Tk
r1
rT
krrr
1
p
2
∂∂
ρ=+
∂∂
∂∂
+
θ∂
∂θ∂
∂+
∂∂
∂∂
&
tT
cqT
senksenr1
Tk
senr1
rT
krrr
1
p22
222
2
∂∂
ρ=+
φ∂
∂φ
θ∂∂
φ
+
θ∂
∂θ∂∂
φ+
∂∂
∂∂
&
x
y
z
r
z
θ
x
y
z
zy
xtT
cqzT
kzy
Tk
yxT
kx p ∂
∂ρ=+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂ &
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
x
y
z
rz
θ
φ
K Uniforme:tT1
kq
zT
yT
xT
2
2
2
2
2
2
∂∂
α=+
∂∂
+∂∂
+∂∂ &
K Uniforme, sin generación (Ec. Fourier): t
T1zT
yT
xT
2
2
2
2
2
2
∂∂
α=
∂∂
+∂∂
+∂∂
K Uniforme, régimen permanente (Ec. Poisson):
0kq
zT
yT
xT
2
2
2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂ &
K Uniforme, sin generación y régimen permanente (Ec. Laplace):
0T;0zT
yT
xT 2
2
2
2
2
2
2
=∇=∂∂
+∂∂
+∂∂
Casos particulares:
TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción
![Page 14: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/14.jpg)
14
14
Condiciones iniciales y de contorno
sT)t,0(T =
1. Temperatura superficial impuesta
s0x
qxT
k ′′=∂∂
−=
2. Flujo superficial impuesto
sq ′′
0xT
k0x
=∂∂
−=
( )[ ]t,0TThxT
k0x
−=∂∂
− ∞=
3. Convección superficial
h,T∞
x
x
x
x
( )t,xT
( )t,xT
( )t,xT
( )t,xT
sT
( )t,0T
TEMA 2: Fundamentos de la transmisión de calor por conducción
![Page 15: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/15.jpg)
15
15
TEMA 3:Conducción Unidimensional en
Régimen Permanente
1. La pared plana1.1. Distribución de temperaturas1.2. Resistencia térmica1.3. Pared compuesta1.4. Resistencia de contacto
2. El cilindro
3. La esfera
![Page 16: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/16.jpg)
16
16
La pared plana
0dx
Td0
dxdT
kdxd
2
2
=→=
( ) ( ) 1,s1,s2,s Tex
TTxT +−=
( )2,s1,sx TTe
kAdxdT
Akq −=−= ( )2,s1,sx
x TTek
Aq
q −==′′
xq ′′
1,T∞
x
1,sT
2,sT
2,T∞
( )xT
Ecuación diferencial Condiciones de contorno
2,s
1,s
TTex
TT0x
=→=
=→=
Distribución de temperaturas
Flujo de calorFlujo de calor por unidad de área
e
TEMA 3: Conducción unidimensional en régimen permanente
![Page 17: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/17.jpg)
17
17
Resistencia térmica
( ) ( )
Ake
TTTT
eAk
q 2,s1,s2,s1,sx
−=−=
Flujo de calor por conducción
1V 2VR
I
RVV
I 21 −=
Ley de Ohmxq ′′
1,T∞
x
1,sT
2,sT
2,T∞
( )xT
1,conv,tR cond,tR 2,conv,tR
1,T∞ 1,sT 2,sT 2,T∞
Ake
R cond,t =
Flujo de calor por convección
( ) ( )
Ah1
TTTTAhq
1
1,s1,1,s1,1x
−=−= ∞
∞ Ah1
R1
1,conv,t =
( ) ( ) ( ) ( )
Ah1
Ake
Ah1
TT
Ah1
TT
Ake
TT
Ah1
TTq
21
2,1,
2
2,2,s2,s1,s
1
1,s1,x
++
−=
−=
−=
−= ∞∞∞∞
( ) ( )total,t
2,1,
2,conv,tcond,t1,conv,t
2,1,x R
TT
RRR
TTq ∞∞∞∞ −
=++
−=
TEMA 3: Conducción unidimensional en régimen permanente
![Page 18: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/18.jpg)
18
18
Pared compuesta
( ) ( )
Ah1
Ake
Ake
Ake
Ah1
TT
R
TTq
2C
C
B
B
A
A
1
2,1,
t
2,1,x
++++
−=
−= ∞∞∞∞
∑
xq1,T∞
x
1,sT
2,sT
2,T∞
( )xT
Ah1
1
1,T∞ 1,sT 2,sT 2,T∞1,iT 2,iT
1,iT
2,iT
Ake
A
A
Ake
B
B
Ake
C
C
Ah1
2
A B C
( )2,1,x TTAUq ∞∞ −=
2C
C
B
B
A
A
1 h1
ke
ke
ke
h1
1U
++++=
Coeficiente global de transferencia de calor
A
B
ATBT
( ) ( )
AR
TTR
TTq
c,t
BA
c,t
BAx ′′
−=
−=
Resistencia térmica de contacto
TEMA 3: Conducción unidimensional en régimen permanente
![Page 19: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/19.jpg)
19
19
El cilindro
0drdT
rdrd
0drdT
krdrd
r1
=
→=
Ecuación diferencial
Condiciones de contorno
2,s2
1,s1
TTrr
TTrr
=→=
=→=
Distribución de temperaturas
Flujo de calor
2,T∞
1,T∞
2,T∞
1,sT2,sT
1,sT
2,sT
1r2r
cond,tR2,conv,tR
1,T∞
1,sT 2,sT
1,conv,tR
( ) ( )
−+=
112
1,s2,s1,s r
rln
r/rln
TTTrT
( )( )12
2,s1,sr r/rln
TTLk2
drdT
Akq−π
=−=
( )( )
Lk2r/rlnTT
q12
2,s1,sr
π
−=
( )Lk2r/rln
R 21cond,t π
=1111
1,conv,t hLr21
hA1
Rπ
==
Resistencias térmicas
( )( )12
2,s1,sr r/rln
TTk
r1
drdT
kq−
=−=′′
Densidad de flujo de calor
L
TEMA 3: Conducción unidimensional en régimen permanente
![Page 20: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/20.jpg)
20
20
La esfera
0drdT
rdrd
0drdT
krdrd
r1 222
=
→=
Ecuación diferencial
Condiciones de contorno
2,s2
1,s1
TTrr
TTrr
=→=
=→=
Distribución de temperaturas
Flujo de calor
2,T∞
1,T∞
2,T∞
1,sT2,sT
1,sT
2,sT
1r2r
cond,tR2,conv,tR
1,T∞
1,sT 2,sT
1,conv,tR
( ) ( )1,s2,s
2
1
1
1,s TT
rr
1
rr
1TrT −
−
−+=
( )( ) ( )21
2,s1,sr r/1r/1
TTk4
drdT
Akq−
−π=−=
( )( ) ( )
k4r/1r/1
TTq
21
2,s1,sr
π−−
=
( ) ( )k4
r/1r/1R 21
cond,t π−
=
12111
1,conv,t hr41
hA1
Rπ
==
Resistencias térmicas
( )( ) ( )[ ]21
22,s1,s
r r/1r/1r
TTk
drdT
kq−
−=−=′′
Densidad de flujo de calor
TEMA 3: Conducción unidimensional en régimen permanente
![Page 21: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/21.jpg)
21
21
TEMA 4:Superficies extendidas. Aletas
1. Introducción1.1. Objetivo y aplicaciones1.2. Clasificación
2. Ecuación general de aletas2.1. Aletas rectas de sección transversal
uniforme2.2. Solución aproximada2.3. Evolución del campo de temperaturas
3. Eficiencia3.1. Eficiencia de aleta3.2. Eficiencia global de superficie aleteada
4. Diseño térmico de aletas
![Page 22: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/22.jpg)
22
22
Objetivo y aplicaciones
( )∞−= TTAhq s
( )∞−= TTAhq s
A,Ts
h,T∞
h,T∞
sT
A
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 23: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/23.jpg)
23
23
Clasificación
Longitudinales o Rectas:
Transversales o Anulares:
Agujas o Espinas:
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 24: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/24.jpg)
24
24
Ecuación general de aletas
convdxxx dqqq += +
Balance en una sección:dxdT
Akq cx −=
dxdxdT
Adxd
kdxdT
Akdxdxdq
qq ccx
xdxx
−−=+=+
( )∞−= TTdAhdq sconv
( ) 0TTdxdA
kh
dxdT
Adxd s
c =−−
∞
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 25: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/25.jpg)
25
25
h,T∞
0T
L
w
δ
ctewAc =δ=
xPAs =
δ+= 2w2P
( ) 0TTAkPh
dxTd
c2
2
=−− ∞
Ecuación general de aletas
Aletas rectas de sección transversal uniforme:
Adimensionalización:
( ) ( )∞
∞
−−
=θTTTxT
x0
0LmdXd 22
2
2
=θ−θ
cc
2
AkPh
m;AkPh
m ==
Condiciones de contorno:Lx
X =
0TT0x =→= 10X =θ→=
( )( )∞=
−=−→= TLThdxdT
kLxLx
θ−=θ
→== k
LhdXd
1X1X
Solución:
( )[ ] [ ]
)Lm(senhkm
h)Lm(cosh
)X1(Lmsenhkm
h)X1(Lmcosh
X+
−+−=θ
)Lm(senhkm
h)Lm(cosh
)Lm(coshkm
h)Lm(senh
)TT(mAkdxdT
Akq 0c0x
c
+
+−=−= ∞
=
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 26: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/26.jpg)
26
26
Ecuación general de aletas
Problema aproximado:
0LmdXd 22
2
2
=θ−θ
Condiciones de contorno:
0TT0x =→= 10X =θ→=
0dxdT
AkLxLx
c =−→==
0dXd
1X1X
=θ
→==
Solución:
( ) [ ])mL(cosh
)X1(LmcoshX
−=θ )mL(tgh)TT(mAkq 0c ∞−=
L
δ
cL
2/δLongitud corregida:
2/LLC δ+=
)mL(tgh)TT(mAkq c0c ∞−=
mkh
k2h
wkhw2
2AkPh
22m
c
=δ
=δ
δ≈
δ=
δ
2mLmLm c
δ+=
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 27: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/27.jpg)
27
27
∞
∞
−−
=θTTTT
0
k2/hδ
( )∞− TTmkA/q 0c
Solución exacta vs. aproximada:
Evolución del campo de temperaturas:
Solución aproximada mL>5:
01X =θ→= ( ) ( )XmexpX −=θ ( )∞−= TTmAkq 0c
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 28: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/28.jpg)
28
28
Eficiencia de aleta
Definición:
base la de tª la a aleta la toda concalor de Flujocalor de realFlujo
a =η
Aleta recta de sección transversal uniforme:
( )c
ca mL
mLtgh=η
( )∞−η=η= TTAhqq 0samaxa
( )
( ) ∫ ∫∫
θ=θ=−−
=−
−
=η∞
∞
∞
∞
s s
s
A As
ss
0s0s
sA
a dAA1
dATTTT
A1
TTAh
dATTh
Interpretación física de la eficiencia:
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 29: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/29.jpg)
29
29
Eficiencia global de la superficie
( ) ( )∞∞ −+−η=+= TTAhTTAhqqq 0p0aaprimaria.supaletastotal
Interpretación física de la eficiencia:
( )( )∞−+η= TTAAhq 0paatotal
base la de tª la a aletas la todas concalor de Flujocalor de realFlujo
s =η
( )total
paa
max
totals A
AA
qq +η
==η
∞
∞
∞
∞
−
−=+
−
−=η
TT
TT
A
A
TT
TT
AA
0
s,med
total
p
0
a,med
total
as
( )∞−η= TTAhq 0totalstotal
∞TiT
ii Ah1 ( )
Lk2r/rln 21
π totalse Ah1
η
Resistencia térmica de una superficie aleteada:
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 30: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/30.jpg)
30
30
Diseño térmico de aletas
¿Añadir aletas incrementa siempre la transmisión de calor?
( ) ( )↓∆↑= TAhq total
Relación de flujos:( )
( ) sin
totals
0sin
0totals
aletassin
aletacon
AA
TTAhTTAh
q
qRF
η=
−−η
==∞
∞
Lkh2
Lkh2
tghL2
RF
⋅δ
⋅
δ⋅
δ=
- 1 aleta recta de sección transversal uniforme:
TEMA 4: Superficies extendidas. Aletas
![Page 31: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/31.jpg)
31
31
TEMA 5:Fundamentos de la Transmisión de
Calor por Convección
1. Introducción1.1. Clasificación de problemas de convección
2. Teoría de capa límite2.1. Capa límite de velocidad o hidrodinámica2.2. Capa límite de temperatura o térmica
3. Flujo laminar y turbulento
4. Ecuaciones generales de convección4.1. Ecuaciones simplificadas4.2. Ecuaciones adimensionales4.3. Forma funcional de las soluciones
![Page 32: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/32.jpg)
32
32
Introducción
( )∞−= TTAhq ss
( )∫∫ ∞−=′′=ss A ssA s dAhTTdAqq
( )∞−= TTAhq ss
∫=sA s
s
dAhA1
h ∫=L
0dxh
L1
h
∞∞ T,u∞∞ T,v
r
snr
ss T,A
sdA
snr
ss T,A
x dx
( )∞−=′′ TThq s
Ley de enfriamiento de Newton:
Clasificación de los problemas de convección:
- Según el origen del movimiento: Forzada / Natural o Libre
- Según el régimen de flujo:Laminar / Turbulento
- Según el confinamiento:Flujo interno / Flujo externo
- Según la naturaleza del proceso:Sin cambio de fase / Con cambio de fase
TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección
![Page 33: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/33.jpg)
33
33
Teoría de Capa Límite
∞u
δ
( )xδτ
2/uC
2s
f∞ρτ
=0y
s yu
=∂∂
µ=τ
∞T
tδ
( )xtδ
sT
0yfs y
Tkq
=∂∂
−=′′
∞
=
−
∂∂−=
TT
yTkh
s
0yf
∞u
uτ
x
y
x
y
∞T
T
TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección
![Page 34: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/34.jpg)
34
34
Flujo Laminar y Turbulento
∞u
δ
( )xδ
Laminar Transición Turbulento
∞u
∞u
uu
xcx
y
x
δ,h ( )xh
( )xδ
µρ
= ∞xuRex
TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección
![Page 35: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/35.jpg)
35
35
Ecuaciones Generales de Convección(Navier-Stokes)
Xyv
xu
y
yv
xu
32
xu
2xx
pyu
vxu
u
+
∂∂
+∂∂
µ∂∂
+
∂∂
+∂∂
−∂∂
µ∂∂
+∂∂
−=
∂∂
+∂∂
ρ
Ley de conservación de la materia (Ecuación de continuidad):
( ) ( )0
yv
xu
=∂ρ∂
+∂ρ∂
2ª ley del movimiento de Newton (Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento):
Yxv
yu
x
yv
xu
32
yv
2yy
pyv
vxv
u
+
∂∂
+∂∂
µ∂∂
+
∂∂
+∂∂
−∂∂
µ∂∂
+∂∂
−=
∂∂
+∂∂
ρ
Ecuación de conservación de la energía térmica:
qyv
xu
32
yv
xu
2xv
yu
yv
xu
pyT
kyx
Tk
xye
vxe
u
2222
&+
∂∂
+∂∂
−
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
+∂∂
µ+
∂∂
+∂∂
−
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∂∂
ρ+∂∂
ρ
TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección
![Page 36: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/36.jpg)
36
36
Ecuaciones de convección simplificadas
2
2
yu
xp1
yu
vxu
u∂∂
ρµ
+∂∂
ρ−=
∂∂
+∂∂
0yv
xu
=∂∂
+∂∂
0yp
=∂∂
2
2
p yT
ck
yT
vxT
u∂∂
ρ=
∂∂
+∂∂
Ley de conservación de la materia (Ecuación de continuidad):
2ª ley del movimiento de Newton (Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento):
Ecuación de conservación de la energía térmica:
TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección
![Page 37: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/37.jpg)
37
37
Ecuaciones de convección Adimensionales
2*
*2
L*
*
*
**
*
**
y
uRe1
xp
yu
vxu
u∂
∂+
∂∂
−=∂∂
+∂∂
0yv
xu
*
*
*
*
=∂∂
+∂∂
2*
*2
L*
**
*
**
y
TPrRe
1yT
vxT
u∂
∂=
∂∂
+∂∂
2*
s
s*
****
Vp
p;TTTT
T
Vv
v;Vu
u;Ly
y;Lx
x
ρ=
−−
=
====
∞
ν=
µρ
=VLVL
ReL
αν
=µ
=k
cPr p
Ley de conservación de la materia (Ecuación de continuidad):
2ª ley del movimiento de Newton (Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento):
Ecuación de conservación de la energía térmica:
TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección
![Page 38: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/38.jpg)
38
38
Forma Funcional de las soluciones
0y*
*
0ys
*yu
LV
yu
== ∂∂
µ=
∂∂
µ=τ
=
*
*
L**
1*
dxdp
,Re,y,xfu
)geometría(fLibre Corrientedxdp
*
*
==
( )geometría,Re,xfyu
L*
2
0y*
*
*
=∂∂
=
( )geometría,Re,xfRe2
yu
Re2
VC L
*2
L0y*
*
L2
sf
*
=∂∂
=ρ
τ=
=
( )geometríaPr,,Re,y,xfT L**
3* =
( )0y
*
*f
0ys
f
*yT
Lk
yT
TTk
h==∞ ∂
∂=
∂∂
−−=
( )geometríaPr,,Re,xfNukhL
yT
L*
4Lf0y
*
*
*
===∂∂
=
( )geometríaPr,,RefkLh
Nu L5f
L ==
TEMA 5: Fundamentos de la transmisión de calor por convección
![Page 39: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/39.jpg)
39
39
TEMA 6:Convección Forzada,
Flujo Externo
1. Introducción
2. Placa plana, flujo paralelo2.1. Descripción2.2. Correlaciones
3. Cilindro, flujo perpendicular y Esfera3.1. Descripción3.2. Correlaciones
4. Banco de tubos, flujo perpendicular4.1. Descripción4.2. Correlaciones
![Page 40: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/40.jpg)
40
40
∞u
δ
( )xδ
Laminar Transición Turbulento
∞u
∞u
uu
xcx
y
x
δ,h ( )xh
( )xδ
Placa plana, flujo paralelo
TEMA 6: Convección forzada flujo externo
![Page 41: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/41.jpg)
41
41
Cilindro, flujo cruzado y Esfera
v
0xp
<∂∂
0xp
>∂∂
Punto de separaciónInversión de flujo
x θ
D
TEMA 6: Convección forzada flujo externo
![Page 42: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/42.jpg)
42
42
Cilindro, flujo cruzado y Esfera
TEMA 6: Convección forzada flujo externo
![Page 43: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/43.jpg)
43
43
Banco de tubos, flujo perpendicular
SL
ST
D
SL
ST
D
SD
A1
A1
A2
A2∞T,V ∞T,V
En línea: Cruzada:
TEMA 6: Convección forzada flujo externo
![Page 44: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/44.jpg)
44
44
TEMA 7:Convección Forzada,
Flujo Interno
1. Introducción
2. Conducto circular2.1. Descripción hidrodinámica2.2. Descripción térmica2.3. Correlaciones
3. Conducto no circular
![Page 45: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/45.jpg)
45
45
Conducto circular
Región de entrada hidrodinámica Región completamente desarrollada
µρ
=Du
Re mD
2300Re cr,D ≈
D
lam
h,ent Re05.0D
x≈
60
D
x10
turb
h,ent ≤
≤
µπ=
Dm4
ReD
&
cmAum ρ=&
( )x,ruu0rr
xh,entx
TEMA 7: Convección forzada flujo interno
![Page 46: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/46.jpg)
46
46
Conducto circular
Coeficiente de fricción o factor de fricción de Faning
Factor de fricción de Moody ( )2/u
Ddx/dpf
2mρ
−=
2/uC
2m
sf ρ
τ=
4f
Cf =
DRe64
f =
Laminar
( )6
D
2D
10·5Re3000
64.1Reln790.0f
≤≤
−= −
Turbulento
TEMA 7: Convección forzada flujo interno
![Page 47: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/47.jpg)
47
47
Conducto circular
Región de entrada térmica Región completamente desarrollada
PrRe05.0D
xD
lam
t,ent ≈
10
D
x
turb
t,ent ≈
cteTs = cteqs =′′
( )mss TThq −=′′v
A cv
m cm
TdAucT c
&
∫ ρ=
( ) ( )( ) ( ) 0
xTxTx,rTxT
x ms
s =
−−
∂∂ ( )xf
TT
r/T
TTTT
r ms
rr
rrms
s 0
0
≠−
∂∂−=
−−
∂∂ =
=
( )msrr0y
s TThrT
kyT
kq0
−=∂∂
=∂∂
−=′′==
( )xfkh
≠
( )x,rT( )0,rT
xt,entx
r
0r
TEMA 7: Convección forzada flujo interno
![Page 48: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/48.jpg)
48
48
Convección Forzada Flujo InternoBalance de energía
mpcv dTcmdq &=
m& mT mm dTT +
dxPqdq scv ′′=
( )e,ms,mpcv TTcmq −= &
( )mspp
sm TThcmP
cmPq
dxdT
−=′′
=&&
Flujo de calor superficial constante
( )xfcmPq
dxdT
p
sm ≠′′
=&
( ) xcmPq
TxTp
se,mm &
′′+=
( )xTm
( )xTs
( )ms TT −
Temperatura superficial constante
( )msp
m TThcmP
dxdT
−=&
( )
−=
−−
xcmhP
expTT
xTT
pe,ms
ms
&
x dx0 L
T
x
( )ms TT −sT
( )xTm
T
x
TEMA 7: Convección forzada flujo interno
![Page 49: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/49.jpg)
49
49
TEMA 8: Convección Libre
1. Introducción
2. Ecuaciones de capa límite en convección libre2.1. Ecuaciones adimensionales2.2. Velocidad característica
3. Correlaciones
![Page 50: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/50.jpg)
50
50
Convección Libre
0dxd
,0dxdT
<ρ
>
2T
1T
2ρ
1ρ
0dxd
,0dxdT
>ρ
<
xg
1ρ 1T
2ρ2T
g x
∞> TTs
∞∞ ρ,T
g
( )yu
u,x v,y
TEMA 8: Convección libre
![Page 51: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/51.jpg)
51
51
Ecuaciones de capa límite
2
2
yu
xp
gyu
vxu
u∂∂
µ+∂∂
−ρ−=
∂∂
+∂∂
ρ
gxp
∞ρ−=∂∂
( )2
2
yu
gyu
vxu
u∂∂
µ+ρ−ρ−=
∂∂
+∂∂
ρ ∞∞
TT1
T1
p −ρ−ρ
ρ−≈
∂
ρ∂ρ
−=β∞
∞
( )2
2
yu
TTgyu
vxu
u∂∂
µ+−ρβ=
∂∂
+∂∂
ρ ∞∞∞
0yv
xu
=∂∂
+∂∂
2
2
p yT
ck
yT
vxT
u∂∂
ρ=
∂∂
+∂∂
∞> TTs
∞∞ ρ,T
g
( )yu
u,x v,y
0yp
=∂∂
( )2
2
yu
TTgyu
vxu
u∂∂
µ+−ρβ=
∂∂
+∂∂
ρ ∞∞∞
Para y=δ:
Ecuaciones de cantidad de movimiento:
Coeficiente de dilataciónvolumétrica:
TEMA 8: Convección libre
![Page 52: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/52.jpg)
52
52
Ecuaciones adimensionales
( ) ( ) ( )2
3s
20
20
s2L2
0
sL
LTTgLuu
LTTgRe
uLTTg
Grν−β
=
ν
−β=
−β= ∞∞∞
( )
( )
( )
( )LL
LL2L
L
LLL2L
L
LL2L
L
RafNu
Pr,GrfNu1ReGr
Pr,Gr,RefNu1ReGr
Pr,RefNu1ReGr
=
=>>
=≈
=<<
( ) ( )να−β
=αν
ν−β
== ∞∞3
s2
3s
LL
LTTgLTTgPrGrRa
Convección Forzada:
Convección Mixta:
Convección Libre:
0yv
xu
*
*
*
*
=∂∂
+∂∂
( )2*
*2
L
*20
s*
**
*
**
y
uRe1
Tu
LTTgyu
vxu
u∂
∂+
−β=
∂∂
+∂∂ ∞
2*
*2
L*
**
*
**
y
TPrRe
1yT
vxT
u∂
∂=
∂∂
+∂∂
TEMA 8: Convección libre
![Page 53: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/53.jpg)
53
53
Velocidad Característica
( )2
2
yu
TTgyu
vxu
u∂∂
µ+−ρβ=
∂∂
+∂∂
ρ ∞∞∞
u0: Máxima velocidad que alcanza el fluido
∞> TTs
∞∞ ρ,T
g
( )yu
u,x v,y
( )∞−ρβ≈ρ TTgLu
s
20
Fuerzas de inercia ~ Fuerzas de flotación
( ) TLgTTLgu s0 ∆β=−β≈ ∞
Fluido T∞ (ºC) β (K-1) L (m) ∆T (ºC) u0 (m/s) 5 0,40
Aire 27 1/300 1 10 0,57 20 0,81 5 0,11
Agua 27 0,27 10-3 1 10 0,16 20 0,23
TEMA 8: Convección libre
![Page 54: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/54.jpg)
54
54
TEMA 9:Fundamentos de transmisión de
calor por radiación
1. Introducción1.1. El espectro de la radiación
electromagnética
2. Definiciones y Leyes2.1. Intensidad de radiación o Luminancia2.2. Emitancia, Irradiación y Radiosidad2.3. Cuerpo negro y Distribución de Planck2.4. Leyes de Wien2.5. Ley de Stefan-Boltzmann
3. Propiedades radiantes superficiales3.1. Emisividad3.2. Comportamiento frente a la recepción
de radiación.
4. Flujo de calor por radiación sobre una superficie
![Page 55: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/55.jpg)
55
55
Introducción
EnergíaRadiante
Longitud de onda (λ)
θ
Carácter espectral:
Carácter direccional:
s/m10·99776.2c 80 =Velocidad de propagación en el vacío:
Velocidad de prop. en otro medio:nc
c 0=
νλ=c
Longitud de onda
Frecuencia
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 56: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/56.jpg)
56
56
10
-51
0 -4
10
-31
0 -2
11
0
10
21
0 3
10
41
0 -1
λ (µm
)
Rayo
s X
Rayo
s Gam
ma
Infrarro
jo
Radar, T
elevisió
n y R
adio
Ultra
viole
ta
Ultra
viole
ta
VIS
IBLE
76
06
60
61
05
60
51
04
60
42
03
80
Rojo
Naran
jaAm
arilloVerd
eAzu
lverd
eAzu
lVio
letaIn
frarrojo
λ(n
m)
0.8
0.4
Rad
iación T
érmica
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 57: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/57.jpg)
57
57
Intensidad de radiación o Luminancia
n
r
dA
θ
φ
n
dA
dA cosθ
θ
dl
r
dα ndA
rdl
d =α ωd 2n
rdA
d =ω
r
n
rdA
θ
φ
( )λωθ
=φθλλ ddcosdAdq
,,I d,
θφθ=θφθ
=ω ddsenr
drdsenrd
2
θφθ= drdsenrdAn
θdr
φθ dsenr
φd
θsenr
( )λφθθθ
=λωθ
=φθλλ dddsencosdAdq
ddcosdAdq
,,I d,
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 58: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/58.jpg)
58
58
Potencia radiante total
( ) dAddsencosd,,Idq d, φθθθλφθλ= λ
( )∫ ∫ ∫π π ∞
λ
φθθθλ
2
0
2
0 0 d, dAddsencosdI
( ) dAddsencosdI0 d,∫∞
λ φθθθλ
Para todas las longitudes de onda:
Para todas las direcciones:
Para toda el área:
( )∫∫ ∫ ∫ ∫
φθθθλ
π π ∞
λA
2
0
2
0 0 d, dAddsencosdI
Flujo de calor neto sobre una superficie =
Radiación emitida – Radiación absorbida.
( )( )
( )( )∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫ ∫
φθθθλ
−
φθθθλ=
π π ∞
λ
π π ∞
λ
A
2
0
2
0 0 absorbidad,
A
2
0
2
0 0 emitidad,
dAddsencosdI
dAddsencosdIq
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 59: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/59.jpg)
59
59
Emitancia, Irradiación y Radiosidad
Emitancia o potencia emisiva:
( ) ( )( )∫ ∫π π
λλ φθθθ=λ2
0
2
0 emitidad, ddsencosIM
( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫∞ π π
λ
∞
λ
λφθθθ=λλ=
0
2
0
2
0 emitidad,0dddsencosIdMM
Irradiación:
E
M
J
Radiosidad:
( ) ( )( )∫ ∫π π
λλ φθθθ=λ2
0
2
0 recibidad, ddsencosIE
( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫∞ π π
λ
∞
λ
λφθθθ=λλ=
0
2
0
2
0 recibidad,0dddsencosIdEE
( ) ( )( )∫ ∫π π
λλ φθθθ=λ2
0
2
0 abandonad, ddsencosIJ
( ) ( )( )∫ ∫ ∫∫∞ π π
λ
∞
λ
λφθθθ=λλ=
0
2
0
2
0 abandonad,0dddsencosIdJJ
Si la intensidad es difusa (Ley de Lambert):
∫ ∫π π
π=φθθθ2
0
2/
0ddsencos
( ) ( ) λπ=λλ= ∫∫∞
λ
∞
λ dIdMM0 emitida0
( ) ( )( )emitidaIM λπ=λ λλ
( ) ( ) λπ=λλ= ∫∫∞
λ
∞
λ dIdEE0 recibida0
( ) ( )( )recibidaIE λπ=λ λλ
( ) ( ) λπ=λλ= ∫∫∞
λ
∞
λ dIdJJ0 abandona0
( ) ( )( )abandonaIJ λπ=λ λλ
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 60: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/60.jpg)
60
60
Cuerpo negro y Distribución de Planck
( ) ( )[ ] ( )[ ]1T/CexpC
1kT/hcexphc2
T,I2
51
05
200
−λλ=
−λλ=λλ
s/m10998.2c :vacío el en luz la de Velocidad
K/J103805.1k :Boltzmann de Constante
s·J106256.6h :Planck de Constante
80
23
34
×=
×=
×=−
−
( ) ( ) ( )[ ]1T/CexpC
T,IT,M2
5100
−λλπ
=λπ=λ λλ
1E+0
3E+7
6E+7
9E+7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
λ (µm)
M0 (
) [ W
/m²·
m]
5780 K
3000 K
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
0.1 1 10 100
Longitud de Onda, λ (µm)
Emita
ncia
esp
ectra
l, M
0 ( λ) [
W/m
² µm
]
5780 K
3000 K
1000 K
300 K
500 K
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 61: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/61.jpg)
61
61
Definiciones y LeyesLeyes de Wien:
K·m8.2897CT 3máx µ==λ
( ) ²m/WT10287.1M 510máx
0 −λ ×=λ
Ley de Stefan-Boltzmann:
( ) ( )[ ]4
02
51
0
00 Td1T/Cexp
CdT,MM σ=λ
−λλπ
=λλ= ∫∫∞∞
λ
428 K·m/W1067.5 :Boltzmann-Stefan de Constante −×=σσ T4
λ
0Mλ
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
0.1 1 10 100
Longitud de Onda, λ (µm)
Emita
ncia
esp
ectr
al, M
0 ( λ) [
W/m
² µm
]
5780 K
3000 K
1000 K
300 K
500 K
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 62: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/62.jpg)
62
62
Definiciones y LeyesEmisión de banda:
( ) ( ) ( )4000 TMdMM
2121
2
121
σ==λλ= λ→λλ→λ
λ
λ λλ→λ ∫ FF
1λ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 10000 20000 30000 40000
λ T (µm·K)
F0-
λ
λ2λ
( )
( )
( )
( )( )Tf
T
dM
dM
dM4
0
0
0
0
0
0
0 λ=σ
λλ=
λλ
λλ=
∫∫∫
λ
λ
∞
λ
λ
λ
λ→F
( )
( ) ( )( ) ( )12
12
21
21 0040
0
0
0
4
0
T
dMdM
T
Mλ→λ→
λ
λ
λ
λλ→λλ→λ −=
σ
λλ−λλ=
σ=
∫∫FFF
0Mλ
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 63: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/63.jpg)
63
63
Propiedades radiantes superficiales
Emisividad:
( ) ( )( )T,I
T,,,IT,,,
b,
e,, λ
φθλ=φθλε
λ
λθλ
Cuerpo negro
Cuerpo real
λ
( ) ( )( )T,M
T,MT,
0 λλ
=λελ
λλ
( ) ( )( )
( )40 T
TMTMTM
Tσ
==ε
λ
Cuerpo negro
B1
Cuerpo gris
B2
A1
A2
0Mλ
Cuerpo gris:
0Mλ
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 64: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/64.jpg)
64
64
Propiedades radiantes superficiales
Comportamiento frente a la recepción radiación:
tra,abs,ref, EEEE λλλλ ++=
Radiación reflejadaRadiación incidente
Radiación absorbida
Radiación transmitida
1=τ+ρ+α λλλ
1=τ+ρ+α
Ley de Kirchoff:
λλ α=ε
α=ε
θλθλ α=ε ,,
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 65: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/65.jpg)
65
65
Flujo de calor por radiación sobre una superficie
Flujo de calor neto sobre una superficie =
Radiación emitida – Radiación absorbida.
( )( )
( )( )∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫ ∫
φθθθλ
−
φθθθλ=
π π ∞
λ
π π ∞
λ
A
2
0
2
0 0 absorbidad,
A
2
0
2
0 0 emitidad,
dAddsencosdI
dAddsencosdIq
( )
( )( )∫∫ ∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫ ∫
φθθθλα
−
φθθθλε=
π π ∞
λλ
π π ∞
λλ
A
2
0
2
0 0 recibidad,d,
A
2
0
2
0 0
0d,
dAddsencosdI
dAddsencosdIq
Si las propiedades radiantes son independientes de λ y difusas:
( ) ( )∫∫∫∫ α−ε=AA
0 dAEdAMq
Si la superficie es isoterma, homogénea y está uniformemente excitada:
AEAMq 0 α−ε=
TEMA 9: Fundamentos de transmisión de calor por radiación
![Page 66: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/66.jpg)
66
66
TEMA 10: Intercambio de radiación entre
superficies
1. Intercambio radiante entre dos superficies1.1. Factor de forma1.2. Propiedades de los factores de forma1.3. Cálculo de factores de forma
2. Intercambio radiante en recintos2.1. Ecuaciones del intercambio radiante en
recintos2.2. Analogía eléctrica
![Page 67: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/67.jpg)
67
67
Factor de forma
( )ii0iiii EMAq α−ε=
2jj
iiiijiiiji R
dAcosdAcosIddAcosIdq
θθ=ωθ= −→
∫ ∫ π
θθ=→
i jA ijA 2ji
iji dAdAR
coscosJq
idA
iA
iθ
jθ
jdA
jA
Rωd
ji2ji
iji dAdAR
coscosJdq
π
θθ=→
ijiiji FAJq =→
∫ ∫ π
θθ=
i jA ijA 2ji
iij dAdA
R
coscos
A1
F
i
j
iE
∑=
→=N
1jij
ii q
A1
E
TEMA 10: Intercambio de radiación entre superficies
![Page 68: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/68.jpg)
68
68
Propiedades de los factores de forma
jijiji FAFA =
NN2N1N
N22221
N11211
F...FF............F...FFF...FF
Reciprocidad:
Adición: 1FN
1jij =∑
= i
Superficies convexas o planas:
0Fii =
1F0 ij ≤≤Valores límite:
Superficies cóncavas: 0Fii >
Matriz de factores de forma:
Número de factores de forma a calcular:
( )1
23NN
+−
TEMA 10: Intercambio de radiación entre superficies
![Page 69: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/69.jpg)
69
69
Cálculo de factores de forma
Gráficas:
Expresiones analíticas (2D ó 3D):
wj
L
wi
j
i( )[ ] ( )[ ]
i
2/12ij
2/12ji
ij W2
4WW4WWF
+−−++=
Placas paralelas con las líneas medias en la misma perpendicular.
L/wW ii =
L/wW jj =
Método de Hottel o de los hilos cruzados (2D):
L1
L2
a
b
c
d
12,1 L2
cruzados no hilos Sumacruzados hilos SumaF
−=
( ) ( )1
2,1 L2bdacbcad
F+−+
=
TEMA 10: Intercambio de radiación entre superficies
![Page 70: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/70.jpg)
70
70
Intercambio radiante en recintos
( ) ( ) ii0iiii
0iiii
0iii E1ME1MEMJ ε−+ε=α−+ε=ρ+ε=
Hipótesis:
• Recinto 3D con n superficies
• Superficies isotermas, opacas, difusas y con flujos uniformes
• Medio no participativo
i
iJ
iiEρ0iiMε
i
jjJ
iE
jijjij FAJq =→
∑∑∑===
→ ===N
1jjij
N
1jjijj
i
N
1jij
ii JFFAJ
A1
qA1
E
Radiosidad:
Irradiación:
( ) ii0iii E1MJ ε−+ε=
Ecuación 1a
∑=
=N
1jjiji JFE
Ecuación 2
TEMA 10: Intercambio de radiación entre superficies
![Page 71: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/71.jpg)
71
71
Intercambio radiante en recintos
( )
ε−ε=α−ε= ∑
=
N
1jjiji
0iiiii
0iiii JFMAEMAq
Flujo de calor por radiación:
Radiosidad (en función de la temperaturas):
( )iiii EJAq −=
i
iiAJ
iiAE
iii AEα
iii AEρ0iiMε
Ecuación 3a
Ecuación 3b
( )∑=
ε−+ε=N
1jjiji
0iii JF1MJ
Ecuación 1b
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
σε
σε
σε
=
ε−−ε−−ε−−
ε−−ε−−ε−−
ε−−ε−−ε−−
4nn
4ii
411
n
i
1
nnnnin1nn
iniiii1ii
n11i11111
T
T
T
J...J...J
F11...F1...F1...............
F1...F11...F1...............
F1...F1...F11
TEMA 10: Intercambio de radiación entre superficies
![Page 72: TEMA 1: Introducción a la transmisión de calorjfc/Descargas/TC/Transparencias_TC.pdf · Agua (300 K, sat.) 0.613 Etilenglicol (300 K) 0.242 Aceite Motor (300 K) 0.145 Líquidos:](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021801/5b3752607f8b9a40428c2a0a/html5/thumbnails/72.jpg)
72
72
Intercambio radiante en recintosAnalogía Eléctrica
Circuito análogo:
ii
i
A1
εε−
0iM
iJ
1J
jJ
nJ
...
...
( )1ii FA/1
( )iji FA/1
( )ini FA/1
( ) ( )∑∑
==
−=−=
N
1j
iji
jiN
1jjiijii
FA1
JJJJFAq
( ) ( )
εε−
−=−
ε−ε
=
ii
i
i0i
i0i
i
iii
A1
JMJM
1A
q
11
1
A1
εε−
01M
1J ( )121 FA/1
22
2
A1
εε−
02M2J
11
1
A1
εε−
01M
1J ( )121 FA/1
22
2
A1
εε−
02M2J
3J
( )131 FA/1 ( )232 FA/1
03M
Ejemplo 2 superficies:
Ejemplo 3 superficies:
Ecuación 3c
Ecuación 3d
TEMA 10: Intercambio de radiación entre superficies